Новые топологические нетривиальные решения в струнной гравитации и космологии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

щ

Давыдов Евгений Александрович

НОВЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ В СТРУННОЙ ГРАВИТАЦИИ И КОСМОЛОГИИ

Специальность 01.04.02 —теоретическая физика

□□3473137

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

003479137

Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Д. В. Гальцов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

в. н. с. В. И. Докучаев,

доктор физико-математических наук

профессор Ю.П.Рыбаков

Ведущая организация: Объединенный Институт Ядерных Исследований,

г. Дубна

Защита состоится "ЗД" 10 2009г. в^ часов до минут на заседании диссертационного совета Д.501.002.10 при Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова (119992, Москва, Ленинские горы, физический факультет МГУ, ауд. СФА).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан: "21" 0 *5 2009г. Ученый секретарь

Диссертационного Совета Д.501.002.10

доктор физико-математических наук

Ю. В. Грац

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Общая теория относительности Эйнштейна явилась основой теоретической астрофизики и космологии 20 века. Однако на ее ограниченность указывает целый ряд обстоятельств. Попытка включения ее" в общую схему квантовой теории поля приводит не только к проблеме перенормируемости, но и к проблемам микроскопического истолкования энтропии черной дыры и квантовой когерентности. С точки зрения квантовой теории, черные дыры играют роль гравитационных солитонов, обусловливающих непертур-бативные аспекты квантовой гравитации. Дальнейшее исследование гравитационных солитонов, в том числе, отличных от черных дыр, представляется весьма актуальной задачей. Астрофизические данные последних лет, в особенности обнаружение темной энергии, говорят не только о необходимости дальнейшего исследования полевых космологических моделей в эйнштейновской теории, но и изучении ее модификаций. При этом усиливается интерес к моделям струнной гравитации, которые основываются на теории суперструн, претендующей на роль объединенной квантовой теории, включающей гравитацию. Вместе с тем, теория суперструн еще далека от предложения убедительной альтернативной теории гравитации из-за неоднозначности ее предсказаний. Множество вариантов компактификации порождает многообразие моделей струнной гравитации в четырехмерном пространстве-времени, среди которых еще предстоит сделать обоснованный выбор. В связи с этим, становится важным получение новых физических следствий в таких моделях для физики черных дыр и космологии, касающихся перечисленных выше фундаментальных проблем.

Цель работы

Целью диссертационной работы является получение новых физических предсказаний струнной гравитации, именно:

1) Исследование экстремальных черных дыр в теории гетеротической стру-

!

кУ

ны с однопетлевыми поправками, представимыми в виде члена Гаусса-Боннэ в эффективном четырехмерном действии, построение и анализ решений; получение указаний на возможность квантового перехода черная дыра —струна на основании свойств пространства решений.

2) Построение модели темной энергии, описывающей переход от стадии горячей вселенной к ее ускоренному расширению на более поздних этапах, на основе теории Эйнштейна-Янга-Миллса с дублетом хиггсовых полей, представляющей собой бозонный сектор теории Вайнберга-Салама.

3) Построение новых топологически нетривиальных солитонов цилиндрической симметрии в теории Эйнштейна-Янга-Миллса с группой 5[/(2).

Научная новизна

Результаты, полученные в диссертационной работе, являются новыми. К их числу относится построение новой модели экстремальных черных дыр в теории гетеротической струны с квантовыми поправками, вычисление энтропии с учетом этих поправок, указание на возможность квантового перехода струна — черная дыра в данной модели. Новой является космологическая модель, основанная на классических решениях теории гравитации с конденсатами полей, входящих в бозонный сектор теории Вайнберга-Салама. Также новыми являются цилиндрически-симметричные солитоны в теории Эйнштейна-Янга-Миллса, интерпретируемые как сверхпроводящие струны.

Практическая и научная ценность

Полученные результаты выявляют новые аспекты струнной гравитации, которые представляют интерес для приложений к теории черных дыр и космологии. Они позволяют продвинуться в понимании конечной стадии испарения черных дыр, открывают возможность неабелевых топологических дефектов нового типа в калибровочных теориях с учетом гравитации, а также указывают на существование режимов ускоренного расширения в космологии, непосредственно опирающихся на стандартную модель теории элементарных частиц.

Апробация диссертации и публикации

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре кафедры теоретической физики Московского Государственного Университета, а также международных школах и конференциях «Ломоносовские чтения —2005» (Москва 2005), «12-я Российская гравитационная конференция» (Казань 2005), «Научная сессия-конференция секции ЯФ ОФН РАН „Физика фундаментальных взаимодействий"» (Москва 2005), «Международная конференция по гравитации, космологии, астрофизике и нестационарной газодинамике, посвященная 90-летию со дня рождения проф. К. П. Станюковича» (Москва 2006), «Ломоносовские чтения — 2007» (Москва 2007), «13-я Российская гравитационная конференция» (Москва 2008).

По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 150 страниц. Список литературы содержит около 110 наименований.

Краткое содержание диссертации

Введение обосновывает актуальность решаемых в работе задач, а также содержит обзор литературы и современных методов, используемых в решении. В частности, излагается история исследования термодинамики черных дыр, проблема статистической интерпретации энтропии и ее разрешение в рамках теории струн. Рассказывается о наиболее актуальных вопросах современной космологии и перечисляются основные модели темной энергии, предлагаемые для описания наблюдаемого процесса ускоренного расширения вселенной. Дается обзор гравитирующих солитонов и топологических дефектов во вселенной. Особое внимание уделяется решениям с цилиндрической симметрией в классической гравитации и описываются отличительные свойства конфигураций с полями Янга-Миллса.

Вторая глава «Черные дыры в теории гетеротической струны» начинается с рассмотрения четырехмерного действия, содержащего дилатон Б = е~2^ и электромагнитное поле. Поправочный член Гаусса-Бонне добавляется в лагранжиан с некоторой дилатонной функцией ф(£>), которая может быть выбрана в виде, сохраняющем 5-дуальность:

О оо

^(5) = ~1п(25|»г(»5)|4), где ф) = е2^24 Д(1 - е2™1Т).

п-1

Однако для сравнения важно получить и результат с классической поправочной функцией = 5, поэтому конкретный вид гр будет фиксирован лишь на этапе численных расчетов. Далее осуществляется переход к эффективному одномерному действию и исследование его симметрии. Для полученных уравнений движения строится локальное решение с вырожденным горизонтом.

В разделе 2.2 вводится полное действие, получаемое при компактифи-кации десятимерного действия для гетеротической струны на 5*1 х Т5, и содержащее дополнительные дилатонные поля и два калибровочных поля.

Раздел 2.3 посвящен построению и исследованию локального действия на горизонте. Оказывается, что пространство параметров допускает обращение в нуль струнных поправок, когда значение дилатонной функции на горизонте равно отношению электрического и магнитного зарядов: 5о = д/т. Тогда происходит переход к экстремальному решению Гиббонса-Маеды. Иными словами, регулярное экстремальное решение для дионной черной дыры с дилатоном без квадратичных поправок (экстремальное решение Гиббонса-Маеды) существует только при выполнении приведенного выше соотношения для зарядов, но при наличии квадратичных поправок, возникающих в струнном действии, экстремальное решение может существовать и без дополнительного условия на заряды.

В разделе 2.4 проводится подробный численный анализ существования регулярных асимптотически плоских решений, соответствующих локальным решениям, полученным в предыдущих разделах. Найденные регулярные решения представляются в графическом виде, а в пространстве параметров

выделяется область, порождающая подобные решения. Численно находится, что на границах этой области выполняется условие БПС для черной дыры. Мы показываем, что полученный ансамбль регулярных решений описывает процесс возникновения черной дыры при увеличении струнных поправок, при этом определяется диапазон фазового перехода в пространстве зарядов:

Sa < g/m < 1,8 S0.

Таким образом, мы заключаем, что для рассматриваемой системы фазовый переход от черной дыры к струне возможен только для черной дыры с доминирующим электрическим зарядом. Численные расчеты показали, что в области решений с доминирующим магнитным зарядом решения типа черной дыры существуют, но они описывают конфигурацию с пренебрежимо малыми струнными поправками.

В разделе 2.5 вычисляется энтропия для всех типов решений при помощи формализма энтропийной функции. В итоге, мы получили следующее выражение:

S = 7rP|

1+ Ф(^0) (2-й2)

где и2 = 1+£%т2/д2 — параметр, описывающий баланс электрического и магнитного зарядов, а Ре — радиус горизонта в евклидовой метрике. Легко увидеть, что выражение для энтропии содержит член Бекенштейна-Хокинга и поправочное слагаемое. В случае подстановки классической поправочной функции 1р(3) = <?, в отсутствие магнитного заряда поправочное слагаемое оказывается в точности равным первому слагаемому. Тогда получается удвоенное значение для хокинговой энтропии: Э = 27тр2Е.

В третьей главе «Космология Вайнберга-Салама» проводится исследование космологических решений для однородной и изотропной вселенной, заполненной полями материи из бозонного сектора Стандартной модели. Раздел 3.1 начинается с построения полного анзаца и соответствующего одномерного действия. Мы показываем, что эффективный потенциал поля

Хиггса содержит различные по характеру слагаемые:

Veff(f) = — v2)2+ —/2(е(/г — 1) + 2)2+

что является отличительной чертой неабелевой модели. Этот потенциал, помимо стандартного хиггсовского члена, описывает взаимодействие скалярного и калибровочного полей, / и h, а также изоспиновый член, который появляется при возбуждении внутренней свободы скалярного дублета — вращения в фазовом пространстве. Будучи кинетическим по природе, это изо-спиновое слагаемое описывает не темную энергию, а темную материю с уравнением состояния w = р/р = 1.

В разделе 3.2 мы вначале находим аналитическое решение для масштабного фактора а, когда скалярное поле статично и играет роль космологической постоянной:

ß=\/^(4-7V) + ? + f7e7t-

Здесь 7, т] и С — параметры системы, зависящие от начальных условий. При наличии нетривиальной динамики скалярного поля в системе возникает хаос, что делает невозможным получение аналитических решений. Поэтому, мы проводим динамический анализ, исследуя поведение системы в окрестности особых точек. В отсутствие изоспинового потенциала можно в явном виде выписать два семейства особых точек:

/ =0, /1 = 0, a = 2/fl и = = а =

где параметр выражается через константу Хиггса. Оказывается,

что второе семейство особых точек, возникающее именно благодаря взаимодействию скалярного и калибровочного полей, при I >7,5 описывает фокус, в то время как точки первого семейства всегда являются узловыми. Соответственно, в окрестности точек второго семейства при подходящем наборе параметров должно наблюдаться стационарное состояние вселенной, когда масштабный фактор будет осциллировать около некоторого значения.

В разделе 3.3 наличие подобных стационарных состояний подтверждается численно, и демонстрируется смена этапов эволюции системы. Мы показываем, что после этапа первоначального расширения может наступить замедление, но даже полная остановка расширения не приводит к коллапсу вселенной. Напротив, возможен новый этап экспоненциального ускоренного расширения. Между этими этапами замедленного и ускоренного расширения вселенная может достаточно долго находиться в стационарном состоянии. Подключение изоспинового потенциала увеличивает продолжительность стационарного состояния за счет уменьшения осцилляций амплитуды скалярного поля: большая часть кинетической энергии уходит на вращение в фазовом пространстве хиггсового дублета. Особенностью рассматриваемой модели закрытой вселенной является неизбежное сжатие на поздней стадии эволюции, но оно не обязательно сопровождается коллапсом. Как известно, в подобных системах есть возможность циклического поведения вселенной, когда сжатие завершается не космологической сингулярностью, а отскоком и новым циклом расширения. При помощи численных решений мы демонстрируем, что такое поведение действительно реализуется, хотя и не при всех значениях параметров. Наличие дополнительной степени свободы — калибровочного поля — приводит к существенному отличию характеристик этих циклов эволюции, поскольку скалярное и калибровочное поля оказываются динамически слабо связанными, что обнаруживается при помощи численного преобразования Фурье для решений. Это позволяет выдвинуть идею о реализации ансамбля состояний вселенной, отличающихся по характеристикам, по аналогии с Мета-вселенной.

Четвертая глава «Неабелевы космические струны» посвящена исследованию статической магнитной конфигурации поля Янга-Миллса ££/(2) с цилиндрической симметрией. Неабелевы калибровочные поля изучены, в основном, для сферически-симметричных систем, в то время как в абеле-вом случае исследованы и конфигурации с цилиндрической симметрией. В разделе 4.1 выводится наиболее общий анзац для рассматриваемой конфигурации поля:

еАцйх'1 = Т^р)^ + ТгР(р)<Ьр,

где Т* — цилиндрические генераторы 5С/(2), получаемые умножением матриц Паули на орты цилиндрической системы координат. Мы показываем, что этот анзац содержит только две функции, Я и Р, описывающие продольную и азимутальную компоненты векторного потенциала. Обнаруживается, что уравнения движения инвариантны относительно дискретной симметрии, меняющей местами одновременно пространственные и цветовые индексы: р <-> г. Также мы находим, что в системе присутствуют два нетеровских тока, возникающие из-за инвариантности системы относительно сдвигов во времени и вдоль оси симметрии.

В разделе 4.2 формулируются уравнения движения. Для системы в плоском пространстве удается представить решение в виде формального степенного ряда. Параметры этого решения полностью характеризуются значениями полей на оси симметрии: к = Р(0), д = и В~— Р"(0), где последний параметр совпадает с величиной напряжения магнитного поля на оси симметрии. Пространство решений оказывается вырожденным в том смысле, что любые два решения, параметры которых удовлетворяют соотношению

отличаются лишь растяжением вдоль осей.

В разделе 4.3 проводится исследование асимптотических решений для системы при наличии гравитации. Здесь параметрами выступают интегральные величины Моо, №то и формально определяемые как интегралы от нуля до р—>оо от правых частей уравнений Эйнштейна (й), (рр) и {гг). На эти параметры налагается условие существования асимптотического решения, что позволяет найти те значения параметров, при которых их формальное определение приобретает реальный смысл, и не возникает противоречий в системе уравнений движения. В результате, мы получили соотношение

совпадающее (с точностью до множителя) с условием существования решения Мельвина в модели абелевой космической струны. Оказалось, что

Моо - И/о = 2кВ,

если для решения в плоском пространстве из компонент тензора энергии-импульса построить формальную разность М«,— то она будет удовлетворять этому же соотношению. Асимптотическую метрику, которая для цилиндрической системы в калибровке дрр = 1 характеризуется параметрами Казнера (а, Ь, с), можно представить в виде однопараметрического семейства:

gtt = p2a, а = (1 — 3/3 + \Л - З/?2) /3, 9W = P2\ b = { l + 3/3+Vl-3/32)/3, = Д с = (1 — 2\/l — 3/32)/3.

При /3 — 0 метрика приобретает бустовую симметрию в плоскости (t, ip), в то время как ранее были известны только решения с метрикой, обладающей бустовой симметрией в плоскости (f, z). Здесь же мы исследуем топологию полученных решений и находим, что через поперечное сечение (поверхность z = const) течет ток:

_ Mqq ~ XQQ

2тг ~ 2С '

где константа С = R\ р^х, определяется из асимптотики продольной компоненты анзаца для поля. Поток магнитного поля оказывается квантованным:

Ф = 2ттк,

как и для вихря Нильсена-Ольсена.

В разделе 4.4 при помощи численных методов осуществляется построение интерполирующих регулярных решений. Они демонстрируют наличие двух взаимодействующих солитонов, которые можно назвать „струнами" по аналогии со „струной" Мельвина. Наличие двух струн соответствует наличию найденной дискретной симметрии отсутствующей для абелевых решений. Плотность энергии имеет два отчетливых локальных максимума на некоторых расстояниях от оси. На графиках ближний к оси пик совпадает с максимумом продольной компоненты магнитного поля, а дальний пик —с максимумом азимутальной компоненты поля. В связи с этим, удоб-

но говорить о взаимодействующих г- и (/^-струнах, где чистая 2-струна — это решение Мельвина. При увеличении продольной компоненты магнитного поля происходит отдаление ^-струны на пространственную бесконечность, поскольку потенциал самодействия поля Янга-Миллса порождает эффект отталкивания двух струн. При достижении конечного критического значения на оси симметрии 52(0) —>ВСТ= 2/к отрицательное давление г-струны уже не позволяет сформироваться ^-струне, и мы имеем решение Мельвина. Предельный переход не является плавным, поскольку происходит смена асимптотик метрики. Асимптотика для решения Мельвина известна, это (а — с=2/3, 6= —1/3). Предельной асимптотикой для системы Янга-Миллса при Вг(0)-+Всг будет (а=6/7, 6=3/7, с=—2/7). При этом, масса (^-струны остается конечной и стремится к М1р = (2С?)~1, что в два раза больше массы 2-струны, известной для решения Мельвина.

В разделе 4.5 мы исследуем систему без гравитации, но в присутствии поля дилатона. При выключении азимутальной компоненты магнитного поля (11 = 0) получается система ЭМД, решение для которой известно. Если же, наоборот, оставить только азимутальную компоненту, то решением будет:

Ву-Б/р, 5~(рс>+р-сГ2,

где С\ — константа, зависящая от начальных условий. Мы видим, что благодаря взаимодействию с дилатоном азимутальная компонента поля теперь может быть не сингулярна в нуле. Потенциал поля на бесконечности стремится к константе, а не расходится логарифмически, как в плоском случае. Иными словами, наличие дилатона приводит к „динамическому обрезанию" асимптотики калибровочного поля, также как и при наличии гравитации.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Построены решения для экстремальных черных дыр в теории гетероти-ческой струны с учетом поправок по кривизне. Показано, что квадратичные поправки делают возможным существование черных дыр с го-

риз оптом АйЬ'2 х £2 без наложения дополнительного условия на заряды, характерного для ранее известного решения без поправок. Оказалось, что такое условие на заряды эквивалентно требованию требованию инвариантности решения относительно преобразования Б-дуальности.

2. Проведено исследование пространства параметров локального решения с точки зрения существования глобальных асимптотически плоских решений. Ранее исследования в литературе, в основном, ограничивались локальными решениями. Мы показали, что в данной теории наличие локальных решений на горизонте не гарантирует существования глобальных регулярных решений. Однако в рамках данной конфигурации нами была найдена область в пространстве параметров, которой соответствует набор состояний, допускающий интерпретацию как переход струна — черная дыра.

3. Построена космологическая модель с темной энергией на основе полей, присутствующих в бозонном секторе теории Вайнберга-Салама. Предлагаемая модель описывает переход от горячей вселенной к экспоненциально расширяющейся и позволяет избежать космологической сингулярности типа схлопывания в точку за счет отскока и образования новых циклов. Ускоренное расширение возникает за счет квазис-фалеронной конфигурации поля Хиггса, когда скалярное поле играет роль космологической постоянной. При этом, его взаимодействие с калибровочным полем Янга-Миллса порождает стационарное состояние вселенной на ранней стадии эволюции, что позволяет задержать ускоренное расширение до более позднего этапа. Учет внутренних степеней свободы хиггсового дублета приводит к доминированию материи над темной энергией на ранней стадии эволюции вселенной.

4. В рамках исследования космологии построен полный однородный и изотропный анзац для поля Янга-Миллса ви(2) со скалярным дублетом Хиггса. Проведен динамический анализ и продемонстрирована квазипериодическая смена инфляционного периода и этапов сжатия вселенной.

5. Построено новое солитонное решение в теории Янга-Миллса£'[/(2) как при наличии гравитации, так и в плоском пространстве. Конфигурация такого решения представляет собой две взаимодействующие струны, одна из которых —это известное ранее решение Мельвина (возникающее также и в модели абелевой космической струны). Вторая струна возникает только в рассмотренной нами неабелевой модели. Для найденных струнных солитонов построены сохраняющиеся токи.

6. Метрика этого струнного решения интерполирует между пространством Минковского вблизи оси симметрии и асимптотической казнеровской метрикой, а в переходной области представляет собой горловину цилиндрической кротовой норы. Поскольку калибровочная симметрия в данной модели не нарушена, поля убывают достаточно медленно, и конфигурация не может быть асимптотически плоской, как для абелевой космической струны. Тем не менее, энергия конфигурации конечна (на единицу длины), и асимптотическая метрика является Риччи-плоской. В отсутствие гравитации асимптотически поле не является вакуумным, однако в теории с дилатоном возможны решения с асимптотическим вакуумом для поля Янга-Миллса.

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] Д. В. Гальцов, Е. А. Давыдов, В. В. Дядичев. Космологические решения с полями Хиггса // Ломоносовские чтения —2005. Секция Физики: сб. тезисов докладов. — М.: Физический факультет МГУ, 2005. — стр. 76-80.

[2] Д. В. Гальцов, Е. А. Давыдов. Цилиндрически-симметричные солитоны в теории Эйншетейна-Янга-Миллса // 12-я российская гравитационная конференция — международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике: тезисы докладов. — Казань: Рос. Грав. Общ., 2005. — стр. 117-118.

[3] Д. В. Гальцов, Е.А.Давыдов. Цилиндрические сфалероны в теории Эйншейна-Янга-Миллса // Международная конференция по гравита-

ции, космологии, астрофизике и нестационарной назодинамике, посвященная 90-летию со дня рождения профессора К. П. Станюковича: тезисы докладов. - М.: РУДН, 2006. - стр. 26-27.

D.V.Galtsov, E.A.Davydov. Cylindrically symmetric solitons in the Einstein-Yang-Miils theory // Prepared for International Conference on Gravitation, Cosmology and Astrophysics: Dedicated to the 90th Anniversary of K.P. Staniukovich, Moscow, Russia, 2—6 Mar 2006. Published in Grav. Cosmol. - 2006. - v. 12. - p. 137-139.

[4] D. V. Gal'tsov, E.A.Davydov, M.S. Volkov. Einstein-'Yang-Mills strings // Phys. Lett. В — 2007. - v.648. - p. 249-253. - [hep-th/0610183],

[5] D. V. Gal'tsov, E. A. Davydov. Cylindrically symmetric solitons in Einstein-Yang-Mills theory // Phys. Rev. D - 2007. - v. 75. - p. 084016-084037. -[hep-th/0612273],

[6] Д. В. Гальцов, Е.А.Давыдов. Космология Вайнберга-Салама // Ломоносовские чтения —2007. Секция Физики: сб. тезисов докладов. — М.: Физический факультет МГУ, 2007. — стр. 112-114.

[7] Д. В. Гальцов, Е. А.Давыдов. Фазовый переход черная дыра — струнный газ // 13-я российская гравитационная конференция — международная конференция по гравитации, космологии и астрофизике: тезисы докладов. - М.: РУДН, 2008. - стр. 66-67.

[8] D. V. Gal'tsov and Е. A. Davydov. Curvature-corrected dilatonic black holes and black hole-string transition // JETP Lett. - 2009. - v. 89. - p. 102107.

[9] Д. В. Гальцов и Е.А.Давыдов. Космологическая модель с полями Янга-Миллса-Хиггса // Сборник статей, посвященный 70-летию профессора А.А.Гриба / Под редакцией В.Ю.Дорофеева, Ю.В.Павлова. — СПб., 2009. - стр. 25-44.

Подписано к печати АЪОб.ОЗ Тираж $0 Заказ

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

1 Введение

1.1 Термодинамика черных дыр.

1.2 Принцип соответствия струна — черная дыра.

1.3 Темная материя и темная энергия.

1.4 Скалярные поля в космологии.

1.5 Гравитирующие солитоны и топологические дефекты во вселенной

1.6 Решения с цилиндрической симметрией.

1.7 Симметрии калибровочных полей и размерная редукция

1.8 Цель диссертационного исследования.

1.9 План диссертации.

2 Черные дыры в теории гетеротической струны

2.1 Черная дыра Гаусса-Бонне с дилатоном.

2.2 Эффективное действие для гетеротической струны.

2.3 Локальное решение на горизонте.

2.4 Численный анализ.

2.4.1 Регулярные решения для экстремальной черной дыры

2.4.2 Образование черной дыры.

2.4.3 Черные дыры, несущие только электрический заряд

2.5 Энтропия.

2.6 Выводы.

3 Космология Вайнберга-Салама

3.1 Пространственно-однородная модель Вайнберга

Салама

3.2 Динамика вселенной.

3.2.1 Аналитическое решение для статического скалярного поля

3.2.2 Динамический анализ полной системы.

3.3 Численные решения.

3.3.1 Поздний переход к ускоренному расширению.

3.3.2 Циклическая эволюция.

3.4 Выводы.•.

4 Неабелевы космические струны

4.1 Цилиндрически-симметричная система ЭЯМ.

4.1.1 Анзац для метрики и калибровочного поля.

4.1.2 Симметрии редуцированного действия.

4.2 Уравнения движения и условия на полярной оси.

4.2.1 Разложения на полярной оси в плоском пространстве

4.2.2 Локальные решения в при наличии гравитации.

4.2.3 Интегральные параметры системы.

4.3 Асимптотическое поведение системы.

4.3.1 Решение в асимптотической области.

4.3.2 Условия существования асимптотических вакуумных решений

4.3.3 Параметры Казнера.

4.3.4 Топология вакуума и сохраняющиеся токи.

4.4 Численный анализ.

4.4.1 Решения в плоском пространстве.

4.4.2 Решения при наличии гравитации.

4.5 Взаимодействие с дилатоном.

4.6 Выводы.

1.1 Термодинамика черных дыр

Законы термодинамики черных дыр были предвосхищены в знаменитой работе Бардина, Картера и Хокинга [1]. Нулевой закон гласит, что поверхностная гравитация ks стационарной черной дыры является одинаковой в любой точке на горизонте событий. Под поверхностной гравитацией понимается ускорение объекта на горизонте с точки зрения наблюдателя на бесконечности [2,3]. Первый закон связывает изменение массы М с изменением площади горизонта А, углового момента J и заряда q по формуле

5М=—6А + и 5J+(f)6q, о7Г где и — частота вращения черной дыры, а ф — потенциал электростатического поля. Эти два закона описывают динамику стационарной черной дыры и могут быть получены из общих симметрий системы, не зависимо от конкретных уравнений движения.

Особую роль играет площадь горизонта событий черной дыры. Второй закон гласит, что в классической теории она не может убывать, в том числе и для системы черных дыр, в которых возможно их слияние. Подобной характеристикой термодинамической системы является энтропия. Третий закон гласит, что поверхностная гравитация не может достичь нуля за конечное время ни при каком физическом процессе. Исключение представляет подкласс экстремальных черных дыр, которые изначально образуются в состоянии с нулевой поверхностной гравитацией. Согласно Хокингу поверхностная гравитация соответствует температуре черной дыры Т = /£5/(271") (в единицах с = Н = С? — 1), определяющей ее квантовое испарение [4]. В свою очередь, это позволяет установить численное соотношение между энтропией (Бекенштейна-Хокинга) и площадью горизонта: 5 = А/(4тг).

Микроскопическая интерпретация энтропии черной дыры является прерогативой квантовой гравитации. Теория суперструн, которая претендует на роль такой теории действительно предоставляет ряд примеров когда такое вычисление возможно в терминах микросостояний струны или Б-бран [5-10]. Однако установление соответствия между состояниями струны и параметрами черной дыры нетривиально. Идея состоит в том, что черные дыры и возбужденные состояния струны можно интерпретировать как дуальное описание одного и того же объекта [11-13].

4.6 Выводы

В этой главе мы построили новое солитонное решение в теории Эйнштейна-Янга-Миллса [102,103]. Известными аналогами этого решения являются магнитный геон Мельвина и абелева космическая струна, однако отличительным свойством нашей модели является наличие солитонных решений и в плоском пространстве. Было проведено исследование топологии асимптотических ва-куумов на оси симметрии и на пространственной бесконечности. Они оказались тривиальными, а соответствующее калибровочное преобразование из одного вакуума в другой — „малым". Как было показано, в системе присутствует сохраняющийся ток.

Мы продемонстрировали, что при наличии гравитации конфигурация обладает конечной энергией и является асимптотически Риччи-плоской, в то время как в плоском пространстве мы встречаемся с характерной для цилиндрической симметрии логарифмической расходимостью полей и энергии. Также мы рассмотрели систему при наличии поля дилатона в плоском пространстве. Было получено, что влияние дилатона аналогично включению гравитации для поля Янга-Миллса, которое асимптотически становится вакуумным.

В начале главы мы осуществили детальное построение статического магнитного анзаца для поля Янга-Миллса 5£/(2) с цилиндрической симметрией. Рассматриваемый нами анзац является наиболее полным, удовлетворяющим требуемым симметриям. Затем мы построили нетеровские заряды и продемонстрировали наличие дискретной симметрии для исследуемого анзаца. Вследствие этой симметрии в системе возникает не одна струна, как это имеет место для решения Мельвина или в модели абелевой космической струны а две. Одну из них, мы назвали ^-струной (соответственно направлению силовых линий магнитного поля, образующего эту струну), которая и возникала в конфигурациях с полем Максвелла. Другая струна, соответственно, была названа (¿»-струной: в абелевой теории она сингулярна на оси, поэтому такая конструкция и не рассматривалась ранее. Но, как мы показали, в неабелевом случае взаимодействие двух струн позволяет получить решения, регулярные на оси симметрии. Другое отличие от абелевого случая состоит в том, что не для всех локальных решений, регулярных на оси, существуют регулярные решения: должно выполняться особое условие бифуркации. Это условие было нами найдено, и оно, как оказалось, с точностью до множителя воспроизводит условие возникновения решения Мельвипа в модели космической струны.

Заметим, что полученная метрика для д^ с переходом от г-2/3 к г4/3 на некотором расстоянии от оси описывает горловину для цилиндрической кротовой норы. Получается межмировая кротовая нора, связывающая ограниченное по радиальной координате внутреннее пространство, заполненное магнитным полем, направленным вдоль оси г, с внешним пространством, в котором калибровочное поле быстро стремится к вакуумному значению. Горловина оказывается заполненной магнитным полем с ненулевой азимутальной компонентой

В заключение этой главы скажем, что подобную систему можно рассмотреть и в теории супергравитации Фридмана-Шварца 5С/(2) х ¿>[/(2). Возникает вопрос о существовании суперсимметричных обобщений полученного решения. Как известно, соответствующие абелевы конфигурации ?7(1) х 1/(1) были рассмотрены в работе [101], где было показано отсутствие суперсимметрии для решения Мельвина. Но, как было показано в работах [104,105], для сферически-симметричного статического случая подобные магнитные конфигурации допускают погружение в суперсимметрию, при более сложной остаточной группе калибровочных симметрий: 817(2) х 1/(1). Поэтому, наличие суперсимметрии для рассмотренной конфигурации еще возможно в рамках неабелевого сектора. Также интересно было бы исследовать возможность замены сингулярного решения на решение с горизонтом черной дыры [106,107].

Глава 5

Заключение

Работа посвящена построению новых топологически нетривиальные решений в теории калибровочных полей и теории струн, в которых определяющую роль играет гравитация. Исследовались солитоны в теории Эйнштейна-Янга-Миллса с цилиндрической симметрией, космологические решения с полями Янга-Миллса и Хиггса, а также черные дыры в струнной гравитации. При исследовании применялись аналитические и численные методы. Были получены следующие основные результаты:

• Построены решения для экстремальных черных дыр в теории гетеро-тической струны с учетом поправок по кривизне. Показано, что квадратичные поправки делают возможным существование черных дыр с горизонтом Ас132 х 52 и обнаружено, что ранее известное решение такого типа в теории без квадратичных поправок обладает дополнительной симметрией относительно ¿"-дуальности.

• Проведено исследование пространства параметров локального решения с точки зрения существования соответствующих глобальных асимптотически плоских решений. Ранее исследования в литературе, в основном, ограничивались локальными решениями. Мы показали, что в данной теории наличие локальных решений на горизонте не гарантирует существования глобальных регулярных решений. Однако в рамках данной конфигурации нами была найдена область в пространстве параметров, которой соответствует набор состояний, допускающий интерпретацию как переход струна — черная дыра.

Построена космологическая модель с темной энергией на основе полей, присутствующих в бозонном секторе теории Вайнберга-Салама. Предлагаемая модель описывает переход от горячей вселенной к экспоненциально расширяющейся и позволяет избежать космологической сингулярности типа схлопывания в точку за счет отскока и образования новых циклов. Ускоренное расширение возникает за счет квазисфале-ронной конфигурации поля Хиггса, когда скалярное поле играет роль космологической постоянной. При этом, его взаимодействие с калибровочным полем Янга-Миллса порождает стационарное состояние вселенной на ранней стадии эволюции, что позволяет задержать ускоренное расширение до более позднего этапа. Учет внутренних степеней свободы хиггсового дублета приводит к доминированию материи над темной энергией на ранней стадии эволюции вселенной.

В рамках исследования космологии построен полный однородный и изотропный анзац для поля Янга-Миллса 311(2) со скалярным дублетом Хиггса. Проведен динамический анализ и продемонстрирована квазипериодическая смена инфляционного периода и этапов сжатия вселенной.

Построено новое солитонное решение в теории Янга-Миллса 31/(2) как при наличии гравитации, так и в плоском пространстве. Конфигурация такого решения представляет собой две взаимодействующие струны, одна из которых — это известное ранее решение Мельвина (возникающее также и в модели абелевой космической струны). Вторая струна возникает только в рассмотренной нами неабелевой модели. Для найденных струнных солитонов построены сохраняющиеся токи.

Метрика этого струнного решения интерполирует между пространством Минковского вблизи оси симметрии и асимптотической казнеровской метрикой, а в переходной области представляет собой горловину цилиндрической кротовой норы. Поскольку калибровочная симметрия в данной модели не нарушена, поля убывают достаточно медленно, и конфигурация не может быть асимптотически плоской, как для абелевой космической струны. Тем не менее, энергия конфигурации конечна (на единицу длины), и асимптотическая метрика является Риччи-плоской. В отсутствие гравитации асимптотически поле не является вакуумным, однако в теории с дилатоном возможны решения с асимптотическим вакуумом для поля Янга-Миллса.

1. J. M. Dardeen, B. Carter, S. W. Hawking. The Four laws of black hole mechanics // Commun. Math. Phys. - 1973. — v. 31 — p. 161-170.

2. R. M. Wald. General Relativity / Chicago, Usa: Univ.Pr., 1984. — 491pp.

3. V. P. Frolov, I. D. Novikov. Black hole physics: Basic concepts and new developments / Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic, 1998. — 770 pp.

4. S. W. Hawking. Particle Creation by Black Holes // Commun. Math. Phys.- 1975. v. 43. - p. 199-220.

5. T. Mohaupt. Supersymmetric black holes in string theory // Fortsch. Phys.- 2007. v. 55. - p. 519-544. - hep-th/0703035.

6. T. Mohaupt. Black hole entropy, special geometry and strings // Fortsch. Phys. 2001. - v. 49. - p. 3-161. - hep-th/0007195.

7. T. Mohaupt. Black holes in supergravity and string theory // Class. Quant. Grav. 2000. - v. 17. - p. 3429-3482. — hep-th/0004098.

8. J. M. Maldacena, A. Strominger, E. Witten. Black hole entropy in M theory // JHEP. 1997. - v. 9712. - p. 002-017. - hep-th/9711053.,

9. J. M. Maldacena. Black holes in string theory / Ph. D. Thesis. — UMI-96-27605, 1996. 102 pp. - hep-th/9607235.,

10. B. D. Chowdhury, S. Giusto, S. D. Mathur. A Microscopic model for the black hole Black string phase transition // Nucl. Phys. B. — 2007. — v. 762.- p. 301-343. hep-th/0610069.

11. Susskind. Some speculations about black hole entropy in string theory // hep-th/9309145.

12. E. Halyo, B. Kol, A. Rajaraman, L. Susskind. Counting Schwarzschild and charged black holes // Phys. Lett. B. 1997. - v. 401. - p. 15-20. - hep-th/9609075].

13. G. T. Horowitz, J. Polchinski. A Correspondence principle for black holes and strings // Phys. Rev. D. 1997. - v. 55. - p. 6189-6197. - hep-th/9612146].

14. G. W. Gibbons. Supersymmetric Soliton States In Extended Supergravity Theories // Unified Theories Of Elementary Particles: proceedings. — Muenchen, 1981. p. 145-151.

15. A. Strominger, C. Vafa. Microscopic origin of the Bekenstein-Hawking entropy // Phys. Lett. B. 1996. - v. 379. - p. 99-104. — hep-th/9601029].

16. J. Polchinski. Dirichlet Branes and Ramond-Ramond charges // Phys. Rev. Lett. 1995. - v. 75. - p. 4724-4727. - hcp-th/9510017].

17. L. Cornalba, M. S. Costa, J. Penedones, P. Vieira. From fundamental strings to small black holes // JHEP. 2006. - v. 0612. - p. 023-058. - hep-th/0607083].

18. A. Sen. Stretching the horizon of a higher dimensional small black hole // JHEP. 2005. - v. 0507. - p. 073-098. - hep-th/0505122].

19. A. Sen. Entropy function for heterotic black holes // JHEP. — 2006. — v. 0603. p. 008-33. — hep-th/0508042].

20. A. Sen. Black hole entropy function and the attractor mechanism in higher derivative gravity // JHEP. 2005. - v. 0509. - p. 038-50. - hep-th/0506177].

21. R. Cai, D. Pang. Entropy function for non-extremal black holes in string theory // JHEP. 2007. - v. 0705. - p. 023-42. - hep-th/0701158],

22. A. Sen. How does a fundamental string stretch its horizon? // JHEP. — 2005. v. 0505. - p. 059-096. - hep-th/0411255],

23. V. Hubeny, A. Maloney, M. Rangamani. String-corrected black holes // JHEP. 2005. - v. 0505. - p. 035-058. - hep-th/0411272].

24. C. Chen, D. V. Gal'tsov, D. G. Orlov. Extremal black holes in D=4 Gauss-Bonnet gravity // Phys. Rev. D. 2007. - v. 75. - p. 084030-084044. -hep-th/0701004].

25. G. L. Cardoso, B. Wit, T. Mohaupt. Corrections to macroscopic supersymmetric black hole entropy // Phys. Lett. B. — 1999. — v. 451. — p. 309-316. hep-th/9812082].

26. G. L. Cardoso, B. Wit, T. Mohaupt. Deviations from the area law for supersymmetric black holes // Fortsch. Phys. 2000. — v. 48. — p. 49-64. — hep-th/9904005],

27. G. L. Cardoso, B.Wit, T. Mohaupt. Macroscopic entropy formulae and nonholomorphic corrections for supersymmetric black holes // Nucl. Phys. B. 2000. - v. 567. - p. 87-110. - hep-th/9906094],

28. G. L. Cardoso, B. Wit, T. Mohaupt. Area law corrections from state counting and supergravity // Class. Quant. Grav. — 2000. — v. 17. — p. 1007-1015. — hep-th/9910179].

29. B. Zwiebach. Curvature Squared Terms and String Theories // Phys. Lett. B.- 1985. v. 156. - p. 315-324.

30. J. A. Harvey, G. .W. Moore. Five-brane instantons and R2 couplings in N=4 string theory // Phys. Rev. D. — 1998. — v. 57. — p. 2323-2328. — hep-th/9610237],

31. K. Behrndt, G. L. Cardoso, S. Mahapatra. Exploring the relation between 4-D and 5-D BPS solutions // Nucl. Phys. B. 2006. - v. 732. - p. 200-223.- hep-th/0506251.

32. G. L. Cardoso, B. Wit, J. Kappeli, T. Mohaupt. Stationary BPS solutions in N=2 supergravity with R2 interactions // JHEP. — 2000. — v. 0012. -p. 019-051. hep-th/0009234].

33. J. E. Horvath. Dark matter, dark energy and modern cosmology: the case for a Kuhnian paradigm shift // arXiv:0809.2839].

34. V. Sahni. Dark matter and dark energy // Lect. Notes Phys. — 2004. — v. 653. — p. 141-180. arXiv:astro-ph/0403324].

35. A. G. Riess et al. New Hubble Space Telescope Discoveries of Type la Supernovae at z > 1: Narrowing Constraints on the Early Behavior of Dark Energy // Astrophys. J. — 2007. — v. 659. — p. 98-121. arXiv:astro-ph/0611572],

36. W.M. Wood- Vasey et al ¡ESSENCE Collaboration]. Observational Constraints on the Nature of the Dark Energy: First Cosmological Results from the ESSENCE Supernova Survey // Astrophys. J. 2007. - v. 666. - p. 694-715. - arXiv:astro-ph/0701041].

37. V. Sahni and A. Starobinsky. Reconstructing dark energy // Int. J. Mod. Phys. D. 2006. - v. 15. - p. 2105-2132. - arXiv:astro-ph/0610026],

38. A. Linde. Particle Physics and Inflationary Cosmology / Harwood academic publishers, Chur, Switzerland, 1980. 362 pp. — hep-th/0503203].

39. V. N. Pervushin and V. I. Smirichinsky. On the cosmological origin of the homogeneous scalar field in unified theories // arXiv:gr-qc/9704078].

40. B. Ratra, P. J. E. Peebles. Cosmological consequences of a rolling homogeneous scalar field // Phys. Rev. D. — 1988. v. 37. — p. 3406-3472.

41. C. Molina-Paris, M. Visser. Minimal conditions for the creation of a Friedman-Robertson-Walker universe from a 'bounce' // Phys. Lett. B. — 1999. v. 455. - p. 90-95. - gr-qc/9810023].

42. V. V. Dyadichev, D. V. Gal'tsov, A. G. Zorin. NonAbelian Born-Infeld cosmology // Phys. Rev. D. 2002. - v. 65. - p. 084007-084025 - hep-th/0111099].

43. M. Cruz, E. Martinez-Gonzalez, P. Vielva and L. Cay on. Detection of a non-Gaussian Spot in WMAP // Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 2005. - v. 356.- p. 29-43. arXiv:astro-ph/0405341.

44. M. Cruz, L. Cay on, E. Martinez-Gonzalez, P. Vielva and J. Jin. The non-Gaussian Cold Spot in the 3-year WMAP data // Astrophys. J. — 2007. — v. 655. p. 11-21. - arXiv:astro-ph/0603859].

45. M. Cruz, N. Turok, P. Vielva, E. Martinez-Gonzalez and M. Hobson. A Cosmic Microwave Background feature consistent with a cosmic texture // Science. 2007. - v. 318. - p. 1612-1614. - arXiv:astro-ph/0710.5737].

46. R.L.Davis. Cosmic texture // Phys.Rev.D. — 1987. — v.35. — p.3705-3717.

47. N. Turok. Global Texture as the Origin of Cosmic Structure // Phys. Rev. Lett. — 1989. v. 63. — p. 2625-2641.

48. M. A. Melvin. Pure magnetic and electric geons // Phys. Lett. — 1964. — v.8. p. 65-70.

49. R. S. Coleman, L. Smarr. Are there geon analogs in sourceless gauge-field theories? // Commun. Math. Phys. — 1977. v. 56. — p. 1-19.

50. M. Demianski. Static electromagnetic geon // Found. Phys. — 1986. — v. 16.- p. 187-190.

51. D. Garfinkle. General relativistic strings // Phys.Rev.D. — 1985. — v. 32.- p.1323-1329.

52. H. B. Nielsen and P. Olesen. Vortex-line models for dual strings // Nucl. Phys. B. 1973. - v. 61. - p. 45-61.

53. R. C. Tolman. Static solutions of Einstein's field equations for spheres of fluid // Phys. Rev. 1939. - v. 55. - p. 364-373.

54. K. A. Bronnikov and J. P. S. Lemos. Cylindrical wormholes // arXivrgr-qc/0902.2360].

55. M. S. Volkov. Gravitating Yang-Mills vortices in 4+1 space-time dimensions // Phys. Lett. B. 2002. - v. 524. - p. 369-375. - hep-th/0103038].

56. P. G. Bergmann, E. Flaherty. Symmetries in gauge theories // J. Math. Phys. 1978. - v. 19. - p. 212-214.

57. P. Forgacs, N. Manton. Space-Time symmetries in gauge theories // Comm. Math. Phys. 1980. - v. 72. - p. 15-55.

58. D. V. Gal'tsov. Einstein-Yang-Mills solitons: towards new degrees of freedom // Proc. Int. Seminar Mathematical Cosmology. — Potsdam, 1998. p. 92-103. - gr-qc/9808002],

59. T. Damour, G. Veneziano. Selfgravitating fundamental strings and black holes // Nucl. Phys. B. 2000. - v. 568. - p. 93-119. - hep-th/9907030].

60. S. J. Poletti, J. Twamley, D. L. Wiltshire. Dyonic Dilaton black holes // Class. Quant. Grav. — 1995. — v. 12. p. 1753-1770. — hep-th/9502054],

61. D. Garfinkle, G. T. Horowitz, A. Strominger. Charged black holes in string theory // Phys. Rev. D. 1991. - v. 43. - p. 3140-3143.

62. G. W. Gibbons and K. Maeda. Black Holes and Membranes in Higher Dimensional Theories with Dilaton Fields // Nucl. Phys. B. — 1988. — v. 298. p. 741-796.

63. A. Sen. Strong-weak coupling duality in four-dimensional string theory // Int. J. Mod. Phys. A. 1994. - v. 9. - p. 3707-3750. - hep-th/9402002].

64. J. A. Harvey and J. Liu. Magnetic monopoles in N=4 supersymmetric low-energy superstring theory // Phys. Lett. B. — 1991. — v. 268. — p. 40-55.

65. R. С. Myers. Black holes in higher curvature gravity // gr-qc/9811042].

66. A. Dabholkar. Exact counting of black hole microstates // Phys. Rev. Lett.- 2005. v. 94. - p. 241301-241305. - hep-th/0409148.

67. D. Bak, S. Kim and S. J. Rey. Exactly soluble BPS black holes in higher curvature N=2 supergravity // hep-th/0501014].

68. D. V. Gal'tsov and E. A. Davydov. Curvature-corrected dilatonic black holes and black hole-string transition // JETP Lett. 2009. — v. 89. — p. 102107.

69. D. V. Gal'tsov, M. S. Volkov. Yang—Mills cosmology: Cold matter for a hot universe // Phys. Lett. B. 1991. - v. 256. — p. 17-21.

70. G. W. Gibbons, A. R. Steif. Yang-Mills cosmologies and collapsing gravitational sphalerons // Phys. Lett. B. — 1994. — v. 320. — p. 245—252.- hep-th/9311098.

71. M.S. Volkov, D. V. Gal'tsov. Gravitating nonAbelian solitons and black holes with Yang-Mills fields // Phys. Rept. 1999. — v. 319. — p. 1-83.- hep-th/9810070.

72. M. J. Duff, R. R. Khuri, J. X. Lu. String solitons // Phys. Rept. — 1995. — v. 259. p. 213-326. - hep-th/9412184].

73. Д. В. Гальцов и E. А. Давыдов. Космологическая модель с полями Янга-Миллса-Хиггса // Сборник статей, посвященный 70-летию профессора А.А.Гриба / Под редакцией В.Ю.Дорофеева, Ю.В.Павлова. — СПб., 2009. стр. 25-44.

74. R. Bartnik, J. Mckinnon. Particle-Like Solutions of the Einstein Yang-Mills Equations // Phys. Rev. Lett. — 1988. — v. 61. — p. 141-144.

75. M. S. Volkov, D. V. Gal'tsov. NonAbelian Einstein Yang-Mills black holes 11 JETP Lett. 1989. - v. 50. - p. 346-350.

76. H. P. Kunzle, A. K.M. Masood ul Alam. Spherically symmetric static SU(2) Einstein Yang-Mills fields // Journ. Math. Phys. 1990. - v. 31. - p. 928935.

77. P. Bizon. Colored black holes // Phys. Rev. Lett. — 1990. v. 64. - p. 28442847.

78. I. Moss. Exotic black holes // gr-qc/9404014].

79. P. Bizon. Gravitating solitons and hairy black holes // Acta Phys. Pol. B. — 1994. v. 25. - p. 877-898.

80. D. Maison. Solitons of the Einstein Yang-Mills theory // gr-qc/9605053];

81. D. Maison. Magnetic monopoles and gravity // Lect. Notes Phys. — 2000.- v. 539. p. 263-278.

82. D. V. Gal'tsov. Gravitating lumps // Proc. of the 16th International conference, Durban, South Africa, 15-21 July 2001 / ed. N. T. Bishop and S. D. Maharaj. World Scientific, 2002. — p. 142-161. — hep-th/0112038].

83. C. W. Misner and J. A. Wheeler. Classical physics as geometry: Gravitation, electromagnetism, unquantized charge, and mass as properties of curved empty space // Annals Phys. — 1957. — v. 2. — p. 525-603.

84. J. P. S. Lemos. Cylindrical black hole in general relativity // Phys. Lett. B.- 1995. v. 46. - p. 46-51. - gr-qc/9404041.

85. S. A. Hayward. Gravitational waves, black holes and cosmic strings in cylindrical symmetry // Class. Quant. Grav. — 2000. — v. 17. — p. 17491764. gr-qc/9909070].

86. R. J. Slagter. Selfgravitating nonAbelian cosmic string solution // Phys. Rev. D. 1999. - v. 59. - p. 025009-025027. - gr-qc/9807034].

87. E.E.Donets, D. V. Gal'tsov, M. Yu. Zotov. Internal structure of Einstein Yang-Mills black holes // Phys. Rev. D. 1997. - v. 56. - p. 3459-3465. -gr-qc/9612063].

88. M. Christensen, A. Larsen, Y. Verbin. Complete classification of the stringlike solutions of the gravitating Abelian Higgs model // Phys. Rev. D. — 1999. v. 60. - p. 125012-125024. - gr-qc/9904049].

89. B. Kleihaus, J. Kunz. Axially symmetric multi-sphalerons in Yang-Mills dilaton theory // Phys. Lett. B. — 1997. v. 392. - p. 135-140. - hep-th/9609180].

90. B. Kleihaus, J. Kunz. Static axially symmetric Einstein Yang-Mills dilaton solutions: 1. Regular solutions // Phys. Rev. D . — 1998. — v. 57. — p. 834856. gr-qc/9707045].

91. J. Colding, N. Nielsen, Y. Verbin. Physical interpretation of cylindrically symmetric static gravitational fields // Phys. Rev. D — 1997. — v. 56. — p. 3371-3380. gr-qc/9705044].

92. V. P. Frolov, W. Israel, W. Unruh. Gravitational Fields Of Straight And Circular Cosmic Strings: Relation Between Gravitational Mass, Angular Deficit, And Internal Structure // Phys. Rev. D. — 1989. — v. 39. — p. 10841096.

93. Y. Verbin. Cosmic strings in the Abelian Higgs model with conformal coupling to gravity // Phys. Rev. D. 1999. - v. 59. - p. 105015-105042. - hep-th/9809002].

94. N. S. Manton. Topology in the Weinberg-Salam Theory // Phys. Rev. D. — 1983. v. 28. - p. 2019-2044.

95. D. V. GaVtsov, M.S. Volkov. Sphalerons in Einstein Yang-Mills theory // Phys. Lett. B. 1991. - v. 273. - p. 255-259.

96. L. F. Abbott, S. Deser. Charge Definition In Nonabelian Gauge Theories // Phys. Lett. B. 1982. - v. 116. - p. 259-271.

97. M. Henneaux, B. Julia and S. Silva. Noether superpotentials in supergravities

98. Nucl.Phys.B. 1999. — v. 563. - p. 448-460. - arXiv:hep-th/9904003.

99. F. Dowker, J. P. Gauntlett, D. A. Kastor, J. H. Traschen. Pair creation of dilaton black holes // Phys. Rev. D. 1994. - v. 49. - p. 2909-2917. -hep-th/9309075].

100. E.Radu, R.Slagter. Melvin solution with a dilaton potential // Class. Quant. Grav. 2004. - v. 21. - p. 2379-2391. - gr-qc/0311075].

101. D. V. Gal'tsov, E. A. Davydov, M. S. Volkov. Einstein-Yang-Mills strings // Phys. Lett. B. 2007. - v. 648. - p. 249-253. - hep-th/0610183].

102. D. V. Gal'tsov, E. A. Davydov. Cylindrically symmetric solitons in Einstein-Yang-Mills theory // Phys. Rev. D 2007. - v. 75. - p. 084016-084037. -hep-th/0612273].

103. A. H. Chamseddine, M. S. Volkov. Non-Abelian solitons in N=4 gauged supergravity and leading order of string theory // Phys. Rev. D. — 1998. v. 57. - p. 6242-6254. - hep-th/9711181],

104. S. S. Gubser, A. Tseytlin, M. Volkov. Non-Abelian 4-d black holes, wrapped 5-branes, and their dual descriptions // JHEP. — 2001. — v. 09. — p. 017069. hep-th/0108205].

105. W. A. Hiscock. On Black Holes In Magnetic Universes // J. Math. Phys. — 1981. v. 22. - p. 1828-1865.

106. M. Ortaggio. Ultrarelativistic black hole in an external electromagnetic field and gravitational waves in the Melvin universe // Phys. Rev. D. — v. 69. — p. 064034-064045. gr-qc/0311088].H