Некоторые экстремальные задачи для целых функций экспоненциального типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи, УДК 517.5

> 003450277

ЗАХАРОВА МАРЙНА ВЛАДИСЛАВОВНА

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА

01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

гз ОНТ2Ш8

Тула - 2008

003450277

Диссертационная работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики в ГОУ ВПО «Тульский государственный университет». «.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Горбачев Дмитрий Викторович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Бабенко Александр Григорьевич

,, ■ кандидат, физико-математических наук

Рождественский Алексей Валерьевич

Ведущая организация: Математический институт Л - . им. В. Л. Стеклова РАН

Защита состоится, 13 ноября; 2.008 г, в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.02 при Институте математики и механики УрО РАН (620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН. Автореферат разослан октября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 004.006.02 кандидат физико-математических наук

Н.Ю. Антонов

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена решению экстремальных задал для целых функций экспоненциального типа: о минимуме норм h и целых функций с фиксированным Значением в нуле; дискретному варианту теоремы М. Г. Крейна б наилучшем приближении целыми, функциями в £-1. ' '" ' " ' ..... , ,'

Актуальность темы., Задача о минимуме нормы li целой функции экспоненциального типа ^ фиксированным значением, в .нуле тесно связана с важными экстремальными задачами теории функций : и теории приближений — задачей С.'В. Конягина для периодических функций с малым носителем и задачей о наилучшей константе Джексона-Никольского в неравенстве между нормами Loo и тригонометрических полиномов и целых функций. Экстремальная задача Конягина ■ была поставлена в связи1 с приложениями к аналитической теории, чисел. .'-'<•'. ' ■ ''' ' ; '' '' '■ Дискретный вариант теоремы Крейна для целых: функций экспоненциального типа, "как и сама теорема Крейна являются аналогами задачи А. А. Маркова о наилучшем фйближении функции в Хд на отрезке алгебраическими полиномами. Приложениями этих теорем в теории приближений является приближение в Lj полиномами и целыми функциями классов сверток. „ . .;*

Рассматриваемые задачи могут; быть использованы в цифровой обработке сигналов для представления и восстановления дискретных, сигналов с ограниченным спектром. ,

Цель работы. Целью работы является решение двух задач: о минимуме норм h и loo целых функций экспоненциального типа < 2wh для рационального h < 1/2; нахождение величины наилучшего приближения в li(Z) четной функции целыми функциями экспоненциального типа < 2жh.

Методика исследований. Применяются методы теории функций действительного и комплексного переменного, теории приближений, гармонического анализа.

з

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Предложен метод решения задачи о минимуме нор м ¿1 и 1<х, целых функций экспоненциального типа ^ 2тг/г для заданных небольших рациональных чисел П < 1/2.

Найден критерий наилучшего приближения в 1\(Ъ) ч тной функции целыми функциями экспоненциального типа < 2тгЛ с ра1 иональным Н. Получен дискретный аналог условия С.-Надя на приближаемую функцию, когда критерий выполняется.

Теоретическая и практическая значимость. Рай та носит теоретический, характер. ,

* Публикации. Основные результаты опубликованы в ,1 статье в центральной Печати (журнал «Математические заметки») [23], в 2 статьях в журнале «Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика» [20, 22] и 1 статье в журнале «Известия ТулГУ. Серия Естественные науки» [27], входящих в перечень ВАК РФ ведущих научных журналов и изданий. Три из них написаны в соавторстве с Д. В. Горбачевым, которому принадлежат гипотезы оЪиде экстремальных функций. ' " !

Также опубликованы 2 работы в" Трудах Международных конференций [28; 26] и 4 тезиса докладов Международных конференций [19,21,24,25]. ... ;

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 3 Международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2005-2007) , 2. Международных школах С. Б. Стечкина по теории функций в г. Алексин Тульской, обл. (2007) и г. Миасс Челябинской обл. (2008), на научном семинаре под руководством профессора С. А. Теляковского в МИ им. В. А. Стеклова РАН (2008). ' . ' "" V • . .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Глава 1 содержйт 9 параграфов, глава 2 разбита на 4 параграфа. Общий объем работы — 79 страниц. Библиография содержит 35 наименований.

Основное содержание работы

Диссертационная работа состоит из двух глав. Первая, глава содержит 9 параграфов и посвящена нахождению минимумов дискретных норм 1\ и loo для целых функций экспоненциального типа с фиксированным значением, в нуле. "Во второй главе, содержащей 4 параграфа, рассматривается дискретный аналог теоремы М. Г. Крейна о наилучшем приближении в Ь i целыми функциями экспоненциального типа/"1 Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертационной работы. • 4 v ' -

Пусть 0,< h < 1/2, J3(/i) -^множество целых действительных функций /(z) экспоненциального типа ^ 2irh, 6{h) — подмножество четных функций из E(h),

В гл. 1 рассматривается экстремальная задача нахождения величины ' % ' ,^ . . . •.-;>:.;:■! к:

As(/i) = inf{||/||ís(Z,);: ./e.E(/í), /(0) = 1}, • • ■ ; (1)

где Z' = Z \ {0}. , ' ' • ~ 1 - / : ' • :

Основное внимание уделяется случаям s = 1, оо. >. j Пусть,с(х) = cos(2ttx), s(x) ~ sin(2irx), е(а;) = e2lrix, sc(ar) = ■

(sc(o) = i). , г.....■ - ..---.о

В задаче (1) достаточно ограничиться только четными функциями, поэтому •-•. ' . „

Л.(ft) = mf{|i/||i?(Z0: / € S(h), /(0).= 1}. . ' "

, При h > 1/2 величина Л3 (Л) = 0: Действительно, функция f (z) = sc(z/2) € £{h) при h ^ 1/2 и для %её значение |¡/||¡S(Z') — 0. Поэтому представляет интерес случай 0 < fe < 1/2.' ' ,

В гл. 1. показывается, что в задаче (1) для любого 0 < h < 1/2 существует экстремальная функция /* —/д, для которой

Л .(А) = \\ГнЫт-

Задача Ai (h) тесно связана с экстремальной задачей Конягина для периодических функций с малым носителем [1, 18], которая заключается в нахождении величины

B(h)= sup a0(F), fek(h)

где К (h) — класс четных непрерывных действительных 1-периодиче-ских функций

F(x) = ^а„с(пж), ж €T = K/Z = (-1/2,-1/2], ап - an(F),

п-0

удовлетворяющих условиям

оо " '

; ^|о„| = 1, f(x) = о, /1<и<1/2.

' ' ' ' " п=0 ■ . .

Последнее условие означает, что, носитель функции F на периоде со" средоточен на отрезке {—h, h]. - , « :

Задача В (h) является нелинейным вариантом экстремальной задачи Турана A(h) для периодических функций с малым носителем, в постановке которой дополнительно требуется неотрицательность коэффициентов Фурье функций F(x):

A{h) = sup{a0(F): F е К (h), ап^0, п<= Z+}.

Задача нахождения величины A(h) была поставлена в 1970 г. ГГ. Ту-раном. C.B. Стечкин в 1972 г. ¡15] доказал, что А(1/д) = 1/д для q = 2,3,... и получил асимптотику A(h) — h + 0(h2) (h —>;0). А. Ю. Попов показал, что A(h) > h при h ф 1/q, й предположил, что при h 0 справедлива более сильная асимптотика A (h) — h+0(h3), которая была доказана Д. В. Горбачевым в 2001 г. [5].

Для рациональных чисел h — p/q при р — 2,3 задача Турана решена в 2004 г. Д. В. Горбачевым и А. С. Маношиной [10]. Ими она была сведена к конечномерной задаче линейного программирования, являющейся дискретных аналогом задачи Фейера для неотрицательных полиномов. Для произвольных рациональных чисел h = p/q задача Турана была решена В. И. Ивановым и Ю. Д: Рудомазиной в 2004 г. (12, 13]. В 2006 г. В. И. Ивановым было получено решение задачи Турана для всех иррациональных h [11].

Экстремальная задача В (h) была поставлена C.B. Конягиным в связи, с приложениями к .аналитической теории чисел [18]. При этом подчеркивалась важность вычисления величины В (h) для отдельных значений h, в том числе близких к 1/2. • ^ , - .

, В 1996 г. в работе [1] H. Н. Андреева, С. В. Конягина.и А. Ю. Попова величина В (h) была вычислена для h — 1/4; 5(1/4) = 2/(ir + 4) и B(h) = Lh + 0(h2), h - О, где 1,079 < L < 1,179.

Константа Ь находится из решения экстремальной задачи [9]

1Г1 = тЩ^й) / 6;£(-1), ДО) = 1},

являющейся интегральным аналогом задачи Ах (Л). , ., , , .

Д!В.' Горбачевым в 2005 ¿ были получены значения В(Н) дащ К = 1/2,1/3,1/5,2/5 [6] и усилены оценки" константы Ь до 1,08185., <д Ь < 1,09769... (см. [7, 8, 9]). Также им установлена связь задачи В{Ь) с задачей о наилучшей константе Джексона-Никольского в неравенстве между нормами и Ьх тригонометрических полиномов и целых функций: , . ' .< ..

с(п - 1) < с„ < сп, п € К, с"= Ь,

где с„ = вир{ ^ = * — 1-периодический полисном порядка п - 1}. Задачей об оценке величины Сп занимались С.Б. Стечкин, Л.В. Тай-ков [16], а также авторы работы[17]Г ' ' <

Лемма 1.1. При 0 < К < 1/2 справедливо равенство ,

В продолжение приведенный рёзулв>татов представляет интерес вычисление величин Ах (Л), Аоо(Л) дляН— ~р/4, где р и д — взаимно про-' стые целые числа, 4 = 3,4, .'.V*;1! ^ 'р'<: д/2. '' ' " ' '"Л"

В гл. 1 приводится способ вычисления-величин Дх(р/д),. Лоо(1/2 -p/q). Он опирается на следующие две леммы и основную теорему гл. 1. Положим Л' = 1/2 — Л. 1 • ; >

Лемма 1.2. Пусть / е £{К), д € £{к'), ||/||г1(2) < оо, Ия^да < рол; Тогда

£>(*/2)/(*М*) = 0. ■ Лемма 1.3. При в ^ 1 • ^ .;

где з' = з/(8.~1)~сопря^ённый?ттзатем::'' ' - '

Теорема 1.1. Пусть существуют, функции /*е £.{}г),/ш* € £{Н'), ЦГ(х) = с{г/2)ь)*{г)> г € С, удовлетворяющие условиям: . .... 1: . ' Г"; /

Г(0) = %' КЙК!,- гег', . л .

г Г{*)Ф 0.

Тогда функция /*(г) —экстремальной, в задаче А\(К) и ~ - ' "

ЛхСЛ) = -№"(0),

а функция д*(г) — у — экстремальная в задаче Лоо(/г') и

Аоо(/1,) = ищ = ^тоу

Далее в гл. 1 на основание теорёмы 1.1 приводятся конструкции экстремальной ф /нкции /* и функций IV*, МУ* для конкретных Л = р/д, Л'« 1/2 —р/<?. , '

Пусть Гг = гч(^) = (2г + 1)/(4Л), г € 2, — нули функции оо ' , ро,,,/ 2\

С(м= п (^ЬЩ1-^)^)-

¿=-оо 1 , ¿=0 ^

Положим для 1ь = р/д ,,

Здесь = —ф-ъ г € М, а точки г е являются целочисленными аппроксимациями нулей г*, т.е. & — ближайшее целое число к числу П = д{2% + 1)/(4р), г €

Если нуль Гг — полуцелый (например, Гг(1/6) = Зг + 3/2), то используется округление в меньшую сторону.

Последовательность точек представима в виде - ,

. : г € 2+} = + гд: з = 0,1,.... 2р - 1, г €

где 0 < д0 < «1 < • • • < Я.2Р-\ < Я-

Если среди нулей г, нет полуцелых (далее этот случай назовем непо-луцелым). то ; • .

= Я ~ j = 0,1,,. - 1. (2)

Если среди Гг есть полуцелые, то на (0,?) попадают только два полуцелых нуля 0 < ту < д/2 < г у < <?, '}" = 2р — 1 ~з'. В этом случае (далее он называется полуцелым) ду< = д — ду - 1, для остальных 3 ф з', вьшолняется соотношение (2).

Полуцелые нули возникают, когда-р — 2/ + 1, д = 4р#о ± 2(р - 21), где I = 1,2,..., (р —1)/2, и они равны гу — д/4, ту — Зд/4.

Для функций <р(г) справедливы представления: в неполуцелом случае .!,..,'

Р~ 1

_ тт с(*/д) -

в полуцелом случае

Здесь

где В(ж, у) = ЗД? — бета-функция [4]. ,, - _ . л,

Из приведенных представлений функции^ следует,, что

ф) € £{h), h = p/q, ;3 , ,

и

<p(z) = 0( 1), z —* +00, в неполуцелом случЙе,

., ; - f w. ^ , • (3)

|p(z) — 0(z /я), z —* +оо, в полуцелбм случае.

В качестве возможной экстремальной функции /* в задаче предлагается функция ' / ■

где 771 6 Z+, к ... < zm — целые числа,.удовлетворяющих неравенствам ''-<

■ - + 1 << д*, • i = l,.:.,m. -(5)

Таким образом, предполагается, Что экстремальная функция /* в задаче Лх(Л) поддается из функции <p(z)/(l - z2/q$) сдвигом в целые точки по направлению к началу координат некоторых ее первых нулей. Из асимптотических формул (3) следует, что Ц/*||г1(2) < оо. Для доказательства экстремальности функции /* необходимо по . теореме 1.1 построить соответствующую функцию W*(z).

Функция W = W* из теоремы 1..1 конструируется, исходя из представления (4): * ';

W(z) = c{z/2)w(z)\ w e£\h'), Ы = 1/2 -p/q, W(z) = (-l)\ z€ {zi + i,...,zi+1 -1}, ¿ = 0,l,...,m, Zq = 0, zm+\=qm+1, . ■ W(*) = (-l)V г€+ -1}> J = ?n + l,m + 2,...,

«=" 1,2,m; ¿ = m + l,m + 2,.,v

(значения функции W(z) в силу ее четности рассматриваются только при О 0). ; ,

Чтобы удовлетворить этим условиям функция W записывается,, :

W(z) = A(z)+B(z), zeC,

ГАе

A(z) = ф/2)ф), Д(г) = c(z/2)b(z), а} Ь € £(1/2 - р/д), w(z) = a(z) + b(z), z€ С. 9

Функция a(z) имеет вид

д-2 р

a(z) = Е a,kC(kz/(2q))

к—0 ' ' ■ , и определяется из условия <

' signA(z) = - sign tp(z), z € Z+ \ {qi}iio-

Функция b(z) имеет вид

и выбирается таким образом, чтобы выполнялись все необходимые условия для функции W. Положим

1 = {0,1,.. .,<?} \ {qovqi,- ..,pp-i}, J/| = q — 2p+l, n(r\-< л\к TT c(*/2g) -Чз/lq) . т

Функции ak e £(1/2-p/q) и c(z/2)afc(z) = Skz, k,z el. С помощью них функция Л(^ записывается в, виде

J,',..'.. A(z) = с(г/2) ЕС"1)Е "*<*)>'

„ > • " . - ¿—0' ■ ■ ' ■ .keh ' где - ' - ; ■ ' '

' ' ; к = + 1, • > Qi ~ lb i = 1,..., 2p — 1, = tep-l + l) • JIemma 1.4. Прир — 1 справедливы равенства

A(qo) = A(qi)= 0, q = 0 (mod 4), ¿Ы = A(qi) = Tl/2,' g = ±1 (mod 4), A(q0) = -ЛЫ = -1, 5 = 2 (mod 4). Лемма 1.5. Приp-2

Гипотеза 1.1. При p > 3 в неполуцелом случае \A(qj)\<i,' jeZ+, '

в полуцелом случае

■ \A(qjl)I = = 1, ИЫ1 < 1, з Фз\з".

ю

Положим ,

Pk[z) к ф) r-zyvfbl-zt/zy fc€K'

где постоянная Ск выбирается из условия с(к/2)/Зк(к) = 1 (их явные выражения приведены в п. 1.5.2).

Функции /Зк е €(1/2-p/q), fik(z) = 0(z~L) в неполуцелом случае и Pk(z) = 0(z~y~2lq) в полуцелом случае при z rr* +оо и

c(z/2)(3k(z) ~ ёкх> к € К, -

Функция В при помощи /Зк представляется в виде

b{z)=c(Z/2) Y, Е - т)Ш- ,

j-0 k=Zj+1

ГИПОТЕЗА 1.2. Для заданных р и q можно подобрать значения т и Zi, i = 1,... ,т, удовлетворяющие неравенствам (5), такие что

^ 1, i = 1,..., т, . 1., i ~ ™ + 1. т + 2,. .у, ■

Справедливость гипотезы доказана для многих значений р и q. Приведем схему проверки гипотезы в неполуцелом случае. Пусть С а = maxj=o,i,...,2p-i По гипотезе 1.Г величина С а < 1.

Для функции Рк справедливо неравенство

1/ШЖ—, keK, i^m + 'l, Яг

где •

Отсюда следует, что - > •

Hi

где

го qi

Св — 2^2, У, °mfc- - . ' ¿=0

Таким образом, при г > то + 1, |W(<?»)| ^ С а + Св/я.%- Отсюда следует, что при i > i' < 1, где г' ^ т + 1 определяется из

условия

. - . > ГГс? -

Следовательно, выбрав значения т,zi,...,zm можно ограничиться проверкой-условия гипотезы 1.2 в конечном числе точек z\,... ,Zm, 9m+1, • • • Ai'-l- ■ ' ' ' '

Cmk —

Приведем некоторые примеры (выписываются только значение т и отклонения Zi от г. == 1,...,«í): \' г"\ ; -

1) для (р, q) — (1,162) значение т — 6й " ' /

zi=qi-4, Z2 = qz- 2 ', 23 = 9з-1, 24 = g4 - 1,

■"' 'z5 = q5-% Ü = -Л •

2)гдая (p,g) = (1,156),-значение m.== 12:и\. ,, -

zi=qi~ 5, z2-<?2 - 3, ¿3 -q3-2,v z4 = q4 - 1, ■ zb = & ^ í,

¿6 = 96 - 1, 27 = 97'- l j = 98 ~ i, 2g = 99 ~ 1,' 2t0 '= 910 - 1, . 2ii = <?n - l> ^12 = ?i2 1; 1 • '

3) для (p, g) = (1,95) значение m = 14 и

21 = 9i ~ 3, zi = 92 ~ 2, z3 = 9з - 1, z4 — g4 - 1, = g5, 26 = 96 - 1) 27 = g7, 28 = 98 - i) Zg = 99, = 910 ~„1, 2ц = gil,212 =9l2 -1> ,213.= #13, 2,14 =,914 - 1; .

4) для (p, 9) = (2,21) значение, m = Q;

5) для (p, q) = (3,64) значение m —2 и '

_ ■, t,.: - ^ ¿J ^'-I, 22 = 92 - 1; •;';: . ; '

6) для" (p,g) =^(4,55)'*значение т = Т,и,,; 21 = 9i, 22 = 92, 23 = 93, "24 = 94, 95, z6'= 9e, Z7 = q7 1

7) для (p, 9) = (5,201) значение m = 15 и ¡

zi = 9x -1, = 92, 23 = 93, г4 = 94, z5=q5- 1, 26 = 9e - 1, 27 = 97,, 28 = 98, , 29 = 99, 210 == 910, - Z\\ — qn, 212 = 912, 213 = 913) 214 — 914, 215 = 9l5 ~ 1'Г

8) для {p, g) = (6,101) значение m = 8 и

f j! ,, , 21=91- 1, 22 = 92, 23 93,; 24 = 94, 25 =

26 = 96, 27=97, Zs = 98 - 1. Во второй главе рассматривается" дискретный аналог теоремы М. Г. Крейна о наилучшем приближении целыми функциями экспоненциального типа в Li.

Далее-используются обозначения и результаты'из гл. 1. Пусть, д: Z —f'K -^ четная функция, ¡fllli^z) < óoV Рассматривается экстре^," мальная задача нахождения величины

EkiaUz) = Ы{н) \\9 - /II= ^ £ \g(z) - f(z)(6)

При h ¿tl/2 величина Еи{д)щг) == 0. Поэтому как и 'раннее пред- J ставляет интерес случай h < 1/2.

Задача (6) является дискретным аналогом задачи о нахождении величины наилучшего приближения четной функции £?: Е —» К [2], НОЦ^Ой) <00: .... , , , . -о. . ..

= аы(к) ||д - <?л1к(к) - - •

В силу четности функций(?, также как й в задаче Аа(к) достаточно ограничиться четными аппроксимирующими функциями /,

оке£(К). ' ■ ' " ;,:

М.Г. Крейном [2] было получено следующее утверждение, ¡являющееся аналогом теоремы А. А. Маркова для полиномов [2].

Теорема Крейна. Пусть функция С{х) = 0(ж-2), ф —> оо, а функция Сн(х) € €{К) интерполирует функцию б (ж) в нулях п функции с(Нх).

Gh{x) = ¿.G(rfc)#*(х), . Фк{х) = ,

fc=о

2 г ir

«(e)-= c(te)¿' ск = щ^у ып)=$ы-

(7)

Тогда, если выражение (С(х) — в^х)) с(/гж) сохраняет всюду знак, то функция Оь(х) является ..экстремальной в задаче

Крейном показано [2], что величина наилучшего приближения функции С равна ' - V-* ' " ,

оо

jr'S^1^ 2k + l

«=0 ;

где G(y) — fR G(x) e(—xy) dx — преобразование Фурье функции G(x). .

Достаточным условием справедливости теоремы Крейна для четных функций является выполнение критерия С.-Надя [2]: если

GeC3(M), (-1)*G<%) > 0, k = 0,1,2,3, y>h, (8)

то произведение (G(x) — G/¡,(x)) c(hx) или/что то же самое, (G(x) — Gh(x)) sign(c(/ix)) не меняет знака при а; £ К. ... <

Крейн использовал'свою теорему для вычисления в ¿«j на оси наилучшего приближения класса дифференцируемых функций / с ,ограниченной нормой ¡|/W||ioo(К), г € N, целыми функциями экспоненциаль4 ного типа [2]. В этом случае задача сводится it наилучшему приближен нию в Li(K) интегрального аналога ядра Беркулли., Близкие результаты для тригонометрически* полинЬмов'и функций получили Ж. Фавар, Н. И. Ахиезер, С.-Надь, С. М. Никольский, В. К. Дзядык, С. Б. Стечкин^ Сунь Юн-Шен, А. Пинкус, 3!. X. Нгуен Тхи, А. И. Степанец, А. Г. Ба^ бенко и ICÍ. В. Крякин, и многие другие математики (см. [14, 3]).

Дискретный вариант теоремы Крейна рассматривается для рациональных тесел h = p/q. . f "■ " "•:" -

При доказательстве теоремы Крейна большую роль играет функция sign(c(fta;)). Бе дискретным вариантом является функция A(z), определенная выше при описаний результатов тл.Д, для которой

■ ~A(z) = sign(v?(2)), zeZ\ {qk}kez- •

Пусть1 функций*^'€'£(h) интерполирует «функцию g(z) в точках qi (нулях функции р), ................,

9h(z) = = - - *>3 6 Z+> < (9)

¿=tf • ' . 'J qi , . .

Теорема 2Л. Если \A(qj)\ ^ 1, rri.e.p — \,2 или справедлива гипотеза 1.1, и выражение (g(z) - gh(z))A(z) сохраняет знак в целых точках, то функция git{z), является экстремальной в задаче Ehig)^z) и

Eh{g)ix(Z) =

При р = 1," д = 0 (mod 4) нули г» совпадают с точками <p(z) .= _ c(z/g), z € С,

:: \А(г) в -sign(c(z/g)), .г 6 Z. /

Поэтому интерполяционные" формулы (9) и (7) совпадают.

Отсюда следует, что если g{z) ~ £?(,?).,. Z, где G(x) "-г функция из теоремы КрёЙна, тй , | ,„;р , . , ;>1.

• ' v • ¡- 9н{й)' = Gh{x)s,' x e R,

и " ' ■ " s"

.. -(<?(2) -ад)Sign(c(z/g)) = (3(2).-9fe(2))A(2), xe-z.- ;

Поэтому, если для функции G(x) выполняется критерий Надя (8), .то прбизвёдёние {g(z) — g'^z^yA^^wxpaw&i знак в цедых точ|{ах и.тео-рема 2.Гсправедлива. ; .7" i \-г ,

' 'Пус^ь'пб^^жнек^ Gfefc Ж,г+ четная

функция, д^м которой . ,

, !Сле^ую1цёе у^твернсдейиё явйётся дискретным вариантом крите- ,, рия Надя. •' J \ / ,'-"[;' 7 г,"-. ',г ■ !-,7."

^.Теорема 2.2: Еслй р = 1, д W ;±l :(mod 4} и б(у) — А-крйтно монотоннопри 1/#у17*ожп<м1:мёШя'1^орёма2.1. " '

1 ' X А , ,. \ * я / ^ 1 (

zeZ

Критерий Надя и теорема 2.2 выполняется, например, для функций

Ог(х) = ^¿г (Ог(у) = тге-2^),

<?а(®) = (б2(у) = е-*^2).

Функция 6*1(2/) является абсолютно монотонной при у > О (С^Ы ^ О, у > О, А; = 0,1,...). Функция <5? (у) является 3-кратно монотонной при у ^ \fbpKa — (0.69098.. .)а й 4-кратно монотонной при у >

^/(3 + \/б)/(2тг)а = (0.93129.. .)а.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руко-водателю Дмитрию Викторовичу Горбачеву за помощь в подготовке диссертации. -

■ Список литературы

1. Андреев Н.Н., Конягин С. В,, Допое^А, ВД.. Экстремальные задачи для функций с малым, носителей-У/,Матем.,^аметки-. 1996. Т. 60; №3. С. 323-332; Письмо в редакцию // Матем. заметки. 2000. Т. 68, ДОЗ. С. 479-479. ' '

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

3. Бавбнко А. Г., Крякин Ю. В. О приближении ступенчатых функций тригонометрическими полиномами в интегральной метрике // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т, 12, вып. 1. С. 27-56.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1966.

5. Горбачев Д. В.Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346-352.

6. Горбачев Д. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2003. Т. 73, № 5. С. 773-778.

7. Горбачев Д. В. Усиление нижней оценки Тайкова в неравенстве между С и ¿/-нормами для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 2003. Т. 74, Л"» 1. С. 132-134.

8. Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. 2-е изд. Тула: Нзд-во «Гриф и К», 2005.

9. Горбачев Д. В. Интегральная задача Конягина и (С, 1<)-константы Никольского К Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, №2. С. 72-91.

10. Горбачев Д. В., Маношина А. С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688-700.

11. Иванов В. И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки. 2006. Т. 80, №6. С. 934-939.

12. Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю.Д. Экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье Ц Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, вып. 1. С. 76-104.

13. Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю.Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, №2. С. 92-Ш.

14. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.

15. Стечкин С. Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами // Acta Math. Açad. Scient. Hungaricae. 1972. T. 23, № 3-4. P. 289-291.

16. Тайков JI. В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических, полиномов//УМН. 1965. Т. 20,>3. С. 205-211.

17. Babenko V., Kofanov V., Pichugov S. Comparison of Rearrangement and Kolmogorov-Nagy Type Inequalities for Periodic Functions. // Approx. Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov (B. Bojanov, Ed.), DARBA, Sofia. 2002. P. 24-53.

18. Konyagin S., Shparlinski I. Character sums with exponential functions and their applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.

Список работ автора

19. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Тезисы докл. Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2005. С. 76-78.

20. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Экстремальная задача для функций с малым носителем и ее приложения в теории фильтрации // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11, вып. 1. С. 119-132.

21. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Задача о минимальной норме целой функции экспоненциального типа и оптимальные фильтры // Материалы Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2006. С. 51-53.

22. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Задачи о минимальной £р-норме для целых функций экспоненциального типа и их приложения // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 5. С. 95-102.

23. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2006. Т. 80, № 6. С.940-942.

24. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для целых функций экспоненциального типа // Тезисы докл. IV Межд. симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на-Дону: РГУ, 2006. С. 86.

25. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Дискретный вариант теоремы Бернштейна о приближении функции в L\ // Материалы Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2007. С. 24-27.

26. Горбачев1'д; В., Захарова м. В. Минимум дискретной h- и Zoo-нормы для '-"< .целых функций Экспоненциального типа '// Труды Межд. летней матем. Школы

С. Б. Стбчкина йо'теЬрйй функций, Алексин Тульской обл., 1-9 августа, 2007. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. С. 64-69.

27. Захарова М. В. Минимум дискретной нормы для целых функций экспоненциального типа // Швестйя ТулГУ. Сер. Естественные науки. 2007. Вып. 1. С. 5-16.

28. Gorbachev D. V., Zakharova M.V. Minimal discrete ip-norms of entire functions 6f exponential type'// In:' fextr'emal problems in Approximation Theory and Function Theory: Proceedings of Russian-Chinese Workshop. Tula: Publ. House of TSU, 2006. P. 85-93. ' ' '""

Захарова М.В.

Автореферат

Изд. лиц. ЛР № 020300 от 12.02.97. Подписано в печать 3.10.2008. Формат бумаги 60x84 1/16. Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 1,1. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ рЗ3

Тульский государственный университет. 300600, г. Тула, просп. Ленина, 92.

Отпечатано в Издательстве ТулГУ 300600, г. Тула, ул. Болдина, 151

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Задача о минимуме норм 1\ и 100 целых функций экспоненциального типа

1.1. Постановка задачи

1.2. Связь с экстремальными задачами Конягина, и Турана для периодических функций с малым носителем

1.3. Основная теорема

1.4. Определение функции (/?

1.5. Построение экстремальных функций

1.6. Проверка необходимых условий для функции А

1.7. Проверка необходимых условий для функции IV

1.8. Примеры экстремальных функций

1.9. Преобразование Фурье экстремальной функции в задаче ^(Н)

Глава 2. Вариант теоремы Крейна для пространства 1\{Ъ)

2.1. Постановка задачи

2.2. Теорема Крейна в (М)

2.3. Вариант теоремы Крейна в метрике 1\

2.4. Аналог критерия Надя для дискретного случая

Диссертационная работа посвящена решению экстремальных задач для целых функций экспоненциального типа: о минимуме норм 1\ и целых функций с фиксированным значением в нуле; дискретному варианту теоремы М. Г. Крейна о наилучшем приближении целыми функциями в L\.

Актуальность темы. Задача о минимуме нормы li целой функции экспоненциального типа с фиксированным значением в нуле тесно связана с важными экстремальными задачами теории функций и теории приближений — задачей C.B. Конягина для периодических функций с малым носителем и задачей о наилучшей константе Джексона-Никольского в неравенстве между нормами L^ и L\ тригонометрических полиномов и целых функций. Экстремальная задача Конягина была поставлена в связи с приложениями к аналитической теории чисел.

Дискретный вариант теоремы Крейна для целых функций экспоненциального типа, как и сама теорема Крейна являются аналогами задачи А. А. Маркова о наилучшем приближении функции в Ll на отрезке алгебраическими полиномами. Приложениями этих теорем в теории приближений является приближение в L\ полиномами и целыми функциями классов сверток.

Рассматриваемые задачи могут быть использованы в цифровой обработке сигналов для представления и восстановления дискретных сигналов с ограниченным спектром.

Цель работы. Целью работы является решение двух задач: о минимуме норм li и Zoo целых функций экспоненциального типа ^ 2пh 5 для рационального h < 1/2; нахождение величины наилучшего приближения в ¿i(Z) четной функции целыми функциями экспоненциального типа ^ 2irh.

Методика исследований. Применяются методы теории функций действительного и комплексного переменного, теории приближений, гармонического анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Предложен метод решения задачи о минимуме норм 1\ и целых функций экспоненциального типа ^ 2irh для заданных небольших рациональных чисел h <1/2.

Найден критерий наилучшего приближения в 1\{Ъ) четной функции целыми функциями экспоненциального типа ^ Ъrh с рациональным h. Получен дискретный аналог условия С.-Надя на приближаемую функцию, когда критерий выполняется.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.

Публикации. Основные результаты опубликованы в 1 статье в центральной печати (журнал «Математические заметки») [16], в 2 статьях в журнале «Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика» [13, 15] и 1 статье в журнале «Известия ТулГУ. Серия Естественные науки» [21], входящих в перечень ВАК РФ ведущих научных журналов и изданий. Три из них написаны в соавторстве с Д. В. Горбачевым, которому принадлежат гипотезы о виде экстремальных функций.

Также опубликованы 2 работы в Трудах Международных конференций [34, 19] и 4 тезиса докладов Международных конференций [12, 14, 17, 18].

Апробация работы. Результаты работы докладывались на 3 Международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2005-2007), 2 Международных школах С. Б. Стечкина по теории функций в г. Алексин Тульской обл. (2007) и г. Миасс Челябинской обл. (2008), на научном семинаре под б руководством профессора С. А. Теляковского в МИ им. В. А. Стеклова РАН (2008).

Основное содержание работы. Диссертационная работа состоит из двух глав. Первая глава содержит 9 параграфов и посвящена нахождению минимумов дискретных норм 1\ и для целых функций экспоненциального типа с фиксированным значением в нуле. Во второй главе, содержащей 4 параграфа, рассматривается дискретный аналог теоремы М. Г. Крепна о наилучшем приближении в Ь\ целыми функциями экспоненциального типа.

Перейдем к более подробному изложению основных результатов диссертационной работы.

Пусть 0 < к < 1/2, Е(к) — множество целых действительных функций экспоненциального типа ^ 27г/г, £(к) — подмножество четных функций из Е(К),

В гл. 1 рассматривается экстремальная задача нахождения величины

Ав(л) = Ы{\\П1ЛЮ: / е ад, д0) = 1}, (1) где и = Ъ\ {0}.

Основное внимание уделяется случаям в = 1, оо.

Пусть с(х) = событие), б(х) = эт^тпс), е(ж) = е2™х, яф) = з1п2(^ж) (бс(0) = 1).

В задаче (1) достаточно ограничиться только четными функциями, поэтому

Ав(Л) = шЦИ/Н^): / € ОД, /(0) = 1}.

При к ^ 1/2 величина Л5(/г) = 0. Действительно, функция /(г) = е £(Ь) при К ^ 1/2 и для нее значение И/И^') = 0. Поэтому представляет интерес случай 0 < к < 1/2.

В гл. 1 показывается, что в задаче (1) для любого 0 < к < 1/2 существует экстремальная функция /* = /*, для которой лв(ь) = Ш11.(2*). 7

Задача A\(h) тесно связана с экстремальной задачей Конягина для периодических функций с малым носителем [1, 35], которая заключается в нахождении величины

В (К) = sup ao(F), FeK(h) где K{h) — класс четных непрерывных действительных 1-периодиче-ских функций оо

Fix) = J2an С(ПХ)> Х € Т = = ("V2* -1/2]: «П = ein (F), п=0 удовлетворяющих условиям со

P|<2n| = l, F(x) = 0, h^\x\^l/2. п—О

Последнее условие означает, что носитель функции F на периоде сосредоточен на отрезке [—h, h].

Задача В {К) является нелинейным вариантом экстремальной задачи Турана А [К) для периодических функций с малым носителем, в постановке которой дополнительно требуется неотрицательность коэффициентов Фурье функций F(x):

A(h) - sup{a0(F): F 6 K(h), an ^ 0, n 6 Z+}. *

Задача нахождения величины A(h) была поставлена в 1970 г. П. Ту-раном. С. Б. Стечкин в 1972 г. [31] доказал, что A(l/q) — 1/q для q = 2,3,. и получил асимптотику A{h) = h + ö{h2) (ft, —> 0). А. Ю. Попов показал, что A{h) > h при h ф 1/q, и предположил, что при h ^ 0 справедлива более сильная асимптотика A(h) = h-\-0(h3), которая была доказана Д. В. Горбачевым в 2001 г. [7].

Для рациональных чисел h = p/q при р — 2,3 задача Турана решена в 2004 г. Д. В. Горбачевым и А. С. Маношиной [20]. Ими она была сведена к конечномерной задаче линейного программирования, явл5ПО-щейся дискретных аналогом задачи Фейера для неотрицательных полиномов. Для произвольных рациональных чисел h — p/q задача Турана была решена В. И. Ивановым и Ю. Д. Рудомазиной в 2004 г. [23, 24]. В 2006 г. В. И. Ивановым было получено решение задачи Турана для всех иррациональных h [22].

Экстремальная задача B(h) была поставлена С. В. Конягиным в связи с приложениями к аналитической теории чисел [35]. При этом подчеркивалась важность вычисления величины B(h) для отдельных значений h, в том числе близких к 1/2.

В 1996 г. в работе [1] Н. Н. Андреева, С. В. Конягина и А. Ю. Попова величина B(h) была вычислена для h = 1/4: £>(1/4) = 2/(7г + 4) и B{h) = Lh + 0(h2), h-+ О, где 1,079 <L< 1,179.

Константа L находится из решения экстремальной задачи [11]

Ь-1=Ы{и\\Ь1т:/е8(1), /(0) = 1}, являющейся интегральным аналогом задачи Ai (/г).

Д. В. Горбачевым в 2005 г. были получены значения В (К) для h = 1/2,1/3,1/5, 2/5 [8] и усилены оценки константы L до 1,08185 . < L < 1,09769 . (см. [9, 10, 11]). Также им установлена связь задачи B(h) с задачей о наилучшей константе Джексона-Никольского в неравенстве между нормами L^ и L\ тригонометрических полиномов и целых функций: с(п — 1) ^ сп ^ en, п Е N, с — L, где сп = sup{M^: t — 1-периодический полином порядка п — 1}. Задачей об оценке величины сп занимались С. Б. Стечкин, JI. В. Тай-ков [32], а также авторы работы [33].

Лемма 1.1. При 0 < h < 1/2 справедливо равенство в<"> = ттда

В продолжение приведенных результатов представляет интерес вычисление величин Ai (/г), Aqo (h) для h = p/q, где р и q — взаимно простые целые числа, q = 3, 4,., 1 ^ р < q/2.

В гл. 1 приводится способ вычисления величин Ai(p/q), AOQ(l/2 — p/q). Он опирается на следующие две леммы и основную теорему гл. 1.

Положим h! — 1 /2 — h.

Лемма 1.2. Пусть / е S(h), g € £(h'), ||/||MZ) < oo; \\g\\loo{Il) < oo. Тогда ze z

Лемма 1.3. При в ^ 1 где в' = в/(в — 1) — сопряженный показатель.

Теорема 1.1. Пусть существуют функции f* £ £{Ъ), т* € £(Н'), ф/2)ш*(>), ябС, удовлетворяющие условиям: 0) = 1, КЙК1, геЪ', Г{г)ф 0.

Тогда функция f*(z) ~ экстремальная в задаче К.\{Н) и а функция д= цг*^ — экстремальная в задаче Л00(/1/) и

Лоо(^)

Ах (/г) -ТУ*(0)'

Далее в гл. 1 на основание теоремы 1.1 приводятся конструкции экстремальной функции /* и функций ъи*, Ш* для конкретных !ъ — р/д, Ы — 1/2 — р/д.

Пусть г г = гг(Д) — (2г + 1)/(4к), г 6 2, — нули функции оо оо / 2 \ г = -оо П г=0 ^ Г

Положим для к = р/с/ П (1-|)=П(1 22 г=-оо 4 г=0 4

7?

Здесь <7г = —г € К, а точки г Е являются целочисленными аппроксимациями нулей т^, т.е. ^ — ближайшее целое число к числу г< = д(2г + 1)/(4р), г 6

Если нуль гг — полуцелый (например, г»( 1/6) = Зг + 3/2), то используется округление в меньшую сторону.

Последовательность точек qí представима в виде

Яг: I Е = + гд: ^ = 0,1,., 2р - 1, г Е где 0 < < < • • • < Ч2Р-1 < Я

Если среди нулей г г нет полуцелых (далее этот случай назовем непо-луцелым), то д2Р-1-з з = о, 1,.,р- 1. (2)

Если среди Гг есть полуцелые, то на (0, q) попадают только два полуцелых нуля 0 < ту < q]2 < /у/ < д, у" = 2р — 1 — / . В этом случае (далее он называется полуцелым) ду/ = д — ду — 1. для остальных д^-, 7 ф выполняется соотношение (2).

Полуцелые нули возникают, когда р = 2j' q = 4рд0 ± 2(р — 21), где / = 1,2,., (р — 1)/2, и они равны ту = д/4, ту/ = Зд/4.

Для функции </?(;г) справедливы представления: в неполуцелом случае

Р1 Ф/д) - с(д5/д)

Ы - ГТ у 'Ч)

1-с(д,/д) ' в полуцелом случае р-1

Здесь где В (ж, 2/) = — бета-функция [4].

Из приведенных представлений функции <р следует, что и р(г) — О(1), 2; —> +оо, в неполуцелом случае, <р{х) — z —> +оо, в полуцелом случае.

В качестве возможной экстремальной функции /* в задаче Лх (7г) предлагается функция

Г(0) = х, (4) где т е < . < гт — целые числа, удовлетворяющих неравенствам

1 4-1 < ^ < г = 1,., т. (5)

11

3)

Таким образом, предполагается, что экстремальная функция /* в задаче hi(h) получается из функции <p(z)/{ 1 — z2/(¡о) сдвигом в целые точки по направлению к началу координат некоторых ее первых нулей. Из асимптотических формул (3) следует, что ||/*||i1(z) < 00• Для доказательства экстремальности функции /* необходимо по теореме 1.1 построить соответствующую функцию W*(z).

Функция IF = W* из теоремы 1.1 конструируется, исходя из представления (4):

W(z) = c(z/2)w(z), w е S(ti), Ы = 1/2 -p/q, W(z) = (-1)г, ze{zi + 1,., zi+1 - 1}, i = 0,1,., m,

Zq = 0, zm+1 = qm+ii W(z) = (~1)г, z G {qi + 1, • •., qi+i — 1}, г = m + 1, m + 2,. , |Ж(>гЖ1, г = 1,2,.,тте; |W(g<)| < 1, г = ш + 1, m + 2,. значения функции в силу ее четности рассматриваются только при z ^ 0).

Чтобы удовлетворить этим условиям функция W записывается

W(z) = A{z) + B(z), z еС, где

A(z) = c(z/2)a(z), B(z) = ф/2)Ь(г), a, b e £(1/2 - p/q), w(z) = a(z) + b(z), zee. Функция a(z) имеет вид q-2p a(z) = akc(kz/(2q)) k=0 и определяется из условия sign = - sign <p(z), zeZ+\ {qi}°l0. Функция b(z) имеет вид и выбирается таким образом, чтобы выполнялись все необходимые условия для функции W.

Положим

I = {0,1,., q} \ {go, qi, ■ • •, Q2P-i}, \I\=q-2p + 1, ( л\к TT c(*/2?) ~ ФУ2?) haT ( ) = ( }

Функции ak € 6(1/2—p/q) и c(z/2)ak(z) = 6kz, k,z € I. С помощью них функция A(z) записывается в виде

A(z)=c(z/2)J2(-l)i+1T,c*^ г=0 fce/г где {0,.,go - 1}, г = 1 + 1,., д* - 1}, г = 1,., 2р - 1, hp = tap-i + 1, • • • ,д}.

Лемма 1.4. Цртх р = 1 справедливы равенства

A{q0)=A(qi) = О, д = 0 (mod 4), А(д0) = A(gi) = Tl/2, д = ±1 (mod 4), А(д0) = -A(gi) = -1, д = 2 (mod 4).

Лемма 1.5. При р = 2

А(дО|<1, ie Z+.

Гипотеза 1.1. При р ^ 3 в неполуцелом случае

Л(д,-)|<1, j е Z+, в полуцелом случае a(Qj')\ = \МЯэ")\ = h \А(ъ)\<1, зФэ'Л'-Положим 01 р(2) l-22/fe2 JUL где постоянная Cfc выбирается из условия c(k/2)(3k(k) — 1 (их явные выражения приведены в п. 1.5.2).

Функции Рк € £(1/2 —р/я), /Зк(г) — О (г в неполуцелом случае и Рк(г) — 0(2~1~2^д) в полуцелом случае при г —► +оо и ф/2 Шг) = 8кЯ1 кеК, * € N \ {г,}^.

Функция В при помощи /3/- представляется в виде т

В(г)= ф/2)^ £ •/=0 ¿¡=2^+1 гипотеза 1.2. длл заданных р и д можно подобрать значения т и Хг, i = 1,. удовлетворяющие неравенствам (5), такие что

W\zi)| <1, ¿ = 1,.,7П, |ТУ(д01 ¿ = ш + 1,т + 2,.

Справедливость гипотезы доказана для многих значений р ид. Приведем схему проверки гипотезы в неполуцелом случае. Пусть С а = тах^од,. .,2р—1 1^4(^)1- По гипотезе 1.1 величина С а < 1-Для функции (Зк справедливо неравенство

Ш)1< —, кеК, г^т + 1,

Яг где

Ы Я^+г/Яо -1 . | // м ^ п V=; •■11рш>

Отсюда следует, что в(®)1 <

Яг где т зг

Св ~ 2^ ^ С^.

0 А;=гг+1

Таким образом, при г ^ т + 1 ^ Са + Св/Яг- Отсюда следует, что при г ^ г' 1^(^)1 < 1, где г' ^ т + 1 определяется из условия Св

Следовательно, выбрав значения т,г можно ограничиться проверкой условия гипотезы 1.2 в конечном числе точек ., Ят+Ъ • • • , Яг'-\

Приведем некоторые примеры (выписываются только значение т и отклонения гг от д;, г = 1,., т):

1) для (р, q) = (1,162) значение т — 6 и zi=qi— 4, z2 = q2- 2, z3 = q3- 1, £4 - g4 - 1,

25 = 95 - 1, z6 = qe~ 1;

2) для (p, g) = (1,156) значение m = 12 и zi=qi~ 5, z2 = q2 - 3, z3 = q3 ~ 2, z4 = 94 - 1, z5 = q5 - 1, z6 = q6- 1, z7 = q7- 1, z$ = qg — 1, zQ = q9 - 1, ¿ю = 9ю - 1,

Z11 = ~ 1, Z12 = qi2 - i;

3) для (p, g) = (1, 95) значение m = 14 и 91 - 3, z2 = q2- 2, z3 = q3- 1, = - 1, ¿5 = 95,

6 = 96-1, z7 - q7, z8 = 9s - 1, = 99, =

2ll=9ll, 212=912 — 1, 213 = 913, ^14 = 914 — 1;

4) для (p, <7) = (2, 21) значение m = 0;

5) для (p, 9) = (3,64) значение m = 2 и i = 9i - 1, -2 = 92 ~ 1;

6) для (p, g) = (4, 55) значение m = 7 и

2i =9i, 22=92, z3=q3, = z5 = q5, z6 = q6, z7 = q7 - 1;

7) для (p, q) = (5, 201) значение m — 15 и i = 9i - 1, 22 = 92, 23 = 93, 2:4 = 94, 25 = 95 1, 2б — 9б 1;

27 = 97, 28 = 98, 29 = gg, 2ю = 9ю, 2ii=9ll, 212=912,

213 = 913, 214 = 914, 215 = 9l5 ~ lj

8) для (p, <7) = (6,101) значение т = 8и

2i=9i-l, 22 = 92, 23 = q3, z4 = 94, 25 = g5,

26 = 96, 27 = g7, 28 = 98 — 1

Во второй главе рассматривается дискретный аналог теоремы М. Г. Крейна о наилучшем приближении целыми функциями экспоненциального типа в L\.

Далее используются обозначения и результаты из гл. 1. Пусть g: Z —> M — четная функция, ЦрЦ/^z) < Рассматривается экстремальная задача нахождения величины

Eh{g)hm = ы Из - Лк(Щ = s mf 0 Е Ш - /(*)!• (6)

При Н ^ 1/2 величина = 0- Поэтому как и раннее представляет интерес случай к < 1/2.

Задача (6) является дискретным аналогом задачи о нахождении величины наилучшего приближения четной функции С: М. —К. [2], Н^кхСК) < оо:

Ен(о)Ь1т = т| ||а-аЛ||Ь1(к) = т| / \в(х) - вК(х)\ ах.

СнЕЕ(Н) Он€Ь{п.)

В силу четности функции д, С, также как и в задаче Л3(/г) достаточно ограничиться четными аппроксимирующими функциями /,

Сн е 8{К).

М. Г. Крейном [2] было получено следующее утверждение, являющееся аналогом теоремы А. А. Маркова для полиномов [2].

Теорема Крейна. Пусть функция С?(ж) = 0(х~2), х —> оо; а функция Суг(ж) £ интерполирует функцию в нулях Т{ функции с(Нх). оо

Ghix) =Y2G(rk)<èk(x), Фк(х) = Ск

Ф(ж)

9 2 ' с=0 Х 'к ^

Ф(х) = с(кх), Ск = ^у, Фк(г,) = 6к1.

Тогда, если выражение — (-^(ж)) с(Нх) сохраняет всюду знак, то функция С/г (х) является экстремальной в задаче (

Крейном показано [2], что величина наилучшего приближения функции С равна

4yv lVbS((2fc + l)fe)

2/c + l где G (у) = fR G(x) e(-xy) dx — преобразование Фурье функции G(x).

16

Достаточным условием справедливости теоремы Крейна для четных функций является выполнение критерия С.-Надя [2]: если

GeC3(R), {-1)кд^к\у)^о, к = 0,1,2,3, y^h,

8) то произведение (G(x) — Gh{x)) c{hx) или, что то же самое, (G(x) — Gh(x)) sign(c(hx)) не меняет знака при х £ Ж.

Крейн использовал свою теорему для вычисления в L^ на оси наилучшего приближения класса дифференцируемых функций / с ограниченной нормой H/^lUooOSO, г G N, целыми функциями экспоненциального типа [2]. В этом случае задача сводится к наилучшему приближению в Li(M) интегрального аналога ядра Берпулли. Близкие результаты для тригонометрических полиномов и функций получили Ж. Фавар, Н. И. Ахиезер, С.-Надь, С. М. Никольский, В. К. Дзядык, С. Б. Стечкин, Сунь Юн-Шсн, А. Пинкус, Т.Х. Нгуен Тхи, А. И. Степанец. А. Г. Ба-бенко и Ю.В. Крякин и многие другие математики (см. [25, 3, 26]).

Дискретный вариант теоремы Крейна рассматривается для рациональных чисел h = p/q.

При доказательстве теоремы Крейна большую роль играет функция sign(c(/ia;)). Ее дискретным вариантом является функция A(z), определенная выше при описании результатов гл. 1, для которой

-A{z) = sign{if{z)), z£ Z \ {qk}kGZ.

Пусть функция gh £ £(h) интерполирует функцию g(z) в точках q-L (нулях функции (р). со г=0

9h(z) = ^g(qi)ipi(z), z <Е С,

2 qt

С; = Ч 4>(Z) т ifi{z) = а 2 ^ 2, ijez+, Qi

VMj) = 5ij.

9)

Теорема 2.1. Если ^ 1, т. е. р = 1,2 или справедлива гипотеза 1.1, и выраснсение (д{г) - дн{2))А(г) сохраняет знак в целых точках, то функция ди(^) является экстремальной в задаче Е^д)^^ и

Eh(g)it(z) = q~2p f k Г k=0 ¿eZ 4 4

При р = 1, q = 0 (mod 4) нули гъ совпадают с точками qu сp(z) = c(z/q), zeC,

A(z) = -sign(c(z/q)), z e Z.

Поэтому интерполяционные формулы (9) и (7) совпадают.

Отсюда следует, что если g{z) — G(z), z Е Z, где — функция из теоремы Крейна, то gh(x) = Gh(ж), ж е К, и

- (G(z) - Gh(z)) sign (c(z/q)) = (g(z) - gh(z)) A(z). z € Z.

Поэтому, если для функции G(x) выполняется критерий Надя (8), то произведение (g(z) — gh(z))A(z) сохраняет знак в целых точках и теорема 2.1 справедлива.

Пусть по-прежнему g(z) — G{z), z G Z, где G(x): К. —^ M — четная функция, для которой G(x) = 0(х~2) при х —> оо.

Следующее утверждение является дискретным вариантом критерия Надя.

Теорема 2.2. Если р = 1, q = ±1 (mod 4) и G(y) — 4:-кратно монотонна при у ^ 1/q, то выполняется теорема 2.1.

Критерий Надя и теорема 2.2 выполняется, например, для функций

Gi(x) = T-Ц {G^y) =

1 т ж

G2 (х) = (G2 {у) = ).

Функция G\(y) является абсолютно монотонной при у ^ 0 (G^\y) ^ О, у ^ 0, к — 0,1,.). Функция G2(y) является 3-кратно монотонной при у ^ у/З/'ка. = (0.69098. .)а и 4-кратно монотонной при у ^

-у/(3 + л/б)/(27г)а = (0.93129. .)а.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Дмитрию Викторовичу Горбачеву за помощь в подготовке диссертации.

1. Андреев H.H., Конягин С. В., Попов А. Ю. Экстремальные задачи для функций с малым носителем // Матем. заметки. 1996. Т. 60, № 3. С. 323-332; Письмо в редакцию // Матем. заметки. 2000. Т. 68, №3. С. 479-479.

2. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1965.

3. Бабенко А. Г., Крякин Ю. В. О приближении ступенчатых функций тригонометрическими полиномами в интегральной метрике // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 1. С. 27-56.

4. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1966.

5. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1966.

6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М.: Наука, 1969.

7. Горбачев Д. В.Экстремальная задача для периодических функций с носителем в шаре // Матем. заметки. 2001. Т. 69, № 3. С. 346-352.

8. Горбачев Д. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2003. Т. 73, № 5. С. 773-778.

9. Горбачев Д. В. Усиление нижней оценки Тайкова в неравенстве между С и L-нормами для тригонометрических полиномов // Матем. заметки. 2003. Т. 74, № 1. С. 132-134.

10. Горбачев Д. В. Избранные задачи теории функций и теории приближений и их приложения. 2-е изд. Тула: Изд-во «Гриф и К», 2005.

11. Горбачев Д. В. Интегральная задача Конягина и (С, Ь)-константы Никольского // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, №2. С. 72-91.

12. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Тезисы докл. Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2005. С. 76—78.

13. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Экстремальная задача для функций с малым носителем и ее приложения в теории фильтрации // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11, вып. 1. С. 119—132.

14. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Задача о минимальной норме целой функции экспоненциального типа и оптимальные фильтры // Материалы Межд. конф.Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2006. С. 51-53.

15. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Задачи о минимальной ¿р-норме для целых функций экспоненциального типа и их приложения // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12, вып. 5. С. 95-102.

16. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для периодических функций с малым носителем // Матем. заметки. 2006. Т. 80, №6. С.940-942.

17. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Об одной экстремальной задаче для целых функций экспоненциального типа // Тезисы докл. IV Межд. симпозиума «Ряды Фурье и их приложения». Ростов-на-Дону: РГУ, 2006. С. 86.

18. Горбачев Д. В., Захарова М. В. Дискретный вариант теоремы Бернштейна о приближении функции в Ь\ // Материалы Межд. конф. «Современные проблемы математики, механики, информатики». Тула: ТулГУ, 2007. С. 24—27.

19. Горбачев Д. В., Маношина А. С. Экстремальная задача Турана для периодических функций с малым носителем и ее приложения // Матем. заметки. 2004. Т. 76, № 5. С. 688-700.

20. Захарова М. В. Минимум дискретной нормы для целых функций экспоненциального типа // Известия ТулГУ. Сер. Естественные науки. 2007. Вып. 1. С. 5-16.

21. Иванов В. И. О задачах Турана и Дельсарта для периодических положительно определенных функций // Матем. заметки. 2006. Т. 80, №6. С. 934-939.

22. Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю.Д. Экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. 2004. Т. 10, вып. 1. С. 76-104.

23. Иванов В. И., Горбачев Д. В., Рудомазина Ю.Д. Некоторые экстремальные задачи для периодических функций с условиями на их значения и коэффициенты Фурье // Труды ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11, №2. С. 92-111.

24. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближений. М.: Наука, 1976.

25. Крепн М. Г. К теории наилучшего приближения периодических функций // ДАН 1938. Т. 18, № 4-5. С. 245-249.

26. Математическая энциклопедия. Т. 1. М.: Советская энциклопедия, 1979.

27. Никольский С. М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

28. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука, 1978.

29. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

30. Стечкин С. Б. Одна экстремальная задача для тригонометрических рядов с неотрицательными коэффициентами // Acta Math. Acad. Scient. Hungaricae. 1972. Т. 23, №3-4. P. 289-291.

31. Тайков Л. В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов // УМН. 1965. Т. 20, №3. С. 205-211.

32. Babenko V., Kofanov V., Pichugov S. Comparison of Rearrangement and Kolmogorov-Nagy Type Inequalities for Periodic Functions // Approx. Theory: A volume dedicated to Blagovest Sendov (B. Bojanov, Ed.), DARBA, Sofia. 2002. P. 24-53.

33. Gorbachev D.V., Zakharova M.V. Minimal discrete Lp-norms of entire functions of exponential type // In: Extremal problems in Approximation Theory and Function Theory: Proceedings of Russian-Chinese Workshop. Tula: Publ. House of TSU, 2006. P. 85-93.

34. Konyagin S., Shparlinski I. Character sums with exponential functions and their applications. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1999.