Эффективные модели для топологических дефектов в теории поля тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

РГВ од

На правах рукописи

: г " ' "

АХМЕДОВ

Эмиль Тофик оглы

ЭФФЕКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ДЕФЕКТОВ В ТЕОРИИ ПОЛЯ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

УДК 530.1

Работа выполнена в Государственном Научном Центре РФ Институте теоретической и экспериментальной физики, г.Москва.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук М.И Поликарпов,

ГНЦ РФ ИТЭФ, г.Москва

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук К).А. Симонов,

ГНЦ РФ ИТЭФ, г.Москва;

кандидат физ.-мат. наук В.К. Митрюшкин, ОИЯИ, г.Дубна.

Ведущая организация: Физический институт им.П.Н.Лебедева РАН, г. Москва.

Защита состоится " мая 1998г. в Ц часов на заседании диссертационного совета Д 034.001.01 Государственного Научного Центра РФ Института теоретической и экспериментальной физики по адресу: 117259, Москва, Б.Черемушкинская 25, ИТЭФ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке. ИТЭФ.

Автореферат разослан "апреля 1998г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. паук

Ю.В.Терехов

1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена изучению эффективных низко-эиергетпческпх теорий для топологически стабильных струн в различных теориях поля. Так же изучается динамика этих струн и возможность существования самосогласованной теории для них. Последнее весьма важно для струнного описания КХД.

Работать непосредственно с КХД па данном этапе очень сложно, поэтому рассматриваются различные абелевы аппроксимации к пей. Такой подход значительно упрощает задачу и дает возможность понять некоторые аспекты дипамики КХД при низких энергиях.

Актуальность темы

Одной из основных задач современной теоретической физики является проблема певылетания кварков пли проблема описания низко-энергетической КХД. При попытке ее решения зародилось большинство направлений современной теоретической и математической физики. Однако решить ее до сих пор не удалось. В последнее время, благодаря комбинированию аналитических расчетов и методов решеточных теорий, удалось достигнуть некоторого прогресса в решении проблемы невылетания. Решеточные вычисления показывают, что в вакууме теории Янга-Миллса имеется конденсат монополей. Это говорит о том, что при низких энергиях эффективная дуальная модель к КХД - это абелева модель Хиггса. Тогда, в нулевом приближении, струпа КХД, соединяющая кварки в мезонах и приводящая к невилетанию, является аналогом струпы Абрикосова-Нильсена-Олегена.

Б связи с этими наблюдениями важной задачей является поиск эффективного действия для струны Абрикосова-Нильсена-Олесепа. Простейшее действие для такой струны, найденное еще двадцать с лишним лет назад, - это функционал Намбу-Гото. Однако в теории струн г. таким действием возникают проблемы. Например, это существование лишней моды Лиувилля в четырех измерениях, мятость струнных поверхностей п присутствие тахиона в спектре. Поэтому реальпая задача заключается в поиске дополнительных членов в действии, которые решали бы этп проблемы. Оказывается, что в рамках абелевой модели Хиггса можно избавиться о г первой проблемы.

Однако это не ограничивает весь круг задач в выбранном направлении изучения КХД - в терминах абелевых моделей. Например, в рамках абелевой модели Хиггса не ясно, как решить проблему мятости струйных поверхностей и присутствия тахиона в спектре теории. Это и не удивительно, так как теория Янга-Миллса значительно более богата, чем абелева модель Хиггса, и поэтому не следует ожидать решения всех проблем КХД в рамках последней.

Действительно, современные исследования покачивают, что в теории Яша-Миллса на самом деле присутствует конденсат дионов, а не монополеи. Поэтому важно изучать абелсву модель, описывающую последнюю ситуацию, что является одной из задач диссертации. Оказывается, что даже такое незначительное усложнение модели ведет к существенным изменениям в динамике топологически стабильных струн в ней. Мы обсуждаем взаимодействие Ааронова-Бома между этими струнами и внешними источниками. Наличие этого взаимодействия может давать вклад в натяжение струны. В рамках этой задачи возникает эффект Ферми-Возе трансмутации для струн при переходе от больших к малым расстояниям, что может решить проблему мятости струн. Так же мы предлагаем теорию поля, в которой возникает теория струн претендующая на самосогласованность.

Кроме связи рассмотренных задач с КХД, они интересны сами по себе. Действительно, в современных космологических моделях топологически стабильные деф-фекты, такие как монополи, струны и дионы, играют важную роль. Они служат неоднородностями в плотности на ранних этапах развития вселенной. Эти неоднородности должны вести к формированию галлактик и их скоплений. Поэтому важной задачей является изучение динамики этих топологически стабильных деф-фектов. Так же изучение эффекта Ааронова-Бома важно для понимания динамики черных дыр. Дело в том, что этот эффект может являться ключом к измерению некоторых квантовых свойств черных дыр.

Цель работы

Основные цели диссертации:

• изучение динамики струн Абрикосова-Нильсена-Олесена;

• поиск низко-энергетической самосогласованной (способной существовать обособленно от полевых переменных) теории струн, возникающей из теории поля;

• поиск меры интегрирования по поверхностям топологически стабильных струп;

• изучение топологических взаимодействий между топологически стабильными струнами и внешними источниками.

Научная новизна

• В диссертации развиты методы вывода эффективных теорий для топологи чесих деффектов из теории поля в непрерывном пределе.

• Развиты методы вывода меры интегрирования по положениям топологических деффеков.

• Наблюден эффект Ферми-Бозе трансмуташш лля струн из теории поля.

• Предложена ситуация, в которой может возникнуть самосогласованная теория струн из теории поля.

Практическая и научная ценность

• Предложен новый, во многом более наглядный, метод вывода меры интегрирования по положениям топологических деффектов в теории поля.

• Найдены некоторые универсальные члены в низко-энергетическом действии КХД струны.

• Изучена классическая и квантовая динамика топологически стабильных струн в различных абелевых моделях.

Аппробация диссертации и публикации

Основные результаты диссертации хорошо извесны и неоднократно докладывались на семинарах теоретического отдела ИТЭФ; на Школах физики ИТЭФ в 1995 и 1996 годах; на международных конференциях "Сопйнетеп!." в 1995 в Осаке, Япония; в июле 1995 года в ЕСТ", Тренто, Италия; в 1995 году в Пухове, Германия; " Кваркн-96" - в мае 1996 года в Ярославле; "СопАпетепЬ-Эб" - в июле 1996 года в Комо, Италия. Так же результаты диссертации докладывались в 1996 и 1997 годах на семинарах Университетов г. Пиза (Италия), Милан (Италия), Миннесота (США), Сиетл (США); на семинаре в международном научном центре во Фраскати, Италия, а так же на семинарах в ФИРАН и ИЯИ. По метериалам диссертации опубликовапно 6 работ перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, список литературы содержит 69 наименований. Общий обьем - 82 страницы.

2 СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, дается обзор литературы и характеристика современного состояния методов подхода к проблеме невылетания.

Во второй главе выводится теория для струн в абелевой модели Хиггса. Начинается на глава с вывода эффективной теории для моттополей в компактной КЭД. Это проделано из-за наглядности (чтобы прояспить аналогичные выкладки в случае струн)

н для того, чтобы увидеть как объясняется конденсация монополей в слабовзаимодей-ствующей магнитной плазме. Затем выводится теория для струн в абслсвой модели Хиггса в решеточной регуляризации. Это необходимо, т.к. выкладки правильно проделывать именно в решеточно регуляризованной теории, где хорошо определены все меры интегрирования. Однако, для перехода от теории поля к интегралу по поверхностям, все же необходимо, на некотором шаге преобразований, перейти в непрерывный предел.

Основное содержание этой главы заключается в рассмотрении абелевой модели Хиггса. Мы рассматриваем ее в лондоповском пределе, где теория для радиальной части |Ф| поля Хиггса Ф = |Ф|е'5 тривиальна:

2 = С0П5<

■ Iоддюсхр {-/а4х + + Ел„|2 |, (1)

и г? =< |Ф|2 >. Лопдоновский предел рассматривается для простоты. Функциональный интеграл по в следует последовательно определить, т.к. в не определено на многообразиях, где:

1тФ - ЯеФ = 0, (2)

и необходимо интегрировать по функциям регулярным везде, кроме как на двумерных (в четырех измерениях) замкнутых многообразиях, определенных двумя условиями (2). Эти двумерные сингулярности ничто иное как мировые поверхности цен тров струн Абрикосова-Нильсена-Олесена, т.к. поле Хиггса равно пулю п их середине. Т.е. реально мы имеем две независимые переменные: регулярную и сингулярную части поля в, 0 = вг в'. При этом любая двумерная сингулярность (в том числе и вышеуказанные сиигулярпости) может быть представлена следующим образом:

Ъ„„{х,х) = ^„р ■ - х(а)}, (3)

где ¿а^ — <12сг^даХц.дьХу, а в°(х,х) - функция они функционал от х; Е в данном случае - не связанное множество всевозможных двумерных сингулярностей. Здесь выражение д^д„]в'(х,х) не зануляется, т.к. поле в'{х,х) сингулярпо: ¡$0^6'¿х^ = 2пп, п 6 22, где контур 5 окружает струны с общим потоком равным п элементарных.

Далее выводится мера интегрирования по в. По определению норма поля в такова: ||<ЭД||2 = /с14х|Ф|2(50)2. При этом в лопдоновском пределе верно, что

||Î0||2 = const J А*х{80г + S0'f = ||i0r||2 + ||«M'||2, (4)

т.к. из определения (3) поля в' следует, что интерференционный члеп J d4xJOrS0' равен 0. Таким образом J Т>в... = / Т>вгТ>0'....

Затем мы преобразовываем функциональный интеграл для полевой теории (1) в функциональный интеграл для струнной теории. Для того, чтобы проделать замену переменных интегрирования, мы подставляем в формулу (1) единицу в виде (см. (3)):

1 = ./[£„„] • J[.Dx„] • S {£„„ - J d'vy/gi^te - *(*)]} , (5)

где _<7„ь = д^хцдьх,,, g = <iei||<7at||. Здесь J\£м„] - якобиан, который соответствует переходу от полевых переменных к струнным, и в /[Pi^] так же подразумевается суммирование по топологиям мировых поверхностей струп. Используя ¿-функцию (5) и определение для 0' (3), мы интегрируем по в' в функциональном интеграле. Далее, фиксируя удобную калибровку д^вг = 0 п проинтегрировав по А,„ мы получаем:

2 = const ■ J[Di„] • J{x) x

x exp {-,<0 jf <P<Ty/g - 2 jf jT Aa^W-Dtfix - i')<W„(i')} • (6)

Здесь J(x) = J[S„,,(£)], а (Д + т?)Т$(х) = <5(4)(x) « "г2 = 2eV - масса калибровочного бозона; первый член в действии - это вклад из-за градиента поля Хиггса в близи центров струн; /(о ~ M2 In M, где M являтся обрезанием по импульсам.

Легко видеть, что якобиан J(x), определенный в (5), и полученный функциональный интеграл (G) инвариантны относительно репараметризацип координат а на мировой поверхности. Поэтому можно зафиксировать при помощи репараметризации следующую калибровку:

512 = <721 = 0, <?ц =g12 = y/g (7)

и вычислить в ней .1{х) (его также можно вычислить в произвольной калибровке, но тогда он будет нелокальным). При этом нам удалось найти J(x), когда струнная мировая поверхность S имеет топологию сферы или диска:

х ехр

J(x) = const X ^¡-(да In v®2 + ,,y/g + lîix^¡(dju„)2

4Ь7Г 7Г

(8)

где t - характерная энергия, на которой рассматривается данная теория или, без учета квантовых эффектов, обратная средняя длипа струн.

После этого рассматривается разложение полученного действия по толщипе струн, что эквивалентно разложению по степеням величины В лидирующем порядке действие локально и, когда Е имеет топологию сферы или диска, можно использовать выражение (8) для J. Тогда в калибровке (7) мы получаем:

S' = S + In J{£),

S' = y! jT d'V^ - ^ / dV(d. In v?)2 - i l d+ ..., (9)

/ Л 2 1/ M2 4 . 1 7Г 1» Ц-

здесь ц = A-Ktj + --f— натяжение, струны и ее жесткость

соответственно, S — действие в теории из формулы (6). Отмстим, что в этой теории нет внутренней метрики, a g - индуцированная метрика.

Первый член в (9) - действие Намбу-Гото, второй член важен для квантования этой теории, а третий член определяет жесткость струны.

Если мы рассмотрим предел топких длинных струн ~ —ь 0, то получим струнную теорию, действие которой дается первыми двумя членами из (9). Как оказывается, коэффицент у второго слагаемого в (9) соответствует тому, что лишняя мода Лиу-вилля в этой теории отсутствует именно в D = 4. Заметим, что этот член возник из якобиана J(x).

Из вывода якобиана J(x) ясно, что он универсален, т.е. не зависит от рассматриваемой теоретико-полевой модели. J(î) возникает, когда мы переходим от интегрирования по полевым переменным к интегрированию по струнным. Поэтому вероятно, что любая теория струн, полученная из теории поля, содержит подобный якобиан. Кроме того он возникает как аномалия, т.е. мы нашли его точно.

В третьей главе изучается струнное представление для среднего от петлевой наблюдаемой. В предыдущей главе мы рассматривали теорию для замкнутых струн. Однако для низко-энергетического описания теории Янга-Миллса нам надо получить струнное представление именно для петлевой наблюдаемой. Поэтому в этой главе нас интересуют некоторые свойства такого представления. Например, мы изучаем две теории, которые связаны с теорией Янга-Миллса, и в которых может возникать эффект Ааронова-Бома.

Начинается эта глава с рассмотрения среднего от петлевой наблюдаемой в обычной абелевой модели Хиггса и изучения эффекта Ааронова-Бома в ней.

Затем мы переходим к следующему результату. Для этого мы рассматриваем модель, которая описывает конденсацию дионов, т.е. в первом приближении - возможную низкоэнергетическую модель для теории Янга-Миллса.. Функциональный интеграл для талой модели в Евклидовом пространстве времени имеет вид:

Ziym = f VA.VB^V Фехр(- J d4r/^„„(Л.В, Ф)} , (10)

где дионпый лагранжиан определен следующим образом:

Ldyon(A, В, Ф) = Laa„gc(A, В) + - icA» - 1дП„)Ф|2 + А(|Ф|2 - г,2)2]. (11)

Поле В„ - это магнитный векторный потенциал, который дуален электрическому Л„, а Ф - скалярное поле, описывающее дионы с электрическим и магнитным зарядами е и д, соответственно. Можпо задать лагранжиан, в котором оба потенциала Л„ и Вц регулярпы:

Lgaugr(A, В) = i[n • (д А Л)]'2 + • (0 A B)f +

+ г-[п • (д a A)Y[n " (д Л В)1 - 1-[п ■ (д Л В)]"[п •• {д л л)]„,

где - произвольный постояшшй четыре-вектор единичной длины (п2 использованы следующие обозначения:

[а • (Ь А с)]" s - Ь"с"), [а (Ь А с)]" s а^"ар(Ьаср).

Далее рассматривается квантовое среднее петлевой наблюдаемой в дионной теории (10):

< Wf >iyon= -j— ■ J VArpBJ)Фехр {- f d4.r LJvm(A, В, Ф) j W?(A), (13)

И?И) = «ср{.>0/ d4xjjA"} , fi[x) = f dx? S(x-x{t)),

с

которая описывает частицу с электрическим зарядом ео на траектории С. Теперь, применяя к полям А и В преобразование

_ icos и — sin /Л\ ~~*\B')~\smv cosv)\b)'

(относительно которого лагранжиан Lg„ugc инвариантен) с параметром v и интегрируя но полю Л', мы получаем:

< К' >^,= <tfq„qm)>A¡nr (15)

(12)

= 1). Были

(14)

= — arelan г

где квантовое среднее в правой стороне этого уравнения взято в абелевой модели Хиггса. Оператор ¡С имеет следующий вид:

= % = = (16)

Здесь д = л/е2 + д2, а оператор рождающий частицу с зарядом де на мировой линии С, является "магнитной" петлевой наблюдаемой. Этот оператор задан формулой:

н1(в') = ехр{-1I[(а^о;,) - • - }, (1?)

где тензор (?£„ = (гг - удовлетворяет следующему соотношению: =

Таким образом, тензор = играет роль дуальной напряженности поля

Далее, проделывая такие же преобразования как во второй главе, мы получаем следующую струпную теорию для квантового среднего (13) петлевой наблюдаемой:

< ~- [■ Ах) ■

■¿«(г •>

-Со / ¡ДсРо .

ехр| — J Л*х ! ¿Ау

^„(х) Д„(х - у^„(у) + Я-1С • ]„{х)От{х - уУд^^аЦ£ац{у) +

+7Г

(18)

где

лГ=«о£ с0с

= Л'^!, и т2 = '¿у1!]1 - масса калибровочного бозона В'. Последний член в уравнении (18)

является функционалом Гаусса, задающим зацепление струнного мирового листа Е и траектории диона С. Он описывает дальнодействующее топологическое взаимодействие, которое является аналогом эффекта Ааронова-Бома: струны соответствуют

соленоидам, которые рассеивают заряженные частицы - дттоны. £ является целым числом и тогда, если ( тоже целое, то дальнодействующего взаимодействия нет. Эта ситуация соответствует такому соотношению между потоком внутри соленоида п зарядом частицы, когда рассеяние не происходит.

В конце этой главы мы рассматриваем красивый эффект Ферми-Бозе трансмута-цтш для струн. Квантовое среднее для петлевой паблюдаемой (18) обладает интересным для нас свойством. В пределе1 ^ —> 0, мы получаем:

lim < Wf >ivm= f Р>гЛ ■ JW ■ e""/^' x

x exp{-/ d*x j d'y [^Д*) A>(* - y)j,(y)] + 2mÇAfL{Jlc, С) j . (20)

Динамика струны в этом пределе свободная: она описывается только якобианом J(x). Последний член L(Sc, С) в этом выражении отвечает за взаимодействие разомкнутых струп с их собственной границей (т.е. с тестирующей частицей):

£(Ес, С) = ¿j f d5„ J d'à ■ cab • д^дья, ■ c^fy—i— . (21)

Л- с ^ \х

Формально выражение из уравнения (21) зануляется, т.к. нет зацепления между открытой поверхностью и замкнутой траекторией. Однако в следствии того, что траектория тестирующей частицы С совпадает с границей мирового листа струн Ее. интеграл в уравнении (21) следует регуляризовать. Как мы показываем в четвертой главе, после регуляризации это выражение может быть представлено в форме функционала Весса-Зумино-Повикова-Виттена.

Известно, что этот функционал ответственен за наличие дополнительных степеней свободы на струнном мировом листе. Если параметр является целым числом (т.е. когда g —»■ 0), эти степени свободы являются фермиоиаыи. В общем случае С,М ф 7Z и дополнительные степени свободы являются "анионными", их статистика отличается как от фермиониой, так и от бозонной2. Мы предполагаем, что когда (,'Л/* £ дополнительные фермионы на мировом листе предотвращают, из-за отталкивания в силу принципа Паули, возникновение складок струнной поверхности. Поэтому, они могут ее разгладить.

Таким образом, дополнительный член (21) в струнном дейс твии может разрешить проблему мятости струнного мирового листа. Заметим, что выражение (20) возникло

'Мы берем предел ^ —► 0 при \>] f, где с - характерная энергия в теории, так чтобы масса дуального хиггсовского бозона была велика.

2В этом случае вывод действия ВЗНВ из неоднозначен и зависит от регуляризации.

Более того, нам ничего не известно о динамике анионных с труп.

в пределе ^ (I, который соответствует пределу малых расстояний, как раз там, где могут возникать проблемы с мятостью струн.

В четвертой главе мы предлагаем теорию для струн из теории поля, которая может претендовать на самосогласоваяность при низких энергиях. В предыдущей главе мы рассмотрели ситуацию, когда фермионы на поверхности струны возникают на малых расстояниях. Это полезный эффект, однако, он не дает самосогласованной теории струн на больших расстояниях. Поэтому в этой главе мы рассматриваем ситуацию, когда фермионы на поверхности струны возникают на больших расстояниях, что координальным образом меняет динамику теории струн.

Здесь мы изучаем теорию, которая наивно связана (посредством дуальности) с упомянутой в предыдущей главе. Она описывает нкзкоэнергетичсский продел модели Джорджи-Глэшоу в присутствии 0-члена и дополнительного нарушения (/(1)-симметрии при низких энергиях. В присутствии 0-члена монополи т'Хоофта-Полякова преобретают электрический заряд. Таким образом, рассматриваемая модель описывает дионные токи в вакууме абелевой модели Хиггса, что очень напоминает3 теорию рассмотренную в предыдущей главе. Однако наличие интеграла по дионпим токам и присутствие 0-члена координальным образом меняют ситуацию.

Мы рассматриваем следующий функциональный интеграл в евклидовом пространстве-времени:

2 = I[В5„]1Ч,2>Фехр{-1 + +

+>,•1'+ *(!•!'-Л'+

-И^-е^сР^ + ^(5)) (Д* + /и«))] }, (22)

где

Ом = - геАц ~ геА», = ~ £ <1г„г(4)(л: - 5), ¿^Л,,, = (23)

и = - сохраняющийся монопольный ток: = 0, а - коор-

дината вдоль траектории монополя; /(£5^] подразумевает функциональное интегрирование по всем замкнутым путям; С - совокупность траекторий монополей определенных при помощи

Далее, используя тождество Бьянки (с^ард^К,;) = 0) и закон сохранения магнитного тока (д^р — 0), мы переписываем 0-член в виде ^■]11А11. Это есть ничто иное, как взаимодействие электрического заряда диона с калибровочным нолем.

3С точностью до того, что в предыдущей главе мы рассматривали внешний дионный источник, тогда как здесь мы интегрируем по всевозможным дионным токам.

После замены переменных от поля в' к и интегрирования по полям ,4„ п О'' в функциональном интеграле (2'2), мы получаем:

2 = сопМ ■ I\V~A\Vx»] ■ .)(х) ■ еГ» х

хехр|-I I +

• л,(х)©£>(х - уЯ<г„„ЯЙЕаЙы] + +¿0 • £(Е, С) + ¿0 • &(ЕС, С)|, (24)

где граничные условия для открытых струн имеют вид = _/'„, что ведет к

Далее нас интересует низко-энергетическое разложение ц мы рассматриваем только часть этой теории, соответствующую открытым струнам с топологией диска. Сначала мы вычисляем функционал Х(Ес, С). После регуляризации он имеет вид:

цес,С) = ■ • • СЦ*') ■ ■ С25)

где е^1) - касательный вектор к кривой С, - вектор, который ортогонален

но касается поверхности Ер, а «¡¡(-ч1) а = 1,2 ортогональны между собой и ортогональны к векторам е^1).

Функционал Л(Ес, С) определен в формуле (25) для фиксированной системы векторов (системы координат), состоящей из е° и 71" Для того, что бы получпть его 1 произвольной системе координат, мы можем повернуть рассматриваемые вектора 1 любое наперед заданое положение при помощи заданной 50(4)-матрицы. Последуя определена с точностью до локальных ,90(2)-поворотов (репараметризацнй) на ■трупном мировом листе и с точностью до локальных ,50(2)-поворотов в пространстве ортогональном к мировому листу. Преобразования из последней 50(2)-группы определены при помощи матрицы /¡, заданной следующим образом. Рассмотрим калибровочное поле А" = п®£)„т1* ■ МаЬ, где Мак - генератор Л'0(2)-поворотов, то-•да определение матрицы /( таково:

а+(/гМ_Л) = сМ" + А" Л А". (2й)

Вышеуказанным способом данная теория может быть представлена как калиброванная .зд(а)-5осд"М0Д<>ль Весса-'Зумино-Новикова-Внттена. В последней .З-фупкцпя 1-1Я ко)ффццента жесткости о преобретает ннфрокрасно стабильную точку (которая

при 0 = 2тг соответствует л = 2) и член с. жесткостью выживает на больших расстояниях. В этом случае мы получаем струнное действие:

5(ЕС) = ///^ у/д#е 4- \у/д(ь+ | ¡^Кдае^с -

—г- ( Ык~1щЧ2<т - — [ <г(/г-М/о3а3, - 1п^(х) + С27)

167Г Jsc 247Г Jв шг

Из-за присутствия инфракрасно стабильной точки струнные поверхности в нашей теории являются гладкими. Вероятно, что в этой теории так же пет тахиоиа, если мятость струн и присутствие тахиона действительно связванны друг с другом. Следует также упомянуть, что рассматриваемая теория струп получалась после интегрирования по фермионам в струпе Навье-Шварца-Рамона.

В пятой главе сформулированы основные результаты, полученные в диссертации и сделаны некоторые выводы.

3 ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

• Найдена мера интегрирования по поверхностям струн Абрикосова-Нильсена-Олесена.

• Найдена производящая функция для топологически стабильных струн в абеле-вой модели, в которой сконденсированы дионы.

• Получен полевой аналог эффекта Ааронова-Бома в абелевой теории, в которой сконденсированы дионов.

• Наблюден эффект Ферми-Бозе трансмутации для струнного представления среднего от петлевой наблюдаемой.

• Обнаружена ферми струна, возникающая па больших расстояниях в абелевой модели Хиггса с монополями и в-членом.

Публикации

1. Topological Objects and Confinement on the Lattice

E.T. Akhmedov, M.N. Chernodub and M.I. Polikarpov, RCNP Confinement (1995) 37; hep-lat/9504013.

2. Quantum Abrikosov-Nielscn-Olcsen strings

E.T. Akhmedov and M.A. Zubkov, JETF. Lett. 61 (1995) 346.

3. Quantum theory of strings in Abelian Higgs Model

E.T. Akhmedov, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov and M.A. Zubkov, Phys. Rev. D53 (1996) 2087.

i. Effective, theory of strings in Abelian Iliggs Model

E.T. Akhmedov, M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov and M.A. Zubkov, International Workshop in ECT* (1995) 174.

5. Fcrmionic. string from Abelian Higgs Model with monopoles and Q-term E.T. Akhmedov, JETF. Lett. 61 (1996) 82.

5. Uyon condensation and Ahuronov-Bohm effect

E.T. Akhmedov, M.N. Chernodub and M.I. Polikarpov, JETF. Lett. 67 (1998) 367.

одписано к печати 07.04.98 Формат 60x90 I/I6

сл.-печ.л.1,0. Уч.-изд.л.0/'. Тярак 100 экз. Заказ 449.

Отпечатано в КТЭ5, II7259, Москва, Б.Черемушкинская, 25

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ

На правах рукописи

АХМЕДОВ

Эмиль Тофик оглы

ЭФФЕКТИВНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ

ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ДЕФЕКТОВ В ТЕОРИИ ПОЛЯ

(Специальность 01.04.02 - теоретическая физика)

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.-м.н. М.И Поликарпов

Москва - 1998

Оглавление

1 Введение 2

1.1 Абелевы калибровки и монопольное невылетание............10

1.2 Универсальные члены в действии для струн в КХД при низких энергиях..................................................16

1.3 Содержание диссертационной работы..........................26

2 От абелевой модели Хиггса к квантовой теории струн 29

2.1 Эффективная теория для монополей в компактной КЭД . . -30

2.2 Струны на решетке..............................................36

2.3 Струны в непрерывном пределе................................40

2.4 Вычисление якобиана............................................48

3 Эффект Ааронова-Бома в теории Янга-

Миллса 52

3.1 Эффект Ааронова-Бома в абелевой'модели Хиггса.....52

3.2 Эффект Ааронова-Бома как результат конденсации дионов 55

3.3 Ферми-Бозе трансмутация для струн..........................60

4 Фермионные струны из бозонной теории поля 62

4.1 Ферми-частицы....................................................63

4.2 Ферми-струны....................................................67

5 Заключение и выводы 74

1 Введение

Проблема, которой посвящена данная диссертация, касается поиска низкоэнергетического описания сильных взаимодействий. Поэтому для начала мы обсудим тип теории, описывающей физику при низких энергиях. Обычно в математическом описании какого-либо явления физики находят некоторое точно решаемое приближение к этому явлению, а также некоторый малый параметр, по которому можно приблизиться к реальной ситуации. В интересующем нас случае КХД такое приближение при высоких энергиях - это свободная теория для плоских волн, описывающих цветные (т.к. они несут заряд по неабелевой калибровочной группе Би{3)) глюоны и кварки, а малый параметр - это константа сильного взаимодействия и самодействия д между ними.

Однако в таком описании КХД возникает проблема, т.к. при низких энергиях мы наблюдаем не цветные кварки и глюоны, а бесцветные (не заряженные по 5£/(3)) мезоны и барионы. При этом можно надеяться, что ввиду роста перенормированной (заэкранированной вакуумными флуктуациями полей в теории) д по мере уменьшения шкалы энергии кварки и глюоны заперты внутри адронов - это явление называется невылетанием. Однако рост д не может являться объяснением невылетания кварков и глюонов, т.к. он мог бы привести и к некоторому одеванию их в коллективные степени свободы (как это происходит с электронами в физике твердого тела [1]), так что в результате мы бы имели не адроны, а состояния с исходными квантовыми числами (например., с цветом) кварков и глюонов, но с измененными величинами массы и заряда. К тому же хотелось бы иметь не качественное, а колличествен-ное описание сильных взаимодействий при низких энергиях, т.к. теория

возмущений по большой д уже не применима. Здесь мы сталкиваемся с характерной проблемой связанной с тем, что слабо развиты методы работы с сильно нелинейными теориями, примерами которых являются гидродинамика и калибровочные поля, включая гравитацию.

С точки зрения автора, наиболее перспективный подход к упомянутой проблеме сильных взаимодействий - поиск другого легко трактуемого приближения (при любых энергиях) и соответствующего малого параметра. Поэтому прежде, чем перейти к основной теме диссертации - поиску низкоэнергетического струнного описания КХД - обсудим эту возможность. Тем более, что она является конечной целью нашей работы.

Итак, новым приближением может оказаться теория Янга-Миллса (ЯМ), но не с 5£/(3) группой симметрии, а с Би{Мс) при Агс —со, так что р" будет малым параметром [2], по которому последняя теория есть приближение к реальной ситуации с группой Зи(З). Дело в том, что теория с группой симметрии 577(оо) имеет гораздо более простую теорию возмущений по д [2]: в пределе N —> оо выживают только планарные (с топологией сферы) диаграммы, т.е. графики Фейнмана представляют всевозможные "триангуляции" сферы. Последнее является первым намеком на существование КХД струны. Но самое главное, в секторе, в котором рассматриваются только петлевые наблюдаемые1 ТУ (С) = (где С - некоторый контур, - 51Г(АГС ->• оо) кали-

бровочное поле, а Р означает упорядоченное произведение вдоль контура

1Петлевая наблюдаемая в фундаментальном представлении группы Зи(Мс) является внешним источником, описывающим бесконечно массивный кварк, движущийся вдоль траектории С.

С), эта теория полностью определена2 при помощи петлевого уравнения

где усреднение < ... > берется посредством обычного функционального интеграла в теории ЯМ. При правильной регуляризации [5] правая часть этого уравнения не зануляется тогда и только тогда, когда контур С имеет самопересечение и, таким образом, состоит из контуров С\ и С2-

Данное приближение к КХД может оказаться интегрируемым, т.к. есть надежда, что петлевое уравнение удастся решить, получив яепер-турбативные ответы для многих амплитуд в теории [6]. Дело в том, что в петлевом секторе рассматриваемая 5'£/(оо) теория, по крайней мере на классическом уровне, имеет бесконечно много интегралов движения [7]. Именно существование этих интегралов движения ответственно за так называемую редукцию [8, 9], когда ответ для < \¥{С) > представляется не как континуальный интеграл в теории ЯМ, а как конечный матричный интеграл:

2Петлевые уравнения воспроизводят теорию возмущений для полей Янга-Миллса. Однако существуют проблемы с перенормировкой этих уравнений [4], что и является одной из проблем на пути их решения.

[3, 4]:

х < У?{СХ) > • < Ж(С2) >

(1)

X ехр |+ Ао Ру. + А,]} х

х8(и (А, + Р,) (Г1 - Рд) • А(РЦ) • П ,

с

Здесь Ац, ¡л = 1,...,4 не поле, а просто матрицы в присоединенном представлении группы 311 (/Vс —>■ оо), которые не зависят от координат; Ьт - унитарная 31/(МС —» оо) матрица, Р^ - произвольные диагональные матрицы размера Мс х (Мс —> оо) с собственными числами рг : а является иУ обрезанием и мера [¿Р^ определена так, чтобы воспроизводилась теория возмущений для исходных полей Янга-Миллса [9].

Однако до сих пор никому не удавалось вычислить этот матричный интеграл. Возможно требуется новый математический аппарат, который позволял бы работать непосредственно с этим интегралом как с некоторой новой специальной функцией. По даже из такого незаконченного ответа можно извлечь некоторую, полезную, информацию, т.к. он дает надежду на струнное представление для < Ш(С) >. Подобное представление позволит применить в КХД хорошо разработанный струнный аппарат, а также может являться доказательством невылетания, т.к. в этом случае объяснением невылетания кварков будет факт существования струны, мировой лист которой натянут на контур С. В последнем случае, если у струны есть ненулевое натяжение, между кварками возникает потенциал, линейно растущий с расстоянием между ними.

Итак, полученный матричный интеграл (2) можно представить как интеграл по поверхностям с топологией сферы (т.е. как теорию струн), т.к. можно построить отображение группы 311 (оо) в группу диффеомор-

физмов сферы SDiff(S2), сохраняющих площадь [10]. Действительно, генераторы Т группы SU(NC) в фундаментальном представлении можно представить в виде [10]:

Т, - У я И <?• Я-

¿fe = l,2,3

I = 1 ,...,NC- 1, m = -/,...,/,

[T;,m,T)/iTO/] = ¿//jm™,)m, • Tv<.m„ (3)

(m) ¡- fl",m"

где ati j- - антисимметричные бесследовые тензоры, j¡ m, - структурные константы SU(NC) алгебры, a 5¿ - Nc x Nc эрмитовы матрицы, задающие Лгс-мерное представление группы SU(2): [5¿,5j] = ie¡jkSk-

Аналогично, сферические гармоники Y//m(#,<¿>) могут быть представлены следующим образом:

У\ЛвМ= Y, аг[П)Л1Хг 1-ХЧ (4)

гк = 1,2,3

(m) Íо\

с теми же ач'л0 что и в уравнении (Л), а

Xi = cos ip ■ sin д, x2 = sin If ■ sin в, = eos 0. (5)

При этом

/ г - ^ д <9 д

~ дсозвд^~ д^дсозв { )

В пределе Л^ —оо пространство, в котором действуют ,5,, становится бесконечномерным и, более того,

лг г1",т" тр1",т" Л7Ч

С11,т\1'^ Г1,т;1',т' У1)

Последнее соотношение показывает, что параметр Д^ играет двоякую роль. Кроме того, что он определяет размер матриц, имеет смысл постоянной Планка. Поэтому данный предел одновременно играет роль квазиклассического. В квазиклассическом пределе операторы превращаются в с-числа, так что матрице Ам = А1^пгТ1'т общего вида при Л,гс —> оо естественно поставить в соответствие функцию двух переменных ->• Хц(<р,в) = Х1^тУ1'т((р,в) и заменить щТг(...) ¡ЕсШ{...), где О, - телесный угол. Таким образом мы получаем [11]:

< №(С) I ■ ехр

Здесь функциональный интеграл берется по всем отображениям 9)

двумерной поверхности в четырехмерное пространство-время, при этом имеет граничное условие Хц(<р,в)\с = х^в), где ¿^(.з) задает положение границы С.

Казалось бы, полученное выражение и есть искомое струнное представление для петлевой наблюдаемой, однако, это неверно. Такой ответ не воспроизводит многие свойства КХД струны [11]. Действительно, мы должны найти струнную теорию, которая точно эквивалентна 5'[/(оо) теории. Она, помимо того, что является решением петлевого уравнения (что уже неверно в случае полученной теории)3, должна удовлетворять

3Наша теория не описывает контактные члены в правой стороне петлевых урав-

нений (1) [5].

4 дЦа)

(ад4 [ с1а-{хм.,х„у-

(8)

следующим свойствам. Такая струнная теория должна иметь огромную группу симметрии, которая исключила бы все стандартные струнные возбуждения, кроме векторных бозонов - калибровочных частиц [5]. Помимо того, она должна зависеть только от одной безразмерной константы д (т.е. не иметь натяжения) и обладать той же /^-функцией, что и теория ЯМ4. Все это неверно для рассматриваемой струнной модели, т.к. имеются проблемы с определением меры в интеграле (8), с осуществлением вышеупомянутой редукции к матричной модели (2) и с переходом к интегралу по поверхностям. Последний не является честным из-за не вполне законной замены структурных констант / на F: она верна только для почти диагональных матриц А^ [11]. Однако интересен тот факт, что действие в уравнении (8) возникало как эффективное низкоэнергетическое действие для КХД струны также и из других, совершенно независимых наблюдений [5, 12].

Пожалуй это все то существенное, с точки зрения автора, что можно сказать на сегодняшний день про точную эквивалентность между Зи(оо) ЯМ и теорией струн. Перейдем теперь непосредственно к теме диссертации, т.е. рассмотрим возможности "вывода" из КХД, а точнее сказать угадывания, некоторой низкоэнергетической теории, которая даст количественное описание адронных процессов.

Такое количественное описание, в принципе, может дать простая

4Такая затравочная теория струн также не должна зависеть от внутренней метрики. Последняя будет возникать только на больших расстояниях, когда появляется натяжение струны в результате размерностной трансмутации, как в случае струны с жесткостью (см. ниже). При этом, такой переход по ренормгруппе из асимтотически свободной теории в теорию с натяжением струны и должен являться доказательством невылетания.

низкоэнергетическая модель. Например, это может быть какая-нибудь киральная модель, правила сумм, кумулянтное разложение, абелева теория или теория струн. Вопрос заключается в том, насколько хорошо полученное количественное описание (т.е. описывает ли оно кроме статических свойств адронов еще и их динамику) и, что самое главное, насколько самодостаточна соответствующая модель. Именно поиску такой низкоэнергетической и именно струнной модели ("струнной" - в силу упомянутых выше аргументов) посвящена данная диссертация.

Как можно "вывести" такую струнную модель? Существует надежда, что вакуум дуальной теории (описывающей магнитные поля и заряды) к теории ЯМ ведет себя как сверхпроводник [13]. В результате конденсации монополей в этой теории образуются струны - объекты, подобные вихрям в сверхпроводниках второго рода [14]. При внесении в вакуум такой теории кварка и антикварка между ними образуется струна, что и является объяснением невылетания. Нашей задачей будет поиск эффективной теории для этой струны. Однако, в данный момент вывести ее непосредственно из КХД не представляется возможным. Лучшее, что можно сделать сейчас - это угадать ее из каких-то общих соображений и аналогий.

Т.к. рассматриваемая струна имеет конечную толщину, теория для нее будет нелокальной в терминах двумерных переменных. Действительно, разные элементы струны могут взаимодействовать друг с другом посредством обмена глюонами, по которым будет проведено усреднение в функциональном интеграле в процессе вывода струнной модели. Это не приемлемо, т.к. мы не умеем работать с нелокальными теориями. Однако наша струнная модель может стать локальной в следующих двух пределах. В пределе Мс —> оо, когда подавлены все непланарные

процессы, или в пределе низких энергий, когда на больших расстояниях струна становится длинной и тонкой. Ниже мы будем рассматривать только последний предел. Мы попытаемся найти самосогласованную теорию струн, возникающую из теории поля.

1.1 Абелевы калибровки и монопольное невыле-

В этом параграфе мы схематически обсудим, как можно "увидеть" присутствие струн в КХД при низких энергиях. В идеале, следует стартовать с функционального интеграла 57/(2) теории ЯМ5 в четырехмерном евклидовом пространстве:

и последовательно проинтегрировать все высокоэнергетические (выше произвольной фиксированной шкалы энергии М, на которой мы собираемся изучать теорию) гармоники поля А^. В результате мы получим некоторую нелокальную теорию для оставшихся гармоник. После этого, оставив важные куски в действии, сделав правильную замену переменных и введя (если необходимо) дополнительные поля в этом функциональном интеграле, мы должны избавиться от нелокальностей. Таким образом, можно вывести эффективную низкоэнергетическую теорию.

5Группа Б1/(2) выбрана для простоты.

тание

С = О^К] + М, С = 1,2,3 ,

(9)

Однако до сих пор проделать подобный вывод не удавалось. Поэтому проще попытаться понять, из общефизических соображений, какие степени свободы играют существенную роль в данной ситуации'3. После этого написать самую общую теорию для этих степеней свободы, удовлетворяющую условию самосогласованности и различным симметриям в задаче.

Желательно, чтобы такие степени свободы приводили к невылетанию. Наиболее популярный на данный момент механизм невылетания, который мы уже упомянули, - это конденсация монополей [15]. Следовательно, монополи являются хорошими кандидатами для степеней свободы, "играющих существенную роль". Однако непонятно как построить монополи только из полей ЯМ. Дело в том, что обычно монополи, в терминах калибровочного потенциала, являются топологически стабильными полевыми конфигурациями. Они существуют, когда мы имеем нестягиваемые сферы в групповом пространстве, что на формальном математическом языке формулируется как нетривиальность группы л"2 (С), где С - калибровочная группа. Однако подобных топологически стабильных деффектов в чистой 311(2) теории нет, т.к. 7г2 (5'[/(2)) = 0. И все же они могут возникать и играть существенную роль в динамике. Давайте увидим, как это происходит. Для этого зафиксируем калибровку в теории (9), но не полностью, а до 11(1) подгруппы. Введем в функциональный интеграл единицу вида:

6Иными словами, надо понять какие полевые конфигурации дают основной вклад в функциональный интеграл и в наблюдаемые для данной теории.

А^ = и(д, + А,)и-\ а, = а;т\ (10)

где Бд/ - некоторое локальное С/(1) инвариантное действие, фиксирующее калибровку, а, Арр ~ детерминант Фаддеева-Попова. После этого, в силу калибровочной инвариантности действия ЯМ, меры Хаара для поля А^ и детерминанта Фаддеева-Попова, обычно можно избавиться от интеграла по 1], калибровочно преобразовав поле Тогда для данной теории

получается следующий функциональный интеграл:

Z= |VA,eWL^2

I ^(С)2 -Аб^Д^-Д^. (11)

Однако в нашем случае это неверно, т.к. матрицы всевозможных калибровочных преобразований II принадлежат пространству , а не Зи(2) и, следовательно, могут иметь сингулярности "монопольного типа", т.к. тг2 () = Действительно, при остаточных пре-

образованиях

( ега 0 \

и= (12)

\ 0 е~га )

из Ът( 1) подгруппы 517(2) группы, компоненты поля преобразуются следующим образом:

«м «д - дца, ад = А1,

А+ = А1 + гА1, А~ = А+ц. (13)

Таким образом, играет роль абелева калибровочного поля, а А+ -роль векторного поля материи с зарядом 2. В такой ситуации может оказаться, что имеет сингулярности типа монополя Дирака.

Они отвечают сингулярным калибровочным преобразованиям II в переходе от (9) к (11) [16]. Действительно, при таком преобразовании

^ + где

Тг (^г) = гТг (и [дЛ - ДА] и+) = %<ГП■ (14)

которое не зануляется в силу сингулярности I/ и дает вклад в абелевый магнитный заряд:

171 = ^ ¡у ^^ • ■ Тг (¿У) =

= ^ X ^ '' Гг [ид"и+идеи+] =

= X «V • • № € г, (15)

где £ - двумерная поверхность окружающая монопольный заряд, а - элемент ее площади. Из вышесказанного с�