Симметричные пространства, экстраполяционные относительно Lp-шкалы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Лыков Константин Владимирович

СИММЕТРИЧНЫЕ ПРОСТРАНСТВА,

ЭКСТРАПОЛЯЦИОННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО Ьр- ШКАЛЫ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2006

Работа выполнена в Самарском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Асташкин Сергей Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Лукомский Сергей Федорович

доктор физико-математических наук, профессор

Овчинников Владимир Иванович

Ведущая организация:

Казанский государственный университет

Защита состоится " декабря 2006г. в " ч. " мин. на засе-

дании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2006г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 212.038.05 доктор физико-математических наук, доцент .В.В.Смагин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Симметричные пространства появились в работах по интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу в конце 60-х годов1. В настоящий момент теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа и служит мощным методом исследования конкретных пространств. Настоящая диссертационная работа посвящена двум вопросам: теории экстраполяции и дополняемости подпространств в симметричных пространствах.

Хорошо известно, что многие важные операторы анализа, такие, например, как максимальный оператор Харди-Литтльвуда, сингулярный оператор Гильберта, оператор перехода к сопряженной функции в гармоническом анализе, ограниченно действуют в Lp-пространствах при 1 < р < оо, но не ограничены на "концах" этой шкалы — в пространствах Loo и Li (или хотя бы в одном из них). Это обстоятельство стало одной из причин возникновения экстраполяционных утверждений, первым из которых, видимо, стала классическая теорема Яно 2.

Теорема (Яно). Пусть Т — линейный оператор, определенный на некотором подмножестве 1а [0,1].

1) Если Т действует в пространствах Lp[0,1] при р 6 (1,Ро] и

||T||Lp^p — О ((р— 1)-а) при р —*■ 1 и некотором а > 0,

то Т можно доопределить до оператора на пространстве Лоренца L(log L)a, действующего ограниченно в L\:

i

\\Tx\\Ll<C\\x\\LOogL)a) где ||x||i(logi)a := Jln°(e/t)z*(í)dí,

о

x*(t) — невозрастающая перестановка функции |x(í)|.

2) Если Т действует в пространствах Lp[0,1] при р £ [ро>оо) и

||T|¡Lp^£p = 0(ра) при р—+оои некотором а > 0, то Т действует из Loo в пространство Орлича Ехр Ь1!а:

IITSIIbxpLV* < C|M|ioo, где := ¿up ln-Q(e/t)^(í).

»Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М.Семенов. М.: Наука, 1978. 400 с.

»Yano, S. Ал extrapolation theorem / S.Yano // J. Math. Soc. Japan. 1951. V. 3, No. 2. P. 296-305.

В конце 80-х — начале 90-х годов прошлого века началась разработка общих подходов теории экстраполяции, связанная прежде всего с именами Яверса и Мильмана 3>4. В частности, используя введение ими функторы пересечения А и суммы Е они получили экстраполяционное описание пространств, фигурирующих в теореме Яно:

Аро<Р<оо (р~аЬр) = Ехр Ь1'* и Ъ1<Р<Р0 ((р - 1)~аЬр) = Ц\оё1)а.

Рассмотрим подробнее функтор пересечения Д. Если {Ад} в ее — семейство банаховых пространств, непрерывно вложенных в одно и тоже банахово пространство Л, то

Д*ее (ле) = € Л : ||а||д = вир ||а||Лв < оо|,

т.е.

NIa = IINUIL. (1)

где Loo — пространство ограниченных функций на ©. Согласно описанию Мильмана и Яверса

MI,

IWIexpL*/« =

откуда, с учетом простого соотношения

мы сразу получаем вторую часть теоремы Яно. В работе 5 подробно рассмотрены функторы А^ и

, являющиеся обобщением функторов А и Е. Авторы рассматривают совместимую пару квазибанаховых пространств (Ло,^!) и шкалу пространств Ав,г вещественного метода интерполяции с фиксированным г. Норма в Л^ определяется следующим образом:

Н/Ид<

< / [м(0)||/1и,Р]г йв I ,

3Jawerth, B. Extrapolation Spaces with applications / B.Jawerth, M.Milman // Mem. of the Amer. Math. Soc. 1991. V. 89, No. 440. 82 pp.

«Jawerth, B. New Results and Applications of Extrapolation Theory / B.Jawerth, M.Milman // Interpolation spaces and related topics, Haifa, 1990. Israel Math: Conference Proc., 5. 1992. P. 81-105.

»Karadzhov, G. Extrapolation theory: New results and applications / G.Kaiadzhov, M.Milman // J. Approx. Theory. 2005. V. 133, No. 1. P. 38-99.

где M (в) — положительная непрерывная функция, параметр функтора Д(г). В частном случае г = оо получаем функтор А. В той же работе рассмотрены различные приложения описанных конструкций, в частности, позволяющие получать экстраполяционные утверждения типа теоремы Яно. Еще больше возможностей для этого возникает, если в (1) заменить Lпроизвольным банаховым пространством F. В настоящей диссертационной работе пространства, для которых возможно аналогичное описание нормы с некоторым параметром F, называются экстраполяционными.

Экстраполяционное описание пространств имеет многочисленные приложения в теории ортогональных рядов, анализе Фурье, теории вероятностей и теории дифференциальных уравнений. В связи с приложениями особенно актуальной является экстраполяция в £р-шкалах. В настоящей диссертационной работе исследуется возможность экстралоляционного описания симметричных пространств именно с помощью Х/р-шкалы, в отличие от классических работ Мильмана и Яверса, в которых преимущественно рассматривались интерполяционные шкалы типа Ьрл с фиксированным д.

Еще один вопрос, рассмотренный в диссертации — вопрос о дополняемости подпространств симметричного пространства, порожденных дизъюнктными сжатиями и трансляциями а^ = ak(t) =a(2kt — 1) одной функции а = a(t).

В работах6'7 рассмотрен случай симметричного пространства Е = Е[0, оо) на полуоси [0, оо), где изучалась дополняемость подространства Qa, порожденного дизъюнктными сдвигами функции a G 1). Пространство Е там названо "nice space" (Е G ЛГ), если любое подпространство вида Qa дополняемо. В указанных работах даны необходимые и достаточные условия для • принадлежности пространства классу Л/", а также выделены такие пространства среди пространств Орлича, Марцинкевича, Лоренца. Там же предложена характеризация пространств Lp в классе всех симметричных пространств: доказано, что перестановочно инвариантное пространство Е совпадает с пространством Lp (0 < р < оо) тогда и только тогда, когда оба пространства Е и ассоциированное к нему Е' принадлежат классу Л/".

Аналогичные вопросы для пространства Е на отрезке [0,1] рассматрива-

«Hernandez, F.L. Subspaces generated by translations in rearrangement invariant spaces / F.L.Hernandez, E.M.Semenov // J. Finie. Anal. 1999. V. 169, No. 1. P. 52-80.

7Hernandez, F.L. A characterization of Lp among rearrangement invariant function spaces / F.L.Hernandez, E.M.Semenov // Positivity. 2000. V. 4, No. . P. 253-258.

лись в работе8. Именно, для произвольного а е Е и двоичных интервалов

- ik~l к'

, fc = l,2,...,2n, « = 0,1,2,...,

рассмотрим функции, полученные сжатием и трансляциями функции а

и\ S а(2" <4k(t) = | о

t — k + 1) , если t G А„,ь , иначе.

Пространства С}а,п — Брап{аП]д;}^1 конечномерны и, следовательно, дополняемы. В указанной работе вводится множество Nо(Е), состоящее из всех функций а € Е, для которых подпространства (да,п равномерно дополняемы в Е (т.е. нормы соответствующих проекторов ограничены одной и той же постоянной). Там же рассмотрены свойства пространства мультипликаторов М(Е), состоящего из всех измеримых функций х = гг(£), для которых произведение х(£)у(з) принадлежит Е([0,1] х [0,1]) для всех у € Е. Доказано, что для сепарабельного пространства имеет место равенство Щ(Е) = М(Е), приведена характеризация пространств Ьр[0,1], аналогичная характеризации 1/р[0,оо) в6,7.

В диссертации изучается вопрос о дополняемости в симметричном пространстве Е на отрезке [0,1] подпространства С2а — Брап{а^}^11, порожденного функциями

_ / а(24 - 1) , если * е Ак = (2~к, 2~*+1], 0 , иначе.

ak(t) = {

Цель работы.

- Обобщить понятие экстралоляционного пространства.

- Исследовать общие свойства экстраполяционных пространств.

- Найти необходимые и достаточные условия экстраполяционности пространств Орлича, Марцинкевича и Лоренца.

- Применить введенные экстраполяционные конструкции к исследованию вопроса сходимости ортогональных рядов.

- Исследовать задачу о дополняемости подпростанств симметричного пространства, порожденных сжатиями и трансляциями одной функции.

Методика исследований. Используются методы теории функций

»Astashkin, S.V. Multiplicator Space and Complemented Subspaces of rearrangement invariant space / S.V.Astashldn, L.Maligranda and E.M.Semenov // Journal of Functional Analysis. 2003. V. 202. P. 247-276.

действительного переменного и функционального анализа. Применяются также методы теории симметричных пространств и теории интерполяции линейных операторов.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами. Основные результаты работы:

1) Введено понятие экстраполяционного симметричного пространства с произвольным параметром, изучены общие свойства таких пространств.

2) Найдено экстраполяционное описание пространств Орлича, Марцинкеви-ча и Лоренца, "близких" к L^.

3) Введено понятие сильно экстраполяционного пространства, позволяющее описать с помощью Lp-норм широкий класс пространств, лежащих за пределами 1/р-шкалы.

4) Доказаны теоремы о сходимости ортогональных рядов в экстраполяцион-ных пространствах.

5) Получены новые результаты о дополняемости подпространств симметричных пространств, рассмотрена связь с пространством мультипликаторов.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований в рамках теории симметричных пространств, теории интерполяции линейных операторов, гармоническом анализе, теории вероятностей. Они могут быть использованы в процессе подготовки спецкурсов и семинаров для университетов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации прошли апро-6á4Hio на семинарах по функциональному анализу и теории функций Самарского государственного университета (руководитель - проф. С.В. Асташкин, 2001-2006 г.г.), на международной Казанской летней школе-конференции (г. Казань, 2005 г.), на молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения" (г. Казань, 2005 г.), на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (г. Воронеж, 2006 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7] и являются новыми. Из совместных работ [1], [3], [7] в диссертацию вошли только принадлежащие автору результаты.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 8 параграфов и списка литературы (45 наименований). Общий

объем диссертации — 107 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

Вторая глава посвящена экстраполяции в шкале Lp-пространств при р —> оо.

В первом параграфе второй главы введено определение экстраполяцион-ного пространства £р относительно шкалы Lp-пространств на отрезке [0,1] и изложены общие свойства таких пространств. Норма функции х = x(t) в £р определяется следующим образом:

мьНМЛи

где внешняя норма справа берется от функции £ = £(р) = ||;с||р в банаховом идеальном пространстве F функций на полуоси [1, оо). В этом параграфе получена характеризация всех сепарабельных экстраполяционных пространств в терминах свойств параметра F, а также аналогичная характеризация всех максимальных экстраполяционных пространств. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1.11. Экстраполяционное пространство Е сепарабелъно тогда и только тогда, когда

E = Cf,

для некоторого F, удовлетворяющего условию

feF jtL

Теорема 2.1.17. Экстраполяционное пространство Е максимально тогда и только тогда, когда

Е — CF

для некоторого F, удовлетворяющего условию

/ • X[i,n] е F и sup ||/ • < оо / € F.

n

Параграф 2.2 посвящен экстраполяционному описанию пространств Орли-ча и Марцинкевича. В качестве параметров экстраполяции здесь естественно

рассматривать F = Ь^ш), где и — вес, определяемый характеристиками описываемых пространств.

Теорема 2.2.4. Пусть М(<р) — пространство Марцинкевина с фундаментальной функцией (р = М°((р) — его сепарабельная -часть. Следующие условия эквивалентны:

1) М((р) экстраполяционно;

2) М(ф) = Сцч>, где Н* = Ь^М;1);

3) М°((р) экстраполяционно;

4) М°(<р) = С-н$> Яд — подпространство Н? функций /(р), для которых /(р)/1|1/^Нр 0 при.р -* оо;

5) выполнено условие

^(t^Csup-^, 0 < í < 1,

р>i W\\p

где ^(t) = t/(p(t); 6) выполнено условие

tVp

^(í)<Csup_—_ 0 < í < 1.

р> 1 P/VIIp

В некоторых случаях (но не всегда) в качестве параметра можно взять пространство вида F9 — Loo(ip(2~p)). Доказан критерий возможности такого описания. Будем говорить, что tp € А2, если для некоторого а > О

ip{t) < acp(t2), 0 < t < 1.

Теорема 2.2.9. Следующие условия эквивалентны:

1)Ч>£ А2;

2) v(2-p) х \\1/у\\-1 \р> 1); 8)M(<p) = Cf¥;

4) М(<р) = Си> где U = Uv>(2-n)).

Хорошо известно, что пространства Орлича и Марцинкевича, лежащие достаточно "близко" к Loo совпадают. Поэтому приведенные результаты для пространств Марцинкевича позволяют частично решить аналогичную задачу для пространств Орлича. Следующая теорема дает еще один вариант решения проблемы экстраполяционного описания таких пространств. Теорема 2.2.24. Пусть

М(и) = е"(ь(и)), и > 1,

с некоторой выпуклой функцией N(t), удовлетворяющей условию

lim ^^ = сю.

t-ЮО t

Если пространство Орлича Ьм есть одновременно пространство Марцин-кевича, то

Lm = AlooHJ

где

oj = ы(р) = е"^, N*(p) = sup{pí - N(t)}.

t

Теорема 2.2.24 обобщает результаты работ 9,1°.

В параграфе 2.2 приведены также различные примеры, в том числе пример не экстраполяционного пространства Марцинкевича, для которого Lp э М((р) для всех р < оо.

Параграф 2.3 посвящен пространствам Лоренца Лг(<р). В связи с изучением вопроса сходимости ортогональных рядов в симметричных пространствах, "близких" к Loo, С.Ф.Лукомский доказал следующее утверждение11: если существует 7 > 0 такое, что для почти всех t G [0,1] выполнено неравенство

4>'{t)< 7V(t2), . (2)

то имеет место соотношение

N i

(3)

n=l

В параграфе 2.3 найдены необходимые и достаточные условия, при которых справедливо (3), а также приведен пример функции (р, для которой не выполнено (2), но, тем не менее, имеет место (3).

Обозначим через дТ пространство Zr(2_7i/'V(2~n)1'/V). Его функциональным аналогом будет пространство Gr = Lr(2~p/r<p'(2~p)1/r) функций, определенных на [1,оо). Основным результатом параграфа 2.3 является следующая теорема.

»Edmunds, D. Е. On decomposition in exponential Orlicz spaces / D.E.Edmunds, M.Krbec // Math. Nachr. 2000. V. 213. P. 77-88.

"Neves, J. On decompositions in generalized Lorentz-Zygmund spaces / J.Neves // Boll. Unione Mat. Ital Sez. В Artie. Ric. Mat. (8). 2001. V. 4, No. 1. P. 239-267.

»Lukomskii, S.F. Convergence of Fourier series in Lorentz spaces / S.F.Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V. 9, No. 2. P. 229-238.

Теорема 2.3.1. Для каждого г 6 [1,оо) следующие условия эквивалентны:

1)<ре Д2;

2) = £аТ;

3) К{ф) = £дт.

Заметим, что условие <р € Д2 возникает как при экстраполяционном описании пространств Марцинкевича, так и Лоренца (см. теоремы 2.2.9 и 2.3.1). В связи с этим в параграфе 2.4 введено понятие сильно экстраполяционного пространства. Для таких пространств функции

X = x{t) И Il= Xi(t) = |M|Wí

имеют эквивалентные нормы. Сильно экстраполяционные пространства всегда экстраполяционны, причем норма в параметре экстраполяции F естественным образом определяется через норму самого пространства. Кроме того, для соответствующего параметра F справедливо:

В параграфе 2.4 показано, что Д2-условию удовлетворяют фундаментальные функции всех сильно экстраполяционных пространств. Доказана теорема, устанавливающая сильную экстраполяционность пространств, которые можно получить с помощью if-метода интерполяции в парах (Л(у?), M(ip)) и (Loo,M(v?)), если (р € Д2.

Теорема 2.4.6. Пусть функция ip(t) удовлетворяет А2-условию, F — произвольный параметр вещественного метода интерполяции. Тогда пространства

(ЛM,M(<¿))£ и (Loo.MH)?.

сильно экстраполяционны.

Теорема 2.4.6 обобщает некоторые результаты работы12, где рассматривались пространства Орлича Ьф, построенные по функциям Орлича M вида М(и) = ехр(Ф(и)) с выпуклой Ф, и пространства (Хоо,Хф)^. Конструкция сильно экстраполяционного пространства также обобщает результаты работ9,10.

"Асташкин, C.B. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным методом интерполяции / С.В.Асташкин // Сиб. матем. ж. 2005. Т. 46. № 2. С. 264-289.

В параграфе 2.5 рассмотрены приложения экстраполяционного описания симметричных пространств к вопросу сходимости ортогональных рядов. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.5.1. Пусть Е = а система {гсл}^! — минимальна и полна в Е. Тогда, если для всех х Е Е и натуральных N n

^х*(х)хп

п= 1

< 7(р) • \\х\\р при р > ро, где {х*} — система, сопряженная к {хп}, то для любого х G Е ряд

оо п—1

сходится к х в пространстве Е\ = £р(i/7).

Теорема 2.5.2. Пусть пространство Е сильно зкстраполяционно. Тогда, в условиях теоремы 2.5.1, для любого х 6 Е ряд

оо п=1

сходится к х в пространстве Ек с нормой

= IIх • «Ня.

где

t

= x*(s)ds, K(t) = l/7(ln e/t).

Известно, что тригонометрическая система и система Уолша не являются базисами в пространствах, расположенных "слишком близко" к В то же время в работах11'13 С.Ф.Лукомский доказал, что ряды по тригонометрической системе и системе Уолша, рассматриваемые в пространствах Лоренца подобного типа, сходятся относительно нормы несколько более широкого пространства. Там же доказаны теоремы о точности этого пространства. В диссертации изучаются аналогичные вопросы для сепарабельной части M°(ip) пространства Марцинкевича. Из теоремы 2.5.2 вытекает следующее утверждение.

«Лукомский, С.Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к Loo / С.Ф.Лукомский // Матем. заметки. 2001. Т. 70, No. 6. С. 882-889.

Следствие 2.5.4. Пусть <р е А2, ^ ортонормированная система

и для всех х £ М°((р) и натуральных N

n

У^Сп(х)фп

п=1

< Ср\\х\\р прир>ро,

где Сп(х) — коэффициенты Фурье функции х. Если система {*0п} полна в М°((р), то для любого х € М°{(р) ряд

оо

^СпЮ'Фп

71=1

сходится к х в пространстве М°{(р{), где <р\(£)

. Условию следствия удовлетворяют, в частности, тригонометрическая система и система Уолша.

Третья глава посвящена изучению дополняемости в симметричном пространстве Е на отрезке [0,1] подпространства = Брап-^а/с}^, порожденного функциями

= Г а{2Н - 1) , если * € Ак = (2"*, 2"*+1],

, иначе.

Выявлена связь со структурой пространства мультипликаторов М(Е). Изучению последнего посвящен параграф 3.1, в частности, доказана следующая характеризация М(Е).

Теорема 3.1.3. Пусть Е — произвольное симметричное пространство На [0,1]. Тогда у 6 М(Е) тогда и только тогда, когда существует константа С > 0 такая, что для произвольного набора действительных чисел а = справедливо неравенство:

¿=1

< С

1=1

где хд< — характеристическая функция множества а

_ Г у(2Ч - 1) , если г € Д¿, \ 0 » иначе.

Пусть

V(X) = {xGX: i = }, а е V(E), f Е V(E')

i /

f(t)a(t) dt = 1.

Введем в рассмотрение оператор

(5)

где

лю =

Г /(2fc£ - 1) , если t е Ак, \ 0 , иначе.

Через Ni(E) будем обозначать множество таких а € V{E), для которых существует функция / 6 V(E') такая, что оператор Paj ограничен. В параграфе 3.2 доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.2.8. Если Е — симметричное пространство, интерполяционное между Li и Loo, то V(M(E)) = Ni(E).

Теорема 3.2.12. Если Е — симметричное пространство на [0,1], сепа-рабельное или со свойством Фату, то следующие условия эквивалентны: 1) Существует С > 0 такое, что

J] °kXAk k=l

k=1

< С

ckXA*

k=i

для произвольного a G V(E) с ||a||^ = 1 u всех наборов {c*}^!, с* € R;

Длл произвольных a € V(-E) и f Ç. VÇE1), удовлетворяющих (4), оператор Paj, определенный в (5), ограничен;

3) Е — Lp для некоторого р € [1, оо].

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору C.B. Асташкину за постановку задачи и поддержку в работе над диссертацией.

Публикации по теме диссертации

[1] Лыков, К.В. Экстраполяционное описание некоторых симметричных пространств / С.В.Асташкин, К.В.Лыков // Тр. матем. центра им. Н.И.Ло-

бачевского. Материалы VII международной Казанской летней научн. школы-конференции. Казань. 2005. С. 12-13.

[2] Лыков, К.В. Экстраполяционное описание пространств Марцинкевича и сходимость ортогональных рядов / К.В.Лыков // Тр. матем. центра им. Н.И.Лобачевского. Материалы IV молод, научн. школы-конференции "Лобачевские чтения". Казань. 2005. С. 93-95.

[3] Лыков, К.В. О некоторых новых соотношениях между нормами в классе симметричных пространств / С.В.Асташкин, К.В.Лыков // Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна — 2006. Тезисы докладов. Воронеж. 2006. С. 13.

[4] Лыков, К.В. Экстраполяция в шкале Lp-пространств и сходимость ортогональных рядов в пространствах Марцинкевича / К.В.Лыков // Вестник СамГУ. 2006. № 2 (42). С. 28^3.

[5] Лыков, К.В. Критерий сепарабельности экстраполяционного пространства / К.В.Лыков // Вестник СамГУ. 2006. № 4 (44). С. 5-12.

[6] Лыков, К.В. О дополняемости подпространств симметричного пространства, порожденных сжатиями и трансляциями / К.В.Лыков // Вестник СамГУ. 2006. № 6/1 (46).

[7] Лыков, К.В. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича, близких к Loo / С.В.Асташкин, К.В.Лыков // Сиб. матем. ж. 2006. Т. 47. № 5. С. 974-992.

Введение

1 Основные обозначения и предварительные сведения

2 Экстраполяционные пространства

2.1 Определение и общие свойства экстраноляционных проса ранств

2.2 Экстраполяционное описание пространств Марцинкевича и Орлича

2 3 Экстраполяционное описание иространс1в Лоренца

2.4 Сильно экстраполяционные пространства

Симметричные пространства появились в ¡заботах по интерполяции линеи-ных операторов и гармоническому анализу в конце 60-х годов [11, 37] В настоящий момент теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа и служит мощным методом исследования конкретных пространств Настоящая диссертационная работа посвящена двум вопросам, теории эксхраполяции и дополняемости подпространств в симметричных пространст вах

В первой главе собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

Вторая глава посвящена экстраполяции в шкале £р-пространс1в при р —> оо.

Хорошо известно, что многие важные операторы анализа, такие, например, как максимальный оператор Харди-Литтльвуда, сингулярный оператор Гильберта, оператор перехода к сопряженной функции в гармоническом анализе, ограниченно действуют в ¿^-пространствах при 1 < р < со, но не ограничены на "концах" этой шкалы — в пространствах Ь^ и (или хотя бы в одном из них). Это обстоятельство стало одной из причин возникновения экстраполяционных утверждений, первым из которых, видимо, стала классическая теорема Яно (см [45] или [25, гл. 12, теорема 4.41]).

Теорема (Яно). Пусть Т — линейный оператор, определенный на некотором подмножестве Li[0,1].

1) Если Т действует в пространствах Ьр[0,1] при р € (1,ро| и

T\\r^Lp = О ({р~ 1)~п) при р —1 w некотором а > О, то Т можно доопределить до оператора на пространстве Лоренца L(log L)a, действующего ограниченно в L\: 1

Tx\\Ll<C\\x\\L()ogL)ai где ML(logL)n := J Ina(e/t)x'(t)dt, о x*(t) — невозрастающая перестановка функции

2) Если Т действует в пространстваг Ьр[0,1] при р £ [р0, оо) и

T\\LpLp = 0(ра) при р —► со и некотором а > О, тоТ действует из в пространство Орлича Exp Ll/a: ll^llcxpL»/- ^^IWIl«,. где IMIexPl>/° := SUP ln~a{e/t)x*{t). y 1 0<t<l

В конце 80-х — начале 90-х годов прошлого века началась разработка общих подходов теории экстраполяции, связанная прежде всего с именами Яверса и Мильмана [34, 35, 39, 40). В частности, используя введеные ими функчоры пересечения А и суммы Е они получили эксграполяционное описание пространств, фигурирующих в теореме Яно (см., например, [39, с. 22-23]).

АРо<Р<оо (p~aLp) = Exp Lx'a и S1<P<P0 ((р - 1 )-°Lp) = L(\ogLf.

Рассмотрим подробнее функтор пересечения А. Если {Ля}^-) — семейство банаховых пространств, непрерывно вложенных в одно и тоже банахово прос гранство Л, 'I о

Аеев (Ад) = { а € А : ||а||д = вир ||а||л <оо\,

I вев ) т.е.

1) где Ьос — пространство ограниченных функций на 0. Согласно описанию Мильмана и Яверса

VI х

Ехр 1Ма ра откуда, с учетом простого соо! ношения

1*1110. = а:

1х(ро,00) мы сразу получаем вторую часть теоремы Яно.

В работе [36] подробно рассмотрены функторы и £(г\ являющиеся обобщением функторов А и Е, Авторы рассматривают совместимую пару квази-банаховых пространств (Ао, Л1) и шкалу пространств Ад,г вещественного метода интерполяции с фиксированным г. Норма в

ДМ оиределяеп'я следующим образом:

1/г

11/11д(.

М(0)Лйг) [щтяА0г в где М{9) — положительная непрерывная функция, парамеф функтора ДМ В частном случае г = оо получаем функтор Д. В [36] рассмотрены также различные приложения описанных конструкций, в частности, позволяющие получать экстраполяционные утверждения типа теоремы Яно

Еще больше возможностей для этого возникает, если в (1) заменить Ьх произвольным банаховым пространством F.

В первом параграфе второй главы введено определение экпраполяци-онного пространства С г относительно шкалы ¿^-пространств на отрезке [0,1] и изложены общие свойства таких пространств Норма в Ср определяется следующим образом:

Заметим, что пространства Lp совпадают с пространствами (Li, Loch-i/p.p вещественнного метода интерполяции, те., в отличие от [36], меняются оба интерполяционных параметра В случае, когда параметр экстраполяции F есть проаранство Lж с весом, экстраполяционные простражчва изучались Островским Е.И. в работах [42, 44], где такие пространства названы момешными (moment spaces). Там же рассмотрены приложения к рядам и преобразованию Фурье, сингулярным интегральным операторам и теории мартингалов В связи с этими приложениями в [44] приведена ха-рактеризация сепарабельной части моментного пространства. В настоящей работе получена характеризация всех сепарабельных экстраполяционных пространств в терминах свойств параметра F, а также аналогичная характеризация всех максимальных экстраполяционных пространств Доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.1.11. Экстраполяционное пространство Е сепарабельио тогда и только тогда, когда

E = Cf, для некоторого F, удовлетворяющего условию feF * i™^'^!!^0-5

Теорема 2.1.17. Экстраполяционное пространство Е максимально тогда и только тогда, когда

Е = СР для некоторого F, удовлетворяющего условию • Х[1,м) зир ||/ • Х[1,лг]||г < оо / е Р. n

Параграф 2.2 посвящен экетраполяционному описанию проем ранств Ор-лича и Марцинкевича. В качестве параметров экстраполяции здесь естественно рассматривать Р = Ь^и), где и) — вес, определяемый характеристиками описываемых пространств.

Теорема 2.2.4. Пусть М(ф) — пространство Марцинкевича с фундаментальной функцией (р = (р(1), — его сепарабельная часть Следующие условия эквивалентны•

1) М(ф) экстраполяционно;

2) М(<р) = Сн„ где № = Ь^Ш];1);

3) М0(ф) экстраполяционно;

4) М°((р) = Сщ, где Щ — подпространство Н^ функций /{р), для которых ¡{р)/\\1/ч>\\р -* 0 при р -> оо;

5) выполнено условие ч>(Ь)<Свиртг^й-, ф(1) = 1/ф), О С £ < 1; р> 1 уь

6) выполнено условие

1 /Р ф)< Сзир 11ШГ> 0 < £ < 1. р> 1 р/а

В нско горых случаях (но не всегда) в качес гве параметра можно взя i ь пространпво вида Fv = Loc{íp{2~v)). Доказан критерий возможное in такого описания. Будем говорить, что íp £ А2, если для некоторого а > О

0 < c^(í2), 0 < t < 1. Теорема 2.2.9. Пусть ip(t) £ Т. Следующие условия эквивалентны•

1)ч> € А2;

2)<р(2-р)~\ШГР1 (р> 1);

ММ = M(<¿) = си, где /„ = /ооМ2-в)).

Хорошо известно [23], чю пространства Орлича и Марцинкевича, лежащие достаточно "близко" к Ьж совпадают. Поэтому приведенные результаты для пространств Марцинкевича позволяют частично peumib аналогичную задачу для пространств Орлича. Следующая теорема дает еще один вариант решения проблемы экстраполяционного описания таких пространств.

Теорема 2.2.24. Пусть

М(и) = eN^tl{u)\ и > 1, с некоторой выпуклой функцией N(t), удовлетворяющей условию т lim-1 = 00. t—> 00 t

Если пространство Орлича Ьм есть одновременно пространство Марцинкевича, то

Ьм = Clm, 7 с

Здесь и*{р) = 8ир{рг-;у(г)} функция, сопряженная к N.

Близкая по содержанию теорема сформулирована в работе [42], однако доказательство, приведенное там, ошибочно. Теорема 2.2 24 обобщает результаты работ [30, 41].

Экстраполяция со шкалы /^-пространств в пространсхва Орлича рассматривалась также Мамонтовым А.Е в работах [20, 21]. Подход, предложенный в указанных работах, связан с возможностью интегрального представления некоторых Я-функций разложением по степенным функциям

В параграфе 2.2 приведены также различные примеры, в том числе пример нежсграполяционного пространства Марцинкевича, для которою Ьр Э М((р) для всех р > 1.

Параграф 2.3 посвящен пространствам Лоренца Аг(</?).

В связи с изучением вопроса сходимости ортогональных рядов в симметричных пространствах, близких к Ьж, С.Ф.Лукомский доказал следующее утверждение [38]: если существует 7 > 0 такое, что для почти всех Ь € [0,1] выполнено неравенство р'(1) < 7^'(£2),

2) то имеет место соотношение

В параграфе 2 3 найдены необходимые и достаточные условия, при которых справедливо (3), а также приведен пример функции у?, для которой не выполнено (2), но, тем не менее, имеет место (3)

Обозначим через дг пространство /г(2~п/гу/(2~п)1/'г). Его функциональным аналогом будет пространство = Ьг(2~р/Г(р'(2~р)1/Г) функций, определенных на [1, оо). Основным результатом параграфа 2 3 является следующая теорема.

Теорема 2.3.1. Для каждого г £ [1, оо) следующие условия эквивалентны:

Заметим, что условие ц> Е А2 возникает как при экстраполяционном описании пространств Марцинкевича, так и Лоренца (см. теоремы 2 2 9 и 2 3.1). В связи с этим в параграфе 2 4 введено понятие сильно экстраполя-ционного пространства Для таких пространств функции имеют эквивалентные нормы. Сильно эксграполяционные иросфанства всегда экстраполяционны, причем норма в параметре экстраполяции F естественным образом определяется через норму самого пространства Кроме того, для соответствующих параметров 7*1 справедливо:

В параграфе 2.4 показано, чю А2-условию удовлетворяют фундаментальные функции всех сильно экстраполяционных проаранств. Доказана теорема, устанавливающая сильную эксчраиоляционность прос1ранс1в,

1)ч> € А2;

2) Аг(ф) = С0г;

3) Ш = СЯг. х = и 11 = х^) = ||х||

1» ф которые можно получить с помощью К-метода интерполяции в парах (Л(</>), М{ф)) и (Loo, М{<р)), если <р е А2

Теорема 2.4.6. Пусть функция ip(i) удовлетворяет А2 -условию, F — произвольный параметр вещественного метода интерполяции Тогда пространства

A(<p),M(<p))r и сильно экстраполяционны

Теорема 2 4.6 обобщает некоторые результаты работы [3], где рассматривались пространства Орлича Ьф, построенные по функциям Орлича М вида М{и) = ехр(Ф(м)) с выпуклой Ф, и пространства (Lос, Ьф)р

Конструкция сильно экстраполяционного пространства также обобщает результаш работ [30, 41], в которых эксграполяционные утверждения получаются на основе декомпозиционной техники (представление функции в виде суммы, каждое слагаемое в которой рассматривается как элемент соответствующего пространства исходной шкалы). В этих работх, в частности, показано, чю условия

I® ||S||

SUp-L < 00 и Slip-- < 00 p>\ p p>1 p эквивалентны. По поводу декомпозиционной техники смотрите также [29, 31]

Теория экстраполяции имеет многочисленные приложения к классическим проблемам анализа, теории вероятностей и дифференциальных уравнений [12, 18, 19, 25, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45] В параграфе 2 5 рассмотрены приложения экстраполяционного описания симметричных пространств к вопросу сходимости ортогональных рядов. Доказаны сле^-ющие теоремы.

Теорема 2.5.1. Пусть Е = Су, а система {.Ги}^! — минимальна и полна в Е. Тогда, если для всех х € Е и натуральных N n хп{х)хп

71=1 7(Р) • 1кНр при р > ро, где {х*п} — система, сопряженная к {хп}, то для любого х £ Е ряд ос п= 1 сходится кх в пространстве Е\ = Сщ/^).

Теорема 2.5.2. Пусть пространство Е сильно экстпраполяционно. Тогда, в условиях теоремы 2 5.1, для любого х £ Е ряд ос

У! хп{х)хп п=1 х\\е=\\х -«не. сходится кх в пространстве Ек с нормой где х г = 1у х*^, к(Ь) = 1/7(1пе/<).

Известно, что тригонометрическая система и система Уолша не являются базисами в пространствах, расположенных "слишком близко" к Ьх В то же время в работах [12, 38] С Ф.Лукомский доказал, чгю ряды но тригонометрической системе и системе Уолша, рассматриваемые в просфан-ствах Лоренца подобного типа, сходятся относительно нормы несколько более широкого пространства Там же доказаны теоремы о точности этого пространства. В диссертации изучаются аналогичные вопросы для се-парабельной части пространства Марцинкевича. Из теоремы 2 5.2 вытекает следующее утверждение.

Следствие 2.5.4. Пусть </? € А2, {Фп}% 1 ~~ ортоиормированная система и для всех х 6 М0(<^) и натуральных N где Сп(х) — коэффициенты Фурье функции х. Если система {фп} полна в М°(<р), то для любого х € М°(</?) ряд

Условию следствия удовлетворяют, в частности, тригонометрическая система и система Уолша.

Третья глава посвящена вопросу дополняемости подпространств симметричных пространств, порожденных дизъюнктными сжатиями и трансляциями аь, = = а(2кЬ — 1) одной функции а = а(Ь).

В работах [32, 33] рассмотрен случай симметричного пространства Е = Е[0, оо) на полуоси [0, оо), где изучалась дополняемость подространства порожденного дизъюнктными сдвигами функции а £ Е\0,1) Пространство Ечш названо "хорошим" (Е е М), если любое нодпространаво вида <2п дополняемо. В указанных работах даны необходимые и досточные условия для принадлежности пространства классу М, выделены классы "хороших" пространств среди пространств Орлича, Марцинкевича, Лоренца Там же предложена характеризация пространств Ьр в классе всех симметричных пространств: доказано, что перестановочно инвариашное пространаво Е совпадает с иросгране 1вом Ьр (0 < р < оо) тогда и только тогда, когда оба пространства Е и ассоциированное к нему Е' принадлежат классу М. р

00 п=1 сходится кх в пространстве М°((р\), где х

1п е/Г

Аналогичные вопросы для пространства Е на отрезке [0,1] рассматривались в работе [27]. Именно, для произвольного а е Е и двоичных интервалов рассмотрим функции, полученные сжатием и трансляциями функции а .

Пространства <2а>п = врап^ап^}^] конечномерны и, следовательно, дополняемы. В [27] вводится множество N0(Е), состоящее из всех функций а € Е, для коюрых подпространства <2„)П равномерно дополняемы в Е. Там же рассмотрены свойства пространства мультипликаторов М(Е), состоящего из всех измеримых функций х = а;(£), для которых произведение х(Ь)у{8) принадлежит Е\0,1] х [0,1] для всех у 6 Е. Доказано, что для сепарабельного пространства имеет место равенство Ыц(Е) = М(Е), приведена характеризация пространств £р[0,1], аналогичная характеризации £р[0, оо) в [32, 33] (см. далее теорема 3.2.3)

В диссертации изучается вопрос о дополняемости в симметричном пространстве Е на отрезке [0,1] подпространства фа = браг^а/,}]^, порожденного функциями

Как и в работе [27], выявлена связь этого вопроса со структурой пространства мультипликаторов М(Е). Изучению последнего посвящен параграф 3.1, в частности, доказана следующая характеризация М(Е)

Теорема 3.1.3. Пусть Е — произвольное симметричное простран

• >

ЯплМ = ство на [0,1]. Тогда у € М(Е) тогда и только тогда, когда сущ(ствует константа С > О такая, что для произвольного набора действительных чисел а = (аО^ справедливо неравенство

00 г=1 с Е ос г=1 хд, — характеристическая функция множества

Дг = (2"г,2-г+1],

У* = г/(2Ч-1) , если I € Д„ иначе.

Пусть {а; е X : 1 = / 6 и о

Введем в рассмотрение оператор

00 / I ладо

Л = 1.

Рв1/х(0 = £ 2к I Шх{з) Ж ак{1),

1 = 1 у д где

Л(0

2Н - 1) , если Ь € А*

4)

5)

О , иначе.

Через будем обозначать множество таких а € У(Е), для коюрых существует функция / е ^(Е") такая, что оператор Р0>/ ограничен. В параграфе 3.2 доказаны следующие теоремы.

Теорема 3.2.8. Если Е — симметричное пространство, интерполяционное меэюду Ь\

Теорема 3.2.12. Если Е — симметричное пространство на [0,1], се-парабелъное или со свойством Фату, то следующие условия эквивалентны:

1) Существует С > О такое, что

00 00 00

С"1 < У>а* < С 2 СкХЬк к=1 Е к=1 и к-1 для произвольного а € V(E) с ||a||¿; = 1 и всех наборов {сд,}j, q, € R;

2) Для произвольных а € V(E) ufe V(E'), удовлетворяющих (4), оператор Paj, определенный в (5), ограничен;

3) Е = Lp для некоторого р £ [1, оо].

Автор выражает глубокую благодарное!ь своему научному руководи ie-лю, профессору, доктору физико-математических наук, Сергею Владимировичу Асташкину за постоянное внимание к работе, поддержку и совеш при подгоювке диссертации.

1. Асгашкин C.B. Новые экстраполяционные соотношения в шкале Lp—пространств / С.В.Асташкин // Функцион. анализ и его прил 2003. Т 37. No 3 С. 73-77.

2. Асташкин, С. В Об экстраполяционных свойствах шкалы Lp -пространств / С.В Асташкин / Матем. сборник. 2003. Т. 194. No б С 23-42.

3. Асташкин, C.B. Экстраполяционные функторы на семействе шкал, порожденных вещественным меюдом интериоляции / С.В.Асташкин // Сиб. матем. ж. 2005. Т. 46. № 2 С. 264-289.

4. Асташкин, C.B. Экстраполяционное описание пространств Лоренца и Марцинкевича, близких к Loo / С.В.Астшкин, К.В.Лыков // Сиб матем. ж. 2006. Т. 47. № 5. С. 974-992.

5. Асташкин, С В. Экстраполяционное описание некснорых симмефич-ных пространств / С.В.Асташкин, К.В.Лыков // Тр. матем. цен фа им. Н.И.Лобачевского. Материалы VII международной Казанской летней научн. школы-конференции. Казань. 2005. С 12-13.

6. Асташкин, C.B. О некоторых новых соотношениях между нормами вклассе симметричных пространств / С.В Асташкин, К.В Лыков // Воронежская зимняя математическая школа С Г.Крейна — 2006 Тезисы докладов. Воронеж. 2006. С. 13.

7. Берг, Й. Интерполяционные нросхрансгва Введение / Й.Берг, Й.Лефстрем. М : Мир, 1980.

8. Канторович, Л.В. Функциональный анализ / ЛВКанюрович Л В, ГП.Акилов. С.-Пб.: Невский диалект, 2004. 816 с

9. Кашин, B.C. Ортогональные ряды / Б.С.Кашин, А.А Саакян. М. АФЦ, 1999. 550 с.

10. Красносельский, М.А. Выпуклые функции и iipocipanciBa Орлича / М.А.Красносельский, Я Б.Рутицкий. М.: Физматгиз, 1958 272 с.

11. Крейн, С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.ГКрейн, Ю.И.Петунин, Е М.Семенов. М.: Наука, 1978. 400 с

12. Лукомский, С.Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к Loo / С.Ф.Лукомский // Матем. замегки. 2001. Т. 70, No 6 С. 882889.

13. Лыков, К.В. Экстраполяция в шкале Lp-пространств и сходимость ортогональных рядов в пространствах Марцинкевича / К В Лыков // Вестник СамГУ. 2006. № 2 (42). С. 28-43

14. Лыков, К.В. Критерий сепарабельности экстраполяционного пространства / К.В Лыков // Вестник СамГУ 2006. № 4 (44) С 5-12

15. Мамонтов, А. Е О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкоеIи, I / А Е.Мамонтов // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40. № 2. С. 408-420.

16. Мамон юв, А. Е. О глобальной разрешимости многомерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой нелинейно вязкой жидкости, II / А.Е.Мамонтов // Сиб. матем. ж. 1999. Т. 40. № 3. С. 635-649

17. Мамонтов, А. Е Интегральные представления и преобразования Л^ функций, I / А.Е Мамон юв // Сиб. матем. ж. 2006. Т. 47. К» 1. С 123145.

18. Мамонтов, А. Е. Интегральные представления и преобразования М-функций, II / А Е.Мамонтов // Сиб. матем. ж. 2006. Т 47. № 4 С 811830.

19. Рохлин, В.А. Об основных понятиях теории меры / В А.Рохлин // Математический сборник. 1949. Т. 25. № 1. С. 107-150

20. Рутицкий, Я Б О некоторых классах измеримых функций / Я.Б.Рутицкий // Успехи мат. наук. 1965 Т. 20. № 4. С. 205-208

21. Симоненко И. Б. Инюрполяция и экстраполяция линейных операторов в пространствах Орлича / И.Б.Симоненко // Матем. сб. 1964 Т 63.C. 536-553.

22. Зигмунд, А. Тригонометрические ряды Т2 / А.Зигмунд М.: Мир, 1965. 538 с.

23. Astashkin, S.V. Tensor Product in Symmetric Function Spaces / S.V.Astashkin // Collect. Math. 1997. V 48 P 375-391.

24. Astashkin, S.V. Multiphcator Space and Complemented Subspares of rearrangement invariant space / S.V.Astashkin, L Maligranda and E M.Semenov // Journal of Functional Analysis 2003 V. 202 P 247276.

25. Brudnyi, Yu.A. Interpolation Functors and Interpolation Spaces / Yu.A.Brudnyi, N.Ya.Krugliak. North Holland Publish., 1991.

26. Capone, C. On extrapolation blowups in the Lp-scale / С Capone, A.Fiorenza, M.Krbec // J. of Ineq. And Applicat. 2006. V. 2006.

27. Edmunds, D. E. On decomposition in exponential Orlicz spaces /D.E.Edmunds, M.Krbec // Math. Nachr. 2000. V. 213 P. 77-88.

28. Fiorenza, A. On an optimal decomposition in Zygmund spaces / A.Fiorenza, M.Krbec // Georjian Math. Jour. 2002. V. 9. No. 2 P. 271-286

29. Hernandez, F.L. Subspaces generated by translations in rearrangement invariant spaces / F.L.Hernandez, E.M.Semenov //J Fun<\ Anal. 1999 V. 169, No. 1. P 52-80.

30. Hernandez, F.L A characterization of Lp among rearrangement invariant function spaces / F.L.Hernandez, E M.Semenov // Positivity 2000 V 4, No . P. 253-258.

31. Jawerth, B. Extrapolation Spaces with applications / B.Jawerth, M.Milman // Mein, of the Amer. Math. Soc 1991. V 89, No. 440 82 PP

32. Jawerth, B. New Results and Applications of Extrapolation Theory / B Jawerth, M.Milman // Interpolation spaces and related topics, Haifa, 1990. Israel Math Conference Proc , 5. 1992. P 81-105.

33. Karadzhov, G. Extrapolation theory: New results and applications / G Karadzhov, M.Milman //J Approx Theory. 2005. V 133, No 1 P 3899

34. Lindenstrauss, J. Classical Banach spaces 2, Function spaces . J.Lindenstrauss, L.Tzafriri. Berlin; Heidelberg; New York. Springer-Verlag, 1979. 244 p.

35. Lukomskii, S.F. Convergence of Fourier series in Lorentz spaces / S.F.Lukomskii // East J. on Approx. 2003. V. 9, No 2. P. 229-238

36. Milman, M. Extrapolation and Optimal Decompositions with Applications to Analysis / M.Milman. Berlin. Springer-Verlag, 1994. 162 pp (Lecture Notes in Math. V. 1580)

37. Milman, M. Extrapolation spaces and a.e convergence of Fourier series / M.Milman // J. of Approx. Theory. 1995. V. 80, No. 1 P. 10-24.

38. Neves, J. On decompositions in generalized Lorentz-Zygmund spaces / J.Neves // Boll. Unione Mat. Ital. Sez B Artie. Ric Mat (8). 2001 V 4, No. 1. P. 239-267.

39. Ostrovsky, E. Exponential Orlicz Spaces: new Norms and Applications / E.Ostrovsky //Electronic Publ., arXiv/FA/0406534, v.l, 25 06 2004

40. Ostrovsky, E. A remark on the inequalities of Bernstein-Markov type in exponential Orlicz and Lorentz spaces / E Ostrovsky //Electronic Publ, arXiv/FA/0411617, v.l, 27.11 2004.

41. Ostrovsky, E. Some new moment rearrangement invariant spaces; theory and applications / E.Ostrovsky //Electronic Publ., arXiv/FA/0605732, v.l, 29.05.2006.

42. Yano, S. An extrapolation theorem / S.Yano // J. Math Soc Japan 1951. V 3, No. 2. P 296-305