Динамика топологических дефектов в калибровочных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

/"л // /7 ../ / Л У

/

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

Губарев

Федор Васильевич

ДИНАМИКА ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ДЕФЕКТОВ

В КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ

(Специальность 01.04.02 - Теоретическая Физика.)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н. М.И Поликарпов

Москва - 1998

Содержание

1 Введение 3

2 Взаимодействие монополей в абелевой модели Хиггса 5

3 Вакуум глюодинамики как дуальный сверхпроводник. 13

3.1 Решеточный подход в квантовой теории поля..................13

3.2 Метод абелевых проекций........................................16

3.3 Формулировка т'Хофта............................................17

3.4 Максимальная Абелевая Проекция..............................19

3.4.1 Процедура фиксации калибровки........................19

3.4.2 Абелевые наблюдаемые.................21

3.4.3 Абелевые и 0(3) монополи................................22

3.4.4 Абелевая петля Вильсона................23

3.4.5 Иллюстрация подхода: статический БПС-монополь. 24

3.5 Абелевая проекция и монополи на решетке..........25

3.6 Компактная электродинамика....................................27

4 Б = 4 Б11 (2) глюодинамика в абелевой проекции. 29

4.1 Абелевая и монопольная доминантность............29

4.2 Уравнение Лондона для монопольных токов.........30

4.3 Монопольный конденсат.....................30

4.4 Инстантоны и монополи.....................32

4.4.1 Случай одного инстантона................32

4.4.2 Многоинстантонная конфигурация...........35

4.4.3 Дальнейшее развитие......................................36

4.5 Абелевые монополи в самодуальных полях..........38

4.5.1 Классическое рассмотрение...............38

4.5.2 Решеточная формулировка задачи...........39

4.5.3 Результаты исследования................41

5 Обзор результатов. 43

6 Другие механизмы невылетания: эффект Ааронова-Бома 44

6.1 Обзор центральной проекции глюодинамики............44

6.2 Эффект Ааронова-Бома в Абелевой Модели Хиггса .... 51

6.3 струны, эффект Ааронова-Бома и конфайнмент .... 59

7 Абелевая проекция в других полевых моделях 62

8 Заключение и выводы 68

9 Приложение А:

Дифференциальные формы на решетке 71

10 Приложение Б:

Преобразование дуальности 74

1 Введение

Феноменология сильных взаимодействий содержит всего лишь две фундаментальных составляющих: асимптотическую свободу и невылетание цвета. Уже только первое требование неизбежно приводит к заключению, что из всего многообразия теоретико-полевых моделей только неабеле-вые калибровочные теории способны описывать мир адронов. Что же касается второго требования, то здесь ситуация далеко не столь очевидна. С одной стороны, совпадение углов наклона траекторий Редже для различных адронов, спектроскопия кваркониевых систем и многое другое говорят о существовании линейно растущего с расстоянием потенциала между кварками. С другой стороны, за почти двадцатипятилетнюю историю существования КХД никто еще не сумел доказать, что микроскопическая, фундаментальная теория кварков и глюонов действительно приводит к линейному конфайнменту цвета на больших расстояниях.

Таким образом, существует до сих пор не решенная проблема описания свойств КХД при низких энергиях. И по всей видимости, проблема эта не только и не столько техническая: меняется качественное содержание теории. В противоположность большинству известных до сих пор теоретико-полевых моделей, фундаментальные возбуждения вакуума КХД вообще не появляются в физическом спектре: только адроны, лептоны и фотоны наблюдаемы в эксперименте.

. "Ч / N

О*;.

- V

\

-ЧГ

¿1

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Качественную картину того, что происходит в хромодинамике при переходе от высоких энергий к низким можно увидеть уже в теории возмущений. В лидирующем порядке по константе связи взаимодействие двух пробных цветных зарядов есть обычный одноглюонный обмен (Рис. 1), что приводит к потенциалу Кулона между источниками. Но уже в следующем порядке происходит нечто интересное, а именно, диа-

грамма на Рис. 2 определяет замечательное явление, известное только в неабелевых калибровочных теориях и называемое антиэкранировкой или асимптотической свободой ([1]). В 'обычной' теории поля, например в квантовой электродинамике, облако виртуальных частиц экранирует заряд, приводя к тому, что величина эффективного заряда растет с увеличением переданного импульса. В КХД все происходит с точностью до наоборот: 'размножение' глюонов на Рис. 2 приводит к следующей зависимости эффективного заряда от переданного импульса:

то есть к росту а3 с уменьшением энергии. Высшие поправки теории возмущений лишь немного меняют вид этой зависимости.

Уравнение (1) означает, что эффективное цветное взаимодействие становится все сильнее и сильнее при увеличении расстояния между пробными цветными зарядами и, как видно из этих же уравнений, на расстояниях порядка возрастает настолько, что перестает иметь

смысл говорить об отдельных глюонах (Рис. 3) Вместо этого наиболее естественным становится язык описания в терминах хромоэлектричес-ких и хромомагнитных полей.

В 'обычных' теоретико-полевых моделях, например в электродинамике, поле пары пробных зарядов, помещенных в вакуум теории, распространяется на большие расстояния. Предполагается, что физический вакуум КХД устроен гораздо более сложно, в частности, распространение хромоэлектрических полей на большие расстояния энергетически невыгодно [2, 4]. Вместо этого поле пары цветных зарядов сжимается в нечто наподобие струны (трубки силовых линий), натянутой между ними. Возникновение линейного потенциала между кварками в таком случае очевидно.

Такое поведение хромоэлектрического поля очень напоминает эффект Мейснера в сверхпроводнике. Хорошо известно, что магнитное поле не может проникнуть в сверхпроводящую среду. В лучшем случае, если условие ненулевого потока наложено извне, например, граничными условиями, то магнитное поле собирается в узкую трубку силовых линий, несущую весь поток; сверхпроводимость внутри трубки разрушена.

Следующим логическим шагом было бы внести статическую моно-поль-антимонопольную пару в сверхпроводник. С одной стороны, достаточно очевидно образование струно-подобной трубки силовых линий

магнитного поля между монополем и антимонополем при достаточно большом расстоянии между ними. С другой стороны, не вызывает сомнений, что на малых расстояниях в полной энергии доминирует куло-новский вклад.

Таким образом, явно просматривается качественная аналогия между поведением монополь-антимонопольной пары в сверхпроводнике и парой цветных зарядов в вакууме КХД. Точнее говоря, так как КХД -теория релятивистская, то аналогия существует скорее между КХД и релятивистским обобщением теории сверхпроводимости - абелевой моделью Хиггса (АМХ). Мы остановимся более подробно на этой аналогии в следующих разделах, а пока посмотрим более внимательно на саму АМХ.

2 Взаимодействие монополей в абелевой модели Хиггса

Проблема вычисления энергии взаимодействия монополь-антимонопольной пары в сверхпроводнике имеет свою собственную историю (см. [5, 6, 7, 8, 9, 10] и ссылки в этих работах). С теоретико-полевой точки зрения естественным языком этой задачи является формализм Званзигера [11], позволяющий самосогласованно описывать взаимодействие фотонов с электрическими и магнитными зарядами. В первоначальной формулировке этого формализма вакуум теории предполагался тривиальным. Если же попытаться наивно включить в формализм Званзигера механизм спонтанного нарушения симметрии, то оказывается, что результирующий фотонный пропагатор, во-первых, определен неоднозначно (помимо калибровочной неопределенности), во-вторых, содержит нефизические сингулярности. Предполагались различные пути решения этой проблемы [5, 7, 8], но все они основываются на дополнительных предположениях и посылках, что само по себе не может быть удовлетворительным. Для того, чтобы увидеть возникающие трудности, рассмотрим теорию Званзигера, представляющую собой локальную полевую теорию электрически и магнитно заряженных частиц. Вводится два калибровочных поля АДх) и Вц(х), ковариантно взаимодействующих соответственно с электрическими и магнитными токами. Теория задается статистической

суммой:

Z = j DADB e-S{A>B)+ie{f,A)+ig{jm,B) (2)

с действием:

S(A, В) = / éx {\{n • [д л A])2 + \{n • [d A B])4

(3)

+ i(n • [d A A])(n • [d A B)d) - i(n • [a A B])(n • [9 A A]d)}

где e(g) есть электрический (магнитный) заряд, - произвольный постоянный вектор единичной длины. В (2) и (3) мы использовали сокращенные обозначения:

(j, А) = f éx(ж) = J A^d(4) [А Л В]^ = АцВу — АиВй, {п-[А/\ В])ц = п„{А A B)Vfl, (5)

(G)iu = ^envXpG\p (6)

Калибровочная симметрия действия (3) задается преобразованиями

А* Л* + д»а

(?)

Вр-^Вр + дгР

с произвольными функциями о;(ж), /3(ж); как следствие этого и электрический je и магнитный jm токи сохраняются: dj(e>m) = 0.

Несмотря на наличие двух калибровочных полей Ац и В(Л) теория описывает один фотон с двумя физическими степенями свободы, что следует из рассмотрения гамильтоновой динамики системы [5, 11].

Действие (3) приводит к следующим классическим уравнениям движения:

(пд)2Ац - п„(пд)(дА) - др(пд){пА) + n^inA)-

- г(пд)е^хРпхдрАи = -iej*

(8)

{пд)2В„ - nfl(nd)(dB) - д^(пд)(пВ) + пйд2(пВ)+

+ iin&je^xpnxdpBu = -igj™ 6

Рассмотрим энергию взаимодействия двух классических внешних источников 'Уп. Хотя ответ может быть получен непосредственно из уравнений движения, такой путь решения не является самым простым, так как (8) не диагонально по полям А я В. Вместо этого удобно проинтегрировать все поля в (2), тем более что такой подход понадобится нам в дальнейшем. В качестве действия, фиксирующего калибровочную свободу (7), мы выбираем

(9)

Детерминант Фаддеева-Попова в этом случае тривиален и действие с фиксированной калибровкой имеет вид:

(10)

(И)

Szv + Sg.f. = A (Л, DWA) + i (В, №в) - г (В, К А)-

-ie(f,A) — ig (jm, В) В импульсном пространстве Г)(А>В) и К определены как: D{£>B){k) = S^(kn)2 - (кп)(пцк„ + пикц) + (к2 + М\

Кй„{к) = (кп)(п А к)^, = (кп) пхкр Непосредственное интегрирование по полю В приводит к результату: Z = ¡DA e-sW+ieU^A)

S(A)=fd4x {\(дЛА-д(пд)-ЧпЛГ}У+ (12)

+24(М-Чал)2 + ^М)2},

где интегральный оператор (пд)~х может быть представлен в виде [11]:

оо

(ndr'ix) = - fd( [6(х - Сп) ~ 8{х + СП)} (13)

Следовательно, (пд) 1[пА ]т) представляет собой струну Дирака, направленную вдоль вектора п^ и имеющую ток зт своей границей.

Интегрирование поля А приводит к результату:

J £)A£>ß e~SZw(A,B)+ie(r,A)+ig(jm,B) _ e-S(je,jm)

S(f,jm) = 4 (ЗтЛВ)Эт) + i Cf, Q(A)je) + {eg (je,Tjm)

откуда следует, что пропагаторы исходной модели (2) определяются в импульсном пространстве следующим образом:

< AßAv >=< BßBu >= =

= + м\АвВ (кп)Ъ ~ + kvnß)) (15)

< AßBv >— Три = pffjui/Ap-Qmj = к2(кп) Л k]d)fiv

Заметим, что последний член в S(je,jm) содержит кажущуюся зависимость от произвольно выбранного вектора nß. Требование того, что эта зависимость только кажущаяся, приводит к условию квантования Дирака: ед = 2я"т [11]. Существует общее доказательство того, что при выполнении этого условия физические результаты не зависят от выбора вектора nß.

Трудности возникают, если попытаться включить в описанный выше формализм механизм спонтанного нарушения симметрии. Предположим, что заряженное скалярное поле приобретает ненулевое вакуумное среднее, что приводит к появлению массового члена \vr?vA?lx в лагранжиане. После этого вычисление пропагаторов Ал В полей дает (см. например [5]):

< BßBv > (к) = ^ (¿^ + - гуг„) + ....) ,

(16)

< AßAv > (к) = к2+т2 (öfiv + ■■■),

где многоточием обозначены члены, пропорциональные kß, и поэтому несущественные в силу сохранения токов. Из (16) непосредственно видно, что энергия взаимодействия монопольной пары при обмене массивным фотоном с таким пропагатором явным образом зависит от пКроме того, не слишком понятно, что делать с членом ~ 1/(кп)2 в (16).

в

л

А

В

В

А

А

В

Рис. 4

В этом месте необходимо сделать следующее замечание. В принципе, члены ~ (8^ — ПцП„) в пропагаторе < В^Ву > появляются и в случае тривиального пертурбативного вакуума при учете радиационных поправок. Например, вклад диаграмм Рис. 4 составляет величину ~ (¿V — ПдПг,)/(кп)2. Соответствующий вклад в действие составил бы

Но в силу сказанного выше (ид)-1 [п Л jm] есть ни что иное как струна Дирака, неизбежно 'сопровождающая' мировую линию монополя, и подобная 'энергия' есть нефизическая собственная энергия дираковской струны.

Проблемы с пропагатором (16) уже обсуждались в литературе [7, 8] и было предложено их обойти исходя из физических соображений. В частности в работе [7], где рассматривался предел Лондона (m# mv), предлагалось расходимость в интеграле по к из-за члена 1 /(кп)2 избежать, понимая интеграл в смысле главного значения, и направить вектор п вдоль направления, соединяющего монополь-антимонопольную пару. Оправданием этих предписаний служило то, что только таким образом удается восстановить свойства решений классических уравнений движения [6].

Тем не менее, причина трудностей, возникающих при попытке включить в формализм Званзигера механизм спонтанного нарушения симметрии, кажется почти очевидной. Мы уже качественно описывали, что происходит с магнитным полем монополь-антимонопольной пары в сверхпроводнике - между парой неизбежно образуется трубка силовых линий (струна Абрикосова-Нильсена-Ольсена или AHO струна). По видимому, правильный подход состоит в корректном учете струнных степеней свободы, для чего удобно воспользоваться струнным представлением АМХ [12]. А именно, как следует из результатов [12], статистическая

сумма АМХ

ZAHM = / D.AD®DÖ>

Ф, Ф) = / d'x { 1(0 Л А)2 + ||(ö - <еА)Ф|2+ (18)

+А((|Ф|2 - п2)П

в пределе Л оо может быть представлена в виде теории замкнутых AHO струн. Если Х(а) определяет координаты мировой поверхности, то

lim Zahm = f DZ e~sW (19)

А-юо J

<5£=0

где DE означает интеграл по всем возможным Х(сг) и действие равно:

= iml / (fad? а' UßV(a) К(Х(а) - Х{о')) IPV) (20)

= eabdaXß(a)dbX„(<r)

Интегральное ядро К(х) определяется из уравнения (—д2 + rnl)K(x) — 6(х) и mv = er).

Возвращаясь к исходной задаче, рассмотрим в рамках теории Зван-зигера со спонтанным нарушением симметрии среднее петли Вильсона для поля В:

< eig(jm,B) >= ± f DADBD$DÖ> e-S{A,B)-S{A,b)+ig{j™,B)

(21)

S(A, Ф) = fd4x{ геАЩ2 + А|(|Ф|2 - ?72)|2} Интегрирование поля В происходит аналогично (2) (см. также [13]):

< ei9(3m,B) >= _L_ JDADQD® е-5»ям(л,ф,ф) H{Y,jm)

= / d4x {-\(д Л А + ^Е^)2 + ^(9 А А)')

(22)

#(EjTO) = е

где Еjmd = (пд) 1[п Л jm]d, 5Y,jm = jm и мы использовали условие квантования Дирака ед — 27г.

Таким образом, среднее петли Вильсона < егд > поля В сводится к среднему петли т'Хофта H(Y>jm) калибровочного поля А при специальном выборе поверхности Ejm, а именно, поверхность Ejm в любой своей точке параллельна вектору (см. 13). Необходимо показать, что среднее < H(Hjm) > не зависит от выбора формы поверхности. Рассматривая для простоты случай Л —> оо и проводя вычисления, аналогичные [12], получаем:

lim < H(I:jm) > = [ DT, (23)

А—юо J

<fS=0

где струнное действие 5(E) дается формулой (20). Заменой переменных Е —> Е — Ej-m интеграл по замкнутым поверхностям = 0 сводится к интегралу по поверхностям, натянутым на ток jm:

lim < жад > = [ DE (24)

А->оо J

6T,=jm

Таким образом, очевидно, что среднее < HiEjm) > зависит только от jm, но не от поверхности Еjm.

В качестве применения полученных формул найдем энергию взаимодействия статической монополь-антимонопольной пары в пределе Л —> оо. Если расстояние между монополем и антимонополем равно R, то

ДО = - Д/2) - + Д/2)] (25)

и потенциал взаимодействия можно вычислить как

л

V(R) = -gfln< H(Tijm) > (26)

Первый член ^ (jm, Kjm) в (24) для контура (25) легко вычисляется

2тг2 - г 7г e~mvR

¿¡4Г, КГ) = (self energy) ~ J dt ~ (27)

и приводит к потенциалу Юкавы:

V(R) = V1(R) + V2(R), = (28)

Что касается второго члена ^(i?), то с ним все гораздо сложнее. Даже на классическом уровне необходимо найти

поверхность Ajjm 3 натянутую

на для которой действие 5(Е_,т) минимально. Для произвольного контура зт такая задача, по видимому, неразрешима аналитически, но для частного случая (25) естественно ожидать, что это должна быть минимальная поверхность, которую удобно параметризовать следующим образом:

х° = г ге (-оо; +оо) Х*=Ша <т€(-1;+1)

(29)

Вычисление действия трудностей не вызывает. Так как для

£аЬдаХ»(а)дьХи((т) = -

£

(30)

имеем

С(^тпгпЛ _ 1

) — ^

7ГДГП„

е

] ¿ге/сг ^ ^ +

АкКт,,

' с/3/с вш2(£Л/2)

Л ИЬ 7*2 , 2

(31)

(2тг)3 +

Интеграл по импульсам в этом выражении необходимо обрезать на массе скалярного бозона. В результате вычислений получим потенциал взаимодействия:

УШ - тге~^д , 1

А-кЯгп,.

7 вт2(кЯ/2) 1 Й Щ* к2 + т2у Щ*

_ ^ е-т„ Д

2е

+ ¡Г* [х + т2]3/2 ]

= ^ { + 1п - I1 - е_ГОиЛ] +

+туВ. Е1[т0Д] }

(32)

ВД = - Г = с + 1п[ж] + £

*=1

кк\

где С = 0.57722... - постоянная Эйлера.

Таким образом, учет струнных степеней свободы позволяет получить хорошо определенное выражение для потенциала взаимодействия мо-нополь-антимонопольной пары в абелевой модели Хиггса. А именно: 1) в (32) отсутствуют расходимости при к-й-> 0; 2) условие минимальности классического действия фиксирует произвольный вектор в формализме Званзигера.

На первый взгляд полученный результат можно было бы интерпретировать также в терминах фотонного пропагатора. А именно, можно было бы попытаться определить статический пропагатор фотона Ю(к2) как обычно:

П(Р) = I щ^{Щехр{гк-й). (33)

Найти О (к2), используя (32), не составляет труда. Казалось бы, релятивистский пропагатор фотона следует отсюда непосредственной заменой к