Калибровочные поля в пространствах Минковского и (анти)-де Ситтера в рамках развёрнутого формализма тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. П. Н. ЛЕБЕДЕВА РАН

На правах рукописи

904602385

СКВОРЦОВ Евгений Дмитриевич

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВАХ МИНКОВСКОГО И (АНТИ)-ДЕ СИТТЕРА В РАМКАХ РАЗВЁРНУТОГО ФОРМАЛИЗМА

01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 0 мл:!

Москва — 2010

004602385

Работа выполнена в Отделении теоретической физики им. И.Е. Тамма Учреждения Российской академии наук Физического институт им. П.Н. Лебедева РАН

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Васильев Михаил Андреевич Учреждение Российской академии наук Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, г. Москва

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Белавин Александр Абрамович

Учреждение Российской академии наук Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, г. Черноголовка

кандидат физико-математических наук, Зиновьев Юрий Михайлович Государственный научный центр Институт физики высоких энергий, г. Протвино

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт ядерных исследований РАН, г. Москва

Защита состоится 24 мая 2010 года в_:_ч. на заседании диссертационно

го совета Д 002.023.02 при Физическом Институте им. П.Н. Лебедева РА по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский проспект, д. 53.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физического Институт им. П.Н. Лебедева РАН или на сайте http: //td. lpi. ru/.

С авторефератом диссертации можно ознакомиться на сайт http://td.lpi.ru/.

Автореферат разослан «_» апреля 2010 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета Д 002.023.02

доктор физико-математических наук Я.Н. Истоми

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию калибровочных полей наиболее общего тензорного типа в пространствах Минковского и (анти)-де Ситтера произвольной размерности.

Актуальность темы. Построение теории квантовой гравитации и фундаментальной теории всех взаимодействий представляются одними из наиболее важных проблем в физике высоких энергий. Основным кандидатом, способным решить обе задачи, является теория суперструн, формулировка которой включает: дополнительные пространственные измерения, суперсимметрию, а также башню массивных тензорных возбуждений всех рангов — в настоящее время не очевидно, насколько всё это необходимо для квантования гравитации. Кроме того и в самой теории струн имеются открытые вопросы, например, выявление её скрытых симметрий.

В рамках теории поля актуален вопрос о поиске нетривиальных взаимодействующих теорий, спектр которых аналогичен теории струн, что важно как для развития полевого взгляда на теорию струн, так и для более глубокого понимания самой теории поля.

Фундаментальное значение в теории поля имеет калибровочная симметрия, которая играет определяющую роль при построении нелинейных теорий, фиксируя типы возможных взаимодействий.

На данный момент известно не так много калибровочных теорий поля со взаимодействиями. К основным следует отнести: теорию Янга-Миллса, на основе которой построена Стандартная модель электрослабых взаимодействий и хромодинамика, теорию гравитации Эйнштейна, теории супергравитации. Также сюда следует включить теорию Васильева1, спектр которой содержит калибровочные поля всех спинов от нуля до бесконечно-

теория спектр полей: кратность х спин (з), масса = 0

Янг-Миллс N х (в = 1), Л^-размерность группы Ли

гравитация 1 х (в = 2)

ЛЛсупергравитация 1 х {з = 2)+ЛГ х (я = §)+..., М= 1,2,...,8

теория Васильева х (5)' ^-размерность группы Ли

А. УазШеу, Ркуа. ЬеЫ. В243 (1990) 378-382.

сти, что делает её похожей на теорию струн. Последняя теория в ф с ненарушенными калибровочными симметриями требует ненулевой ко мологической постоянной, а также содержит бесконечное число верш взаимодействий, аналогично теории гравитации. Исследование полей пр извольного спина составляет предмет теории полей высших спинов.

В настоящее время наибольший интерес представляют теории поля пространствах Минковского, де Ситтера (дС) и анти-де Ситтера (АдС) максимально симметричных решениях уравнений Эйнштейна с космол гической постоянной: нулевой, положительной и отрицательной соотве ственно. Активное развитие теорий супергравитации и суперструн дела актуальными исследования теорий поля в пространстве размерности бол шей четырёх, с1 > 4.

При с1 > 4 понятие спина значительно усложняется. Спин части1 в с!-мерном пространстве задаётся не одним (полу)целым числом, а п следовательностью таких чисел, определяющих тензор физических пол ризаций частицы. Соответствующие поля называются полями смешанн го (произвольного) типа симметрии, так как описываются тензорами, являющимися только симметричными или антисимметричными. С общ точки зрения поля спина исчерпывающие классификацию при с5 = отвечают частному случаю полностью симметричных тензорных полей.

Изучение полей произвольного типа симметрии актуально посколь

• Спектр теории струн содержит массивные поля произвольного типа с метрии. Масштаб массы задаётся струнным натяжением а'-1. Поэтому, пределе нулевого натяжения следует ожидать2 перехода теории струн некоторую теорию взаимодействующих безмассовых, т.е. калибровочны полей произвольного типа симметрии.

• Обратная гипотеза состоит в том, что сама теория струн может пол чаться путём некоторого нарушения симметрий в теории калибровочн полей произвольного типа симметрии.

• В рамках гипотезы АдС/КТП-соответствия3 теория Васильева долж быть дуальна4 0(Щ-сигма модели. Для изучения в рамках дуальное

2D. J. Gross, Phys. Rev. Lett. 60, 1229 (1988).

3J. M. Maldacena, Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998).

4I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, Phys. Lett. B 550, 213 (2002).

«гравитация/калибровочная теория»5 физически более интересных моде-ей, где с полевой стороны дуальности присутствует, например, КХД, необ-одимо развивать теорию полей смешанного типа симметрии, которые оявляются уже в пятимерном пространстве анти-де Ситтера, АдС5. В теориях высших спинов снимается ограничение M < 8 на количество уперсимметрий в супергравитации, что даёт ещё большую надежду на остроение конечной квантовой теории гравитации в рамках теории поля.

Что касается массивных полей, то они могут в определённом смысле читаться производными от безмассовых, получаясь из последних за счёт шкоторого механизма Хиггса нарушения симметрий. Также массивные поя допускают формулировку в терминах наборов безмассовых полей6, что озволяет формулировать их как калибровочные теории.

В пространстве (анти)-де Ситтера благодаря наличию космологической юстоянной (Л / 0), действующей эффективно как некоторый потенциал, аже безмассовые поля имеют ненулевые массовые слагаемые в волновом уравнении. Ввиду этого безмассовые поля удобно определять как калибровочные поля. Такой принцип, конечно, применим и в пространстве Мин-ковского (Л = 0).

Калибровочные поля смешанного типа симметрии проявляют ряд необычных свойств при Л ф 0 по сравнению со случаем Л = 0. Так, теория уже не определяется однозначно спином поля7, и существуют несколько неэквивалентных теорий с данным спином. Также при Л 0 появляются частично-безмассовые поля8, число степеней свободы которых оказывается промежуточным между массивными и безмассовыми полями.

Из ранее полученных фундаментальных результатов в теории калибровочных полей смешанного типа симметрии следует выделить формулировку Лабастиды9 для свободных полей в пространстве Минковского. Методы и подходы. Основным методом, используемым в диссертации, является развёрнутый подход10, оказавшийся наиболее эффективным в задаче о поиске теории со взаимодействиями, включающей в себя калибро-

5S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, Phys. Lett. В 428, 105 (1998).

6Yu. M. Zinoviev, On massive high spin particles in AdS, hep-th/0108192.

7R. R. Metsaev, Phys. Lett. B354 (1995) 78-84.

sS. Deser and R. I. Nepomechie, Ann. Phys. 154 (1984) 396.

9J. M. F.Labastida, Nucl. Phys. B322 (1989) 185.

10M. A. Vasiliev, Phys. Lett. B209 (1988) 491-497.

вочные поля высших спинов. Данный подход, в частности, обобщает тет радную формулировку гравитации на случай полей спина s. Развёрнуты' подход есть специальная форма записи уравнений движения, которая га рантирует их общекоординатную и калибровочную инвариантность, а так же оказывается тесно связан с теорией представлений группы симметри пространства-времени. Развёрнутую формулировку допускают любые те рии, например, теории Янга-Миллса и гравитации11.

Целью работы является построение развёрнутой формулировки для ка либровочных полей смешанного типа симметрии в пространствах Мин ковского и (анти)-де Ситтера произвольной размерности, а также постро ение действия для таких полей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются ори гинальными и получены впервые.

Научная и практическая ценность диссертационной работы состой в возможности непосредственного применения полученных в ней резуль татов к теории полей высших спинов, теориям поля в пространстве про извольной размерности, для исследовании полевых моделей, связанных теорией струн и супергравитацией.

В представленных работах сделаны важные шаги в развитии теори свободных калибровочных полей произвольного типа симметрии, на ос нове которых предполагается исследовать вопрос об их взаимодействиях. Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано статей в журналах из списка рекомендованных ВАК РФ, [1-5]. Апробация работы. Результаты настоящего исследования были пред ставлены на следующих научных конференциях и семинарах: 7-ой меж дународный семинар «Суперсимметрии и квантовые симметрии», ОИЯИ г. Дубна, 30 июля — 4 августа, 2007; 15-ый международный семинар п физике высоких энергий, Кварки-2008, г. Сергиев Посад, 23-29 мая, 2008 приглашённый доклад на семинаре в Scuola Normale Superiore, г. Пи за, Италия, 18 ноября, 2008; 2-ая международная конференция по поле вой теории струн и связанным проблемам, Математический институт им В.А. Стеклова РАН, г. Москва, 12-19 апреля, 2009; 4-ая международна Сахаровская конференция по физике, 18-23 мая, 2009, Физический Ин

UM. A. Vasiliev, Int. J. Geom. Meth. Mod. Phys. 3, 37 (2006).

статут им. П.Н. Лебедева РАН, г. Москва; 8-ой международный семинар «Суперсимметрии и квантовые симметрии», ОИЯИ, г. Дубна, 29 июля — 3 августа, 2009; семинар отделения теоретической физики Физического института им. П.Н. Лебедева РАН; семинар Института теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН.

Структура диссертации и объем работы. Диссертация содержит 200 страниц и состоит из введения, двух глав с описанием предметной области и используемых методов, четырёх глав с описанием результатов, выводов, библиографии, включающей 210 источников, и четырёх приложений.

Краткое содержание работы

Во введении описана история вопроса и основные ранее полученные результаты в теории полей смешанной симметрии, проводятся параллели с другими теориями поля и теорией струн. Рассматриваются качественные особенности калибровочных полей в пространствах с ненулевой космологической постоянной Л по сравнению с пространством Минковского. Сформулированы задачи диссертации.

В первой главе даётся полное описание всех возможных типов калибровочных полей в пространствах Минковского (Л — 0) и (анти)-де Ситтера (Л ф 0) произвольной размерности. Новый результат состоит в получении полной классификации полей в пространстве (алти)-де Ситтера.

Спин частицы, т.е. тензор физических поляризаций, во всех рассматриваемых случаях преобразуется как представление ортогональной группы ¿'О(Д^). Само N зависит от размерности пространства с1, а также от того равна или нет нулю космологическая постоянная А. Неприводимое представление 50(7*/) задаётся набором п, п = [ЛГ/2], (полу)целых неотрицательных чисел (в1 + (|), ...,5п + (|))> ^ > 0, > .^+1, который удобно изображать диаграммой Юнга Э = ¥(вх,..., зп), представляющей собой таблицу из п строк, в г-ой строке которой находится в, клеток. Каждой диаграмме Юнга отвечает определённый тип симметрии тензора, ранг которого равен числу клеток в ней.

_£1

в2

Полевое описание на массовой оболочке удобно строить в терминах по тенциалов. Потенциал фв(х) поля спина в есть тензор группы Лоренц — 1,1) с типом симметрии, определяемым той же диаграммой Я, чт и спин. На потенциал фя наложены все лоренц-ковариантные условия12

(□ + т2)^ = (□ + = о,

£)тфа(«О,...,тс(«<-1),...,«(«„) _ д

свёртка любых двух индексов (след)</>8 = 0,

I = 1 ,...,п,

(1 (2 (3

1

в,-г |

где □ = ОтОт и От — ковариантная производная в пространстве (анти) де Ситтера или Минковского.

Результат состоит в том, что при Л ф 0 тип калибровочного поля одни значно определяется спином Я, а также двумя дискретными параметрам q, Ь. Причём калибровочная симметрия у уравнений (1)-(3) возникает пр!

т2{Ъ,я,Ь) = К{Е0{Е0-6 + 1)-^3г), ЕоЫ) = (1 + а,1. (4

г

Закон калибровочных преобразований содержит £ производных, а ти симметрии калибровочного параметра задаётся диаграммой С, полученной удалением t клеток от ц-ой строки Б, при условии, что С тоже диаграмма. Поля с < = 1 и Ь > 1 принято называть безмассовыми и частично-безмассовыми соответственно. Данный результат обобщает ране известные случаи (Э, д, Л = 1) безмассового поля произвольного спина в частично-безмассового поля спина в, (У(в),д = l,t = 2...в). В пространств анти-де Ситтера унитарно только поле с минимальным q и t = 1.

Как хорошо известно, в пространстве Минковского (Л = 0) калибровоч ная симметрия у уравнений (1)-(3) возникает только при т2(в,¿) = 0 что следует, в частности, из (4). Теории с £ > 1 приводимы и не рассматри ваются. Поэтому калибровочная теория однозначно определяется cпинo^ Б, а в закон калибровочных преобразований входят все параметры

УН

12Группа к симметричных индексов а\...а^ обозначается а(к). По группам индексов отделённых запятой, подразумевается выполнение юнговских условий.

Минковский (анти)-де Ситтер

спин калибровочного поля 5о(с! - 2) 50^-1)

масса калибровочного поля 0

параметры, определяющие калибровочную теорию спин Э спин Б, д, £

закон калибровочных преобразований г 5фЯ = '5^3 ^^

Проблема полевого описания состоит в том, чтобы построить формулировку, в которой ни поля, ни калибровочные параметры не подчинены дифференциальным условиям. В частности, это нужно для построения лагранжиана. Бесследовость ф3 влечёт условия вида (2) для калибровочных параметров. Поэтому потенциал должен быть заменён некоторым расширением ф3 — тензорным полем того же типа симметрии, но подчинённым более слабым следовым условиям. Для полей произвольного спина Э в пространстве Минковского такие условия были найдены Лабастидой9, а для полей (Я, д, ¿) — в настоящей диссертации.

Вторая глава не содержит новых результатов и посвящена описанию формализма разворачивания, являющегося основным методом, используемым в диссертации. Говорится, что некоторый набор дифференциальных уравнений имеет развёрнутый вид, если он может быть записан как равенство нулю напряжённостей вида

ЯА = ¿Шл + РЛ{Ш) = 0, (5)

где IV л — набор дифференциальных форм на некотором с1-мерном многообразии Л4а со значениями в некоторых векторных пространствах, которые обозначаются индексами Л; |.А| есть степень \УЛ как дифференциальной формы; (1 - внешний дифференциал на Ма] Рл(\¥) - функция степени (|Л( + 1) от IVл, которая предполагается разложимой только в терминах внешних произведений форм с постоянными коэффициентами перед ними.

Формальная совместность (5) с сР = 0, требует выполнения условия

которое называется обобщённым тождеством Якоби (слева) или тождеством Бьянки (справа). Любое решение (6) определяет некоторую свободную дифференциальную алгебру13.

Если решения (6) удовлетворяют условиям универсальности14, то уравнения (5) инвариантны относительно калибровочных преобразований вида

если \Л\ > 0, (7)

В' : |Б'| = 1, если |.Д| = 0, (8)

где калибровочный параметр (А поля WA является формой степени (|Л| — 1) и принимает значение в том же пространстве Л, что и WA. Формы WA степени большей нуля, |Л| > 0, представляют собой калибровочные поля, поскольку с каждой из них ассоциирован калибровочный параметр еА.

Пусть 0 есть алгебра Ли группы симметрии пространства Минковского, де Ситтера или анти-де Ситтера, т.е. iso(d — 1,1), so(d, 1) или so(d — 1,2). Алгебра Лоренца so(d — 1,1) есть подалгебра в д. При надлежащем выборе ограниченной снизу градуировки g на пространстве полей материи W, линейные по W развёрнутые уравнения имеют следующую структуру15

R = dÇl + [О, П] = 0, (9)

R° = DW$g+<T-.(n\W°£i) + ...=0, g — 0,1,... (10)

• Q есть один-форма связности g. Уравнение (9) есть равенство нулю напряжённости Янга-Миллса для fi и описывает геометрию пространства как часть развёрнутой системы. Связность Я состоит из тетрады ha = h^dx'1 и лоренцевой спин-связности тса,ь = ет"' bdx». Условие (9) принимает вид

Та = dha + vja'b hb = 0, Ra'b = dwa'b + wc'b + Aha hb = 0, (11)

т.е. требует, чтобы кручение было равно нулю, а тензор Римана пропорционален метрике. В случае Кф 0 связность О, алгебры (анти)-де Ситтера может быть записана в компонентах как QA'B = ÇlA'Bd:rM, QA'B = — ÜB'A,

13D. Sullivan, Puhl. Math. IHES 47 (1977) 269-331.

14X. Bckaert, S. Cnockaert, C. Iazeolla and M. A. Vasiliev, hep-th/0503128.

15Нижний индекс обозначает ранг формы, шч = Л ... Adx^i.

öeWA--SeWA:

= deA - £' в' SFA

8FA ôW3'

в'

т.е. антисимметрична по касательным индексам А, В, пробегающим значения 0,..., с), опускаемым и поднимаемым с помощью инвариантной метрики т)ав■ Тогда условие нулевой кривизны (9) О примет вид

ЯА<В = (1ПА'В + ПА'СЛПС'В = 0. (12)

Из связности можно выделить фоновые тетраду и спин-связность

Я«^ = д/Щ/Л = (13)

где с1 есть лишнее значение векторного индекса алгебры (анти)-де Ситтера по сравнению с алгеброй Лоренца.

• В в (10) есть лоренц-ковариантная производная £) = (I + ■ш и имеет градуировку ноль.

• далее просто сг_(1У3+1), есть линейный алгебраический оператор градуировки (—1) на пространстве полей И/я, который, однако, может быть полиномиальным по О.

• Многоточие в (10) обозначает возможные алгебраические операторы неотрицательной градуировки.

Совместность (9)-(10) требует (сг_)2 = 0, что позволяет поставить задачу о сг_-когомологиях, теоретико-полевая интерпретация которых состоит в следующем: представители Н90 отвечают физическим полям, например, расширениям потенциалов; Нчо"~1, г = 1,..., до — это калибровочные параметры на г-ом уровне приводимости; Н90+1 — калибровочно-инвариантные уравнения; Н9о+,+1 дают тождества Бьянки г-го уровня.

Вычисление сг_-когомологий формализует задачу о физическом содержании развёрнутой системы уравнений, поскольку большинство уравнений (10) оказываются связями, выражающими одни поля через производные других, а большая сдвиговая (штюкельбергова) калибровочная симметрия, присутствующая в (10), позволяет откалибровать некоторые поля. Такое расширение состава полей, необходимых для построения развёрнутой формулировки, обеспечивает координатную независимость, явную калибровочную-инвариантность и тесную связь с теорией представлений группы симметрии пространства-времени. Вычисление <х_-когомологий эквивалентно интерпретации теории в терминах потенциалов.

Третья глава основана на работе [1], в которой строится развёрнутая формулировка для калибровочных полей произвольного типа симметрии

(спина) S в пространстве Минковского, что существенно расширяет ранее

известный результат16 о развёрнутой формулировке для полей спина s.

Результат состоит в том, что для поля спина h\h2h3 h'~10 0

S = Y[hi,...,hSl] = Y(si,...,s„), где диаграмму • т

Юнга удобно задавать, перечисляя длины столб- — . : —

цов hi, развёрнутые уравнения имеют вид ;__

S =

F —

где поле есть дифференциальная форма степе- s"l_

ни qg, несущая тензорные индексы группы Лоренца, по которым она является неприводимым тензором с типом симметрии диаграммы Fg. Степени форм qg и диаграммы F9 однозначно определяются спином S

qk = hk+1, А; = 0,1,... Ffc = Y[hi + 1,Лл +1, hfc+a, —],

где следует положить hk = 0 при к > si. Действие оператора

определяется как свёртка необходимого числа тетрад ha с полем и затем применение проектора Юнга для получения типа симметрии Fg.

Развёрнутые уравнения для фермионного поля спина S = Y(si + ...,sn -f имеют тот же вид, что и развёрнутые уравнения для бозонного поля спина S = Y(sj,..., sn). Единственное различие состоит в замене неприводимых тензоров на неприводимые спин-тензоры,

характеризуемые теми же диаграммами Юнга Fg. р

Поля представляют собой обобщения поля тетрады и спин-

связности и в случае S = Ш, т.е. поля спина два, прямо совпадают с ними. Первое поле развёрнутой системы есть обобщённая тетрада, которая имеет следующий явный вид

е^31"^.....dx»1 Л ... Л (14)

С помощью обратной тетрады /гм°, можно явно вложить потенциал Лабастиды9 0S = <¿a(3i)v-.,-"('s„) в обобщённую тетраду17

фа(в1),...,и(зп) _ eo(si-l),...,u(sn-l)^a/xi__ (15)

16М. A. Vasiliev, Nucí. Phys. В 307, 319 (1988).

17По повторяющемуся сверху индексу подразумевается симметризация.

что обобщает связь флуктуаций метрики и тетрады в случае спина два. Заметим, что довольно необычные следовые условия Лабастиды на расширение <¡>s потенциала <f>s

т]ттПппфаМ'-'ттппЬ{н~4).....uK) =0, t = 1,..., п (16)

на самом деле являются простым следствием неприводимости тетрады е^ по касательным индексам и отсутствия каких бы то ни было условий между касательными индексами и индексами формы. В этой главе также показано как уравнения Лабастиды9 вытекают из развёрнутой формулировки.

Отметим, что чисто техническая сложность подхода Лабастиды, связанная с тем, что расширения калибровочных параметров оказывались зависимыми друг от друга посредством следовых условий, автоматически разрешается в развёрнутом подходе, где все являются различными компонентами одного параметра £q0°_i-

Четвёртая глава основана на работе [2], в которой было построено действие первого порядка для калибровочных полей произвольного спина в пространстве Минковского. Основой для данной работы было хорошо известное действие Эйнштейна-Гильберта-Вейля в переменных тетрада-связность, и его обобщение18 на случай полей спина s, а также работы Ю.М.Зиновьева19, в которых были разобраны важные частные примеры. Результат состоит в том, что действие для поля произвольного типа

симметрии (спина) S имеет вид

S=\jMd(RF^ | '

где параметр /3 однозначно фиксируется ¡3 = (—)9о+1 требованием калибровочной инвариантности. и Rf^+i есть напряжённости для первых двух полей развёрнутой системы, т.е. для обобщенных тетрады е^Ц и спин-связности w^1,

<o+i = Del0° +<М<г). Kl+i = +--Ю- (18)

Напряжённости инвариантны относительно калибровочных преобразований (7,10) и удовлетворяют тождествам Бьянки (6).

1SM. A. Vasiliev, Sov. J. Nucí. Phys. 32 (1980) 439.

19Y. M. Zinoviev, arXiv:hep-th/0304067, hep-th/0306292, hep-th/0211233.

Угловые скобки в (17) обозначают скалярное произведение, которое для формы степени (р+1) и формы 1 степени д таких, что до+Я1 — Р+Ч> определяется как

и является с)-формой, которая может интегрироваться по пространству в (17). Еищ есть (<* — /с)-форма с к антисимметричными касательными индексами, построенная из фоновой тетрады,

Е„щ =еит...ьл.кНЬ1...Ь!"-к. (19)

По отношению к введённому таким образом скалярному произведению сг_ обладает важными свойствами

(<г_(е*')| = Н9'-™ е*«),

= о.

Эти свойства используются при проверке калибровочной инвариантност действия и при получении вариационных уравнений движения.

Действие (17) также можно переписать, подставив явные выражени для напряжённостей,

<,'>• (20

Форма (20) более компактна, а форма (17) более симметрична и удобн для вывода полевых уравнений.

Число слагаемых в действии Лабастиды9, записанном в терминах п тенциала, растёт экспоненциально с количеством ненулевых строк в диа грамме Э = ..., вп). Это происходит из-за того, что потенциал (15 не является неприводимым тензором, а удовлетворяет более слабым, чеь полная бесследовость условиям (16). Количество неэквивалентных следов градиентов и дивергенций быстро растёт для тензоров общего типа сим метрии, а действие Лабастиды содержит все возможные слагаемые с нек торыми коэффициентами, фиксирующимися требованием калибровочно инвариантности. Напротив, поля , ш^1 являются неприводимыми тенз рами группы Лоренца по касательным индексам. В результате в термина

О, и/у* и внешнего произведения действие содержит только два слагаемых, что демонстрирует эффективность развёрнутого подхода.

Пятая глава и работа [3] посвящены одному из простейших типов калибровочных полей в пространстве (анти)-де Ситтера, а именно полностью симметричным частично-безмассовых полям, т.е. полям семейства (У(з),1,г), для которых предъявлено простое описание и построено явно калибровочно-инвариантное действие.

Работа обобщает известное действие20 для гравитации, которое построено в аналогичной действию Янга-Миллса форме из напряжённости ДА'В (12) для £1А'В, а также действие21 для безмассовых полей спина я, т.е. полей типа (¥($), 1,1).

Результат состоит в том, что поле (¥(я), 1, £)-типа можно описать один-формой которая есть неприводимый тензор алгебры

(анти)-де Ситтера, определяемый диаграммой | | ^^ 3. С использова-

нием ковариантной производной = <1 + £1, удовлетворяющей (12), закон калибровочных преобразований, калибровочно-инвариантная напряжённость и тождества Бьянки для неё имеют простой вид

дЛ(.-1),В(.-0 = ВпЙА(*-1)М*-г) = 0

Напряжённость явно калибровочно-инвариантна поскольку из (12) следует Иа2 = 0. Наиболее общее явно калибровочно-инвариантное Р-чётное действие строится в терминах билинейной комбинации напряжённостей, свёрнутых всевозможными способами, и имеет вид

(1=3-2,

^ т=з —1 -

4К А о •'м*

„ п А1В(з-к~2)С(к),А20(з-1-т-1)С(т)т} ^з С(к),Л4 С(т)

Х Л2 П2 В{з-к-2) 1) >

где было введено векторное поле компенсатор Ул(х), нормированное так, что

а ЕА = Поле УА(х) позволяет22 сделать

20К. S. Stelle and Р. С. West, Phys. Rev. D 21, 1466 (1980).

21M. A. Vasiliev, Nucl. Phys. B616 (2001) 106-162.

22K. S. Stelle and Р. C. West, Phys. Rev. D21 (1980) 1466.

симметрию алгебры (аити)-де Ситтера явной. Без ограничения общности можно выбрать калибровку Ул = <5^, А = а,6.

Требованием, чтобы в действие входили производные не выше второго порядка и оно имело правильный предел Л —> 0, коэффициенты Ь3к'гт фиксируются с точностью до общего фактора Ь"'г

, _ , (5 - к - т - 1)!(с? -5 + 2(к + гп))!! к'т - к - 2)1(5 - т)\

Различные проекции на поле компенсатора УА (х), обоб-

щающие (13), определяются правилом ограничения представления алгебры (анти)-де Ситтера на алгебру Лоренца.

Вычисление а _-когомологий позволяет связать данную калибровочную теорию с описанием в терминах полей-потенциалов. Единственный дифференциальный калибровочный параметр в ^ даётся проекцией максимально параллельной полю компенсатора £0 = ... Т/да1. Потенциал фа<-3^ определяется как бесследовая часть фа« = ... Ус,_(.

Поле имеет закон калибровочных преобразований частично-

безмассовых полей (

6фа^ = ц^гР + -,

где многоточие обозначает слагаемые с меньшим числом производных, а также слагаемые, обеспечивающие бесследовость выражения.

В шестой главе, следуя [4] и [5], изучаются калибровочные поля произвольного типа симметрии в пространстве (анти)-де Ситтера, т.е. поля типа (Э, q, ¿), см. главу 1, с произвольными допустимыми значениями спина Э и параметров д. t, определяющих тип калибровочной симметрии.

Пусть д есть алгебра Ли группы симметрий пространства (анти)-де Ситтера, т.е. зо(с1,1) или зо(с1 — 1,2). Основной результат состоит в следующем. Калибровочное поле, отвечающее неприводимому представлению (Э, д, 4), см. главу 1, может быть описано с помощью одного обобщённого поля Янга-Миллса алгебры д. В общем случае обобщённое поле Янга-Миллса алгебры д определяется как дифференциальная форма произвольной степени д > 0, имеющая тензорные индексы А, В,... алгебры з и являющаяся по ним неприводимым тензором с типом симметрии,

задаваемым диаграммой А. Для обычного поля Янга-Миллса алгебры д

имеем

д = 1 и А=0, т.е.

А,В

-И?

В,А

Связь между типом (Э, д, калибровочного поля и обобщённым полем Янга-Миллса имеет следующий вид

(в, д, О

(А, д)

1

£<7-1

¿О 1

А =

1 «1-1

Эц -1

эц-г |

50(с] — 1), 30(с1 — 1,1)

(21)

'0

Показано, что калибровочная теория, имеющая на массовой оболочке в терминах потенциалов закон калибровочных преобразований вида

г

6фа(° ^.....= £>с...£>с£'

(22)

вне массовой оболочки может быть описана обобщённым полем Янга-Миллса вида

.....В(ад-1),С(а,-(),£>(з,+1),...^(«„) д _ д ¿х^я #

(23)

Многоточие в (22) обозначает ряд из слагаемых с производными более низкого порядка, а также слагаемые, проектирующие на тип симметрии Б.

С помощью ковариантной производной Оа = (1 + П, удовлетворяющей (12), т.е. Оа2 — 0, для данного обобщённого поля Янга-Миллса можно построить (д + 1)-форму напряжённости = ДаИ^, которая инвариантна относительно калибровочных преобразований = где калибровочный параметр есть (д — 1)-форма со значениями в том же представлении алгебры (анти)-де Ситтера, что и поле Напряжённость удовлетворяет тождествам Бьянки = 0. Уравнения движения в терминах напряжённости Д^+х имеют вид Е...ЕС™, где ЕА = ОпУА, а С™ - обобщённый тензор Вейля, параметризующий те компоненты напряжённости, которые могут быть отличными от нуля на уравнениях движения. В случае (Э = Ш,д = 1,4 = 1), т.е. гравитона, обобщённый тензор Вейля совпадает с обычным тензором Вейля, т.е. бесследовой частью тензора кривизны.

ЛА

Отметим, что в частных случаях идентификация обобщённых по лей Янга-Миллса уже была проведена для безмассового поля спина s23 частично-безмассового поля спина s в главе 5 настоящей диссертации; дл полей серии (Y[hi, /12], 1,1)24; для полей серии (S, qm¡n, 1), где qm¡n есть вы сота последней колонки в S25.

Отдельный результат состоит вычислении всех а _ -когомологии дл произвольного поля (S,<j,i). Теорема о ст_-когомологиях включает в с бя все известные в литературе на настоящий момент частные случаи. Вы числив сг_-когомологии, удалось не только отождествить калибровочну теорию поля W^ с частицей, определяемой (S, q, t), но и предъявить ра ширения $s потенциалов необходимые для построения теории вне ма совой оболочки. Отметим, что за исключением частных случаев описани в терминах фБ отсутствовало в литературе.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

В приложениях собраны используемые обозначения, необходимы сведения из теории представлений и некоторые коэффициенты к главе 5

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Построена развёрнутая формулировка для бозонных и фермионны полей произвольного типа симметрии (спина) в пространстве Минковск го произвольной размерности. Результат опубликован в [1].

2. Предложено обобщение тетрадной формулировки на случай безма совых полей произвольного типа симметрии. Построено простое действ первого порядка, содержащее всего два слагаемых для поля произвольно спина. Результат опубликован в [2].

3. Получена классификация калибровочных полей произвольного т па симметрии в d-мерном пространстве (анти)-де Ситтера: калибровочн поле однозначно определяется спином — неприводимым представление so (d — 1), и двумя дискретными параметрами, фиксирующими тип кали ровочной симметрии. Результат опубликован в [4].

23М. A. Vasiliev, Nucí. Phys. В 616, 106 (2001).

24К. В. Alkalaev, Theor. Math. Phys. 140, 1253 (2004).

25K. В. Alkalaev, О. V. Shaynkman and M. A. Vasiliev, Nucl. Phys. В 692, 363 (2004)

4. Для каждого калибровочного поля произвольного типа симмет-ии из полученной классификации построено полевое описание в терми-ах обобщённого поля Янга-Миллса. Показано, что каждое обобщённое оле Янга-Миллса описывает некоторое калибровочное поле из классифи-ации. Результат опубликован в [4|.

5. Для семейства частично-безмассовых полей спина s построено яв-о калибровочно-инвариантное действие, квадратичное по напряжённости бобщённого поля Янга-Миллса. Результат опубликован в [3].

6. В общем случае вычислены <т_-когомологии, которые отвечают за гтерпретацию обобщённого поля Янга-Миллса в терминах полевых по-;нциалов. Результат опубликован в [5].

Губликации по теме диссертации

1] Е. D. Skvortsov. Mixed-Symmetry Masslcss Fields in Minkowski space nfolded // JHEP. - 2008. - 0807:004.

2] E. D. Skvortsov. Frame-like Actions for Massless Mixed-Symmetry Fields n Minkowski space // Nucl. Phys. — 2009. — B808:569-591.

3] E. D. Skvortsov and M. A. Vasiliev. Geometric formulation for partially assless fields // Nucl. Phys. - 2006. - B756:117-147.

4] E. D. Skvortsov. Gauge fields in (anti)-de Sitter space and Connections f its symmetry algebra // J.Phys. - 2009. - A42:385-401.

5] E. D. Skvortsov. Gauge fields in (A)dSd within the unfolded approach: gebraic aspects // JHEP. - 2010. - 1001:106.

Подписано в печать 20(- {О?. Формат 60x84/16. Заказ № 22 .Тираж ¿¿>экз. П. л. / . Отпечатано в РИИС ФИАН с оригинал-макета заказчика. 1199^1 Москва, Ленинский проспект, 53. Тел. 499 783 3640