Физика и геометрия симметричных калибровочных полей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА

РГб ОД

~ 8 МАИ 199Ь правах рукописи

Волобуев Игорь Павлович

ФИЗИКА И ГЕОМЕТРИЯ СИММЕТРИЧНЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики имени Д.В. Скобельцына Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Б.А. Арбузов (ИФВЭ) доктор физико-математических наук

Д.В. Гальцов (Физфак МГУ) доктор физико-математических наук В.А. Кузьмин (ИЯИ РАН)

Ведущая организация : Лаборатория теоретической физики

Объединенного Института Ядерных Исследований, г. Дубна

Защита состоится 1995 г. в '/.С^—час. на засе-

дании Специализированного Ученого Совета Д 053.05.41 в Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова ( г. Москва, Ленинские горы, физический факультет, ауд. " ).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

М.

Автореферат разослан 3 " (Л^ . 1995г.

Ученый секретарь Специализированного Совета ^

доцент с^а^с^^лГ^И-А. Квасников

Общая характеристика и актуальность работы

Понятие симметричного калибровочного поля возникло в конце 70-х дов в результате попыток найти точные решения в калибровочных орнях. С этой целью конструировались сферически симметричные :зацы для потенциалов калибровочных полей, которые определяли за-[спмость полей от угловых переменных. Подстановка этих анзацев уравнения Янга-Мпллса существенно упрощала последние благода-[ уменьшению числа пространственных переменных. Именно такого »да монопольные и пнстантонные решения были найдены в первую [ередь.

Позже было замечено, что потенциалы калибровочных полей, описы-.емых такими анзацамп, обладают интересным свойством: простран-венные вращения таких потенциалов могут быть скомпенсированы лпбровочными преобразованиями. Другими словами, такие поля пн-рпантны, с точностью до калибровочного преобразования, при про-ранственных вращениях. Это свойство дает естественное обобщение шятпя симметричного поля на калибровочные теории. Оказалось, что этим свойством обладали практически все известие к середине 70-х годов монопольные и инстантонные решения, что ¡условило интерес к дальнейшему пзученпю симметричных калибровых полей. В этих исследованиях широкое применение нашли гео-этрическпе методы, в результате чего была установлена связь между 1кпми полями и инвариантными связностямп в главных расслоенных юстранствах, которая привела к строгому математическому опреде-:нию симметричного калибровочного поля и впоследствии позволила шучпть многочисленные результаты, обобщающие стандартные тео-:мы дифференциальной геометрии.

Первые результаты такого рода были связаны с теорией классификации инвариантных связностей. При этом сразу же выяснилось, что симметричные калибровочные поля известны в физике уже более 60 лет, и первым примером такого поля был монополь Дирака.

Наиболее интересной областью физических применений симметричных калибровочных полей является теория размерной редукции. А именно, симметричные калибровочные поля естественно возникают при интерпретации калибровочной теории, заданной в многомерном пространстве вида Е = М х К/II (где М есть четырехмерное пространство-время, а Л' и Н - компактные группы Ли), на котором канонически действует группа К, в терминал четырехмерных полей. Действительно, поскольку калибровочно инвариантные величины для Л'-симметричных калибровочных полей /v'-инвариантны, лагранжиан многомерной теории на Л"-снмметрнчных калибровочных полях не зависит от точек пространства Ii/H и, следовательно, является лагранжианом некоторой теории в пространстве М. Эта эффективная теория представляет собой калибровочную теорию с калибровочной группой, которая является подгруппой исходной калибровочной группы, и скалярными полями, возникающими из компонент многомерного калибровочного поля, кокасательных к внутреннему пространству К/Н. Такая реинтерпретация симметричного сектора многомерной теории в терминах четырехмерных полей называется размерной редукцией симметричных калибровочных полей.

В методе размерной редукции четко выделяются два аспекта - геометрический и теоретико-групповой. Геометрический аспект состоит в нахождении набора полей редуцированной теории, ее калибровочной группы и действия. При этом в полной мере используется теория инвариантных связностей, т.к. нахождение набора полей редуцпрованой теории связано с задачей классификации инвариантных связностей, а нахождение действия теории в секторе симметричных полей требует обобщения в соответствии с физическими принципами теоремы Вана о структуре формы кривизны инвариантной связности. Однако для полного описания редуцированной теории этого недостаточно, поскольку скалярные поля в общем случае оказываются подчиненными связям, являющимся следствием условия симметричности теории в многомерном пространстве. Явное разрешение этих связей и представляет собой теоретико-групповой аспект метода размерной редукции.

Одновременно с развитием общей теории метода размерной редук-[III симметричных полей исследовалась возможность построения этим етодом четырехмерных моделей, претендующих на описание извест-ых в настоящее время свойств сильных и электромагнитных взапмо-эйствпй. При этом важно отметить, что метод размерной редукции тмметрпчных полей является единственной схемой размерной редук-пи, в которой обеспечивается согласованное усечение, т.е. согласо-анность многомерной и редуцированной четырехмерной теорий в том мысле, что решения уравнений движения четырехмерной теории од-овременно являются и решениями уравнений исходной многомерной еорпп. Поэтому именно с этим методом связаны практически все ма-ематически последовательные попытки построения размерной редук-иен реалистических моделей, являющихся низкоэнергетическим пре-елом многомерных теории и естественно приводящих к объединению азлпчных типов взаимодействий. Построенные этим методом модели одержат значительно меньше свободных параметров, чем обычные, и оэтому могут обладать большой предсказательной силой. В качестве акте моделей обычно рассматривается модель Вайнберга-Салама пли днн из вариантов теории великого объединения.

Оказалось также, что метод размерной редукции позволяет по но-юму взглянуть на теорию спонтанной компактпфпкацпп, целью кото-юй является динамическое объяснение структуры прямого произведения пространства-времени Е — М х К/Н, которая в теории размер-гой редукции просто постулируется. А именно, если в качестве ком-1актпфпдпрующпх полей используются калибровочные поля, то метод размерной редукции устанавливает соответствие между симметричными вакуумными конфигурациями многомерной теории и вакуумными конфигурациями редуцированной четырехмерной теории, т.е. конфигурациями, для которых редуцированное калибровочное поле исчезает, а жалярные поля отвечают экстремумам потенциала их самодействия. Это сильно упрощает задачу построения решений многомерных уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса, позволяет дать им физическую интерпретацию и выяснить вопрос устойчивости вакуумных конфигураций в симметричном секторе.

Таким образом, сектор симметричных калибровочных полей представляет собой интересное образование, которое естественно возникает в калибровочных теориях с дополнительными пространственными

симметриями п в силу перечисленных причин заслуживает детального изучения. Для работы с такими полями имеется красивый математический аппарат теории инвариантных связностей в главных расслоённых пространствах.

Целью диссертации является изучение сектора симметричных калибровочных полей во всех известных в настоящее время его физических проявлениях.

Научная новизна и практическая значимость диссертации состоят в том, что в ней впервые предпринято систематическое и всестороннее теоретическое исследование симметричных калибровочных полей н их физических приложений, пз которых в первую очередь следует отметить развитие общих методов построения объединенных моделей взаимодействий элементарных частиц в рамках гипотезы о существовании дополнительных измерений пространства-времени, построение примеров таких моделей и изучение их физических следствий, а также динамическое объяснение структуры прямого произведения пространства-времени в рамках теории спонтанной компактнфикацпи.

Апробация работы

Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах НИИЯФ МГУ, ИФВЭ, ЛТФ ОИЯИ, ИЯИ РАН, МИАН, ФИАН, ХФТИ, на семинарах в Леппцигском и Лиссабонском университетах, в Высшей технической школе Клаусталя, а также на многочисленных всероссийских п международных конференциях и семинарах.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения; ее объем составляет 184 страницы, она содержит четыре таблицы и список литературы из 163 наименований.

Во введении прослежена история симметричных калибровочных полей, обсуждается актуальность пх изучения, формулируются цели работы и дается краткая характеристика ее содержания.

В первой главе дается геометрическое определение симметричного калибровочного поля, которое затем используется для явного нахождения калибровочных преобразований, связывающих вектор-потенциалы монополя Дирака с разными линиями сингулярностей. Для этого в §1 приводится стандартное геометрическое описание калибровочных по-

й в терминах связностен в главных расслоенных пространствах1. В мках этого описания 1-форма калибровочного поля А является обрат-iM образом формы связности lj на главном расслоенном пространстве [E,G), которое имеет пространство-время Е в качестве базы и струк-'рную группу G, относительно некоторого (локального) сечения s в ом расслоении, А = s*u>. Затем дается определение группы кали-ювочных преобразований теории Q как подгруппы группы автомор-I3M0B расслоения P(E,G), Aut(P), которая оставляет пнвариантны-I абсолютные (нединамические) элементы теории. Группа чисто ка-[бровочных преобразований определяется как <?0 — Q П Auto(P), где u¿0(P) обозначает группу вертикальных автоморфизмов P(E,G), т.е. >уппу автоморфизмов, которые отображаются канонической проекци-: в тождественное преобразование базы.

Определенная таким образом группа калибровочных преобразова-III является бесконечномерной группой со сложной структурой. Од-iKo ее конечномерные подгруппы Ли оказываются пространственно-именными симметрпямп рассматриваемой калибровочной теории, акая подгруппа получается, еслп группа Ли К действует на P(E,G) эеобразованпямп к £ К, для которых выполняются соотношения

0 Lia = Lkyk-, Lk of, = VgoLt,

ie Ф? обозначает каноническое правое действие структурной группы ±P{E,G).

Преобразование Lk порождает преобразование 0¡¡ базы Е, которое 1ределяется соотношением О* о тг = noL^, причем тг обозначает кано-пческую проекшт тг: Р —<■ Е расслоения Р{Е, G). Группа К являет-I группой симметрии калибровочной теории, определенной на расслоит Р(Е, G), базой которого является псевдориманово многообразие Е метрикой 7, еслп

Ь\ш = и OI т = т-

1 Ясное изложение используемых здесь математических понятии и их применения в теории калибро->чных полей можно найти, например, в монографии Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциаль-)й геометрии, т. 1 - М: Наука, 1981, и в работе Trautman A. Fibre bundles associated with space-time,-ер. Math. Phys. 1970, v.l, 29-62. Наши обозначения по большей части совпадают с обозначениями :их работ.

Далее показано, что преобразование Ок калибровочного поля А н пространстве-времени Е, отвечающего инвариантной форме связност! и, представимо в виде

01-,А = М{р?)А + р1в,

где рк есть функция на Е, принимающая значения в С, а. в обозначав: каноническую левоинвариантную 1-форму на Эта формула означа ет, что пространственное преобразование поля А эквивалентно кали бровочному преобразованию, т.е. калибровочное поле А инвариантно, < точностью до калибровочного преобразования, относительно действи! О* и, следовательно, является симметричным калибровочным полем Использованные при ее выводе соображения позволяют в явном вид« найти калибровочные преобразования, которые компенсируют нреобра зованпя пространственной симметрии, если известно соответствующее главное расслоенное пространство и инвариантная связность в нем.

Такая задача, возникающая, например, в теории монополя Дирака, обсуждается в §2. Как уже отмечалось, поле монополя Дпра-ка является простейшим примером симметричного калибровочного поля. Известно также, что поле монополя минимального заряда д = £ может быть описано в расслоении Хопфа Р = 53(52, {/(!)), которое является специальным случаем расслоением вида К(К/Н,Н), где К и Н С К' - группы Ли. Если однородное пространство К/Н редук-тивно, т.е. существует разложение алгебры Ли Л в прямую сумму подалгебры и некоторого линейного пространства ЗЯ, обладающее свойствами Я = 5э © Ас1 (Я)9Й С 9Л, то ^-компонента, канонической левоинвариантной 1-формы в на К является формой связности на К(К/Н,Н), которая инвариантна относительно левого действия К на себя. Именно такой канонической инвариантной связностью в расслоении Хопфа и описывается поле монополя Дирака.

Реализуя группу 51/(2) = 53 канонически 2 х 2-матрицамп, а сферу 5* - как множество точек в 7?3, 52 = {£ 6 Л3, = 1}, нетрудно найти явные выражения для действия структурной группы 11(1), канонической проекции ж : 53 —> 52 и действия группы симметрии ЯО(3) ~ 5С/(2), которое есть просто левое умножение. Также в явном виде можно найти 1-форму канонической инвариантной связности в расслоении Р = 53(52, С/(1)) и сеченпе этого расслоения, соответствующее вектор-потенциалу с линией сингулярностей Ап, Л > 0. Имея эти

юрмулы, после довольно громоздких вычислений можно найтнявное ыраженпе для функции, компенсирующей пространственное вращение отенциалов монополя Дирака. Окончательно, для калибровочного пре-бразования, связывающего вектор-потенциалы монополя пропзвольно-о заряда с линиями сингулярностей А?7 и ЛЯ', А > 0, получается простое ыраженпе

р[п,т?) = -2<7агсзт{(^[п,Й']) (2(1 - п() (1 - п'£) (1 + гт'))-?},

це £ = х/\х\. Такие преобразования устраняют противоречие :ежду симметрией поля монополя и несимметричностью его вектор-отенциала, возникающее при квантовомеханнческом описании движе-ия заряженных частиц в поле монополя. Задача нахождения этих реобразований была поставлена уже давно, однако решить ее удалось олько в рамках геометрического описания монополя Дирака.

Вторая глава является центральной в диссертации. В ней развп-ается геометрическая теория размерной редукции симметричных ка-пбровочных нолей, которая является основой для всех дальнейших по-гроений. Задача формулируется следующим образом.

Пусть в пространстве Е с фиксированной метрикой 7 (сигнатуру отороп удобно выбрать равной ( — ,+,■•■, +)) задана калибровочная еорпя с калибровочной группой п со стандартным действием. На юметрическом языке это означает, что задано главное расслоенное ространство Р(Е, С), связность в котором описывает конфигурации алпбровочного поля на Е.

Пусть К будет произвольной компактной группой Ли, действующей а Р(Е, С) слева преобразованиями Ь^, к £ К как подгруппа группы алибровочных преобразований рассматриваемой теорип. В предполо-:енпп о нетрпвиальностн проекции этого действия на Е, обозначае-:ой далее О*, и Л'-пнварпантности метрики -у рассматривается сек-ор Л'-спмметричных калибровочных полей на Е, которым, как было бъяснено в главе I, соответствуют А'-пнварпантные формы связности а расслоении Р(Е,С). Поскольку для симметричных полей действие руппы К сводится к калибровочному преобразованию, лагранжиан на аких полях постоянен на орбитах группы К в пространстве Е, т. е. |актическп представляет собой лагранжиан некоторой теории в фактор ространстве М = Е/К (которое в дальнейшем будет иметь смысл че-ырехмерного пространства-времени). Чтобы явно построить эту эф-'ективную теорию, нужно выразить А'-симмстричные конфигурации

полей на Е в терминах объектов, заданных на М, затем подставить эт представление в лагранжиан и получить эффективное действие теори в М. Эта процедура и составляет содержание задачи размерной реду! ции симметричных калибровочных полей. На геометрическом язык первый ее шаг - представление симметричных полей на £ в термг нах полей на М - означает, что инвариантную форму связности ш н Р нужно описать в терминах геометрических объектов, заданных н некотором главном расслоении с базой М.

Этой проблеме посвящен §1. В нем излагается метод классификаци инвариантных связностей в главных расслоенных пространствах в сл} чае нетранзитшзного действия группы симметрии на базе, основании: на теории редукции расслоенных пространств и приспособленный дл физических приложений.

Для классификации А'-ннвариантных связностей в расслоени; Р(Е, G) сначала нужно конкретизировать вид пространства Е и дей ствпя группы К на нем. Оказывается, что для того, чтобы рассмотри ние было замкнутым, необходимо считать, что пространство Е пмее1 вид прямого произведения, т.е. Е = М х Ii/H, а действие К на Е, Oí сводится к каноническому левому действию К на К/Н. Целесообразн также ограничиться специальным случаем А'-инварыантной метрик: 7 = г; © 7, где т] обозначает риманову метрику на М, а у есть К инвариантная метрика на К/Н. Итак, в рамках сделанных предполо жений, которые оказываются физически вполне оправданными, нужн описать инвариантную форму связности ú на Р, для которой

L*kú = Сз, Vk 6 К,

в терминах объектов, заданных на некотором главном расслоении с ба зой М.

Это делается в два этапа. Сначала форма lj сужается на подрас слоение P{M,G) С P(E,G), определяемое как порция P(E,G) над М Р = 7Г_1(М), где М есть подмногообразие в Е, М = М х {о}, состоя щее из неподвижных точек подгруппы Н, причем о обозначает начале т.е. класс [е] в К/Н. При этом показывается, что ií-инвариантна форма связности ш на Р(Е, G) находится во взаимно однозначном соот ветствии с парой (Ü), фр) на Р{М, G), где й есть ií-инвариантная форм; связности на P(M,G), а фр для любого р G Р есть линейное отображе

ше фр : Ш —» 0, обладающее свойствами

= Ас1(д~1)офр фрО Ad h = Adrp(h) о фр,

iepBoe из которых называется эквивариантностью. Отображение Тр : Ч —> G есть гомоморфизм, определяемый действием H на P(M,G), соторое сводится к вертикальному автоморфизму этого расслоения, т.е. LhP — ФTp(h)P- Следует отметить, что форма û характеризует форму ш ia пространстве орбпт группы К в Р, а отображение фр характеризует Ь на Л'-орбите через р.

В предположении о достаточной гладкости действия группы H растение Р вследствие оставшейся //"-симметрии может быть редупиро-¡ано до подрасслоения Р(М, С), структурная группа которого есть централизатор т(Н) в G. Сужение Из на Р(М, С) обозначается и, и> | Р = и>; iTa форма принимает значения в алгебре Ли (£ группы С, т.е. и являйся формой связности на Р(М, С), связность в G-расслоенпп Р редуци->уема к связности в С -расслоении Р и форма й стандартным образом ¡останавливается по форме ui.

Отображение фр в точках р € Р удовлетворяет условию фр о Ad h = 4dr(h) о фр. По этому отображению нетрудно восстановить отображе-ïiie фр. Окончательно, получается, что К- инвариантная форма связно-;ти û на расслоении Р(Е, G) находится во взаимно однозначном соот-зетствип с парой (ш, фр) на Р(М, С), где и> - форма связностп на Р, а фр - линейное эквивариантное отображение из 9Я в 65, удовлетворяющее условию

Фя1ср = Ad (с~1)фр. Установленное соответствие дает решение задачи классификации К-знвариантных связностей, или К-симметричных калибровочных полей. Физически оно означает, что чисто калибровочная теория в простран-:тве Е — M х К/Н с калибровочной группой G, обладающая дополнительной пространственной симметрией К, сводится к калибровочной теории с калибровочной группой С в пространстве М, которая включа-зт в себя дополнительные скалярные поля, описываемые отображением

Ф-

В §2 рассматривается задача получения действия редуцированной теории из действия исходной теории в пространстве Е. Для этого стандартное действие исходной теории рассматривается на К-

симметричных калибровочных полях. Для таких полей можно полу чить специальное представление 2-формы кривизны F в терминах ка ллбровочного поля на М, отвечающего форме связности и на Р(М, С) и отображения фр, позволяющее легко преобразовать рассматривае мое действие в действие некоторой теории в М. А именно, локаль ное сечение s : Е —► Р можно задать с помощью локальных сеченщ si : К/Н —> К и S2 : М —► Р s(x,£) = LSi^sг(х). Специальный вы бор этих сечений приводит к выражению для /¿"-симметричного пол) на Е = М х К/Н в стандартной калибровке:

А = А + т{§л) + ф(ёт),

где в = А = s^uj, причем поле Л принимает значения в алгебр« Ли С группы С, а г есть гомоморфизм, т : Sj —► 65. Отсюда легк< находится выражение для 2-формы напряженности, которое обобщает представление для формы кривизны инвариантной связности в теорем« Вана.

На симметричных полях лагранжиан. исходной теории не зависит от точек пространства К/Н. Поэтому в действии можно проинтегрировать по этому пространству, а подынтегральное выражение взят! в точках М. Отождествление ТаК/Н с SDT и введение в 9Л ортонор-мированного в смысле метрики 7 базиса {иа} (а = 1,2, • • •, dim К/Н позволяет перейти к скалярным полям фа(х) = фх(иа) = ф$2^(иа) € 0, которые подчиняются связям, являющимся наследием условия Н-инвариантности. В результате для редуцированного действия получается выражение

5 = 4 LMF^F'"') + 2 1УФа(х)) - V{4>)}dvU ,

д JM а

где ¿Ум есть элемент объема пространства М, соответствующий метрике т], D^a(x) — дцфа(х) + [Ар(х), фа(х)\, {,) обозначает AdG-инвариантную билинейную форму на алгебре Ли 0, пропорциональную ТУ в присоединенном представлении, а'потенциал У(ф) неотрицателен и определяется соотношениями:

У(Ф) = -UFab,Fab)> О

аЬ

Faь = 2Р(иа,щ) = [фа(х),фь(х)} -- фх([иа, и4]ал) - т([и0, щ]^).

Таким образом, получается, что редуцированная теория предста-яет собой калибровочную теорию с калибровочной группой С = j(т(Н)}, включающую с себя скалярные поля, минимально взаимо-йствующпе с калибровочным полем и обладающие самодснствием не пне четвертой степени, т.е. в случае dim. М = 4 редуцированная теля является перенормпруемои. При калибровочных преобразованиях функцией с(х) 6 С поле А^(х) преобразуется стандартно, а закон пре-(разования скалярных полей определяется преобразованием отображе-гя фх

Фх—>ф'г = Ad{c{x))<f>z,

iTopoe совместно с.условием эквиварпантности. Отметим еше, что в аудированном действии в явном виде представлен только чисто калп-ювочный сектор. Это связано с тем, что скалярные поля подчиняются 1ЯЗЯМ.

В §3 рассматривается размерная редукция полей материи на прпме-; спинорного поля. Для этого берется расслоение Q = 0(E) + P(E, G), хе О(Е) обозначает расслоение ортонормальных реперов пространства ', структурная группа которого есть ортогональная группа 0(7), со-эаняющая метрику 7. Сппнорпое поле описывается как эквпвариант-эе отображение из Q в пространство представления 6 = (А, а) груп-ы 0(7) х G, где Л обозначает спинорное представление группы О (у). ействие группы симметрии К на Р(Е, G) естественно продолжается о действия этой группы на Q, и симметричное спинорное поле на Е ппсывается эквпварпантным отображением, которое инвариантно от-осительно действия группы симметрии на Q.

Это действие порождает цепочку редукций расслоения Q, аналогпч-ых редукциям расслоенпя Р(Е, G) в предыдущем параграфе. В ре-ультате показано, что симметричное спинорное поле может быть опи-ано в расслоении Q — О(М) + Р(М,С), где Q есть расслоение ор-онормальных реперов пространства М со структурной группой 0(r¡). [рп этом в общем случае из одного, спинорного поля в пространстве 7 получается некоторый набор сппнорных полей в пространстве М, греобразующихся по различным представлениям калибровочной груп-[ы редуцированной теории С. Аналогично тому, как это сделано в 2 для калибровочных полей, проведена редукция действия и найдено >едуцированное действие, которое описывает взаимодействие редуцп-юванных сппнорных полей с редуцированным калибровочным полем и

скалярными полями.

В §4 дается общий вывод представления нулевой кривизны для с; модуальных сферически симметричных калибровочных полей с пр< извольной калибровочной группой в четырехмерном евклидовом прс странстве, которое является основой для нахождения точных инстаг тонных и монопольных решений.

Конструкция основана на следующем наблюдении. Действие 50 (2 порождает в Я4 орбитную структуру, причем только одна орбита - то* ка (0,0,0,0) - является сингулярной. Отбрасывание этой сингулярно орбиты дает пространство

#\{(0,0,0,0)} = Rl х S\ Rl = {(*, х, 0,0), х > 0},

структура которого в точности соответствует структуре пространства времени в методе размерной редукции. Рассматривая в этом простран стве сектор симметричных калибровочных полей, можно использован найденные в §1 представления для вектор-потенциала и напряженно сти калибровочного поля. В результате получается, что в точках про странства R\ условие самодуальности в терминах редуцированных по лей сводится к представлению нулевой кривизны

ÔqB\ - д\Вч + [Д), #1] = 0 для новых комплексных потенциалов

Во Ву

Фигурирующие здесь отображения ф и т имеют тот же смысл, что и i §1, а Т; суть генераторы группы SO(3) с коммутационными соотноще-нпями [Tk,Ti} = eilmTm.

В третьей главе изучается построение моделей Хиггса в методе размерной редукции симметричных калибровочных полей. Основная проблема при этом состоим в явном нахождении набора скалярных полей и вычисления потенциала их самодействия, что составляет теоретико-групповой аспект метода размерной редукции. Сначала в §1 обсуждаются общая структура потенциала скалярных полей редуцированной теории и проблема разрешения связей, которым подчиняются

= Ао + -Ф(Т2) + ir(Ti)

X X

х

эти поля. Для этого условие эквивариантностп переписывается в пн-финитезимальной форме:

(фхоа(111)(т) = Фх([Ь, т]) = = (аф-(Л)о фх)(тп) = [т(К),фх(т)\, И £ $), т еШ,

где ас1}1(7п) = [/г, т] обозначает присоединенное действие /г 6 Это условие,,означает, что отображение фх является оператором, который сплетает представления алгебры Лп в вещественных пространствах и (3: и аг/(т(.5з))(3; пространство таких операторов обозна-

чается далее(25). Для того, чтобы найти явный вид отображения фх и перейти к обычным скалярным полям, необходимо разложить эти представления на неприводимые и воспользоваться леммой Шура. При этом оказывается удобным комплексифпцпровать алгебры ли Л и © и сплетающий оператор фх, что автоматически дает правильное число сплетенпя и позволяет использовать корневую структуру алгебр Ли.

Окончательный рецепт построения сплетающего оператора ф формулируется следующим образом. Совершается переход к комплексным алгебрам Лп Яс и 0е, подалгебре С Яс и ее вложению т($)с) с (3е. Затем разлагаются на неприводимые представления а</(5эс)9Яс и ас1<Зс X г(5)с) и выписывается комплексный оператор фс, сплетающий эквивалентные представления в этих разложениях и удовлетворяющий условию действительности фс(т) = фс(т), т £ ШГ, где черта обозначает комплексное сопряжение (сопряжение относительно компактной формы) в комплексных алгебрах Лп Дс п (3е. Тогда для любого т € 9Л искомый оператор ф(тп) = <рс(т).

В качестве примера применения этой техники в явном виде построен сплетающий оператор фх для случая б = 5р(п + т), К = БЩт + 1), Н = Зи(т) х 1/(1), для которого получается выражение вида

2" _

5=1

где {I5} п {73} являются базисными сплетающими операторами, а выступающие здесь функции /Дх) представляют собой независимые компоненты скалярного поля редуцированной теории, преобразующегося по представлению 2п группы Сп. Затем дан вывод общего вида оператора фх в рамках некоторых упрощающих предположений о структуре представлений ас!(&с)ШГ и асКЗс i т(5эе), которые оказываются справедливыми в большинстве физпчеекп интересных случаев.

В §2 развивается метод вычисления потенциала скалярных полей V(4>). Для этого потенциал представляется в виде ряда по степеням.:; отображения ф. Показано, что в общем случае можно явно вычислить слагаемые нулевой и второй степени по ф, а слагаемое первой степени по ф обращается в нуль вследствие сделанных предположений о структуре представлений ad(fjr)9Jlc и ad& J. r(i)c). Затем развивается метод вычисления потенциала для случая симметрических пространств К/Н, которые имеют простейшую структуру представления изотропии; этот метод допускает обобщение на случай пространств с более сложной структурой этого представления. А именно, показано, что для произвольного симметрического пространства К/Н потенциал скалярных полей имеет вид

V(4>) = M*{ci (I Ф I2 -с2/с,)2 + 1(ф) + с0},

где М есть обратный размер пространства К/Н, \ ф |2 и 1(ф) обозначают инварианты калибровочной группы С второй и четвертой степени соответственно, а константы с0, сь ci выражаются через инвариантные характеристики представления ad(.f))9Jt. Здесь же приведены примеры потенциалов для различных классов симметрических пространств. Оказывается, что все эти потенциалы приводят к спонтанному нарушению симметрии.

В §3 обсуждается вопрос о том, при какпх условиях представление калибровочной группы редуцированной теории С в пространстве сплетающих операторов £М(9Я, 65) неприводпмо. Рассмотрение ограничивается случаем классических симметрических пространств К/Н и калибровочных групп многомерной теории G классических серий. Теоретико-групповой анализ структуры представления группы С в пространстве Сп(9Л, 65), основанный на понятии определяющего представления группы Ли, позволяет сформулировать простые достаточные условия того, что представление С в пространстве £w(9Jt, 65) непрпво-димо.

В §4 результаты предыдущих параграфов применяются для явного построения моделей Хиггса с одним неприводимым мультиплетом скалярных полей. Для этого рассматриваются симметрические пространства дополнительных измерений К/Н из серий Sm, СРт, G2,m+2(R) и калибровочные группы исходной теории G из классических серий, для . которых скалярные поля редуцированной теории преобразуются по нетривиальному неприводимому представлению калибровочной группы

этой теорпн. Для всех этих моделей в явном виде вычислен потенциал скалярных полей и редуцированное действие. Параметры потенциалов [i отношения абелевой и неабелевой констант связи собраны в таблице 1. Например, в случае пространства дополнительных измерений СРт и калибровочной группы исходной теории Sp(m + n) калибровочная группа редуцированной теории получается равной Sp(n) х /7(1), скалярные поля преобразуются по представлению 2п этой группы, а отношение констант связи и потенциал даются формулами

9л 9

У(ф) =

Оказывается, что класс калибровочных групп моделей Хиггса, которые могут быть получены размерной редукцией многомерных калибровочных теорий, включает в себя и калибровочную группу SU(2) х 7(1) объединенной модели электрослабых взаимодействий Вайнберга-Залама. Такие модели, в отличие от обычной, содержат только три гараметра - неабелеву константу связи, обратный размер простран-;тва дополнительных измерений М и его размерность, - через которые зыражаются электрический заряд е, массы всех бозонов и угол Вайн-эерга. Соответствующий выбор константы д во всех случаях позволяет юлучпть правильное значенпе е. Результаты вычислений масс и угла Вайнберга приведены в таблице 2. Важным моментом является то, что зеличпна sin2 Q\v зависит только от размерности внутреннего простран-:тва и может принимать лишь дискретный ряд значений. Например, в 1рпведенной выше модели с Е = А/4 х СРт и G = Sp(n + m) бозонный ;ектор модели Вайнберга-Салама получается при п = 1. В этом случае .laccbi бозонных полей выражаются через обратный размер пространства СРт и его размерность 2т по формулам

Mw = MV2m, Mz = Мп = Msjlrn + 2,

i для угла Вайнберга получается соотношение sin2 9w = . Значения -тла Вайнберга, наиболее близкие к экспериментальному, получаются ipn тп = 3i и т = 4. Характерным предсказанием этой модели является равенство масс ¿"-бозона ц бозона Хиггса.

Затем кратко обсуждается построение бозонного сектора модели Зайнберга-Салама с помощью исключительных калибровочных групп.

2

\т(п + 1)

(, „ f +ч)!' + "У- + ')(- + ').

4т(п + 1) \ О J 92

Оказывается, что с группами Gz, Fi, Е7 и Eg тоже можно получить sin^ в [y = 0.25; значения угла Вайнберга, более близкие к экспериментальному, и в этом случае получить не удается. В заключение параграфа затрагивается проблема вычисления квантовых поправок в таких моделях.

В §5 обсуждается построение моделей Хпггса в случае неинъектив-ного гомоморфизма г : Sj —> <S. Сформулировано достаточное условие того, что в этом случае редуцированная теория содержит нетривиальный мультиплет скалярных полей, и в качестве примера такой теории рассмотрена модель с К/Н = SO(9)/SU(3) х SU(2) х U(1) G = SU(n + 3). Показано, что калибровочной группой редуцированной теории будет С = SU(m) х U( 1), и скалярное поле преобразуется по представлению п{2) этой группы. В явном виде вычислен потенциал скалярного поля, который получается зависящим от п и двух непрерывных параметров и обладает тем свойством, что в зависимости от значения безразмерного параметра меняется знак перед квадратичным членом. При п = 2 эта модель воспроизводит бозонный сектор модели Вайнберга-Салама, однако для угла Вайнберга получается sin2 0w = 5/8, что очень далеко от экспериментального значения.

В главе четвертой симметричные калибровочные поля используются для нахождения точных решений в теориях Эйнштейна-Янга-Миллса (ЭЯМ). В §1 обсуждается построение компактифицирующих решений с симметричными калибровочными полями в многомерных теориях ЭЯМ. Для этого приведен вывод уравнений спонтанной компак-тифпкащш, которые в некоторой системе координат {£т} на К/Н имеют вид

=

V.F* + [Л-, F**] = diFik + ruFlk + [Ai, = 0,

где тензор Риччи и символы Кристоффеля определяются только метрикой 7 на К/Н, а {, ) есть инвариантная билинейная форма на алгебре Ли (5. Принципиальным моментом развиваемого подхода является способ нахождения решений этих уравнении, основанный на методе размерной редукции. А именно, замечено, что второе уравнение получается варьированием по полю Лт(£) эффективного действия

Seff = -Jdejd^{Flm,F,m),

которое оказывается фактически совпадающим с потенциалом скалярных полей редуцированной теории. Поэтому нахождение решений уравнений Янга-Миллса в классе симметричных калибровочных полей оказывается эквивалентным поиску экстремумов этого потенциала. В результате система нелинейных дифференциальных уравнений спонтанной компактифпкашш сводится к системе алгебраических уравнений, для решения которой сформулировал общий алгоритм.

Следует отметить, что предложенный метод решения уравнений спонтанной компактпфикацип дает еще и естественный физический критерий стабильности компактифицирующих решений. Действительно, интерпретация конфигураций калибровочных полей, являющихся решениями многомерных уравнений ЭЯМ, в терминах полевых конфигураций редуцированной теории позволяет заключить, что стабильными решениями являются конфигурации, отвечающие минимуму потенциала редуцированной теории.

В §2 приводятся примеры компактифицирующих решений, построенных этпм методом. Сначала подробно рассматривается спонтанная компактифпкация в симметрические пространства с неполупростой подгруппой изотропии. Показано, что в случае симметрических пространств радиус компактифпкашш для устойчивых решений определяется минимумом потенциала Хиггса. Для теории с К/Н — СРт и С = 5У(т + п) соответствующие компактифицирующие решения построены в явном виде.

Затем обсуждается проблема нахождения устойчивых компактифицирующих решений для симметрических пространств с простей подгруппой изотропии. Трудность нахождения таких решений связана с гем, что для простейших регулярных вложений алгебры Ли Я в алге-зру Ли 0 минимум соответствующего потенциала Хиггса равен нулю, так что пространство дополнительных измерений сжимается в точку. Для преодоления этой трудности построены специальные нерегулярные вложения алгебр Ли В* и Дь в алгебру Лп Лп, для которых минимум потенциала отличен от нуля, и в теории существуют устойчивые компактифицирующие решения.

На примере пространства К/Н — 50(5)/5[/(2) х (7(1) и калибровочной группы С? = ви(т), т > 3 рассмотрена спонтанная компактифпкация в однородные пространства общего впда. Для этого случая из уравнении спонтанной компактпфикацип получены соответствующие

алгебраические уравнения и численно найдены решения, отвечающие локальному максимуму и абсолютному минимуму потенциала Хигг-са; последние решения, очевидно, являются устойчивыми. Решения этих уравнений приведены в таблицах 3 и 4. Интересной особенностью устойчивых решений является то, что некоторые из измерений пространства К/H получаются времениподобнымп. Поэтому сформулированы достаточные условия того, что модель, полученная размерной редукцией многомерной теории с нестандартной сигнатурой метрики, не содержит духов и талионов.

В §3 теория размерной редукции симметричных калибровочных полей применяется для нахождения в евклидовых теориях ЭЯМ решений типа "кротовых нор," которые считаются важными для квантования гравитации в формализме континуального интегрирования. А именно, в евклидовых теориях ЭЯМ с калибровочными группами G = SO(n) и G = SU(n) найдены решения с топологической структурой Е — Rx S3, симметричные относительно действия группы 50(4). Для этого действие теории ЭЯМ редуцировано к действию эффективной одномерной теории, которая содержит в качестве динамических переменных радпус Вселенной a(t) и некоторый набор скалярных полей fait), <Pk(t), ведущих происхождение от калибровочного поля. Показано, что вследствие уравнения сохранения энергии уравнения для a(t) и калибровочных степеней свободы расцепляются. Получающиеся при этом уравнения для a(t) и нолей <po(t), <Pk(t) в общем случае описывают движение между точками поворота в потенциалах четвертой степени. Для этих уравнений найдены точные решения, выражающиеся через эллиптические функции Якобп. Рассмотрено влияние спинорных полей на эти решения и показано, что кпральные спиноры просто подстраиваются под эти решения, не изменяя их.

В пятой главе обсуждается построение моделей великого объединения в методе размерной редукции. Проведенный анализ структуры бозонного сектора моделей с простыми калибровочными группами показывает, что основной п трудно преодолимой проблемой при построении таких моделей является получение самодействия четвертой степени для тяжелого поля Хиггса, преобразующегося по присоединенному представлению калибровочной группы. Чтобы обойти эту трудность, предлагается построить методом размерной редукции SU(5) х (7(1)- модель великого объединения, в которой не используется поле Хиггса в присо-

единенном представлении калибровочной группы. Найдено три способа галучения бозонного сектора этой модели:

1. G = Е6, К/Н = SO(5)/SU(2) х U(l), dim Ii/H = 6

2.G = E7, K/H = SO(7)/SU(3) x 17(1), dim K/H = 12

3. G = E8, K/H = SO(9)/SU{4) x U(l), dim K/H = 20

Зальнейшее исследование показало, что наиболее интересный случай -»торой, поскольку только в этом случае удается получить правильное :понтанное нарушение симметрии в редуцированной теории.

В §1 развивается метод построения базисов генераторов в алгебрах In, адаптированных к редукции на подалгебру. Этот метод основан га понятии определяющего представления для алгебры Ли и необходим 1ля явного вычисления потенциала и редуцированного действия в рас-:матрпваемой модели, т.к. общие методы §2 главы III в применении к гсключптельным алгебрам Ли оказываются очень громоздкими.

В §2 с помощью этого метода в явном виде найден бозонный сектор iU{5) х i/(l)- модели великого объединения для случая G = E-j, Е — I/4 х SO(7)/SU(3) х U(l). Полученный лагранжиан по виду совпадает :о стандартным, но в отлпчпе от последнего в нем только три параметра. Соответствующий потенциал Хиггса имеет вид

V = 36А/4(/32)2 - б M4Trß4 - 12М4(3 - 2к2)/?2 + 24M4*V)2 -

- 12м4(4К4 -1)^2 + 24A/V0V - m/Vov)2 -

- GA/4(1 + 2n2)Re<p(ß x ß) + 3A/4(7 + 12/c4),

•де ß'k = —ßkt обозначает тяжелое поле Хпггса, преобразующиеся по гредставлению 1Q(—1) группы SU(5) х U(l),<pk обозначает легкое поле Сиггса, преобразующиеся по представлению 5(2), а инварианты опре-юлены следующим образом:

ß2 = \ßikßik, Trß4 = ßprßqsß™ß's, =

'riß xß) = ßikßim<pneik'mn, iß'-pf = A./3'W'.

Этот потенциал отличается от обычного наличием члена третьей сте-1ени <p(ß х ß). Наложение на теорию дополнительной ^-симметрии, соторая, к сожалению, пока не может быть истолкована геометриче-:кп, приводит к выпадению этого члена и дает стандартный потенциал

Хиггса. Показано, что при

1 + >/53 „ З + л/12

экстремум с группой ненарушенной симметрии 5{7(3) х £7(1) есть абсолютный минимум этого потенциала, так что при к2 в этом интервале редуцированная теория приводит к правильному спонтанному нарушению симметрии. Для масс полей Хиггса получаются выражения

,2 _ + 1

гпр = 16М*

2 — Зк2 — 4

т2 = 16М2-5-,

к

которые допускают иерархию масс бозонов Хиггса при значении параметра к2 ~ . Для угла Вапнберга в древесном приближении получено значение ягп20ш = |, которое только немного больше, чем чем значение угла Вайнберга, ят2^. = |, в стандартной 5(7(5)- модели великого объединения. Это значение считается асимптотическим, причем наблюдаемое низкоэнергетическое значение оказывается значительно меньшим.

В заключении еще раз сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Они сводятся к следующим:

1. Развит геометрический метод размерной редукции симметричных калибровочных полей, основанный на теории редукции расслоенных пространств и включающий в себя классификацию симметричных калибровочных полей и редукцию действия для таких полей. Показано, что размерная редукция чисто калибровочной теории в многомерном пространстве-времени приводит к калибровочной теории в пространстве меньшего числа измерений, калибровочная группа которой является подгруппой исходной калибровочной группы п которая содержит скалярные поля с самодействием четвертой степени, которое может приводить к спонтанному нарушению симметрии.

2. Изучены модели Хиггса, получающиеся размерной редукцией чисто калибровочных теорий в пространствах с дополнительными пространственными измерениями. Найдены достаточные условня неприводимости мультиплета полей Хиггса и развит общий метод

вычисления потенциала их самодействпя. Приведены примеры моделей' Хпггса, построенных этим методом.

3. Методом размерной редукции построен бозопный сектор модели Вайнберга-Салама, отличительной чертой которого является то, что угол слабого смешивания может принимать только дискретный ряд значений. Найдены и исследованы модели, угол слабого смешивания которых наиболее близок к экспериментальному.

4. Размерной редукцией чисто калибровочной теории с калибровочной группой £7 в пространстве М4 х 50(7)/5£/(3) х (7(1) построен бозоннып сектор 5(7(5) х (7(1) модели великого объединения, приводящий к правильному спонтанному нарушению симметрии и допускающий иерархию масс бозонов Хпггса.

5. Развит метод нахождения компактифицирующих решений в теориях Эйнштейна-Янга-Миллса, основанный на методе размерной редукции симметричных калибровочных полей и дающпй естественный критерий стабильности п физической адекватности таких решений. Построены примеры решений, отвечающих спонтанной компактпфпкацпп в симметрические пространства и в однородные пространства общего вида, в том числе с нестандартной сигнатурой метрики.

6. Найдены точные 50(4)-спмметрпчные решения типа "кротовых нор" в четырехмерной теории Эйнштейна-Янга-Миллса с унитарными и ортогональными калибровочными группами, описывающие квантовое туннелированпе замкнутой Вселенной Фридмана между состояниями с разными радиусами кривизны. Рассмотрено влияние фермпонных полей на такие решения.

7. В рамках геометрического описания симметричных калибровочных полей найдены в явном виде калибровочные преобразования, связывающие вектор-потенциалы поля монополя Дирака с различными линиями сингулярностеи.

8. С помощью развитого метода классификации симметричных калибровочных полей дан общий вывод представления нулевой кривизны для сферически-симметричных самодуальных калибровочных

полей с произвольной калибровочной группой в евклидовом пространстве Л4; это представление является основой для нахождения точных сферически-симметричных решений пнстантонного типа.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Волобуев И.П. Лагранжианы для вращательно симметричных калибровочных полей в пространстве произвольной размерности, ТМФ, 1982, т.50, N2, 240-250.

2. Волобуев И.П. Геометрическое описание монополя Дирака и калибровочные преобразования сингулярных потенциалов. В труд ад конф. "Комплексные методы в математической физике", ДонецкшТ унив. 1984, с.127.

3. Rudolph G., Volobuev I.P. Dimensional reduction of gauge field theories in terms of fibre bundle reduction. Leipzig Univ. preprint QFT 01-84, 1984, 8p. In "Geometrical methods in physics". Proc of the conference on differential geometry and its applications. (Nove Mésto, 1983) Brno 1984, 239 - 245.

4. Волобуев И.П., Рудольф Г. Геометрический подход к размерно! редукции симметричных калибровочных полей. ТМФ, 1985, т.62 N3, 388-399.

5. Волобуев И.П. Калибровочные преобразования сингулярных по тенциалов монополя Дирака. Вестник МГУ, сер. физ, 1986, т.27 N3, 63-64.

6. Волобуев И.П., Кубышин Ю.А. Потенциалы Хпггса как наследи* высших размерностей пространства-времени. 1. Размерная редук цпя и скалярные поля. ТМФ, 1986, т.68, N2, 225-235.

7. Волобуев И.П., Кубышнн Ю.А. Потенциалы Хиггса как наследи высших размерностей пространства-временп. 2. Построение моде лей Хиггса. ТМФ, 1986, т.68, N3, 368-380.

8. Волобуев И.П., Кубышин Ю.А. Модели Хиггса порождении симметрическими пространствами. В трудах 3-его семинар

"Теоретико-групповые методы в физике" (Юрмала, 22-24 мая 1985) Москва, Наука, 1986, т.1, 301-308.

Э. Kubyshin Yn.A., Volobuev I.P. Weinberg-Salam model from multidimensional Einstein-Yang-Mills theory. 11th inter, conf. on general relativity and gravitation. (Stockholm, Sweden, 6-12 July 198G), Abstracts of contributed papers v.l, p.299.

3. Волобуев И.П., Кубышин Ю.А. О физической интерпретации решении теории спонтанной компактпфикацпи. Письма в ЖЭТФ, 1987, т.45, вып. 10, 455-457.

1. Kubyshin Yu.A., Mourao J.M., Volobuev I.P. Spontaneous compacti-fication and dimensional reduction. Phys. Lett. 1988, v. B203, N4, 349-352.

2. Волобуев И.П., Кубышин Ю.А., Моурао Ж.М. Симметрические пространства и модели Хиггса в методе размерной редукции. 1. Потенциалы скалярных полей редуцированной теории. ТМФ, 1989, т.78, N1, 58-69.

3. Волобуев И.П., Кубышин Ю.А., Моурао Ж.М. Симметрические пространства и модели Хиггса в методе размерной редукции. 2. Модели с одним мультиплетом скалярных полей. ТМФ, 1989, т.78, N2, 267-280.

4. И.П. Волобуев И.П., Кубышин Ю.А., Моурао Ж.М., Рудольф Г. Размерная редукция симметричных калибровочных полей, модели Хиггса и спонтанная комиактификацпя. ЭЧАЯ, 1989, т. 20, вып.З, 561-627.

5. Kubyshin Yu.A., Mourao J.M., Volobuev I.P. Spontaneous compactifi-cation with extra time-like dimensions in Einstein-Yang-Mills theories. In proc. "Problems of high energy physics and field theory", Moscow, Nauka, 1990, 73-76.

6. Rudolph G., Volobuev I.P. Some remarks on dimensional reduction of gauge theories and model building. Nucl. Phys., 1989, v. B313, N1, 95-116.

17. Волобуев И.П., Кубышин Ю.А., Моурао Ж.М. Стабилыше ком-пактифпцнруюшие решения и новые возможности построения моделей для симметрических пространств с простыми группами изотропии. В трудах конф. "Проблемы физики высоких энергий и квантовой теории поля" Москва, Наука, 1989, 25-35.

18. Kubyshin Yu.A., Mourao J.M., Rudolph G., Volobuev I.P. Dimensional reduction of gauge theories, spontaneous compactification and model building. Lecture Notes in Physics, 349, Springer-Verlag, 1989.

19. Bertolami O., Mourao J.M., Picken R.F., Volobuev I.P. Dynamics of euclideanized Einstein-Yang-Mills systems with arbitrary gauge groups. Int. Jour. Mod. Phys., 1991, v. A6, N23, 4149-4180.

20. Volobuev LP. Geometry and physics of symmetric gauge fields. In proc. "Quantum field theory and high energy physics", Moscow Univ. Press, 1991, pp. 162-174.

21. Rudolph G., Volobuev LP. Flipped SU(5) grand unified theory in the dimensional reduction method. Proc. Joint Int. Workshop, (Zvenigorod, 15-22 September 1993) Ed. В. B. Levtchenko, Moscow Univ. Press 1994, pp. 161-165.

22. Volobuev LP. Wormhole-type solutions in SU(5) grand unified model. In proc. "Problems of high energy physics and field theory" (Protvino, July 1992), IHEP, 1994, pp.175-179.

23. Rudolph G., Volobuev LP. Construction of grand unified models by dimensional reduction. Leipzig University preprint - No.20/94, Leipzig 1994.