Струнные возбуждения абелевой модели Хиггса и глюмодинамике тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

РГб Ой

Государственный научный центр РФ -

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

ЗУБКОВ Михаил Александрович

"СТРУННЫЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ В АБЕЛЕВОЙ МОДЕЛИ ХИГГСА И ГЛЮОДИНАМИКЕ " (01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Москва 19%

УДК 530Л

Работа выполнена в ГНЦ РФ - Институт теоретической и экспериментальной физики

Научный Руководитель: др.ф.-м. наук М.И Поликарпов (ИТЭФ)

Официальные оппоненты: др. ф.-м. наук Ю.М.Макеенко (ИТЭФ); к. ф.-м. наук М.М.Цышш (ФИАН)

Ведущая организация: ГНЦ РФ - Институт ядерных исследований РАН

Защита состоится " " 1996 г. в часов на заседании

диссертационного совета Д.034.01.01 по защите докторских диссертаций в ИТЭФ по адресу: г.Москва, 117259, Б.Черемушкинская ул., 25, конференц - зал ИТЭФ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТЭФ .

Автореферат разослан у? .(У^ 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф. - м. наук г-// /) Ю.В.Терехов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Представляемая диссертация постелена исследованию струнных возбуждений в теории поля в рамках Абелевой Модели Хиггса и 31/(2)

- глюодинимики. Интерес, к этим возбуждениям обусловлен тем, что эффект невылетання в квановой хромодинамике связан с возникновением струн, связывающих кваркн и антикварки. Таким образом, исследование струнных возбуждений в теории доля является одним из методов непертурбативного анализа в рамках изучения механизма конфайнмента.

ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ

Цель работы состоит в теоретическом рассмотрении топологических возбуждений в Абелевой модели Хиггса и глюодинамике и их взаимодействия как друг с другом, так и с заряженными частицами. При этом исследуется взаимосвязь между Л7/(2) глюодинамикой в абелевой проекции и Абелевой моделью Хиггса.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

1. Статистическая сумма Абелевой Модели Хиггса как на решетке, так и в непрерывном пределе, представлена в виде суммы по замкнутым поверхностям, являющимся мировыми поверхностями струн Абрикосова

- Нильсена - Ольсена.

2. Построены операторы рождения струн. Вакуумные средние этих операторов записаны в дуальном представлении и в представлении БКТ.

3. В рамках абелевой модели Хиггса обнаружено нетривиальное топологическое взаимодействие между частицами заряда М и струнами,

возникающими при конденсации скалярного поля заряда IV . При условии, что МIN - не целое, это взаимодействие пропорционально числу зацепления мировой поверхности струны и траектории частицы.

4. Исследована связь Абелевой Модели Хиггса с 31/(2) глюодинамикой после фиксации абелевой проекции. Обнаружена возможность возникновения магнитных струн, взаимодействующих с кварками дальнодействующими силами, приводящими к эффекту Ааронова - Бома.

5. Исследована компактная электродинамика на решетке в калибровке Ландау. Обнаружено, что струны Абрикосова - Нильсена - Ольсена, возникающие благодаря наличию члена, фиксирующего калибровку, сокращаются детерминантом Фаддеева - Попова.

6. Неабелева петля Вильсона на решетке представлена в виде интеграла по калибровочной группе от ее абелева варианта.

ПУБЛИКАЦИИ

Результаты, полученные в диссертации, хорошо известны и докладывались на семинарах ведущих научных центров России, а также на конференциях. Содержание диссертации отражено в 6 публикациях.

l.Aharonov - Bohm effect in lattice field theory M.I. Polikaipov, M.A. Zubkov Jetp.lett. 57(1993) 461 - 463

2.Various abelian projections of SU(2) lattice gluodynamics and

Aharonov - Bohm effect in the field theory

M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, M.A.Zubkov ITEP-11-94

Dallas lattice 1993: 256 - 262 Nucl.Phys. 34,1994 hep - lat 9401027

3.Compact QED in Landau gauge: lattice gauge fixing case study. M.I.Polikarpov, Ken Yee, M.A.Zubkov LSU - 431 - 93

Phys.rev. D48: 3377-3382,1993 hep-lat 9305019

4.String representation of the abelian higgs theory and Aharonov -Bohm effect on the lattice.

M.I.Polikarpov,TJ. J. Wiese,M.A.Zubkov ITEP-16-93

Phys.lett.B309:133 - 138,1993 hep-lat 9303007

5. Quantum Abrikosov - Nielsen - Olesen strings E.T.Akhmedov,M.A.Zubkov

Jetp.lett. 61,1995,346

6.Quantum theory of strings in Abelian Higgs Model E.T.Akhmedov,M.N.Chernodub,M.I.Polikarpov,M.A.Zubkov

ITEP-95-24

Phys.rev.D53 2087-2095,1996

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из 7 глав, включая введение и заключение. Ее объем 73 страницы, включая 3 рисунка. Список цитируемой литературы содержит 46 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

ВО ВВЕДЕНИИ

формулируется постановка задачи и приводится план расположения материала.

ВО ВТОРОЙ ГЛАВЕ

кратко описывается теория дифференциальных форм на решетке и в качестве примера применения БКТ преобразования приводится представление компактной электродинамики на решетке в виде суммы по монопольным токам.

В ТРЕТЬЕЙ ГЛАВЕ

статистическая сумма 40 решеточной Абелевой модели Хиггса представлена как сумма по мировым поверхностям струн Нильсена - Ольсека. Построены операторы рождения и уничтожения струн.

Показано существоване топологического взаимодействия струн и заряженных частиц; оцо пропорционально числу заценлепия мировой поверхности струны с мировой линией частицы.

Мы рассматриваем модель,

описывающую взаимодействие некомпактного калибровочного поля Л(1 со скалярным полем Ф = \<t>\c'v заряда Ne.. Самодействие скалярного поля описывается потенциалом V = А(|Ф|2 — г/1)"1. Для простоты мы рассматриваем предел А —> оо, так что радиальная часть скалярного поля заморожена, и динамическая переменная компактна: <р £ (—тг, 7г]. Статсумма для Виллейновскоп формы действия есть:

■f ОО +7Г

Z= jVAjVip £ exp{-S,(Adv)}, (1)

-оо -it ¡(c-i)e^

где

Si(A, d<p) = ¿|| dAf + + Ш - NA\\2. (2)

Символ

f Vip (f"DA) обозначает интеграл по всем переменным, определенным на вершинах(ребрах) решетки >р (А). Фиксируя калибровку dtp — О, мы получаем следующее выражение для действия (2): Sj = + N2ке'2)А] 4- (terms linear in A)\ тогда благодаря механизму Хиггса калибровочное поле получает массу m = АГк^е; есть также солитонный сектор Гильбертова пиространства, который содержит струны Абрикосова - Нильсена - Ольсена, заключенные в переменной сумирования I в (1).

Статсумма компактной электродинамики может быть представлена как сумма по замкнутым мировым линиям монополей. Таким же образом, статсумма (1) может быть переписана как сумма по замкнутым мировым

поверхностям струн Нильсена - Ольсена Ч

ZBKT = const. • £ езф {^я^кСо-, (Д + т2)-1"^)} . (3)

*<Г(*С2)6Ж

5*(г=0

Сумма здесь распространяется на целочисленные переменные *<т, которые принадлежат плакетам "сг дуальной решетки. Условие 5"а — О означает, что для каждого липка дуальной решетки выполняется закон сохранения: cti + а2 + <т3 = + сг5 + <т6, где <т; - целые числа, соответствующие плакетам, соединенным с рассматриваемым линком. Знаки о, в этом законе сохранения диктуются определением <У (плакеты 1,...,6 ориентированы). Если сг = 0,1, то условие 5*<т = 0 означает, что мы рассматриваем замкнутые поверхности, созданные плакетами с а = 1. В (3) мы имеем <т С Ж, что означает то, что один плакет может распадаться на несколько других, но поверхности, созданные плакетами с и -ф 0 замкнуты. Из (3) следует, что струны взаимодействуют друг с другом Юкавскими силами 2 - (Д + тп2)~].

Рождение струны (как нелокального объекта) требует нелокального

оператора. Струны окружены

облаком бозонов подобно тому, как заряженные частицы окружены

облаком фотонов. Оператор рождения для заряженных частиц был

предложен Дираком, чья идея заключалась в том чтобы скомпенсировать

калибровочное преобразование заряженного поля Ф(х)' = Ф(ж) ехр(т(ж))

вкладом калибровочного поля, представляющего фотонное, облако:

'Мы используем: обозначение ВКТ, поскольку аналогичное преобразование статсуммы было впервые найдено Березинским , Костерлипем и Таулессом , показавшими, что XY модель эквивалентна кулоновскому газу в двух измерениях

2 Благодаря определению интегрирования по частям (ip, Sip) — (df>, ф), the оператор (Д + го2)-1 (а не (— Д + го2)-1) положительно определен на евклидовой решетке

Фс(*) = Ф(*) ехр {г / d\jBi(x - у) А(у)} , (4)

где diBi(x) = ¿(ж), и Ai(x)' = A(i) 4- д,-а(х) есть фотонное поле. Калибровочно инвариантный оператор Фс(х) создает скалярную заряженную частицу в точке х вместе с фотонным облаком, окружающим ее. Наша конструкция оператора рождения струны базируется на той же идее и вполне аналогична конструкции солнтонного оператора рождения, предложенного Фрелихом и Маркетти. Удобно рассматривать модель, дуальную к изначальной (1). Ее статсумма имеет вид:

Т Г 1 N2e2 1

= const. • £ I ТУ Секp --||<ГР||а - — ||<ГС + >||2 • (5)

—oo '

Дуальная модель описывает взаимодействие

целочисленного гиперкалибровочного поля (антисимметричный

тензор ранга 2) с калибровочным полем *С("сз); действие инвариантно относительно гиперкалибровочного преобразования:

V = *р + <Гг; *С' = *С - (6)

Таким образом, мы имеем три эквивалентных представления для статистической суммы: изначальное (1), ВКТ-представление (3), и дуальное (5).

Рассмотрим теперь петлю Вильсона W(C) — ехр {i{*C,*jc)}, где ток *jc{*Cz) равен единице на линках дуальной решетки, которые принадлежат петле С, и дулю на всех прочих. И^С) калиброчвочно инвариантна, но не гиперкалибровочпо инвариантна. Чтобы сделать W(C) гилёркалибровочно инвариантной, мы используем

аналог Дираковской процедуры, то есть мы окружаем петлю облаком гиперкалибровочыых бозонов:

ис = иГ(С)-ехрЩ*Ос,*р)}, (7)

где Ос удовлетворяет уравнению: №*Ос — *]с- Поскольку оператор рождения струны действует в определенном временном срезе, мы используем трехмерный оператор кодифференцирования а петля

С относится к одному временному срезу. Легко видеть, что оператор (7) инвариантен при гиперкалибровочных преобразованиях (6): Щ = 11с ехр {—г(*г,*зс) ■+ г(5*£>с,*г)} = 11с. Квантовое среднее этого оператора в ВКТ представлении,

гс

(8)

показывает }что это есть ни что иное как оператор рождепия струны^ поскольку сумма здесь распространяется на замкнутые поверхности струн и на мировую поверхность натянутую на контур С.

Выполняя обратное преобразование дуальности к среднему от оператора (7), мы получаем среднее для оператора рождения струны в терминах изначальных полей:

+ 00 +7Г

<ис>=7 £ [ I ^ехр {5,(Л, Ар - 2тг~ Рс)} ■ (9)

Здесь целочисленное поле рс удовлетворяет уравнению <5'3'(*Д: — "рс) — 0; *рс и является аналогом невидимой дираковской струны. Струна

Дираку соединяющая монопо л ц^ссть одномерный объект, в то время как "рс определен на планетах- п является двумерным. Ненаблюдаемость р следует из инвариантности < Uc > представляемой как (9) при деформации струны Дирака: р' = р + <1(.

Рассматриваемый ниже подход позволяет нам более ясно представить себе четырехмерный аналог эффекта Ааронова - Бома. Прежде всего вычислим среднее от петли Вильсона для заряда Me, Wm(C) = exp{iM(A,jc)} в BKT представлении. Повторяя все шаги, которые приводят нас от (1) к (3), получаем:

<WM(C)>=-~f £ ехр^ЧЧСД + т2)-1'^) (10)

-a('c2)E2Z 5*0=0

М2р2 М М 1 --~(jc, (А + т2)-1 jc) - 2ni'-ijc, (Д + т'уЧа) + •

Первые три члена в экспоненте описывают короткодействующие Юкавские силы: поверхность - поверхность, ток - ток и ток - поверхность. Не смотря на то;что калибровочное ноле приобретает массу т = есть далънодействующее взаимодействие геометрической природы, описываемое последним членом в экспоненте Х(сг, jc)t JL является четырехмерным аналогом гауссова числа зацепления для контуров в трех измерениях, i.e. число зацепления поверхпости/эпределенной посредством {о"},и петли,определяемой jc. Явное выражение для IL таково:

L = {'jcA-ld'a)=('jc;n) , (11)

где 'п есть целочисленная 3 - форма, которая является решением уравнения: S*n = V. Теперь ясно, что JL равно числу точек, в которых петля jc пересекается с трехмерным объемом *п, окруженным замкнутой

поверхностью *а(*с2). Элементы поверхности *<х могут нести любое целое число, так что любая точка пересечения может внести произвольное целое число в И. Тогда L есть число зацепления мировой поверхности струны и тока je, который определяет петлю Вильсона Wm{C). Причиной для существования дальнодеиствующих сил является то, что заряды е, 2е, ...{N— 1)е не могут быть полностью заэкранированы конденсатом поля заряда /V с; если M/N целое, то экранирование полное и дальнодеиствующих сил нет. Дальнодействующее взаимодействие частица - частица может появиться в той фазе теории в которой существует конденсат струн, л JL(a,jc) не зануляется для больших петель Вильсона. Другой интересный оператор, который может быть вычислен точно, есть произведение петли Вильсона IVм(С) и оператора, который рождает мировую поверхность струны Е:

где к определяет поверхность Е на дуальной решетке: S'k = <5v; -решеточная ¿-функция, равная единице на нлакетах дуальной решетки, принадлежащих поверхности Е, и нулю-на остальных плакетах. Мы можем произвести замену переменных: А А+~- therefore < F/v(E) >= 1. Оператор, имеющий нетривиальное вакуумное среднее, имеет вид:

*М£)= £ exp +S,(A,dv)\, (12)

(13)

Выполняя те же шаги, которые привели нас к (10), получаем:

<А™(Е,С)>=е2^Е'с>. (14)

Трактовка этого результата крайне проста. Если поверхность Е лежит в

данном времепном срезе, то F(E) — ехр [^Qs}, где Qy, - полный заряд внутри объема ^ограниченного поверхностью £; если JL(E,C) = п, то он равен Мпе.

Мы показали, что статсумма Абелевой модели Хиггса может быть представлена как сумма по мировым поверхностям струн Нильсена -Ольсена; динамика этих струн (e.g. свойства рассеяния и распада) может быть исследована с использованием операторов рождения. Аналогичный анализ может быть проведен для случая компактного калибровочного поля. В этом случае в теории присутствуют монополи, и струны могут быть открыты и заканчиваться на мопополях. Струноподобцые возбуждения также существуют в теории без калибровочного поля (глобальные струны). Наши формулы (1)-(9) верны в этом случае (е = 0, т — 0). Здесь топологическое взаимодействие отсутствует, но существуют дальнодействующие силы А-1, возникающие из - за паличи'! облака голдстоуновских бозонов, окружающих струну. Эти формула также верпы и в трехмерном случае. Так, для D — 3, е = 0, т = 0, мы получаем теорию вихрей в двухмерной сверхтекучей среде.

В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ

показывается, что в любой абелевой

проекции решеточной глюодинамики существуют не только монополи но и струны, которые обуславливают существование эффекта Ааронова - Бома внутри глюодинамики - зацеплепие их мировых поверхностей за мировые линии кварков.

В решеточной глюодинампке в максимальной абелевой калибровке существует малый параметр е. Этот параметр есть естественная мера

близости между диагональными матрицами и линковыми матрицами после абелевой проекции. Для .57/(2) глюодинамикн мы имеем

~ < Т,г,и I Щ1 Г2> ' (15)

где - матричные элементы линковой матрицы ЦХ11.

Если мы пренебрежем флуктуациями | | так же, как и членом ^ фиксирующим калибровку^ и детерминантом Фаддеева - Попова, ЯП(2) действие в максимальной абелевой проекции примет вид:

5г=/^ТГ7/Р = Дсо.ЧОР4 0(£2) + ... , (16)

где р = р \ (/ц |4, Ор - плакетные углы, построенные обычным образом из линков 0ХЦ , =| 11Д | е'"1".

Таким образом, в наивном приближении мы получаем действие для компактной электродинамики. Поскольку в компактной электродинамике конфайнмент обязан конденсации монополей, а она сама дуальна абелевой модели Хиггса с бесконечноым вакуумным средним для поля Хиггса (поля монополя), ничего странного нет в том, что в максимальной абелевой проекции вакуум глюодинамики есть аналог дуального сверхпроводника.

Разумеется, это только интуитивный аргумент. Конфайнмент в //(1) теории существует в области сильной связи. Тогда чтобы объяснить конфайнмент при больших значениях 0 в 5{/(2) глюодинамике, мы должны детально исследовать все стороны процедуры фиксации калибровки ( такие как детерминант Фаддеева - Попова, член фиксирующий калибровку, флуктуации | | и т.д.).

Рассмотрим общую абелеву

проекцию в решеточной 57/(2) глнюдипампке. В этом случае нет малого параметра, аналогичного е 15, и не только диагональные элементты 6'Д' но и [J™ вносят вклад в эффективное действие. Рассмотрим следующую параметризацию линковых матриц:

? 2 V** = "iH^í^i + pl^d) (I7)

После абелевой проекции поля 0ХЦ и р11Х = plx -hiplf, преобразуются ирл абелевом калибровочном преобразовании следующим образом:

Отц Ох,i + o¡r - <**+,-, (18)

Prt,->e2i"-pTI¡ , (19)

так что диагональные глюоны превращаются в калибровочное поле фотона а недиагональные глюоны играют роль векторного поля с зарядом 2 р. И мы имеем

<EI^!2>5¿O, (20)

/i

если поле материи сконденсировано, то возникают струны Нильсена - Ольсена. Эти топологические возбуждения могут играть важную роль в механизме невылетания, подобно тому как монополи играют такую роль в максимальной абелевой проекции. Используя стандартный алгоритм, мы можем извлечь монололи из данной конфигурации абелевых полей на решетке. Струны Нильсена - Ольсена могут быть извлечены аналогичным образом из данной конфигурации поля материи и калибровочного поля. Рассмотрим для простоты следующее скалярное поле, построенное из исходного векторного

Ф, = Eft*. =1 Фг I е*" . (21)

Рассмотрим калибровочво инвариантную лпнковую неременную L = dip 2в + 2п1 и плакетную переменную Р = ¿в + 2тгп, где / и п - целые числа^такие что —тг < L < тг, а —тт < Р < тг. Мировые поверхности а струн Нильсена - Ольсена и мировые линии j монополей определены на дуальной решетке:

а = —(*dL - 2*Р) = *dl - 2*п , (22)

j = ^-*dP = *rfn . (23)

Z7T

Поскольку i<r = у, струпы либо открыты}либо несут на концах монополп и антимонополи; монопольные токи формируют замкнутые траектории: Sj = 0. Таким образом глюодинамика редуцируется к абелевой модели Хиггса, в которой скалярное поле имеет заряд 2 и, следовательно, может наблюдаться эффект зацепления струн Нильсепа-Ольсена за петли Впльсона представляющие мировые линии кварков.

В ПЯТОЙ ГЛАВЕ

стартуя с непрерывной абелевой модели Хиггса мы строим квантовую теорию струн Абрикосова - Нильсена - Ольсена. Показано, что в четырехмерном пространстве в пределе бесконечно тонких струн отсутствует конформная аномалия и, таким образом, существует квантовая теория. Кроме того, имеет место эффект Ааронова - Бома. Построены операторы рождения струн.

Статсумма для четырехмерной абелевой модели Хиггса имеет вид:

2 = 1 VAtlVФexp {-/¿х + \\ОМ + А(|Ф|2 - ,/2)3]} , (24)

£>и = др - геАц , (25)

В уравнении (25) интегрирование по комплексному скалярному полю Ф = |Ф|ехр(г"0) может быть переписано как:

{= У 1>/?еФ • 1>/тФ... = У[|Ф|1)|Ф|]т... (26)

Интеграл по 9 должен быть тщательно определен, поскольку 9 не определено там, где

/гаФ = ЯеФ = 0. (27)

Эти два уравнения определяют двумерную поверхность в четырехмерном пространстве - времени, и мы должны проинтегрировать функции являющиеся регулярными везде, за исключением этих поверхностей. Эти двумерные сингулярности - не что иное, как струны Нильсена - Олъсепа.

В (26) мы интегрируем по регулярным функциям ЯсФ(х) и 1тФ(х), и можно показать, что сингулярности в определяемые (27)^ должны иметь вид:

ду,д„]в\х,х) = 27ГбдгадЕа3(ж, ж), (28)

ЕоДа.З) = У (1оав(5)$(4)[х — 5(ст)],

где х = х(сг) - координаты струны, параметризованные <та, а = 1,2; да = 9"(х,х) - функция от ж и фукционал от х\ X определяет положение

струны; д = det\\gab\\; даь - д^х^дьх» and t^ — ^дах^дьх^ - тензоры индуцированной метрики и внешней кривизны на £ (у нас нет в теории внутренней метрики), = 2. Заметим, что <9[,A]0S ~~f~- 0, поскольку б?1* -сингулярна.

Для простоты рассмотрим Локдоновский предел (А —> оо и радиальная часть поля Ф зафиксирована)3:

Z = const ■ f VA^VO exp | - j d4x |-F^ 4- + eA

(29)

где if =< |Ф|2 >. Теперь обсудим меру интегрирования по в. Из (26) следует, что норма для поля 0 есть: ||<Я?||2 = /¿4а:|Ф|2(<50)2.В лондоновском пределе есть две независимых переменных - регулярная и сингулярная часть в, в = вг + 9s, и \Щ\2 = const f d4x(SOr + ¿6s)2 = ||W"||2 + ||W|!2- Из (28) можно легко видеть, что интерференционный член / dixSerS63 зануляется:

j d4x50r80s = const J d*x J d}y50rd{iidu]/^-\x - y)ST,tLU =

const J d*x I d\j (dI(A]cw) - y)6Elw = 0, (30)

мы использовали то, что Э[дЭ„]Мг = 0, поскольку 50г - регулярная функция. Тогда J Т>в... — JT>0'"DOS... и интеграл по сингулярной части &s может быть сведен к. интегралу по мировым поверхностям струны. У нас нет монополей и следовательно, согласно закону сохранения магнитного потока, струны замкнуты и сингулярности 9s (Е в (28)) формируют замкнутые двумерные поверхности.

Здля произвольного А все преобразования остаются в силе но в окончательном

выражении для статсуммы (33) мы должны ввести дополнительный функциональный интеграл по радиальной части поля Ф.

Теперь преобразуем статсумму теории поля (29) в статсумму трунной теории. Чтобы произвести замену переменных подставим в функциональный интеграл единицу (29) (см. (28)):

1 = -Jvx-6 - j d2a^gt^4)[x - £(*)]} . (31)

5десь ■/[£,,„] - якобиап, который соответствует замене переменных к трунным, а в / Vx мы предполагаем суммирование по топологиям трунпых мировых поверхностей. Используя ¿-функцию в (31) и определение 8s (28), мы интегрируем по 0s:

J Vee~sV- ] = j DirWe-5!»4''-"1 - (32) ■oust - J = const ■ j verm.7(x)e-svr+e'^'~\

•де J(x) ~ J[£„„].

Фиксируя калибровку d,t0r = О, можно легко выполнить штегрирование по А^:

Z= j mj(x) • exp - x')da^(x')} , (33)

•де (Л + rn2)V^{x) = ¿^(a:), и m2 = e2rj2 - масса калибровочного ¡озона. Действие^которое входит в (33), уже обсуждалось в [?, ?J, новый >бъект в (33) - якобиан J(x). Легко видеть, что J(x) определенный (31) [ статсумма (33) инвариантны относительно репараметризации а. Как юказано в приложении, J(x) может быть вычислен, если поверхность труны имеет сферическую топологию. Вычисления выполнены в :онформной калибровке,

512 = £Г21 — о ; дп = g2i = у/д, (34)

и результат следующий:

</(ж) = coust • ехр | J d2o

параметры /í; определены в приложении, Ai - параметр регуляризации и R - средняя кривизна струн.

Теперь мы изучаем разложение действия по степеням (míi) '. Мы включили в разложение член, идущий из In J(x). В лидирующем порядке действие локально и, если поверхности Е имеют сферическую топологию, мы используем выражение (35) для J, то:

s = t¿fz - ¿r jT in v^)2 - jf лг v)3 • (36)

Здесь ¿í' = /¿o — /'i, натяжение струны fio возникает из разложения действия (33), в регулярязационной схеме /i0 = 4ттт]21п Цо перенормируется посредством /^входящим в якобиан (35). /? = ^ + ^г^. у где первый член в правой стороне появляется из разложения действия, а второй - из якобиана.

Первый член в (36) - обычное действие Намбу - Гото; второй член -важен для квантования и третий - член с жесткостью.

Если мы рассмотрим струны без жесткости, (3 = 0, то получим те'-орию изученную Польчинским и Стромингером. Оказывается, что коеффициент во втором члене в (36) соответствует 7 = 22 в алгебре Вирассоро; тогда конформная аномалия отсутствует и теория может

—~(да ^-у/яШи*)2

4стг /Хг71"

,(35

быть проквантована в О = 4. Не следует забывать^что этот член появился из якобиана ./(£).

Из вывода J(x) очевидно, что он имеет универсальную природу, т.е. не зависит от модели. Якобиан ,/(£) возникает, когда мы переходим от интегрирования по полевым переменным к струнным. Таким образом, мы ожидаем, что любая теория поля, которая имеет струнолодобпые решения, эквивалентна теории струн, которая может быть проквантована вВ=4.

мы выводим различные представления компактной КЭД в калибровке Ландау. Калибровка фиксируется посредством стандартной процедуры Фаддеева - Попова. Наш анализ показывает, что струны Абрикосова -Нильсена - Ольсена, возникающие из компактности члена^фиксирующего калибровку, сокращаются детерминантом Фаддеева - Попова, и они, таким образом, не оказывают влияния на корреляционные функции такие, как фотонный нропагатор. Статсумма КЭД в калибровке Ландау будет иметь вид:

В ШЕСТОЙ ГЛАВЕ

п(с2)бжцг1)еж

(37)

—тт

где

$т(А) = ~\ЦЛ + 2™||2 + ¿Р*/ - Л||

2

;

(38)

а

'Ыег

— 7Г

кроме того, здесь предполагается, что к стремится к бесконечности. Если мы забудем про детерминант Фаддеева - Попова, то получаем абелеву модель Хиггса. и в ней - струны Абрикосова. Однако, корректное рассмотрение показывает, что они сокращаются с аналогичными возбуждениями из Дрр, а именно, после применения ВКТ преобразования как к статсумме, так и к детерминанту Фаддеева - Попова, мы получаем:

£ ехР{-—||^ + 2НГ}ад, (40)

п(с2)е22

где

схр{-^((М-2тгг)Д-1(М-27гг))} (41)

Г(со)62? 1 2 '

Непосредственное взятие предела бесконечно большого к приводит нас к

равенству

О(А) = £ ¿(5А - 2ят) J (42)

г(со)6 Ж

что непосредственно соответствует непрерывному

определению калибровки Ландау. Как мы видим, в последнем выражении для статсуммы не осталось никакого следа струн Абрикосова.

В СЕДЬМОЙ ГЛАВЕ

рассматривается представление неабелевой петли Вильсона в виде интеграла по калибровочной группе от ее абелева варианта.

Здесь мы рассматриваем представление петли Вильсона в неабелевой теории в виде интеграла по калибровочной группе от ее абелева варианта. В непрерывном пределе эта формула рассмотрена в работе Дьяконова и Петрова. Здесь же дается вывод ее решеточного варианта. Мы ограничиваемся случаем группы .?{/(2). Обобщение на другие

калибровочные группы очевидно. Искомая формула имеет вид ( мы представим линковую матрицу V в виде 11'(х — созря схр{И)я), [/¡2 = ятр9 ехр(1хр3))-.

= г""11 Одехр(г(в^1))Щху]&1(созр") (43)

Здесь - длина контура, интегрирование производится по всем элементам калибровочной группы, прикрепленным к точкам на контуре, под знаком интеграла стоит абелева петля Вильсона ехр({(03,1)) и произведение косинусов Щ^^соэр9), II3 — д"111д. Следует отметить, что эта формула верна лишь в случае, когда петля Вильсона не имеет самопересечений. В качестве простейшего применения этой формулы можно предложить следующее. Для

исследования неабелевой калибровочной теории исследуют ее абелеву проекцию с тем, чтобы иметь дело с абелевьгми полями, однако в аналитическом анализе остается сложность связанная с невозможностью простого представления петли Вильсона через поля, возникшие после абелевой проекции. Применение указанной формулы может помочь преодолеть эту трудность. Видоизменим определение абелевой проекции с калибровочным условием Д({/). Будем рассматривать условие Я(//) везде, кроме выделенного контура I. Тогда среднее для петли Вильсона запишется следующим образом:

< >= 21'1"11 Ювехр^(в,1)) I ирОфП(ху]&(сыр)ехр(-3(9,р, ф))

(44)

, где 5 - действие абелевой проекции ¿>£/(2) глюодинамики. Теперь мы можем видеть непосредственно, скажем, что имеет место эффект Ааронова - Бома- зацепление мировой линии цветного кварка за мировую поверхность струны Абрикосова, возникающей в указанной абелевой

проекции. Для вывода нашей формулы используем вспомогательную статсумму для заряженного скалярного поля в фундаментальном представлении во внешнем неабелевом калибровочном поле.

2 = 10фехр(-£фд/1уф+ - с.А.) (45)

Мы можем вычислить здесь интеграл по скалярному полю и получить

г = ВеЦЫ=£Щ1)А(111) , (46)

I

где сумма распространяется на все замкнутые кривые на решетке, У/{1) - соответствующие петли вильсопа в фундаментальном представлении, а А(\1\) - комбинаторные факторы, зависящие от длины пути. С другой стороны, мы можем представить интеграл в изначальном выражении для. статсуммы в виде

2= \ ОфБ3ехр(- £ ФЛЩу}пФ+ ~ с.1г.) (47)

Здесь мы представили скалярное поле в виде Ф = [0, ф]д, где д -элемент калибровочной группы. II3 = д~111д. Теперь

г = 1 Дд/МВДи]) = £ [ ОдЩху)€1{[Щу} пЩЩ) (48)

, где В - другой комбинаторный фактор. После детального рассмотрения комбинаторных факторов в силу произвольности значения калибровочного поля, имеем

= ! ВдЩху)е([Щу]п) . (49)

После представления матрицы II в виде (/^ = со.чрдехр(Ш''), (1у2 = зтр?ехр({фя), получим

/ ВдеХр(1{9°,1))Щхт1(созр3) ■ (50)