Топологические возбуждения в квантовой теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

государственный научный центр российской федерации институт теоретической и экспериментальной физики

На правах рукописи

Чернодуб

Максим Николаевич

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

(Специальность 01.04.02 - теоретическая физика)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н. М.И Поликарпов

Москва - 1998

Оглавление

1 Введение 3

2 Дуальная сверхпроводимость в 8и(2) глюодинамике 8

2.1 Максимальная абелевая проекция..............................................В

2.1.1 МаА проекция 811(2) глюодинамики и компактная КЭД............8

2.1.2 МаА проекция в формализме функционального интегрирования . 11

2.2 Абелевы монополи как физические степени свободы..........................13

2.3 Монопольный параметр порядка в 811(2) глюодинамике....................16

2.3.1 Оператор рождения монополя........ ..........................17

2.3.2 Эффективный монопольный потенциал....... ..................17

2.4 Четыре формулировки 811(2) глюодинамики в МаА проекции ............18

2.4.1 Монопольное действие в МаА проекции ..............................19

2.4.2 Компактная абелевая формулировка ..................................21

2.4.3 Дуальная формулировка ................................................22

2.4.4 Решеточная теория струн................................................23

2.5 Выводы............................................................................23

3 Топологические дефекты в общей абелевой проекции 24

3.1 Минополи в минимальной абелевой проекции................................24

3.2 Гибриды............................................................................25

3.3 Струны несущие магнитный поток............................................27

3.3.1 Определение струны с абелевым магнитным потоком в 811(2) глюодинамике ..................................................................27

3.3.2 Пример: эффект Ааронова-Бома в абелевой модели Хиггса на решетке ........................................28

3.4 Выводы............................................................................29

4 Струны глюодинамики в непрерывном пределе 31

4.1 Струны 811(2) глюодинамики в абелевой проекции..........................31

4.2 Эффект Ааронова-Бома в 811(2) глюодинамике..............................33

4.2.1 Эффект Ааронова-Бома в абелевой модели Хиггса..................34

4.2.2 Конденсация дионов в 811(2) глюодинамике..........................35

4.3 Струны 811(3) глюодинамики в абелевой проекции..........................38

4.4 Выводы............................................................................43

5 Центральная проекция 811(2) глюодинамики 44

5.1 Центральные монополи и струны..............................................44

5.2 Механизм фазового перехода в максимальной центральной калибровке . . 46

5.3 Выводы............................................................................48

6 Топологические дефекты в электрослабой теории и сфалерон 49

6.1 Максимальная абелевая проекция 811(2) теории Хиггса....................50

6.2 Монополи Намбу и ^-струны..................................................51

6.2.1 Определение в континууме..............................................51

6.2.2 Определение на решетке................................................52

6.3 Топологический состав сфалерона: несколько иллюстраций................55

6.4 Выводы............................................................................59

7 Динамика топологических дефектов при фазовых переходах 60

7.1 Некоторые аналитические аргументы..........................................60

7.2 Эффективная трехмерная модель ..............................................63

7.3 Фазовый переход первого рода..................................................64

7.4 Непрерывный кроссовер..........................................................66

7.4.1 Перколяционный переход при отсутствии фазового перехода? ... 66

7.4.2 Статистика вихревых кластеров........................................67

7.4.3 2-вихри как физические объекты......................................70

7.5 Выводы ........................................................................71

1 Введение

В этой диссертационной работе мы рассмотрим свойства различных топологических возбуждений в квантовой глюодинамике, абелевой модели Хиггса, в электрослабой модели и обсудим физические эффекты, возникающие благодаря присутствию этих возбуждений.

Одной из важных проблем современной квантовой теории поля является объяснение невылетания цвета в неабелевых калибровочных теориях. Интересным подходом к этой проблеме является метод абелевых проекций, который был предложен 'т Хофтом в работе [1]. Рассмотрим частичную фиксацию калибровки в глюодинамике, которая не фиксирует [£/( 1)]ЛГ_1 подгруппу Б1/(М) калибровочной группы. При оставшихся незафиксированными абелевых преобразованиях диагональные элементы глюонного поля преобразуются как калибровочные поля, а недиагональные - как поля материи. Благодаря компактности абелевой калибровочной подгруппы в теории существуют топологические возбуждения: абелевы монополи. Если монополи сконденсированы, то невылетание можно объяснить на классическом уровне [2, 3]: между цветными зарядами образуется струна, представляющая собой дуальный аналог струны Абрикосова [4] в сверхпроводнике, а монополи играют роль куперовских пар.

В описанном механизме невылетания цвета, который часто называют механизмом дуального сверхпроводника, основную роль играют абелевы монополи, появляющиеся из-за специфической фиксации калибровки1. Сразу возникают вопросы: Являются ли объекты, возникающие при фиксации калибровки, физическими степенями свободы (не являются ли абелевы монополи артефактом фиксации калибровки)? Сконденсированы ли монополи в абелевой калибровке? Этим вопросам посвящена Глава 2, где мы изучаем £7/(2) глюодинамику в решеточной регуляризации. Полученные результаты относятся к так называемой максимальной абелевой проекции (МаА) [5, 6], которая является одной из наиболее изученных абелевых проекций [8, 11].

Глюодинамика в МаА проекции обладает свойством "абелевой доминантности" [12]: инфракрасное поведение источников в фундаментальном представлении в этой проекции определяется в основном абелевыми степенями свободы. Другими словами, отношение Кройца [13] (величина, определяющая натяжение струны в решеточной теории) для абелевых петель Вильсона [14] \¥и^ для частиц заряда 1, практически полностью совпадает с отношением Кройца для полных (неабелевых) петель Вильсона в

фундаментальном представлении. Абелевая петля Вильсона может быть представлена как произведение двух независимых операторов, [15]-[18]: У^11^ = УУтоп ■ ЦГР'\ где оператор у/топ зависит только от монопольных степеней свободы, а в оператор Ц/р1'' дают вклад только фотоны. Оказывается, что отношения Кройца для неабелевой петли и для монопольной части Ц^топ абелевой петли практически совпадают, в

то время как среднее < \¥рк > имеет только периметральное поведение (т.е. натяжение струн равняется нулю) [15]-[18]. Этот результат, который часто называют свойством

■•-В этой работе мы используем два похожих термина: "абелева калибровка" и "абелева проекция". Под абелевой проекцией мы подразумеваем фиксацию абелевой калибровки и замену 5(/(Ы) наблюдаемых на соответствующие [^Д!)]^1 наблюдаемые.

"монопольной доминантности" [17], говорит о том, что в МаА проекции решеточной глюодинамики за невылетание кварков ответственны в основном монопольные степени свободы. Заметим, что это утверждение является более сильным, чем свойство абелевой доминантности.

Следовательно, инфракрасные свойства глюодинамики доминирующим образом определяются динамикой абелевых монополей в МаА проекции. Оказывается, что с хорошей точностью действие монополей в МаА проекции может быть представлено в форме квадратичного действия Смита-ван-дер-Сииса, [19]:

где '] суть монопольный ток, А-1 - обратный лапласиан на решетке и р, дт - некоторые параметры. Это предположение было численно подтверждено вычислениями на решетке [20]-[22].

Используя численно полученное монопольное действие можно вывести несколько представлений для континуального интеграла глюодинамики в МаА проекции [22], которые мы приводим в Главе 2. Монопольной теории соответствует некоторая эффективная абелевая теория в которой монополи являются топологическими дефектами в компактном абелевом калибровочном поле. Исходя из того же монопольного представления, нетрудно получить дуальную формулировку теории, в которой фундаментальными объектами являются дуальное (некомпактное) калибровочное поле А/л и скалярное поле монополей Ф. В инфракрасном пределе дуальный лагранжиан записывается в континууме в следующем виде:

¿(Я, Ф) = ТТ^Ви])2 + + + А(|ф|2 - г/2)2, (2)

^ 9 т ^

где дт суть магнитный заряд монополя. Если г/'2 > 0, то абелевы монополи сконденсированы, что отвечает фазе невылетания цвета в глюодинамике. С помощью несложных преобразований мы можем определить также и струнную теорию, которая эффективно описывает динамику КХД-струны.

Помимо абелевых монополей, произвольная абелевая калибровка содержит также и другие топологические дефекты, из которых наиболее простыми являются мино-поли [23, 24, 25] и гибриды [26]. Мы показываем, что в определенных абелевых калибровках именно эти объекты (а не монополи!) обуславливают невылетание цвета, что говорит о том, что в разных калибровках механизм невылетания различается [24]. Другими словами, в разных абелевых калибровках неабелевы конфигурации, приводящие к невылетанию цвета, "проецируются" на различные абелевые топологические дефекты.

Очень важным вопросом является нахождение в явном виде класса удерживающих конфигураций неабелевого калибровочного поля. Несмотря на то, что существует калибровочно -инвариантное определение абелевого монополя в любой заданной абелевой проекции [27], это не позволяет явно описать неабелевые удерживающие конфигурации, соответствующие абелевому монополю. Одним из многообещающих претендентов

на удерживающие конфигурации являются неабелевые дионы [28, 29, 30]. Действительно, неабелевый дион в максимальной абелевой проекции соответствует абелевому монополю [19, 31]. К сожалению, полностью решить задачу соответствия монополей и неабелевых конфигураций, которые приводят к невылетанию цвета, чрезвычайно сложно. В настоящей работе мы не будем останавливаться на этом вопросе.

Абелевы калибровки содержат также абелевы струны, несущие магнитный поток2 [32]. Эти струны взаимодействуют с кварками посредством эффекта Ааронова-Бома [33], которое обусловлено сугубо топологическими причинами. Волновая функция заряженной частицы, которая рассеивается на такой струне, приобретает дополнительную фазу. Сдвиг в фазе является физическим эффектом - аналогом классического эффекта Ааронова-Бома [33]: струны играют роль соленоидов, которые рассеивают заряженные частицы. Мы иллюстрируем появление взаимодействия Ааронова-Бома в квантовой теории поля [34]-[37] на примере абелевой модели Хиггса на решетке в Главе 3 и для теории в континууме в Главе, 4.

Известно много попыток отождествить струнную теорию с локальной калибровочной теорией. Ниельсен и Олесен [38] нашли статические струнные решения в абелевой модели Хиггса с квантованным магнитным потоком, являющиеся аналогом струн Абрикосова [4] в сверхпроводниках, и заметили, что они ведут себя похоже на струну Намбу-Гото. В работе [39] это замечание было доказано, а эффективная струнная модель была получена в работах [39, 40]. В пределе Лондона абелевая модель Хиггса может быть точно переписана как струнная теория с нелокальным действием [40]-[45]. В частности, дуальная инфракрасная модель SU(2) глюодинамики [46] может быть явно переписана как струнная теория в пределе Лондона, что является довольно естественным фактом, поскольку дуальная картина глюодинамики предполагает образование струн. Эффективное действие для этих струн включает в себя, помимо действия Намбу-Гото, также и так называемое действие с жесткостью [118, 119, 43, 44]. Заметим, что абелевы монополи в максимальной абелевой проекции скореллированы с топологическим зарядом [31, 47] и из-за этого абелевы монополи эффективно являются абелевыми дионами: они преобретают небольшой электрический заряд [48, 49]. Этот эффект ведет к интересной модификации струнного действия и появлению еще одного вида взаимодействия Ааронова-Бома в глюодинамике. Обсуждению эффективных теорий струн для SU(N), N = 2,3, глюодинамик, посвящена Глава 4.

Как мы уже упоминали, одним из мощных методов изучения невылетания цвета в неабелевых калибровочных теориях является метод абелевых калибровок. Традиционно под этим методом подразумевается фиксация SU(N) калибровочной группы вплоть до U(l)N 1 подгруппы. Недавно в работе [50] был предложен новый класс абелевых калибровок, фиксирующих SU(N) группу до Ждг подгруппы. Такие калибровки еще называются "центральными". Наиболее известной калибровкой такого типа является так называемая "максимальная центральная калибровка" [50], определение которой мы приводим в Главе 5.

В максимальной центральной калибровке SU(N) калибровочная теория сводится к

2Эти струны не следует путать со дуальными аналогами струн Абрикосова [4], которые несут электрический поток от кварка к анти-кварку.

некоторой Ж д.- калибровочной которая содержит струны (вихри) как топологические дефекты. Эти струнные дефекты называются "центральными вихрями", поскольку их определение основано на фиксации центральной калибровки. Решеточные расчеты [50, 51] показали, что в максимальной центральной калибровке динамика этих степеней свободы играет существенную роль в невылетании цвета. Например доказано, что вклад вихрей в натяжение струны КХД почти полностью совпадает с полным натяжением струны. Согласно работе [50], решеточные вихри соответствуют некоторым топологическим структурам в непрерывном пределе, поскольку решеточная плотность вихрей ведет себя как физическая величина размерности [масса]-3 при скейлингивых исследованиях перехода к непрерывному пределу.

В Главе 5 мы показываем, что центральные калибровки также содержат новые топологические объекты, которые мы называем "центральные монополи". Мы исследуем различные свойства центральных вихрей и монополей при конечнотемпературном фазовом переходе, и предлагаем новый механизм невылетания в этой калибровке.

Еще одной интересной темой, обсуждаемой в настоящей диссертационной работе является исследование топологических свойств электрослабой модели. Электрослабая модель имеет струноподобные решения классических уравнений движения, так называемые 2- и И^-струны [53]-[58]. Эти решения не являются топологически стабильными и представляют собой струные конфигурации Абрикосова-Ниельсена-Олесена [4, 38], которые "внедрены" из абелевой модели Хиггса в электрослабую модель. Поэтому эти возбуждения еще называют "внедренными дефектами" [53, 54]. Струны могут быть как бесконечно длинными, так и заканчиваться на некоторых монополеподобных конфигурациях, которые еще называют монополлми Намбу [55]. Эти монополи тоже принадлежат классу внедренных дефектов, поскольку их можно рассматривать как монополи 'т Хофта-Полякова [59, 60], внедренные из модели Джорджи-Глэшоу [61] в электрослабую модель. Подробные определения этих топологических возбуждений даны в Главе 6.

Помимо внедренных дефектов, в электрослабой модели можно определить абелевы монополи таким же образом, как это было сделано в случае чистой глюодинамики в Главе 2 (с помощью некоторой абелевой проекции). Мы применяем максимальную абе-леву проекцию и показываем, что помимо абелевых монополей, электрослабая модель в абелевой проекции содержит также два независимых типа абелевых струн, несущих магнитний поток. Эти струны либо замкнуты, либо заканчиваются на абелевых монополях, вследствии сохранения абелевого магнитного потока.

В качестве первого шага исследования топологических дефектов в электрослабой модели, мы изучаем внедренные и абелевые топологические возбуждения на злектро-слабой конфигурации, известной как электрослабый сфалерон [56, 62, 63]. Эта конфигурация является решением статических уравнений движения бозонного сектора электрослабой модели. Согласно современным представлениям, сфалерон ответственней за релаксацию конечной барионной ассиметрии Вселенной, возникшей после завершения электрослабого перехода [64].

В Главе 7 мы рассматриваем поведение внедренных топологических дефектов в высокотемпературной электрослабой теории как в области фазового перехода первого рода, так и в области гладкого кроссовера. Согласно современным решеточным вы-

числениям [65, 66, 67] стандартная электрослабая теория не имеет фазового перехода при конечных температурах. Этот вывод был получен на основе изучения 31) <?[/(2) модели Хиггса, которая является эффективной размерно-редуцированной версией электрослабой теории. В этой модели фазовый переход первого рода исчезает при массе Хиггса М# > 72 ГэВ, а при больших значениях массы Хиггса в модели происходит лишь гладкий кроссовер [68]. Исходя из качественной аналогии между фазовыми переходами в БII(2) модели Хиггса и в 811(2) х 11(1) модели Хиггса [69], и также принимая во внимание текущую нижнюю экспериментальную границу на массу Хиггса [70], Мн > 89.3 ГэВ, можно заключить, что фазовый переход в стандартной электрослабой теории отсутствует. Однако следует заметить, что существуют расширения минимальной стандартной модели, в том числе и суперсимметричные, в которых �