Абелевы калибровочные теории тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГб од

^ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УАТЕ'Й^ТИ^ЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В. А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи.

ЗИНОВЬЕВ Юрий Михайлович

АБЕЛЕВЫ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ТЕОРИИ.

Специальность 01.01.03. - математическая физика.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Москва, 1993 год.

Работа выполнена в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН

Официальные оппоненты:'

академик РАН - Я.Г. Синай доктор физико - математических наук - A.A. Дезин доктор физико - математических наук - P.A. Минлос

Ведущая организация - Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится " ~ " ^_ 1993 г.

в часов на заседании Специализированного Совета

Д.002.38.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН

Адрес института: 117966, ГСП - 1, Москва, ул. Вавилова, 42. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " С'' 1</у У*-? 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор физико-математических наук

А.К. Гущин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ -

Актуальность темы. Крамере и Ванье заметили в 1941 г., что статистическая сумма двумерной модели Изинга с обратной температурой /3 пропорциональна статистической сумме этой модели при обратной температуре/3", где (е2'3" — 1)(е2" — 1) = 2. Подобные симметрии были найдены также для некоторых других абелевых калибровочных теорий на решетке и оказались чрезвычайно полезными для изучения этих моделей. Однако попытки распространить полученные соотношения на калибровочные теории с произвольными абелевыми компактными калибровочными группами приводили к бессмысленным выражениям даже для такой важной группы, как и( 1). Причина появления этих расходимостей очень проста: общее преобразование дуальности Крамерса-Ванье должно связывать б-калибровочную теорию с С-калибровочной теорией, где дуальная группа С состоит из всех характеров абе-левой группы <3. Обычные определения статистической суммы и корреляционной функции пригодны лишь для калибровочных теорий с компактными калибровочными группами. Однако дуальная группа абелевой компактной группы Ли не является компактной, например, 1/(1)' = 2.

В этой работе предложены определения действия, статистической суммы и корреляционной функции, отличающиеся от общепринятых определений и пригодные для любой калибровочной теории с абелевой локально-компактной калибровочной группой (для кубических решеток и компактных калибровочных групп эти определения эквивалентны обычным). Заметим, что дуальная группа абелевой локально-компактной группы снова является абелевой и локально-компактной. Более того, основная задача статистической физики - вычисление статистической суммы и корреляционных функций - сформулирована для абелевых калибровочных теорий как задача вычисления преобразования Фурье от функции ехр[5), где 5 - действие калибровочной теории, заданной на группе кограниц решетки с коэффициентами в ка" либровочной группе. Это дало возможность применить к исследованию абелевых калибровочных моделей нетривиальные теоремы гармонического анализа на абелевых локально-компатных группах.

Цель работы состоит в применении предложенных определений и методов для вычисления корреляционных функций известных калибровочных моделей. Вычислить корреляционные функции этих моделей другими методами до сих пор не удавалось.

Используемые методы. Кроме гармонического анализа на абелевых локально-компактных группах для каждой модели пришлось привлекать математические методы, присущие именно этой модели. Для доказательства дуальности, кроме теорем из теории когомологий, пришлось привлекать теоремы о полиэдральной аппроксимации, гладких многообразий. Изучение непрерывного предела И-калибровочвых теорий оказалось связанным с теоремой Ходжа для дифференциальных форм на гладких многообразиях. Корреляционные функции С/(1)-калибровочных моделей выражаются через тэта-функции Римана. Классическая модель Изинга. на дереве Кейли естественным образом обобщается до модели Изинга на обобщенном дереве Брюа-Титса, которое связано с определением Мамфорда для р-адической кривой. Асимптотические значения корреляционных функций этой модели являтся р-адическими интегралами. Аналогичные методы для С/(1) модели на обобщенном дереве Брюа-Титса приводят к р-адическим интегралам, которые являюся амплитудами р-адических

струн. Исследование смешанной С/(1) и В. калибровочной модели безмассового скалярного поля на римановой поверхности потребовало использования нетривиальных теорем из теории римановых поверхностей и тэта-функций.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Доказано, что отношение статистической суммы С? калибровочной теории к статистической сумме в' калибровочной теории равно интегралу от некоторой зависящей от действия функции по группе гомологий решетки с коэффициентами в С. Для обобщенных а§елевых моделей Хиггса статистическая сумма в калибровочной теории всегда равна ст&'гйстйческой сумме дуальной С калибровочной теории независимо от геометрии решетки.

2. Для В. калибровочных теорий на решетке - теории безмассового скалярного поля, электродинамики и решетчатого варианта модели антисимметричных тензорных полей Кэлба-Рэймонда - вычислены корреляционные функции.

3. Для Л калибровочных теорий, зададных на евклидовом пространстве либо на компактном римановом многообразии - теории безмассового скалярного поля, электродинамики и модели Кэлба-Рэймонда антисимметричных тензорных полей - вычислены калибровочно инвариантные корреляционные функции.

4. Для и( 1) калибровочной теории с действием Виллэна, заданной на кубической аппроксимации трех- и четырех-мерного тора, вычислены все корреляционные функции. Показано, что при стремлении шага решетки к нулю, а константы связи к бесконечности, естественным образом выбранные корреляционные функции сходятся к корреляционным функциям И, калибровочной электродинамики на трех- и четырех-мерном торе. При стремлении радиуса тора к бесконечности эти корреляционные функции сходятся к корреляционным функциям И калибровочной евклидовой электродинамики.

5. Для £/(1) модели с действием Виллэна, заданной на обобщенном дереве Брюа-Титса рода д, вычислены статистическая сумма и все корреляционные функции. Вычислены средние от корреляционных функций для N вершин, лежащих на границе обобщенного дерева Брюа-Титса. Когда радиус компактификации, соответствующий окружности {/(1), стремится.к бесконечности, эти средние дают р-петлевые Лг-точечные амплитуды рассеяния р-адической теории струн. В частности, для д = О эти средние совпадают с амплитудами Фройнда-Ольсона.

6. Для модели Изинга на обойденном дереве Брюа-Титса рода д вычислены статистическая сумма и корреляционные функции. Вычислены средние корреляционных фукций, когда соответствующие вершины лежат на границе-обобщенного дерева Брюа—Титса^

7. На компактной римановой поверхности определена теория частично ¡/(1) компактифицированного безмассового скалярного поля с действием Намбу-Гото. Статистическая сумма этой теории полностью определяется выбором конечномерных аппроксимаций. Корреляционные функции от этого выбора не зависят. Средние от асимптотических значений корреляционных функций дают амплитуды. Для компактной римановой поверхности любого рода все известные амплитуды рассеяния для замкнутых бозонных струн являются частными случаями полученных амплитуд.

8. На области компактной римановой поверхности определена теория частично [/(1) компактифицированного безмассового скалярного поля с действием Намбу-Гото. Статистическая сумма этой теории полностью определяется выбором конеч-

номерных аппроксимаций. Корреляционные функции от этого выбора не зависят. Средние от асимптотических значений корреляционных функций дают амплитуды рассеяния для открытых бозонных струн. Корректно доказана предложенная в 1970 г. Г. Нильсеном гипотеза об амплитудах рассеяния.

Теоретическая и практическая ценность. Для широкого класса абелевых калибровочных моделей найден метод вычисления и оценки корреляционных функций. Это позволило явно вычислить корреляционные функции ряда И калибровочных моделей, а также вычислить непрерывный предел корреляционных функций предложенной Вильсоном У(1) калибровочной модели. Вычислены корреляционные функции модели Изинга на обобщенном дереве Кейли. Применение этих методов к ¡7(1) калибровочной модели на обобщенном дереве Брюа-Титса позволило получить математически корректные выражения для амплитуд р-адических струн произвольного рода. Явный вид этих амплитуд для рода больше единицы был ранее неизвестен. Аналогично смешанная 1/(1) и II калибровочная модель на компактной римановой поверхности позволила получить амплитуды рассеяния как для замкнутых, так и для открытых бозонных струн. В отличие от ранее полученных амплитуд эти амплитуды свободны от расходимостей и удовлетворяют всем физическим и геометрическим требованиям. Следует отметить, что для рода больше единицы амплитуды открытых бозонных струн ранее были неизвестны.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на Совещании по физике элементарных частиц (г. Триест, Италия, 1983 г.), на Второй международной конференции по операторным алгебрам и их приложениям в теоретической физике (г. Лейпциг, ГДР, 1983 г.), на Международных коллоквиумах по теоретико- групповым методам в физике (г. Юрмала, 1985 г. и г. Москва, 1990 г.), на Сессии Отделения ядерной физики АН СССР (г. Москва, 1990 г.). Результаты диссертации также докладовались на семинарах Института физики (г. Белград, СФРЮ, 1981 г.), на семинарах Отделения математики Лейпцигского Университета (ГДР, 1982 г. и 1988 г.), на семинарах Института теоретической физики Варшавского Университета (Польша, 1986 г.), на семинарах Института ядерных исследований и ядерной энергетики (г. София, Болгария, 1989 г.), на семинарах Международного центра по теоретической физике (г. Триест, Италия, 1989 г.), на семинарах под руководством акад. Я.Г. Синая (Мехмат МГУ, 1989 г.), на семинарах под руководстом акад. С.П. Новикова (Мехмат МГУ, 1990 г.), на семинарах Лаборатории теоретической физики (ОИЯИ, г. Дубна, 1990 г.), а также па многочисленных семинарах отделов квантовой теории- поля и математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] -

[8].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из восьми глав, разделенных на двадцать шесть параграфов, и списка литературы. Общий объем диссертации 110 страниц, список литературы состоит из 75 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава служит одновременно введением. Определения и результаты этой главы используются во всех остальных главах.

Решетку с произвольной геометрией удобно рассматривать как клеточный комплекс. Пусть <3 - абелева группа. С-калибровочным полем на клеточном комплексе

К мы назовем (р — 1)-коцепь с?'1 6 СР~1(К, <?). Граничные условия на калибровочное поле с"-1 задаются только геометрией решетки, на которой это поле задано. Например, периодические граничные условия соотвествуют тому, что решетка представляет собой разбиение тора. На группе коцепей определено действие граничного 8 и пограничного д' операторов. Действие калибровочного поля определяется с помощью действительной функции к(д) на группе (7:

£(0 = А(8'^) = ЕМв^-Ч«?)). (1)

. -. 'Г,Г ^ /

где суммирование идет по всем ориентированным р-мерным клеткам комплекса К. Во всех известных физических моделях группа в компактна, а функция к(д) непрерывна. Статистическая сумма и корреляционная функция такой теории имеют • вид

г = ( схр^^^-МЫе''-1 (2)

Jcp-^^Kía)

Щх'"1) = 2-1 ¡сг_^ < х'ЛС"1 > ехр^"1)]^"1,

где ¿с?'1 - мера Хаара на группе С'1 [К, б) и коцепь хр_1 £ СР~1(К, С) является характером этой группы.

Очень важной оказалась следующая лемма.

Лемма. Пусть в - компактная абелева группа, к(д) - непрерывная функция на ней, а К - конечный клеточный комплекс. Тогда ЕЖ^х'-1) — если коцепь Хр_1 £ ВР.1(К,С). Если же хр_1 = 8хр, где хр € С"(К,0') и мера Хаара <2ср~х на С~1(К,С) нормирована, то

2\У(8Х") = I < ХР,Ь? > (3)

где ¿Ър - нормированная мера Хаара на компактной группе кограниц ВР(К,С).

Для локально-компактной, но не- компактной абелевой группы О оба определения (2) непригодны, поскольку приходится интегрировать постоянную на группе коциклов Zp~l{K, (3) функцию ехр[5(сг>-1)] по этой некомпактной группе. Поэтому в качестве определения Статистической суммы и корреляционной функции мы будем использовать правую часть соотношения (3).

-С помощью теорем гармонического анализа на локально-компактных группах доказывается следующее предложение.

Предложение. Пусть С? - локально-компактная абелева группа и К - конечный клеточный комплекс. Пусть ехр[Я(д)] - такая непрерывная суммируемая относительно меры Хаара функция на группе в, что ее преобразование Фурье ехр[А*(х)] такэ&е является непрерывной суммируемой относительно соответствующей меры Хаара функцией на дуальной группе С. Пусть А'(хр) = Тогда для лю-

бой меры Хаара (НУ на группе ВР(К, в) и любой коцепи хр € СР(К, С) справедливо соотношение

= ( ехр[Л-(;^)]^>>, (4)

где с1(р - мера Хаара на группе циклов 2Р(К,С).

Если группа G - компактна и меры Хаара dcp и ¿У на группах CP(K,G) и В,'{Ку G) нормированы, то группа ZP(K, G') дискретна и мера А(р каждой ее точки равна единице.

С помощью Предложения и перехода к дуальному клеточному комплексу доказано, что отношение статистической суммы G-калибровочной теории к статистической сумме дуальной G'-калибровочной теории равно интегралу от некоторой зависящей от действия функции по группе гомологий решетки с коэффициентами в G'. Для решеток с простой топологией (соответсвующая группа гомологий тривиальна) это эквивалентно дуальности Крамерса-Вапье. В качестве примеров рассмотрены компактная электродинамика и п—мерная модель Изинга.

Для модели Изинга с магнитным полем Вегнер (F.J. Wegner. J. Math. Phys. 12, 2259,1971) обнаружил дуальность, подобную дуальности Крамерса-Ванье. Оказывается, что модель Изинга с магнитным полем или абелева модель Хиггса на решетке являются частными случаями общей конструкции введения поля типа Хиггса в любую абелеву калибровочную теорию на решетке. В первой главе доказано, что для таких обобщенных абелевых моделей Хиггса статистическая сумма G-калибровочной теории всегда равна статистической сумме дуальной G'-калибровочной теории независимо от топологии решетки.

Вторая глава посвящена изучению необычных калибровочных теорий, в которых роль калибровочной группы играет группа вещественных чисел R. Такие теории возникают самым естественным образом. Пользуясь тем, что <т принимает значения ±1, действие модели Изинга можно записать з виде

ß £ <т(х)а(у) = ßNi — (/3/2) £ (<Ф0-<К!/))2, (5)

l*-vl=l |i-v|=l

где JVi - число ребер решетки. Если мы отбросим несущественное слагаемое ßN\ и разрешим <т принимать любые вещественные значения, то мы получим R-модель Изинга с действием

=-(1/2уа) £ (ф(х)-ф(у))2. (6)

l*-vl=i

Эту модель можно назвать моделью свободного скалярного безмассового поля на решетке. Другой естественный пример R-калибровочной теории дает решетчатая электродинамика, в которой потенциал А является вещественной функцией на ребрах решетки, а действие задается следующим образом:

5(А) = -(1/232)£(Л(М + ---+ЖМ)2, (7)

р

где £>i Н-----1-64 - граница плакетки р и суммирование идет по всем плакеткам решетки.

Совершенно аналогично определяется решетчатый вариант модели Кэлба-Рэймонда (М. Kalb, P. Ramond. Phys. Rev. D9, 2273, 1974). Здесь потенциал А является вещественной функцией на плакетках решетки, а действие равно

5(A) = -(1/2 S2) + • • • + ЛЫ)2, (8)

с

где р! Н----+ рв - граница куба с и суммирование идет по всем кубам решетки.

Мы будем преполагать, что граничные условия на R-калибровочные поля задаются топологией многообразия, которое аппроксимирует решетка. С помощью определений (3) вычислены корреляционные функции для R калибровочных теорий с действиями (6) - (8). Сопоставим полученный ответ с критерием Вильсона. Согласно (K.G. Wilson. Phys. Rev. DIO, 2445, 1974) эффект удержания частиц связан с тем, что корреляционная функция W(T) для больших замкнутых контуров Г ведет себя как ехр[—а£(Г)], где Е(Г) - минимальная площадь поверхности, натянутой на контур Г. Тем самым преполагается, что контур Г является границей какой-либо поверхности! Однако для R-калибровочных теорий при определенных граничных условиях необходимо рассматривать также такие замкнутые контуры, что сам контур Г не является границей какой-либо поверхности, но для некоторого целого п контур пГ образует границу поверхности. Рассмотрим характерный пример. Пусть задано калибровочное поле на R3. Граничное условие состоит в том, что поле является однородной функцией. Тогда поле можно рассматривать как функцию на проективном пространстве Р2. Топологически Р2 изоморфно единичному кругу на плоскости, противоположные точки граничной окружности которого отождествлены между собой. Таким образом, половина граничной окружности образует замкнутый контур, не являющийся границей какой-либо поверхности. Однако удвоенный контур эквивалентен окружности, которая ограничивает круг. В Р3 таких контуров уже бесконечно много. Следовательно, сама формулировка критерия Вильсона неприемлема для R-калибровочных теорий с произвольными граничными условиями. Определим аналог минимальной площади £(Г) для описанных выше контуров. Пусть контур Г представляет собой набор ребер решетки, а поверхность D состоит из плакеток (каждая плакетка р, входит в D п, число раз).

Введем аналог минимальной площади следующим образом:

<г(Г)= inf (D,D)n~2, (9)

где (D, D) = п2. Во второй главе доказано, что в R-калибровочной теории с действием (7) справедливо соотношение

И-(Г) = ехрН<?72МГ)]. (10)

Характер асимптотики W(T) целиком определяется граничными условиями, т. е. топологией решетки, но не зависит от константы связи, как, например, в модели -Иэинга.--:-

В R-калибровочных теориях с действиями (6), (8) также справедливо равенство (10), но в качестве <г(Г) нужно брать аналоги соответствующих размерностей.

Третья глава посвящена непрерывным вариантам R-калибровочных моделей с действиями (6) - (8). Обычно считается, что переход от моделей на решетке к непрерывным моделям состоит в вычислении пределов корреляционных функций при стремлении шага рещетки к нулю. Однако эти пределы зависят от того, какой объем (площадь, длину) мы будем приписывать каждому кубу (грани, ребру) решетки. Вместе этой крайне неоднозначной процедуры мы воспользуемся идеей де Рама и перенесем всю алгебраическую структуру и определения R-калибровочных теории на решетке сразу на непрерывный случай. В предыдущей главе калибровочному полю

соответсвовала коцепь решетки с вещественными коэффициентами, а напряженности поля соответствовала кограница этой коцепи. Следуя де Раму, мы будем рассматривать вещественнозначные дифференциальные формы на римановом многообразии как коцепи (калибровочные поля) и операцию внешнего дифференцирования форм как кограничный оператор. Таким образом, мы получим последовательную формулировку И-калибровочных теорий на римановом многообразии, которая не нуждается в обращении к решетчатым аппроксимациям этого многообразия. Для теории свободного скалярного безмассового поля, электродинамики и модели Кэлба-Рэймонда антисимметричных тензорных полей, заданных на евклидовом пространстве либо на компактном римановом многообразии, мы вычисляем все корреляционные функции. Полученные выражения являются точными аналогами выражений для корреляционных функций в решетчатых вариантах этих моделей (см. Главу 2).

Интеграл Вильсона является частным случаем корреляционной функции. Пусть Лц(х) - вектор-потенциал свободной п-мерной (п > 2) евклидовой электродинамики со свободными граничными условиями. Контурный интеграл $Сп А^ ¿х^ по окружности С в радиуса Я можно считать функцией на (п — 2)-мерном евклидовом пространстве, ортогональном плоскости контура Сц. Проинтегрируем эту функцию с какой-либо основной функцией ф. В третьем разделе Главы 3 мы доказываем следующее соотношение :

где К1(х) - функция Макдональда, Л (г) - модифицированная функция Бесселя и д -константа связи. Интеграл в правой части (11) расходится при ф{у) —» 6(у) и п > 3. Асимптотика интеграла Вильсона при больших радиусах Я целиком определяется выбором функции ф, т. е. не является универсальной величиной, характеризующей калибровочную теорию. Это противоречит самой идее критерия Вильсона - судить о наличии удержания частиц во взаимодействующей теории по асимптотике интеграла Вильсона для свободной калибровочной теории. В двумерной электродинамике со свободными граничными условиями критерий Вильсона выполнен. Однако мы показали, что все функции Вайтмана этой теории тождественно равны нулю, т. е. теория вырождена.

Из точных выражений для корреляционных функций евклидовой электродинамики при свободных граничных условиях следует, что средние от произведений контурных интегралов

совпадают с функциями Швингера (п — 2)-мерного обобщенного свободного скалярного поля с массовым распределением 1гд2Р2(тп), где Р(т) - преобразование Ган-келя функции распределения по радиусам Л). Следовательно, калибровочно-

инвариантные объекты, построенные из фотонов ведут себя как обобщенные свободные скалярные поля, масса которых определяется геометрическими параметрами фотонных конфигураций.

ехр

(12)

Для электродинамики с периодическими граничными условиями результаты в целом аналогичны описанным выше, за одним исключением: спектр масс частиц, порождаемых контурными интегралами f0¡¡ A^dx^, в этом случае дискретен и совпадает со спектром оператора Лапласа-Бельтрами на торе.

Подобные результаты получены и для теории свободного скалярного безмассового поля и для модели Кэлба-Рэймонда антисимметричных тензорных полей.

В четвертом разделе Главы 3 мы показываем, что принятые нами определения физически оправданы. Для евклидовой электродинамики при свободных граничных условиях мы с помощью корреляционных функций вычисляем функции Швингера. Пользуясь обычной процедурой аналитического продолжения, мы получаем функции Вайтмана. При этом для двумерной электродинамики эти функции Вайтмана оказываются тождественно равными нулю. В остальных случаях эти функции задают вайтмановскую теорию, в которой нарушена первая аксиома Вайтмана, а именно, основные функции образуют лишь некоторое подпространство простраства 5(R"). Продолжая полученные функционалы на все основные функции из S(R"), мы получаем формализм Гупта-Блейлера для квантования свободного электромагнитного поля. Подобная схема проведена и для теории свободного скалярного безмассового поля и модели Кэлба-Рэймонда антисимметричных тензорных полей. Интересно отметить, что особенности квантования свободного скалярного безмассового поля получают в данной схеме естественное объяснение. Градиент поля имеет физический смысл напряженности, и для него всегда можно построить вайтмановскую теорию. Само же поле эквивалентно потенциалу электромагнитного поля, и для него можно построить вайтмановскую теорию (вайтмановскую калибровку) лишь в случае, если размерность пространства больше двух.

В четвертой главе рассматривается решетчатая калибровочная теория для калибровочной группы U(l) = R/2xZ. В 1974 г. Вильсон (K.G. Wilson. Phys. Rev. DIO, 2445, 1974) предложил решетчатую аппроксимацию калибровочных теорий с компактными калибровочными группами. Группа SU(n) должна соответствовать хромодинамике, а группа U( 1) - электродинамике. Поляков (A.M. Polyakov. Nucí. Phys. B120, 429, 1977) заметил, что (/(1) модель может содержать, вообше говоря, фазы, отличные от электродинамики. Соответствие U( 1) модели электродинамике в непрерывном пределе доказать полностью не удалось. Гросс (L. Gross. Commun. Math. Phys. 92, 137, 1983) для трехмерной U( 1) модели доказал, что средние специальных функций, построенных из действия, дают в непрерывном пределе производящий функционал для функций Швингера для напряженностей электромагнитного поп?. Прайврр (R.K. Driver. Commun. Math. Phys. 110, 479,1987) для четырехмерной ¡7(1) модели получил похожий, но более слабый результат. Исследовать непрерывный предел корреляционных функций 1/(1) модели не удалось.

Мы в определении (2) корреляционной функции используем функцию энергии Виллэна (J. Villain. J. Phys. 36, 581,1977), которая определяется следующим образом

оо

exp[-ßhß{9)\ = св £ ехр[-/3(0 - 2™)2/2], (13)

п=—оо

где ß > 0 и Cß — постоянная, выбранная таким образом, что правая часть этого равенства равна единице при 0 = 0.

Пусть e¡, г = 1 ,...,а - это стандартные ортонормированные вектора в Rd и р неотрицательное целое число, меньшее, чем d. Пусть G - это одна из трех абелевых

групп: Ъ, В. или 1/( 1) = р~коцепь с коэффициентами в С - это (З-значнад

функция /(ш;е,•,,...,е,г) н Д(т) от ш 6 антисимметричная относительно перестановок индексов ¿х,..., гр. Мы считаем, что р-коцепь удовлетворяет периодическим граничным условиям

/.•,-¡,(»«1!-,тН-Лг,.-,пгл) = /.,-.Дт)> (14)

для любых г = 1,..., Л и т 6 Ъ1. Для периодических граничных условий мы определим граничный оператор

т^-^Ы = £ ¿(-1У+7,„„-,,-1(т -(15) <=0,110=1

Для р-коцепей с коэффициентами в Ъ и И. скалярное произведение определяется следующим образом

(/,*)= Е Е ,(ш). (!б)

¿1 < — Ор ", = 1

В силу периодических граничных условий мы можем отождествить противоположные вершины куба [О, ЛГ]*1' и получить решетчатую аппроксимацию Т^ тора Т1* радиуса Л. Обозначим через Ж^ ^х1) корреляционную функцию ¡7(1) калибровочной теории (1), (2) на решетке Тд., где р = 2 и функция энергии является функцией энергии Виллэна (13). Заметим, что дуальной группой группы 17( 1) является группа целых чисел Ъ. Поэтому х1 £ С^Т^., Для того, чтобы вычислить непрерывный предел корреляционной функции, нам необходимо выбрать согласованным образом коцепь х1/ и обратную температуру /?(ЛГ). Пусть /¿, .(р(х) - коэффициенты вещественной гладкой дифференциальной р-формы на торе Т"'. Мы определяем целочисленную р-коцепь на Тд>

(/лЖ-ьМ = (17)

где Ь — строго положительное целое число и [г] - целая часть вещественного числа г. Пусть функция /(х) на торе Т"* равна единице. По определению (17) 0-коцепь /лг,б(т) = Nь. Из определения (16) следует, что = Выберем обрат-

ную температуру /З(-ЛГ) таким образом, что = где (2тЯ)*

- это объем тора Т'', и д > О, т.е. /9(7^) = д~2(2кЯ)-*. В Главе 4 доказано, что для любой вещественной гладкой дифференциальной 2-формы ф на торе Т"*, ¿ = 3,4,

^ит^*"*) = <*Р{-зЧ<1'Ф. 0(Л-ф))/21, (18)

где й" - сопряженный оператор для оператора внешнего дифференцирования оператор (7 - это оператор Грина для оператора Лапласа-Бельтрами на дифференциальных 1-формах на торе Тл и скалярное произведение дифференциальных 1-форм на торе подобно скалярному произведению (16).

Правая часть равенства (18) совпадает с корреляционной функцией Л-калдбровоч-1гой электродинамики на торе Т1* (см. Главу 3). Если радиус Я тора стремится к бесконечности, то предел выражения (18) совпадает с корреляционной функцией Г1-калибровочной евклидовой электродинамики (см. Главу 3).

Пятая глава посвящена изучению U( 1) модели на довольно необычной решетке. Деревом Брюа-Титса Т = Fo называется бесконечный связный граф без циклов, каждая вершина которого соединена ребрами ровно с р+1 соседней вершиной, причем р - простое число. Дерево F0 можно интерпретировать (F. Bruhat, J. Tits. Publ. Math. IHES 41, 5, 1972) как множество классов PGL(2,Qp)/PGL{2,Z„), где PGL{2,К) -это группа дробно-линейных преобразований проективой прямой /"(К) над кольцом К (в нашем случае К - это либо поле р-адических чисел Qp, либо кольцо целых р-адических чисел Zp). Факторизованное дерево Брюа-Титса Fs можно определить как множество классов Fg = Г/Г», где Г3 - некоторая группа Шоттки, т. е. свободная подгруппа группы PGL(2, Qp) с g образующими, все неединичные элементы которой гиперболические (элемент группы GL{2, Q,,) называется гиперболическим, если он имеет два собственных значения, р-адические нормы которых различны). Граница факторизованного дерева Брюа-Титса F3 называется р-адической кривой Мамфорда рода g (D. Mumford. Compos. Math. 24, 129, 1972). В работе (A. Zabrodin. Commun. Math. Phys. 123, 463,1989) рассмотрена R калибровочная модель с действием (6) на дереве Брюа-Титса и вычислены асимптотики корреляционных функций (амплитуды рассеяния тахионов) для вершин, находящихся на границе дерева Брюа-Титса Fo, т. е. на р-адической кривой Мамфорда рода нуль. С помощью результатов работы [2], т. е. Главы 2, в работе (L. Chekhov, A. Mironov, A. Zabrodin. Commun. Math. Phys. 125, 675, 1989) асимптотики корреляционных функций модели (6) вычислены для вершин, находящихся на р-адической кривой Мамфорда рода д. Явно геометрически описать факторизованное дерево Брюа-Титса удается лишь для родов g = 0,1. Именно для этих родов в этих работах удалось получить явное описание амплитуд рассеяния.

В этой главе мы предложили геометрическое определение р-адической кривой. Для родов <7 = 0,1 оно совпадает с определением Мамфорда. Ветвью Вг дерева Брюа-Титса называется связное поддерево, для которого граф Т \ Вг имеет внутри дерева Т единственную вершину г. Но определению ветвь не содержит циклов. Обобщенное дерево Брюа-Титса Тя состоит из конечного связного графа Т^ с g независимыми циклами и ветвей Bœ, х £ Т^, причем каждая вершина связана ребрами ровно с р 4 1 ближайшими соседними вершинами (для каждого ребра, оба конца которого отождествлены с вершиной, мы включаем эту вершину дважды в число ее ближайших соседей). Граф TJ* называется редуцированным графом. Если вершина х Ç Т8Л имеет лишь одного ближайшего соседа у 6 Тд,х ф у, то р ветвей Вх и ребро [z,y] образуют ветвь Ву. Следовательно, вместо редуцированного графа Трл мы -можям-взять-рдцуииронадный граф Тдя \ [зт, у]. В пальнейшем мы считаем, что Гпл -это единственная вершина, и р + 1 ветвь нужно добавить для того, чтобы получить дерево Т. Для g > О каждая вершина х 6 'Fg имеет 2 < ^ Р ~Ь 1 ближайших соседей в графе Г3Д, и Ь(х) = р + 1 — п(х) ветвей необходимо добавить к вершине х для того, чтобы построить обобщенное дерево Тд. Вычисляя характеристику Эйлера, нетрудно показать, что редуцированный граф Т5Я содержит не более 2д — 3 сегмента (сегментом называется линия все вершины которой имеют ровно два ближайших соседа): Длины этих сегментов мы назовем модулями р-адической кривой, т.е. границы обобщенного дерева Т3.

В этой главы мы рассмотривакм (7(1)-калибровочую теорию поля на вершинах обобщенного дерева Брюа-Титса. Точнее калибровочное поле, заданное на вершинах, принимает значения в группе U(l)xD, где U{ 1) = R/2titZ и г - радиус компактифи-

кации. Действие, статистическая сумма и корреляционные функции задаются формулами (1), (2), где функция Ь - это модифицированная функция энергии Виллэна (13). С помощью Леммы и Предложения Главы 1 статистическая сумма и корреляционные функции легко вычисляются. Корреляционная функция то"х,) не равна ну-

лю лишь в том случае, когда целые числа то" для любого = 1,..., й удовлетворяют условию

XX = 0 (19)

>=х

Исследуем асимптотики корреляционных функций т^а^-), когда вершины х,

стремятся к границе дерева. Поскольку обобщенное дерево Брюа-Титса определено геометрически, то можно найти его границу, т. е. р-адическую кривую. Пусть с -произвольная фиксированная вершина редуцированного графа Т^. Если вершинах $ Т/, то по определению графа Т3 существует единственная вершина хп £ Т^ такая, что путь £с>1 — £С1Я + (хя1х, где путь принадлежит редуцированному графу Т^, и однозначно определенный путь (хя^х принадлежит ветви Вхл. Любой бесконечный путь в Вхя, который каждое ребро содержит не более одного раза и начинается в вершине хл, мы назовем лучом хя —> х. Множество всех лучей мы назовем границей дТд обобщенного дерева Брюа-Титса Тд. На 8Т3 мы введем базис открытых множеств 9ВХ, где х 6 Тд \ Тр, и дВх состоит из всех лучей, имеющих бесконечное пересечение с ветвью Вх. Мера цо на дТд определяется следующим соотношением

ро (дВ1)=р-1('*.-<-«.*К (20)

Граница дТ может быть естесвенным образом отождествлена с р-адической проективной прямой Р'(С^р) (Ю.И. Мании. р-Адические автоморфные функции. Итоги науки и гехи. ВИНИТИ. Сер. Совр. пробл. мат. Новейш. достиж. 3, 5 - 92, 1974). В третьем разделе Главы 5 вычисляется граница дТ9 обобщенного дерева Брюа-Титса рода д > 0.

Границей ЭК конечного графа К С Тд мы назовем множество тех вершин графа К, которые среди ближайших соседей имеют вершины из Т9 \ К. Пусть /(х{* —» жь —» 1д() - положительная непрерывная функция на (ЭТ3)*Л', суммируемая

относительно меры П£=г —* г,), определенной соотношением (20). Амплитуду

мы определим следующим образом

.....тп% |/)=Ит ^ W¿m^xj)f(x „...,**), (21)

игл

В третьем разделе Главы 5 амплитуды (21) вычислены. Они оказались нетривиальными лишь при условиях (19) и

(22).

1т'

1п р,г = 1,..., Л',

где г - радиус компактификации, а а1 - постоянная, входящая в определение модифицированной функции энергии Впллэна (13). Нетривиальные амплитуды явля-ю*я р-адическими интегралами. Если мы сделаем в этих интегралах предельный переход г —* со, mf —^ оо; r'lmf = const, то получим некомпактифицированные амплитуды рассеяния. Для рода g = О при определенном выборе функции распределения f(xi —» хи..., —> хц) эта амплитуда совпадает с амплитудой рассеяния для р-адических струн, полученной в работе (P.G.O. Freund, M. Olson. Phys. Lett. 199B, 186, 1987), а при единичной функции распределения эта амплитуда совпадает с амплитудой рассеяния для р-адических струн, полученной в работе (A. Zabrodin. Commun. Math, Phys. 123, 463,1989). Аналогично для рода g = 1 единичная функция распределения приводит к амплитуде рассеяния для р-адических струн, полученной в работе (L. Chekhov, A. Mironov, A. Zabrodin. Commun. Math. Phys. 125, 675,1989). Для рода g > 1 явный вид амплитуды рассеяния для р-адических струн был ранее неизвестен.

В шестой главе изучается модель Изинга на обобщенном дереве Брюа-Титса. Модель Изинга на дереве Кейли изучалась давно. Дерево Кейли отличается от дерева Брюа-Титса лишь тем, что для дерева Кейли не требуется, чтобы число р было простым. Для модели Изинга на дереве Кейли была вычислена статистическая сумма и Получено рекурентное соотношение для корреляционных функций (Р. Бэкстер. Точно решаемые модели в статистической механике. М.: Мир, 1985). Явного вида для корреляционных функций получить не удалось. Пользуясь Леммой и Предложением из Главы 1, мы во втором разделе Главы 6 вычисляем статистическую сумму и корреляционные функции модели Изинга на обобщенном дереве Брюа-Титса Т3, точнее на обобщенном дереве Кейли, поскольку нигде не используется тот факт, что р - простое число. Однако амплитуды типа (21) вычисляются уже для обобщенного дерева Брюа-Титса. При этом условие (22) зыменяется на условие 2/3* = 1пр, где число ß' связано с обратной температурой соотношением Крамерса-Ванье: (e2iî" — 1)(е2,3 — 1) = 2. Полученные амплитуды также являются р-адическими интегралами.

Седьмая глава посвяшена теории замкнутых бозонных струн. Пусть M компактная ориентируемая поверхность рода g, снабжённая римановой метрикой gtj(x), i,j = 1,2. В теории бозонных струн действие Намбу-Гото для скалярных безмассовых полей .YM(i), ц = 1 ,...,D на поверхности M задается следующим образом

где д'-'(х) - это обратная матрица для матрицы метрики д„(х). Бозонные струнные амплитуды являются специальными корреляционными функциями, определенными следующим образом (М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн. М: Мир, 1990, т. 1, Раздел 1.4.2.)

, 2 D

■S(*»)= -1/2а2 / ¿»«(dct^ix))'/» £

2 D

ax" ax*

dx< dxi '

(23)

K(*) = jM<Px(detgij(x)y'4*)exv№X{x))],

где (к, Х(х)) = к"Х''(х) и вектор к является .О-мерным импульсом.

Действие (23) инвариатно относительно сдвига X" —» А"'' + а* на постоянный вектор а", п, следовательно, интегралы (24) по векторам Х''(х) расходятся. Конечная часть этих интегралов определена неоднозначно. Для того, чтобы вычислить интегралы (24), мы рассмотрим поля Х"(х), принимающие значения на окружности радиуса Л, т. е. принимающие значения в фактор группе Т\./2жНХ, где II - группа вещественных чисел и Ъ - группа целых чисел. Таким образом мы считаем функции Х"(х) и Х"(х) + 2тг Лп(г) эквивалентными. Целочисленная функция л(х) может бить гладкой лишь в том случае, если она постоянна. Следовательно, если мы хотим рассматривать гладкие функции Х1'(х) с тем же самым действием (23), то пеобходимо, чтобы поля Х^г) принимали значения в фактор группе Сх,(М)/2кЕ2, где С°°(М) - это пространство гладких функций на римановой поверхности М я 2xйZ - это группа постоянных 2зг.?^- значных функций на римановой поверхности М. Таким образом, поле Хм(г) принимает значения в фактор группе 11/2х^ в произвольной, но фиксированной точке римановой поверхности М. Такое поле мы назовем частично и(1) компактифицированным. Вычислим вспомогательный интеграл для интегралов (24)

I >хх.ехр [¿¿(^,Х") + 5(Х")]1)Х''(г), (25)

где скалярное произведение функций на римановой поверхности М равно

(Ф,Ф) = ( ф(х)ф(х)(Ыд„(х)У<Ч2х (26)

л Л/

и для каждого ц = 1,...,.£> функция У''(я) удовлетворяет условию

(Уц,1) € Л"1 Ъ. (27)

Здесь 1 функция, равная 1 всюду на М. Условие (27) обеспечивает инвариантность подинтегрального выражения (25) относительно сдвигов X* —> Xй + 2тгЯп", п'^Ж. Другими словами условие (27) обеспечивает то, что выражение ехр[г£®_1(У\Х'1)] является характером фактор группы (С°°(М)/2-х 112)*°.

В втором разделе Главы 7 мы доказываем, что для теории частично 1/(1) компактифицированных скалярных безмассовых полей (23), (25) - (27) на римановой поверхности калибровочно неинвариантные корреляционные функции с (У, 1) ^ О тождественно равны нулю. Калибровочно инвариантные корреляционные функции с (У, 1) = 0 совпадают с корреляционными функциями И-калибровочной свободной скалярной безмассовой теории поля на римановой поверхности (см. Главу 3). Статистическая сумма, т. е. интеграл (25) с К" = 0, полностью определяется выбором конечномерных аппроксимаций интеграла (25). Специальный выбор конечномерных аппроксимаций воспроизводит результат работы (А.А.1 Белавин, В.А. Книжник. ЖЭТФ, 91, 364, 1986). Следовательно, статистическая теория (23), (24) с 1/(1) компактифицированной нулевой модой бессмысленна. Единственным корректно определенным объектом является корреляционная функция теории (23), (25) - (27) для фиксированной римановой поверхности М. Корреляционная функция для вектор функции У'(х), удовлетворяющей условиям (У(ж), 1) = 0, равна

ехр [-а2/2 ¡мхг{У{Х), ПуШ*,у№* ЯнШ^^у] > (28)

где скалярное произведение (У(х),У(у)) = У^(х)У1(у) и <3(х,у) - функция Грина для оператора Лапласа-Бельтрами, действующего на функциях на римано-вой поверхности М. Амплитуда (24) соответствует корреляционной функции (28) с вектор функцией У(х) = (<1е1 д^)'^2 ц). Подстановка этой вектор функ-

ции в выражение (28) дает расходящийся интеграл. Обычно амплитуда получается с помощью подстановки конечной части выражения (28) в интеграл (24). Из-за условий (^'',1) = 0, что соответствует ^Иг к* = 0 в нашем случае, функцию Грина 6(1, у) в (28) можно заменить функцией в(х,у) + /(г) + д(у), где функции /(х) и д(у) произвольны. Таким образом, конечная часть корреляционной функции (28) не связана, воо£ще говоря, с геометрией римановой поверхности М. Например, простейшая амплитуда, соответствующая сфере Римана СР1, обычно вычисляется с помощью функции Грина для оператора Лапласа-Бель трами на комплексной плоскости С. Наше определение амплитуды подобно интегралу (24), но оно имеет геометрический смысл. При условиях ~ Р — 1 ■ .,-С, = т^,...,» = 1,...,7\Г это определение дает следующую АЛ-точечную амплитуду

и (Пехр[-а2 . (29)

Заметим, что размерность пространтва £> = 26 не является выделенной и массы т; произвольны. Последнее свойство физически естественно, поскольку мы изучаем амплитуду рассеяния в евклидовом пространстве, а массы частиц определены в пространстве Минковского. Интеграл (29) сходится из-за наличия гладких функций Г((г/). С помощью процедуры регуляризации интеграла (29) мы получаем обобщенную функцию на пространстве МхЫ х Тя, где точка пространства Тейхмюллера Т3 соответствует комплексной структуре римановой поверхности М. В четвертом и пятом разделах Главы 7 доказана модулярная инвариантность амплитуды (29). При аналитической регуляризации по параметрам (к{, к]) амплитуда (29) имеет сингу-лярноста типа полюсов как и амплитуда Венециано.

Если мы выберем специальную константу связи а2, массы т; и функции г>|(х() в амплитуде (29) для рода д = 0, то мы получим ^-точечную амплитуду замкнутых бозонных струн рода нуль (М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн. М: Мир, 1990, т. 1, формула (1.4.13)). Другой выбор этих величин дает нам амплиту-пу Кпба-Нильгена пля открытых бозонных струн рода нуль (М. Гран, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн. М: Мир, 1990, т. 1, формула (1.5.11)). Если мы проинтегрируем амплитуду (29) для рода д = 1 со специальной мерой по параметру комплексной структуры тбра и выберем специальную константу связи а2, массы т, и функции Ч|(х|), то мы получим ^-точечную амплитуду для замкнутых бозонных струн рода 1 (М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн. М: Мир, 1990, т. 2, формула (8.2.17)). Другой выбор меры, константы связи, масс и функций дает //-точечную амплитуду ¡открытых бозонных струн рода 1 (М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен. Теория суперструн. М: Мир, 1990, т. 2, формула (8.1.55)). Для рода д > 1 подстановка специальной константы связи, масс и функций в амплитуду (29) дает нам^выражение подобное амплитуде, полученной в работе (К. Е. Уег1ш<1е,

H. Verlinde. Commun. Math. Phy». 115, 649, 1988) для бесконечного радиуса компак-тификации. Таким образом, все известные амплитуды являются частными случаями одной общей формулы.

Восьмая глава посвящена теории открытых бозонных струн. Хотя в предыдущей главе мы для родов g = 0,1 получили амплитуды открытых бозонных струн, но объяснить это и получить амплитуду открытых бозонных струн для рода g > 1 мы не смогли. Изучение амплитуд открытых бозонных струн имеет давнюю историю. В 1970 г. Г. Нильсен (D.B. Fairlie, H.B. Nielsen. Nucí. Phys. B20, 637, 1970) выдвинул гипотезу об амплитудах рассеяния. Математичесая формулировка гипотезы Г. Нильсена была предложена К. Лавлэйсом (С. Lovelace. Phys. Lett. 32В, 703, 1970). Рассмотрим диаграмму дуальной модели как область M некоторой компактной рима-новой поверхности. Высказывается предположение, что подинтегральное выражение амплитуды Венециано, соответствующей области М, имеет следующий вид

(30)

где yV(z,, zj) - это функция Неймана в точках z¡, z¡ границы области М, куда входят внешние линии с импульсами k¡tkj. Функцией Неймана N(z, to) мы назовем гармоническую функцию на М, нормальная производная которой на границе M постоянна и которая имеет такой логарифмический полюс в точке и;, что сумма N(z, tu)+ln \z—«i| регулярна в окрестности точки гл. Функция Неймана конформно неинвариантна. Однако разность функций N(z,w) — N(z, w0) = N(z,w,wo) конформно инвариантна. Заметим, что в выражении (30) мы можем заменить функцию N(z¡,zj) функцией N(zi,zj,z0) с произвольной фиксированной точкой го, лежащей внутри области М. Из закона сохранения импульса и условия, фиксируещего массы, следует, что подинтегральное выражение для амплитуды Венециано при этом лишь умножается на множитель,не зависящий от импульсов.

Для доказательства гипотезы Нильсена (30) В. Алессандрини (V. Alessandrini. Nuovo Cim. 2А, 321, 1971) и К. Лавлэйсу потребовалось явное выражение для функции N(zit Zj, zo). У. Бернсайд (W. Burnside. Ргос. London Math. Soc. 23, 49, 1892) изучал сходимость рядов Пуанкаре

В^+^гчад-«)-1 ' (31)

а

для дробно-линейных преобразований.

Te(,) = = (32)

caz + da

которые образуют фуксову группу второго рода. Для явного выражения функции N(z¡,zj,z0) В. Алессандрини и К. Лавлэйс использовали ряды, которые получаются из рядов (31) с помощью интегрирования каждого члена ряда. Сходимость полученных рядов крайне неочевидна. Более того, едисртзенный конкретный пример, рассмотренный в работе В. Алессандрини, связан с группой Tn(z) = K"z, п £ Z, |ЙП > 1. Легко видеть, что ряд (31) для этой группы расходится для произвольного z 6 С.

Основная идея этой главы принадлежит Ф. Клейну. В 1892 г. он предложил следующее определение. Компактная риманова поверхность Mo называется симметричной, если существует взаимно однозначная антиконформная инволюция поверхности М0

на себя. Множество неподвижных относительно антиконформной инволюции J точек можно назвать вещественной частью симметричной компактной римановой поверхности Mo. Таким образом, на симметричной хомпактной римановой поверхности Mo с J инвариантной метрикой нужно в интеграле (25) интегрировать не по всем функциям, а лишь по J четным. Носитель вектор функции Уй(х) должен лежать в вещественной части симметричной компактной римановой поверхности Mo. К сожалению, классификация симметричных компактных римановых поверхностей неизвестна. Поэтому мы ограничили задачу и рассмотрели интегрирование в (25) по функциям, заданным-на специальной области M компактной римановой поверхности, для которой можно построить дубль D[M). По постоению дубль является симметричной компактной римановой поверхностью, а вещественная часть дубля совпадает с границей области М. В интеграле (25) мы интегрируем по тем функциям, которые продолжаются J четным образом на дубль D[M\. Этот вариант теории частично (7(1) компактифицированных скалярных безмассовых полей позволяет получить все известные амплитуды рассеяния для открытых бозонпых струн и корректно доказать гипотезу Нильсена.

В заключение автор выражает благодарность покойному М.К. Поливанову за постоянный интерес к работам, составившим диссертацию.

Автор благодарен B.C. Владимирову, С.П. Новикову, В.П. Павлову, Я.Г. Синаю, A.A. Славнову и Л.О. Чехову за многочисленные обсуждения.

Основные результаты диссертации опубликованы в слеующих работах:

1. Зиновьев Ю.М. Дуальность в абелевых калибровочных териях на решетке. ТМФ. 1980. 43. по. 3. С. 309-322.

2. Зиновьев Ю.М. R-калибровочные теории на решетке. ТМФ. 1981. 49. по. 2. С. 156-163.

3. Зиновьев Ю.М. R-калибровочные теории. ТМФ. 1982. 50. по. 2. С. 207-220.

4. Зиновьев Ю.М. Ising model on the generalized Bruhat-Tits tree. Commun. Math. Phys. 1990. 130. no. 3. P. 433-440.

5. Зиновьев Ю.М., Чехов JI.О. p-Adic string Compactified on a torus. Lett. Math. Phys. 1990. 20. no. 2. P. 211-219.

6. Зиновьев Ю.М., Чехов JI.O. p-Adic string compactified on a torus. Commun. Math. Phys. 1990. 130. no. 4. P. 623-631.

7. Зиновьев Ю.М. Partially t/(l) compactified scalar massless field on the compact Riemacn surface and the bosonic string amplitudes. Commun. Math. Phys. 1993. 151. no. 2. P. 327-353.

-8. Зштпш.ен FO 1U Пргп WnniV string amplitudes. ТМФ. 1992.92. no. 3. P. 498-506.

Типография. ЦНИЭИуголь. Тираж ж».. Змм» NtöU