Некоторые экстремальные задачи для дискретных периодических функций

Рудомазина, Юлия Дмитриевна

Некоторые экстремальные задачи для дискретных периодических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Рудомазина, Юлия Дмитриевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Тула МЕСТО ЗАЩИТЫ

2006 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Некоторые экстремальные задачи для дискретных периодических функций»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые экстремальные задачи для дискретных периодических функций"

На правах рукописи УДК 517.5

</'$€*<*£■

РУДОМАЗИНА Юлия Дмитриевна

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — математический анализ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Автореферат

Тула — 2006

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Иванов Валерий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Черных Николай Иванович

кандидат физико-математических наук Андреев Николай Николаевич

Ведущая организация: Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 22 ноября 2006г. в 14.00 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С, Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН.

Автореферат разослан 20 октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 004.006.02 / .__л Н. Ю. Антонов

кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению дискретных экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта для тригонометрических полиномов на циклической группе вычислению дискретных констант Джексона в пространстве ¡2

Актуальность темы. Задача Фейера о наибольшем значении неотрицательного тригонометрического полинома с фиксированным средним значением, экстремальный полином в задаче Фейера нашли много численные применения в различных областях математики. В аналитической теории чисел, теории функций используется обобщение задачи Фейера на случай полиномов с заданным спектром, известное как задача Монтгомери, Ею занимались X. Монтгомери, Д.В. Горбачев, A.C. Белов.

Задача Турана — это задача о наибольшем среднем значении положительно определенной функции с фиксированным значением в нуле и заданным носителем. Она находит применение в теории чисел, цифровой обработке сигналов. Ею занимались С.Б. Стечкин, H.H. Андреев, А.Ю. Попов, В.В. Арестов, Е.Е. Бердышева, В.И. Иванов, Д.В, Горбачев, R.P. Boas, M. Кас, M. Kolountzakis, S.Révész, A. Garsia, E. Rodemich, H. Rumsey. Задача Турана для периодичен ских положительно определенных функций допускает редукцию к дискретным задачам Фейера и Турана.

Задача Дельсарта — это задача о наибольшем среднем зиачепии положительно определенной функции с фиксированным значением в нуле и неположительной вне заданного множества. Она используется в задачах об оценке мощности кодов, дизайнов, контактных чисел, плотности упаковки однородных пространств. На этом пути важные результаты получили Ф. Дельсарт, Д. Геталс, Дж. Зейдель, К. Дан-кл, А. Одлыжко, М. Слоэн, В.М. Сидельннков, В.И. Левенштейн, Г.А. Кабатянскин, Г. Фазекаш, В.А, Юдин, H.H. Андреев, В.В. Арестов, А.Г. Бабенко, O.P. Мусин, Д,В. Горбачев, Т. Hales, H. Cohn, N. Elides, A. Kumar и др. Задачи Дельсарта для ассоциативных симметричных схем отношений являются дискретными экстремальными задачами.

стов, А.Г. Бабенко, В-И. Иванов, В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев, В,Т. Ше-валдин, A.A. Лигуи, A.B. Московский, О.И. Смирнов, С.Н. Васильев, А.И. Козко, A.B. Рождественский, Е.Е. Бердышева, A.A. Тюрюканов. Точные константы или константы Джексона являются функциями размерности приближающего подпространства и аргумента в модуле непрерывности. В пространстве Li на торе Т константа Джексона вычислена только в одном случае Н.И. Черныхом. Один из подходов к вычислению констант Джексона в пространстве 1-2(10 состоит в вычислении дискретных констант Джексона в пространстве hfäq) и последующем предельном переходе при q оо.

Цель работы. Основной целью диссертации является решение дискретных экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта, задачи о дискретных константах Джексона в пространстве на конечной циклической группе и прямом произведении циклических групп.

Методика исследований. Применяются методы теории функций, теории приближений, теории чисел, дискретной математики.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Решены дискретные экстремальные задачи Фейера, Турана, Дельсарта для полиномов па циклической группе 1>я. Исследованы экстремальные функции в этих задачах.

В ряде случаев вычислены дискретные константы Джексона в пространстве hfäq)-

Для двух ассоциативных симметричных схем отношений на прямом произведении циклических групп вычислены максимальные мощности кодов. С их помощью получены двусторонние оценки в многомерных дискретных экстремальных задачах Фейера, Турана, Дельсарта, в задаче о многомерных дискретных константах Джексона.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные методы могут быть использованы при решении экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта, задачи о константах Джексона на других ассоциативных симметричных схемах отношений.

ближений, нелинейный анализ» в г. Москве (2005г.), XIV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» в г. Пензе (2005г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы* в г. Воронеже (2005 г), III Международном симпозиуме «Ряды Фурье и пх приложения» в г. Ростове-на-Дону (2005г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [15,16,17,18], три из которых написаны в соавторстве. Одна статья в соавторстве с В.И. Ивановым, а две - в соавторстве с В.И. Ивановым и Д.В. Горбачевым.

В работах [16, 18] автору принадлежат результаты по дискретным экстремальным задачам. Леммы 3, 4, 5 в {16, 18] получены совместно с В.И. Ивановым.

Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на 9 параграфов. Общий объем диссертации - 118 страниц. Библиография содержит 57 наименований.

Основное содержание работы

Диссертация состоит из двух глав. Первая глава содержит 5 параграфов и посвящена решению дискретных задач Фейера для полиномов, определенных на циклической группе

В § 1 излагаются элементы гармон ического анализа в пространстве h(Zir)*

Пусть ехр(2тгго!) = е(ж), cos(27ne) = с{х), q 2, Ъч — {0,1,..., q — — 1} — циклическая группа порядка qy — евклидово простран-

ство всех функций / : —v С со скалярным произведением

(f>9) - - £ /(®)55)

л ' *

4 x€Zq

и нормой j|/||2 = у/ЦТ/)-

Система характеров {e(kx/q) : к — 0,1,... — 1} является полной ортонормированной системой в 12(%>я). Для любой / € h{^q) справедливо разложение в сумму Фурье

/(*) = £ fke (kx/q) , Л - (/И>е (кх/я)) • fc=0

В подпространстве четных функций ортогональный базис образует система косинусов : к а= 0,1,..., [<у/2] = ш}. Для любой чет-

ной / 6 h(%q) справедливо разложение .

На %q рассматриваются два отображен

= min{x»9 — я}: Zg ч- Zq> d%{x) — max{x,g — x}:

определяющие две метрики у) = dt{x — у), у) — d${x — у) с множествами расстояний

dt(Zg) = {0,1,...,ш}, d2(Zq) = {0, [fo + 1)/2],..,,q - 1}.

Метрики определяют на Ъч две ассоциативные симметричные схемы отношений

П = {Ъч, d, у)), К2 « (Z,, (яг, у)) 6

с ш классами. Схема Yi известна как схема правильного ^-угольника. Определения и основные факты об ассоциативных симметричных схемах можно найти в [1].

С помощью метрик определяются подпространства полиномов

Чр,я = { / € 12(%я) : }{х) - £ fke{kx/q) I , Ci,™ = I / € h(Zq) : fix) = J2 Mkx/q) I (

( di&Kd.ip) J

i = 1,2; p = 0,1,... ,u>. Полиномы из TifPtq могут быть записаны в виде

/(я) -

1*Кр

из T2,p,v — в виде

я-р

из CiiP,g — в виде

из С2,Р(д — в виде

/О*?) = То +

fc=p

к=0

f(*) = fo + J2?kc(kx/q). к=р

Подмножества неотрицательных на полиномов обозначим Т*рч, Г+

В §2 ставятся дискретные варианты известной задачи Фейера о наибольшем значении неотрицательного на торе тригонометрического полинома с фиксированным средним значением.

Рассматриваются четыре дискретные экстремальные задачи. Вычислить величины

Л1(р,д)=8ир{/(0):/еГ+р„11,, /0=1} + (1)

л2(р, Я) = вир {/(0) : / € т2+/о = 1} (1 < р ^ ш), А1(Р,«) = вир {/(0) : / е /о = 1, Л ^ О} ,

А2(р,<7) = зир {/(0) : / € Т2+ То = 1, Л > О} .

(2)

(3)

(4)

В задачах (3), (4) условия неотрицательности накладываются как на значения полиномов, так и на их коэффициенты. Условие неотрицательности коэффициентов является необходимым и достаточным условием положительной определенности полинома.

Легко убедиться, что в этих задачах можно обойтись только четными полиномами, то есть заменить в определениях (1)-(4) подпространства на г = 1,2.

Полиномы на %ч можно считать заданными на подгруппе Qq — — {{/д ; г = 0,1,... — 1} тора Т = [0,1). Поэтому множество неотрицательных полиномов на гораздо шире, чем множество неотрицательных тригонометрических полиномов на Т и для них нет известных представлений. Это обстоятельство объясняет трудность рассматриваемых задач. В задачах (1)-(4) должны появиться новые экстремальные полиномы, так как нули экстремальных полиномов на Т не всегда будут попадать на подгруппу

Сформулируем непрерывные варианты дискретных задач. Их достаточно ставить для четных тригонометрических полиномов. Пусть

Подмножества неотрицательных на торе Т тригонометрических полиномов обозначим

Вычислить величины

(5)

(6) (7)

Afaq) = sup {/(0) : / G C+q ,/o = 1, Д- > ü} .

(8)

Задачу (5) поставил и решил в 1916 году Л, Фейер |2]. Он показал, что А(р) = р. Оценка снизу была получена с помощью полинома, известного теперь как полином Фейера

Экстремальный полином (9) единственен. Оценка сверху была доказана им многими способами, в том числе и с помощью квадратурной формулы прямоугольников

//(«>* = ;£/(;)• («О

£ г k~o

справедливой для полиномов порядка р — 1. Так как коэффициенты полинома Фейера неотрицательные, то Х(р) = Л(р).

Задачи (1)-(4), (6), (8) также будем называть задачами Фейера.

При р = 1 Л(1,д) = Л(д), при р > 2 задача (6) сложнее задачи (5). В несколько другой, но эквивалентной форме она ставилась X. Монтгомери [3] в связи с исследованием множеств ван дер Корпу-та.

К задаче (1) Д.В. Горбачевым и A.C. Маношиной [4] была сведена задача Турана для периодических положительно определенных функций с малым носителем. Подробнее об этом будет идти речь во второй главе. Отметим только, что решение дискретных задач Фейера позволит решить дискретные задачи Тураиа, Дельсарта, в ряде случаев вычислить дискретные константы Джексона в пространстве

В §3 исследуются знаки коэффициентов одного класса четных полиномов. Этот параграф носит вспомогательный характер. Его результаты будут использованы при построении экстремального полинома в задачах Фейера (1), (3).

Рассмотрим четный тригонометрический полином порядка р — 1

р-1

tj>-i(x,v?) — II(ФО - (11)

к=1

переменной х с нулями ázkip, к — X,.., ,р — 1. Полином Фейера (9) с точностью до положительного множителя получается при <р — s/p, s в {1,... — 1} и; взаимно просто с р ((s,p) — 1). Запишем разложение (11)

U=o

+ гЧ-хЦ = ^

«í(v) « ^^r^^J-i-fcH. fcо, 1,... ,р - 1.

Коэффициенты являются четными тригонометрическими по-

линомами переменной порядка Sf¡ = pfe—fe(fc+1)/2, а коэффициенты — порядка $k — (р + fe)(p — fe — 1)/2, Ar — 0,1,... ,р — 1. Полиномы Арк{ф) не допускают разложения иа простые для исследования их знака сомножители. Положим

ВЦ?) = ¿Ltív) + fe -1,.. - ,р -1, в$(<р) = i.

С помощью рекуррентных соотношений для В^(<р) устанавливается возможность их простой факторизации.

Лемма 1.1. Для к = 1,. ..,р- 1

= д gimr(2p-y)^

* Sm7Tí/0?

Отсюда выводятся достаточные условия положительности коэффициентов полинома (11).

Лемма 1.3. Если г <= {1,...,р-1}, (г,р) « 1, |у?0-г/р| < 1/2р2, то sgnB£(<¿?o) = (—l)fc и

p—1—к

£ fe = 0,1,... ,р — 1.

s=0

В частности,

«о(^о) > 0.%(yo) > ■ ■ • > a£__x(v?o) > 0.

Лемма 1.4 показывает, что при небольших возмущениях пулей полинома Фейера (9) положительпость коэффициентов сохраняется.

Коэффициенты полиномов Арк (у?) имеют арифметический характер. В § 4 показывается, что они совпадают с числами решений некоторых диофантовых уравнений.

Если х£{5) — число решений диофаитова уравнения

Пх + П2 Н-----1- Пк = 5,

где

щ € {±1,±2,...,±(р- 1)}, П1 < П2 < • " < Пк, ^ е .,$*}>

ТО

ЛЦч>) - х£(0) + 2 £ к = 1,..., р - 1.

Для чисел х£(5) выводится рекуррентное соотношение

*£(•) = + хЙ (•) + хЙ(» - р +1) + + Р -1).

С помощью рекуррентного соотношения вычисляются числа Хг(«)» Хз(*)> «^пример,

{р-1, 5 = 0,

р-2-[*/2], * = р — 1 — [л/2], 5=р,...,2р-3.

Числа х£(3) для всех р, А; и 5, по-видимому, неизвестны. Но если бы даже они были известны, то исследовать с их помощью знаки значений полиномов А%(<р) было бы затруднительно. Наоборот, может быть лемма 1.1 будет полезной при их вычислении.

Параграф 5 является основным в первой главе. В нем решаются задачи Фейера (1)-(4).

Вначале исследуем задачи (1), (3). Экстремальные полиномы в задаче (1) будем обозначать

Рр>я(х) - Е ^с(кх^), Рг = Ь

а;=0

Если р = ш + 1, то с помощью квадратурной формулы прямоугольников (10) легко выводим

АхСр»ЧГ) = = Я-

Экстремальный полином единственен и имеет вид

= ^2r,lkc(kx¡q), (12)

к=0

где

{1, к — 0, д/2( ц— четное), 2, иначе.

Рассмотрим основной случай р ^ ги. Ои подразделяется на три

1) Р | Ч (рделит д); 2) (р,д) = 1 (р и д — взаимно простые);

3) (р,1. Если р { то = ~ • ^ и числа ^ — целые, поэтому применяя

Г 1 " Г

квадратурную формулу прямоугольников (10), получим

Л-1 (р,д) = Мр>я) - Р> причем в качестве экстремального полинома можно взять полином

где — полином Фейера (9). Однако экстремальный полином в задачах (1), (3) иеединственен. Все экстремальные полиномы в задаче (1) имеют вид

Ь>/2] [СР- 1)/2]

*!=0 а;=0

где Ао > 0, гк € Е, - дк/р\ ¡5 1, А: = 1,..., [(р - 1)/2].

Нам не удалось доказать, что коэффициенты полиномов (13) неотрицательные.

Пусть теперь (р,д) — 1. Экстремальный полином в задачах (1), (3) единственный и строится следующим образом. Пусть

" ■» ~ 1» • - • > [р/2]} , = {\qifp] + 1 : * = 1,..., [(р - 1)/2]} . = д и 5р

Множество Эр^д содержит р — 1 элементов, которые лежат на

интервале (0,д/2). Занумеруем их в порядке возрастания < г2 < < * * • <

Нетрудно видеть, что числа аппроксимируют нули поли-

нома Фейера (9). Положим

р-1

= П (Ф/9) ~ Ф*/«)) , (14)

где Ао > 0 выбрано так, чтобы = 1.

По построению и свойствам чисел г* полипом (14) из Доказательство неотрицательности его коэффициентов основано на изучении арифметической структуры множества Пусть для а € € Ъ (а) — расстояние до ближайшего целого, кратного

Лемма 1.12. Если р, д е Н, р < го, (р><?) = 1, то существует число г — г(р, q) € {1,..., гу} такое, что

5р,д = {(Г?): Л = 1}.

Число г является обратным относительно умножения в Ъч для р или д — ру в зависимости от того какое обратное лежит в {1,..., ги}. Таким образом, полином (14) может быть записан в виде

р-1

Ь=1

Применение леммы 1.3 для <ро — г/д дает неравенства

2р$'4 = 2 > Г?'4 > Р£ч > • •. > рРД > 0.

Экстремальность полинома (14), в задачах (1), (3) устанавливается с помощью квадратурной формулы

справедливой для любого полинома из С1)Р_1)?.

Гипотезы о виде экстремального полинома (14) и квадратурной формулы (15) при (р, д) = 1 были высказаны В.И. Ивановым в 2001

году. На пути проверки этих гипотез Д.В. Горбачев и А.С. Маноши-на ¡4} решили задачи Фейера (1), (3) для случаев, когда р — мало, а ц — произвольное; р — произвольное, д — 2р + 1.

Рассмотрение случая, когда р { <7, (р, <?) = ^ > 1 основано на двух предыдущих. Экстремальный полином является произведением экстремальных полиномов, а квадратурная формула является прямым произведением квадратурных формул для первых двух случаев. Подведем итоги в следующей теореме.

Теорема 1.1. Еслир€ М, р < и>, (р,я) — (1,1 < <1 < р, р ~ р'сГ, д~я'с1, (р\?') - 1, то

Аг(р,</) - А!(р,д) = ¿^(0) = ^,„(0).

Все экстремальные полиномы в задаче (1) имеют вид

где ^^ — полиномы, определенные в (13), а Рр<л> - полином, определенный в (14). Экстремальным полиномом в задаче (3) является, например, полином Р<1-1{х(я)РР' Я'(х), где — полином Фейера

(9).

Если р = т 4-1, то

М(р>Я) = А1 (р,я) = я.

Единственным экстремальным полиномом в задачах (1), (3) является полином (12).

Перейдем к описанию решений задач (2), (4).

Лемма 1.17. Если р,я € р ^ ги, то

Ах(р»?)Л2(Р,4) < Я-

Остается указать экстремальные полиномы в этих задачах. Экстремальные полиномы в задаче (2) будем обозначать

и> к=Р

Если р | я = р<1, то положим

/рЛ*) = (7) = 1 + 2Е (Х - с(ркх/д). (10)

Если ip,q) = 1,

GPi4(x) = FP)9(rx)/FP)9(0),

то положим

q—l ш

UÄx) = E = 1 + E Й'ЧЬ-/?)- (17)

Jt=0 Jt=p

Если (p, g) = d, p ~ dp'7 q — dq\ (p', q') — 1, то положим

tu' w'

W*) = fpW(v) = 1 + E fi*'c{kxfq>) = fi''9'<dkx/q).

k=p' fc=i>'

(18)

Теорема 1.2. EcAup.q € N, p < w, mo

Л2(р,д) = Л2(р,д) = /м(0) = g/FPii(0).

Экстрел4алыше полиномы в задачах (2), (4) баются форму-

лами (16)~(18).

Экстремальные полиномы в случаях р | g и (р, g) = 1 едтгствен-иы. Отметим также, что в задачах (2), (4) для всех случаев выписаны квадратурные формулы, которые как и лемма 1.17 дают нужные оценки сверху.

Опираясь на теоремы 1.1, 1.2, Д.В. Горбачев [16, 18| решил задачи Монтгомери (6), (8). Решение этих задач также анонсировано A.C. Беловым [5]. Отметим, что в [5] приведен и полином (14) без доказательства его свойств.

Вторая глава содержит 4 параграфа и посвящена решению дискретных задач Тураиа и Дельсарта для полиномов на вычислению дискретных констант Джексона в пространстве U(Хя). Рассмотрены также многомерные варианты этих задач.

В §1 решаются дискретные экстремальные задачи Турана и Дельсарта.

Постановки дискретных экстремальных задач Турана и Дельсарта для двух схем отношений Yi и Y-z на Ъч состоят в следующем. Мы приведем их для четных функций. Вычислить величины

Г w

ат>1 = яирI /о : f(x) = Е Tkc{kxjq), Д > 0, /(0) = 1,

^ fc=0

f(x) = 0, x = p,...,ff-pj (l^p^w). (19) or,2 = sup< /о : /(x) = £ fkc(kx/q), Д ^ 0, /(0) = 1,

f(x) a= 0, (Кр-Кш), (20)

= sup^ Й : /(®) = ^2Tkc{kx/q), Д > 0, /(0) = 1,

f(x) < 0, x = P,..., q - p j (1 ^ p ^ ги), (21)

f W ^ л

<^,2 = sup<^ /о : /(x) = £Ac(fcx/9), Й > 0, /(0) = 1, ^ fc=0

/(x)<0, x^l^.^p-lj (1^р-1<ш). (22)

Задачи (19), (20) — это задачи Турана, а (21), (22) — задачи Дельсарта.

Величины (19)-(22) связаны неравенствами

artl(p,?) < aDti(p,?), aT>2(p,q) < ар,2(р,?). Экстремальные полиномы в задачах (19), (20) обозначим

W и>

fc=0 fc=0

соответственно.

Непрерывный вариант задачи (19) был поставлен в 1970 году П. Тураном в беседе С.Б. Стечкину. Он состоит в следующем. Для h € (0,1/2] вычислить величину

Лг(Л)=8ир J f{x)dx, (23)

-h

если

оо

l)/(x) = £/*c(b:), Тк> 0, Jfc=0

2) /(0) = 1, f(x) =0, h^)xК 1/2.

С.Б. Стечкии [6] вычислил Ат(1/д) = 1 fq, q € R А.Ю. Попов показал, что для остальных h Ат{Ь) > h. Д.В. Горбачев и A.C. Ма-иошина |4] доказали, что для рациональных h — p/q, (p,g) = 1, р ^ ш

Ат(р/я) = агд(p>q) - Л^р, q)jq. (24)

Таким образом, для рациональных h задача Турана (23) эквивалентна задачам (1), (19).

Непрерывный вариант задачи Дельсарта (21) состоит в следующем. Вычислить величину

1/2

Ло(М - sup У* f(x)dx, (25)

-1/2

если

оо

1)Äc(fcx), fk>0,

fc=о

2) /(0) = 1, f(x) s; 0, h < V2.

Задачи, подобные (21), (25), ставились Ф. Дельсартом [1] для многочленов по зональным сферическим функциям, связанпым с ассоциативными симметричными схемами отношений, с целью получения верхних оценок мощности /с-кодов на этих схемах. Наиболее сильные результаты в решении задач Дельсарта были получепы В.М. Сидельниковым [7], В.И. Левенштейиом [8], В.В. Арестовым и А.Г. Бабенко [9]. Отметим, что

Ат(р/<1) < AD(p/g) ^ aDii(p,q), (26)

Теорема 2Л. Если p,q е N, р < w, mo

ат,1 (р, ?) - az?,i(p, q) = Aj (р, ff)/? = (0)/q. Все экстремальные полиномы в задаче (19) гшеют вид

9 fc=0 17

где Рр,ч(х) — полиномы, экстремальные в задаче (1). Полиномы, экстремальные в задаче (19), являются экстремальными и в задаче (21).

Из теоремы 2.1, (24), (26) вытекает следствие. Следствие. Если р,я 6 р ^ ш, (р, <?) = 1, то

АТ(р/я) = Ар(р/д) = ^Р>9(0)/?. Теорема 2.2. Если р,я € М, 2 ^ р < го + 1, то

ат,2{р,я) -о-оа^ч) ~ Л2(р,«)/д = 1/^р,д(0). Все экстремальные полиномы в задаче Турана (20) имеют вид

9 к=о

где /р,<г(#) — полиномы, экстремальные в задаче (2). Полиномы, экстремальные в задаче (20), являются экстремальными и в задаче (22).

В §2 исследуется задача о дискретных константах Джексона в пространстве

Пусть для 1 = 1,2; Н € ^г(^) \ {0}

£Л,»(/)2 - Biin

at-

/(я) - XI o.ve{yxfq)

— величина наилучшего приближения функции / €

w4(dt/)2 = max{||/(x + ft) — /(r)[|2 : 4(A) < <*}

— ее модуль непрерывности,

sup ^^

дискретные константы Джексона, то есть наименьшие константы в неравенстве Джексона

ЯкЛЛ2 < ¿М^/Ь-18

Определим более общие чем (21), (22) варианты задач Делъсарта. Для r,p = 1,,.., w вычислить величину

вхм(»*,р,д) = sup/о,

если

1) £ > 0, г — 1,,..,г, ¿£ = 1,

£=0

2) 0, ¿=р,...,и>, 1=0

Для г = 1,..., ш, р = 2,..., ш 4- 1 вычислить величину

й/з,2(пр,9) = »ирЛ,

если

•ш

1)Л^0, г = г,...,ш, /о + = 1.

¿=г

ги

2) Л + £ Лс(у/в) <0, > - 1....... 1.

»=5Г

Эти величины с величинами (21), (22) связаны равенствами

(р><?) — асд(ш,р,д), ао,2(р,^) - аг>,2(1 >Р><7)- (27)

А.Г. Бабенко [10] доказал, что

Ь)2 = 1 -аол{<1,к,Я). (28)

Используя это равенство, он вычислил константы Джексона в двух случаях

2) В\(с*, к)2~ 1 - д ~ М— четное, 2 ^ I < + 2.

Во всех этих случаях & | Предельный! переходом при д —> оо из первого равенства вытекает неравенство Джексона с точной константой в пространстве ¿г(Т), установленное Н.И. Черныхом [11]. Аналогично (28) доказывается равенство

к)2 = 1 - - я - к + 1, д). (29)

Из равенств (27)-(29), теорем 2.1, 2.2 вытекают следующие теоремы.

Теорема 2.5. Если к = 1,.. . то

/>?К*)3 = 1 - аОЛ(к,д) « 1 - Г*,,(0)/?.

Теорема 2.6. Ясли Аг = [(<? 4- 1)/2],.,. ,д - 1, то

- 1»*Ь = 1 - оД(2(д - А; + ~ 1 — 1/^_*+1)9(0).

В §3 рассматривается обобщение схем отношений Уь У* на случай прямого произведения циклических групп. Для них вычисляются максимальные мощности Аг-кодов, которые затем будут применены для оценок сверху в многомерных задачах Дельсарта и оценок снизу многомерных констант Джексона.

Пусть д — (до» - € Н71, ^ ^ 2, г - 0,... - 1,

х ••• х = {хт= (аг0."..®п-1): е^}

— конечная абелева группа с операцией покоординатного сложения по соответствующему модулю,

М0 = 1, Мх = д0> Мк =

Мо - 1, А/£ = М'^дп-к (А: = 1,...,п).

Для € Сд положим

п-1 а:=0

= шт{|аг|т| - х\}, Н2{х) = шах{|х|,| -

<МХ>2/) - ^(х-у), = с12(х - у).

Пары У™ = г = 1,2 будут ассоциативньши симмет-

ричными схемами отпошений с (Мп/2 + 2г,,~1 — 1)-классами. Здесь ¿п - количество четных чисел среди до,..., При п = I получим схемы УЬУ2. Схема У2" является метрической.

Для г = 0,..., п — X положим

= тах{|х| : х € хГ+1 = •• • = = 0, \х\ < |

Пусть — множества значений отображений с1^(хуу) : х

х Имеем

тах{А;: к € сг1(С?«>> = тах{&: к € = Мп - 1.

Множество А С пазовем к~кодом в схеме если для любых Хуу € А, х ф у будет к{(х,у) ^ Максимальную мощность Аг-кода обозначим т^к, В схеме К/1 можно считать к ^ в схеме

У2П - к ^ Л/п - 1.

Обозначим [т, Л/] = {т, т +1,..., М}, р(д, з) — наименьшее р 6 6 Н, при котором уравнение

Г1 + г2 Н----+ г, = 0 (тоа д), п € [1,р]

имеет решение.

Пусть для г € [0, п — 1]

*г = ([(?г + 1)/2]+1)Л/г-1, кг = кг (яг— четное),

/-1 г-1

К = [(Яг + 1)/2]ЛГР + - 1)М> + -р(и,9г))М,

1=0 «=(

(<7г~ нечетное),

где / 6 {0,1,... ,г — 1} — наибольшее, для которого Я1 \ <?г и яг \ а при У = / 4- 1,.., ,г — 1 Я} | яг или яг | если такого I нет, то I ~ 0.

Теорема 2.7. Если г 6 [0, тг - 1], к € [Мг, Мг+1 - 1], то

ЯтМ'п-г-1> ке[Мгукг]у

(Яг - 1 ке [кг + 1,А:Г],

(Яг - г + 1)А/Д„Г_1, к е [аМ„ (в + 1 )МГ - 1],

з € [[(^г + 1)/2] + 1,?г - 1].

Если все Яг = то = кг и теорема 2.7 при д = 2 была доказана О.И. Смирновым [12], а при £ > 3 - А.А. Тюрюкановым [13]. Для в € [1, [яг/2] — 1] положим

# = (* + 1)Л/г-1

1-1 г-Х

% = вМг + - 1)М + - т))Л/^ (5 |

(=0 »=/

где = те, / е {0,1,... уг — 1} — наибольшее, для которого Я1 и т \ 5/, а при .7 = / -Ь 1,..., г — 1 ду | т или т | ду; если такого I нет, то I = 0.

Теорема 2.8. Если г е [0,п - X], в е [1, [?г/2] - 1], то

([*./*] - ке[К + 1, (* + 1)Л/Г - 1],

АС-г-1» АеК +1,Мг+1 -1], тфп-1.

В §4 исследуются мпогомерпые варианты дискретных задач Фей-ера, Турана, Дельсарта, задачи о дискретных константах Джексона, связанные с,о схемами отношений >7\ г = 1,2.

Пусть Ь(С^) — евклидово пространство всех функций / : —> С со скалярным произведением

Если для е = {^/iXi/<li), то система функций

»=о

{^(ж)} = {е({г/, ж))} будет образовывать в пространстве пол-

ную ортонормироваииую систему (систему характеров группы (?£) и для любой / € справедливо разложение

/(х) = £ Л^С«). Л-= (/»¥>")•

Для произвольной / € ) определим величины наилучших приближений

и модули непрерывности

/ - £

Константы Джексона определим равенством

= вир ; . (30)

Если копстанты Джексона в hfáq) связаны с константами Джексона в пространстве (Т) (см. [10] ), то константы Джексона в (30) связаны с копстантами Джексона в пространствах ¿2 на нульмерных группах [14].

Сформулируем многомерные задачи Фейера, Турана, Дельсарта. Для к е di(Gq) вычислить величины

Ai(fc,(?;)=sup{/(0) :/(*)= £ ?»Ч>Л*)*

di(y)<k

/о = 1> f(x)> о, (31)

A ¿(A, Gf) = sup{/(0): Дх) = £ A - U U> 0,

d¡(v)<k

0<d¡{i/)<fc, Дх)^0, xeG^}, (32) = sup {Л : Дх) = £ /,*>„(х), 0, f €

/(0) = 1, Дх) = 0, d¡(x) > fe}, (33)

= sup {jo : /(«) = ^ Mv(x), 0, v G CJ,

/(0) - 1, Дх) < 0, rft(x) ^ fe}. (34)

Задачи (31), (32) — это задачи Фейера, (33) — задачи Турана, (34) — задачи Дельсарта. Задачи Турана и Дельсарта на связаны с задачами Турана и Дельсарта на нульмерных группах.

Теорема 2.9. Если г € [0,п — 1], s е [lJtfr/2]], wo

aTtl(sMryG%) = aDll(sA/r,G») = Ax(sMr^)/Mn =

= Al(sAír,G^)/Afn - ^(0)/Af;_r,

Ясли r e [O.n-l], í 6 [l,[?r/2] - 1], fe G [sAfr + l,(s 4- l)Afr - 1], fe G di{G^)f то

1- l/mx^GJ) < DiCdn-bfc.GJJa ^ 1 - Fa,9r(0)/M^_r. Эгтт неравенства превращаются в равенства, если $ | qr, к € [яЛ/г +

Теорема 2.10. Если г е [0,n - 1], 5 е [[(gr + l)/2],gr — 1]> гпо

aT>2{sMr,G*q) = aD,2(sMr>G£) - Л2{sMr,G»)fMn =

= А2(*Мг,С;)/ЛГп = l/Fir.1+i,,r(0)MU.lt

Если г € [0, тг - 1], s € [[(?Г + 1)/2], - 1], Ar € [sMT + !,(« +1 )Mr - 1],

тоо

1/F,P_,+1,,„(())<_,._! < A2(A:,C%)/Mn < A2(fc,G£)/Mn =

= aT>2(kyG«) < < l/m2(fc,G£),

1 - l/ma(fc, ^ Dl(Mn, Ar, G»h < 1 - (0)M;_r_i. (35)

Эти неравенства превращаются в равенства, если s = [(gr -(- 1)/2], Л € [[(<?r+l)/2]Mr4-l,fcrj «ли$ € [[(ir + l)/2] + l,ir-lb (?r-« + l) | <7r, Jk € [sMr + 1, (s + 1)МГ - 1].

Для к — sMr экстремальные полиномы в задачах (31), (32) являются произведениями экстремальных одномерных полиномов. В остальных случаях для оценок используются максимальные мощности Ar—кодов. Вопрос об экстремальных полиномах в этих случаях остается открытым.

Пусть все qi — q. При q — 2 константы Джексона D2(d,k>Gq)2 для всех d и к были вычислены О.И. Смирновым [12], при q = = 3,4 - A.A. Тюрюкановым. При q > 5 теорема 2.10 была доказана A.A. Тюрюкановым [13] для случаев, когда неравенства (35) превращаются в равенства.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В.И. Иванову за помощь в подготовке диссертации.

Литература

1. Дельсарт, Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования / Ф. Дельсарт. М.: Мир, 1976.

2. Fejér, L. Über trigonometrische Polynome /L. Fejér // J. Reine Angew. Math. 3916. V. 146. P. 53-82.

3. Montgomery, H.L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis /H.L. Montgomery. Providence, IU: Amer. Math. Soc., 1994.

4. Горбачев, Д.В. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения / Д.В. Горбачев, A.C. Мано-шина // Матем. заметки. 2004. Т. 76, №5. С. 688-700.

5. Белов, A.C. Об оценке снизу равномерной нормы частных сумм неотрицательного тригонометрического полинома / A.C. Белов // Вестник Ивановского государственного университета. Серия «Биология, Химия,Физика, Математика*. 2005. Вьгп.З. С. 73-83.

6. Стечкик, C.B. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами / С.Б. Стечкин // Acta Math. Acad. Scient. Hungar. 1972. T. 23 (3-4). P. 289-291.

7. Сидельников, B.M. Об экстремальных многочленах, используемых при оценке мощности кода / В.М. Сидельников // Пробл. передачи информации. 1980. Т. 16, № 3. С. 17-30.

8. Левенштейн, В.И. Границы для упаковки метрических пространств и некоторые их приложения / В.И. Левенштейн // Пробл. кибернетики. 1983. Т. 40. С. 43-110.

9. Арестов, В.В. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел / В.В. Арестов, А. Г. Бабенко // Труды МИРАН. 1997, Т. 219. С. 44-73.

10. Бабенко, А.Г. Неравенство Джексона для среднеквадратичных приближений периодических функций тригонометрическими полиномами на равномерной сетке / А.Г. Бабенко // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 3. С.460-472.

11. Черных, Н.И. О неравенстве Джексона в Ьг / Н.И. Черных // Труды МИАН СССР. 1967. Т. 88. С.71-74.

12. Смирнов, О.И. Точные константы Джексона в пространстве hiZ?) / О.И. Смирнов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика, Информатика. 1997. Т.З. Вып. 1. С. 71-79.

13. Тюрюканов, A.A. Константы Джексона в пространстве и коды на группе / A.A. Тюрюканов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001, Т.7. Вып. 1. С. 154-161.

14. Иванов, В.И. О теореме Джексона в L2 для систем Прайса / В.И. Иванов // Матем. заметки. 1993. Т.53, К* 3. С.37-50.

Работы автора по теме диссертации

15. Рудомазина, Ю.Д. Коды на конечной абелевой группе G и константы Джексона в пространстве h(G) / Ю.Д. Рудомазина // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2002. Т.8. Вып. 1. С. 119129.

16. Иванов, B.II. Экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье / В.И. Иванов, Д,В. Горбачев, Ю.Д. Рудомазина ,// Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т.Ю. Вып. 1. С. 76-104.

17. Иванов, В.И. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем / В.И. Иванов, Ю.Д. Рудомазина // Матем. заметки. 2005. Т.77, №6, С. 941-945

18. Ivanov, V.l. Some extremal problems for periodic function with conditions on theire values and Fouries coefficients / V.l. Ivanov, D.V. Gorbachev, Yu.D. Rudomazina // Proc.Steklov Inst. Math. Suppl, 2005. Iss. 2. P.S.139-S.159.

19. Рудомазина, Ю.Д. Константы Джексона и коды на конечных абеле-вых группах / Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докл. Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2002. С.56-58.

20. Рудомазина, Ю.Д. Коды на конечной абелевой группе и константы Джексона в пространстве h(G) / Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докл. Межд. конф. -»Современные проблемы математики, механики, информатики», Тула: ТулГУ, 2003. С.42-46.

21. Иванов, В.И. О некоторых гипотезах в задаче Турана для периодических функций с малым носителем / В.И. Иванов, Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докл. Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2004. С.18-22.

22. Иванов, В.И. Задачи Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций / В.И. Иванов, Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докл. Межд. конф. * Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ». М.*. МИРАН, 2005. С. 111.

23. Иванов, В.И. Задача Турана для периодических положительных функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем / В.И. Иванов, Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докл. Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж: ВГУ, 2005. С. 100-102.

24. Рудомазина, Ю.Д. Константы Джексона в пространстве

/ Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докл. XIV Межд. конф. «Проблемы теоретической кибернетики». Пенза: ПГУ, 2005. С.131.

25. Рудомазина, Ю.Д. Константы Джексона в пространстве h(Z>q) / Ю.Д. Рудомазина //Тезисы докл. III Межд. симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на-Дону: РГУ, 2005. С. 32.

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. Уч,-изд. л. Тираж -100 экз. Заказ

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151 .

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рудомазина, Юлия Дмитриевна

Основные обозначения.

Введение.

Глава 1. Дискретные задачи Фейера.

§ 1. Гармонический анализ на Ъч.

§ 2. Постановка экстремальных задач Фейера на

§ 3. Коэффициенты одного класса четных тригонометрических полиномов.

§ 4. Одна диофантова задача.

§ 5. Решение дискретных задач Фейера.

Глава 2. Дискретные задачи Турана, Дельсарта, Джексона

§ 1. Экстремальные задачи Турана и Дельсарта на Zq

§ 2. Константы Джексона в пространстве hi^q).

§ 3. Коды на конечных абелевых группах.

§ 4. Многомерные дискретные экстремальные задачи

Введение диссертация по математике, на тему "Некоторые экстремальные задачи для дискретных периодических функций"

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена решению дискретных экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта для тригонометрических полиномов на циклической группе Zg, вычислению дискретных констант Джексона в пространстве ^(Zq).

Актуальность темы. Задача Фейера о наибольшем значении неотрицательного тригонометрического полинома с фиксированным средним значением, экстремальный полином в задаче Фейера нашли многочисленные применения в различных областях математики. В аналитической теории чисел, теории функций используется обобщение задачи Фейера на случай полиномов с заданным спектром, известное как задача Монтгомери. Ею занимались X. Монтгомери, Д.В. Горбачев, А.С. Белов.

Н.Н. Андреев, А.Ю. Попов, В.В. Арестов, Е.Е. Бердышева, В.И. Иванов, Д.В. Горбачев, R.P. Boas, М. Кас, М. Kolountzakis, S.Revesz, A.Garsia, Е. Rodemich, Н. Rumsey. Задача Турана для периодических положительно определенных функций допускает редукцию к дискретным задачам Фейера и Турана.

Задача Дельсарта — это задача о наибольшем среднем значении положительно определенной функции с фиксированным значением в нуле и неположительной вне заданного множества. Она используется в задачах об оценке мощности кодов, дизайнов, контактных чисел, плотности упаковки однородных пространств. На этом пути важные результаты получили Ф. Дельсарт, Д. Геталс, Дж. Зейдель, К. Дан-кл, А. Одлыжко, М. Слоэн, В.М. Сидельников, В.И. Левенштейн, Г.А. Кабатянский, Г. Фазекаш, В.А. Юдин, Н.Н. Андреев, В.В. Аре-^ стов, А.Г. Бабенко, О.Р. Мусин, Д.В. Горбачев, Т. Hales, Н. Cohn,

N. Elkies, A. Kumar и др. Задачи Дельсарта для ассоциативных симметричных схем отношений являются дискретными экстремальными задачами.

В теории приближений важной задачей является задача о точных константах в неравенствах Джексона между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности. В пространствах 1/2 ею занимались Н.И. Черных, В.А. Юдин, В.В. Арестов, А.Г. Бабенко, В.И. Иванов, В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев, В.Т. Ше-валдин, А.А. Лигун, А.В. Московский, О.И. Смирнов, С.Н. Васильев, А.И. Козко, А.В. Рождественский, Е.Е. Бердышева, А.А. Тюрюканов. Точные константы или константы Джексона являются функциями размерности приближающего подпространства и аргумента в модуле непрерывности. В пространстве L2 на торе Т константа Джексона вычислена только в одном случае Н.И. Черныхом. Один из подходов к вычислению констант Джексона в пространстве состоит в вычислении дискретных констант Джексона в пространстве I2 (Zq) и последующем предельном переходе при q —» 00.

Цель работы. Основной целью диссертации является решение дискретных экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта, задачи о дискретных константах Джексона в пространстве I2 на конечной циклической группе и прямом произведении циклических групп.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Решены дискретные экстремальные задачи Фейера, Турана, Дельсарта для полиномов на циклической группе Ъг Исследованы экстремальные функции в этих задачах.

В ряде случаев вычислены дискретные константы Джексона в пространстве /2(Zg).

Для двух ассоциативных симметрических схем отношений на прямом произведении циклических групп вычислены максимальные мощности кодов. С их помощью получены двусторонние оценки в многомерных дискретных экстремальных задачах Фейера, Турана, Дельсарта, в задаче о многомерных дискретных константах Джексона.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2002г., 2003г., 2004г.), Международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» в г. Москве (2005г.), XIV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» в г.

Пензе (2005г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» в г. Воронеже (2005 г), III Международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» в г. Ростове-на-Дону (2005г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [15, 16, 25, 52], три из которых написаны в соавторстве. Одна статья в соавторстве с В.И. Ивановым, а две - в соавторстве с В.И. Ивановым и Д.В. Горбачевым.

В работах [15, 52] автору принадлежат результаты по дискретным экстремальным задачам. Леммы 3, 4, 5 в [15, 52] получены совместно с В.И. Ивановым.

Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [17, 18, 19, 26, 27, 28, 29].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на 9 параграфов. Нумерация утверждений идет по главам, а формул — по параграфам. В нумерации формулы сначала указывается номер параграфа, а затем — номер формулы внутри параграфа. При ссылке на формулу из другой главы добавляется еще номер главы. Общий объем диссертации — 118 страниц. Библиография содержит 57 наименований.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Рудомазина, Юлия Дмитриевна, Тула

1. Андреев, Н.Н. Экстремальные задачи для периодических функций с малым носителем / Н.Н. Андреев // Вестник МГУ. Сер. Математика. Механика. 1997. № 1. С.29-32.

2. Арестов, В.В. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел / В.В. Арестов, А.Е Бабенко // Труды МИРАН. 1997. Т. 219. С. 44-73.

3. Бабенко, А.Е О точной константе в неравенстве Джексона в Ь2 / А.Е Бабенко // Матем. заметки. 1986. Т.39, № 5. С.651-664.

4. Бабенко, А.Е Неравенство Джексона для среднеквадратичных приближений периодических функций тригонометрическими полиномами на равномерной сетке /А.Е Бабенко. // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 3. С.460-472.

5. Банаи, Э. Алгебраическая комбинаторика. Схемы отношений / Э. Банаи, Т. Ито М.: Мир, 1987.

6. Белов, А.С. Об оценке снизу равномерной нормы частных сумм неотрицательного тригонометрического полинома / А.С. Белов. // Вестник Ивановского государственного университета. Серия «Биология, Химия,Физика, Математика». 2005. Вып.З. С. 7383.

7. Бохнер, С. Лекции об интегралах Фурье / С. Блхнер М.: Физмат-гиз, 1962.

8. Виленкин, Н.Я. Специальные функции и теория представления групп / Н.Я. Виленкин М.: Наука, 1991.

9. Горбачев, Д.В. Неравенство Джексона в пространстве lv{Zq) / Д.В. Горбачев // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1998. Т.4. Вып. 3. С. 44-50.

10. Горбачев, Д.В. Экстремальные задачи для периодических функций с носителем в шаре / Д.В. Горбачев // Матем. заметки. 2001. Т.69, №3. С. 346-352.

11. Горбачев, Д.В. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения /Д.В. Горбачев, А.С. Маношина // Матем. заметки. 2004. Т. 76, №5. С. 688-700.

12. Дельсарт, Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования / Ф. Дельсарт М.: Мир, 1976.

13. Иванов, В.И. О теореме Джексона в Ь2 для систем Прай-т са / В.И. Иванов // Матем. заметки. 1993. Т.53, № 3. С.37-50.

14. Иванов, В.И. Экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье / В.И. Иванов, Д.В. Горбачев, Ю.Д. Рудомазина // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2004. Т.10. Вып. 1. С. 76104.

15. Иванов, В.И. О задаче Турана для периодических функций с неотрицательными коэффициентами Фурье и малым носителем / В.И. Иванов, Ю.Д. Рудомазина // Матем. заметки. 2005. Т.77, №6. С. 941-945

16. Иванов, В.И. О теореме Джексона в пространстве 12{1д) / В.И. Иванов, О.И. Смирнов // Матем. заметки. 1996. Т.60, №3. С. 390-405.

17. Иванов, В.И. Константы Джексона в пространстве Z2(ZJ) / В.И. Иванов, О.И. Смирнов // Труды МИРАН. 1997. Т.219. С.183-210

18. Иванов, В.И. Константы Джексона в пространствах 1р на конечных множествах / В.И. Иванов, А.А. Тюрюканов // Известия Тул-ГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т.6. Вып. 1. С. 106-136.

19. Левенштейн, В.И. Границы для упаковок метрических пространств и некоторые их приложения / В.И. Левенштейн // Пробл. кибернетики. 1983. Вып. 40. С. 43-110.

20. Полиа Г. Задачи и теоремы из анализа / Г. Полиа, Г. Сеге Т. 2. М.: Наука, 1978.

21. Рудомазина, Ю.Д. Коды на конечной абелевой группе G и константы Джексона в пространстве l2(G) / Ю.Д. Рудомазина // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2002. Т.8. Вып. 1. С. 119-129.

22. Рудомазина, Ю.Д. Константы Джексона и коды на конечных абе-левых группах / Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2002. С.56-58.

23. Рудомазина, Ю.Д. Коды на конечной абелевой группе и константы Джексона в пространстве l2(G) / Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докладов Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2003. С.42-46.

24. Рудомазина, Ю.Д. Константы Джексона в пространстве l2(Zq) / Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докладов XIV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики». Пенза: ПГУ, 2005.С.131.

25. Рудомазина, Ю.Д. Константы Джексона в пространстве l2{bq) / Ю.Д. Рудомазина // Тезисы докладов III Международного симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на-Дону: РГУ, 2005. С. 32.

26. Сидельников, В.М. Об экстремальных многочленах, используемых при оценке мощности кода / В.М. Сидельников // Пробл. передачи информации. 1980. Т. 16, №3. С. 17-30.

27. Смирнов, О.И. Теорема Джексона в L2 для систем Крестенсона-Леви / О.И. Смирнов // Матем. заметки. 1993. Т.53, № 4. С.111-130.

28. Смирнов, О.И. Константы Джексона в пространстве hi^q) О.И. Смирнов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1996. Т.2. Вып 1. С. 191-219.

29. Смирнов, О.И. Точные константы Джексона в пространстве l2(h2) О-И- Смирнов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т.З. Вып. 1. С. 71-79.

30. Стечкин, С.Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами / С.Б. Стечкин // Acta Math. Acad. Scient. Hungar. 1972. Т. 23 (3-4). P. 289-291.

31. Стечкин, С.Б. Избранные труды: Математика / С.Б. Стечкин М.: Наука, 1998.

32. Турецкий, А.Х. Теория интерполирования в задачах / А.Х. Турецкий Минск: Вышэйшая школа, 1968.

33. Тюркжанов, А.А. Константы Джексона в пространстве l2{Zq) и коды на группе Z™ / А.А. Тюркжанов // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т.7. Вып. 1. С. 154161.

34. Хьюитт, Э. Абстрактный гармоноческий анализ / Э. Хьюит, К.А. Росс. Т. 1. -М.: Мир, 1975.

35. Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел / К. Чандрасекхаран М.: Мир, 1974.

36. Черных, Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 / Н.И. Черных. // Труды МИАН СССР. 1967. Т.88. С.71-74.

37. Эдварде, Р. Ряды Фурье в современном изложении / Р. Эдварде. М.: Мир, 1985.

38. Эдварде, Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде М.: Мир, 1969.

39. Эндрюс, Г. Теория разбиений. / Г. Эндрюс. М.:Наука, 1982.

40. Юдин, В.А. Многомерная теорема Джексона в Ь2 / В.А. Юдин // Матем. заметки. 1981. Т.29, №2. С. 309-315.

41. Юдин, В.А. Расположение точек на торе и экстремальные свойства полиномов / В.А. Юдин // Труды МИРАН. 1997. Т.219. С.453-463.

42. Юдин, В.А. Нижние оценки для сферических дизайнов / В.А. Юдин // Изв. РАН. Сер. матем. 1997. Т.61, № 3C.213-223.

43. Arestov, V.V. Turan's problem for positive definite functions with supports in a hexagon / V.V. Arestov, E.E. Berdysheva // Proc. Steklov Inst. Math. Suppl. 2001. Iss. 1. P.S.20-S.29.

44. Arestov, V.V. The Turan problem for a class of poly-topes / V.V. Arestov, E.E. Berdysheva // East J. Approx. 2002. V. 8, № 3. P.381-388.

45. Boas, R.P., Kac M. Inequalities for Fourier transform of positive function / R.P. Boas, M. Kac // Duke Math. J. 1945. V.12. P. 189-206.

46. Delsarte, Ph. Bounds for unterstricted codes by linear programming / Ph. Delsart // Phihips Res. Rep. 1972. V.2. P.272-289.

47. Fejer, L. Uber trigonometrische Polynome / L. Fejer // J. Reine Angew. Math. 1916. V. 146. P. 53-82.

48. Ivanov, V.I. Some extremal problems for periodic function with conditions on theire values and Fouries coefficients / V.I. Ivanov,D.V. Gorbachev, Yu.D Rudomazina // Proc.Steklov Inst. Math. Suppl. 2005. Iss. 2. P.S.139-S.159.

49. Kolountzakis, M. On a problem of Turan about positive definite functions / M. Kolountzakis, S.G. Revesz // Proc. Amer.Math.Soc. 2003. V. 131. P. 3423-3430.

50. Kolountzakis, M. Turan's extremal problem for positive definite functions on groups / M. Kolountzakis, S.G. Revesz Preprint. Inst, of Math. Hungar. Acad. Sci. 2003. № 5.

51. Levenstein, V.I. Universal Bonnds for codes and designs. In Handbook of Coding Theory / V.I. Levenstein Amsterdam: Elsevier, 1998.

52. Milovanovic, G.V. Rassias Th.M. Topics in polynomials: extremal problems, inequalities, zeros / G.V. Milovanovic, D.C. Mitri-novic Singapore-NewJersey-London-Hong Kong: World Scientific Publ. Co., 1994.

53. Montgomery, H.L. Ten lectures on the interface between analytic number theory and harmonic analysis /H.L. Montgomery Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1994.