Теоремы Джексона в пространствах L P и некоторые экстремальные свойства полиномов и сплайнов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

А

с. л /

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

о

МОСКОВСКИЙ Александр Владимирович

ТЕОРЕМЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВАХ Ьр И НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПОЛИНОМОВ И СПЛАЙНОВ

Специальность: 01.01.01 — математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

и

Научный руководитель — доктор физико-математических наук В.И. ИВАНОВ

Тула, 1998г.

Содержание

Основные обозначения..................... 3

Введение..............................^ 8

Глава 1. Теоремы Джексона в пространствах Ьр(Шп) и

£р,а(К+) ........................ 25

§ 1. Элементы гармонического анализа в евклидовом пространстве ........................... 25

30 36 41 49

§ 2. Модули непрерывности в пространствах 1/р(Ми) . . .

§ 3. Элементы гармонического анализа на полупрямой . .

§ 4. Теорема Джексона в пространствах £2(Мп), //2,л(Ж+)

§ 5. Теорема Джексона в пространстве £Р(ЕП), 1 ^ р < 2

§ 6. Теорема Джексона в пространстве ЬР>\(Ш+), 1 ^ р < 2 58

Глава 2. Экстремальные свойства дифференцируемых

функций, полиномов и сплайнов......... 67

§ 1. Сравнение перестановок дифференцируемых периодических функций и сплайнов на произвольных отрезках , 67 § 2. Сравнение перестановок тригонометрических полиномов на произвольных отрезках.............. 72

§ 3. Равномерные оценки интегральных норм алгебраических многочленов...................... 77

Литература............................ 88

и

Основные обозначения

N — множество натуральных чисел, Ъ — множество целых чисел, К — множество действительных чисел, С — множество комплексных чисел;

Ж'

п

| X = (хи ■ • • ,хп) XI е Ж,г = 1,...,п| —

действительное п-мерное пространство,

п \ Х/2 „

а=1

г=1

<>п 1— 1 — единичная евклидова сфера в Ж1г,

ее площадь; Тп=[0, 27г)п — п-мерный тор;

С

п

| 2Г = (гг,... ,гп) е С, г = 1,... ,п |

комплексное п-мерное пространство;

ЬР(ЖП) = I / :ЖП

11/11? = / \№\р*х

< оо, 1 ^ р < с»;

Ц/Цоо =8ируга1|/(ж)| < оо,р = 00 >;

{1,9) = 11(х)д(х)(Ь

скалярное произведение в пространстве ¿2(ЖП);

ВпЕ — множество целых функций в Жп сферического типа Я>0;

Ел(/)р = т£{\\Г-д\\р \ д е ВпК П Ьр(Шп) } -

величина наилучшего приближения функции / Е Ьр(Шп) целыми функциями сферического типа Щ

Кх) = / /Ые-

-г(х,у)

¿у

преобразование Фурье функции /£Ь2(КП);

= sup IIf(x + h)-f{x)\\p (5 >0)

модуль непрерывности функции /eLp(Rn);

Мrf(x) = — [ f(x + r£)dt, r> 0-wn-1 J

Sn- 1

оператор среднего значения по сферам в lRn:

ui(SJ)p= sup I [Mry\f(y)-f(xW О^г^б \ J

\En

1/p

dx

y=x

l/p

= sup I — I I \f(x + rt)-f(x)\pdxdi

O^r^S \ 1 J

Sn-1

усредненный модуль непрерывности функции /Gbp(Mn);

^(u) = (1 -u)K Arf(x) = (1-Мг)2/(ж) = ¿®(Mr)fc/W

fc=0

разностный оператор,

W2(5,f)p= sup ||Дг/(ж)||р—

модуль непрерывности функции /eLp(En);

D(S,R,n)p= sup

/еь

pv

ErU)p

) f)P'

Di(S,R,n)p= sup ^^f- (¿ = 1,2)-

/GLP(E") J)p

константы Джексона в пространстве

Г(ж) — гамма-функция, Ja(^) — функция Бесселя первого рода порядка Л,

тлс-тл т2л + 1 1

= + ф.лМ = 2ЛГ(Л + 1} dx,

п-2

С1 2 (х) — ультрасферические многочлены Гегенбауэра, Т^х), [//(ж) — многочлены Чебышева 1-го и 2-го родов;

= < / К+ С

оо

р

р, а

< оо

2'

оо

(/,р) а = j 1(г)д(г)й^х(г) — о

скалярное произведение в пространстве 1/2,а(М+);

оо

7{р) = / ¡(г)зЛрг)^\(г) —

й преобразование Фурье-Ганкеля (Бесселя) функции /е!/2,а(К+);

Яд (Яр,а = м ||/ -дя\\Р)х,

где нижняя грань берется по функциям дкЕЬР1\(Ж+), для которых Бирр С [0,Д];

2

\ _ _1 Л -

г()+1> . ] /(^/гЧ^-гНсой^) ят2Л ^

А>-|

оператор обобщенного сдвига на полупрямой К+;

оо

«Л№/)р>а= вир [ т;| Яз)-/(Р)\*

0<г<6 \ 3

1 р

Фа (р)

в=р

( Г(Л + 1)

" — йир i г~тл(л-гт i

О^г^б \ \/7гГ(Л + 2) У

оо

1 р

!|Р1 + Г2 - 2ргс08(р) - f (р)\Р (1р,\(р) Бт2Х (р(1(р

усредненный модуль непрерывности функции f^LPi\{R+);

оо

д,/(г) = (I-T'j'/'/W = -

fc=0

разностный оператор,

w2№/)p,A= suP "

модуль непрерывности функции д(М+);

sup (¿ = 1,2)-

константы Джексона в пространстве ЬР;д(М+);

Хм (ж) — характеристическая функция множества Mel supp f(x) — носитель функции /(ж);

для zE С: Im z - мнимая часть г, Rez - действительная часть г,

ьп.

z kl

sgnz = < 11

1 О, Z = 0;

Wr(T), r G N — множество 27Г-периодических функций /(ж), у которых (г—1)-я производная абсолютно непрерывная, a ||/^||оо^;1;

£>2п,г ~~ множество 27г-периодических сплайнов порядка г дефекта 1 по равномерному разбиению U — ^ (i = 0,1,...,2п), (Р2п,г^^2п,г — идеальный сплайн Эйлера;

Тп — множество 27Г-периодических тригонометрических полиномов порядка п;

Рп — множество алгебраических многочленов степени п; mese — мера Лебега множества е,

А а (ж,/) = mes {у е А | \f(y)\ > х) —

функция распределения, а

гА(х, /) = inf { г е [о, IД|] I Лд(г, /) ^ ® } -

невозрастающая перестановка функции |/(ж)| на отрезке Д=[а,/?]сК

длины |Д| = ß—OL\

(а,/?,... (о;,) для аеа, (ЗеВ,..., если существует абсолютная постоянная с>0 такая, что для всех аеа, (ЗеВ, ... выполняется неравенство ф\{а,(3,... )^сф2(а, (3,...)',

ф\(а, ¡3,... )хт/>2(о!> /?,...) для аеа, (ЗеВ,..., если для скЕЛ, (Зев,...

ф2{а,(3,...) < ф\(а,(3,...) < Ф2(<*,/3,...).

Введение

Диссертация посвящена решению некоторых экстремальных задач теории приближений. Доказываются точные неравенства Джексона в пространствах Ьр(Жп), и Ьр^\(Ж+) — ЬР(Ш+,х2Х+1(1х), А^ — \ при Устанавливаются теоремы о сравнении перестановок дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов на произвольных отрезках. Интегральные нормы алгебраических многочленов на большем отрезке равномерно по параметрам оцениваются через интегральные нормы на меньшем отрезке.

Нахождение точных констант в неравенствах Джексона в пространствах Ьр на торе Тп, евклидовом пространстве Мп, евклидовой сфере 5'п_1 является важной экстремальной задачей теории приближений и ей посвящено много работ.

Точные результаты в Ьр{Тп) получены Н.П. Корнейчуком [28] (п=1, р=оо, случай непрерывных функций), Н.И. Черныхом [59, 60] (п=1, В.А. Юдиным [62] (п> 1, р=2), В.И. Ивановым [24]

(п>1,

В пространстве (б'"-1), п^З точные неравенства Джексона установлены В.В. Арестовым и В.Ю. Поповым [2] (п=3,4) и А.А. Ба-бенко [4] (п^5). Д.В. Горбачевым [16] анонсировано точное неравенство Джексона в Ьр{8п~1) при 1^.р<2, п^З.

Наконец, в пространствах Ьр (Жп) точные неравенства Джексона доказаны И.И. Ибрагимовым и Ф.Г. Насибовым [20] (р=2, п—1), В.Ю. Поповым [45, 46] (р=2, п=1,2,3) и О.Л. Виноградовым [14] (1^р<2, п=1, оценка сверху). В.Ю. Поповым [46, 48, 47] найдены точные константы в неравенствах Джексона в ШТ = Тп, Жп, 5П_1 при малых значениях аргумента модуля непрерывности.

Точное неравенство Джексона в пространстве Ь2 на гиперболоиде анонсировано в [17].

Пусть Жп — п-мерное действительное евклидово пространство - со скалярным произведением

п

(х,у) = ( X = (хХ, . . . , Хп), у — (г/1, ... , уп) 6 1" )

г=1

и нормой

/ п X1/2

|ж| - уДх^ху = ( XX ) ;

Lp(Rn)

f : Жп —» С ||/||J = J \f(x)\pdx < oo

(1 ^ p < oo);

BnR — множество целых функций в Кп сферического типа R;

величина наилучшего приближения функции / Е Lp(Mn) целыми функциями сферического типа Л.

Первая глава посвящена доказательству в пространствах Lp (Мп), ri^l, точных неравенств Джексона, в которых величина наи-

лучшего приближения целыми функциями сферического типа оценивается через некоторые модули непрерывности. С неравенствами Джексона в пространствах Ьр(Шп) тесно связаны аналогичные неравенства в пространствах LPf\(HH+).

В § 1 излагаются элементы гармонического анализа в связанные с представлением группы движений Жп.

Пространство Еп является локально компактным метрическим пространством с метрикой d(x,y) = \x—y\, на котором действует транзитивная группа движений Cr=ISO(n) [13]. Квазирегулярное представление группы ISO(n) в пространстве ¿2(КП), задаваемое формулой L(g)f(x)=f(g~1x), разлагается в прямой интеграл попарно неэквивалентных неприводимых представлений Lp(g), действующих на пространствах Dnp, р>0. Пространство Dnp состоит из функций вида

—- функция Бесселя первого рода порядка А, Г(£) — гамма-функция, шп-1 — площадь единичной евклидовой сферы 5Т1~1. Оно является гильбертовым с нормой

ER(f)p = inf { ||/ - д\\р | д Е BnR П Lp(Rn) }

где

М*) = ^ф^гг/2-lipt)

(/

1/2

Ш =

fp{x)f{x)dx

f(y)f{x)^PP(\x -y\)dxdy

и скалярным произведением

[Л»5р] = J ! Кх)9(у)1Рр{\х - у\)д,х<1у.

мп еп

Разложение функции /££,2(Шп) в прямой интеграл и равенство Парсеваля записываются так

со оо

/(*) = 11Р(х)рп-1 ¿Р, ||/||2 =' I Ш\ V"1 (в.1)

о о

При этом справедливо равенство

00

Е%иъ = ¡\\!,Грп-'<1р. (в.2)

я

Разложение (В.1) при п=2 приведено в [13, с.218].

В § 2 в пространствах 1/р(Жп) определяются три модуля непрерывности.

Для функции /£-£р(Кп) "классический" модуль непрерывности и(6, /)р определяется равенством

и>(6,/)р= 8ПР ||/(® + Л)-/(х)||р (¿>0). Если для /Е£2(МП)

/М = I

®п

ее преобразование Фурье, то

^2№/Ь = тЛ^ 8иР /(1-со8(/1,х))|/(х)|2(зг®. (в.з)

(2тг)п У

кп

При определении двух других модулей непрерывности используется оператор среднего значения по сферам

мг/(®) = — / Ях + гОК.

1 У

5П-1

Он играет роль оператора обобщенного сдвига в Для /£Ьр(Шп) положим

р п

sup [ [ Mry\f(y)-f(x)\*

\Rn

\ Up

dx I =

y=x J

1/p

sup f f— f |/0 + r£) -Дж)|р d£dx О^г^б \ J шп-1 J \Rn Sn~1

x 1/p

= sup I — [ [ If{x + r£)-f(x)\rdxdt О^г^б \ J J

\ 5"-1 Rn

Назовем wi (¿>, f)p усредненным модулем непрерывности. При р=2 он определен в [46].

Модули непрерывности f)p и u;i(<$", f)p связаны неравенством

№/)р ^ u(5J)p.

Для /GL2(Mn) модуль непрерывности u;i(<5,/)2 может быть записан так

оо

№ /)2 = 2 sup / (l-jn/2-хЫ) ||/p||V_1^ =

О<r<SJ 4 7

О

= 7^sup [ i1-^-!(WH))|/(x)|2^. (В.4)

E"

Третий модуль непрерывности определим в соответствии с конструкцией, которую предложил Х.П. Рустамов [51]. Если ф(и) = (1—w)1/2, I — тождественный оператор, то положим

= = (в.5)

к=О

и

№/)р= SUP ||Дг/(®)||р- (В.б)

При р=2

оо

'(¿,/)2 = sup f (1 -jn/2-i(H) \\fp\\2pn~X dp, (B.7)

0<r<SJ 4 7

U3%\

0

так что

.2/x f\ _ o, .2

cuf(SJ)2 = 2^(dJ)2. Для l^pCoo, R>0, <5>0 определим три константы Джексона

D(5,R,n)p = sup

Er(S)p

feLp(mn) sup (г = 1,2).

Они связаны соотношениями

D(8, R, n)p ^ Di (5, R, ra)p, fi(M,n)2 = -^/ЗДЛ.пЬ- (B.8)

v 2

Равенства (В.2), (В.4), (B.7) наводят на мысль, что константы Джексона Di(S, R, та) 2, D2(S, R, та) 2 совпадают с константами Джексона в некоторых пространствах Ь2 на полупрямой К+.

В § 3 приводятся элементы гармонического анализа в пространстве Ь2,л(®+) на полупрямой. Пусть А^ — l^pCoo

ЬР;Л(М+) = { / : Ж+ ->С

оо

р _ р,Х

= J |/(г)|"фл(г) <оо

где

^а(г) = 2лг(л + 1)'

Любую функцию / £ L2ja(M+) можно разложить в интеграл Фурье-Ганкеля (Бесселя)

оо

/М = J f(p)h(pr)dv\(p),

о

о

оо

7(р) = J f(r)i\{pr) dfi\{r).

о

Равенство Парсеваля имеет вид

11/112,Л - II/II2,А-

Для /еЬРу\(Ш+) положим

Ея(/)р,А = inf ||/ — Hp,A J

где нижняя грань берется по функциям дяЕЬр>а(1&+), для которых supp^ С [О, R]. При р=2

Е2К(!)2,л= У |/(Р)|2Фа(Р). (В.9)

я

Модули непрерывности в (К+) будем определять с помощью оператора обобщенного сдвига на полупрямой [12, 34]

/(Н-*)+/(|г-*1) Л _ _1

2 ' — 2'

* „.Л _ ,1

Т /(г)

г(а+1) л/ттГ

р^у J /( v/r2 + t2 - 2rt cos ) sin2A V? dip, A >

(A+2 J 0

Для /gLP)a(M+) положим

oo

«(г,/)р,а = И т; if(s) - f(P)\p\s=p dpx(p)

V 0

oo

f ЦА + 1)

J да + i)

7Г

J |/(vV2 + Г2 - 2prcosip) - f(p)\P sm2X ipd<pdp\(p)

и

Wl№/)p,A= sup Q(r,f)Pi\.

0 <r<S

Для/gL2jA(]R+)

oo

ы22№/)Р)Л = 2 sup / (1 - jA(rp))|/(p)|2d/iA(p). (B.10)

Далее как и в (В.5) определяем модуль непрерывности и>2(6, /)Р;А:

Д4/(г) = (I-T')VV(r) =

/г=0

^(¿,/)р,А = sup ||At/||PjA. При p=2 он выглядит так

oo

"Itt/b.A = SUp / (1 -jAH)|/W|2^AW, (B.ll)

0 <t^SJ 0

так что

ujI(5J)2!X = 2U>22(8J)2,x. Для Л^ — J>0, R>0, l^p<oo положим

d^R, X)p= sup (t = 1,2).

Из (В.2), (В.4), (В.7), (В.9)-(В.11) вытекают равенства

v 2

Несмотря на то, что модули непрерывности uj(S,f)2 (В.З) и ^iO^/Ь (В.4) различаются, тем не менее все константы Джексона в 1/2(Мп) совпадают.

Лемма 1.1. Для пбМ, ¿>>0, Я>0 справедливы равенства В(6,Я,п)2=П1(Л,Л,п)2 = ~В2(6,Л,п)2 =

2 /2 л/2

В § 4 устанавливаются точные неравенства Джексона в пространствах Ь2(Жп) и Ь2,х(Ш+)

Теорема 1.1 [41]. Если Я>0, А^ - ¿А — первый положительный нуль функции Бесселл то для любой /еЬ2,аО&+) справедливы точные неравенства

(В.12)

так что

Я ' ' )2 л/2 V Я ' /2 у/2'

Теорема 1.2 [41]. Если Я>0, ¿га/2-1 — первый положи-

тельный нуль функции Бесселя Зп/2-1^), ттго ^лл любой ¡еЬ2{Ш1) справедливы точные неравенства

(В.14) (В.15)

так что

72 V Д ' ' У л/2

Доказательство теоремы 1.1 следует схеме Н.И. Черныха [59]. При оценке сверху для всех А^ — | построена весовая функция, совпадающая при А=1Ц^ с весовой функцией Н.И. Черныха [59] и весовой функцией В.А. Юдина [62] (п^2).

Неравенство (В. 14) и его точность доказаны И.И. Ибрагимовым и Ф.Г. Насибовым [20] (п=1), В.Ю. Поповым [45, 46] (п=1,2,3). Независимо неравенство (В.16) установлено А.Г. Бабенко [5]. Ряд, неравенств Джексона в 1/2,л(®ч-) с неточными константами установлен С.С. Платоновым [44].

Отметим, что операторы обобщенного сдвига на отрезке, пря-

и о и у

мои и полупрямой при определении модулей непрерывности в Lp систематически использует М.К. Потапов (см., например, [49, 50]). С помощью этих модулей непрерывности он доказывает прямые и обратные теоремы для приближений алгебраическими многочленами.

Обозначим через

Г т 1

т\ = min |т > 0 I di(—,R,\)2 = при R > 0

= min | г > 0 | ¿2(-^,Я,А)2 = 1приД>о} (В..17)

точку Черныха в неравенствах Джексона (В. 12), (В. 13) в L2)a(R+). При та будет согласно лемме 1.1 и точкой Черныха в нера-

венствах Джексона (В.14), (В.15), (В.16) в L2(Rn).

Теорема 1.3 [41]. Для константы т\ (В. 17) при (п=3)

справедливо равенство

Ti = 2тт.

2

Как показала Е.Е. Бердышева [10] нахождение точки Черныха связано с решением некоторой экстремальной задачи Логана для целых функций экспоненциального типа. Решив соответствующую задачу Логана, она доказала, что \_i=tc (п=1) [9]. Аналогичным образом она установила [10], что в неравенстве Джексона

__g

где Пп=[— 1,1]п — куб в Rn, модуль непрерывности

uj(5J, П*)= sup \\f(x + h)-f(x)\\2: hesun

и

точка т=тту/п является точкой Черныха.

Пусть — класс целых функций в Мп вида

/(х) = J сов xtdц(t), /(0) = 1, где /и, — действительная неотрицательная (конечная) мера Лебега,

Г(/) = 81ф|и | /(х) > о|, Т(#)=ш£{г(/) | (В.18)

Задачу вычисления величины (В. 18) называют задачей Логана. В [10] утверждается, что для точки Черныха тп/2-1 справедливо равенство

Тп/2-1=Т(^+). Тогда из теоремы 1.3 вытекает, что

Т(^+) = 2тг.

В § 5 доказывается точное неравенство Джексона в пространстве ЬР(ЕП), при п^ 1, 1^р<2.

Пусть для р' — сопряженный показатель ^ +

Теорема 1.4 [41]. Если пеМ, Я>0, £п/2-1 — первый положительный нуль функции Бесселя «1п/2-1(0> то для любой /ЕЬр(Шп), 1^р<2 справедливы точные неравенства

у

, (В.19)

так что

П ( 4^/2~1 „А п ( ^п/2-1 \ 1

и —г-—,Я,п = ь>1 —^—,Л,п

Л ' ' V Я /„ 2!/р'-

р

Неравенство (В. 19) без доказательства его точности при п—1 установлено О.Л. Виноградовым [14]. Доказательство теоремы 1.4 основано на работах [23, 24, 60, 62].

В § 6 доказывается неравенство Джексона для пространства ЬР)А(М+) при 1^р<2, -

Теорема 1.6 [41]. Если Я>0, ¿а — первый положи-

тельный нуль функции Бесселя то для любой f(zLpy\(Ж+),

1^р<2 справедливо неравенство

(В.20)

Вопрос о точности константы 2_1/р в неравенстве (В.20) открыт. При он эквивалентен возможности получения оценки снизу константы Джексона в с помощью радиальных функций.

Для доказательства неравенства (В.20) в ЬР,\(Ж+) установлен аналог оценки уклонения линейного положительного метода приближения в пространстве £Р(МП) [24], учитывающей строгую выпуклость пространства Ьр при 1<р<оо.

Пусть для /е£р;л(К+)

(X) оо

А(х, /) = I }{у) Тх К (у) флЫ = I т* }(у)К(у) йрх(у) = о о

= (/, Тж К)\ = (Тж /, К)\ — (В.21)

линейный интегральный оператор свертки (обобщенной) с ядром для которого выполнены условия

Яд (Яр, а ^ (^'/)р>л'

так что

оо

к (г) > о, к (г) > о, к( о) = ^ = 1, (в.22)

о

д{х,г) : Е+ х Е+ €

1ы1р,р,а =

д(х^)\р < оо,

Теорема 1.5 [41]. Если оператор А — вида (В.21), для ядра которого К(Ь) выполнены условия (В.22), то для любой ,

1^2, Л^ - ±

г

/ оо \ р

\\f-mw ^¿н / /),*(() <м()1 •

в

В качестве линейного положительного метода приближения используется аналог метода Бомана-Коровкина, определяемый ядром

Кп,х(х) = Я2Х+2Ях(Ях),

где

А Ш

Ях{х)

2зл+1г(л + 1) _

Вторая глава посвящена изучению некоторых экстремальных свойств дифференцируемых периодических функций, полиномов и сплайнов.

Пусть Т — [0,27т) — одномерный тор; \¥Г{Т) — класс 27т-периодических функций /(ж), у которых (г—1)-я производная абсолютно непрерывная, а

||/(г)||оо= вируга^Ог)! О;

^2п,г — множество 27г-периодических сплайнов порядка г дефекта 1 по равномерному разбиению ¿¿ = — (г=0,1,..., 2гг); ^п.гС^п.г — идеальный сплайн Эйлера, являющийся г-м периодическим интегралом с нулевым средним значением на периоде ^ от функции

(P2n,o(x)= sgnsinnx; Tn — множество 27г-периодических тригонометрических полиномов порядка п; отрезок Д=[а,/3]сИ., |Д| = ß—a — его длина,

Ад (ж, /) = mes { у е Д | \f(y)\ > х } — функция распределения, а

rA(z,/) = inf{rG[0,|A|] | Ад(т,/К*} -

невозрастающая перестановка |/| на отрезке Д.

Мощным средством для изучения экстремальных свойств функций являются теоремы сравнения для перестановок функций. Теоремы сравнения позволяют единообразно для различных классов функций доказывать как известные неравенства, установленные ранее разными методами, так и новые. Для функций из Wr{T) с условием

||/||оо < |Ь„,г||оо (В.23)

в 1939 году А.Н. Колмогоров [26] доказал точное неравенство для производных

ll/'lloo ^ ll^njoo. (В.24)

Его значительным усилением стало, доказанное в 1971 году Н.П. Корнейчуком [29], неравенство, сравнивающее перестановки производных,

X X

Iгт(т, л dr^ IrT(r, ^n>p) dr, Vx е Т. (В.25)

о о

Из результата М. Томича [56] вытекает, что (В.25) эквивалентно справедливости неравенства

I *(\f'(x)\)dx^ J )dx (В.26)

т т

для любой непрерывной неубывающей выпуклой вниз на М+ функции Ф{х).

Для сплайнов из S2n,r с условием (В.23) неравенство (В.24) установил В.М. Тихомиров [55], а (В.25) — A.A. Лигун [35].

У

В 1965 году JI.B. Тайков [54] для любого тригонометрического полинома tneTn с условием

IMoo*U (В.27)

и любой непрерывной неубывающей выпуклой вниз на R+ функции Ф доказал неравенство

J J Ф(|(cosпхУj) dx,

т т

что эквивалентно теореме сравнения для перестановок

X X

J rT(T,t'n) dr ^ J Гт(т, (cos nx)f)dT, \/x e T. о 0

В.И. Иванов [22] доказал аналог неравенства (В.25) для перестановок не на всем периоде, а на любом отрезке длины -. Он же поставил вопрос о справедливости (В.25) для перестановок на произвольном отрезке.

Много неравенств для перестановок функций приведено в монографии [32].

В § 1 доказываются теоремы сравнения для перестановок пр�