Операторные свойства симметричных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Лелонд Ольга Владимировна

ОПЕРАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ

01.01.01- математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ-2004

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Семёнов Евгений Михайлович, Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор

Рубинштейн Александр Иосифович, доктор физико-математических

наук, доцент

Новиков Игорь Яковлевич

Ведущая организация:

Самарский государственный

университет

Защита состоится 21 декабря 2004 года в 15.40 на заседании диссертационного совета К 212.038.05 по присуждению учёной степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан « » ноября 2004 года Учёный секретарь

диссертационного совета

2/т 7

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение линейных операторов в функциональных пространствах является важной и актуальной задачей современного анализа.

Цель работы. Вычислить точное значение (или получить оценки) нормы специального билинейного оператора в пространствах Лоренца, исследовать на точность конкретные пары симметричных пространств, получить условия несепарабельности пространств мультипликаторов, а также условия ограниченности мультипликаторов в пространствах Лоренца.

Методика исследования. Использовались методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно отметить следующие: изучен билинейный оператор в пространствах Лоренца, введено и изучено новое понятие точности пары симметричных пространств, найден новый критерий безусловности системы Хаара в сепарабельном симметричном пространстве, доказана несепарабельность пространства мультипликаторов для многих пар симметричных пространств, вычислена норма специальных мультипликаторов в пространствах Лоренца.

Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты носят теоретический характер. Полученные результаты и методы их доказательства могут быть использованы при изучении рядов по системе Хаара и операторов, действующих в симметричных пространствах.

Апробация работы и публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1] - [5] и являются новыми. Из совместной работы [2] в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты. Они докладывались на международной научной конференции «Проблемы математического образования и культуры» и на Всероссийской научной конференции «Предметно-методическая подготовка будущего учителя

математики, информатики и физики» в г.

Тольятти в 3003 г»,

Р0аНАЦЙ0~НАЯЬНА?] БИБЛИОТЕКА {

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объём диссертации - 81 страница. Библиография содержит 28 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении указываются основные направления исследования, даётся краткое описание работы.

В первой главе собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

Вторая глава посвящена вычислению нормы специального билинейного оператора, действующего в пространствах р- суммируемых функций и Лоренца.

Пусть Е- симметричное пространство (сокращённо СП) на [0,1]. Определим на Е оператор А: (Ах)0,я) = %(1)-%($). Для нормы этого оператора справедлива оценка

В теореме 2.1 показано, что в случае, когда Е = Ь, норма оператора А

может быть вычислена по формуле

МП, =2тах(,/'

,ы 1Р)

1< /7^00.

Пусть -вогнутая возрастающая непрерывная в нуле функция на [0,1], 9>(0)=0. Рассмотрим пространство Лоренца А{ф) с нормой

11*11 лы=

где %(1)- убывающая перестановка функции |х(0|. Обозначим через Лв пространство Лоренца, построенное по функции <р(() = 0 < а < 1. В теореме 2.2 доказывается, что

МИл =2"

Г _а\Ьо

1 + 3°-'

V )

В общем случае для пространства Лоренца Л(^>) оказывается справедливой

Теорема 2.3. Если для некоторого 0 < £ < 1 выполнено

В теореме 2.5 показано, что если функция <р{{) строго возрастает на [ОД] и = 1, то для выполнения равенства |М||Л(,,)= 2 необ-

ходимо и достаточно, чтобы 1.

Третья глава посвящена изучению мультипликаторов рядов Фурье -Хаара.

Системой Хаара называют орто нормированную на [0,1] систему функций, определяемую равенствами

где 1 « = 0,1,.... Множество индексов (п,к), определяющих систему

Хаара, будем обозначать через П. Иногда удобно использовать одно-индексную систему Хаара с естественной нумерацией. Формула т = 2+ к устанавливает взаимно однозначное соответствие между и множеством натуральных чисел.

Обозначим через <ГГ ( г>0) оператор растяжения, определяемый равенством

то

2"'2, {к-\)2-п <1<{к-\!2)2-\ Хо°(0 * 1. Х^) =" -2"/5, (к -1/2)2- < Г < *2",

О для остальных / е [0,1],

Оператор ат ограничен в любом СП Е и

1|(ТГ ||£<тах(1,г).

Числа

называются индексами Бойда пространства Е. Всегда рЕ<\

Система Хаара является базисом в любом сепарабельном СП Е, т. е. любой элемент х еЕ однозначно представим в виде

причём коэффициенты сп1(х) определяются формулами

спЛ(х)=\х{1)Хкпт

Для сепарабельного СП Е условие 0 < аЕ ^ 0Е < 1 будет выполнено в том и только в том случае, когда система Хаара является безусловным базисом в Е, т.е.

Л=1 я-1

Если пространство Е не является сепарабельным, то безусловность системы Хаара в Е понимается в смысле (1).

Всякая последовательность Я = порождает мультипликатор Л,

который на полиномах по системе Хаара определяется следующим образом:

л,4

В §1 (теорема 3.4) показано, что если 1<р<#< оо и Л ограниченно действует из Ьр в Ь, то Л будет ограниченно действовать из Ьрг в Ь для любого 1<г<00

Далее вводится понятие точной пары пространств, приводятся примеры точных и неточных пар.

Пусть Е и F - СП на [0,1]. Здесь и далее предполагается, что каждое рассматриваемое СП сепарабельно или сопряжено к сепарабельному пространству. Пара (E,F) порождает нормированное пространство последовательностей [E,F] с нормой

Положим Q= {А*:||Л||£if<1,||;c||£<l], и пусть a>(E,F)- такое СП, что единичный шар a>(E,F) содержит Q и норма (o(E,F) максимальна во множестве таких СП. Пару (E,F) называют точной, если a>(E,F) =F.

Справедлива следующая

Теорема 3.5. Пусть l<p,q< оо. Для того чтобы пара {Lp,L) была точной, необходимо и достаточно, чтобы р > q.

Пусть 1 < р< со, \üq<<x>. Через Lp обозначается множество суммируемых на [0,1] функций, для которых Ц.х||£ <с0, где

В связи с теоремой 3.5 естественно возникает вопрос о нахождении ф(Ьр,Ь1/) в случае, когда пара (Ь,, Ь) не является точной. Ответ на него даёт

Теорема 3.6. Если 1<р< оо, то й>(Ьр,Ь11)~Ь11/)

Из теоремы 3.6 вытекает

Следствие. Пусть \<p<q<со,lárice. Для того чтобы

необходимо и достаточно, чтобы Г: р. Обобщением теоремы 3.6 является

Теорема 3.7. Если \<p<q<zo, l<r<s<oo, то (o{Lpr,Lg ,) = Lqr.

В §2 третьей главы доказана

Теорема 3.8. Для безусловности системы Хаара в СП Е необходимо и достаточно, чтобы в Е был ограничен оператор Л0, где Л0 - мультипликатор, порождённый последовательностью

В §3 доказывается несепарабельность пространства [E,F] в некоторых частных случаях.

Справедливы следующие результаты.

Теорема 3.9. Если Е- СП, то пространство [Е,Е] несепарабельно. Теорема 3.10. Если E, E2, E3- СП, EíС Е2 СЕ3 и 0 <aE¡ i Р^ <1, то пространство [E,,E3] несепарабельно.

Далее доказывается (теорема 3.11), что пространство [£,£„] будет несепарабельным для любого СП Е. В теореме 3.12 показано, что если 0<аЕйрЕ<\, то [•£,£„,] есть с точностью до эквивалентности банахово идеальное пространство. Затем доказывается несепарабельность пространства [Lr,LJ для всех l<p,q£<x> (теорема 3.13).

В §4 приводятся необходимые и достаточные условия ограниченности

мультипликаторов частного вида, действующих в пространствах Лоренца LM •

Справедлива

Теорема 3.14. Если 1<р<оо, Л- мультипликатор, соответствующий последовательности Лпк=Лп (т. е. \к не зависит от к) и | Яц \ |>..., то

для непрерывности Л из Ьр в в ЬрХ необходимо и достаточно, чтобы Яе/,. Более того,

причём константы эквивалентности зависят только от р.

Из теоремы 3.14 вытекает, что если Л- мультипликатор указанного вида и непрерывен из в для некоторого , то

непрерывен из в для всех

Использование интерполяционных методов позволило получить частичное обобщение теоремы 3.14. Найдено достаточное условие ограниченности мультипликатора специального вида в паре пространств Лоренца

Публикации по теме диссертации

[1] Ерофеева О. В. (Лелонд О. В.) Вычисление нормы одного оператора в пространствах Лоренца / О. В. Ерофеева // Труды математического факультета. - Воронеж, 1997. - №2. - С. 14-18.

[2] Брыскин И. Б. Мультипликаторы рядов Фурье-Хаара / И. Б. Брыскин, О. В. Лелонд, Е. М. Семёнов // Сибирский математический журнал. - 2000. - Т. 41,№4.-С. 758-766.

[3] Лелонд О. В. Мультипликаторы рядов Фурье-Хаара в пространствах Лоренца / О.В. Лелонд // Проблемы математического образования и культуры : сб. тез. международн. научн. конф. - Тольятти, 2003.-С. 18-19.

[4] Лелонд О. В. Точные пары пространств / О. В. Лелонд // Предметно-методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики : сб. ст. Всеросс. научн. конф. - Тольятти, 2003. - С. 84-89.

[5] Лелонд О. В. О несепарабельных пространствах [Е, Б] / О. В. Лелонд // Воронежская зимняя математическая школа - 2004. - Воронеж, 2004. - С. 6869.

Заказ №.,687 от 1.11. 2004 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

21 8 9 Л

РНБ Русский фонд

2005-4 21746

Введение.

Глава I. Основные обозначения и предварительные сведения.

Глава II. Вычисление нормы одного оператора в пространствах

Лоренца.

Глава III. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара.

§ 1. Точные и неточные пары пространств.

§ 2. Новый критерий безусловности системы Хаара в сепарабельном симметричном пространстве.

§ 3. Несепарабельность пространств [Е,Р]

§ 4. Ограниченность мультипликаторов в пространствах

Лоренца.

Теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа. Значение этой теории определяется рядом обстоятельств. Многие пространства, рассматриваемые в анализе, являются симметричными (например, пространства (Г, £,//),

Лоренца, Марцинкевича, Орлича). Теория симметричных пространств служит мощным средством исследования конкретных пространств.

Симметричные пространства появились в работах по интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу (см. [11], [25]) в конце 70-х годов. Итоги исследования линейных операторов в симметричных пространствах, и в частности, мультипликаторов по системе Хаара нашли отражение в ряде монографий и статей: [8], [9], [И], [12], [19], [25], [27], [28]. Результаты, связанные с мультипликаторами Фурье -Хаара, находят применение в теории интерполяции линейных операторов.

Диссертационная работа продолжает ряд исследований по теории линейных операторов в симметричных пространствах. Первая часть работы посвящена вычислению нормы специального билинейного оператора, действующего в пространствах р - суммируемых функций и Лоренца. Во второй части диссертации изучаются некоторые свойства симметричных пространств, связанные с мультипликаторами Фурье -Хаара.

Основное содержание диссертации изложено в главах II и III. Им предпослана глава I, в которой собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

В главе II рассматривается оператор А, определяемый соотношением действующий в симметричном пространстве £[01]. Для нормы этого оператора справедлива оценка ||А\\Е<2.

В теореме 2.1 показано, что в случае, когда Е = Ьр> норма оператора А может быть вычислена по формуле

А\\1=2та{УрЛ-х,р\ 1</?<оо.

Пусть - вогнутая возрастающая непрерывная в нуле функция на [0,1], ^(0) = 0. Рассмотрим пространство Лоренца Л(<р) с нормой

1 о

Обозначим через Аа пространство Лоренца, построенное по функции = ^ (0 < « < 1). В теореме 2.2 доказывается, что г а Ч1"«

1 + 3«"1 ч У

В общем случае для пространства Лоренца К{(р) оказывается справедливой

Теорема 2.3. Если для некоторого 0 < £ < 1 выполнено

1+е<т<2-е, о<г<—, т 2' то М11а(„<2.

Далее в теореме 2.4 устанавливается достаточное условие для выполнения равенства || Л||Л(9)=2. Таким условием является

5^-2.

В теореме 2.5 показано, что если функция ф{{) строго возрастает на [0,1] и

-»о (р{1) то для выполнения равенства IIЛ ||Л(<г,)= 2 необходимо и достаточно, чтобы

1. Берг И. Интерполяционные пространства. Введение / И. Берг, И. Лёф-стрём.-М.: Мир, 1980.-264 с.

2. Брыскин И. Б. Мультипликаторы рядов Фурье Хаара / И.Б. Брыскин, О.В. Лелонд, Е.М. Семёнов // Сибирский математический журнал. -2000. -Т.41, №4. - С. 758-766.

3. Бухвалов A.B. Банаховы решётки некоторые банаховы аспекты теории / A.B. Бухвалов, А.И. Векслер, Г.Я. Лозановский. - УМН. -1979. -Т.34, №2. - С. 137- 183.

4. Голубов Б. И. Ряды Фурье по системе Хаара / Б.И. Голубов // Математический анализ.-М.: ВИНИТИ, 1971.-С. 109- 146. (Итоги науки).

5. Ерофеева О. В. (Лелонд О. В.) Вычисление нормы одного оператора в пространствах Лоренца / О.В. Ерофеева // Труды математического факультета. Воронеж, 1997. - №2. - С. 14- 18.

6. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2-х т. / А. Зигмунд ; пер. с англ. -М.: Мир, 1965.-Т.2.-537 с.

7. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Акилов. 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

8. Кашин Б.С. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.Л. Саакян. М.: Наука, 1984.-496 с.

9. Кротов В.Г. О безусловной сходимости рядов Хаара в Л^ / В.Г. Кротов // Мат. заметки. 1978. - Т. 5, №23. - С. 685-695.

10. Лелонд О.В. Мультипликаторы рядов Фурье Хаара в пространствах Лоренца / О.В. Лелонд // Проблемы математического образования и культуры : сб. тез. международн. научн. конф. - Тольятти, 2003. - С. 18-19.

11. Лелонд О.В. Точные пары пространств / О.В. Лелонд // Предметно методическая подготовка будущего учителя математики, информатики и физики : сб. ст. Всеросс. научн. конф. -Тольятти, 2003. - С. 84-89.

12. Лелонд О. В. О несепарабельных пространствах E,F~\ / О. В. Лелонд // Воронежская зимняя математическая школа — 2004. — Воронеж, 2004. С. 68 — 69.

13. Новиков И .Я. Последовательности характеристических функций в симметричных пространствах / И.Я. Новиков // Сиб. мат. журн. 1983. - Т. 24,№2.-С. 193-196.

14. Функциональный анализ / М. Ш. Бирман и др.; под общ. ред. С. Г. Крейна. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1972. - 544 с.

15. Р. Эдварде. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде; пер. с англ. М.: Мир, 1969. - 1072 с.

16. Burkholder D.L. A nonlinear partial differential equation and unconditional constant of the Haar system in Lp / D.L. Burkholder // Bull. Amer. Math. Soc.-1982.-№7.-P. 591-595.

17. Carothers N.L. Geometry of Lorentz spaces via interpolation / N.L. Caro-thers, S.J. Dilworth // Functional analysis. Proc. 4th Annu. Semin., Austin / TX (USA), 1985-86. Austin, TX : University of Texas, 1986. P. 107-133.

18. Carothers N.L. Isometries on Ln, / N.L. Carothers, B. Turett // Transactions ofthe Amer. Math. Soc. 1986. - Vol. 297, № 1. - P. 95-103.

19. Creekmore J. Type and cotype in Lorentz Lp q spaces / J. Creekmore // Indag.Math. (N.S.) 1981. - Vol. 43, № 2. - P. 145-152.

20. Hunt R.A. On L(p,q) spaces / R.A. Hunt I IL' Enseignemcnt Math. 1966.12.-P. 249-276.

21. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces I. Sequence Spaces / J. Lindenstrauss, L. Tzafriri . Berlin : Springer - Verlag, 1977. - 190 pp.

22. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces II. Function Spaces / J. Lindenstrauss, L. Tzafriri. Berlin : Springer-Verlag, 1979. - 243 pp.

23. Luxemburg W.A. Banach Function Spaces / W.A. Luxemburg. Van Gorcum and C. Assen, 1955.-70 pp.

24. Novikov I. Haar series and linear operators / I. Novikov, E. Semenov // Dordrecht: Cluver Acad. Publ. 1997. - 218 pp.

25. Yano S. On a lemma of Marcinkiewicz and its applications to Fourier series / S. Yano // Tohoku Math. J. 1959. - № 11. - P. 191- 215.