Методы вариационной и итерационной регуляризации для линейных операторных уравнений в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ
|
Чистяков, Павел Александрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Екатеринбург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2013
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.07
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
ЧИСТЯКОВ Павел Александрович
Методы вариационной и итерационной регуляризации для линейных операторных уравнений в банаховых пространствах
01.01.07 - Вычислительная математика
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
0050592°*- 16 МАЯ 2013
Екатеринбург - 2013
005059282
Работа выполнена в ФГБУН Институте математики и механики им. H.H. Красовского Уральского отделения РАН.
Васин Владимир Васильевич, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор. Арестов Виталий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа и теории функций ИМКН УрФУ;
Танана Виталий Павлович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой вычислительной математики ЮУрГУ.
Ведушай организация: Физический факультет, ФГБОУ ВПО Московский
государственный университет им. М.В. Ломоносова.
Защита состоится 21 мая 2013 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 004-006.04 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620990, Свердловская область, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, д. 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН\
Автореферат разослан 19 апреля 2013 года.
Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, с. н. с.
Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
В.Д. Скарин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Понятие корректности задачи математической физики было введено французским математиком Ж.Адамаром в начале XX века. Им было высказано мнение о том, что корректная постановка является обязательным условием, которому должна удовлетворять всякая математическая модель, описывающая физическую реальность. Эта точка зрения не подвергалась сомнению в течение многих лет. Корректные модели хороши тем, что классическая вычислительная математика позволяет решать задачи традиционными методами.
Однако часто имеющаяся у исследователя информация позволяет построить лишь такую математическую модель, для которой нет теорем существования решения в естественных функциональных пространствах и, самое главное, нет устойчивости решения по входным данным задачи. Для такой модели нельзя получить регулярные вычислительные алгоритмы с помощью традиционных методов.
В 1943 году появилась работа А.Н.Тихонова1, в которой впервые была указана практическая важность неустойчивых по входным данным (некорректно поставленных) задач и принципиальная возможность их успешного решения в условиях принадлежности точного решения компактному множеству. В середине 50-х годов и, особенно интенсивно, в начале 60-х годов прошлого столетия началось систематическое изучение некорректных задач. Образовалось новое направление, лежащее на стыке функционального анализа и вычислительной математики, которое затем оформилось в самостоятельную область науки. Основопологающие подходы для теории некорректных задач связаны с именами А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова. Большой вклад в развитие этой теории и её приложений внесли их ученики и
1 Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, № 4. С. 195-198.
последователи: А.Л. Агеев, А.Б. Бакушинский, В.В. Васин, В.А. Гончарский, С.И. Кабанихин, М.Ю. Кокурин, А.И. Короткий, A.C. Леонов, В.И. Максимов, И.В. Мельникова, Л.Д. Менихес, В.А. Морозов, В.Г. Романов, И.ГГ. Рязанцева, В.П. Танана, Г.В. Хромова, А.Г. Ягола.
Начиная с 60-х годов прошлого столетия теория некорректных задач в банаховых и даже топологических пространствах развивается параллельно с исследованиями в гильбертовых пространствах, хотя и не имеет, естественно, к настоящему времени такой степени завершенности, как в гильбертовых. Уже в первых работах В.К. Иванова и его учеников (см. |4] и др.) вариационные методы (методы квазирешений, невязки и Тихонова) рассматривались в пространстве С[а, 6], в нормированных Е—пространствах и более общих пространствах Ефимова-Стечкина, которые по геометрическим свойствам близки к гильбертовым.
Большой цикл исследований для операторных уравнений и вариационных неравенств в банаховых пространствах с операторами монотонного типа, посвященный методам регуляризации и итерационным процессам был выполнен в работах Я.И. Альбера и И.П. Рязанцевой. Эти исследования в основном были направлены на получение наиболее общих (с точки зрения условий на операторы и пространства) теорем существования и сходимости приближенных решений.
В последнее десятилетие в области некорректно поставленных задач появились публикации, посвященные прикладным задачам, в которых привлекаются нормированные (негильбертовы) пространства, что позволяет более адекватно описать постановку задачи и получить более качественное решение: Е. Resmerita, F. Schöpfer, Т. Schuster, A.K. Louis. В частности, весьма востребованными оказались пространства Лебега и Соболева (lp, Lp,
Альтернативой вариационным методам регуляризации Тихонова, Иванова являются итерационные методы типа Ландвебера, простой итерации, наи-
скорейшего спуска, сопряженных градиентов и др. В последние несколько лет появились исследования, обобщающие такие итерационные процессы на случай банаховых пространств. Здесь прежде всего стоит отметить работы F. Schöpfer, Т. Schuster, А.К. Louis [10, 11, 12] и В. Kaltenbacher [8], а также K.S. Kazimierski, в которых рассматриваются методы решения линейных операторных уравнений с непрерывным оператором.
В данной диссертационной работе изучаются линейные некорректные задачи — операторные уравнения первого рода с B-симметричным и В-ноло-жительным оператором — в банаховых пространствах и методы их решения путем вариационной и итерационной регуляризации. Операторы, удовлетворяющие условиям B-симметричности и B-положительности или схожим к ним, изучались ранее в той или иной трактовке в работах К.О. Фридрихса, М.Ш. Бирмана, В.М. Шалова [7], JI.A. Калякина [5] и других авторов. В целом такой подход позволяет обобщить традиционый метод (когда в качестве оператора В используется сам исходный оператор задачи) построения эквивалентной задачи в самосопряженной и положительно полуопределенной форме, которая обладает рядом замечательных свойств, открывающих дорогу к хорошо исследованным методам решения. Несмотря на то, что имеются отдельные примеры построения таких нетривиальных (т.е. отличных от исходного и от нулевого) операторов, которые приведены в данной диссертации, в общем случае вопрос о возможности детерминированным способом построить оператор В остается открытым.
Цель диссертационной работы состоит в том, чтобы для линейного операторного уравнения в банаховых пространствах с В-симметричным и B-положительным оператором строго обосновать как метод регуляризации вместе с его дискретной аппроксимацией, так и итерационные методы решения: одношаговый и многошаговый. Предметом исследования является также разработка и обоснование всех этапов вычислительных алгоритмов и
проведение модельных экспериментов.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и позволяют обобщить и дополнить работы отечественных и зарубежных авторов по данной проблематике. Все утверждения, формулируемые в работе, сопровождаются строгими математическими доказательствами.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет определенную теоретическую и практическую значимость. В работе построены модификации известных методов решения некорректно поставленных задач для линейных задач с В-симметричным и Б-положительным оператором и исследована их сходимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы при решении задач, возникающих при математическом моделировании процессов в различных областях естествознания в рамках рассматриваемого подхода.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
5-й Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 года);
40-й Всероссийской молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 26-30 января 2009 года);
I Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск, 10-20 августа 2009 года);
41-й Всероссийской молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 1-5 февраля 2010 года);
II Молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"(Новосибирск, 21-29 сентября 2010 года);
42-й Всероссийской молодежной школе-конференции "Современные про-
блемы математики" (Екатеринбург, 30 января - 6 февраля 2011 года);
6-й Международной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(Екатеринбург, 31 октября - 5 ноября 2011 года);
43-й всероссийской молодежной школе-конференции "Современные проблемы математики"(Екатеринбург, 29 января - 5 февраля 2012 года).
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 3 статьи — в рецензируемых журналах (работы [14-16] из списка литературы), 7 тезисов докладов — в трудах конференций.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором, за исключением вспомогательных результатов, используемых в доказательствах, которые приводятся в тексте диссертации для полноты изложения и специально отмечены.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,
3 глав и списка литературы. Общий объем диссертации 100 страниц, включая
4 рисунка. Библиография содержит 94 наименования.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении проведен обзор литературы по теме исследования, обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, намечены возможные варианты практического применения полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения. .
В первой главе вводятся понятия В-симметричного и В-цоложитель-ного оператора.
Определение 1. Линейный оператор А: X У называется В-сим-
метричным, если для линейного оператора В : X —* У* при любых элементах XI,Х2 Е X выполнено равенство (Ах\,Вх2) = (Ахч, Вх\).
Определение 2. Линейный оператор А: X У называется В-положительным, если для линейного оператора В: X —> У* и каждого х £ X выполнено (Ах,Вх) ^ 0, причем {Ах,Вх) = 0 в том и только в том случае, когда Ах = 0.
Исследуется линейное операторное уравнение I рода
Ах = у (1)
для .В-симметричного и 2?-положителыюго оператора А с возможными ограничениями на множество решений в виде выпуклого и замкнутого множества Разумеется, общий случай без ограничений охватывается здесь при = X. Наличие по крайней мере одного классического решения уравнения, принадлежащего множеству <2, априори предполагается, ситуация, когда ищется псевдорешение в отсутствие классических решений, наоборот не рассматривается, хотя и представляет интерес. Оператор А предполагается действующим из равномерно выпуклого банахова пространства X в произвольное банахово пространство У. Начало главы посвящено подробному определению понятий 5-симметричности и В-положительности, а также описанию операторов, обладающих этими свойствами. Если У — гильбертово пространство, то при В = А оператор А является Л-симметричным и У1-положительным. Выведено необходимое и достаточное условие, чтобы исходное уравнение (1) и симметризованное В* Ах = В*у были эквивалентны. Рассмотрена ситуация, когда уравнение задано с известной верхней оценкой уровня погрешности данных: вместо точных А, В а у известны приближенные Л/,, Вь и у а, такие что Ак является 5/,-симметричным и Вд-положительным оператором, и
НЛ-Л1КД, нвл-вкмю-ун*. (2)
Исходное уравнение (1) с выпуклыми замкнутыми ограничениями х € <3 (которое предполагается разрешимым на множестве О) сводится к эквивалентной вариационной задаче
тт{(Ах,Вх)-2(у,Вх)},
ХйЦ
для которой метод регуляризации строится по аналогии с методом А.Н. Тихонова за счет добавления в аппроксимирующий функционал стабилизатора в виде квадрата нормы:
тт{(ЛЛх, Вкх) - 2(ув, Внх) + а\\х - а;0||2}. (3)
хСЦ;
Доказывается следующая теорема о сходимости регуляризованных решений.
Теорема 1.2.1. Пусть X — равномерно выпуклое банахово вещественное пространство, У— банахово вещественное пространство. А 6 С(Х, У), В € С(Х, У*). Пусть задача (1) разрешима на <5 С X, и х — её решение, ближайшее к некоторому заранее выбранному элементу х° € X. Пусть для любых <5 > 0, /г > 0 известны у$, Ан и Вь, удовлетворяющие условиям (2). Тогда:
1) для любого а > 0 задача (3) имеет и притом единственное решение х(а) е С};
2) при выборе а в зависимости от 5 и Л согласно правилам
а(5, И) > 0; < а(8, к) —>• 0, при (5, К) (0,0); ^ —»0,при(<и)->(0,0) для — х(а(6, к)) имеет место сходимость Х1,и —>■ х при (5,Н) -> (0,0) по норме пространства X,
При этом сама вариационная задача эквивалентна при = X операторному уравнению
ВгкАнх + ^{х-х°) = В1у5, 9
что позволяет также провести аналогию с методом М.М. Лаврентьева [6].
С помощью математического аппарата, развитого в работах [2, 13, 3, 4], вариационная задача (3) аппроксимируется последовательностью конечномерных задач
т1п{(Л^, Вп0 - 2(yl Вп$ + а||е - (4)
где А„ — Д,-симметричный и Вп-положительный оператор. Вводятся обозначения цк для минимальных значений минимизируемых функционалов в задачах (3) и (4) соответственно, а также х и хп — для элементов, на которых эти минимальные значения достигаются. Формулируется и доказывается следующая теорема о дискретной аппроксимации регуляризующего алгоритма.
Теорема 1.3.1. Если условия аппроксимации задачи (3) задачей (4) таковы, что и сходятся дискретно (сильно) к у s их0 соответственно, операторы Ап сходятся дискретно к Ah, операторы Вп сходятся дискретно слабо к Bh, а множества Qn сходятся дискретно в смысле Моско к множеству Q, тогда решения аппроксимирующих задач хп дискретно сходятся к решению аппроксимируемой задачи х, и их минимальные значения цп сходятся к минимальному значению р.
Численные эксперименты проводились для интегрального уравнения Фред-гольма I рода 1
Ах ~
<p{s){t-l)x{s)ds = 1.5(4 — 1), где ф) = { 0 ^ 3 ^ 2> > ^
s + 1, ¿<5^1.
2
заданного в банаховых пространствах
X = Ьр[0,1], У = Ь,[0,1], 1 < р < +оо, Я = р/(р - 1). 1
При выборе Вх = / (р(з)(Ь—0.5)х(.ч)(1.ч оператор А становится 5-симметричным о
и -В-положительным. При заданной правой части1/(4) = 1.5(4—1) нормальное
решение уравнения (для х° = 0 ) вычисляется по формуле
Cp(t+1)A, J<f<l. ' (р-1)(1 + 2»-3«)
т.е. является разрывным при 1 < р < +оо.
Правая часть уравнения моделировалась с относительным возмущением в 8%. Параметр регуляризации выбирался по правилу a(ó) — \/б.
В результате дискретизации все сводилось к задаче минимизации некоторой функции п переменных
.....^ (6)
Функция Фп обладает свойствами непрерывности, выпуклости и дифференцируемое™ всюду, за исключением точек, где x¡ = 0 при некотором i = 1,..., п. Тем не менее Фп субдифференцируема всюду в Поэтому при решении задачи (6) использовались субградиентные итерационные методы в форме
где дФп(х№) — субдифференциал функции Фп, {fik\ — последовательность параметров, удовлетворяющая условиям
+оо +оо
Рк > о, Рк о, Y^Pk = +оо, YjPl <
к=0 к—О
В качестве начального приближения брался векторх^ = (0.1,...,0.1). Параметр Д выбирался по формуле Рк = 1/к. Проведённый численный эксперимент показал, что после около 103 итераций нормальное решение х восстанавливается с погрешностью, убывающей при изменении модельного параметра S в сторону уменьшения, при этом разрыв, имеющийся в нормальном решении в точке í = не заглаживается, а восстанавливается с высокой точностью.
Результаты первой главы опубликованы в работе [14].
Во второй главе диссертации исследуется итерационный метод решения линейных операторных уравнений с B-симметричным и B-положительным оператором, действующим из равномерно выпуклого гладкого банахова пространства в банахово пространство. Метод является модификацией итерационного алгоритма, предложенного в работе F. Schöpfer, Т. Schuster и А.К. Louis [10], где авторы предложили следующий итерационный процесс для решения операторного уравнения с линейным непрерывным оператором, обобщающий широко известный метод Ландвебера [9]:
Jp(xn+i) = Jp(xn) - цпА*.1у(Ахп - у), xn+i = J,q(Jp(xn+i)),
где Jp и Jtq — взаимно обратные дуальные отображения пространств X и X*. Предлагаемый в данной диссертационной работе итерационный метод для линейного уравнения с B-симметричным и В-положительным оператором имеет вид
Jp{xn+i) = Jp(xn) - iinB'(Axn - у), xn+i = J,q(Jp(xn+i))- (7)
В общем случае о существовании для заданного оператора А соответствующего оператора В на данный момент ничего не известно, поэтому область применимости этого алгоритма уже, чем соответствующего из [10]. Однако в отдельном частном случае, когда Y — гильбертово пространство, в качестве оператора В можно выбирать по меньшей мере любой оператор из семейства {7А},7 > 0. С другой стороны, сложности, связанные с построением оператора В, отчасти компенсируются тем, что такой алгоритм не требует вычисления в общем случае многозначного отображения Jy, что, во-первых, уменьшает количество вычислительных операций, во-вторых, освобождает от проблемы выбора ветви многозначного отображения. Доказана теорема о сильной сходимости итерационного алгоритма при правильном выборе на-
12
чального приближения хо (при этом всегда допустимо выбрать хо = 0) и параметров шага цп.
Теорема 2.3.1. Пусть пространство X равномерно выпукло и гладко, a Y — произвольное банахово пространство. Пусть А 6 £(X,Y) — В-симметричный и В-положительный оператор, где В 6 С(Х, Y*). Пусть у € 1Z(Á). Тогда существует такое
v . qP-i ll^ir2 , о
что при выборе xq согласно правилу
Jp(xо) £ ЩВ*А), Ар(lo, х) ^ (Др — дистанция Брэгмана)
и любом fio Е (0, Д0) итерационный алгоритм (7) с правилом выбора параметра
Air1
\\В*(Ахп-у)\\
либо останавливается на конечном шаге на нормальном решении х, либо задает последовательность итераций {хп}, сходящуюся сильно кх по норме пространства X.
При этом правило определения т„, аналогичное правилу из [10], подробно описано в статье [15] и здесь не приводится.
Проведен анализ на асимптотическую устойчивость метода при возмущениях в правой и левой частях уравнения: в условиях, когда заданы асимптотически сходящиеся приближения
Ai -> A, Bi -> В при I +оо; Ук~>У при к ->■ +оо,
доказана сильная сходимость метода
Jp{xn+l) - Jp(xn) ~ HnB[n(AlnXn - ífcj, x„+i = Jtq(Jp(xn+1)),
где {í„} и {Av»} — специальным образом выбранные подпоследовательности индексов, т.е. для обеспечения сходимости требуется прореживать последовательности операторов {Л;}, {B¡} и правых частей у к- Сходимость итерационных методов обосновывается в терминах дистанции Брэгмана [1]; это эквивалентно сходимости по норме пространства, однако, дистанция Брэгмана не является даже метрикой: из трех аксиом метрики выполнена только первая, про неотрицательность дистанции. В качестве следствия получено правило останова итераций по невязке в случае приближенно заданных данных задачи с известными уровнями погрешности (2) для итерационного процесса
Jp(x„+i) = Jp{xn) - pnB*h(Ahxn - ys). (8)
Следствие 2.4.2. Итерационный метод (8) с правилом останова итераций п* = n*(á, h) — номером, для которого впервые выполнится неравенство
\\B'h(Ahxn.-y5)\\<K(hR + 5),
где К > 0 — некоторая константа, является методом регуляризации для задачи (1) с возмущенными данными Ah, Bh, ys-
Численное моделирование проводилось, так же как и в первой главе, для уравнения (5) при р = 2.5. В качестве начального приближения выбиралось xq — 0. В качестве параметра начального шага выбиралось значение
^ Г ||А|М|В||Р-1'
где
1ИН
(д+1)г 2(р + 1)?
Далее согласно предложенному алгоритму параметр шага выбирался равным Цп = т^х^'1 /\\В*{Ахп - у)|| при п ^ 1, где тп — решение уравнения рх* (тп)/тп = А„ с монотонно возрастающей функцией в левой ча-
Рис. 1. Приближенное решение при п = 100.
/
Рис. 3. Приближенное решение при п = 500.
Рис. 2. Приближенное решение при п = 250.
/
Рис. 4. Останов итераций по невязке, п — 1306.
сти. В нашем случае при 2 < р < +оо для сопряженного пространства Ьд, 1 < q ^ 2 известна явная формула вычисления модуля гладкости пространства: р1,{тп) — (1 + тп)1^я ~ Для вычислительного эксперимента оптимальным способом выбора параметра Ап оказалось значение
\\В*(Ахп-у)\\ " ^ЫЩЩУ Отрезок [0,1] для дискретизации разбивался на 70 равных частей. Итерационный процесс (8) выполнялся до тех пор, пока не выполнилось правило останова по невязке ||В*(Ахп — у)\\ < 10_3. Количество проделанных итера-
п 100 200 500 1306
ЕаЬз 0.2138 0.0842 0.0280 0.0027
£reii % 17.2 6.78 2.26 0.22
Таблица 1. Зависимость абсолютной и относительной погрешностей от номера итерации п.
ций при этом составило 1306. Абсолютная погрешность найденного решения получилась равной 2.7 • Ю-3, а относительная - 0.22%.
На рисунках 1-4 изображены сплошной линией точное решение и пунктирными линиями приближенные решения, полученные итерационным методом (8) при п = 100,250,500 и 1306 соответственно.
В таблице 1 приведены зависимости абсолютных и относительных погрешностей приближенного решения от количества итераций. Эти данные хорошо иллюстрируют сходимость представленного итерационного метода. Дополнительно проведены расчеты с относительным возмущением в правой части около 8%. Полученные результаты оказались идентичными тем, что приведены на рисунках 1-4, подтверждая, таким образом, устойчивость итерационного алгоритма к возмущению в правой части уравнения.
Результаты второй главы опубликованы в работе [15].
В третьей главе диссертации как логическое продолжение рассматривается многошаговый итерационный метод для линейного операторного уравнения (1) с Б-симметричным и Л-положительным оператором, действующим из р-выпуклого и равномерно гладкого банахова пространства в банахово пространство. Рассмотрение аналогичного многошагового метода в общем случае линейного непрерывного оператора в работе F. Schöpfer и Т. Schuster [12] позволило заметно ускорить сходимость итераций к точному решению
уравнения. Предлагаемый здесь метод имеет вид
Jp(xn+i) = Jp(xn) - Hn,jB*A^i, xn+i = Jtq(Jp(xn+1)), (9) i=l
где Ç Tl(B*A), i = 1,..., Nn — конечный набор направлений по-
иска, который обязательно должен включать в себя по наследству от одно-шагового метода направление В*А(хп — х) = В*(Ахп — у). При этом вектор параметров шагов ¡in = (pn,i, ■ • ■, l^n,N„) определяется как вектор, минимизирующий выпуклую непрерывно-дифференцируемую функцию
hn(t) = hn(tlt ...,tNJ = - Jp{xn) - Y^UD'A^i Г + Y,ti{BUi,y)-1 >=i ¡=1
В данной главе помимо введенного ранее аппарата дистанции Брэгмана используется также по аналогии с метрической проекцией проекция Брэгмана, которая более подробно исследовалась ранее в работах [11] и др. При помощи нее рассматриваемый многошаговый итерационный метод представляется в эквивалентной форме: следующая итерация является брэгмановской проекцией предыдущей итерации на множество, представимое в виде пересечения конечного числа гиперплоскостей. Основной теоретический результат данной главы диссертации формулируется в виде теоремы.
Теорема 3.3.1. Пусть на каждом шаге итерации процесса (9) вектор В*{Ахп — у) содержится в наборе векторов направлений поиска. Тогда:
а) все слабо предельные тонки построенной итерационной последовательности {а:п} являются решениями основного уравнения (1);
б) если дуальное отображение Jp таково, что переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся последовательность, то вся последовательность итераций {х„} слабо сходится кг' - решению уравнения, являющемуся брэгмановской проекцией начального приближения xq па множество всех решений уравнения (1);
в) если для некоторого фиксированного «о € N и бесконечного числа индексов п^щ вектор хп) — включается в пространство направлений поиска, то вся последовательность итераций {хп} сильно сходится к х* по норме пространства X.
Замечание. Случай, описанный в пункте б) теоремы, выполняется, например, в пространстве £р при 1 < р < +оо; при наших общих же условиях на пространство X отображение «7Р переводит гарантированно лишь сильно сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся.
Результаты третьей главы опубликованы в работе [16].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные итоги диссертационой работы заключаются в следующем. Для линейного операторного уравнения I рода с В-симметричным и В- положительным оператором в случае, когда оператор действует из:
— равномерно выпуклого банахова пространства в банахово пространство, с возможными выпуклыми и замкнутыми ограничениями на множество возможных решений, обоснован вариационный метод регуляризации со стабилизатором в виде степени нормы пространства, и с помощью аппарата дискретного функционального анализа установлена дискретная сходимость конечномерных аппроксимаций приближенного регуляризованного решения;
— равномерно выпуклого и гладкого банахова пространства в банахово пространство, доказана сходимость итерационного метода типа Ландвебера при точных и асимптотически возмущенных данных, обоснован алгоритм выбора числа итераций по невязке в случае приближенных данных с известным уровнем погрешности, приведено описание модельного числсшюго эксперимента;
— р-выпуклого и гладкого банахова пространства в банахово простран-
ство, исследован способ ускорения сходимости рассмотренного выше итерационного метода за счет введения дополнительных направлений поиска, а именно, доказана сходимость многошагового итерационного метода к решению уравнения.
Дальнейшие исследования по теме диссертации могут включать в себя:
1) разработку критериев выбора соответствующих количества и направлений шагов поиска для достижения приемлемого ускорения сходимости многошагового итерационного метода;
2) построение регуляризованного варианта для многошагового алгоритма в случае приближенно известных данных;
3) исследование возможности применения одношагового итерационного метода в случае, когда в явном виде не известен модуль гладкости сопряженного пространства.
Автор считает своим самым приятным долгом выразить благодарность и глубокую признательность своему учителю и научному руководителю профессору В.В. Васину за идейное вдохновение, постоянное внимание к работе, полезные идеи, поддержку и участие.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Брэгман, Л.М. Релаксациошшй метод нахождения общей точки выпуклых множеств и его применение для решения задач выпуклого программирования / Л.М. Брэгман // Жури, вычисл. математики и мат. физики. —1967. — Т. 7, № 3. — С. 620-631.
2. Вайникко, Г.М. Анализ дискретизационных методов: спецкурс / Г.М. Вайдикко. — Тарту: Изд-во Тартус. ун-та, 1976. — 162 с.
3. Васин, В. В. Дискретизация, итерационно-аппроксимационные алгоритмы решения неустойчивых задач и их приложения: автореф. дис.... д-ра физ.-мат. паук: 01.01.07 / Васин Владимир Васильевич. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. — 30 с.
4. Васин, В.В. Некорректные задачи с априорной информацией / В.В. Васин, А.Л. Агеев. - Екатеринбург: УИФ Наука, 1993. — 262 с.
5. Калякип, Л. А. О приближенном решении некорректных задач в нормированных пространствах / Л.А. Калякин // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1972. - Т. 12, № 5. - С. 1168-1181.
6. Лаврентьев, М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики: монография / М.М. Лаврентьев. — Новосибирск: СО АН СССР, 1962. — 92 с.
7. Шалое, В. М. Некоторое обобщение пространства К.О. Фридрихса / В.М. Шалов // Докл. АН СССР. - 1963. - Т. 151, № 2. - С. 292-294.
8. Kaltenbacher, В. Iterative methods for nonlinear Ш-posed problems in Banach spaces: convergence and application to parameter identification problems/ B. Kaltenbacher, F. Schopfer, T. Schuster // Inverse Problems. - 2009. - Vol. 25, № 6. - ID 065003 (19 pp.).
9. Landweber, L. An iteration formula for Predholm integral equations of the first kind / L. Landweber // Am. J. Math. - 1951. - Vol. 73. - P. 615-624.
10. Schopfer, F. Nonlinear iterative methods for linear ill-posed problems in Banach spaces / F. Schopfer, A.K. Louis, T. Schuster // Inverse Probl. - 2006. - Vol. 22, № 1. -P. 311-329.
11. Schopfer, F. Metric and Bregman projections onto affine subspaces and their computation via sequential subspace optimization methods / F. Schopfer, T. Schuster, A.K. Louis // J. Inverse Ill-posed Probl. - 2008. - Vol. 16, № 5. - P. 479-506.
12. Schopfer, F. Fast regularizing sequential subspace optimization in Banach spaces / F. Schopfer, T. Schuster // Inverse Probl. — 2009. - Vol. 25, №1.-22 p.
13. Stummel, F. Diskrete Konvergenz Linear Operatoren. I; II / F. Stummel // Math. Ann. - 1970. - Vol. 190, №1. - S. 45-92.
ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах из списка ВАК:
14. Чистяков, П. А. Регуляризация операторных уравнений с В-симметричным и В-положительным оператором в банаховых пространствах / П.А. Чистяков / / Изв. вузов. Математика. - 2009. - № 10. — С. 81-87.
15. Чистяков, П.А. Итерационные методы решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах / П.А. Чистяков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2011. - Т. 17, № 3. - С. 303-318.
16. Чистяков, П.А. Многошаговый итерационный метод решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах / П.А. Чистяков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. - 2012. - Т. 18, № 1. — С. 318-328.
Другие публикации:
17. Чистяков, П.А. Регуляризация операторных уравнений с В-симметричным и В-по-ложительным оператором в равномерно выпуклых банаховых пространствах
/ П.А. Чистяков // Алгоритмич. анализ неустойч. задач: тез. докл. Международ, конф., посвящен. 100-летию со дня рождения В.К. Иванова, Екатеринбург, 1-6 сент. 2008 г. — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2008. — С. 102-104.
18. Чистяков, П.А. Итерационный метод решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах / П.А. Чистяков // Современные проблемы математики: тез. 42-й Всерос. молодеж. шк.-конф., Екатеринбург, 30 янв. - 6 фев. 2011 г. — Екатеринбург: Изд-во УМЦ УПИ, 2011. - С. 119-121.
19. Чистяков, П.А. Ускорение сходимости итерационных методов решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах / П.А. Чистяков // Алгоритмич. анализ неустойч. задач: тез. докл. Международ, конф., посвящен, памяти В.К. Иванова, Екатеринбург, 31 окт. - 5 нояб. 2011 г. — Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2011. - С. 95-96.
20. Чистяков, П.А. Многошаговый итерационный метод решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах / П.А. Чистяков // Современные проблемы математики: тез. Международ. (42-й Всерос.) молодеж. шк.-конф., Екатеринбург, 29 янв. - 5 фев. 2012 г. — Екатеринбург: Изд-во УМЦ УПИ, 2012. — С. 395-396.
Подписано в печать 15.04.2013. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,4 Тираж 70 экз. Заказ №
Отпечатано в типографии ИПЦ УрФУ 620000, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4
Учреждение Российской академии наук «Институт математики и механики им. H.H. Красовского Уральского отделения РАН»
04201 357896 На правах рукописи
Чистяков Павел Александрович
МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОЙ И ИТЕРАЦИОННОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
ДИССЕРТАЦИЯ
на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.07 — вычислительная математика
Научный руководитель : Васин Владимир Васильевич, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор
ЕКАТЕРИНБУРГ - 2013
ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения и соглашения............................................... 3
Введение .................................................................... 5
Глава 1. Регуляризация линейных операторных уравнений с
Б-симметричным и В-положительным оператором ....... 17
1.1. Постановка задачи ...................................................... 18
1.2. Метод регуляризации ................................................... 21
1.3. Дискретная аппроксимация регуляризующего алгоритма .............. 31
1.4. Численное моделирование...............................................44
Глава 2. Итерационный метод решения линейных
операторных уравнений в банаховых пространствах ..... 47
2.1. Постановка задачи ...................................................... 48
2.2. Дуальные отображения, дистанция Брэгмана .......................... 50
2.3. Сходимость итерационного процесса с точными данными .............. 57
2.4. Итерационный алгоритм с асимптотически уточняемыми
данными и принцип невязки ............................................ 66
2.5. Численное моделирование............................................... 74
Глава 3. Многошаговый итерационный метод решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах................................................... 78
3.1. Постановка задачи ...................................................... 79
3.2. Проекция Брэгмана и её свойства.......................................81
3.3. Сходимость многошагового итерационного процесса с точными данными ................................................................ 87
Список литературы.......................................................92
Обозначения и соглашения
N — множество всех натуральных чисел;
Ж — множество всех вещественных чисел;
М+ — множество всех неотрицательных вещественных чисел;
Мп — евклидово пространство n-мерных векторов и=(щ,..., ип)\
X* — сопряженное банахово пространство к линейному
нормированному пространству Х\
1р — банахово пространство последовательностей с нормой
/ +00 \ 1 /р
||z|| = II(si,.. •, ж„,.. Oil = Е Ыр , 1 < Р < +оо;
71=1 J
C[a,b] — банахово пространство непрерывных на отрезке [а, Ь]
функций с чебышевской нормой; Li[a:b] — банахово пространство интегрируемых по Лебегу функций;
Lp[a,b] — банахово пространство интегрируемых в р-ой степени по
Лебегу функций с нормой \\u\\pL = Jb \u(t)\pdt, 1 ^ р < со;
р CL
Lqo [о, 6] — банахово пространство измеримых существенно ограниченных функций с нормой
ЦггЦоо = vraimax \и\= inf < sup |w(x)| : т(Е)=0>;
Ec[a,b] L [a,b]\E J
Wp[a, b] — пространство Соболева порядка n с обощенными
производными суммируемыми с р-ой. степенью на [а, &];
(х, /) — значение функционала / на элементе х\ скалярное
произведение в гильбертовом пространстве;
С(Х, Y) — пространство всех линейных ограниченных операторов,
определенных на X со значениями в Y;
kerA — ядро линейного оператора А;
7Z(A) — область значений линейного оператора А;
ОСц У X слабая сходимость хп к х\
lim хп — нижний (наименьший частичный) предел
п—»+оо
последовательности {хп};
lim — верхний (наибольший частичный) предел
п—>+оо
последовательности {жп};
Хп ~ X — пространства Хп образуют дискретную аппроксимацию пространства X со связывающими операторами {рп}]
d
хп —> х — дискретная сходимость элементов хп к х\
dw ^
хп —> х — дискретная слабая сходимость элементов хп к х;
Ап А — дискретная сходимость операторов Ап к А; 11)
Ап —А — дискретная слабая сходимость операторов Ап к А; м
Qn —► Q — Моско-сходимость множеств Qn к Q;
df(x) — субдифференциал функции / в точке х;
Jx — дуальное отображение пространства X;
Jy — дуальное отображение с функцией роста </?;
Jp — дуальное отображение степени р ;
J*q — дуальное отображение в сопряженном к исходному
пространстве степени q;
а V Ь — максимум из вещественных чисел а и Ь;
а Ab — минимум из вещественных чисел а и 6;
öx — модуль выпуклости пространства Х\
рх — модуль гладкости пространства Х\
£±.f{x\,x2) — дистанция Брэгмана от х\ до Х2 по функционалу /;
Ар(х 1,2:2) — дистанция Брэгмана от х\ до Х2 по функционалу
Т1с{х) — проекция Брэгмана элемента х на множество С по функционалу /;
— проекция Брэгмана по функционалу fp(x) = (1/р)||а;||р;
Введение
Понятие корректности задачи математической физики было введено Ж.Адамаром [2] в начале прошлого столетия. Им было высказано мнение о том, что корректная постановка является непременным условием, которому должна удовлетворять всякая математическая модель, соответствующая физической реальности. Эта точка зрения не подвергалась сомнению в течение многих лет. Корректные модели хороши тем, что классическая вычислительная математика позволяет решать задачи традиционными методами. При этом зачастую удается ответить на вопрос о сходимости предложенного алгоритма и оценке возникающей здесь погрешности. Конечно, появляются дополнительные трудности реализации алгоритма на компьютере, учете погрешностей округления, представления данных и результатов вычислений и т.д. Но эти проблемы обычно успешно решаются, особенно если учесть, что технические возможности современных компьютеров расширяются очень быстро. Однако часто имеющаяся у исследователя информация позволяет построить лишь такую математическую модель, для которой нет теорем существования решения в естественных функциональных пространствах и, самое главное, нет устойчивости решения по входным данным задачи. Для такой модели нельзя получить регулярные вычислительные алгоритмы с помощью традиционных методов.
В 1943 году появилась работа А.Н.Тихонова [52], в которой впервые была указана практическая важность неустойчивых по входным данным (некорректно поставленных) задач и принципиальная возможность их успешного решения в условиях принадлежности точного решения компактному множеству. В середине 50-х годов и, особенно интенсивно, в начале 60-х годов прошлого столетия началось систематическое изучение некорректных задач. Образовалось новое направление, лежащее на стыке функционального анализа и вычислительной математики, которое затем оформилось в самостоятельную область науки. Ос-новопологающие подходы для теории некорректных задач связаны с именами А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова.
Несмотря на оптимизм, связанный с открытием достаточно универсальных подходов в науке к регуляризации некорректных задач, встал вопрос о регуля-ризуемости: каждая ли некорректная задача может быть регуляризована некоторым методом? Как оказалось, существуют принципиально нерегуляризуемые задачи. Как правило, нерегуляризуемость задачи вызвана свойством нерефлек-
сивности исходного пространства, в котором ищется решение ^задачи. Подробно вопросы регуляризуемости исследованы в работах Ю.И. Петунина и А.Н. Плич-ко [49], а также Л.Д. Менихеса [43-45].
Начиная с 60-х годов прошлого столетия теория некорректных задач в банаховых и даже топологических пространствах развивается параллельно с исследованиями в гильбертовых пространствах (здесь стоит упомянуть также работы В.А. Морозова [46-48]), хотя и не имеет, естественно, к настоящему времени такой степени завершенности, как в гильбертовых. Уже в первых работах В.К. Иванова и его учеников (см. [29,15] и др.) вариационные методы (методы квазирешений, невязки и Тихонова) рассматривались в нормированных Е—пространствах и более общих пространствах Ефимова-Стечкина, которые по геометрическим свойствам близки к гильбертовым. Для линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода исследование метода Тихонова в пространстве С[а,Ь] было выполнено В.К. Ивановым; им же были построены аналоги некоторых вариационных методов в топологических пространствах [25, 26, 27, 28]. В дальнейшем равномерной сходимостью регуляризованных решений для интегральных уравнений занималась Г.В. Хромова [59].
Абстрактные некорректно поставленные задачи Коши и Дирихле в банаховых пространствах и пространствах обобщенных функций были предметом исследования многих математиков (A.B. Бакушинский [3], В.К. Иванов, И.В. Мельникова [30]). Общий подход к построению регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах предложил A.B. Бакушинский [4].
Плодотворным оказалось привлечение пространства функций ограниченной вариации. Использование нормы этого пространства в качестве стабилизатора позволяет получить кусочно-равномерную сходимость приближенных решений при аппроксимации разрывных функций: A.JI. Агеев [1], И.Ф. Дорофеев [22], A.B. Гончарский и В.В. Степанов [18], A.C. Леонов [40], В.В. Васин [16], R. Асаг & C.R. Vogel [63].
В работах В.В. Васина и его учеников [17, 90, 35, 36] для вариационных методов регуляризации предложены семейства недифференцируемых стабилизаторов на основе норм пространства Липшица, которые оказались удобным аппаратом при восстановлении как непрерывных, так и разрывных решений некорректных задач.
Большой цикл исследований для операторных уравнений и вариационных
неравенств в банаховых пространствах с операторами монотонного типа, посвященный методам регуляризации и итерационным процессам был выполнен в работах Я.И. Альбера и И.П. Рязанцевой (их результаты подытожены в монографиях [66, 51]). Эти исследования в основном были направлены на получение наиболее общих (с точки зрения условий на операторы и пространства) теорем существования и сходимости приближенных решений.
В последнее десятилетие в области некорректно поставленных задач появились публикации, посвященные прикладным задачам, в которых привлекаются нормированные (негильбертовы) пространства, что позволяет более адекватно описать постановку задачи и получить более качественное решение [84, 86, 87, 85 и др.]. В частности, весьма востребованными оказались пространства Лебега и Соболева (lp, Lp, W™).
Обобщение ставших классическими методов регуляризации привело к появлению регуляризирующих функционалов общего вида, обладающих лишь свойствами выпуклости и слабой полунепрерывности снизу [84]. Попутно в качестве математического аппарата для обоснования сходимости методов в современных исследованиях, получения оценок для скорости сходимости и погрешностей естественным образом появилась и активно используется соответствующая ре-гуляризующему функционалу дистанция Брэгмана. Тем самым, относительно давняя работа [8] получила второе рождение. Примечательно, что дистанция Брэгмана не является даже метрикой, из всех свойств метрики она обладает только свойством неотрицательности, и тем не менее, этого оказывается достаточным для обоснования сходимости многих методов решения обратных и некорректных задач.
Исследованиям скорости сходимости метода Тихонова для нелинейных задач в банаховых пространствах посвящены статьи Т. Hein [76] и А. Neubauer [83]. Еще один нетривиальный способ обобщения квадратичной тихоновской оптимизации, использующий интерполяцию банаховых пространств, предложен в работе F.B. Belgacem [67].
Альтернативой вариационным методам регуляризации Тихонова, Иванова являются итерационные методы типа Ландвебера [79], простой итерации, наискорейшего спуска, сопряженных градиентов и др. В последние несколько лет появились исследования, обобщающие такие итерационные процессы на случай банаховых пространств. Здесь прежде всего стоит отметить работы F. Schöpfer,
T. Schuster, A.К. Louis и В. Kaltenbacher [85, 86, 87, 77], а также К.S. Kazimierski [78], в которых рассматриваются методы решения линейных операторных уравнений с непрерывным оператором. Интересный подход к построению схожих итерационных методов только уже для монотонных (максимально монотонных, равномерно монотонных), причем многозначных операторов, предложен в монографиях Я.И. Альбера и И.П. Рязанцевой [66, 51]. Характерной особенностью всех этих методов является то, что итерирование производится в сопряженном пространстве к основному банахову пространству. Переход между основным и сопряженным пространством осуществляется с помощью дуальных отображений. Очень подробно дуальные отображения и геометрические свойства банаховых пространств изложены в монографии I. Cioranescu [70]. Одношаговый метод, обобщающий метод Ландвебера, наследует медленную, как правило, скорость сходимости к точному решению. Поэтому для ускорения сходимости рассматриваются многошаговые итерационные методы. Такие методы требуют для своего обоснования еще более тонкой математической техники, основанной на проекциях Брэгмана, которые определяются аналогично метрическим проекциям для дистанции Брэгмана.
В данной диссертационной работе изучаются линейные некорректные задачи — операторные уравнения первого рода с 5-симметричным и В-положительным оператором — в банаховых пространствах и методы их решения путем регуляризации. Операторы, удовлетворяющие условиям В-симметричности и 5-положительности или схожим к ним, изучались ранее в той или иной трактовке в работах К.О. Фридрихса [72, 73], М.Ш. Бирмана [7], В.М. Шалова [61, 62], JI.A. Калякина [33] и других авторов. В целом такой подход позволяет обобщить традиционый метод (когда в качестве оператора В используется сам исходный оператор задачи) построения эквивалентной задачи в самосопряженной и положительно полуопределенной форме, которая обладает рядом замечательных свойств, открывающих дорогу к хорошо исследованным методам решения. Преимуществом рассмотрения вспомогательного оператора В, кроме присущей естественной теоретической значимости, может быть то, что для некоторых операторов сложной структуры удастся подобрать оператор В более простого вида, что упростит вычисления и анализ алгоритмов решения. Несмотря на то, что имеются отдельные примеры построения таких нетривиальных (т.е. отличных от исходного и от нулевого) операторов, которые будут
приведены ниже в данной диссертации, в общем случае вопрос о возможности детерминированным способом построить оператор В остается открытым.
Диссертационная работа содержит список обозначений, введение, три главы и список литературы. В работе принята тройная нумерация формул, определений и утверждений: первая цифра обозначает номер главы, вторая — номер параграфа, третья — номер объекта в данном параграфе.
Перейдем к краткому описанию содержания диссертации по главам.
В первой главе исследуется линейное операторное уравнение I рода Ах = у для В-симметричного и В-положительного оператора А с возможными ограничениями на множество решений в виде выпуклого и замкнутого множества ф. Разумеется, общий случай без ограничений охватывается здесь при
= X. Наличие по крайней мере одного классического решения уравнения априори предполагается, ситуация, когда ищется псевдорешение в отсутствие классических решений, наоборот не рассматривается, хотя и представляет интерес. Оператор А предполагается действующим из равномерно выпуклого банахова пространства X в произвольное банахово пространство У. Начало главы посвящено подробному определению понятий В-симметричности и В-положительности, а также описанию операторов, обладающих этими свойствами. Так вводятся три градации для понятия Б-положительности: минимальная — Б-неотрицательность, ^-положительность в нестрогом смысле и строгая В-положительность. Если У — гильбертово пространство, то при В = А понятия В-положительности и ^-неотрицательности совпадают, и каждый оператор А является А-симметричным и А-положительным. Показано, что именно свойство ^-положительности является необходимым и достаточным условием для 5-симметричного и ^-неотрицательного оператора, чтобы исходное уравнение Ах = у и симметризованное В*Ах = В*у были эквивалентны. Кроме того, приводится необходимое и достаточное условие на операторы А и В, чтобы Б-симметричный и ^-неотрицательный оператор стал ^-положительным. Рассмотрена ситуация, когда уравнение задано с известной верхней оценкой уровня погрешности данных: вместо точных А, В и у известны приближенные Аь, Вь и 2/(5, такие что
Ил - Л|| ^ Сф, \\ВН - В\\ ^ С2И, \\у6 - у\\ ^ 6. Исходное уравнение с выпуклыми замкнутыми ограничениями х Е (в пред-
положении существования решения из множества Q) сводится к эквивалентной вариационной задаче
min{(AE, Вх) - 2{у, Вх)},
xeQ
для которой метод регуляризации строится по аналогии с методом А.Н. Тихонова за счет добавления в аппроксимирующий функционал стабилизатора в виде квадрата нормы:
min{(Ahx, Bhx) - 2(уs, Bhx) + a\\x - x°\\2}.
xeQ
Доказывается, что при выборе параметра регуляризации а в зависимости от уровней погрешности h и ö таким образом, чтобы
а(с5, h) —► 0, —> 0, при (<5, h) (0, 0),
а(д, п)
решения вариационной задачи х(6, h) образуют регуляризованное семейство решений исходного операторного уравнения. При этом сама вариационная задача эквивалентна при Q = X операторному уравнен�
