Аппроксимация функций тригонометрическими полиномами в L2 и фрактальными функциями в C тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

0. Введение

0.1. История вопроса.

0.2. Основные результаты.

1. Неравенство Джексона для приближения функцйй в L

1.1. Неравенства Джексона с обобщенным модулем непрерывности

1.2. Точность константы в неравенстве Джексона. 2G

1.3. Оценки аргумента модуля непрерывности в неравенстве Джексона с минимальной точной константой.

1.4. Оценки для константы /С в неравенстве

En-i(f) < (/, I)

2. Приближение фрактальными функциями в С

2.1. Метод фрактальной интерполяции.

2.2. Интерполяция с ограничением на константы Липшица.

2.3. Интерполяция с ограничением на выпуклость.

2.4. Фрактальная интерполяция в среднем.

Основные обозначения и определения к главе

Основные обозначения и определения к главе

0.1. История вопроса

Работа состоит из двух глав. В первой главе диссертации рассматривается задача о неравенстве Джексона для наилучших приближений функций пространством тригонометрических полиномов. Во второй главе исследуется задача приближения функций классом фрактальных функций.

В теории приближения особую роль играет неравенство Джексона между величиной наилучшего приближения функции некоторым классом функций и модулем непрерывности функции. Первым в этой области является результат Д.Джексона для наилучших равномерных приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. К настоящему времени эта тематика получила большое развитие. Опишем некоторые из известных результатов, имеющих непосредственное отношение к теме работы.

Обозначим через С — С27Г пространство вещественных непрерывных 27г-периодических функций одной вещественной переменной с равномерной нормой \\f\\c = тах{|/(ж)| : х £ К}. Наилучшим равномерным приближением функции / £ С тригонометрическими полиномами tn степени не выше п называется величина а ее равномерным модулем непрерывности порядка т — 1,2,. называется функция переменного 5 > 0

Зафиксируем числа г > 0, m £ N. Хорошо известно следующее нера

En(f)c = mm\\f-tn\\c, п венство [77, 4, 55]

En-i(f)c<Kum(f,l) , neN, fee, (0.1) п/с с константой /С = /С(т, га) < оо, зависящей только от г и т. Этот результат означает, что величина являющаяся наименьшей константой /С в неравенстве (0.1) при фиксированных т, га, п, равномерно ограничена по тг, т.е. конечна величина

Д.Джексон [76, 77] в 1911 году впервые установил неравенство (0.1) при m = 1, т.е. оценил наилучшее равномерное приближение £lni(/)c непрерывной 27г-периодической функции / тригонометрическими полиномами степени не выше п — 1 через ее модуль непрерывности u(f, т)с = т)с (первого порядка). С.Б. Стечкин [55] получил неравенство (0.1) при 771 > 2; при m — 2 этот результат был ранее опубликован Н.И. Ахиезером [4, с. 217, с. 190]. Неравенство (0.1) при га = 1 называют неравенством Джексона, а для модулей непрерывности старших порядков - неравенством Джексона-Стечкина. Указанный результат был перенесен на пространства LP = L^, 1 < р < оо, измеримых 27г-периодических функций, (см. [59, гл.5]).

Наряду с качественной картиной в этой области большой интерес (в частности, для вычислительных целей) представляют точные результаты. Первое точное неравенство Джексона (в пространстве С = С установил Н.П. Корнейчук [37] (1962 г.). Позднее этой тематикой в теории приближения занимались ученики Н.П. Корнейчука, а также многие известные математики: В.В. Арестов, В.И. Бердышев, В.Т. Гаври-люк, В.В. Жук, В.И. Иванов, А.А. Лигун, В.Ю. Попов, JI.B. Тайков, Н.И. Черных, В.А. Юдин, Chin-Hung Chin и другие.

0.2)

С(т, т)с - sup JCn(r, т)с-neN

0.3)

Н.П. Корнейчук решил задачу (0.3) при г = 7г, т = 1, доказав равенство /С(7г, 1 )с — 1. Позднее он обобщил этот результат [39] (1982 г.), показав, что /С(тг/£, 1)с = (£+ 1)/2, I G N. •

По аналогии с определением (0.2) можно дать определение величины /Сп(т, m)i,p, являющейся наименьшей константой в соответствующем неравенстве Джексона в пространстве LP = Lf^, 1 < р < оо. К настоящему времени наиболее полно изучен случай р — 2. Первые точные результаты в этом случае принадлежат Н.И. Черных [60, 61], который доказал, что при любых натуральных тип выполняется неравенство

En-\{f) < —jL=ujm f f, , feL\ !ф const. (0.4) v nJ

Н.И. Черных показал, что константу 1/^J(2™) нельзя уменьшить при фиксированных натуральных тип, удовлетворяющих дополнительному условию п > т. Отсюда следует, что

1 п

Кп{т,т)ь2 = — при n,me N, п > т, 2тт < т < 2тт—. а/Ю

0.5)

Для получения этого результата Н.И. Черных использовал промежуточное интегральное неравенство. В.В. Арестов (см. [2], [5]) свел задачу о точной константе в неравенстве Джексона в L2 к "геометрической" задаче приближения конкретного элемента из пространства С[0,5] выпуклым множеством. Такая точка зрения позволила ему применить методы выпуклого анализа, в частности, выписать явно двойственную задачу и, тем самым, прояснить и дополнить предложенный Н.И. Черных подход с использованием интегрального неравенства. Из результатов В.В. Аре-стова следует, что для любого точного неравенства Джексона есть соответствующее точное интегральное неравенство. Переход к двойственной задаче успешно применяется для оценки константы /С снизу. Задачи, аналогичные этой двойственной задаче, возникают и в других областях математики, например, при исследовании границ упаковок некоторых метрических пространств по схеме Дельсарта (см. [26], [35], [79], [41], [36, гл.9, 13, 14], [32]), оценок снизу мощности дизайнов (см. [67]), а также в теории чисел (см. [57], [1] и приведенную там библиографию).

В случае т = 1 Н.И. Черных [60, 69] доказал, что /а2, !Ф const, (о.б) причем константа 1/\/2 для каждого п является неулучшаемой. Кроме того, в правой части этого неравенства нельзя брать значение в точке, меньшей, чем 7г/п, не увеличивая константу 1 /л/2, и нельзя уменьшить константу 1/\/2, если брать значение uj\ в любой другой точке (см. [69]). Таким образом, Н.И. Черных нашел наименьшую точку т\ ~ 7г, начиная с которой величина /Сп(т, 1)^2, как функция аргумента г, выходит на свой глобальный минимум, равный 1/л/2- Такую точку называют (см. [7]) "точкой Черных".

Точка т = 7г оказалась, в указанном выше смысле, оптимальной для неравенства Джексона с первым модулем непрерывности. В 1991 году В.В. Шалаев [65] доказал, что при любых натуральных тип справедливо неравенство feL\ const, (0.7) откуда следует оценка сверху для константы Джексона в точке т — тх

МтгMl? < ^

При m= 1 эта оценка совпадает с результатом Н.И. Черных, но при m >2 величина л/2™ строго меньше , следовательно, эта оценка сверху для величины )Сп(ж, т) не совпадает с оценкой снизу, которая следует из (0.5).

Точное неравенство Джексона в пространстве Lp при 1 < р < 2 было также установлено Н.И. Черных [62]. В этом случае величина /Сп(г, 1 )lp б равна при г > вк, где в = (1/2 - 2/тх2)-1!2. « 1.834. Как отмечается в работе [62], оценка снизу /С„(т, 1 )lp > 2l1//p-1/2l-1/2 при 1<р<оо, г>0 и п £ N была получена ранее. В. И. Бердышевым [15, 16, 17].

Для периодических функций одного вещественного переменного есть еще несколько точных результатов в прямых теоремах теории приближения. В.В. Жук, В.В. Шалаев получили (см. [27, с. 322,352]) соответственно оценки сверху и снизу для величины (0.2) при га = 2, т = тг/2, с помощью которых вычисляется величина (0.3) в этом случае, а именно, /С(7г/2,2)с = 1. В работах А.Г. Бабенко [5, 6] найдены значения величины JCn(ir/£,l)L2 для натуральных £ > 1 + Зп/2 при п > 1 и для натуральных £ > Зп/4 при п > 10. В работе М.Ж. Шакеновой [63] утверждается, что равенство (0.5) остается верным и в случае вещественного га > 0, т — 2п.

В.А. Юдин [68] получил точное неравенство Джексона (с первым модулем непрерывности) в пространстве L2(Tm) функций на многомерном торе Тт, га > 2. Усилиями многих математиков неравенства типа Джексона были распространены на пространства функций многих переменных, заданных как на классических многообразиях (сфера, тор, пространство, гиперболоид, .), так и на многообразиях довольно общей природы (см. [8, 9, 10, 11, 12, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 40, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 53, 52, 54, 56, 58, 64, 66, 72, 73]).

Вторая часть диссертации посвящена вопросу приближения непрерывных функций классом фрактальных функций. Теория фракталов — сравнительно молодая область математики. Один из главных популяризаторов этой теории Б. Мандельброт дал такое нестрогое определение понятию "фрактал": это объект, имеющий дробную размерность Хаусдорфа-Безиковича и обладающий некоторым самоподобием. Естественными представителями класса фракталов оказались такие известные объекты как кривая Пеано, лестница Кантора, функция Вейер-штрасса.

Неподвижные точки сжимающих операторов часто являются фрактальными объектами. Д. Хатчинсон [75] показал, что, используя несколько сжимающих операторов пространства Мп в себя, можно построить сжимающий оператор на пространстве компактных подмножеств №п, неподвижной точкой которого является сложное фрактальное множество. М. Барнсли, Ю. Фишер и другие развили этот метод, дав ему название метода IFS (Iterated function system).

Интерполяция фрактальными функциями была впервые введена М.Ф. Барнсли [70]. Он показал, что, используя IFS определенного вида, можно построить непрерывную функцию /, такую, что для заданного набора точек X = о (хг > xi-1 ПРИ ® = 1>2, и набора значений Y — выполнено равенство f(xi) = yi для всех i = 0,., п. Полученная функция описывается малым набором параметров и при этом может иметь достаточно сложную структуру. Фрактальную интерполяцию естественно применять в случае, когда интерполируемые функции обладают некоторым самоподобием, имеют похожие свойства при различных масштабах. К таким функциям можно отнести математические модели различного рода естественных границ: береговая линия, рельеф местности, край облака и т.п. Аналогичные функции описывают временные зависимости некоторых характеристик естественных процессов: график температуры пламени, энцефалограммы, колебания курсов валют, сейсмограммы. На практике интерполяция непрерывной фрактальной функцией используется в компьютерном дизайне для получения реалистичных образов береговых линий, горных хребтов, очертаний леса и других объектов со сложной структурой.

Такие интерполирующие функции называют фрактальными, потому что размерность по Хаусдорфу-Безиковичу их графиков может оказаться нецелым числом, большим единицы. Отличительная особенность фрактальной интерполяции состоит в том, что очень сложные функции однозначно определяются малым числом параметров. Это свойство позволяет использовать фрактальную интерполяцию для сжатия информации. Другая особенность этого метода состоит в том, что свойства функции экстраполируются с одного масштаба на другие, позволяя детализировать функцию с сохранением её свойств. Благодаря этому компьютерная графика, созданная с помощью фрактальных методов, выглядит одинаково правдоподобно и при малом увеличении, и при сильном увеличении с большой детализацией.

0.2. Основные результаты

В первой главе диссертации получено несколько результатов, обобщающих и усиливающих известные результаты по теореме Джексона в среднеквадратичной метрике. Пусть L2 есть пространство 27г-периодичес-ких комплекснозначных функций с нормой

11/11 = {к />>"а dx)1/2' и

En(f) = mf{\\f - д\\ : д € Тп} есть величина наилучшего приближения функции / G L2 подпространством Тп тригонометрических полиномов д(х) = степени не выше п с комплексными коэффициентами дь. Для ненулевого набора М. = {/ij}j£z комплексных коэффициентов /ij определим разностный оператор iez и модуль непрерывности функции / £ L2 wM(f,6) = вир WAffl teR, 6> 0.

Щ<5

Отметим, что набору

Mm = j/Uj = {-l)m~J при j = 0,., га, (Jtj = 0 при j < 0, j > m j соответствует классический модуль непрерывности = £) порядка т.

Пусть функция f(x) = J2kez fkelkx £ тогда её модуль непрерывности удовлетворяет равенству ujM(f16) = u;ip(f,5) = /sup V|/fc|V(tt), (0.9)

V ^ 2 где </?(£) = Yljeж^з^1 ■ Как известно, если ряд Yljez^j абсолютно сходится, то <£> — непрерывная функция. Пусть Ф — класс всех интегрируемых на [0,27г], ограниченных, неотрицательных, 2тг-периодических функций (f : М —> М+, не эквивалентных нулевой функции. Тогда класс модулей непрерывности определенный равенством (0.9) для всех <р G Ф, содержит все модули непрерывности, соответствующие разностным операторам с постоянными коэффициентами.

В диссертации найдены оценки для константы Джексона

Кп(т,<р) = sup-%^4 (0.10) здесь и далее в аналогичных ситуациях считаем, что 0/0 = 0). Обозначим через 1(<р) = т^ fg71 <p{t)dt среднее значение функции ip на периоде. Если </? соответствует разностному оператору (0.8) с коэффициентами fij, то /(</?) = 1/4? |2- В работе доказано, что для любой (р G Ф существует такая точка 7 > 0, что верно неравенство Джексона feL2, пек (0.11)

Отсюда следует оценка сверху для константы Джексона п{т,<р)< J—- при т> 7. vAv) 10

Пусть Ф — класс всех непрерывных функций ^ G Ф, таких, что ^(0) < В работе доказано, что для любой tp Е Ф при любых т > 0 и п Е N верно неравенство

Kn(T,v)>-j==. (0.12)

В случае, когда <р(0) = 0, эта оценка снизу следует из более общих неопубликованных результатов А.И. Козко и А.В. Рождественского. Из (0.12) следует, что для модуля непрерывности ш^, где (р Е Ф, константу 1 /л/1((р) в неравенстве (0.11) нельзя уменьшить ни при каком п Е N. В частности, неравенство (0.4) является точным не только при п > т, но и при п < т.

Пусть (р есть произвольная функция из класса Ф. Из (0.11) и (0.12) следует, что константа 1 /у/1((р) является минимальной из всех констант Джексона для модуля непрерывности а;^, т. е.

Кроме того, в диссертации найдены оценки сверху для точки Черных, т. е. оценена величина 7, начиная с которой /Си(т, ср) как функция от г выходит на свой глобальный минимум. Если для </? Е Ф выполнено условие

1 [1 (p(x)dx < 1(<р) при t Е (0,7г), (0.13)

J ~t то неравенство (0.11) верно с константой у = . Условие (0.13) верно, в частности, для любой чётной функции ip, неубывающей на [0,7г]. Классические модули непрерывности порядка т > 0 соответствуют модулю непрерывности где <pm(t) = (2 — 2 cos t)m. Так как условие (0.13) выполнено для функций (рт при всех вещественных т > 0, то неравенство (0.4) верно для всех модулей непрерывности дробного порядка т > 0, причем вместо значения модуля непрерывности в точке — можно брать значение в точке Отсюда и из (0.11) следует, что неравенство (0.5) верно при всех т > -у. Для более широкого класса функций ip Е Ф, удовлетворяющих условию о, t6R, доказано неравенство Джексона (0.11) с константой 'у — -——~тц ^

В случае т = 7Г показано, что если для ip Е Ф выполнено условие (0.13), то верпа оценка

0.14)

Для классических модулей непрерывности порядка m > 2 этот результат усиливает оценку (0.7). Из (0.14) следует оценка сверху для точной константы в неравенстве Джексона з уГЩ отличающаяся на множитель у4/3 «1.15 от оценки снизу (0.12). Для классических модулей непрерывности порядка га Е N получена точная интегральная оценка для произвольных п Е N и / Е L2

En-i(f) < m + 1 4m

7г/п \ J/2 t) sinnt dt чг/п sin nt dt

0.15)

Отсюда следует неравенство Джексона feL2, пек

При га = 2,3 это неравенство усиливает (0.14). Отметим, что при всех натуральных га > 2 константа \fm^r\j2m меньше, чем константа 1/л/2™ в неравенстве (0.7).

Во второй главе диссертации вводится метод фрактальной интерполяции, обобщающий некоторые известные ранее методы. В отличие от работ [70, 71], где используются IFS на плоскости, интерполирующая функция строится с помощью оператора на пространстве непрерывных функций. Такой подход позволяет отказаться от части ограничений на параметры интерполяции, связанных с требованием сжимаемости отображения.

Особо изучается так называемая "аффинная" фрактальная интерполяция. Это частный случай введенного метода интерполяции, который обобщает аналогичный "аффинный" метод интерполяции Барнсли. Пусть заданы набор точек X = {£гК=о ( x-t > ccji при i — 1, 2,. , n ) и набор значений Y = {yj}"=0. Определим оператор на пространстве непрерывных функций следующим образом: xe[Xi-UXi], (0.16) где di — ■ свободные параметры интерполяции, фг(г) = i + " , k{z) = (z - Xi-i) (г,- - dir-Ai) + Уг-i - diya{i), Ti = Vl Vl~l , r'i =

CC i X i}

-, Л; = -, ot{i) и р[г) — целые числа из множехр{г) %a(i) 1 ства 0,1,.,п, ск(г) / /3(г) (г = 1,.,п). Если параметры dj удовлетворяют условию maxj=iv.]n \dj\ < 1, то оператор W является сжимающим, и функция /, являющаяся единственной неподвижной точкой сжимающего оператора W, удовлетворяет условию f{x.j) = y-i для всех г = 0,. , п. Оператор W называют оператором фрактальной интерполяции, а функцию / — фрактальной интерполирующей функцией.

Для того, чтобы ослабить ограничения на параметры интерполяции di, можно частично отказаться от требования сжимаемости оператора интерполяции. Для существования фрактальной интерполирующей функции достаточно потребовать, чтобы спектральный радиус оператора интерполяции был меньше единицы (см. |71]), при этом сам оператор может и не быть сжимающим. Для приведенного метода интерполяции в диссертации найдена оценка спектрального радиуса оператора иитерполиции, которая в "аффинном" случае является точной.

Доказано, что фрактальная интерполирующая функция непрерывно зависит от параметров интерполяции и от интерполируемых данных. Таким образом, приведенный метод интерполяции устойчив но параметрам интерполяции и по интерполируемым данным.

Важной задачей теории приближения является задача интерполяции с сохранением некоторых свойств интерполируемых данных (shape-preserving interpolation). JI. Кошич [78] нашел достаточные условия, при которых фрактальная интерполирующая функция сохраняет монотонность интерполируемых данных. В диссертации рассматриваются ограничения более общего вида, при которых величины первых разностей интерполирующей функции находятся в заданном диапазоне, причем ограничения могут быть разными для разных отрезков интерполяции г]. Обозначим через с(/, М) и С(/, М) верхнюю и нижнюю константы Липшица функции / на множестве М: c(SiM)= inf /(ж)~Лг/), хфу, х,уем х — у

C(f,M)= sup хфу, х,уеМ % У

Доказано, что фрактальная интерполирующая функция /, определенная оператором (0.16), удовлетворяет условиям

Zi<c{f,[xi-i,Xi])<C{f,[xi-i,Xi])<Zi при г = 1,., п (0.17) тогда и только тогда, когда существуют такие {U,^}^ , что Z{ < t{ < ri < Т{ < Z{ , и параметры di оператора W удовлетворяют системе неравенств:

U < (кМЪ ~ rfi + Ъ < Ъ . = 1 n

U < diAi{Tl - r'i) + n < Ti где ^ = min tk, T[ = max Tk. Частным случаем ограничения 0.17 является монотонность интерполирующей функции.

Также в работе найдены критерии того, что интерполирующая функция выпукла в заданную сторону на заданных интервалах. Отметим, что, интерполируя методом Барнсли, [70] построить функцию, выпуклую в разные стороны на разных участках области определения, можно только построив кусочно-афинную функцию.

Как отмечалось выше, фрактальные функции могут быть нерегулярными, сложными с точки зрения классической теории приближения. Такие функции, как сингулярная канторова лестница и непрерывная, но нигде не дифференцируемая функция Вейерштрассса — типичные представители класса фрактальных интерполирующих функций. Для таких функций более естественна не задача интерполяции конкретного значения в некоторой точке, а задача интерполяции среднего значения на некотором множестве. В диссертации найдены условия, при которых существует фрактальная интерполирующая функция, принимающая заданные средние значения в некоторых окрестностях точек интерполяции.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю В.И. Бердышеву за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также А.Г. Бабенко за обсуждение результатов и рецензирование рукописи.

1. Арестов В.В., Попов В.Ю. Неравенства Джексона на сфере в 1/2/7 Известия вузов. Математика, 1995, № 8 (399), с. 13-20.

2. Асанов М.О. Дискретная оптимизация учебное пособие // Ека-тер и н бург: У рал НАУК А, 1998.

3. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации,- М.: Гостехиз-дат, 1947, 323 с.

4. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 функций на многомерной сфере // Матем. заметки, 1996. Т.60. Вып. 3, с. 333-355.

5. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2(Rm) // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1998. Т. 5, с. 183-198.

6. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона-Стечкина для L2 -приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Известия РАН. Серия математическая, 1998. Т. 68. № 6, с. 27-52.

7. Барабошкина Н.А. Неравенство Джексона-Стечкина с неклассическим модулем непрерывности // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Россия, Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001, с. 17-18.

8. Барабошкина Н.А. Неклассические модули непрерывности и минимальные константы Джексона-Стечкина // Современные проблемы теории функций и их приложения: тез. докл. 11 Саратовской зимней школы. Россия, Саратов, 2002, с. 13-14.

9. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp // Труды МИ АН СССР, 1967. Т. 88, с. 3-16.

10. Бердышев В.И. Приближение периодических функций в среднем: Дис. . .канд. физ.-мат. наук. СОМИ АН СССР. Свердловск, 1968. 83 с.

11. Бердышев В.И. Наилучшее приближение в Lp классом функций ограниченной вариации // Приближение функций полиномами и сплайнами: Сб. статей. / УНЦ АН СССР. Свердловск, 1985, с. 7282.

12. Бердышева Е.Е. Две взаимосвязанные экстремальные задачи для целых функций многих переменных // Матем. заметки, 1999. Т.66. Вып. 3, с. 336-350.

13. Виленкин Н.Я., Рубинштейн А.И. Одна теорема С.Б. Стечкина об абсолютной сходимости и ряды по системам характеров нульмерных групп // Известия ВУЗов. Математика, 1975. № 9, с. 3-9.

14. Горбачев Д.В. Точные константы Джексона на группе SU(2) // Алгебра и анализ. Тезисы докладов школы-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева (16-22 июня 1997 г., г.Казнь). Казань: изд-во Казанского матем. об-ва, 1997, с. 61-63.

15. Горбачев Д.В. Точное неравенство Джексона в пространстве Lp на сфере // Матем. заметки, 1999. Т.66. Вып. 1, с. 50-62.

16. Горбачев Д.В. Приближение в L2 частичными интегралами по собственным функциям оператора Штурма-Лиувилля j j Известия Тульского государственного университета. Серия Математика. Механика. Информатика. 1999. Т.5. Выпуск 1, с. 38-50.

17. Дельсарт Ф. Алгебраический подход к схемам отношений теории кодирования. М.: Мир, 1976.

18. Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. JL: ЛГУ,1982, 366 с.

19. Иванов В.И. О приближении функций в пространствах Lp // Матем. заметки, 1994. Т. 56. Вып. 2, с. 15-40.

20. Иванов В.И., Горбачев Д.В. О теоремах Джексона в пространствах Lp // Тезисы докл. Всеросс. конф. "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула: ТулГУ, 2000, с. 34-36.

21. Иванов В.И., Смирнов О.И. О теореме Джексона в пространстве /2(Щ) // Матем. заметки. 1996. Т.60, №3, с. 390-405.

22. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т.1,2. М.: Мир, 1990. 791 с.

23. Корнейчук Н.П. Точная константа в теореме Д. Джексона о наилучшем равномерном приближении непрерывных периодических функций // Докл. АН СССР, 1962, т. 145, №3, с.514-515.38| Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения -М.: Наука, 1976.

24. Корнейчук Н.П. О точной константе в неравенстве Джексона для непрерывных периодических функций // Матем. заметки, 1982, т. 32, в. 3, с. 669-674.

25. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-матем. лит., 1987. 424 с.

26. Левенштейн В.И. Границы для упаковок метрических пространств и некоторые их приложения // Проблемы кибернетики. 1983. Т.40, с. 44-110.

27. Лигун А. А. О константах в теореме Джексона // Матем. заметки, 1985. Т. 37. Вып. 3, с. 326-336.

28. Никольский С.М., Лизоркин П.И. Аппроксимация функций на сфере // Известия АН СССР. Серия матем. 1987, т. 51, №3, с.635-651.

29. Попов В.Ю. О наилучших среднеквадратичных приближениях целыми функциями экспоненциального типа// Известия Вузов, Математика. 1972, Ж 6(121), с. 65-73.

30. Попов В.Ю. О точных константах в неравенствах Джексона для наилучших сферических среднеквадратичных приближений // Изв. ВУЗов. Математика, 1981. № 12, с. 67-78.

31. Попов В.Ю. Многомерные приближения в L<i{Tm) // Теория функций и приближений. Труды 3-й Саратовской зимней Школы (27 января - 7 февраля 1986 г.) Межвузовский научный сборник. Ч.З.- Саратов: Саратовский университет, 1988, с. 22-25.

32. Попов В.Ю. Приближение на сфере в L2 // Докл. АН СССР, 1988. Т. 301. № 4, с. 793-797.

33. Попов В.Ю. Точное неравенство Джексона-Стечкина в пространстве L2 на гиперболоиде // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 1998. Т. 5, с. 254-266.

34. Синай Я.Г. Введение в эргодическую теорию. 2-е изд. М.: ФАЗИС, 1996.

35. Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Докл. АН СССР, 1949. Т. 65, с. 135-137.

36. Тайков JI.B. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности в Ь2 // Матем. заметки, 1976. Т. 20. Вып. 3, с. 433-438.

37. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного.- М.: Физматгиз, 1960, 624 с.

38. Черных Н.И. О неравенстве Джексона в Ь2 // Труды МИ АН СССР, 1967. Т. 88, с. 71-74.

39. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в Ь2 // Матем. заметки, 1967. Т. 2. Вып. 5, с. 513-522.

40. Шалаев В.В. О поперечниках в Ь2 классов дифференцируемых функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков // Украинский матем. журн., 1991, т. 43, №1, с. 125-129.

41. Шевалдин В.Т.Неравенство Джексона-Стечкина в С с тригонометрическим модулем непрерывности, аннулирующим первые гармоники // Труды ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2001. Т. 7.

42. Юдин В.А. Нижние оценки для сферических дизайнов // Известия АН СССР. Серия матем. 1987. Т.61, №3, с. 213-223.

43. Юдин В.А. Многомерная теорема Джексона в Ь2 // Матем. заметки, 1981. Т. 29. Вып. 2, с. 309-315.

44. Arestov V.V., Chernykh N.I. On the L2 -approximation of periodic functions by trigonometric polynomials //In: Approximation and functions spaces.- Proc. Conf. Gdan'sk, 1979.- Amsterdam: North-Holland, 1981, c. 25-43.

45. Barnsley M. F. Fractal functions and interpolation // Constr. Ap-prox. №2. 1986. p. 303-329.

46. Fejer L. Lebesqesce konstanten unci divergente Furierreihen. // J. Heine und Angew. Math., 1910, v. 138, p. 22-53.

47. Hutchinson J. E. Fractals and Self Similarity // Indiana University Mathematics Journal, Vol. 30, №.5. 1981. p. 713-747.

48. Jackson D. "Uber die Genauigkeit der Aniiaherung stetiger Funk-tionon (lurch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrischen Summen gegebener Ordnung, Diss. Gottingen, 1911.

49. Jackson D. On Approximation by Trigonometric Sums and Polinomi-als // Trans. Amer. Math. Soc., 1912, v. 13, 491 515.

50. Kocic Lj. M. Monotone interpolation by fractal functions // Ap-proxim. and Optimiz.: Proc.Intern.Conf.- ICAOR, Cluj-Napoca, 1996.-Cluj-Napoca: Transilvania Press, Vol. 1. p. 291-298.

51. Odlyzko A.M., Sloane N.J.A. New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in тг dimensions // J. of Combinatorial Theory, Series A 26. 1979. P.210-214.

52. Passow E. Piecewise monotone spline interpolation // J.Approx. Theor. 1974. Vol. 12 №3, p. 240-241

53. Васильев C.H. Фрактальная интерполяция с сохранением монотонности и выпуклости начальных данных // Молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики". Тезиеы докладов конференции №28. — Екатеринбург: УрО РАН, 1997, с. 25-26.

54. Vasilyev S.N. Interpolation by fractal functions preserving 1110110-tonicity and convexity // East Journal on Approximations, Vol. 3, №4 (1997), pp. 381-392.

55. Васильев С.Н. Интерполяция фрактальными функциями с ограничениями на константы Липшица // Проблемы теоретической и прикладной математики: Тезисы докладов 30-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 1999, с. 17-18.

56. Васильев С.Н. Устойчивость фрактальной интерполяции // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 31-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2000, с. 19-20.

57. Васильев С.Н. О неравенстве Джексона-Стечкина в L2 // Теория приближения функций и операторов: Тезисы докладов международной конференции, поев. 80-летию со дня рождения С.Б. Стеч-кина. Екатеринбург: УрГУ, 2000, с. 49-50.

58. Васильев С.Н. Оценки для константы Джексона-Стечкина в Ь2 // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. науч. конф. Россия, Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2001, с. 2122.

59. Васильев С.Н. Методы фрактальной интерполяции типа Барнсли // Известия вузов. Математика. №9(484), 2002, с. 3-14.