Прямые теоремы теории приближения в L2 и родственные экстремальные задачи для положительно определенных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ЗГ

БАВЕНКО АЛЕКСАНДР ГРИГОРЬЕВИЧ

ПРЯМЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ В Ь*

И РОДСТВЕННЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург - 2005

Работа выполнена в Институте математики и механики УрО РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Бабенко Владислав Федорович,

Ведущая организация: Математический институт им. В.А.Стеклова РАН.

Защита состоится 14 апреля 2005 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН

доктор физико-математических наук профессор Иванов Валерий Иванович, доктор физико-математических наук

профессор Юдин Владимир Александрович.

Автореферат разослан

марта 2005 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.02 кандидат физико-математических наук

Антонов Н.Ю.

шюю

Общая характеристика работы

В диссертационной работе изучаются два взаимосвязанных круга экстремальных задач: вычисление и исследование точных констант в прямых теоремах теории приближения функций в пространстве I? и задача Дельсарта для положительно определенных функций, связанная со сферическими кодами.

Актуальность темы. Одной из экстремальных задач теории приближений является задача о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина в пространствах функций, заданных на множествах, обладающих алгебраической структурой, определенным образом согласованной с метрикой на этих множествах. Неравенством Джексона-Стечкина принято называть неравенство, в котором величина наилучшего приближения функции конечномерным подпространством в той или иной метрике оценивается сверху через ее модуль непрерывности положительного порядка; в случае первого модуля непрерывности такое неравенство называется неравенством Джексона. Впервые указанное неравенство для наилучших приближений непрерывных периодических функций пространством тригонометрических полиномов в равномерной метрике изучал Д.Джексон в 1911 году.

Несмотря на то, что величина наилучшего приближения произвольной функции в пространстве 12 конечномерным подпространством и ближайший элемент подпространства находятся достаточно просто, задача оценки этой величины через модуль непрерывности функции с наименьшей возможной (независящей от функции) константой оказалась нетривиальной.

Задачи о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина для наилучших приближений функций полиномами в /^-пространствах сводятся к экстремальным задачам для непрерывных функций с ограничениями на их значения и коэффициенты Фурье. Такого рода задачи возникают в различных разделах математики, например, в теории кодирования при исследовании границ упаковок некоторых метрических пространств по схеме Дельсарта (см. [12], [17, гл. 9, 13, 14] и с. 22—23 ниже), в оценках снизу мощности дизайнов (см. [39]), а также в теории чисел (см. [2,29]).

•¡1!...!! !", ЛЯ ~Ь;:Ь ••• '•.• А

иик^ч__

Первый точный результат в прямых теоремах теории приближения в пространстве С(Т) установил Н.П.Корнейчук [19]. Его методы развили и дополнили многие математики и, в частности, его ученики В.Ф.Бабенко, А.А.Лигун.

Имеется ряд результатов, относящихся к поведению точной константы в неравенстве между величиной приближения непрерывной функции заданным линейным методом и модулем непрерывности функции. В случае приближения некоторыми классическими линейными методами было найдено наименьшее значение аргумента модуля непрерывности, при котором соответствующая точная константа (как функция указанного аргумента) выходит на свой глобальный минимум. Это наименьшее значение аргумента модуля непрерывности называется оптимальной точкой соответствующего неравенства. В частности, для приближения методом Фавара оптимальную точку нашли С.Б.Стечкин [30] (оценка сверху) и В.Т.Гаврилюк (оценка снизу, см. [31]).

Н.И.Черных [33] в одномерном случае разработал методику получения точных неравенств Джексона-Стечкина в пространстве Ь2(Т) для наилучших приближений функций тригонометрическими полиномами; в частности, он [42] нашел оптимальную точку неравенства Джексона. В.А.Юдин [35] получил в этой тематике первые принципиальные результаты в многомерном случае.

Н.И.Черных [34] предложил метод получения точных ¿"-неравенств Джексона при 1 < р < 2 из аналогичных £2-неравенств, основанный на глубоких результатах В.И.Бердышева [5] и С.В.Конягина [18]. Подобный метод использовал О.Л.Виноградов [9]. Иной метод исследования точных /^-неравенств Джексона при 1 < р < 2 был предложен в работах В.И.Иванова [13], А.В.Московского [22] и Д.В.Горбачева [10].

Взаимосвязь задач теории приближения с задачами теории кодирования по существу содержится в работах А.Н.Колмогорова, В.М.Тихомирова [15, 32] и Г.Г.Лоренца [48]. Задача об оценке сверху мощности е-кода (е-различимого множества) из компактного метрического пространства X оказалась связанной (см. [37]) с задачей нахождения минимальной (относительно приближающих подпространств заданной размерности) константы в неравенстве Джексона в пространстве С(Х) функций, непрерывных на X. В этой тематике остается

открытым вопрос о точном значении минимальной (в указанном выше смысле) константы Джексона пространства С{Х) для следующих важных случаев: X = Т", X = §т, т € N. В 1967 г. была найдена минимальная константа Джексона пространства Ь2(Т), а позднее — и пространства Ь?(Т) при 1 < р < 2 : Н.И.Черных [33,34] получил оценки сверху, а В.И.Бердышев — оценки снизу [б, теорема 5', с. 60} (см. также [7]). Принципиальные результаты в этой тематике принадлежат Н.П.Корнейчуку [20, §8.3]. А.А.Лигун (см. [47, оценки (4), (5)]) локализовал оптимальную точку минимальной константы в неравенстве Джексона в пространстве С(Т), г € N. г раз непрерывно дифференцируемых функций с применением модуля непрерывности г-й производной функции.

Методы, разработанные для исследования точных ¿^-неравенств Джексона, успешно применил В.А.Юдин в [36-38] при изучении аналитических задач теории кодирования. Этот подход был развит В.И.Ивановым, О.И.Смирновым и Д.В.Горбачевым.

Для исследования задач оптимального расположения конечного множества точек на сфере В"1-1 используются экстремальные свойства положительно определенных непрерывных функций. В теории кодирования идея использования свойства положительной определенности и постановка соответствующей экстремальной задачи с целью получения оценки сверху мощности кода (без ограничений на структуру кода) в конкретном метрическом пространстве принадлежит Ф.Дельсарту [12, 44]. Г.А.Кабатянский, В.И.Левенштейн, Э.Одлыжко, Н.Слоэн, В.М.Сидельников развили метод Ф.Дельсарта и успешно применили его к оценкам сверху максимальной мощности тт(з) сферического 5-кода (см. формулу (11) на с. 23 ниже). Для значения тт(з) экстремальной задачи Дельсарта (12) известна универсальная верхняя оценка Левенштейна, полученная на основе теории ортогональных многочленов. Величины и»т(я), гт(з) связаны между собой неравенством (13). В некоторых случаях указанная оценка Левенштейна совпала с известными оценками снизу для тт(з). Э.Одлыжко и Н.Слоэн применяли компьютерный вариант поиска допустимых полиномов в задаче Дельсарта, и на этом пути им удалось улучшить оценку Левенштейна в некоторых случаях. Эту методику успешно развивал также П.Бойваленков.

5

РОС. НМ1ИОН* »ЬНАЯ

БИБГ<!иТ1чА

Ж РК

Исторические сведения и богатый обзор результатов по данной тематике можно найти в монографии [17].

В.А.Юдин [38] разработал аналог схемы Дельсарта для достаточно общей задачи минимизации функции фиксированного числа точек на единичной сфере §т-1 евклидова пространства Кт. Исследования в этом направлении были продолжены в [1,16].

Д.В.Штром [51] нашел значение -шт — %ит{1/2) задачи Дельсарта (связанное с контактным числом тт = тт(1/2) пространства Кт неравенством тт < ют) для большого числа значений размерности ш < 146. При этом он использовал методику, разработанную в совместной работе В.В.Арестова и автора [Н] (см. §5.1). С помощью этой же методики в [41] была решена задача Дельсарта, связанная со сферическим 1/3-кодом в К"1 для т = 4, 5,6.

В работе [Н] была найдена величина из4 = 25.558429097____Из этого

результата следует, что с помощью классической схемы Дельсарта невозможно решить вопрос о том, каково же на самом деле значение числа т4 : 24 или 25? Таким образом, для решения этой проблемы нужно либо улучшить оценку снизу Т4, либо получить принципиально новую оценку сверху. Именно на втором пути в 2003 году О.Р.Мусин [23,49] установил, что 74 = 24.

Цель работы:

— изучение точных констант в прямых теоремах теории приближения в

¿^-пространствах функций одного и нескольких переменных в терминах модуля непрерывности положительного порядка; разработка единого подхода к решению этого круга задач; изучение свойств точных констант как функций аргумента модуля непрерывности; исследование неравенств типа Джексона-Стечкина в пространстве 1?(Т) на торе с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэффициентами и, в частности, с тригонометрическим модулем непрерывности;

— исследование возможностей классической схемы Дельсарта в зада-

че о максимизации минимального попарного углового расстояния сферического кода с фиксированным числом элементов; нахожде-

ние новых взаимосвязей задач о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина в с экстремальными задачами теории функций, возникающими в теории кодирования.

Методика исследований. Исследование неравенства Джексона для наилучших среднеквадратических приближений функций полино-I мами и целыми функциями сводится к экстремальной задаче для поло-

жительно определенных функций. Подобной же задачей является задача Дельсарта, возникшая в геометрических задачах о сферических кодах, > в частности, о контактных числах евклидовых пространств. Ключевыми

методами исследования указанных задач являются методы выпуклого анализа, в том числе, двойственность как в обычном, так и в обобщенном смыслах. Одновременное изучение пары двойственных задач является удобным и результативным методом исследования. Анализ условий экстремальности пары допустимых элементов двойственных задач приводит (как правило) к нелинейным уравнениям. Важная роль при этом отводится предварительным численным экспериментам, которые помогают выяснить ключевые свойства экстремальных элементов и значительно ускорить процесс выработки правильной гипотезы. В диссертационной работе применяются также методы из различных разделов математики: теории функций, теории аппроксимации, теории ортогональных многочленов, гармонического и функционального анализа, бесконечномерного линейного программирования. Новизна методов нахождения точных констант в ^-неравенствах Джексона-Стечкина состоит в способах построения экстремальных весов (решений двойственных задач), основанных на формулах умножения классических ортогональных многочленов, на самосопряженности операторов обобщенного сдвига, а также на использовании свойств решений дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют указанные многочлены. Метод, применяемый для решения задачи Дельсарта, состоит в построении квадратурных формул, использующих не только значения функций, но и их коэффициенты Фурье-Гегенбауэра, а также применение элементарных симметрических многочленов, что существенно упрощает возникающую систему нелинейных уравнений.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

— получены новые точные неравенства Джексона-Стечкина с моду-

лем непрерывности порядка > 1 в /^-пространствах на отрезке и на полуоси с классическими весами для наилучших приближений функций полиномами и целыми функциями; в этих неравенствах изучены свойства точных констант как функций аргумента модуля непрерывности, а именно, доказана их непрерывность, локализованы их оптимальные точки;

аналогичные результаты установлены для неравенств Джексона-Стечкина в Ь2-пространствах функций нескольких переменных на следующих многообразиях: сфера §от-1, проективные пространства Г"-1 (К), Г"-1 (С) и евклидовы пространства Кт;

— в К4 исследованы возможности применения классической схемы Дельсарта в задаче о максимизации минимального попарного углового расстояния сферического кода с конкретным числом элементов; кроме того, установлена явная взаимосвязь задачи о точной константе в неравенстве Джексона-Стечкина в Ь2 с задачей Дельсарта специального вида.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработан единый подход к решению задач о точных константах в прямых теоремах теории приближения в /^-пространствах функций одного и нескольких переменных в терминах модуля непрерывности порядка > 1. Развита методика решения обратной задачи Дельсарта для сферических кодов, основанная на применении специальных квадратурных формул, использующих не только значения функций, но и коэффициенты Фурье-Гегенбауэра этих функций.

Полученные результаты могут быть использованы для поиска новых точных констант в прямых теоремах теории приближения в других пространствах функций, в частности, в /¿"-пространствах; для дальнейшего исследования неравенств Джексона-Стечкина с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэф-

фициентами, в частности, с модулями непрерывности, аннулирующими ядра дифференциальных операторов; а также для решения экстремальных задач на классах положительно определенных функций, возникающих в комбинаторной геометрии и теории чисел.

Публикации. Основные результаты опубликованы в центральной печати [А,В,В,С], а также в трудах и материалах международных кон) ференций [С,Е, Е]. Из совместной работы [А] в диссертацию включены только результаты автора, за исключением леммы 1.3 (в диссертации 1 это лемма 5.2.3), принадлежащей В.В.Арестову. Ему также принадлежит лемма 1.1.1, которая изложена в пункте 1.1.1 главы 1. Результаты §5.1 получены совместно В.В.Арестовым и автором [Н]; они включены в диссертацию для полноты изложения и не выносятся на защиту.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

Международная конференция сТеория приближения функций и операторов;^ посвященная 80-летию С.Б.Стечкина (2000); Саратовские зимние математические школы по теории функций (1994, 1998, 2000, 2002);

Воронежские зимние математические школы (2001, 2003); Всероссийская научная конференция <Алгоритмический и численный анализ некорректных задач>, Екатеринбург (1995); Всероссийская научная конференция <Алгоритмический анализ некорректных задач>, Екатеринбург (1998);

Всероссийские научные конференции Алгоритмический анализ неустойчивых задач>, Екатеринбург (2001, 2004); Международный семинар <Аппроксимация и сложность> в Международном математическом центре им. С.Банаха, Варшава, Польша (1995); Международная конференция и Чебышевские чтения, посвященные 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева, Москва (1996); Пятая объедененная конференция университетов Сарагосы и По < Прикладная математика и статистика>, Хака, Испания (1997); Международная конференция <Теория приближений и гармонический анализ>, Тула (1998);

Международная конференция <Геометрические аспекты анализа Фурье

и функционального анализа>, Киль, Германия (1998); Всероссийская научная конференция <Математическое программирование и приложения>, Екатеринбург (1999);

Международная конференция сСовременное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии">, Алматы (2000);

Международная конференция <Функциональные методы в теории приближений, теории операторов, стахостическом анализе и статистике>, Киев (2001); на научных семинарах:

под руководством профессора А.Гессаба в Университете По, Франция (1997);

под руководством член-корреспондента НАН РК А.А.Женсыкбаева в Институте математики МОиН РК, Алматы (2000); под руководством профессора С.А.Теляковского в МИРАНе (2001); на Межвузовском семинаре по теории функций при Днепропетровском национальном университете (руководители член-корреспондент НАН Украины В.П.Моторный и профессор В.Ф.Бабенко) (2003); под руководством профессора Ван Куньяна в Пекинском нормальном университете (2004); а также —

на Международных летних научных школах С.Б.Стечкина по теории функций (начиная с 1993 года).

Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [С,Е,Е,1, .1,К,Ь,М,<3,11,и,У,

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений тройная и однозначно указывает ссылку, сообщая главу, параграф и номер формулы. Общий объем работы — 268 страниц. Библиография содержит 262 наименований.

Основное содержание работы. Введение содержит краткую историю вопроса, формулировки и описание основных утверждений диссертации. В первой главе приведены вспомогательные утверждения. Гла-

вы 2, 3, 4 посвящены изучению наименьших констант в неравенствах Джексона-Стечкина в L"2-пространствах функций одного и нескольких переменных. В пятой главе исследуется задача Дельсарта. Перейдем к более подробному изложению результатов диссертационной работы.

В первой главе изучаются две задачи бесконечномерного линейного программирования. К первой из них сводятся задачи о константах Джексона-Стечкина £2-пространств функций, заданных на компактных многообразиях (отрезок, тор, сфера, некоторые проективные пространства). Вторая задача линейного программирования представляет собой частный случай задачи Дельсарта общего вида, рассмотренной в пункте 5.1.3 пятой главы.

Первая (вспомогательная) задача линейного программирования заключается в поиске точной верхней грани определенного ниже линейного функционала © на выпуклом, замкнутом и ограниченном (в метрике пространства i суммируемых числовых последовательностей) множестве G из конуса £+ неотрицательных числовых последовательностей из I, также определенном ниже.

Рассмотрим линейный функционал <3 : I»-+ R, действующий на произвольную числовую последовательность р = {pjt}^ из I по правилу

А>1

Пусть система Ф = {vit}¿Li непрерывных на отрезке [0,6], Ь > 0, функций обладает следующими свойствами:

(Al) Ф равномерно ограничена на [0,6] и тах y?k(í) = <Рк(0) = 1 при всех к 6 N;

(Л2) для каждой функции ^ е Ф существует такое положительное число ¿k, что <fik(t) < 1 при t 6 (0,¿k);

(A3) для любого £ € (0,6] выполняется равенство lim ||у*||с[£,ь] = 0.

к—»00

Обозначим через G = G{8), 0 < 5 < b, множество неотрицательных последовательностей р = {р*}^ € 1+, которые удовлетворяют линей-

ным неравенствам ^ Рк {1 - VfcW) < 1. i Е [0,£]. Таким образом, *>i

Это множество является непустым, выпуклым, замкнутым и ограниченным (в метрике пространства t). Очевидно, что нулевой элемент О = {0,0,0,...} пространства I принадлежит множеству G. Задача вычисления величины

К(6,Ф)= sup S(p)= sup (1)

p€G(S) peG(6)

является задачей линейного программирования с параметром 8, задающим "количество" ограничений.

Важную роль для изучения свойств этой задачи играет лемма 1.1.1, принадлежащая В.В. Арестову; впервые эта лемма была сформулирована в двойственной форме и доказана в [3, теорема 1]. Лемма В.В.Арестова применяется в первой главе для доказательства непрерывной зависимости первой задачи линейного программирования от ее параметра, а также в главах 2, 3, 4 — для получения оценок снизу констант Джексона-Стечкина различных

L2 -пространств по существу содержащихся в следующем утверждении, вытекающим из указанной леммы.

Следствие 1.1.3. Пусть система Ф = {vjJkli функций, непрерывных на отрезке [0,6], Ь > 0, обладает свойствами {AI), (А2), (A3). Тогда справедлива следующая оценка снизу:

К(6, Ф) > 1 для любого 5 € (0,6].

Одним из основных утверждений главы 1 является Теорема 1.1.1. Пусть система Ф функций tpk, k £ N, непрерывных на [0,6], 6 > 0, удовлетворяет свойствам (AI), (А2), (A3). Тогда величина К(8, Ф) является непрерывной функцией параметра

бе (0,6].

Очевидно, что К{5, Ф) —>■ +оо при i ч +0 и К(5, Ф) не возрастает по 8. Отсюда вытекает, что найдется такое число ¿о £ (0,6],

12

что при любом 6 € (0, 8q) будет выполняться строгое неравенство К(5, Ф) > 1. Точную верхнюю грань таких чисел ¿о обозначим через 5о(Ф)- Заметим, что если К(Ь,Ф) = 1, то ¿о(Ф) совпадет и с inf{<$ € (О, Ь]: К(6, Ф) = 1}, причем, в силу непрерывности К(5, Ф) по S, будет выполняться равенство А"(<$о(Ф), Ф) = 1-

При любом 5 € (О, <50(Ф)) непусто следующее множество:

Gx = Gi(5) = [р е G : 6(р) > l} .

Гиперплоскость Гх, определяемая равенством &(р) = 1, "разрезает" множество G на две непустые части G\ и G \ G\. Ясно, что

К (8, Ф) = sup&(р) = sup ||р||, = sup 60о) = sup \\р\\е. (2) peG peG pidi peGt

В §1.2 (предложение 1.2.1) показано, что множество G\ с помощью оператора X типа инверсии, переводящего последовательность р = {р*}^ £ <?i в последовательность

отображается взаимно однозначно на следующее множество:

G = G{5) = € t : 1 - £>„¥>„(*) < 0, f € [0, ¿] J .

(3)

Задача (2) поиска самого удаленного от 0 элемента р из С (или, что то же самое — из преобразуется в задачу приближения О выпуклым множеством С = <?(£) :

и(<5,Ф) = ш£ 6(х)= т£ ||;ф, 0 < 5 < 50(Ф). (4)

хеи(в) хб(7(л)

При этом справедливо равенство

К(6'Ф)^ ПРИ

которое содержится в теореме 1.2.1 — основном утверждении § 1.2 гл. 1.

13

Задача (4) также является задачей линейного программирования и совпадает с задачей Дельсарта (порожденной системой —ф = {—с отрезком неположительности [0, Определение задачи Дельсарта общего вида приведено ниже на с. 22.

В равенстве (5) заключена связь задачи о константе Джексона-Стечкина пространства Ь2 с задачей Дельсарта. Отсюда и теоремы 5.1.1 из § 5.1 следует, что в задаче (4) и в двойственной задаче существуют решения, в частности, существует элемент х € С, на котором достигается нижняя грань в (4). Поэтому при каждом 0 < 5 < <5о(Ф) существует решение в задаче (1). И как следствие (см., например, следствие 2.1.6 и ! замечание 2.1.5 в пункте 2.1.4 второй главы), получаем существование экстремальной функции в неравенстве Джексона-Стечкина в ¿2 в случае, когда аргумент модуля непрерывности строго меньше оптимальной точки. Факт существования экстремальной функции в точном неравенстве Джексона-Стечкина в Ь2 = Ь2(Т) с классическим модулем непрерывности (первого или старшего порядка) в аналогичной ситуации был также недавно установлен В.С.Балаганским другим способом.

Во второй главе в различных I2 -пространствах функций одного вещественного переменного рассматриваются задачи о точных неравенствах Джексона-Стечкина с соответствующими модулями непрерывности. В § 2.1 рассматривается указанное неравенство в пространстве Ь2 на отрезке с весом Якоби; §2.2 и §2.3 посвящены неравенствам Джексона-Стечкина в пространствах Ь2 на полупрямой с весом Лагерра и со степенным весом соответственно.

Опишем кратко содержание главы 2. Обозначим через Ь2 = а > — 1, ¡3 > —1, пространство комплекснозначных измеримых четных 2тг-периодических функций со скалярным произведением

= «Л>(*)= (3т|)2а+1(со8|)^+1,

и нормой ||/|| = (/,/)1/2 < оо. Наилучшим приближением функции / € Ь2 пространством С„ косинус-полиномов степени (не выше) тг называется величина Е„{/) = тт{||/ - : д £ С„}.

Оператором (обобщенного) сдвига с шагом £ € К называется линейный оператор Т( = Т?^ : Ь2 н* Ь2, который действует на функцию

л (f ф )

/ 6 L2 с рядом Фурье-Якоби /(ж) = У]/Ж(х), U = /V , ч

00

по закону1 Ttf(x) = /уФу^)Фу(х). Здесь ф„ = ф"^ — косинус-i/=0

полиномы Якоби степени j/, ортогональные на отрезке [0, я-] с весом иЛ^, и нормированные условием ^(0) = 1, v G Z+.

При выполнении условий а > /3 > — 1, а > —1/2 норма оператора Tf: L2 н-v L2 равна единице. Поэтому в этом случае применима схема Грюнвальда-Летникова [21,46] построения соответствующего разностного оператора2 (вещественного) порядка г > 0 с шагом t € R

а?=(/ - т,)"/2=£(-i)fc(rf

где е — биномиальные коэффициенты, if = I - тож-

дественный оператор, TJ* — fc-я итерация оператора Tt.

Модулем непрерывности порядка г > 0 функции / 6 L2 называется функция wr(/,r) = sup{||A£/|| : |t| < т} переменного т > 0.

Зафиксируем числа n G N, г > 0, г > 0, а также числа а, ¡3, удовлетворяющие ограничениям а > /3 > — 1, а > —1/2. Рассмотрим задачу о точной константе /С = К.п>г{т)в неравенстве

£„-!(/)<£",•(/, г), /eL^.

Величина

/ ^ const} (6)

называется константой Джексона-Стечкина пространства L2 ^.

'В частности, при а = Р = -1/2 имеем s 1, = cosfcc и

Т-иг.-ЧгПх) = 1{/(х + () + /(х _ <)}

2В случае г = 2, а = Р = —1/2 оператор Д? совпадает, с точностью до постоянного множителя, с классическим оператором второй разности:

Д?/(х) = (I-ТГ1/2'~1/2)/(х) = i{/(x +1) - 2/(z) + /(* - t)}.

Задача (6) имеет богатую историю; информация о качественной картине в этой области (вопросы ограниченности констант) содержится в работах М.К.Потапова [27] и Х.П.Рустамова [28].

Сформулируем основное утверждение §2.1 гл. 2, в котором через обозначен первый положительный нуль косинус-полинома Якоби

Теорема 2.1.1. Пусть а > ß > -1/2 или а = ß > -1/2. Тогда выполняются следующие утверждения:

(A) для произвольной функции f из L^ß справедливы неравенства

En.x{f)<l-ur{f,2xaJ), г > 1, (7)

En-i(f) < 2(1"r)/V(/, 2ха/)у 0 < г < 1,

в которых

п> 1 при а > ß = —1/2 или а = ß > -1/2, п > max <^2,1 + —а>0>-1/2;

(B) для каждого натурального числа п £ N и любых положительных чисел т > 0, г > 0 существует последовательность функций

{gk}^~i С Lia такая, что lim > i.

Замечание 2.1.2. Как следует из утверждения (В), неравенство (7) является точным. Более того, из этой теоремы и одного результата Н.А.Ба-рабошкиной [43, Lemma] (см. также лемму 4.2.1 в четвертой главе) следует, что константу 1 перед модулем непрерывности в правой части неравенства (7) нельзя уменьшить даже, если величину наилучшего приближения функции пространством С„_i заменить на величину наилучшего приближения любым другим подпространством из L2a ß такой же или меньшей размерности.

Утверждения, аналогичные замечанию 2.1.2 о минимальности (относительно приближающих подпространств размерности не выше заданной) константы Джексона-Стечкина, остаются справедливы и в многомерном случае, в частности, соответствующее замечание можно сделать (при г > 1) к теореме 3.1.1, сформулированной ниже на с. 19.

В качестве следствия результатов, установленных в гл. 1, 2, получено

Следствие 2.1.5. Пусть п € N, а > /3 > -1, а > -1/2, г > 0. Тогда величина К,($) = рассматриваемая как функция параметра S, непрерывна во всех точках 6 > 0, кроме, возможно, случаев:

а = (3 > -1/2, n = 1, 6 = 7г, г > 1; a = j3> -1/2, n € N, 8 = ж, 0 < г < 1.

Непрерывность константы Джексона-Стечкина пространства £2(К) в случае приближения целыми функциями была доказана в совместной работе В.В.Арестова и автора [40]. В.С.Балаганский доказал непрерывность константы Джексона-Стечкина пространства L2(T) в случае приближения тригонометрическими полиномами. Отметим, что все указанные результаты о непрерывности констант Джексона-Стечкина пространств L2(R), L2 ^, L2(Т) получены различными способами.

В §2.2 главы 2 рассматривается задача о точной константе в нераг венстве Джексона Стечкина для наилучших приближений функций алгебраическими полиномами в метрике пространства L2 на полупрямой R+ = [0,+оо) с весом Jlareppa tee-i, а > —1/2. Модуль непрерывности строится на основе разложения функции в ряд Фурье-Лагерра, причем для достаточно малых значений аргумента этот модуль непрерывности совпадает с модулем непрерывности, построенным с помощью обощен-ного сдвига Харди-Ватсона. В указанном параграфе получен результат (теорема 2.2.1), аналогичный теореме 2.1.1, сформулированной выше.

В § 2.3 изучается вопрос о точном неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве L2 = L2 на полупрямой К+ со степенным весом х2"+1 при v > —1/2. Пусть E„(f)v — величина наилучшего приближения функции / 6 L2 классом Wa<v функций g £ L2, у которых преобразование Ганкеля сосредоточено на отрезке [0, сг]; и>г (/, 8)v — r-й модуль непрерывности функции /, построенный на основе оператора обобщенного сдвига Tlv с шагом t G R+, действующего на

функции / € по правилу: Tt.l[2f{x) = + t) + f{\x - i|)},

7Г

Tt,„f{x) — J f ^y/t2 + x2 - 2xt cossin2" (pd<p при v > о

где а(и) = f sin2" yxbp. В указанном параграфе рассматривается нера-о

венство

£,(/)»<£<*(/.£),, fell,

и доказывается теорема 2.3.1, близкая по содержанию к теореме 2.1.1, сформулированной выше.

В третьей главе исследуются задачи о точных неравенствах Джексона-Стечкина в пространствах L2 функций на многомерной сфере, некоторых проективных и евклидовых пространствах. В первом случае функции / € L2(Sm_1) приближаются сферическими гармониками степени не выше п — 1, соответствующая величина наилучшего приближения обозначается через En-i(f). Модуль непрерывности шг(/,т) положительного порядка г строится на основе оператора обобщенного сдвига Ми действие которого Mtf(x) на функцию / представляет собой усреднение этой функции по границе сферической "шапки" углового радиуса t с полюсом в точке х. Аналогично строятся модули непрерывности порядка г > 0 и в других случаях, для них используется такое же обозначение шг(/,т).

Так в случае пространства L2 на многомерном евклидовом пространстве Rm модуль непрерывности и>г(/,т) основан на операторе обобщенного сдвига st, действие которого stf(х) на функцию / представляет собой усреднение этой функции по сфере радиуса t с центром в точке х. В качестве приближающего множества в этом случае берется класс Wa целых функций экспоненциального сферического типа а > 0, принадлежащих пространству L2. Класс Wa состоит из функций д G L2, носитель supp д преобразования Фурье д которых лежит в евклидовом шаре В™ С Rm радиуса а > 0 с центром в начале координат пространства Rm. Соответствующая величина наилучшего приближения функции / € L2(Rm) классом W„ обозначается символом Ea(f).

Наряду с упомянутыми ранее результатами в этой тематике Н.И.Черных и В.А.Юдина, следует отметить результаты В.Ю.Попова [24-26], который нашел константы Джексона-Стечкина пространств L2(M), М = Rm,Tm,Sm, m> 2, для достаточно малых значений аргумента модуля непрерывности. Отметим также работы Е.Е.Бердышевой [8] и Д.В.Горбачева [11], в которых приведена взаимо-

связь точного неравенства Джексона в Ь2{Шт) с другими экстремальными задачами на некоторых классах целых функций и получены тонкие результаты, касающиеся оптимальных точек неравенства Джексона в различных ситуациях.

Во всех указанных случаях многообразия, на которых строятся пространства Ь2, обладают алгебраической структурой, определенным образом согласованной с метрикой на этих многообразиях, а приближающие подпространства и модули непрерывности обладают соответствующими инвариантностями. Эти свойства обеспечивают наличие среди экстремальных функций в неравенствах Джексона-Стечкина зональных (радиальных) функций, что позволяет свести изучение многомерных неравенств Джексона-Стечкина к одномерным весовым неравенствам. На этом пути в диссертационной работе найдены точные константы в неравенствах Джексона-Стечкина указанных /^-пространств.

Приведем один из основных результатов главы 3.

Теорема 3.1.1. Пусть г > 0, т,п — натуральные числа, причем т > 3. Тогда выполняются утверждения

(А) для каждой функции / е £2(§т-1) справедливо неравенство

(В) для произвольного фиксированного числа т > О существует последовательность функ"-Л 1 г/2(8т_1) такая, что имеет

В силу утверждения (В), неравенство (8) при г > 1 является точным. Напомним, что через обозначен первый положительный нуль косинус-полинома ф",а.

В четвертой главе мы вновь возвращаемся к исследованию точных констант в прямых теоремах теории приближения в конкретном V2 -пространстве функций одного переменного, при этом акцент делается не на "вариацию" области определения функций и соответствующего приближающего подпространства, а на " вариацию" модуля непрерывности.

Я„_г(/) < тах{1,2х%а), <* = (8)

место неравенство

к-юо шг{дк, г)

Пусть L2 = L2(T) есть пространство 27г-периодических комплекс-

нозначных функций / : ИиС одного переменного с обычной нормой / * \ 1/2 ¡1/11 = ( йг / I f{x)?dx I . В § 4.1 изучается вопрос о точной константе

К. = /Сг„_ьшг(<5) в неравенстве типа Джексона-Стечкина

E„-i(f)<JCujm(f,Q), / € L2. (9)

Здесь En-i(f) = E(f,Tn-i) = inf ||/ — <?|| — величина наилучшего среднеквадратичного приближения функции / € L2 пространством Т„_х тригонометрических полиномов степени (не выше) п — 1с комплексными коэффициентами; um(f,Q) = sup{||Д®/|| : t € Q} — модуль непрерывности функции /, построенный на основе компактного множества QC® и конечно-разностногооператора

m

Д?7(*) = £>,,(*№+ *), m> 1, i/=0

коэффициенты которого ßv{t) непрерывно зависят от его шага t и удовлетворяют условию

w(0) + /ii(0) + ... + /im(0) = 0. (10)

символом Ш обозначен весь набор Ш = указанных коэффи-

циентов ßv.

Среди таких модулей непрерывности содержится так называемый тригонометрический модуль непрерывности, который аннулирует тригонометрические полиномы заданной степени. Неравенство Джексона-Стечкина с тригонометрическим модулем непрерывности в пространстве С(Т) исследовалось В.Т.Шевалдиным [50].

В §4.1 (теорема 4.1.1) получена оценка снизу для точной константы К = K.Tn_i<m(Q) в неравенстве (9). В ряде случаев эта оценка неулучша-ема. В случае тригонометрического модуля непрерывности полученная оценка снизу улучшает соответствующую оценку, установленную в [4].

В §4.2 в случае приближения произвольным конечномерным подпространством найдена оценка снизу для соответствующей константы

Джексона-Стечкина пространства Ь2. Для точной формулировки этого результата потребуются следующие обозначения и определения.

Пусть Е(/,У1) = т£{||/ — р|| : д € 91} — величина наилучшего приближения функции / е Ь2 подпространством С Ь2. Зафиксируем набор 9Л = {/¿1/}™=0 (171 ^ 1) функций ци : К —► С, непрерывных на К и удовлетворяющих условию (10).

Нас интересует точная константа К. — £<л,9я(Ф) в неравенстве

С величиной !С<п<т{Я) связана следующая задача: для заданного числа I € N найти величину

здесь точная нижняя грань берется по всем подпространствам С Ь2, комплексная размерность с1ш1с9Т которых не превосходит I.

Функция л(г,яя) = М*)12 + М*)|2 + . . . + \цт(¿)|2 используется в следующем утверждении, которое является одним из основных в главе 4.

Теорема 4.2.1. Пусть набор Ш = {/¿„}^=0 (т > 1) удовлетворяет условиям, указанным выше. Тогда для произвольного конечномерного подпространства 91 С Ь2 и любого замкнутого множества С} С (—2п/т, 2п/т) выполняются неравенства

В пункте 4.2.6 рассматривается задача об оптимальной точке минимальной (относительно приближающих подпространств размерности не выше заданной) константы Джексона пространства Т), 1 < р < 2, на периоде (индекс 3? означает, что рассматривается пространство веще-ственнозначных функций), а также аналогичная задача про оптимальную точку минимальной константы Джексона-Стечкина пространства £|(Т). Получены (см. теорему 4.2.2) эффективные двусторонние оценки указанных оптимальных точек, совпадающие между собой по порядку.

В пятой главе изучается задача Дельсарта, как общего вида, так и специального - связанного со сферическими кодами. §5.1 содержит результаты, полученные автором и В.В.Арестовым совместно.

Еи,%<КШт{1,Я), /<=Ь2.

= Ш { Кч&АЯ) : 91 С Ь\ дипс Я<1}1

Пусть % = {Як}^! — равномерно ограниченная система веще-ственнозначных функций, непрерывных на конечном отрезке С? = [а, 6]; ¿7 — множество неотрицательных суммируемых числовых последовательностей х = из £+, для которых функция оо

/(£) = 1 + ^ ХкЯк^) неположительна на (3 • Рассматривается задача о к=1

оо

минимизации функционала 6(х) = ^ х* на множестве последователь-

к= 1

ностей х = {х*}^ 6 С в предположении что С непусто. Эта задача называется задачей Дельсарта (порожденной системой % = {Дк}^) с отрезком неположительности [а, Ь].

Известный метод Дельсарта оценки сверху границ упаковок некоторых метрических пространств приводит к этой задаче для специальных систем функций И, ортогональных с тем или иным весом на отрезке (содержащем в себе отрезок <3 = [а, 6]) или на сетке.

В §5.1 приведена двойственная задача для сформулированной выше задачи Дельсарта общего вида и соответствующая теорема двойственности, включающая утверждение о существовании решений обеих задач. Даны свойства этих решений в случае, когда 11 есть система многочленов Якоби с показателями а > 0 > —1/2 и С} С [—1,1). В частности, при а = /3 = 1/2, (2 = [—1,1/2] удалось полностью решить обе задачи.

Параграф 5.2 посвящен известной задаче теории кодирования: задаче о максимальном числе элементов тт(з) сферического е-кода (—1 < й < 1) в евклидовом пространстве Кт, т > 2. Точнее, в §5.2 изучается функция Дельсарта и)т{з) (см. формулу (12) ниже), связанная с величиной тт(в) неравенством (13). В этом параграфе (теоремы 5.2.1, 5.2.3) найдено решение уравнения и>т(з) = N при т = 4 и N = 24,25. В качестве следствия получены (следствие 5.2.1) новые оценки сверху максимального значения углового кодового расстояния для 24 и 25 точек на единичной сфере в К4.

Перейдем к более детальному изложению основного результата указанного параграфа главы 5. Пусть —1 < в < 1. Множество IV с З"1-1 называется сферическим з-кодом, если для любых различных точек х, у из IV скалярное произведение ху удовлетворяет усло-

вию (— 1 <) ху < s. Одну из основных задач для сферических кодов можно сформулировать следующим образом: для заданных т > 2 и — 1 < s < 1 найти сферический s -код W с Sm_1 наибольшей возможной мощности. Обозначим максимальную мощность кода через rm(s), т.е.

rm(s) = max{ |W| : W С Sm-\ W - сферический s-код}, (И)

где \W\ — мощность (количество точек) множества W.

Пусть Rk = (¿ = 0,1,2,...) — система3 ультрасфериче-

ских многочленов (многочленов Гегенбауэра), ортогональных на отрезке [—1,1] с весом (1 — t2)a, а = (т — 3)/2, и нормированных условием Äfc(l) = 1. Обозначим через ^>„(s) множество непрерывных на отрезке

[—1,1] функций / со следующими свойствами: 1) функция / предста-

00

вляется в виде ряда f(t) = ^^ fkRk{t), коэффициенты которого удовле-

к—0

оо

творяют условиям: То > О, Д > 0, к = 1,2,..., /(1) = fk < оо;

к=О

2) / — неположительная функция на отрезке [—l,s].

Известно [14], что множество функций J-m(s) непусто при любых т > 2 и s £ [—1,1). На этом множестве рассмотрим задачу о вычислении величины

Wm(s) = inf^^B: /e.Fm(s)}. (12)

Следующее утверждение содержится в работах [14,45].

Теорема В. Для произвольного s G [—1,1) при любом натуральном т > 2 имеет место неравенство

rm{s) < wm(s). (13)

Для значений параметра w >2 положим

_sm(w) = inf {s е [-1,1) : wm(s) > w).

30братим внимание на то, что косинус-замена переменной приводит к системе косинус-полиномов фь"а(х) = Я^'0(со81) (к = 0,1,2,...), которая играет ключевую роль в неравенстве Джексона-Стечкина в пространстве i2(Sm-1).

Пусть Н есть следующий многочлен с целыми коэффициентами:

Н(г) = 1744568320000 г26 -I- 19824640000 г27 - 11368270848000 г26 +

+ 299992125440 г25 + 33683617005056 г24 - 1690611799808 г23 -

- 59756580346080 г22 + 3740858012128 г21 + 70524254066704 г20 -

- 4516619739088 г19 - 58188563861056 г18 + 3200479271680 г17 + + 34328475907496 г16 - 1262955136312 г15 - 14563330120710 г14 + + 172742066070 г13 + 4417415566665 гп + 76811504675 г11 -

- 942777154875 г10 - 46753060057 г9 + 137285137301 г8 + + 11621133345 г7 - 12856584451 г6 - 1594636173 г5 +

+ 680106134 г4 + 118057108 г3 - 13255560 г2 -

- 3691008 г — 186624.

Он имеет четырнадцать вещественных корней г\ < ¿2 < • • • < ¿и и четырнадцать комплексных корней. Оказалось, что особую роль играет его тринадцатый (по возрастанию) вещественный корень, который обозначим буквой

Основным результатом § 5.2 является

Теорема 5.2.1. На полуинтервале [—1,1) уравнение т^в) — 25 имеет единственное решение 5 = д. и, таким образом,

«4(25) = й = 0.4925150241....

Следствием этой теоремы является утверждение: среди любых 25 точек на сфере §3 С К4 всегда найдутся две точки, угловое расстояние между которыми строго меньше 60.5°.

В заключение выражаю глубокую благодарность моему учителю Виталию Владимировичу Арестову за постоянную поддержку моей работы и искреннюю признательность Николаю Ивановичу Черных за постоянный интерес к моим исследованиям.

Литература

Андреев, H.H. Расположение точек на сфере с минимальной энергией / H.H. Андреев // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1997. Т. 219. С. 27-31.

Арестов, В.В. Об экстремальных свойствах неотрицательных тригонометрических полиномов / В.В. Арестов // Тр. ИММ УрО РАН. 1992. Т.1. С. 50-70.

Арестов, В В. Неравенство Джексона на сфере в / В.В. Арестов, В.Ю. Попов // Изв. вузов. Математика. 1995. N 8. С. 13-20.

Бабенко, А.Г. Неравенство Джексона—Стечкина а L1 с тригонометрическим модулем непрерывности / А.Г. Бабенко, Н.И. Черных, В.Т. Шевалдин // Мат. заметки. 1999. Т. 65, вып. 6. С. 928-932.

Бердышев, В.И. О теореме Джексона в Lp / В И. Бердышев // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 3-16.

Бердышев, В И. Приближение периодических функций в среднем : Дис.... канд. физ.-мат наук / В.И Бердышев ; АН СССР, СОМИ. Свердловск, 1967. 83 с

Бердышев, В.И Наилучшее приближение в Ьр классом функций ограниченной вариации / В И. Бердышев // Приближение функций полиномами и сплайнами : сб. ст. / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985. С. 72-82.

Бердышева, Б.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных / Е.Е. Бердышева // Мат. заметки. 1999. Т. 66, вып. 3. С. 336350.

Виноградов, О. Л. О константе в неравенств Джексона для пространства V(-оо, +оо) / О.Л. Виноградов // Вестн. С.-Петерб. ут-та. Сер. 1. 1994. Вып. 3. С. 15-22.

Горбачев, Д В Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере / Д.В. Горбачев // Мат. заметки. 1999. Т. 66, вып. 1. С. 50-62.

Горбачев, Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа / Д.В. Горбачев // Мат. заметки. 2000. Т. 68, вып. 2. С. 179-187.

Дельсарт, Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования / Ф. Дельсарт. М. : Мир, 1976. 134 с.

Иванов, В.И. О приближении функций в пространствах Lp / В.И. Иванов // Мат. заметки. 1994. Т. 56, вып. 2. С. 15-40.

Кабатянский, Г.А. О границах для упаковок на сфере и в пространстве / Г.А. Кабатянский, В.И. Левенштейн // Пробл. передачи информ. 1978. Т. 14, вып. 1. С. 3-25.

Колмогоров, А.Н. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах / А.Н. Колмогоров, В М. Тихомиров // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, вып 2. С. 3-86.

[16] Колушов, А.В О конструкции Коркина-Золотарева / A.B. Колушов, В А. Юдин // Дискрет, математика. 1994. Т. 6, вып. 1. С. 155-157.

[17] Конвей, Дж. Упаковки шаров, решетки и группы Т.1, 2 / Дж. Конвей, Н. Слоэн. M : Мир, 1990. 791 с.

[18] Конягин, C.B. О модулях непрерывности функций / С.В Конягин // Тез. докл Всесоюзной шк. по теории функций, посвящ. 100-летию со дня рождения акад. Н.Н.Лузина (1983; Кемерово). Кемерово, 1983. С. 59.

[19] Корнейчук, Н.П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций / Н.П. Корнейчук // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, N 3. С. 514-515.

[20] Корнейчук, Н.П.Точные константы в теории приближения / Н.П. Корнейчук. М. ■ Наука, 1987. 424 с.

[21] Летников, A.B. Теория дифференцирования с произвольным указателем / A.B. Летников // Мат. сб. 1868. Т. 3, № 1 С. 1-68.

[22] Московский, A.B. Теоремы Джексона в пространствах LP(W) и Lp^R^) / А.В Московский // Изв. ТулГУ. Сер Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 44-70.

[23] Мусин, O.P. Проблема 25 сфер / O.P. Мусин // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58, вып. 4 С. 153-154. ,

[24] Попов, В.Ю. О точных константах в неравенствах Джексона для наилучших сферических среднеквадратичных приближений / В Ю. Попов // Изв. вузов Математика 1981. N 12. С 67-78.

[25] Попов, В.Ю. Многомерные приближения в ¿г(Тт) /ВЮ Попов//Теория функций и приближений : тр. 3-й Сарат. зим. шк. (1986; Саратов) : межвуз. науч. сб. Ч. 3. Саратов : Сарат. ун-т, 1988. С. 22-25.

[26] Попов, В.Ю. Приближение на сфере ъ In. I В.Ю. Попов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301, N 4. С. 793-797.

[27] Потапов, М.К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби / М.К. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1983. N 4. С. 43-52.

[28] Рустамов, Х.П. Модули гладкости высших порядков, связанные с разложением Фурье-Якоби, и приближение функций алгебраическими многочленами / Х.П. Рустамов // Докл. РАН. 1995. Т. 344, N 5. С. 593-596.

[29] Стечкин, С Б. О нулях дзета-функции Римана /СБ Стечкин // Мат. заметки. 1970 Т. 8, вып. 4. С. 419-429.

[30] Стечкин, C.B. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фава-ра / С.Б. Стечкин // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1971. Т. 109. С. 26-34.

[31] Стечкин, С.Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье / С В. Стечкин, В.Т Гаврилюк // Докл. АН СССР. 1978. Т. 241, № 3. С. 525-527.

[32] Тихомиров, В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений / ВМ. Тихомиров // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, вып. 3. С. 81-120.

[33] Черных, Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в ¿2 /НИ. Черных // Мат заметки 1967. Т. 2, вып. 5. С. 513-522.

[34] Черных, Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0,2ж) (1 < р < 2) с точной константой / Н.И Черных // Тр Мат. ин-та РАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.

[35] Юдин, В.А. Многомерная теорема Джексона в Li / В.А. Юдин // Мат. заметки. 1981. Т. 29, вып. 2. С. 309-315.

[36] Юдин, В.А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для тригонометрических полиномов / В.А. Юдин // Дискрет, математика. 1989. Т. 1, вып. 2. С. 155-158.

[37] Юдин, В.А Кратные ряды Фурье и их приложения : Дис. . .докт. физ.-мат. наук. / В.А. Юдин; МЭИ. Москва, 1990. 188 с.

[38] Юдин, В.А. Минимум потенциальной энергии точечной системы зарядов / В.А. Юдин // Дискрет, математика 1992. Т. 4, вып. 2. С. 115-121.

[39] Юдин, В.А. Нижние оценки для сферических дизайнов / В.А. Юдин // Изв. РАН. Сер. мат. 1997. Т. 61, N 3. С. 213-223.

[40] Arestov, V.V. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L"1 with respect to Argument of Modulus of Continuity / V.V. Arestov, A.G. Babenko // Approx. Theory : A vol. dedic. B. Sendov. Sofia : DARBA, 2002. P. 13-23.

[41] Arestov, V.V. Delsarte problem connected with spherical 1/3-code / V.V. Arestov, A.G. Babenko, M.V. Deikalova // Teopin наближения функщй та i"f застосування / Пращ 1н-ту математики НАН Укрални. 2000. Т. 31. С. 33-48.

[42] Arestov, V.V. On the ¿2 -approximation of periodic functions by trigonometric polynomials / V.V. Arestov, N.I. Chernykh // Approximation and functions spaces : proc. intern, conf., Gdan'sk, 1979 Amsterdam : North-Holland, 1981. P. 25-43.

[43] Baraboshkina, N.A The Least Constant in Jackson's Inequality for Best Approximations of Functions in L2 by Finite-Dimensional Subspares / N.A Baraboshkina // Proc. Steklov Inst. Math. 2004. Suppl. 1. P. S128-S136.

[44] Delsarte, Ph. Bounds for unrestricted codes, by linear programming / Ph. Delsarte // Philips Res. Rep. 1972. V. 27. P. 272-289.

[45] Delsarte, P. Spherical codes and designs / P. Delsarte, J.M. Goethalts, J.J. Seidel // Geom Dedic. 1977. 6. P. 363-388.

[46] Grünwald, А К. Über "begrenzte" Derivationen und deren Anwendung / А К Grunwald // Z. angew. Math, und Phys. 1867. Bd. 12. S. 441-480.

[47] Ligun, A.A. Jackson's type inequalities / A.A. Ligun // East J. Approx. 1996. V. 2, N 2. P. 235-244.

[48] Lorentz, G.G. Lower bounds for the degree of approximation / G.G. Lorentz // TVans. Amer. Math. Soc. 1960. V. 97. P. 25-34.

[49] Musin, O.R. The kissing number in four dimensions / OR. Musin // Preprint, arXiv.math.MG/0309430 vl, September 2003. 22 p. http://lanl.arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0309/0309430.pdf

[50] Shevaldin, V.T. Jackson-Stechkin Inequality in С with a TVigonometric Modulus of Continuity Which Annuls First Harmonics / V.T. Shevaldin // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 1. 2001. P. S206-S213.

[51] Shtrom, D.V. The Delsarte Method in the Problem of the Contact Numbers of Euclidean Spaces of High Dimensions / D.V. Shtrom // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2. 2002 P 162-189.

Публикации по теме диссертации

[A] Арестов, В В Оценки максимального значения углового кодового расстояния для 24 и 25 точек на единичной сфере в R4 / В В Арестов, А Г Вабенко // Мат заметки 2000. Т. 68, вып. 4. С. 483-503.

[B] Бабенко, А Г Точное неравенство Джексона—Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере / А.Г. Бабенко // Мат. заметки. 1996. Т.60, вып. 3. С. 333-355.

[C] Вабенко, А Г. Точное неравенство Джексона в пространстве Li с весом Якоби / А.Г. Бабенко // Материалы междунар. конф. и Чебышевских чтений, посвящ. 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева. Т.1. М. : Изд-во МГУ, 1996. С. 40-43.

[D] Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина для ^-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах / А.Г. Бабенко // Изв. РАН. Сер. мат. 1998. Т. 62, N 6. С. 27-52.

[Е| Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина для Х2-приближений на полупрямой с весом Лагерра / А.Г. Бабенко // Тр. междунар. шк С.Б Стечкина по теории функций (1998; Миасс Челяб. обл., Россия). Екатеринбург • УрО РАН, 1999. С 38-63.

[F] Бабенко, А.Г. Минимиальиая константа Джексона—Стечкина в I? // Соврем состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии" (2000; Алматы) : Труды. Алматы : Ин-т математики МОиН PK, 2001. С. 72-76.

[G] Babenko, A.G. On the Jackson-Stechkin inequality for the best ^-approximations of functions by trigonometric polynomials / A.G. Babenko // Proc. Steklov Inst. Math. 2001. Suppl. 1. P. S30-S47.

[H] Арестов, В В. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел / В.В. Арестов, А Г. Ба-бенко // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1997. Т. 219. С. 44-73.

[I] Арестов, В В. Об одной экстремальной задаче, связанной с оценкой сверху контактных чисел евклидовых пространств / В.В. Арестов, А.Г. Вабенко // Соврем, проблемы теории функций и их прил. : тез. докл. 9-ой Сарат. зим. шк, 26 янв. - 1 февр., 1998. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. С. 14.

[Л] Арестов, В.В. Некоторые свойства решений задачи типа Дельсарта и ее двойственной /

B.В. Арестов, А.Г. Бабенко // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т. 4, вып. 1 • тр. междунар. конф "Теория приближений и гармония, анализ" (1998; Тула, Россия). С. 36-39.

(К| Арестов, В.В Решение одной обратной задачи Дельсарта / В.В. Арестов, А.Г. Бабенко // Информ. бюл. / Ассоц. мат. программирования : науч. изд. Екатеринбург : УрО РАН, 1999. N 8. С. 25-26.

[Ь] Арестов, В.В О минимальных расстояниях сферических кодов мощности 24 и 25 в Я4 / В.В Арестов, А Г. Бабенко // Соврем, методы теории функций и смеж. проблемы : тез. докл Воронеж: ВГУ, 1999. С. 18.

(М] Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона в I? на сфере / А.Г. Бабенко // Теория функций и приближений : тр. 7-ой Сарат. зим. шк., 30 янв -4 февр. 1994 г. (памяти профессора А А Привалова) • межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1995. 4.1. С. 104-108.

(N1 Вабенко, А Г Точное неравенство Джексона в пространстве I? с весом Лагерра / А.Г Бабенко // Алгоритмич. и числ. анализ некоррект. задач : тез. докл. Всерос. науч. конф , посвящ. памяти В.К.Иванова (1995; Екатеринбург). Екатеринбург : УрГУ, 1995.

C. 25-26.

[О] Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина в пространстве Ь2(Ят) / А.Г. Бабенко // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1998. Т. 5. С. 183-198.

[Р] Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина в ¿г(Лт) со сферическим модулем непрерывности / А.Г. Бабенко // Теория приближений и гармонич. анализ : тез. докл. междунар. конф. Тула: ТулГУ, 1998. С. 26-28.

[<3] Бабенко, А.Г. О промежутке постоянства минимальной константы Джексона— Стечкина в £2 / А Г. Бабенко // Соврем, методы теории функций и смеж. проблемы : тез. докл. Воронеж : ВГУ, 2001. С. 23-24.

[Л] Бабенко, А Г. Оценки оптимальной точки для минимальной константы Джексона в пространстве V при 1 < р < 2 / А.Г. Бабенко // Алгоритмич. анализ неустойч. задач : тез. докл. Всерос. конф. (2001; Екатеринбург). Екатеринбург : УрГУ, 2001. С. 1213.

[Б] Бабенко, А.Г. Пространство Ь2 на отрезке с весом Якоби, непрерывная зависимость константы Джексона от аргумента модуля, непрерывности / А.Г. Бабенко // Приближение функций, теорет. и прикл. аспекты • сб ст М. : МИЭТ, 2003. С. 58-68.

[Т] Бабенко, А.Г. Взаимосвязь точного неравенства Джексона в I? с задачей Дельсар-та / А.Г. Бабенко // Алгоритмич. анализ неустойч. задач • тез. докл. Всерос. конф, Екатеринбург, 2004. Екатеринбург : йзд-во Урал, ун-та, 2004. С. 12-13.

[U] Arestov, V.V. Properties of solutions of Delsarte type problem and its dual problem / V.V. Arestov, A.G. Babenko // Geometric Aspects of Fourier and F\inct. Anal. : Math. Seminar Christian-Albrechts-Univ. Kiel, 1998. P. 1.

[V] Arestov, V.V. On kissing number in four dimensions / V.V. Arestov, A.G. Babenko // Res. Communicat. conf., Budapest, Hungary, 1999 Budapest : Janos Bolyai Math. Soc., 1999. P. 10-14.

[W] Babenko, A.G. Jackson-Stechkin constant in L2 on the segment with Jacobi weight, on the sphere and projective spaces / A.G. Babenko // 5 Jornadas Zaragoza-Pau Mat. Api. у Estadística, JACA, 1997 : conf. Zaragoza-Pau, 1997. P. 14.

fX] Babenko, A.G. Jackson-Stechkin constant in L2 on the segment with Jacobi weight, on the sphere and projective spaces / A.G. Babenko // Actas 5 Jornadas Zaragoza-Pau Mat. Apl. y Estadística. - Zaragoza: Publ. Semin. Mat. GARCIA DE GALDEANO, Univ. Zaragoza, 1999. P. 109-116.

Подписано в печать 01.03.2005. Формат 60x84/16. Объем 2 п л. Тираж 100 экз. Заказ X» 29 Размножение с готового оригинал-макета в типографии УрО РАН 620219, г Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18

РНБ Русский фонд

2005-4 41967

Обозначения

Введение

Глава 1. Две задачи бесконечномерного линейного программирования

§ 1.1. Первая задача линейного программирования.

1.1.1. Лемма В.В.Арестова.

1.1.2. Непрерывная зависимость значения первой задачи линейного программирования от параметра.

§ 1.2. Вторая задача линейного программирования.

Взаимосвязь с первой задачей

Глава 2. Точные константы в прямых теоремах теории приближения в Ь2-пространствах функций одного переменного

§ 2.1. Константа Джексона-Стечкина пространства I? на отрезке с весом Якоби.

2.1.1. Некоторые свойства полиномов Якоби.

2.1.2. Постановка задачи.

2.1.3. Формулировка результата.

2.1.4. Редукция к первой задаче линейного программирования. Непрерывная зависимость от аргумента модуля непрерывности константы.

2.1.5. Двойственная задача.

2.1.6. Интегральные представления обобщенного сдвига

2.1.7. Некоторые свойства ультрасферического сдвига случай а = (3 > -1/2 ).

2.1.8. Некоторые свойства обобщенного сдвига в случае а > ¡3 > -1/

2.1.9. Двусторонние оценки точки Черных.

2.1.10. Доказательство утверждения (А) теоремы 2.1.

2.1.11. Оценка снизу константы Джексона-Стечкина пространства I? ^ при а > ¡3 > —1, а > —1/

2.1.12. Неравенство Джексона-Стечкина в L2a . Доказательство теорем 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3.

§2.2. Константа Джексона-Стечкина пространства L на полупрямой с весом Лагерра.

2.2.1. Введение.

2.2.2. Оценка снизу.

2.2.3. Вспомогательные утверждения.

2.2.4. Доказательство теоремы 2.2.1.

§ 2.3. Константа Джексона-Стечкина пространства L на полупрямой со степенным весом.

2.3.1. Неравенство Джексона-Стечкина в Ь2(Ш+, x2l/+l), v > —1/

2.3.2. Основной результат

2.3.3. Двусторонние оценки точки Черных.

2.3.4. Доказательство теоремы 2.3.1.

Глава 3. Точные константы в прямых теоремах теории приближения в пространствах L2 функций нескольких переменных

§ 3.1. Константы Джексона-Стечкина пространств L2 на многомерной сфере и проективных пространствах.

3.1.1. Точное неравенство Джексона-Стечкина в L2 на сфере Sm1, т > 3.

3.1.2. Точные неравенства Джексона-Стечкина в L2 на проективных пространствах Р™"1^), Г""1^), тп> 3.

§ 3.2. Константа Джексона-Стечкина пространства L2(Em), т > 2.

3.2.1. Постановка задачи. История вопроса.

3.2.2. Редукция к одномерной задаче.

3.2.3. Комментарии.

Глава 4. Прямые теоремы теории приближения в L2 на периоде с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэффициентами

§ 4.1. Неравенство Джексона-Стечкина с модулем непрерывности, порожденным разностным оператором с переменными коэффициентами.

4.1.1. Введение.

4.1.2. Вспомогательные результаты.

4.1.3. Конечно-разностный оператор.

4.1.4. Связь с дифференциальными операторами.

4.1.5. Три примера.

4.1.6. Формулировки задач.

4.1.7. Оценка снизу константы Джексона-Стечкина

§ 4.2. Минимальная константа Джексона-Стечкина пространства L2.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Основной результат

4.2.3. Вспомогательные утверждения.

4.2.4. Доказательство теоремы 4.2.1.

4.2.5. Комментарии.

4.2.6. Локализация оптимальных точек минимальной константы Джексона пространства 1/^, 1 < р < 2, и минимальной константы Джексона-Стечкина пространства

Глава 5. Родственные экстремальные задачи для положительно определенных функций

§5.1. Возможности классической схемы Дельсарта в задаче о контактном числе тт пространства Мт

5.1.1. Задача Дельсарта, связанная с тт.

5.1.2. Основные результаты

5.1.3. Теорема двойственности для задачи Дельсарта общего вида.

5.1.4. Теорема двойственности для задачи Дельсарта, связанной с тт

5.1.5. Решение задачи Дельсарта, связанной с 74.

§5.2. Возможности классической схемы Дельсарта в задаче о максимизации минимального углового расстояния сферического кода с заданным числом элементов

5.2.1. Введение.

5.2.2. Основные результаты

5.2.3. Вычисление значения в4(25).

5.2.4. Вычисление значения 34(24).

Общая характеристика работы

В диссертационной работе изучаются два взаимосвязанных круга экстремальных задач: вычисление и исследование точных констант в прямых теоремах теории приближения функций в пространстве Ь2 и задача Дель-сарта для положительно определенных функций, связанная со сферическими кодами.

Актуальность темы

Важной экстремальной задачей теории приближений является задача о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина в пространствах функций, заданных на множествах, обладающих алгебраической структурой, определенным образом согласованной с метрикой на этих множествах (см. [77,80]). Неравенством Джексона-Стечкина принято называть неравенство, в котором величина наилучшего приближения функции конечномерным подпространством в той или иной метрике оценивается сверху через ее модуль непрерывности положительного порядка; в случае первого модуля непрерывности, такое неравенство называется неравенством Джексона. Впервые указанное неравенство для наилучших приближений непрерывных периодических функций пространством тригонометрических полиномов в равномерной метрике изучал Д.Джексон [221].

Несмотря на то, что величина наилучшего приближения функции в пространстве Ь2 конечномерным подпространством и ближайший элемент подпространства находятся достаточно просто, задача оценки указанной величины через модуль непрерывности функции с наименьшей возможной (независящей от функции) константой оказалась нетривиальной.

Задачи о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина для наилучших приближений функций полиномами в L2 -пространствах сводятся к экстремальным задачам для непрерывных функций с ограничениями на их значения и коэффициенты Фурье. Такого рода задачи возникают и в других областях математики, например, при исследовании границ упаковок некоторых метрических пространств по схеме Дельсарта (см. [73,84,105,245], [92, гл.9,13, 14], [79]), оценок снизу мощности дизайнов (см. [18G]), а также в теории чисел (см. [5,147]).

Первый точный результат в прямых теоремах теории приближения в пространстве С(Т) установил Н.П.Корнейчук [94]. Его методы развили и дополнили многие математики и, в частности, его ученики В.Ф.Бабенко,

A.А.Лигун.

Имеется ряд результатов, относящихся к поведению точной константы в неравенстве между величиной приближения непрерывной функции заданным линейным методом и модулем непрерывности функции. В случае приближения некоторыми классическими линейными методами было найдено наименьшее значение аргумента модуля непрерывности при котором соответствующая точная константа (как функция указанного аргумента) выходит на свой глобальный минимум. Это наименьшее значение аргумента модуля непрерывности называется оптимальной точкой соответствующего неравенства. В частности, для приближения методом Фавара оптимальную точку нашли С.Б.Стечкин [148] (оценка сверху) и В.Т.Гаврилюк (оценка снизу, см. [149,150]).

Н.И.Черных [166,167] в одномерном случае разработал методику получения точных неравенств Джексона-Стечкина в пространстве L2(T) для наилучших приближений функций тригонометрическими полиномами; в частности, он [195] нашел оптимальную точку неравенства Джексона.

B.А.Юдин [178] получил в этой тематике первые принципиальные результаты в многомерном случае.

Н.И.Черных [168] предложил метод получения точных ^-неравенств Джексона при 1 < р < 2 из аналогичных L2 -неравенств, основанный на глубоких результатах В.И.Бердышева [40] и С.В.Конягипа [85]. Подобный метод использовал О.Л.Виноградов [56]. Иной метод исследования точных /^-неравенств Джексона при 1 < р < 2 был предложен в работах В.И.Иванова [77], A.B.Московского [114] и Д.В.Горбачева [65].

Некоторые задачи в L2 сложнее своих аналогов в других пространствах. Например, до сих пор не получен аналог в L2(T) результата Н.П.Корнейчука [96] (см. равенство (0.0.6) ниже) о точном неравенстве Джексона в С = С(Т) для малых значений аргумента модуля непрерывности; хотя известна [189] соответствующая предельная задача.

Взаимосвязь задач теории приближения с задачами теории кодирования ио существу содержится в работах А.Н.Колмогорова, В.М.Тихомирова [90,156] и Г.Г.Лоренца [238]. Задача об оценке сверху мощности 5-кода (gr-различимого множества) из компактного метрического пространства X оказалась связанной (см. [180]) с задачей нахождения минимальной (относительно приближающих подпространств заданной размерности) константы в неравенстве Джексона в пространстве С(Х) функций, непрерывных на X. На сегодня остается открытым вопрос о точном значении минимальной константы Джексона пространства С(Х) для следующих важных случаев: X = Т", X = §т, те N. В 1967 г. была найдена минимальная (в указанном выше смысле) константа Джексона пространства L2(Т), а позднее — и пространства при 1 < р < 2. Н.И.Черных [167,168] получил соответствующие оценки сверху, а В.И.Бердышев — оценки снизу [41, теорема 5', с. 60] (см. также [42]). Принципиальные результаты в этой тематике принадлежат Н.П.Корнейчуку [97, §6.3], [98, §8.3]. А.А.Лигун (см. [236, оценки (4), (5)]) локализовал оптимальную точку минимальной константы в неравенстве Джексона в пространстве СГ(Т), г 6 N, г раз непрерывно дифференцируемых функций с применением модуля непрерывности г-й производной функции.

Впервые методы, разработанные для исследования точных неравенств Джексона в ¿^-пространствах, успешно применил В.А.Юдин в [179,180, 182-185] к изучению аналитических задач теории кодирования. Этот иод-ход был развит В.И.Ивановым, О.И.Смирновым и Д.В.Горбачевым [64,67, 68,71,80].

Для исследования задач оптимального в определенном смысле расположения конечного множества точек на сфере (или на другом многообразии, обладающем алгебраической структурой, определенным образом согласованной с метрикой на мпогобразии) используются экстремальные свойства положительно определенных непрерывных функций. Критерии свойства положительной определенности для непрерывных зональных функций в терминах соответствующих коэффициентов (преобразования) Фурье этих функций хорошо известны (см. [48,100,101,205,206,241,253,254]). Доказательства существенных свойств класса положительно определенных непрерывных функций во многом опираются на предшествующие результаты для положительно определенных квадратичных форм. В частности, из результата И.Шура [251] (см. [123, отдел 7, §3, задача 35, с. 119]) следует, что указанный класс функций замкнут относительно операции произведения.

В теории кодирования идея применения свойства положительной определенности и постановка соответствующей экстремальной задачи с целью получения оценки сверху мощности кода (без ограничений на структуру кода) в конкретном метрическом пространстве, принадлежит Ф.Дельсарту [73,217]. Г.А.Кабатянский и В.И.Левенштейн [84], Э.Одлыжко и Н.Слоэн [245],. В.И.Левенштейн [104,105], В.М.Сндельников [140] развили метод Ф.Дельсарта и успешно применили его, в частности, к сферическим кодам. Хорошо известна универсальная оценка Левенштейна [104,105] для значения задачи Дельсарта, полученная на основе теории ортогональных многчленов. В некоторых случаях эта оценка совпала с известными оценками снизу. Э.Одлыжко и Н.Слоэн применяли компьютерный вариант поиска допустимых полиномов в задаче Дельсарта, и на этом пути им удалось улучшить оценку Левенштейна в некоторых конкретных случаях. Эту методику успешно развил и получил несколько новых результатов П.Бойваленков [207-209]. Имеется большое количество и других работ, посвященных данной тематике. Обзор соответствующих результатов приведен в [92,230,231]. О некоторых последних достижениях в этой области будет сказано ниже.

Определение понятия положительно определенной функции на прямой восходит к работе М.Матиас [241] 1923 года. Балле Пуссен (1898) был, по-видимому, первым, кто но существу применил конкретную положительно определенную функцию, при изучении расположения нулей дзетта-функции Римана и в задаче распределения простых чисел. Этот подход развивали и успешно применяли Э.Ландау, Л.Чакалов, Л.Б.Ван-дер-Варден, С.Френч, С.Б.Стечкин, В.П.Кондратьев, А.В.Резцов, В.В.Арестов и другие математики (см. [5,147] и приведенную там библиографию).

Цель работы: изучение точных констант в прямых теоремах теории приближения в Ь2 -пространствах функций одного и нескольких переменных в терминах модуля непрерывности положительного порядка; разработка единого подхода к решению этого круга задач; изучение свойств точных констант как функций аргумента модуля непрерывности; исследование неравенств типа Джексона-Стечкина в пространстве Ь2(Т) на торе с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэффициентами и, в частности, с тригонометрическим модулем непрерывности; исследование возможностей классической схемы Дельсарта в задаче о максимизации минимального попарного углового расстояния сферического кода с фиксированным числом элементов; нахождение новых взаимосвязей задач о точных константах в неравенствах Джексона-Стечкина в Ь2 с экстремальными задачами теории функций, возникающими в теории кодирования.

Методика исследований

Исследование неравенства Джексона для наилучших среднеквадратиче-ских приближений функций полиномами и целыми функциями сводится к экстремальной задаче для положительно определенных функций. Подобной же задачей является задача Дельсарта, возникшая в геометрических задачах о сферических кодах, в частности, о контактных числах евклидовых пространств. Ключевыми методами исследования указанных задач являются методы выпуклого анализа, в том числе, двойственность как в обычном, так и в обобщенном смыслах. Одновременное изучение пары двойственных задач является удобным и результативным методом исследования. Анализ условий экстремальности пары допустимых элементов двойственных задач приводит (как правило) к нелинейным уравнениям. Важная роль при этом отводится предварительным численным экспериментам, которые помогают выяснить ключевые свойства экстремальных элементов и значительно ускорить процесс выработки правильной гипотезы. В диссертационной работе применяются также методы из различных разделов математики: теории функций, теории аппроксимации, теории ортогональных многочленов, гармонического и функционального анализа, бесконечномерного линейного программирования. Новизна методов нахождения точных констант в ^-неравенствах Джексона-Стечкина состоит в способах построения экстремальных весов (решений двойственных задач), основанных на формулах умножения классических ортогональных многочленов, на самосопряженности операторов обобщенного сдвига, а также на использовании свойств решений дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют указанные многочлены. Метод, применяемый для решения задачи Дельсарта, состоит в построении квадратурных формул, использующих не только значения функций, но и их коэффициенты Фурье-Гегенбауэра, а также применение элементарных симметрических многочленов, что существенно упрощает возникающую систему нелинейных уравнений.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: получены новые точные неравенства Джексона-Стечкина с модулем непрерывности порядка > 1 в /^-пространствах на отрезке и на полуоси с классическими весами для наилучших приближений функций полиномами и целыми функциями; в этих неравенствах изучены свойства точных констант как функций аргумента модуля непрерывности, а именно, доказана их непрерывность, локализованы их оптимальные точки; аналогичные результаты установлены для неравенств Джексона-Стечкина в /^-пространствах функций нескольких неременных на следующих многообразиях: сфера §т1, проективные пространства Рт-1(Е), Г""1 (С) и евклидовы пространства Мш; в К4 исследованы возможности применения классической схемы Дельсарта в задаче о максимизации минимального попарного углового расстояния сферического кода с конкретным числом элементов; кроме того, установлена явная взаимосвязь задачи о точной константе в неравенстве Джексона-Стечкина в Ь2 с задачей Дельсарта специального вида.

Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Разработан единый подход к решению задач о точных константах в прямых теоремах теории приближения в ^-пространствах функций одного и нескольких переменных в терминах модуля непрерывности порядка > 1. Развита методика решения обратной задачи Дельсарта для сферических кодов, основанная на применении специальных квадратурных формул, использующих не только значения функций, но и коэффициенты Фурье-Гегенбауэра этих функций.

Полученные результаты могут быть использованы для поиска новых точных констант в прямых теоремах теории приближения в других пространствах функций, в частности в .¿/-пространствах; для дальнейшего исследования неравенств Джексона-Стечкина с модулями непрерывности, порожденными разностными операторами с переменными коэффициентами, в частности с модулями непрерывности, аннулирующими ядра дифференциальных операторов; а также для решения экстремальных задач на классах положительно определенных функций, возникающих в комбинаторной геометрии и теории чисел.

Публикации

Основные результаты опубликованы в центральной печати [11, 21, 25, 198], а также в трудах и материалах международных конференций [22,26, 27]. Из совместной работы [11] в диссертацию включены только результаты автора, за исключением леммы 1.3 (в диссертации это лемма 5.2.3), принадлежащей В.В.Арестову. Ему также принадлежит лемма 1.1.1, которая изложена в пункте 1.1.1 главы 1. Результаты §5.1 получены совместно В.В.Арестовым и автором [6]; они включены в диссертацию для полноты изложения и не выносятся па защиту.

Апробация

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:

Международная конференция <Теория приближения функций и операторов;^ посвященная 80-летию С.Б.Стечкина (2000);

Саратовские зимние математические школы по теории функций (1994, 1998, 2000, 2002);

Воронежские зимние математические школы (2001, 2003); Всероссийская научная конференция <Алгоритмический и численный анализ некорректных задач>, Екатеринбург (1995);

Всероссийская научная конференция <Алгоритмический анализ некорректных задач >, Екатеринбург (1998);

Всероссийские научные конференции <Алгоритмический анализ неустойчивых задач>, Екатеринбург (2001, 2004);

Международный семинар <Аппроксимация и сложность> в Международном математическом центре им. С.Банаха, Варшава, Польша (1995); Международная конференция и Чебышевские чтения, посвященные 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева, Москва (1996); Пятая объединенная конференция университетов Сарагосы и По <Прикладная математика и статистика>, Хака, Испания (1997); Международная конференция сТеория приближений и гармонический анализ>, Тула (1998);

Международная конференция <Геометрические аспекты анализа Фурье и функционального анализа>, Киль, Германия (1998);

Всероссийская научная конференция <Математическое программирование и приложения>, Екатеринбург (1999);

Международная конференция сСовременное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии">, Алматы (2000);

Международная конференция <Функциональные методы в теории приближений, теории операторов, стохастическом анализе и статистике>, Киев (2001); на научных семинарах: под руководством профессора А.Гессаба в Университете По, Франция (1997); под руководством член-корреспондента HAH PK А.А.Женсыкбаева в Институте математики МОиН PK, Алматы (2000); под руководством профессора С.А.Теляковского в МИРАНе (2001); на Межвузовском семинаре по теории функций при Днепропетровском национальном университете (руководители член-корреспондент HAH Украины В.П.Моторный и профессор В.Ф.Бабенко) (2003); под руководством профессора Ван Куньяна в Пекинском нормальном университете (2004); а также — на Международных летних научных школах С.Б.Стечкина по теории функций (начиная с 1993 года).

Труды, материалы и тезисы докладов, указанных выше конференций, опубликованы в [7-10,19,22,26-29,190,191,196,197].

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, разделенные на пункты. Нумерация глав, параграфов и пунктов в работе сквозная. Нумерация формул и утверждений

1. Авилов, В.А, Приближение функций суммами Фурье—Лагерра / В.А. Абилов // Мат. заметки. 1995. Т. 57, вып. 2. С. 163-170.

2. Андреев, H.H. Расположение точек на сфере с минимальной энергией / H.H. Андреев // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1997. Т. 219. С. 27-31.

3. Андреев, H.H. Один сферический код / H.H. Андреев // Успехи мат. наук. 1999. Т. 54, вып. 1. С. 255-256.

4. Андреев, H.H. Приближение с ограничениями индивидуальных функций и экстремальные задачи расположения точек на сфере : Дис. .канд. физ.-мат. наук / H.H. Андреев; МГУ. Москва, 2000. 41 с.

5. Арестов, В.В. Об экстремальных свойствах неотрицательных тригонометрических полиномов / В.В. Арестов // Тр. ИММ УрО РАН. 1992. Т.1. С. 50-70.

6. Арестов, В.В. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел / В.В. Арестов, А.Г. Бабенко // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1997. Т. 219. С. 44-73.

7. Арестов, В.В. Решение одной обратной задачи Дельсарта / В.В. Арестов, А.Г. Бабенко // Информ. бюл. / Ассоц. мат. программирования : науч. изд. Екатеринбург : УрО РАН, 1999. N 8. С. 25-26.

8. Арестов, В.В. О минимальных расстояниях сферических кодов мощности 24 и 25 в R4 / В.В. Арестов, А.Г. Бабенко // Соврем, методы теории функций и смеж. проблемы : тез. докл. Воронеж: ВГУ, 1999. С. 18.

9. Арестов, В.В. Оценки максимального значения углового кодового расстояния для 24 и 25 точек на единичной сфере в Ä4 / В.В. Арестов, А.Г. Бабенко // Мат. заметки. 2000. Т. 68, вып. 4. С. 483-503.

10. Арестов, В.В. Неравенство Джексона на сфере Li / В.В. Арестов, В.Ю. Попов // Теория приближения и задачи вычисл. математики : тез. докл. междунар. конф. (1993; Днепропетровск) / ДЦУ. Днепропетровск, 1993, С. 8.

11. Арестов, В.В. Неравенство Джексона на сфере в ¿2 / В.В. Арестов, В.Ю. Попов // Изв. вузов. Математика. 1995. N 8. С. 13-20.

12. Арнольд, В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук / В.И. Арнольд. М. : Наука, 1989. 96 с.

13. Ахиезер, Н.И. Лекции по теории аппроксимации / Н.И. Ахиезер. М. : Гостехиздат, 1947. 323 с.

14. Бабенко, А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в L2 / А.Г. Бабенко // Мат. заметки. 1986. Т. 39, вып. 5. С. 651-664.

15. Бабенко, А.Г. О неравенстве Джексона в пространстве L2 / А.Г. Бабенко // Аппроксимация в конкретных и абстрактных банаховых пространствах : сб. науч. тр. / УНЦ АН СССР. Свердловск: 1987. С. 4-14.

16. Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере / А.Г. Бабенко // Мат. заметки. 1996. Т.60, вып. 3. С. 333-355.

17. Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона в пространстве £2 с весом Якоби / А.Г. Бабенко // Материалы междунар. конф. и Чебышевских чтений, посвящ. 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева. T.l. М. : Изд-во МГУ, 1996. С. 40-43.

18. Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина в пространстве L2{Rm) / А.Г. Бабенко // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1998. Т. 5. С. 183-198.

19. Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина в L2(Rm) со сферическим модулем непрерывности / А.Г. Бабенко // Теория приближений и гармонич. анализ : тез. докл. междунар. конф. Тула: ТулГУ, 1998. С. 26-28.

20. Бабенко, А.Г. Точное неравенство Джексона—Стечкина для L2 -приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах / А.Г. Бабенко // Изв. РАН. Сер. мат. 1998. Т. 62, N 6. С. 27-52.

21. Бабенко, А.Г. Тэчное неравенство Джексона—Стечкина для L2 -приближений на полупрямой с весом Лагерра / А.Г. Бабенко // Тр. междунар. шк. С.Б.Стечкина по теории функций (1998; Миасс Челяб. обл., Россия). Екатеринбург : УрО РАН, 1999. С. 38-63.

22. Бабенко, А.Г. Минимальная константа Джексона—Стечкина в L2 // Соврем, состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии" (2000; Алматы) : Труды. Алматы : Ин-т математики МОиН РК, 2001. С. 72-76.

23. Бабенко, А.Г. О промежутке постоянства минимальной константы Джексона—Стечкина в L2 / А.Г. Бабенко // Соврем, методы теории функций и смеж. проблемы : тез. докл. Воронеж : ВГУ, 2001. С. 23-24.

24. Бабенко, А.Г. Оценки оптимальной точки для минимальной константы Джексона в пространстве Lp при1 ^ Р < 2 / А.Г. Бабенко // Алгоритмич. анализ неустойч. задач : тез. докл. Всерос. конф. (2001; Екатеринбург). Екатеринбург : УрГУ, 2001. С. 12-13.

25. Бабенко, А.Г. Пространство L2 на отрезке с весом Якоби, непрерывная зависимость константы Джексона от аргумента модуля непрерывности / А.Г. Бабенко // Приближение функций. Теорет. и прикл. аспекты : сб. ст. М. : МИЭТ, 2003. С. 58-68.

26. Бабенко, А.Г. Взаимосвязь точного неравенства Джексона в L2 с задачей Дельсарта / А.Г. Бабенко // Алгоритмич. анализ неустойч. задач : тез. докл. Всерос. конф., Екатеринбург, 2004. Екатеринбург : Изд-во Урал, ун-та, 2004. С. 12-13.

27. Бабенко, А.Г. Неравенство Джексона—Стечкина в L2 с тригонометрическим модулем непрерывности /A.Г. Бабенко, Н.И. Черных, В.Т. Шевалдин // Мат. заметки. 1999. Т. 65, вып. 6. С. 928-932.

28. Бабенко, В.Ф. Развитие исследований по точному решению экстремальных задач теории наилучшего приближения / В.Ф. Бабенко, Л.А. Лигун // Укр. мат. жури. 1990. Т.42, N 1. С. 4-17.

29. Бадков, В.М. Оценки функции Лебега и остатка ряда Фурье—Якоби / В.М. Бадков // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9, N 6. С. 1263-1283.

30. Бадков, В.М. Приближение функций частными суммами ряда Фурье по обощенным многочленам Якоби / В.М. Бадков // Мат. заметки. 19С8. Т. 3, выи. 3. С. 671-682.

31. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. Функции Бесселя / Г. Бейтмен, А.И. Эрдейи. М. : Наука, 1966. 295 с.

32. Бердышев, В.И. О теореме Джексона в Lp / В.И. Бердышев // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1967. Т. 88. С. 3-16.

33. Бердышев, В.И. Приближение периодических функций в среднем : Дис. канд. физ.-мат. наук / В.И. Бердышев ; АН СССР, СОМИ. Свердловск, 1967. 83 с.

34. Бердышев, В.И. Наилучшее приближение в Lp классом функций ограниченной вариации / В.И. Бердышев // Приближение функций полиномами и сплайнами : сб. ст. / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985. С. 72-82.

35. Бердышева, Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных / Е.Е. Бердышева // Мат. заметки. 1999. Т. 66, вып. 3. С. 336-350.

36. Бердышева, Е.Е. Связь одного результата В.А.Юдина и свойств константы Джексона в Ь2—тг,ж] / Е.Е. Бердышева // Информ. бюл. / Ассоц. мат. программирования. Екатеринбург : УрО РАН, 2003. N 10. С. 43-44.

37. Бердышева, Е.Е. Оптимальное множество модуля непрерывности в точном неравенстве Джексона в пространстве Ь2 / Е.Е. Бердышева // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 5. С. 666-674.

38. Бернштейн, С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени / С.Н. Бернштейн // Сообщ. Харьк. мат. о-ва. 1912. Т. 2, N 13. С. 49-144.

39. Бернштейн, С.Н. О многочленах, ортогональных на конечном отрезке / С.Н. Бернштейн // Собр. соч. Т. 2. М. : Изд-во АН СССР, 1954. С. 7-106.

40. Бохнер, С. Лекции об интегралах Фурье. С добавлением автора о монотонных функциях, интегралах Стилтьеса и гармоническом анализе / С. Бохнер. М. : Физматгиз, 1962. 360 с.

41. Бугров, Я.С. Дробные разностные операторы и классы функций / Я.С. Бугров // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1985. Т. 172. С. 60-70.

42. Бурбаки, Н. Топологические векторные пространства / H. Бурбаки. М.: ИЛ, 1959. 410 с.

43. Васильев, С.Н. Точное неравенство Джексона—Стечкина в L2 с модулем непрерывности, порожденным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами / С.Н. Васильев // Докл. РАН. 2002. Т. 385, N 1. С. 11-14.

44. Васильев, С.Н. Точное неравенство Джексона—Стечкина в L2 для наилучших приближений тригонометрическими полиномами / С.Н. Васильев // Электрон, журн. "Исследовало в России". 2002. 140. С. 1577-1586. http://zhurnal.ape.relan.ru/articles/2002/140.pdf.

45. Вебстер, А. Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики / А. Вебстер, Г. Сеге. М. ; Л. : ОНТИ ГТТИ, 1934. 320 с.

46. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций. 4.1 / Г.Н. Ватсон. М. : ИЛ, 1949. 798 с.

47. Вилейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столития / Г. Вилейтнер. М.: Наука, 1966. 508 с.

48. Виноградов, О. Л. О константе в неравенстве Джексона для пространства Lp(—оо, +оо) / О.Л. Виноградов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1Э94. Вып. 3. С. 15-22.

49. Галиев, Ш.И. Многократные упаковки и покрытия сферы / Ш.И. Галиев // Дискрет, математика. 1996. Т. 8, вып. 3. С. 148-160.

50. Гельфонд, А.О. Исчисление конечных разностей / А.О. Гельфонд. 3 изд. М. : Наука, 1967. 376 с.

51. Гольштейн, Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения / Е.Г. Гольштейн. М.: Наука, 1971. 351 с.

52. Голубов, Б.И. О рядах Фурье непрерывных функций по системе Хаара / В.И. Голубов // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1964. Т. 28, N 6. С. 1271-1296.

53. Голубов, Б.И. Ряды по системе Хаара / В.И. Голубов // Итоги науки и техники. Мат. анализ. 1970 / ВИНИТИ АН СССР. М., 1971. С. 109-146.

54. Горбачев, Д.В. Точные константы Джексона на группе 51/(2) / Д,В. Горбачев // Алгебра и анализ : тез. докл. шк.-конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева, (1997; Казань). Казань : Изд-во Казан, мат. об-ва, 1997. С. 61-63.

55. Горбачев, Д.В. Точные константы Джексона на группе St/(2) / Д.В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 15-27.

56. Горбачев, Д.В. Две экстремальные задачи для целых функций экспонециального сферического типа / Д.В. Горбачев // Тр. Междунар. шк. С.Б.Стечкина по теории функций (1998; Миасс Челяб. обл., Россия). Екатеринбург : УрО РАН, 1999. С. 77-93.

57. Горбачев, Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере / Д.В. Горбачев // Мат. заметки. 1999. Т. 66, вып. 1. С. 50-62.

58. Горбачев, Д.В. Приближение в L2 частичными интегралами Фурье по собственным функциям оператора Штурма -Л иувилля / Д.В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5, вып. 1. С.38-50.

59. Горбачев, Д.В. Об оценках снизу мощностей дизайнов на проективных пространствам / Д.В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5, вып. 3. C.33-37.

60. Горбачев, Д.В. Экстремальные задачи для целых функций экспоненциального сферического типа / Д.В. Горбачев // Мат. заметки. 2000. Т. 68, вып. 2. С. 179-187.

61. Горбачев, Д.В. Модули непрерывности в пространстве Li{S2) / Д.В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7, вып. 1. С. 72-76.

62. Горбачев, Д.В. Неравенство Джексона с константой 1 в пространстве непрерывных функций / Д.В. Горбачев // Изв. ТулГУ. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7, вып. 1. С. 77-81.

63. Горбачев, Д.В. Одна экстремальная задача для многочленов, связанная с кодами и дизайнами / Д.В. Горбачев, В.И. Иванов // Мат. заметки. 2000. Т. 67, вып. 4. С. 508-513.

64. Григорян, Ю.К. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах / Ю.К. Григорян // Мат. заметки. 1973. Т. 13, вып. 5. С. 637-646.

65. Дельсарт, Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования / Ф. Дельсарт. М. : Мир, 1976. 134 с.

66. Дзядык, В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами / В.К. Дзядык. М. : Наука, 1977. 512 с.

67. Ибрагимов, И.И. Об оценке наилучшего приближения суммируемой функции на вещественной оси посредством целых функций конечной степени / И.И. Ибрагимов, Ф.Г. Насибов // Докл. АН СССР. 1970. Т. 194, N 5. С. 1013— 1016.

68. Иванов, В. А. К вопросу о свойствах модулей непрерывности для функций на сфере / В.А. Иванов // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, N 3. С. 481-487.

69. Иванов, В.И. О приближении функций в пространствах Lp / В.И. Иванов // Мат. заметки. 1994. Т. 56, вып. 2. С. 15-40.

70. Иванов, В.И. Введение в теорию приближений / В.И. Иванов. Тула: ТулГУ, 1996.

71. Иванов, В.И. О теореме Джексона в пространстве hiZlj) / В.И. Иванов, О.И. Смирнов // Мат. заметки. 1996. Т. 60, N 3. С. 390-405.

72. Иванов, В.И. Константы Джексона в пространствах Li на метрических компактах / В.И. Иванов, О.И. Смирнов // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1996. Т. 2, вып. 1. С. 93-118.

73. Иванов, В.И. Константы Джексона в пространствах Lp на метрических компактах / В.И. Иванов // Алгебра и анализ : тез. докл. шк.-конф., посвящ. 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева, (1997; Казнь). Казань : Изд-во Казан, мат. о-ва, 1997. С. 98-101.

74. Ион, Ф. Плоские волны и сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными / Ф. Йон. М. : ИЛ, 1958. 158 с.

75. Жук, В.В. Аппроксимация периодических функций / В.В. Жук. Л. : ЛГУ, 1982. 366 с.

76. Кабатянский, Г.А. О границах для упаковок на сфере и в пространстве / Г.А. Кабатянский, В.И. Левенштейн // Пробл. передачи информ. 1978. Т. 14, вып. 1. С. 3-25.

77. Конягин, C.B. О модулях непрерывности функций / C.B. Конягин // Тез. докл. Всесоюзной шк. по теории функций, посвящ. 100-летию со дня рождения акад. Н.Н.Лузина (1983; Кемерово). Кемерово, 1983. С. 59.

78. Козко, А.И. О неравенстве Джексона в Li с обобщенным модулем непрерывности / А.И. Козко, A.B. Рождественский // Мат. заметки. 2003. Т. 73, вып. 5. С. 783-788.

79. Козко, А.И. О неравенстве Джексона в Li с обобщенным модулем непрерывности / А.И. Козко, A.B. Рождественский // Мат. сб. 2004. Т. 195, N 8. С. 3-46.

80. Колмогоров, A.H. Избранные труды. Математика и механика / А.Н. Колмогоров. М. : Наука, 1985.

81. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, А.Г. Фомин. М. : Паука, 1968. 496 с.

82. Колмогоров, А.II. еэнтропия и £ емкость множеств в функциональных пространствах / А.Н. Колмогоров, В.М. Тихомиров // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, вып. 2. С. 3-86.

83. Колушов, A.B. О конструкции Коркина-Золотарева / A.B. Колушов, В.А. Юдин // Дискрет, математика. 1994. Т. 6, вып. 1. С. 155-157.

84. Конввй, Дж. Упаковки шаров, решетки и группы Т.1, 2 / Дж. Конвей, Н. Слоэн. М. : Мир, 1990. 791 с.

85. Кокстер, Г.С.М. Введение в геометрию / Г.С.М. Кокстер. М. : Наука, 1966. 648 с.

86. Корнейчук, Н.П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций / Н.П. Корнейчук // Докл. АН СССР. 1962. Т. 145, N 3. С. 514-515.

87. Корнейчук, Н.П. Экстремальные задачи теории приближения / Н.П. Корнейчук. М. : Наука, 1976. 320 с.

88. Корнейчук, Н.П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций / . Н.П. Корнейчук // Мат. заметки. 1982. Т. 32, вып. 3. С. 669-674.

89. Корнейчук, Н.П. Сплайны в теории приближения / Н.П. Корнейчук. М. : Наука, 1984. 352 с.

90. Корнейчук, Н.П.Точные константы в теории приближения / Н.П. Корнейчук. М. : Наука, 1987. 424 с.

91. Корнейчук, Н.П. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / Н.П. Корнейчук, В.Ф. Бабенко, A.A. Лигун. Киев : Наук, думка, 1992. 304 с.

92. Крейн, М.Г. Эрмитово-положительные ядра на однородных пространствах (I часть) / М.Г. Крейн // Укр. мат. журн. 1949. Т. 1, N 4. С. 64-98.

93. Крейн, М.Г. Эрмитово-положительные ядра на однородных пространствах (I часть) / М.Г. Крейн // Укр. мат. журн. 1950. Т. 2, N 1. С. 10-59.

94. Кушниренко, Г.Г. О приближении функций, заданных на единичной сфере, конечными сферическими суммами / Г.Г. Кушниренко // Науч. докл. высш. шк. Физ.-мат. науки. 1958. Т. 3, N 4. С. 47-53.

95. Кушниренко, Г.Г. Некоторые вопросы приближения непрерывных функций на единичной сфере конечными сферическими суммами / Г.Г. Кушниренко // Тр. Харьк. политехи, ин-та. Сер. инж.-физ. 1959. Т. 25, вып. 3. С. 3-22.

96. Левенштейн, В.И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве / В.И. Левенштейн // Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 6. С. 1299-1303.

97. Левенштейн, В.И. Границы для упаковок метрических пространств и некоторые их приложения / В.И. Левенштейн // Пробл. кибернетики. 1983. Т. 40. С. 44-110.

98. Левитан, Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / Б.М. Левитан // Успехи мат. наук. 1951. Т. 6, вып. 2. С. 102-143.

99. Левитан, Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига / Б.М. Левитан. М. : Наука, 1973. 312 с.

100. Летников, A.B. Теория дифференцирования с произвольным указателем / A.B. Летников // Мат. сб. 1868. Т. 3, № 1. С. 1-68.

101. Лигун, A.A. О константах в теореме Джексона / A.A. Лигун // Мат. заметки. 1985. Т. 37, вып. 3. С. 326-336.

102. Лигун, A.A. О точных константах в неравенствах типа Джексона / A.A. Лигун // Мат. заметки. 1985. Т. 38, вып. 2. С. 248-256.

103. Лизоркин, П.И. О приближении функций на сфере <т. О пространствах Bp<q{a) / П.И. Лизоркин // Докл. РАН. 1993. Т. 331, N 5. С. 555-558.

104. Марков, А. Исчисление конечных разностей. Отдел второй. Уравнения в конечных разностях и суммирование / А. Марков. СПб. : Тип. Император, акад. наук, 1891. 124 с.

105. Марченко, В.А. Обобщенный сдвиг, операторы преобразования и обратные задачи / В.Л. Марченко // Мат. события XX века. М. : ФАЗИС, 2003. С. 209-226.

106. Московский, A.B. Теоремы Джексона в пространствах Lp(Rn) и LPjx(R+) / A.B. Московский//Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3, вып. 1. С. 44-70.

107. Мусин, O.P. Проблема 25 сфер / O.P. Мусин // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58, вып. 4. С. 153-154.

108. Никольский, C.M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения / С.М. Никольский. M. : Наука, 1969. 480 с.

109. Никольский, С.М. Приближение сферическими полиномами / С.М. Никольский, П.И. Лизоркин // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1984. Т. 166. С. 186-200.

110. Никольский, С.М. Аппроксимация функций на сфере / С.М. Никольский, П.И. Лизоркин // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т. 51, N 3. С. 635-651.

111. Newton, I. Исаак Ньютон. Математические работы / I. Newton ; Пер. с латин., ввод. ст. и коммент. Д.Д. Мордухай-Болтовского. М. ; Л. : ОНТИ, 1937. 452 с.

112. Пашковский, С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева / С. Пашковский. М. : Наука, 1383. 384 с.

113. Платонов, С.С. Приближения на компактных симметрических пространствах ранга 1 / С.С. Платонов // Докл. РАН. 1997. Т. 353, N 4. С. 445-448.

114. Платонов, С.С. О теоремах джексоновского типа на компактном симметрическом пространстве ранга 1 / С.С. Платонов // Мат. сб. 1997. Т. 188, N 5. С. 113-130.

115. Иолиа, Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 1,2 / Г. Полна, Г. Сеге. 3 изд. М. : Наука, 1978. 4.1. 392 с. 4.2. 432 с.

116. Попов, В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми функциями экспоненциального типа / В.Ю. Попов // Изв. вузов. Математика. 1972. N 6. С. 65-73.

117. Попов, В.Ю. О наилучших среднеквадратических приближениях функций m переменных / В.Ю. Попов // Мат. заметки. 1973. Т. 14, вып. 6. С. 913-924.

118. Попов, В.Ю. О точных константах в неравенствах Джексона для наилучших сферических среднеквадратичных приближений / В.Ю. Попов // Изв. вузов. Математика. 1981. N 12. С. 67-78.

119. Попов, В.Ю. Среднеквадратичные приближения дифференцируемых функций многих переменных / В.Ю. Попов // Исслед. по функц. анализу и его прил. : сб. науч. тр. Свердловск : Изд-во Урал. гос. ун-та, 1985. С. 92-102.

120. Попов, В.Ю. Многомерные приближения в Ь2(Тт) / В.Ю. Попов // Теория функций и приближений : тр. 3-й Сарат. зим. шк. (1986; Саратов) : межвуз. науч. сб. Ч. 3. Саратов : Сарат. ун-т, 1988. С. 22 25.

121. Попов, В.Ю. Приближение на сфере в Li / В.Ю. Попов // Докл. АН СССР. 1988. Т. 301, N 4. С. 793-797.

122. Попов, В.Ю. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 на гиперболоиде / В.Ю. Попов // Тр. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1998. Т. 5. С. 254-266.

123. Потапов, М.К. О структурных характеристиках классов функций с данным порядком наилучшего приближения / М.К. Потапов // Тр. МИ АН СССР. 1975. Т. 134. С. 260-277.

124. Потапов, М.К. О приближении алгебраическими многочленами в интегральной метрике с весом Якоби / М.К. Потапов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1983. N 4. С. 43-52.

125. Ржавинская, E.B. О приближении функций в среднем суммами Фурье-Лагерра / Е.В. Ржавинская // Изв. вузов. Математика. 1979. Jv"' 11. С. 87-93.

126. Робертсон, А. Топологические векторные пространства / А, Робертсон, В. Робертсон. М. : Наука, 1967. 258 с.

127. Ронкин, Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных / ЛИ. Ронкин. М. : Наука, 1971. 430 с.

128. Рустамов, Х.П. О приближении функций на сфере / X.II. Рустамов // Изв. РАН. Сер. мат. 1993. Т. 57, N 5. С. 127-148.

129. Рустамов, Х.П. Модули гладкости высших порядков, связанные с разложением Фурье Якоби, и приближение функций алгебраическими многочленами / Х.П. Рустамов // Докл. РАН. 1995. Т. 344, N 5. С. 593-596.

130. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. Минск : Наука и техника, 1987. 688 с.

131. Сеге, Г. Ортогональные многочлены / Г. Cere. М. : Физматгиз, 1962. 500 с.

132. Сидельников, В.М. Об экстремальных многочленах, используемых при оценках мощности кода / В.М. Сидель-ников // Пробл. передачи информ. 1980. Т. 16, вып. 3. С. 17-30.

133. Смирнов, О.И. О константах Джексона в пространстве ¿2) / О.И. Смирнов // Алгебра и анализ : тез. докл. шк.-конф., посвящ. 100-летию со дня рождения В.М.Гагаева, (1997; Казнь). Казань : Изд-во Казан, мат. об-ва, 1997.С. 199-200.

134. Сонин, Н.Я. Исследования о цилиндрических функциях и специальных полиномах / Н.Я. Сонин. М. : Гостехиздат, 1954. 244 с.

135. Стейн , И. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И. Стейн, Г. Вейс. М. : Мир, 1974. 336 с.

136. Стечкин, С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций / C.B. Стечкин // Докл. АН СССР. 1949. Т. 65, Л» 2. С. 135-137.

137. Стечкин, С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций / С.Б. Стечкин // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15, № 3. С. 219-242.

138. Стечкин, С.Б. Замечание к теореме Джексона / С.Б. Стечкин // Тр. МИ АН СССР. 1967. Т. 88. С. 17-19.

139. Стечкин, С.Б. О нулях дзета-функции Римана / С.Б. Стечкин // Мат. заметки. 1970. Т. 8, вып. 4. С. 419-429.

140. Стечкин, С.Б. О приближении непрерывных периодических функций суммами Фавара / С.Б. Стечкин // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1971. Т. 109. С. 26-34.

141. Стечкин, С.Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье / С.Б. Стечкин, В.Т. Гаври-люк // Докл. АН СССР. 1978. Т. 241, JV> 3. С. 525-527.

142. Стечкин, С.Б. Приближение непрерывных периодических функций суммами Фурье / С.Б. Стечкин, В.Т. Гаври-люк // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1985. Т. 172. С. 107-127.

143. Тайков, Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрервности в ¿2 / Л.В. Тайков // Мат. заметки. 1976. Т. 20, вып. 3. С. 433-438.

144. Танкаева, С. О теоремах Джексона на отрезке —1,1] и полуоси [0, оо] / С. Танкаева // Изв. АН Респ. Казахстан. Сер. физ.-мат. 1992. N 5. С. 45-49.

145. Тептин, А.Л. Теоремы о разностных неравенствах для n-точечных разностных краевых задач / А.Л. Тептин// Мат. сб. 1963. Т. 62, N 2. С. 345-370.

146. Тептин, А.Л. Об оценке промежутка неосцилляции разностного уравнения и разностных краевых задач / А .Л. Тептин // Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2, N 11. С. 1449-1468.

147. Тимман, А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного / А.Ф. Тимман. М. : Физматгиз, 1960. 624 с.

148. Тихомиров, В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений / В.М. Тихомиров // Успехи мат. наук. 1960. Т. 15, вып. 3. С. 81-120.

149. Тихомиров, В.М. Некоторые вопросы теории приближений / В.М. Тихомиров. М. : Изд-во МГУ, 1976. 304 с.158J Тот, Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве / Л.Ф. Тот. М. : ГИФМЛ, 1958. 363 с.

150. Уиттекер, Э. Математическая обработка результатов наблюдений / Э. Уиттекер, Г. Робинсон. Л. ; М. : ОНТИ, 1935. 364 с.

151. Федоров, В.М. О приближении с весом Лагерра / В.М. Федоров // Некоторые вопросы математики и механики / Под ред. А.Н. Колмогорова. М., 1979. С. 46-47.

152. Федоров, В.М. Аппроксимация многочленами на полуоси / В.М. Федоров // Конструктивная теория функций -81. София : ВАН, 1983. С. 181-184.

153. Федоров, В.М. Приближение функций на сфере / В.М. Федоров // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1 : Математика. Механика. 1990. N 1. С. 15-23.

154. Хелгасон, С. Группы и геометрический анализ / С. Хелгасон. М. : Мир, 1987. 735 с.

155. Хорошко, Н.П. Про piBHOMipHe наближення непрервних функцШ полшомами за системою Хаара / II.П. Хорошко // Доповиди АН УРСР. А. 1968. N 6. С. 531-535.

156. Хорошко, Н.П. О наилучшем приближении в метрике L некоторых классов функций полиномами по системе Хаара / Н.П. Хорошко // Мат. заметки. 1969. Т. 6, вып. 1. С. 47-54.

157. Черных, Н.И. О неравенстве Джексона в l2 / Н.И. Черных // Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1967. Т. 88. С. 71-74.

158. Черных, Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 / Н.И. Черных // Мат. заметки. 1967. Т. 2, вып. 5. С. 513-522.

159. Черных, Н.И. Неравенство Джексона в Lp(0,2ir) (1 < р < 2) с точной константой / Н.И. Черных // Тр. Мат. ин-та РАН. 1992. Т. 198. С. 232-241.

160. Шалаев, В.В. О поперечниках в Ь2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков / В.В. Шалаев // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, N 1. С. 125-129.

161. Шалаев, В.В. Точные оценки приближения непрерывных на сфере функций линейными операторами типа свертки / В.В. Шалаев // Укр. мат. журн. 1991. Т. 43, N 4. С. 565-567.

162. Шапиро, Р.Л. Специальные функции, связанные с представлением группы SU(n) класса I относительно SU(n 1) ((п - 1) > 3) / Р.Л. Шапиро // Изв. вузов. Математика. 1968. N 4. С. 97-107.

163. Шарма, А. Некоторые линейные дифференциальные операторы и обобщенные разности / А. Шарма, И. Цимба-ларио // Мат. заметки. 1977. Т. 21, вып. 2. С. 161-172.

164. Шевалдин, В.Т. Об одной задаче экстремальной интерполяции / В.Т. Шевалдин // Мат. заметки. 1981. Т. 29, вып. 4. С. 603-622.

165. Шилов, Г.Е. Математический анализ. Специальный курс / Г.Е. Шилов. М. : Гос. изд-во Физ.-мат. лит., 1960. 388 с.

166. Штром, Д.В. Метод Дельсарта в задаче об антиподальных контактных числах евклидовых пространств больших размерностей / Д.В. Штром // Изв. Урал. гос. ун-та. 2004. N 30. С.154-182. (Сер. Математика и механика ; вып.6).

167. Эйлер, Леонард. Дифференциальное исчисление. Перевод с латинского, вводная статья и примечания М.Я.Выгодского / Леонард Эйлер. М. ; Л. : ГИТ-ТЛ, 1949. 580 с.

168. Юдин, В.А. Многомерная теорема Джексона в ¿2 / В.А. Юдин // Мат. заметки. 1981. Т. 29, вып. 2. С. 309-315.

169. Юдин, В.А. Упаковки шаров в евклидовом пространстве и экстремальные задачи для тригонометрических полиномов / В.А. Юдин // Дискрет, математика. 1989. Т. 1, вып. 2. С. 155-158.

170. Юдин, В.А. Кратные ряды Фурье и их приложения : Дис. .докт. физ.-мат. наук. / В.А. Юдин; МЭИ. Москва, 1990. 188 с.

171. Юдин, В.А. Минимум потенциальной энергии точечной системы зарядов / В.А. Юдин // Дискрет, математика. 1992. Т. 4, вып. 2. С. 115-121.

172. Юдин, В.А. Две экстремальные задачи для тригонометрических полиномов / В.А. Юдин // Мат. сб. 1996. Т. 187, N 11. С. 145-160.

173. Юдин, В.А. Экстремальные свойства функций и дизайны на торе / В.А. Юдин // Мат. заметки. 1997. Т. 61, вып. 4. С. 637-640.

174. Юдин, В.А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов / В.А. Юдин // Тр. Мат. ин-та им. В.А.Стеклова. 1997. Т. 219. С. 453-463. .

175. Юдин, В.А. Код и дизайн / В.А. Юдин // Дискрет, математика. 1997. Т. 9, вып. 2. С. 3-11.

176. Юдин, В.А. Нижние оценки для сферических дизайнов / В.А. Юдин // Изв. РАН. Сер. мат. 1997. Т. 61, N 3. С. 213-223.

177. Юдин, В.А. Одна экстремальная задача для функций распределения / В.А. Юдин // Мат. заметки. 1998. Т. 63, вып. 2. С. 316-320.о

178. Andreev, N.N. Problems of Approximation Theory in Discrete Geometry / N.N. Andreev, V.A. Yudin // Math. Res. 1999. V. 107. P. 19-32. (Adv. in Multivariate Approx.).

179. Arestov, V.V. Properties of solutions of Delsarte type problem and its dual problem / V.V. Arestov, A.G. Babenko // Geometric Aspects of Fourier and Funct. Anal. : Math. Seminar Christian-Albrechts-Univ. Kiel, 1998. P. 1.

180. Arestov, V.V. On kissing number in four dimensions / V.V. Arestov, A.G. Babenko // Res. Communicat. conf., Budapest, Hungary, 1999. Budapest : Janos Bolyai Math. Soc., 1999. P. 10-14.

181. Arestov, V.V. Continuity of the Best Constant in the Jackson Inequality in L2 with respect to Argument of Modulus of Continuity / V.V. Arestov, A.G. Babenko // Approx. Theory : A vol. dedic. B. Sendov. Sofia : DARBA, 2002. P. 13-23.

182. Arestov, V.V. On the optimal point in Jackson's inequality in L2(—00,00) with the second modulus of continuity / V.V. Arestov, A.G. Babenko // East J. Approx. 2004. V.10, N 1-2. P. 201-214.

183. Arestov, V.V. Delsarte problem connected with spherical 1/3-code / V.V. Arestov, A.G. Babenko, M.V. Deikalova // Теория наближения функцШ та i"i застосування / Ilpai;i 1н-ту математики HAH УкраТни. 2000. Т. 31. С, 33-48.

184. Arestov, V.V. On the L2 -approximation of periodic functions by trigonometric polynomials / V.V. Arestov, N.I. Chernykh // Approximation and functions spaces : proc. intern, conf., Gdan ' sk, 1979. Amsterdam : North-Holland, 1981. P. 25-43.

185. Babenko, A.G. Jackson Stechkin constant in L3 on the segment with Jacobi weight, on the sphere and projective spaces / A.G. Babenko //5 Jornadas Zaragoza-Pau Mat. Apl. у F.st.adistica, JACA, 1997 : conf. Zaragoza-Pau, 1997. P. 14.

186. Babenko, A.G. On the Jackson-Stechkin inequality for the best L2 -approximations of functions by trigonometric polynomials / A.G. Babenko // Proc. Steklov Inst.'Math. 2001. Suppl. 1. P. S30-S47.

187. Bannai, E. Uniqueness of certain spherical codes / E. Bannai, N.J.A. Sloane // Canad. J. Math. 1981. V. 33. P. 437-449.

188. Baraboshkina, N.A. The Jackson-Stechkin Inequality with a Nonclassic Modulus of Continuity / N.A. Baraboshkina // Proc. Steklov Inst. Math. 2001. Suppl. 1. P. S65-S70.

189. Baraboshkina, N.A. The Least Constant in Jackson's Inequality for Best Approximations of Functions in I2 by Finite-Dimensional Subspaces / N.A. Baraboshkina // Proc. Steklov Inst. Math. 2004. Suppl. 1. P. S128-S136.

190. Berdysheva, E.E. An extremal problem for entire functions of exponential type with non-negative mean value /E.E. Berdysheva // East J. Approx. 1997. V. 3, N 4. P. 393-401.v

191. Berdysheva, E.E. Several related extremal problems for multivariate entire functions of exponential type / E.E. Berdysheva // East J. Approx. 2000. V. 6, N 2. P. 241-260.

192. Berens, H. Limitierungsverfahren von Reihen mehrdimensionaver Kugelfunktionen und deren Saturationsverhalten / II. Berens, P.L. Butzer, S. Pawelke // Publ. Res. Inst. Math. Sci. (Kyoto). Ser. A. 1968. 4. P. 202-268.

193. Bochner, S. Hilbert distances and positive definite functions / S. Bochner // Ann. Math. 1941. V. 42. P. 647-656.

194. Bochner, S. Positive zonal functions on spheres / S. Bochner // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1954. 40. P. 1141-1147.

195. Boyvalenkov, P. On the upper bounds for the kissing numbers / P. Boyvalenkov // Serdica. 1992. V 18. P. 278-285.

196. Boyvalenkov, P. On the extremality of the polynomials used for obtaining the best known upper bouds for the kissing numbers / P. Boyvalenkov // J. Geometry. 1994. V. 49. P. 67-71.

197. Boyvalenkov, P. Extremal polynomials for obtaining bounds for spherical codes and designs / P. Boyvalenkov // Discrete Comput. Geom. 1995. V. 14. P. 167-183.

198. Boyvalenkov, P.G. Upper bounds on the minimum distance of spherical codes / P.G. Boyvalenkov, D.P. Danev, S.P. Bumova // IEEE Trans. Inform. Theory. 1996. V. 42, N 5. P. 1576-1581.

199. Butzer, P.L. Best trigonometric approximation, fractional order derivatives and Lipschitz classes / P.L. Butzer, H. Dyckhoff, E. Gorlich, R.L. Stens // Canad. J. Math. 1977. V. 29, N 4. P. 781-793.

200. Butzer, P.L. An access to fractional differentiation via fractional difference quotients, in Fractional Calculus and its Applications / P.L. Butzer, U. Wesphal // Lect. Notes in Math. Berlin : Springer, 1975. V. 457. P. 116-145.

201. Chambers, Ll.G. An upper bound for the first zero of Bossel functions / Ll.G. Chambers // Math. Computation. 1982. V. 38, N 158. P. 589-591.

202. Delsarte, J. Sur une extension de la formule de Taylor / J. Delsarte // J. Math. Pures et Appl. 1938. T. 17, N 3. P. 213-231.

203. Delsarte, J. Une extension nouvelle de la théorie des fonctions presque-périodiques de Bohr / J. Delsarte // Acta Math. 1938. 69. P. 259-317.

204. Delsarte, Ph. Bounds for unrestricted codes, by linear programming / Ph. Delsarte // Philips Res. Rep. 1972. V. 27. P. 272-289.

205. Delsarte, P. Spherical codes and designs / P. Delsarte, J.M. Goethalts, J.J. Seidel // Geom. Dedic. 1977. 6. P. 363-388.

206. Ditzian, Z. A modulus of smoothness on the unit sphere / Z. Ditzian // J. Anal. Math. 1999. V. 79. P. 189-200.

207. Eulero, L. Institutiones calculi differentialis cum eius vsu in analysi finitorum ac doctrina serierum / L. Eulero. Petropoli-tanae : Acad. Imper. Sei., 1755.

208. Jackson, D. Über die Genauigkeit der Annäherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Summen gegebener Ordnung : Diss. / D. Jackson. Göttingen, 1911.

209. Gasper, G. Linearization of the product of Jacobi polynomials. I / G. Gasper // Canad. J. Math. 1970. V. 22, N 1. P. 171-175.

210. Gasper, G. Positivity and the convolution structure for Jacobi series / G. Gasper // Ann. Math. 1971. V. 93. P. 112-118.

211. Gasper, G. Banach algebras for Jacobi series and positivity of a kernel / G. Gasper // Ann. Math. 1972. V. 95. P. 261-280.

212. Gasper, G. Multiplier criteria of Marcinkiewicz type for Jacobi expansions / G. Gasper, W. Trebels // Trans. Arner. Math. Soc. 1977. V. 231, N 1. P. 117-132.

213. Gronwall, Т.Н. On the degree of convergence of Laplace's series / T.II. Gronwall // Trans. Amer. Math. Soc. 1914. V. 15. P. 1-30.

214. Grünwald, A.K. Über "begrenzte" Derivationen und deren Anwendung / A.K. Grunwald // Z. angew. Math, und Phys. 1867. Bd. 12. S. 441-480.

215. Hardin, R.H. Spherical Codes / R.H. Hardin, N.J.A. Sloane, W.D. Smith // http://www.reseajch.att.com/ ~ njas/packings/index.html

216. Kolmogoroff, A. Über die beste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionenklasse / A. Kolmogoroff // Ann. Math. 1936. V. 37, N 1. P. 107-110.

217. Conway, J.H. Sphere Packings, Lattices and Groups / J.H. Conway, N.J.A. Sloane. 2nd ed. NY : Springer-Verlag, 1993. 679 p.

218. Conway, J.H. Sphere Packings, Lattices and Groups / J.H. Conway, N.J.A. Sloane. 3rd ed. NY : Springer-Verlag, 1998, lxxiv+703 p.

219. Koornwinder, T. The addition formula for Jacobi polynomials and spherical harmonics / T. Koornwinder // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 25, N 2. P. 236-246.

220. Koornwinder, T. Jacobi polynomials, II. An analytic proof of the product formula / T. Koornwinder // SIAM J. Math. Anal. 1974. V. 5, N 1. P. 125-137.

221. Koornwinder, T. Positivity proofs for linearization and connection coefficients of orthogonal polynomials satisfying an addition formula / T. Koornwinder // J. London Math. Soc. 2 Ser. 1978. V. 18, Pt 1. P. 101-114.

222. Le Gendre, A.M. Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures. T.2 /A.M. Le Gendre. Paris, 1817.

223. Ligun, A.A. Jackson's type inequalities / A.A. Ligun // East J. Approx. 1996. V. 2, N 2. P. 235-244.

224. Logan, B.F. Extremal problems for positive-definite bandlimited functions. II. Eventually negative functions /B.F. Logan // SIAM J. Math. Anal. 1983. V. 14, N 2. P. 253-257.

225. Lorentz, G.G. Lower bounds for the degree of approximation / G.G. Lorentz // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. V. 97.P. 25-34.

226. Löfstrem, J. Approximation Theorems Connected with Generalized Translations / J. Löfstrem, J. Peetre // Math. Ann. 1969. V. 181. P. 255-268.

227. Mackay, A.L. The packing of three-dimensional spheres on surface of a four-dimensional hyperspheres / A.L. Mackay // J. Phis. A. 1980. 13. P. 3373-3379.

228. Mathias, M. Über positive Fourier-Integrale / M. Mathias // Math. Z. 1923. Bd 16. P. 103-125.

229. Micchelli, Cii.A. On an extremal problem of Subbotin concerning finite differences and detrivatives / Ch.A. Micchelli // J. Approx. Theory. 1979. V. 26. P. 119-123.

230. Musin, O.R. The kissing number in four dimensions / O.K. Musin // Preprint, arXiv.math.MG/0309430 vl, September 2003. 22 p.http://lanl.arxiv.org/PScache/math/pdf/0309/0309430.pdf

231. Norlund, N.E. Vorlesungen über Differenzenrechnung / N.E. Nörlund. Berlin : Springer, 1924. 554 p.

232. Odlyzko, A.M. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions / A.M. Odlyzko, N.J .A. Sloane // J. Combinator. Theory. Ser. A 26. 1979. P. 210-214.

233. Pawelke, S. Ein Satz vom Jacksonschen Typ für algebraische Polynome / S. Pawelke // Acta Sei. Math. 1972. 33. P. 323-336.

234. Popoviciu, T. Sur le reste dans certaines formules lineaires d'approximation de l'analyse / T. Popoviciu // Mathematica (Cluj). 1959. V. 1 (24), N 1. P. 95-142.

235. Potapov, M.K. On approximation of functions on the half-line by algebraic polynomials / M.K. Potapov, S.K. Tankaeva // Anal. Math. 1994. T. 20. F. 2. P. 107-115.

236. Ragozin, D.L. Constructive polynomial approximation on spheres and projective spaces / D.L. Ragozin // TYans. Amer. Math. Soc. 1971. V. 162. P. 157-170.

237. Rankin, R.A. The closest packing of spherical caps in n dimensions / R.A. Rankin // Proc. Glasgow Math. Assoc. 1955. V. 2. P. 139-144.

238. Schur, I. Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlichvielen Veränderlichen / I. Schur // Journ. für Math. 1911. 140. P. 1-28.

239. Shevaldin, V.T. Jackson-Stechkin Inequality in С with a Trigonometric Modulus of Continuity Which Annuls First Harmonics / V.T. Shevaldin // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 1. 2001. P. S206-S213.

240. Shoenberg, I.J. Mertic spaces and completely monotone functions / I.J. Shoenberg // Ann. Math. 1938. V 39. P. 811— 841.

241. Shoenberg, I.J. Positive definite function on spheres / I.J. Shoenberg // Duke Math. J. 1942. V. 9. P. 96-107.

242. Shtrom, D.V. The Delsarte Method in the Problem of the Contact Numbers of Euclidean Spaces of High Dimensions / D.V. Shtrom // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2. 2002. P. 162-189.

243. Taberski, R. Differences, moduli and derivatives of fractional orders / R. Taberski // Ann. Soc. Math. Polonae. Ser. I: Comments Math. 1977. T. 19. P. 389-400.

244. Taylor, B. Methodus incrementorum directa et inversa / B. Taylor. London, 1715.

245. Toader, Gh. Generalized finite differences / Gh. Toader, S. Toader // Mathematica. 1985. T. 27(50), N 1. P. 53-57.

246. Vasil'ev, S.N. Jackson-Stechkin Inequality in L2-n,тг] / S.N. Vasil'ev // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 1. 2001. P. S243-S253.

247. Watson, G.N. Another note in Laguerre polynomials / G.N. Watson // J. London Math. Soc. 1939. V. 14. P. 19-22.

248. Wronicz, Z. Moduli of smoothness associated with Chebyshev systems and approximation by L -splines / Z. Wronicz // Конструктивная теория функций'84: Тр. Междунар. конф. по конструкт, теории функций (1984; Варна). София : Изд-во ВАН, 1984. С. 906-916.

249. Wronicz, Z. Chebyshevian splines / Z. Wronicz // Diss. Mat, 1990. CCCV. 100 p.