Исследование асимптотики числа собственных значений и регуляризованного следа сингулярных дифференциально-операторных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

[6 -

,г„.. На правах рукописи

{ % . -у < г • *■ ч' ^

АСЛАНОВА НИГЯР МАХАР кьпы

УДК 517.984

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИКИ ЧИСЛА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И РЕГУЛЯРИЗОВАННОГО СЛЕДА СИНГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ.

(01.01.01-Математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ - 1996

Работа выполнена в отделе дифференциально-операторных уравнений Института математики и механики АН Азербайджана.

Научный руководитель: - доктор физико-математических

наук, профессор М.БАЙРАМОГЛЫ

Официальные оппоненты: -доктор физико-математических

наук, профессор Б.А.ИСКЕНДЕРОВ

- кандидат физико-математических наук И.М.ГУСЕЙНОВ

Ведущая организация - Азербайджанский Технический

Университет

Защита состоится " 1996 г. в /У час

на заседании Специализированного Совета Д 004.01.01 при ОФТМН и Министерстве образования Азербайджана по адресу: 370141, Баку, ул. Ф.Агаева, 9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ АН Азербайджана.

Автореферат разослан " _1996 г.

Ученый секретарь * V.-, Специализированного. Совета- ^ 1 к.ф.-м.н., СТ.Н.С.

Р.А.БАЙРАМОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность гены. Дифференциально-операторные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами - обьега, который позволяет трактовать с единой точки зрения как бесконечные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, так и дифференциальные уравнения в частных производных и интегро-дифференциальные уравнения. С другой стороны, рассмотрение таких уравнений представляет важный самостоятельный математический интерес. Сводя несамосопряженное уравнение Шредингера, заданное в нечетномер-ном эвклидовом лространстве, к операторному уравнению с неограниченным операторным потенциалом, Ы.Г.Гэсымов исследовал спектр и получил спектральное разложение рассматриваемого уравнения. Здесь отметим работу Т.Кзто о многомерном операторе Шредингера, а также работу М.Байрамоглы по операторному уравнению Штурма-Лиувилля с особенности)..

Заметим, что до указанных работ Ф.С.Рофе-Бекетовым впервые исследован спектр и получено разложение по собственным функциям уравнения Штурма-Лиувилля с ограниченным операторным потенциалом.

Большой интерес в спектральной теории дифференциально-операторных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами вызвала известная работа А.Г.Костюченко и Б.Ы.Левитана, в которой впервые в случае дискретного спекзера найдена асимптотика главного члена спектра самосопряженного уравнения Шредингера. После этих работ появились многочисленные исследования по этой теме. Сюда относятся прежде всего работы Э.АбдуКадырова, Г.И.Асланова, А.А.Адыгезалова, М.Байрамоглы, Б.А.Беговатова,

- ч- -

К.М.Бойматовз, В.М.Брука, Л.И.Вайнермана, О.А.Велиева, М.М.Гехт-мана, В.И.Горбачев, И.Л.Горбачука, А.Н.Кочубея, В.А.Кутового, Б.М.Левитана, Ф.Г.Максудова, В.П.Маслбва, П.А.Мишнаевского, В.А.Ыихайлова, Ю.Б.Орочко, М.Оталбаева, М.З.Соломяка, Г.А.Суво-ровченковой, С.Я.Якубова, Д.Р.Яфаева, у/. Ус^е-г- , М. ЯекъЬ , V. ¡аЦо , Н. и других авторов. Подробная библио-

графия имеется в работе Ы.Ш.Бирмана и М.З.Соломяка*) и в книге В.И.Горбачук и Ы.Л.Горбачукэ**)

Несмотря на эти результаты здесь, как и в спектральной теории дифференциальных уравнений в частных производных, нет пока таких полных результатов, как, например, для обыкновенных дифференциальных операторов. Поэтому рассмотрение ещв неисследованных дифференциально-операторных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами представляет важный математический интерес.

Цель работы. Цель диссертации - найти асимптотику числа собственных значений одночленного дифференциально-операторного уравнения произвольного четного порядка; установить асимптотику взвешенного следа операторного уравнения Шредингера, получить формулу для регуляризованных следов операторного уравнения Штурыа-Лиувилля с особенностью на конечном отрезке.

к) Бирман М.Ш.,Солоыяк М.З.Асимптотика спектра дифференциальных

уравнений.Матем.анализ.Итоги науки и техники.М.,1977,т.И,с.5-58. кх)Горбзчук В.И.,Горбачук М.Л.Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений.Киев:Науковэ думка,1984. с.284.

Общая методика выполнения исследований. В работе используются методы спектральной теории операторов, теории дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного.

Научная новизна.

1.Найдена асимптотика числа собственных значений одночленных операторных уравнений произвольного четного порядка.

2.Получана асимптотика взвешенного следа операторного уравнения Шредингера.

3.Вычислен рагуляризованный след операторного уравнения Штурма-Лиубилля с особенностью на конечной отрезке.

Результаты, полученные в работе, являются новыми и представляют теоретический интерес. Они могут быть применены к исследованию спектральных свойств дифференциальных уравнений с частными производными и интегро-дифференциальных уравнений, а также, в квантовой теории.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на научных семинарах д.ф.м.н., проф.М.Бэйраыоглы (ИММ АН Азерб.Респ.), д.ф.м.н.,проф.Б.йскендерова (ИММ АН Азерб.Респ.), а такие, на Д республиканской конференции молодых ученых по математике и механике, на I республикэнской конференции ученых по математике и механике.

Публикации. По теме диссертации опубликовано Л рабоны,список которых приводится в конце автореферата.

Обьем диссертации и ее структура. Работа изложена на 99 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, разбитых на б параграфов, и списка литературы, включающего 58 наименований.

- б -

В настоящей автореферате сохранены номера теорем из диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ '

Во введении дается обзор литературы по затронутым в диссертации проблемам, постановки задач и основные полученные рэзульта ты.

Первая глава посвящена изучению асимптотики числа собственных значений одночленного операторно-дифференциального уравнения произвольного четного порядна, заданного на всей оси. Через И здесь н всюду будем обозначать абстрактное сеперабельное гиль--бертово пространство. В пространстве Ч - Ц. (W,fc>, рассмотрим квадратичную форму

где Р с ос ) ( о <. ос. <. 5 - самосопряженная операторная функция в//. В N существует общее для почти всех х, счетное ' всюду плотное множество Я) -=. з>(Рсэе/>) » на котором определена Р( сс> .

Пусть {^соо} - достаточно гладкое финитное, всюду плотное в L (о , — ) множество элементов. Элементы вида

^ с сс ^ » где / еЧ> , всюду плотны *»< t~< * ( * з .На этих элементах квадратичная форма I С у, ¡^о определена

симметрично и ограничена снизу. Пусть квадратичная форма tl замыкаема в Н, ; Обозначим ее замыкание через L . Квад-

ратичная форма L СуЗ порождает самосопряженный оператор L в том смысле, что для любого ^ е £ > и для всякого ^ L~' 1,1 , Оператор L формально порождается

следующим операюрно-дифференциальным выражение)!

^ (р(х)/ю/ч)

Предположим, что операторная функция РСос) удовлетворяет следующий условиям (ОК).

(ОК). Существуют такие самосопряженные операторы В >, £ , что ©С Pf«>) сам) ^ фсв) , В"' е с'-', локально интегрируемые функции g.fa:)>, 1 и такие

постоянные °< i/- , , что для любого /eSDCPCoc))

выполняются следующие неравенства:

а) £Гзс> < (P&OJ, /) ^ с^с^ (Bf, £)

б) * сл'-у

*"* ci S ^ t 3-

V /V

Г) os*"" -A- «U

В параграфе I первой главы доказывается следующая лемма.

Лемма I.I.I. При выполнении условий (ОК) оператор Rt в пространства H, , компактен относительно оператора L .

Во втором параграфа первой главы исследована асимптотика числа ссэбственных значений оператора Ь . Для этого рассматриваем некоторое относительно компактное возмущение оператора L.

Определим оператор Рл следующим образом

Г-

Pj V» - р Сой") V»

Пусть Ггсс> < .„ < Т^СасХ... ~ Свойство

собственных значений операторной функции Р(а). Предположим, что выполняются еще следующие условия

1) Прж больших эс. -г,боо > с , с >о,% го

2) При ос, < эс„ (РОе.^Ы) * (РСхг-){, Д®я • любого / с £> С Рсзс>) •

3) Существует положительное число ь, , такое, что * - < ГГ ; Р~^С о') €0\

Доказывается следующая теорема.

Теорема 1-2.1. Пусть оператор имеет дискретный спекц

Тогда при выполнении условий (ОК) и I) -3) ^ - число собственных значений оператора - Ц + Р^ , меньших X » удовлетворяет соотношению

чг о 1УТСзО

с&

Используя теорему 3.2 из работы А.С.Маркуса и В.И.Бадаева и лемму 1.1.1, получаем следующую .основную теорему '

Теорема 1.2.2. При условиях теоремы 1.2.1. для асимптотики числа собственных значений оператора ¿-. при 1 ~ выполняется следующее соотношение.

Т ( ' ¿ее' * ой-))

X 47- ^ .-- ' «1/---' •

В этом же параграфе приведен пример дифференциального оператора с частными производными, для которого эсимптотику числа собственных значений можно вычислять по вышеуказанной формуле.

В глава II исследован взвешенный слад операторного уравнения Шредингара. *•

Пусть Н - абстрактное сеперабельное гильбертово пространство, полупространство ( я*, ) трехмерного евклидова пространства £ , В гильбертовом пространстве Н, , Н)

расвмотрим оператор Ь порожденный операгорно-дифференциальным выражением € О/ - д а + 0. (ж) и, и граничным условием.

и,(жУ1 - Ц,СХ1} I - о

где 0(х) является самосопряженным оператором в И и удовлетворяет следующим условиям:

I) области определения операторов О Сое.) имеют общее всюду плотное пересечение ® в пространстве Н , Осзс) у, £ ( - единичный оператор в ) и ос) является вполне непре-

рывным оператором в Н при каждом х е Е*

2) При некотором ( > о {С -^иожет быть большим)

в'е(сс-> е Су ДЛЯ всех ос е £ , И 5

г»

3) При I * - 41 4 1 5

// Л « г ' * ^ «е/ГС> * I,

для всех с >о , ь , ( ^Со > о , - некоторое фиксированное действительное число)

4) При / «с - * I б X.

5) При любой /М > о

б* е;

3

6) Пусть * СзО $ $ - собственнш значения оператора О(х'), Обозначим чераз 541) следующую функцию:

Предположим, что 5 С -*<>«» и при

больших значениях Д. , верно соотношение З'СХ) $ О-с - некоторое положительное число ■

7) При (ЬтО

*

Н

8) При /ос I < 1

-С.1Ж-4.1 О С*-) „/vu**

rit-

<

Пусть < 1 ,, i ,„ <„„ - собственные

значения, а у, со , coo , ... , с. ,

соответствующие иы оргонормированные вектор-функции оператора

Обозначим через Л^(Х) следующую сумму, которая называется взвешенным следом оператора Ь :

У ОО ^ 21 5 са^с*'^^

В первом параграфа этой главы указаны некоторые неравенства для операторной функции

ГДе /ес-^/*-

ъСв-у/гг*) С-е ** ,-е." " 3 ь

В * 2 главы П пользуясь условиями I) -8) доказана следующая теорема

Теорема 2.2.2. Если операторная., функция удовлет-

воряет условиям I) -8), то при Xсправедлива следующая асимптотическая формула

У Сх) •= — ^ ¿¿СЖ.У С У.-слЯ «¿ос.

В третьей глава изучается регуляризовэнный след операторов ^ иЬ 1 пространстве Н, и ^ СУ > (о, Рассмотрены

два дифференциальных оператора и , порожденных выражениями

= ^ ^ - - ^ ♦ л?* о«*>,

соответственно, и одинаковыми краевыми условиями

где + 7У о ? У > , оператор А является самосо-

пряженный, полуограниченным снизу и обратным для вполне непрерывного оператора в (j .

Предположим, что операторная функция Q измерима и удовлетворяет следующим условиям:

1. Операторная функция имеет вторую слабую производную на отрезке Z"0,17 и d'1 ( огЪ при каждом

tCp^/j являются самосопряженными операторами в'Н , т.е. (V; ^ „ * ' ft)

G соо с(ГГ; f й (х)] = (2 сэО

2. Функции // dl\-x.-> II, ( г) ограничены на отрезке £0,1 J .

3. \ ( Qcxyff) ¿л при любом /еН

о

4. Существует такой оператор С - С* е tf f , что в окрестности нуля выполняется неравенство

I I < K^.fV

для любого ^ € н .(/-.(>,(,2)

Оба оператора и L, имеют дискретные спектры.

Пусть j-w < г *,.. s i } у., < \ ь <,.. собственные значения операторов L«, и L< , соответственно. Как известно, в скалярным случае асимптотические формулы

о*

для собственных значений гарантируем сходимость ряда (\K-f**)

»1

В нашем случае нет хороших асимптотических формул для собственных значений оператора , которые обеспечили бы сходимость указанноп ряда. Поэтому мы следовали иным путем. Аналогично тому,, как это было сделано в работе М.Байрамоглы, можно показать, что если при С — собственные значения пг^ оператора А таковы,что

-ч, а, .¿* (о< О <«. } <*> г.) ТО существует подпоследовательность <. ^„^ < .,, < < ... , такая, что

>■* га.

Л -Л. Ъо10(кЛ** +

Введем следующие обозначения • . а> 4г-

и * , (*' Ыч

В этой главе получена формула для сунмы ряда -Г )

I-/

Сумма этого ряда не зависит от того, каким образом выбрана подпоследовательность и,,^',.. Эту сумму назовем регуляризованным следом оператора^ Ь •

Доказана следующая теорема

Теорема 3.2.2. Пусть а, ¿* (о<а.<« ,и1>2)

при ¿-»-V. , Если операторная функция (2 удовлетворяет условиям 1-4, то имеет место следующая формула

и У - мЬрйю-ЬрСЦп

Из равенства

ГсГ-У") * &и X

* -'

и из вышеуказанной формулы следует, что если ряд разностей собственных- значений операторов Ь и Ь сходится, то для его суммы

I з

справедлива формула'

НО.

.' В конце третье^ главы показано, что в случае скалярного * уравнения Штурмэ-Лиувилля с особенностью в'нуле при более слабых ' условиях на потенциал • е^сос5) ряд ("^-.^О сходится и

равен --£. С у (О - г ?

В заключении автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору М.Байрамоглы за постановку задачи, а также кандидату физико-математических наук И.Ф.Гашимову за постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации „опубликованы в следующих работах:

1. Асланова Н.М. Вычисление регуляризованного следа операторного уравнения Штурма-Лиувилля с особенностью на конечном отрезке // Деп. в АзНИИНТИ, 20.11.95. № 2305 - Аз. -29 с.

2. Асланова Н.Ы. Взвешенный след операторного уравнения Шредингера //АзИМУ, Сборник науч.труд по ыех. - № б.Баку-199б. -С.185-186.

3. Гашимов И.Ф., Асланова Н.Ы. Асимптотика числа собственных значений одночленных операторных уравнений четного порядка Ц Матер. XI респ.конф.мол.ученых по матем. и механике - Баку, 1994, С.77-79.

4. Гашимов И.Ф., Асланова Н.Ы. Вычисление регуляризованного следа уравнения Штурма-Лиувилля //Матер. I респ.конф. по мех. и матем. - Баку, 1995, ч.П, С.63-66.

»'; АСЛАНОВА НИКАР МВЬЭР газы СингулЛар диференсиал-оператор твнликлэринин мэхсуси эдедлэринин cajHHUH асимптотикасынын ве регулЛарлашмыш изинин тедгиги

хуласб

Диссертаси^а ипшндэ туг твртибли бирЬэдли оператор даференсиал тэнлиJинин мэхсуси эдэдлеринин гге^ланма функсиJасынын ве Шрединхер оператор тенли,)1шин чвкилмшп изинин асимптотикалары твдгиг едилмишдир. Ьэмчинин, ишдэ сонлу парчада MsxcycaJJeTa малик Штурм-Лиувил оператор тенли,1инин регул^рлашмыш изи учун дусгур алынмышдьф.

ASLANOVA NIGAR ItAHAR gizl The investigation of the asymptotic distribution of the eigenvalues and of the regularlzated trace for singular operator-differential equations

SUMMARY

In- the dissertation the asymptotic distribution of eigenvalues for an 2n-th order operator-differential eguationa is investigated. Here the asymptotic formula for the weighted trace of the Schrodinger operator eguation and formula for regularlzated trace of Shturm-Liuvlll operatop equation are also obtained.