Представление и приближение функции в среднем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Р Г

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. В.А.СТЕКЛОВА

На правах рукописи УДК 517.Б

ИВАНОВ Валерий Иванович

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ПРИБЛМВНИЕ ФУНКЦИИ В СРЕДНЕМ

(01.01.01 - математический анализ)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фюкко-мате матиче ских наук

Москва - 1994

- г -

Диссертация выполнена в Тульской.государственном техническим университете

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Б.С.Кашин доктор физико-математических наук, профессор В.А.Скворцов доктор физико-математических наук, профессор В.Л.Юдин /

Ведущая организация - Институт математики Армянской академ.ш наук

Защита состоится п £ " О^ё&^ЬД 1994г. в часов на заседании снециа.лизироваиного совбта Д 002.38.(В при Математическом институте им. В.А.Стеклова Российской академт наук (г.Москва, 117333, ул. Вавилова, 42).

С диссертацией мошо ознакомиться в библиотеке института. Автореферат разослан " " 11-С<Я 1994г.

Ученый секретарь спецсовета, Д 002.38.03

доктор физ.-мат. наук '. /ЙЛ'-^Г^ В.А.Ватутин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Вопросы представления измеримых функций рядами и, в частности, ортогональными занимадт замэтноэ моего в теории фушащй и в теории общих ортогональных рядов. Разработка этого направления была начата Н.Н.Лузиным и продолжена Д.Е.Меньшовым. Этой тематике посвящены многочисленные работы Н.К.Бари, П.Л.Ульянова, А.А.Талаяяна,.Б.С.Кашина. С.В.Конягина, Ф.Г.Арутю-няна, К.С.Казаряна и многих других авторов [1-83.

Экстремальные задачи теории приближений (точная константа в неравенстве Джэксона в пространствах ) привлекали внимание мко-гих математиков. Важные результаты получены в работах Н.П.Корнейчука, Н.Й.Чэрныха, В.А.Юдина, А.А.Лигуна, В.И.Бердаивва [9-13, 161.

Цель работа. Описание характеристических аппроксимативных свойств.систем представления для широкого класса линейных метрических симметричных пространств измеримых функций без линейных функционалов. Характеризация пространств в которых системой представления является кратная тригонометрическая система со спектром в полупространстве. Нахождение точных констант в неравенствах типа Джексона в пространствах , ' 1<р<а> на компактных абелевнх группах для приближений по системам характеров этих групп.

■ Методы исследования.- Применяются методы теории функций, функционального анализа, абстрактного гармонического анализа. Используются оценки сумм независимых случайных, ветчин.

Научная новизна, а) Получена характеризация систем представления в локально ограниченных по мера метрических симметричных

пространствах Щ ¿1. Охарактеризованы пространства, в которых по любой полной ортонормированной системе существуют универсальные ряда, пространства в которых существуют ортогональные универаль-¡ше ряды. Выяснена максимальная скорость стремления к нулю коэффициентов таких рядов.

б) Установлено, что кратная тригонометрическая система со спектром в полупространстве является системой: представления тогда и только тогда, когда пространство ¿1п(1+1 ]. Доказано, что в этих пространствах сходимость тригонометрического ряда и его сопряженного ряда не зависят друг от друга.

в) В пространствах. Ър на компактных абелевых группах для приближений по системам. характеров получены оценки снизу наименьших констант Джексона, оценки сверху уклонений для некоторых линейных интегральных операторов, учитывающие строгую выпуклость пространств.. Доказаны • неравенства Джексона с точной константой в пространствах 1р на т-мерном торе Т (1<р<2), нуль-' мерных группах (Нр<*>). Выявлена зависимость константы Джексона-Стечкина в 1р(Т} от порядка модуля непрерывности.

Практическая-в теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории функций для дальнейшего исследования вопросов представления функций в среднем общими и ортогональными рядами и в теории приближений при исследовании экстремальных задач в пространствах

V

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международных конференциях по теории приближений в Гданьске (1979г., Польша), в Варне (1981г.,1987г.., Болгария), в Киеве (1983г.), по теории чисел в Туле. (1993г.), на Всесоюзной Саратовской зимней школе по теории функций-И приближений (1986г..), на

Всесоюзшх летних школах по теории приближения функций под научным руководством С.Б.Стечкина, на Всесоюзной конференции по теории функций, посвященной 80-летию С.М.Никольского в Днепропетровске (1985г.), на конференции "Экстремальные задачи теории приближений и га приложения" в Киеве (1990г.), на Всесоюзных школах по современным проблемам теории функций в Ереване (1987г.), в Одессе (1991г.),'на семинарах Б.С.Кашина и П.Л.Ульянова в МГУ, на семинаре С.Б.Стечкина и С.А.Теляковского в МИРАН, на семинаре Б.Надь и К.Тандори в Сегедском университете и семинаре Ф.Шиппа в Будапештском университете (1984г., Венгрия).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 16 работах, список которых приведен в конце автореферата. Два работы написаны в соавторстве с С.А.Пичуговым и с Ш.Фридли и П.Ши-моном.

Структура диссертации. Диссертация состоит из пь^ния, трех глав и списка цитированной литературы. Общий объем диссертации 212 страниц. Библиография содержит 97 названий.

- 6 -СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация.состоит из двух частей. Первая часть посвящена вопросам представления функций рядами. Представление функций рядами по той или иной системе зависит от выбора пространства и сходимости в нем. Во введении определяется широкий класс пространств Ер промежуточных между пространством всех измеримых функций S, определенных на отрезке 10,1] и пространством ограниченных функций Z».

Пусть функционал p;S-»R, удовлетворяйт условиям:

1) р(/)=0 тогда 'и только тогда, когда /=0 почти всюду (п.в.);

2) iJ)=f/6S|pf/J<eJ - линейное;

3) если lim p<7,j=llm p(&J=o. то lim pí/„+&J=0;

4) для любой /еЕ, Ilm p(a/)=0;

ató

5) если gsE^ и \f(x)\<[g(x)\ п.в., то f^Ef,, при этом, если l/nte-JIstenWI гг.в. и 11л p(gr, )=0, то lim р<7"„>0;

6) если f - не возрастающая перестановка |Д, то ,f<=Ep тогда и только тогда, когда fЩ , причем llmpfj=0, тогда и только

п-КО

тогда, когда 11га

Функционал р определяет линейное пространство' Е, с тополо- ■ гией у, пороадаемой О-метрикоЯ.p.(f,8)=P(f-8)> обладающей свойством (иг): если ШрГ/,/.,Mira p(f„,g„)=0, то lim pf/.ft,J=0. Шэто-

му в линейном'топологическом пространстве 'fy топология тр хаус-дорфова, удовлетворяет первой аксиома счетности, а значит метри-зуема. Линейные метрические, симметричные пространства Ц, , явля-

птся обобщениям! симметричных банаховых пространств. Мы предполагаем, что пространства Е), - полные и сепарабельные.

1. Сделаем оОзор основных результатов первой главы, содержащей 4 параграфа. В первом параграфе приводятся некоторые свойства пространств Ц,. Еажшч частным случаем пространств ЕР являются пространства .

ФШ

/•sS | pTf/J=J<p(l/l )Лх < «

где <p:R* —* К - конечная функция. Пространства <рШ систематически изучались П.Л.Ульяновым [5,6]. В §1 доказывается

ТЕОРЕМА 1.2. Пространство <р(L) ядлшпся линейная летрияеснгм смяетричныя пространств о я тогда и только тогда, когда q) ф(0ю)=0; а) (р(х)Ю (х>0); в) q>(2x)=0(<p(x)) (x-va);

ä) для .любого z>0 существует ктстнт С,>0 тайая, что для всех x>ytz <р(у)<Сх<р(х)..

' 'Пусть ij" - множество линейных непрерывных в пространстве Ер функционалов. Известно, что (p*(L)={ö>, если у(х+у)яр(х)-кр(у), lim = о. Справедлива

ТЕОРЕМА I.I. Ер=(01 тогда ü только тогда, ксгда%£Ъ. ■ ■ • Еа. втором параграфе' устанавливаются характеристические свойства систем. представления в пространствах -fyiL. Следуя А.Д.Тала-Ляну, систему Cg„} назовем, системой представления в пространстве

Ер', если для любой fefy. существует ряд £ angn 'р-сходяшийся к /.

Ä.А.Талалян. первым начал изучать характеристические свойства произвольных систем .представления в пространствах без лннейннх'функ-

нионалов. Он охарактеризовал системы 1гредставления в S относительно сходимости,по мере при условии, что дл$ некоторого е>0 и всех п

mesf№íO, 111 |gn (х) |>eJ2g и произвольные системы представления в пространствах Lp,0<p<1 133.

Будем говорить, что система (gn) обладает в пространстве Ц, аппроксимативным свойством универсальности, если существует непрерывная неотрицательная и возрастающая на к* функция фГО+0;=0 такая, что для любого е>0, любого натурального г и любой

- в

f<-£f, существует полином q- £ , для которого выполнены условия

к = г

а) p(f-q)<e,

m

б) р( 1 ctbgkJi4>fP(XU

Ir =г '

Пространство Ц, назовем локально ограниченным по мере, "если для некоторого б>0

¿í? pf/fe I*0'

Основным результатом §2 является

ТЕОРЕМА 1.3. Если локально ограниченное тю лере пространство Ep¿L, то следующие условия эквиваленты:

aj систеш fgn )„>, является системой представления .6 E¡, ;

б) для любого NH cucrnm является системой представления в Ер;

в) система fgn/rb обладает в Бр аппракаиАативкыл свойствам универсальности..

Для доказательства .теорема 1.3 помимо идей А.А.Талаляна мы используем промежуточное приближенно полиномами по системе Хаара»

устанавливая, что система Хаара обладает, аппроксимативным свойством универсальности в любом пространстве

В следующем утверждении дается связь меяду системами представления в разных пространствах.

ТЕОРША 1.4. Если пространство локально ограниченное по «ере,- Ep2cEplf Ер t ¿L, то всякая система представления в пространстве Щ, является систэдой предстювления и б пространстве

Ьу

Если ¡$={0), то. представление функций рядами по любой системе неёдинсгвенно. В этом случае естественно, выяснить по как™ системам в пространстве Ер существуют универсальные ряда относительно подпоследовательностей, подрядов, знаков, перестановок £1,71. Универсальнее ряда в пространствах .S и S в смысле сходимости почти всюду и по мере и в пространствах <p(L) в смысле р, -сходимости строили Д.Е.Меньшов, А.А.Талалян, Е.Г.Кротов и тугие авторы. В третьем параграфе доказываются следующие результаты.

ТЕОРЕМА Г.6. Если система (g„) обладает 6 пространстве Щ, аппроксимативны* свойствах универсальности, та по ней существует ряд, универсальный■ относительно подрядов, знаков, перестановок в £р с.р- сходимостью и в S со сходимостью по мере.

Следствие. Если локально ограниченное по мере пространство Ер ¿L, по по системе (g^) в Щ, существует ряд, универсальный относительно подрядов. или энаков тогда и только тогда, когда система является системой представления 8 Е? . ТЕОРЕМА 1.5. Следующие условия эвивалентяи: а) по системе fg„) в пространстве Fv существуют универсальные ряди отостзлъна подпоследовательностей;

б) система J сильно не минимально полна б пространстве Щ,, т.е. для любого Ш система (£г,К.>ы полна в Щ,;

в) для любого Н>1 и любого линейного непрерывного фунщиот-да из условия 1(е,,)=0 для любого п>И выпекает, что 1=0.

Следствие. Если пространство ¿^ ¿1,, то по системе

в Щ существуют универсальные ряЗы относительно подпоследовательностей тогда и только тогда, когда система полна в Щ,.

Отличным от наивго способа А.А.Талалян показал, что всякая полная по мере система является сильно да минимально полной.

В четвертом параграф решаются некоторые задачи о представлении функций ортогональными рядами.

В каких пространствах Ер по любой полной ортонормированной системе (ПОНС) существуют универсальные ряды? Какова максимальная скорость стремления к нулю коэффициентов таких рядов? Вогфос о максимальной скорости стремления к нулю коэффициентов ушшерсаль-ных рядов ставился П.Л.Ульяновым и А.А.Талаляном Ш.

ТЕОРЕМА 1.7. В пространстве Е,, по любой ПОНС

существуют райи, универсальные относительно подпоследовательностей, подрядов, знаков тогда и только тогда, когда £¡,¿1. При этом для любой положительной возрастающей на К. функции ы(х), и(0/0}=0 коофрицяенш универсальных рядов могут удовлетворять условию

Е|сиашПапр<».

В каких пространствах ^ с! существуют ортогональные универсальные ряда? Напомним, что линейное топологическое пространство называется локально ограниченным, если в нем- есть ограниченная окрестность нуля. Справедлива

-11-

ТЕОРЕМА 1.8. В локально ограниченная пространстве ЩсЪ существухт универсальные ортогональные рады относительно ггоЗпоодеЭобсипедьносшей, тгобраЭоб, зкаков тогда и только тогда, когда Щ, р £г £ Ер.

Следствие. В локально ограниченная пространстве Щ, с£ существует ортогональная сильно не лшилалъно полная сшжла тогда и только тогда, когда Щ, п Ер.

Построение ортогональной системы, , по, которой существуют универсальна© ряда осуществляется возмущением системы Фабера-Шауде-ра. Отметим, что возмущением неоргогонального базиса А.Н.Слепчен-ко построил ортогональный базис в X,. не являющийся базисом в Г,.

2. Во второй главе, содержащей 3 параграфа, изучаются некоторые вопросы представления функций в пространствах Е9(Т")£1(1Г), 1гя=(0,1)т рядами по. подсистемам е(А)=^ег*1 '"^«д» кратной

тригонометрической системы относительно р-сходимости шаровых частичных' с уйм. В этих задачах сходимость именно шаровых частичных суш не принципиальна. На протяжении всей главы мы предполагаем, что 1р(1^)<=Ер (Т) для некоторого р>2.

■ В первом параграфе рассматриваются случаи, когда спектр систем совпадает со всей целочисленной решеткой или находится в полупространстве )*0}.

ТЕОРЕМА 2.Г. Систеда в' пространстве Ер '(!Г) обладает

аппроксулашвныл свойствол универссиьности тогда и только тогда, ' кагва ЕрСР^ЦГ*).

В [б] П.Л.Ульянов поставил вопрос. В каких пространствах ср(I) классические системы являются система.™ представления? Из теорзмы 2 Л и результатов П.Освальда вытекает

Следствие. Тригонометрическая система лвмгепая сиете&ой представления 8 линейной пространстве (р(Ъ(Т)Х тогда и тольио тогда, когда или Иш или цШ?)) эквивалентно

х-»аз

рефлексивнолу пространству Орлича.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть П- полупространство в к™, Тогда

следующце условия эквивалентны: и пространство

2) систем е(Ац) полш в пространстве .Ер (И"); 31 систела е(Ац) в пространстве Ц, (?") обладает аппроксима-тивнид свойствен универсальности.

В случае т =1 теорема 2.2 означает возможность представления двух действительных функций из пространства Ц,*Ип(1,(Т)+1) тригонометрическим рядом и его сопряженным. В частности, справедливо следующее уточнение известной теоремы Д.Е.Меньшова:

Следствие. Для любых двух действительных из&ерижых т Т функций Л и Д конечных п.в. или равных » на множестве положительной меры, существует тригонояетричесний ряд

<а - '

' Оо/г* ^ (а* созгяйх+Ь* в1п2"кРх), к = 1

который сходится по яэре а Л (х), а его сопряженный ряд '

ер ■

2 (ОъВЬЖФХ-ЪьСОВгЮгХ:) к = 1

- к /г(Х). '

В 113 П.Л.Ульяновым поставлена следующая задача. Для всякого1 ли универсального относительно подпоследовательностей тригонометрического ряда сопряженный ряд тоже являэтся универсальным? Ответ отрицательный. Более точно, справедливы

ТЕОРЕМА 2.3. Для любого действительного пространства Ер(Т)Их\(Ъ(Т)+1) существует тригонометрический ряд универсальный в Ер (Т) относительно подпоследовательностей, сопряхентй рад к которому сходится в Е9(Т).

ТЕОРЕМА 2.4. . Для любого действительного пространства Щ, (Т№1п(ЦТ)+1) существует тригонометрический ряд универсальный в ЕР(Т) относительно подпоследовательностей, сопряженный ряд к которому является универсальным относительно подрядов, знаков, перестановок в пространстве § (Т).

Во втором параграфе исследуется для каких подмножеств остаются справедливыми результаты §1.

На множества всех подмножеств определим два оператора

РА=(тёГ ъг&Г (г*0) и п+гк^А),

[чзем зг<2,п (г*0) чцт, НЫв, п+гШ).

Доказывается, что если для.некоторого натурального Р. Т*А=£°, Яр^УКУ) или и то система- е(А) в

пространстве (ЧГ) . обладает аппроксимативным свойством универсальности.

Если верняя плотность д„(А)=1. то РА=0А=гп. с другой стороны для любого й<1 существует такое, что <\„(А)±й и система е(А) не полна в БОГ) по мере. Множество А, удовлетворяющее условию (РА=ё") может быть как угодно редким и, в частности, монет иметь нулевую плотность.

Ф.Г.Арутюнян (81 доказал возможность представления конечных функций почти всюду сходящимися рядами по подсистемам кратной тригонометрической системы со.спектром

А=(г>егГ'\ , л^-п^ча . (к**)).

/¿еобходимые и достаточные устоим для того, чтобы подсистема ортогональной системы была полной шш системой представления известны только для подсистем системы Хаара. Прайс нашел необходимое к достаточное условие для того, чтобы подсистема системы Хаара была полна в 5 по мере, а В.И.Филиппов показал, что рядами пс зтим подсистемам можно и представлять функции в пространства!: близких к нашим.

Аппроксимативное свойство универсальности системы в пространстве Ер является во многих смыслах устойчивым. В' третьем параграфе исследуется устойчивость аппроксимативного свойства универсальности при умножении'.системы на весовую функцию к. Известно, Что при умножении системы на ограниченную функцию ее базисность может нарушаться. Например,- тригонометрическая система с весом (е2""" ¡т1г) не является ни базисом, ни системой представления ни в каком пространстве 1р(Т), -Нр<а. Аппроксимативное свойства универсальности в атом смысле явлйется более устойчива'«!. Справедлива

ТЕОРЕШ 2.9. Воли система ) в пространстве обладает

шпроксщалшвнгш свойствол универсальности, 1ы1а(Т), 1/1ъеБ(Р), ко система {¿«Ю в пространстве ,ЕР (Т) тоже обладает аппронсилативним-свойством универсальности.

Для некоторых систем представления в пространствах Е? условие Ь/е1о>(Т) в теореме 2.9 моано ослабить. Из результатов В.Г.Кро-това 171 вытекает, что если ; - система йабера-Шаудера и ТЩ,, то система в пространстве Ц, обладает аппроксиматив-.

нам свойством универсальности. Это обусловлено тем, что система' ОаОвра-Шаудера, не будучи ортогональной, обладает .глубокими локальными свойствами. Для каких ортогональных систем имеет место аналогичное утверждение? •

ТЕОРЕМА. 2.10. Пусть пространство fytL.-heEp, 1/h «S, (Хп> -система Xaapa. Тогда сиотела (xJi) б пространстве Fv обладает ашроксидсшбньйЕ свойство« универсальности..

Для системы {e2tin"h(x))r,e^ в пространства Ц,(Т)г1СГ) и системы (e2tl n*h(x))„ez^ в пространстве Е? (T)dln(L(T)+l)■ это утверждение доказало при дополнительном условии регулярности весовой функции:

lim mesfaei1! \h[x) \*п)=0.

n-*ß

, 3. Переходим к изложению содержания третьей главы, содержащей" 5 параграфов и являющейся второй частью диссертации.

Важной экстремальной задачей теории приближений является задача' о точной постоянной в неравенстве Джексона, в котором величина наилучшего приближения функции в пространстве I^jf") тригонометрическими полиномами оценивается через ее модуль ^трерывно-сти. Для удобства в этой главе Т"=10,2г)т. Решение этой задачи известно в немногих случаях: р=»,ш=7 (Н.П.Корнейчук [9]), п=Ы<ре2 ,(Н.И.Черных 110,111),-р=2.й>? (В.А.Юдин iI21).. Каждый новый случай решения, как правило, требует привлечении новых идей и методов. С точки зрения абстрактного гармонического анализа тригонометрическая система iel,Ki является системой характеров компактной абелевой группы Г1".. Поэтому естественно задачу о точном неравенстве Джексона в пространстве Lp рассмотреть в общей постановке для приближений по' системам характеров произвольных компактных абелевых групп.

Пусть G - отделимая бесконечная мэтризуемая компактная абе-лева группа'с нормированной инвариантной мерой Xaapa v; 5=(%}п=о - ее (счетная) система характеров, являющаяся ПОНС относительно меры V, (ря=1;

G

( isp&oj,

. Е„ Г/,С,)Р=1пГ ¡)/- У с^Г (ГШ!)

' - величина 'наилучшего приближения порядка п функции (в) по системе характеров в; УаЗ - окрестность нуля,

и\ ■ ' . - модуль непрерывности в Ьр(й).

Константа Джексона пары пространств (1Р(С),1ч(в)) определяется равенством

и является функцией параметров п^ы, УсС, )<р<д<«.

В первом параграфе для константы Джексона дается оценка снизу. Чтобы сформулировать основной результат, определим величину •

Е, и,в)р .

(0)(

JJI/W-/fy)l4dvdv

GG .'

и константу Юнга пары пространств (Lp(G),h4(G))

ль(ß).b,у ^^ dRwl ■

Здесь rUt.LvlG)) = Inf sup Ix-t/L - чебышоьский радиус ограни-</<J4 fGJ I.:«

чанного множества Xd^fG), dlä.I^ (G)) = sup Ir, lq - диа-

зу tX^i-M

метр £ в 1^(0). ispsq. Справедлива-

ТЕОРВАА 3.1. Для любой бесконечной группы С, гйл, Н^<*>, действительных пространств 1^,(0(а) справедливы равенства

Оценивая1 Зр^Сй) снизу с помощью- функций, принимающих три значения 0,-1 легко получить, что

2"""' , Г<р<«з<2; д>2. 1/р>2П-1/24"1),

Здесь д' - сопряженный показатель для q (1/ц+1/ц'=1).

Правильная оценка К1>р(Т,п,Т) снизу при 1<р<о была получена В.И.БердашэЕНМ [13].

Нам известны следующие случаи точного вычисления величин Яр,(•(?,/.о;, ^(С), ¿ОъСО.ЪШ)):

[:2~*"г, г<р=q«*.

Оценка' сверху' величины КГ>Ч(Т,1 ,Т) йри 1<р<^2 получена Н.И.Черныхом, при 2<р=д<°°; р=1, 1<д<а - автором. Константа Юнга вычислена Роутлццйем и. независимо В.И.Бердышевым. Существенное. продвижение бнло достигнуто С.А.Пичутовым, который вычислил при ;<р<®. Автор и С.А.Пичугов вычислили -Ц при р=1, щ<оо, в §1 разбирается случай Кр<а/2<<п.

.Отметил, что в процессе доказательства теоремы 3.1 установлена оценка конечномерной константы Юнга

.[пет] •

точная, если для размерности п существует матрица Адамара порядка п+ / и Жр^г"1'4

Доказательство теоремы 3.1 опирается на следующие две леммы, имеющие и самостоятельный интерес

ЛЕММА. Для любой бесконечной группы. (?, любого е>0 и любого набора положительных чисел (о* , а»..■нхт=1 существуют непересекающиеся множества е1гш для которых vfek.)=аk и

для любого {«О

гаеъ+г)^ )<ауа1+е (1)

(к=1). . (2) «

ЛЕММА, рели С - нульмерная группа или, для периодической части (подгруппы элементов ' конечного порядка) Ра группы С замыкание Ра=(7 или в является топологическим, прямых произведением этих групп, то для любого е>0, любого набора у-измерикых непересекающихся множеств чТД, , р, . .+рг = Г. и любого набора положительных чисел Гак^,, с^ +...+0^=1 существуют непересекающиеся множества е1ксД. (1=1,...,г; Ь=1,...,т), для которых

г

г'Се^к^р^Ок и для тожеств ек= у е1к, v(e]c)=a^.' (к=1,... ,т) :вшол-

1 =1

нет свойства (1),(2).

Для группы Г первую лемму доказал В.И.Бердышев С133, опираясь на сложную теоретико-числовую конструкцию А.М.Ильина. Мы даем более простое доказательство, использующее вероятностные соображения и структурное строение компактных абелевых групп.

Во втором параграфе для некоторых линейных интегральных операторов даются оценки уклонений в пространствах 1^(0), 1<р<«>.

Пусть теперь О - топологическая отделимая локально клшакт-яая абелева группа с а-конечной инвариантной мерой Хаара V, в-СЬ)

- ее группа характеров; '#(Ч.)гО, ¡К(1)Лу=1,

й

ЖШгч

. ,!)=£/(I (-1Г1 [з]/^^3*

з =0 I *

\ (•'•) ('')

Оценки уклонений в пространствах Ю) для операторов А (x,f) даются в последующих трех теоремах.

ТЕОРЕМА -3.2. Если С? - локально компактная авеледа группа, Нр.ц.г^», р', q^, г' - сопряженные показатели, то

"АЛ «р- * . г -, Д

14 ■

где

|2\ | . _ , = зир |Л|/г| .

■ 1 "р- -* я' . г ) <1 »1 ч" . г" >

' При доказательстве теоремы используется произведение операторов IГ , обычное для гильбертова пространства. Идея использования этого произведения в подобных нашим задачах восходит к [14]

- 20 .ГЕОРЕМА 3.3. 'Если.д,(я яЗра K(t) выполнено условие'

1 " fc]i]U8(^Jt)S(^3t)ivxK(tmso

аля любой функции geLj (G), no в условиях те opeли 3.2 справедливо неравенство

41

(V)

Jl^i/l^ftJlb't

гЗе r=mlnfp,p'J, /ipse.

Условие на ядро К необходимо и достаточно, чтобы

Sril:

G и ядра

4м1

-К 2. 21 I I I I

Для метризуемой компактной- абелевой группы

• ■K(t)=1+l:arBBtb(t)

Г=»

оно эквивалентно следующему условию t

(3)

Оно, в частности, выполнено, если а,гО, а, * О. .

ТЕОРЕМА 3.4. Если G - летриауелая компотная айелева группа, для ядра K(t) выполнено. условие (3) при 1=1, Uqsa, то для любой де&швительной функции (G)

«/-АГ/Л,«?

XIAi /KKftJd.vt

В третьем параграфе устанавливаются некоторые следствия результатов §2 для 'группы. Пусть . ■ •

F,f/,r;=lnf \f(x)~ I c„eiM |ц|<й

ол (в,Г,Г)= sup |Л1/Ш|Г ; |t|<3

qm - первый ■ положительный нуль функции Бесселя (t).

Справедлива

ТЕОРЕМА 3,6. Для любой функции f*hp(f"), Up<3, т>1 справедливо точное неравенство Джексона

При т=1 для действительных функций теорема 3.5 была доказана П.И.Черныхом [II]. Кроме результатов §2 при доказательстве теоремы используется и следующее утверждение. Для любой комплексной (и даже векторной) функции /(xjel^cf), 0<р<2. существует функция gixJehCF) такая, что для любого tef"

lf(x+t)-f(x)fclg(x+t)-B(x)ll. . Справедливость этого утверждения для действительных функций была установлена С.В.Конягинам. В общем случае оно легко выводится из тождества Шенберга:

X в'

<% <х

it

е

и положительной опрэдэлетгести функции е"1 * 141 при t*0. Здесь 0<р<2, с(р)>0, f,.....jy,«^ и числа с7,,... ,citI удовлетворяют равенству б,, f...+<i,--=0'. Пусть

константа Джексона-Стечкина. С.Б.Стечккн [151 доказал ее конечность при р=® и поставил задачу о ее правильном порядке по I. Точное значение константы Джексона-Стечкина известно только при р=2, 1=2%, Н>1 (Н.М.Черных [16]). Мы доказываем

ТЕОРЕМА 3.6. Если Я, №. %>1я'г, г=т1а(р,р'.}, то с

абсолютной постоянной справедлива сценка сверху

^ЯррГа/й.д.гл.м1'2'.

С другой стороны для всех Я.Ш '

^ 1рр(г%/1,Е,Т,1>11''гр' (2<р&ш),

г1ЯРР(2%/1,Н,Т,1)»11УЛ (Ир<2). .

В четвертом параграфе вычисляется константа Джексона для систем характеров нульмерных компактных абелевых групп. В качестве модели мы рассматриваем прямое произведение конечных циклических групп, . что.' не умаляет ' степени общности. Пусть т=Са0,т1.....щ,,...) <тп«04. т*>2).

- нульмерная .компактная абелева группа с системой окрестностей

нуля 1п={хеСт\х0=х1=.. .^Хп.^О). Систему характеров

можно построить так. Если Н0=1~, (&-1). п^, -.

00 ' . " П= ОЕП^Щс-и ХеО„, ТО-

~ ПъХ*

(р„ №1=ехр

г%1 Т

. Щс

к = а

Построенная система известна как система Уолша, если все Шг,=2, как система Виленкина, если все т^ простые, система Крестенсона-Леви, если все т,, равны и система Прайса в общем случае.

Ватари для системы Уолша и А.В.Ефимов в общем случае доказали, что при 1<р<а> ЯррПпДп»£?„;</. Н.Я.Виленкин и А.И.Рубинштейн вычислили Кгг(1„,!1п,0т)=2~1'г. Мы доказываем

ТЕОРЕМА 3.7. Для любой группы (?„, действительных пространств Ьр(От), 1ЧСС,П), )<ргд<® справедливы равенства

Кр, Цп .и^ЫОр (вт) (вт).

Если на группе рассмотреть' непрерывную систему окрестностей нуля

о

к*о

и модуль. непрерывности ш(б,/,0т)р=и(7ц ,/,0т)р, то содзржагельной становится задача вычисления константы Джэксона Крч(х/и„,г,От) как функции параметров гиг,, ?<р<д<®, 1/тп<х<1, Ип£п'.1п+1-1. Положим

■Сп=т1пС1*г.»(Ар, (х/ип .(0п)}. Справедлива

ТЕ0РИ1А 3.8. Если и

1) ль - четное, то

1/2, т^>4,

д/4. 1^=2, 7^,-аг;

2) ............К*ш-г - попарно . проста, а

тп,тп^1,...,Шг,..я,,».-, - нет, то

2 ^^^

- 24 -

3) т„,тт,+1,... - все попарно просите, то

%П. П —

3 + Й1г,-2,

1 4 '

2 + 2С*

Пг,=2&+1.

В случаях 2). 3) я,,>4 не является четным.

Аналогичная задача для группы Т при p=q=2 была решена

Н.И.Черныхом.

Отметим еще справедливость неравенства

ст22 • 1<п<2

В пятом параграфе для системы Уолаа вычисляется константа Джексона Кгг (.ч/^ ,г) для всех значений параметров и наилучшее приближение класса функций

$ сс, мм, № ^а"^

при Ска<1/2.

ТЕОРИИ. 3.9. Бели все ть=2, то для п^, справедливы равенства

К2Х(х/^,г,а2)=

¡3/4-1/2я . 1/2+1/2я*'<%<1/2И/2' (з>3), ' ¡1/2+1/? , 3/4-//г""' <гаЗ/4-1/2* ,

ТЕОРЕМА ЗЛО. Для 0<а<1/2.

^г(Ог)

Для аналогичного класса функции на группе Т известно наи-

■ ^ . I

лучшее приближение тригонометрическими полиномами, только для сЫ/2 (Н.И.Черных [161).

- 25 -

Литература

.1. Галалян A.A. Представление измеримых функций рядами// УШ. i960.ТЛБ,JE.0.77-141.

<

2. Галалян A.A. Вопросы представления и единственности в теории ортогональных рядов. Ы.:ВЙНИТИ,1971.С.5-64.(Итоги науки).

3. Талалян A.A. 00 аппроксимационных свойствах некоторых неполных систем// Матем.сб., 1981«Т Л15, J64. С.499-531.

4. Галалян А.А.,0всепян Р.И. Теоремы Д.Е.Меньшова о представлении и их влияние на развитие метрической теории функции// УШЛЭ92.Т. 47, йб. 0.15-44. .

5. Ульянов П.Л. Представление функций рядами в <p(L)// Тр.МИАН CCCP.I97I.Т.112.0.386-399.

6. Ульянов П.Л. Представление функций рядами и классы cpCLJ// УШ, 1972. Т. 27,#2.С. 3-52.

7. Кротов В.Г. Представление измеримых функций рядами, по системе ■ Фабера-Шаудера и универсальные ряды// Изв.АН СССР. Сер.

Матем.,1977.Т.41, JH.С.215-236.

8. Арутюнян Ф.Г. Представление функций кратными рядами// ДАН Арм.ССР,I977.Г.64,N2.С.72-76.

9. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976, -

10. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в !*// Тр.МИАН СССР,1967. Т.88.С.71-74.

11. Черных' Н.И. Неравенство Джексона в I^(0,2%) с точной константой// .Тр.МИАН СССР,1992.Т.198.С.232-241.

12. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в Z,// Матем.заметки, 1981.T.29.J®.С.309-315.

13. Бердышев В.И. О теореме Джексона в I*// Тр.МИАН СССР,!967..

Т.88.С.3-16.

14. Williams I.R.,Wells J.H. -Inequalities// J.Math.Anal.Appl., 1978.V.64.N3.P.518-529.

15. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций// Изв.АН СССР, Сер¿Матем.,I95I.T.I5,JK3.С.219-242.

16. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в I*// Матем.заметет,1967. T.2..JE5.C.5I3-522.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Иванов В.И. Представление измеримых функций кратными тригонометрическими рядами// ДАН СССР,I98I.T.259,J62.С.279-282.

2. Иванов В.И. Представление измеримых функций кратными тригонометрическими рядами// Тр.МИАП СССР,1983.ТЛ64.СЛОО-123.

3. Иванов В.И. Коэффициенты ортогональных универсальных рядов и нуль-рядов// ДАН СССР,1983.Т.272,Jt.I.С.19-23.

4. Ivanov V.,Prllli S.,Simon P. Representation of functions In th.e space <p(L) by Vllenkln ¡series// Acta Math..Acad.Sci.Hung., 1985.V.4,Mt-4.P.143--154.

5. Иванов В.И. Представление функций рядам в метрических симметричных пространствах без линейных функционалов// ДАН СССР, Х985.Т.289ГЖЗ.С.532-535.

6. Иванов В.И. О модуле непрерывности в L,,// Матем.загнетки,1987. Т.41,$5.С.682-686.

7. Иванов В.И. Приближение в Zp полнномаш по системе Уолша// Матем.сб.,1987.ТЛ34.ЖЗ.С.386-403.

8.. Иванов В.И.,Пичугов С.А. Приближение периодических Функций в. I*, линейными положительными методами и кратные модули непре-

- 27 -

рывности// Матем.заметки,1987.Т.42,№6.С.770-785.

9. Иванов В,И. Приближение интегральными положительными операторами я пространстве Ьр на топологических группах// Вопросы чистой и прикладной математики. Гула:Праокское кн.изд-во, 1088.Т.I, Я.0.30-47.

10. Иванов В.И. Приближение в Ц, кусочно-постоянными функциями// Матем. заме тки Л 988 Л*. 44 „Й1. С. 64--7Э.

I!. Иванов В.И. Представление функций рядами в метрических симметричных пространствах без линейных функционалов// Тр.МИАН СССР,198Э.Г Л89.С.34-77,

!?.. Иванов В.И. Об оценке снизу константы в неравенстве Джексона в разных 1^-нормзх// Матам.заметки,1993.Т.52,Ш.С.43-62.

13. Иванов В.И. оо одной задаче П.Л.Ульянова// Тезисы докл.школы. Теория Функшй.Дифференциальные уравнения в математическом моделировании. Воронеж:ВГУ,1993.С.62.

14. Иванов В,И. О теореме Джексона в Т*, для систем Прайса// Матем.заме тки, 1993.Г.53, КЗ.0.37-50.

[5. Иванов В.И. О приближении функций в прострзнствах 1р// Матем. заметки Л993.Т. 54,1©.С. 151-154.

15. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Ьр// Матем. заметки Л 994. Т. 56,1®. С. 15-40.