Константы Джексона в пространстве L2 на нульмерных и конечных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

^ о #

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Л, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А. СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 517.5

СМИРНОВ Олег Игоревич

КОНСТАНТЫ ДЖЕКСОНА В ПРОСТРАНСТВЕ Ь2 НА НУЛЬМЕРНЫХ И КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ

(01.01.01 — математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Диссертация выполнена в Тульском государственном университете

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В.И.Иванов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В.М. Сидельников доктор физико-математических наук, профессор В.А.Юдин

Ведущая организация — Институт математики и механики

на заседании специализированного Совета Л 002.38.03 при Математическом институте им. В.А. Стеклова Российской академии наук (г. Москва, 117333, ул. Губкина, 8).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Уральского отделения РАН

Защита состоится

часов

Ученый секретарь спецсовета

Д 002.38.03

доктор физ.-мат. наук

В. А. Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задача о точных константах в неравенствах Джексона между наилучшим приближением и модулем непрерывности в пространстве ¿2 на компактных множествах является важной экстремальной задачей теории приближений.

Наиболее естественна эта задача в пространстве ¿2 на компактных абелевых группах для приближений полиномами по системам характеров. Точные неравенства Джексона в пространстве ¿2 на торе получены в работах Н.И.Черныха [1,2], Л.В.Тайкова [3], А.Г. Бабенко [4,5], В.А. Юдина [6] и других. Доказательству точных неравенств Джексона в пространстве ¿2 на нульмерных группах посвящены работы Н.Я. Виленкина и А.И.Рубинштейна [7], В.И.Иванова [8].

В последнее время начали появляться первые результаты по неравенствам Джексона в пространстве Ьг на сильно однородных метрических компактах. Многие важные метрические компакты сами не являются группами, но обладают богатыми группами преобразований. Группа преобразований индуцирует на компакте обобщенный сдвиг [9], а квазирегулярное представление группы приводит к разложению пространства ¿2 в ортогональную сумму конечномерных подпространств. Так в случае евклидовой сферы 5" модуль непрерывности с помощью обобщенного сдвига был определен Х.Р. Рустамовым [10], а теорема Джексона доказана А.Г. Бабенко [11].

Экстремальная задача о константах Джексона в пространстве ¿2 на метрических компактах тесно связана с экстремальными задачами об оценках мощности кодов, дизайнов на этих компактах.

• Отметим работы Ф. Дельсарта [12], Мак Элайса - Родемича - Рам-сея - Велча [13], Г.А. Кабатянского и В.И. Левенштейна [14], В.М. Си-делышкова [15], В.И. Левенштейна [16], В.А. Юдина [17].

Цель работы. Диссертация посвящена доказательству точных неравенств Джексона в пространстве ¿2 на нульмерных группах т ^ 3 и в пространстве /2 на конечной группе с метрикой Хем-минга.

Методы исследования. Применяются методы теории приближений, абстрактного гармонического анализа, теории представления групп.

Научная новизна, а) Вычислены константы Джексона в пространстве ¿2 на нульмерных группах для приближения по системам Крестенсона - Леви при т ) 3 и малых аргументов и при »п = 3,4 и всех аргументов в модуле непрерывности.

б) Доказаны точные неравенства Джексона в пространстве /2 на конечной группе "Е^ с метрикой Хемминга для приближений суммой подпространств, на которых действуют неприводимые представления группы движений, и модуля непрерывности, определяемого с помощью обобщенного сдвига; доказаны новые свойства дискретных ортогональных многочленов Кравчука; установлена связь между константами Джексона и оценкой Дельсарта максимальной мощности двоичных кодов.

Все результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближений при исследовании экстремальных задач в пространствах Ьр на метрических компактах.

Аппробадия работы. Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях по теории чисел в г. Туле (1993 г., 1996г.), Международной конференции по теории приближений в г.Калуге (1996г.), на семинаре С.А.Теляковского в МИРАН, на семинаре В.И. Иванова в ТулГУ.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата. Две работы написаны в соавторстве с В.И. Ивановым.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации — 107 страниц. Библиография содержит 42 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава содержит 4 параграфа и посвящена доказательству точных неравенств Джексона в пространстве ¿2 на нульмерных группах т ^ 3.

Пусть т Е N, т ^ 2,

Gm = = Zm х Zm x • • • x Zra x • • • =

= {x = (x0,xi,.. ,,xn,...) I xn = 0,1,.. .,m-l} —

нульмерная компактная абелева группа с операцией покоординатного сложения по mod m, нормированной мерой Хаара v и системой окрестностей нуля /„ = {х £ Gm \ xq = xi = • • • = гп_1 = 0};

п £ п — Пктк,

к=0

fn(x) = Дехр

2тг{хкПк

к = О

m

полная ортонормированная система характеров (система Уолша при ш = 2 и система Крестенсона - Леви в общем случае);

С

L2{Gm) = : G, f ~ EtLo fkVk — ряд Фурье функции / е L2{Gm);

\ 1/2

En(f,Gm) 2 = min

/ - ак^к

к-О

£i/*i2

1/2

Кк—п

величина наилучшего приближения функции / порядка п в метрике ¿2(Ст); 0 < 5 1,

Vi = <Х е Gn

w I

непрерывная система окрестностей нуля на группе От\

и>(6, /, Ст)2 = вир ||/(1 + г) - /(г)||2 -

модуль непрерывности функции / € Ь^Ст).

Точные константы г< Ст) в неравенстве Джексона в

МСт)

Дг(/, Ст) ^ 02 г, Ст)ш /, Ст) \т" / Чга" /2

определяются равенством

Аг = вир

Г(ст) т)2'

Они зависят от параметров т ;> 2, га £ ш" ^ г ^ тп+1 — 1,

Равенство ,тп,Ст) = ^ было доказано Н.Я.Виленки-

ным и А.И.Рубинштейном [7]. В.И. Иванов [8] в случае системы Уол-ша вычислил константы Джексона для всех значений параметров:

/з Г 1 , 1 ^ _ ^ 1 , 1

У?-^' 2 + < Т ^ 2 + V

+ ^

1

72'

3__!_ < г < 3 _ X

4 2,— 1 ^ ' 4 2'

(в £ 3), (О 4),

гт = тт < г > О

при 2П ^ г ^ 2П+1 — 1 и нашел значение величины

т = 2к^ 4, т = 2&+1.

1 2'

т2 + т — 2

2т2

Вычисление констант Джексона осуществляется по стандартной схеме. Для оценки снизу строятся экстремальные функции, а для

оценки сверху используется неравенство

справедливое для неубывающих функций ограниченной вариации ц с носителем [О,-1^]. Все необходимые вспомогательные утверждения для вычисления констант Джексона приводятся в §1.

В §2 вычисляются константы Джексона для малых значений

Теорема 1.1. Для т. ^ 3, п е тп ^ г ^ т"+1 - 1, г,,т ' —Ц-, в ^ 2 справедливо равенство

Для всех значений параметров константы Джексона удалось найти только для групп Ъ^ и Ъ^. В случае группы это сделано в §3.

Теорема 1.2. Для п £ 3" ^ г ^ Зп+1 - 1 справедливы равенства:

г

Л Ст) = Ст) = Н1 +

т"

Тз + 1,т < Т ^ 7»,т-

1 __1_\

2 V 3 З'-1/ '

Н1 + Й-).

Н1 + Й). < +

5 (1 + 1

2 2 З'-1 ) '

1

2'

Л в случае группы это сделано в §4.

Теорема 1.3. Для п G Z+, 4" ^ г ^ 4"+1 - 1 справедливы равенства:

D\ (¿.r.Z?5) =Д22(т,1,

Zf) =

+ £ (О 2),

H1 + D-

2 3 4'-2) '

А < г < 21

16 ^ ' ^64'

11

< Т <

i__1_

4. + 1 ^ ' 2 4'

1__1_<г<1__3

2 4.-1 ^ ' 2 4,

4'

4'

<Г5С i

11

1.

(О 2), (ОЗ), (« ^ 3),

<

Вторая глава состоит из 8 параграфов и посвящена вычислению констант Джексона в пространстве /2 на группе с метрикой Хемминга.

Пусть 9Л — сепарабельное компактное сильно однородное ме-трнческое пространство с метрикой р(х, у), группой преобразований G и нормированной инвариантной мерой /i

Ь2(Ш) = |/ : ЯП - С | ||/||2 = |/(*)|2 d/i) ' < оо

Пространство ЯЛ называется сильно однородным, если из равенства р(х, у) = р(х', у') следует, что существует преобразование g 6 G, для которого х' = gx, xf — ду.

Известно, что квазирегулярное представление группы G в пространстве Ь2(Ш), задаваемое формулой L(g)f(x) = f(g~lx), разлагается в прямую сумму (конечную или счетную) попарно неэквивалентных неприводимых представлений Li{g), действующих на конечномерных ортогональных подпространствах VJ, dim К; = г,- так, что

оо ¿ = 0

Если Pi : Ь2(Ш) —► Vi — проектор, {t>ij}J'=1 — базис Vi (непрерывные функции), i £ Z+, то для любой / G Ьр(Ш) справедливо разложение

в ряд Фурье

оо оо

> = 0 t' = 0

Ii] = / f(x)vij(x)dfi. J^m

Среди функций подпространств Vi особую роль играют зональные сферические функции, которые могут быть записаны так:

I г- _

Ф<(/>(«| у)) = - Y, Wij(®)w«J (»). ф'-(°) = L Г' j=i

В частности, с помощью зональных сферических функций определяется оператор обобщенного сдвига

оо

S"f(x) = ^Фг(р)РЛх),

»=0

где р £ р{Ш) = {р £ 1К+ | Еж, у & Ш : р(х,у) = р}.

В случае симметрических сильно однородных аналитических римановых пространств Wt в [18] установлено, что оператор обобщенного сдвига совпадает со средним значением по сферам

S»f(x) = T>f(x)= f

где сфера SP(x) = {у G ОЯ | р{х,у) = р}, /1тр — нормированная мера на сфере.

В § 1 доказывается совпадение операторов Sp и Тр для более широкого класса сильно однородных пространств, чем в [18], включающих и дискретные.

Важным примером сильно однородного дискретного метрического пространства является группа

Z" = {х= (х0,..., in-i) | G Z2}

с метрикой Хемминга:

Рн(х,у) = |{» 6 [0, п — 1] | г,- ф у,-}|, [0, п—1] = {0,1,..., гс— 1}. Если

\х\н = £ [0,гс—1] | XI ф 0}| — вес Хемминга элемента х, то

Рн(х, у) = - у\н и рн(Ъ5) = [0, п].

Группу 2^2 с метрикой Хемминга называют пространством Хемминга. Группа преобразований пространства Хемминга состоит из 2"-гс! элементов, являющихся произведениями перестановок координат и перестановок символов 0,1 в каждой координате. Пусть

h(zq) = { f : Z2 - С

J4 * res; J

(/,ff)= / fgdu-

Подпространства V* (i £ [0,n]) пространства /2(^2), на которых действуют неприводимые представления группы преобразований, имеют размерность г,- = dimVi = (")• Их можно описать так. Для к,х G Sj определим функции

п-1

ipk(x) = ехр I 7Гi^Xiki =

1=0

Они образуют систему характеров и ортонормированный базис в

V* = £({**(*) И*1н = *})-

Для любой / £ /2(^5) имеет место разложение

/(*) = X) Л = (/.У*)-

Для зональной сферической функции из К' справедливо равенство

Г; ' Г1

|*|н=«

Д,(0,П) = 1,

где для г, р £ [0, тг]

многочлены Кравчука.

В §2 приводятся известные и новые свойства многочленов Кравчука. Отметим, например, следующий результат. Если х € [1,п—1], О ^ я ^ ^Т^' то справедлива оценка

|Д,(®,п)| ^ Я,(1 ,п).

В сильно однородном пространстве Хемминга обобщенный сдвиг

тот = 1 Е = ^ Е п* + у) =

р

п

Р \х~у\н=р Р \у\н = Р

г = 0

С помощью оператора обобщенного сдвига определим разностный оператор Ар. Если ф(и) = (1 — и)1/2, I — тождественный оператор, то положим

Д,/(*) = (/ - Я')1"/**) = £

Величину

Лг!

к = 0

«(<*,/, = 5ир{||Д,/(х)||2 I р 6 [0, с/]>

назовем модулем непрерывности функции /(х) 6 12(Ж2).

Дл я [1,п] определим величину наилучшего приближения

Еки,Щ)г = min|||/-p||2 и константы Джексона

i-i 4

i=0 J

D2(d,k,Z"2) = suP

ye/2(z;) /.25)2'

В §3 вычисление констант Джексона £>2(^1 сводится к ре-

шению различных задач линейного программирования и устанавливается связь с задачей об оценке сверху максимальной мощности двоичных ¿-кодов.

Рассмотрим следующие задачи линейного программирования. Задача 1. (прямая). Найти

fi(d, к, Z2) = шахц

при условиях:

п j = k

П

2) (ie[l,d}).

Задача 2. (двойственная). Найти \(d,k,Z%) = min А

при условиях:

1)а,-£0 (г е [1,сГ|), ¿а,- = 1;

¿=1

d

2) ^2aiRi(j,n) <: А Cj е [fc,n]).

1=1

Показывается, что для всех ¿,к £ [1, п]

1 -ц{й,к,Щ) 1-А {¿,к,щу

Пусть £ [1,71], У{<1,к,Ъ") — множество всех И{х)

лля которых выполнены условия:

1) к(х) ^ 0 (ж е [0, гг]), вирр /г С [0, с/],

2)/г, ^0 (г £ п]).

Определим величину

М,к,Щ)= шах

Пусть №((1, к,Щ) — множество всех 0(х) = ")>

для которых выполнены условия:

1)/?(г)^0 (»е[Л,п]),

2) Д; ^ 0, зирр/? С [0,4

Определим величину

ви,к,1Д)= тш

Эта экстремальная задача возникла в исследованиях Ф.Дельсарта [12] в связи с оценкой максимальной мощности кодов. Схема Дель-сарта была развита и успешно применена в работах Мак Элайса - Ро-демича - Рамсея - Велча [13], Г.А. Кабатянского и В.И. Левенштейна [14], В.М.Сидельникова [15], В.И. Левенштейна [16].

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. Если п £ И, й,к 6 [1,п] и фа, то

№,4,23)^1-¿^,4,25)=

Если для некоторого многочлена Л 6 /»(0) ф 0, то оценки

превращаются в равенства.

Напомним, что множество А С называется ¿-кодом, если для любых х,у £ А расстояние Хемминга

Рн{х,у) = \х- у\н ^ к.

Максимальную мощность к-кода обозначим М(к,Щ). Задача об оценке сверху величины М(к,Щ) является центральной в теории кодирования. Известна оценка Дельсарта

М{к,7!%) 5$ 0{п,<1,!%).

По теореме 2.2

1 - 01{п,к,Щ)'

Для оценки величин ус{4,к,Щ), 0(п,с/,2£2) предложен широкий класс многочленов, которые лежат в К(с/, ки \У(с1, к,^) [12-16]. Перебирая их, будем получать для констант Джексона 02(<1,к,Щ) различные оценки сверху. Величина 0 для непрерывных компактов в ряде случаев вычислена точно [15]. Однако в непрерывном случае условие /?(г) ^ 0 (г € г ё является более сильным, чем

в дискретном. Это не позволяет утверждать об экстремальности предложенных многочленов в дискретном случае.

Пусть <,(л) — первый (наименьший) нуль многочлена Яа(£,п),

где ]х[ — наименьшее целое, не меньшее х.

Основным результатом §4 является следующая теорема. Теорема 2.3. Если (I е [1, я], к ^ кп(й), / <е 12{Щ), то

При этом, для (1 6 [1, п], кп(с1) ^ к ^ ] ^ [ константу 1 нельзя уменьшить для всех п.

Теорему 2.3 можно рассматривать как аналог теоремы Джексона [11] для пространства Хемминга.

В §5 исследуется, когда константы Джексона к,Щ) равны

1.

Теорема 2.4. Если в, = 2в — 1, к = 13(тг) и все нули многочлена П,(х, п) — целые, а также если <1 = 2в, к = <5(п — 1) и все нули многочлена Я,{х, п — 1) — целые, то

По-видимому, верно и обратное утверждение. Однако, доказать это не удалось.

Когда все нули многочлена Кравчука целые? Представляется правдоподобным, что при 7 ^ d <; п — 2 все корни многочленов R,(x,n) (d — 2s — 1) и R.,(x,n — 1) (d = 2s) не могут быть целыми. Вопрос о существовании целых корней у многочленов Ллойда Rs(x — 1, п — 1) исследовался в связи с проблемой существования совершенных кодов с кодовым расстоянием к = 2s + 1 [19, с.180-187]. Однако прямо воспользоваться этими результатами нельзя, так как в них п априорно удовлетворяет условию сферической упаковки

для некоторого I.

Известные нам случаи равенства 02^,к,Щ) = 1 при 1 ^ ^ 6 и ^ = п - 1 приведены в следующей теореме.

D2(d,k,Zn2) = 1.

к.

Теорема 2.5. Справедливы следующие равенства.: £>2(1,*,^*) = 1 (к > 1), 02{2,к,Ъ\к+1)=\ 1),

2),

02(5,6&2 + к,Ж122к2+8к+2) — 1 !)■ Д,(5,6А2 + 5А + 1, ^2*'+164+6) = 1 (* £ 0),

£>2(6)6*2 + *)^"3+8*+3) = 1 {к> 1),

/?2(6,6А2 + 5А + 1,2^2+16*:+7) = 1 (к ^ 0), Д2(п- 1,1,22) = 1 (" ^ 2).

В §6 вычисляются константы Джексона Ю(с1, к, Ж,2) для больших Теорема 2.6. Если п б К, в. е [1,п-1], ^^ ^ & ^ 7^ или с( = п,

^ к п и к — четное, то

D22(d,k,Zn2)=-. Если ^ к ^ п и к — нечетное, то D22(n,k,Z'2>) =

1, , « + 1

2(fc+ 1)'

Теорема 2.7. Если A: G N, d G [2,2А-1] или d = 2к и к —

четное, то

Если к — нечетное, то

В §7 константы Джексона D(d, к, Z2) вычисляются для малых

к.

Теорема 2.8. Если п £ N, d — нечетное и 1 ^ d ^ то

Если d — четное и 2 ^ d ^ т}, то

.2, — "+1

2d

Пусть d — нечетное и — наибольшее целое, для которого

при 1 ^ к <С k„(d) выполнены неравенства

Rd(j, п) ^ Rd{k, п) (j £ [£, п]). Теорема 2.9. Если п ЕМ, d — нечетное и 1 ^ к ^ k^(d), то

Пусть hd — наибольший нуль многочлена Эрмнта ¡{¿{z), zd > hd

и

Hd{zd) = max \Hd(z)\.

С помощью предельного соотношения между многочленами Кравчука и Эрмита [16] доказывается следующая теорема.

Теорема 2.10. Если п £ N, d £ [1, п] — нечетное, то для

1

Dl(d,k,Z%) 1

1 -Rd{k,n)' где при фиксированных d и п —► со

ii« = i-Л«

В §8 константы Джексона D?(d, вычисляются для d =

1,2,3 и оставшихся значений к (см. теоремы 2.6, 2.7).

Задача линейного программирования 2 может быть сформулирована так. Найти минимальное А, для которого существует многочлен

С2ли) = -а +

удовлетворяющий условиям:

а

Е

1=1

1)а^0 (г€[М), = 1,

1=1

2)0й0")<о 0'е[М])-

Любой такой многочлен для константы к, Щ) дает оценку свер-

ху.

При с/ = 1 и 1 ^ & ^ п экстремальным является многочлен

2 к 2 <ЫЛ = —-1 + ВД,п) = -(¿-*)-

п п

Для величины М(к,Е2) он дает известную границу Плоткина

Теорема 2.11. Если п е М, к е [1, п), то

1 2 к

Ог2{\,к,Ъ2)

1 — Я\(к, п) п

Для оценки М(к,Ж2) при ^ ^ к < В.М. Сидельников [15] и В.И. Левенштейн [16] предложили многочлен

<Ш = ли - п)и -к) (Л> 0). Он оказался экстремальным для всех 1 ^ к ^

Теорема 2.12. Если п еШ, 1 ^ к ^ то

п + 2к — 1

£>|(2 =

4к

При <; £ < п в.М.Сидельникоп [15] и В.И.Левенш-

тснн [16] использовали многочлен

Яз(Л = в(к - - т,)7 (В> 0),

где Ш1 = + 2(п-2^+1)' Оиенка сверху константы £>2(3которая получается с помощью этого многочлена, будет точной только при условии, что Ш1 является целым.

При ¿ = экстремальных многочленов будет уже

три: ЯШ, ЯЮ), ЯШ-

Теорема 2.13. Если пеН.та £¿(3) = [| - у/п - 1 ] и при ¿¿(З)

Экстремальным многочленом в теореме 2.13 является многочлен ЯШ = Ы],п)~ Я3(к,п).

В случае

п ,-- , п — 1

для задач линейного программирования 1 и 2 выписываем коэффициенты а} = аДга) € [¿,п]), а; = а;(ш) (г = 1,2,3) как функции ?тг 6 [&,гг] и указываем т*, при которых они будут оптимальными.

Например, при | - л/п - 1 < £ < | - | - + Ц

т '

4

12/

Зп-2к + 2

ЯШ = С(к - Ли - т*)и - т* - 1) (С > 0),

а при

" 4- 1 _ . /п.__1. < к < "-1

2 4 у 2 16 ^ к ^ 2

т, =

п + 1

+

2(п — 2к + 1)_

= - ли - "»*)и - т* - 1) {£> 0),

Таким образом, имеем алгоритм, позволяющий вычислять константы Джексона /^(ЗД-,^1) для всех значений к.

Отметим, что хотя многочлены <2з(.?) и <3зО) различны, они дают одинаково точные оценки констант Джексона .02(3, к, 2"), если 1П1 является целым.

ЛИТЕРАТУРА

1. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2// Труды МИАН СССР, 1967. Т.88. С.71-74.

2. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в ¿2// Мат. заметки, 1967. Т.2. №5. С.513-522.

3. ТаЙКОВ Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности в Х2 // Мат. заметки, 1976. Т.20. №3. С.433-438.

4. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в Ь2Ц Мат. заметки, 1986. Т.39. №5. С.651-664.

5. Бабенко А.Г. О теореме Джексона в ¿2// Мат. заметки, 1987. Т.42. №3. С.324-335.

6. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в Ь2// Мат. заметки, 1981. Т.29. №2. С.309-315.

7. Виленкин Н.Я., Рубинштейн А.И. Одна теорема С.Б.Стеч-кина об абсолютной сходимости и ряды по системам характеров нульмерных групп// Изв. вузов. Математика, 1975. №9. С.3-9.

8. Иванов В.И. О теореме Джексона в Ь2 для систем Прайса// Математические заметки. 1993. Т.53. №3. С.37-50.

9. Левитан Б.М. Теория операторов обобщенного сдвига.- М.: Наука, 1973.

10. Рустамов Х.П. О приближении функций на сфере// Изв. РАН. Сер. Математика, 1993. Т.57. №5. С.127-148.

11. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве Ь2 функций на многомерной сфере// Мат. заметки, 1996. Т.60. №3. С.333-355.

12. Дельсарт Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования.- М.: Мир, 1979.

13. Mc Eliece P.J., Rodemich E.R., Rumsey II.Jr., Welch L.R. New upper bounds on the rate of a code via the Delsarte-MacWil-liams inequalities// IEEE Trans. Inform. Theory, 1977. V.23. N.2. P.157-166.

И. Клбатянский Г.А., Левенштейн В.И. О границах для упаковок на сфере и в пространстве// Проблемы передачи информ., 1978. Т.14. № 1. С.3-25.

15. Сиделышков В.М. Об экстремальных многочленах, используемых при оценках мощности кода// Проблемы передачи информ., 1980. Т.16. №3. С.17-30.

16. Левенштейн В.И. Границы для упаковок метрических пространств и некоторые их приложения// Проблемы кибернетики, 1983. Вып.40. С.43-110.

17. Юдин В.А. Покрытия сферы и экстремальные свойства ортогональных многочленов// Дискр. математика, 1995. Т.7. №3. С.81-88.

18. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства,- М.: Наука, 1964.

19. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки.- М.: Связь, 1979.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Смирнов О.И. Теорема Джексона в ¿2 для систем Крестенсона

- Левн// Мат. заметки, 1993. Т.53. №4. С.111-130.

2. Иванов В.И., Смирнов О.И. О теореме Джексона в пространстве 12{Щ)// Мат. заметки, 1996. Т.60. №3. С.390-405.

3. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона в пространствах ¿2 на метрических компактах// Изв. Тул. гос. унта. Сер. Математика. Механика. Информатика,- Тула: ТулГУ, 1996. Т.2. Вып.1. С.93-118.

4. Смирнов О.И. Константы Джексона в пространстве /2(^5)// Изв. Тул. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика.

- Тула: ТулГУ, 1996. Т.2. Вып.1. С.191-219.