Тригонометрические полиномы со случайными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

РГ6 ОД

О 9 ФЕ8 1933

На правах рукописи УДК 517.518

НАРАПЗТЯН Ардев Грачикович

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Специальность 01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1998

Работа выполнена на кафедре общих проблем управления механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор С.В.Конягин

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор В.М.Золотарев, кандидат физико-математических наук,доцент А.С.Бедов

Ведущая организация - Владимировский государственный

педагогический университет

Защита состоится 13 февраля 1998 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. Ц.В.Ломоносова по адресу: 119899,ГСП,Москва,Воробьевы горы,МГУ,механико-математический факультет,аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание,14 этаж).

Автореферат разослан 12 января 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ

профессор Т.П.Лукашенко

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. Изучение оценок минимума модуля случайных тригонометрических полиномов и аппроксимации распределения случайных векторов,определяемых случайными тригонометрическими полиномами,к нормальному распределению вызвано исследованием в течение долгих лет экстремальных задач для случайных тригонометрических полиномов. В частности,активно изучаются экстремальна свойства случайных тригонометрических полиномов с коэффициент ами,имеющими радемахеровское или стандартное нормальное распределение. Среди рассматриваемых задач важное место занимает исследование свойств случайных тригонометрических полиномов с коэффициентами,принадлежащими широкому классу случайных величин.

Целью работы является установление оценок минимума модуля случайных тригонометрических полиномов с коэффициентами,принадлежащими широкому классу случайных величин,и уточнение центральной предельной теоремы для значений случайных тригонометрических полиномов.

Методы исследования. В работе применяются методы действительной и комплексной теории функций,функционального анализа,теории аппроксимации и теории вероятностей.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

I. Получены обобщения известных результатов об оценке сверху с вероятностью,близкой к единице,минимума модуля случайных тригонометрических полиномов. Установлена оценка сверху с вероятностью, близкой к единице,минимума модуля случайных тригонометрических полиномов с коэффициентами,являющимися произвольными действительными независимыми одинаково распределенными случай-

ными величинами с нулевыми средними,с полонительными вторым и конечными третьими абсолютными моментами.

2. Получено обобщение известного результата об оценке снизу с вероятностью,близкой к единице,минимума модуля случайных тригонометрических полиномов. Установлена оценка снизу о вероятностью, близкой к единице,минимума модуля случайных тригонометрических полиномов с коэффициентами,являющимися произвольными действительными независимыми одинаково распределенными субгауссов-скими случайными величинами с положительными вторыми моментами.

3. Получено уточнение центральной предельной теоремы в случае аппроксимации вероятности попадания значений случайного тригонометрического полинома Т£С£) в выпуклое множество 5 вероятностью соответствующего нормального распределения при некоторых условиях на точки X и минимальных ограничениях на объем и расположение множества Б .

Приложения. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к теории функций и могут применяться в теории тригонометрических рядов,теории аппроксимации,теории вероятностей.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах в МГУ по теории функций и теории приближений (под руководством д.ф.м.н. И.Г,Царькова),по теории функций (под руководством профессора С.В.Конягина.доцента В.Б.Демидовича и А.С.Кочурова),по теории вероятностей (под руководством профессора А.В.Булинского) и в МИ РАН им. В.А.Стекдова по теории функций и теории приближений (под руководством профессора С.А.Теля-ковского).

Публикации. Полный список публикаций автора по теме диссертации приведен в конце автореферата. Соавторов нет. Основные ре-

зультаты диссертации опубликованы в работах 1-5.

Структура работы. Диссертация состоит из введения,пяти глав и списка литературы,содержащего 40 наименований. Общий объем диссертации - 193 страницы.

Содержание работы. Во введении дан краткий обзор работ,связанных с темой диссертации,и сформулированы основные результаты диссертации.

Пусть р. , = \ , ••• , У1 , - независимые случайные величины. Многие проблемы теории функций и функционального анализа,теории

I °°

вероятностей основываются на исследовании ь нормы полиномов типа 2 й.й-ХрС^х). Основной результат в этом направлении,при-надлежащий Р.Салему и А.Зигмунду {$.3а1г№.&кс1 к.ТщпишА) [I] ,

К--1

заключается в том,что для полиномов типа СгШ3^ Г.(l;C¿>S(ji + ^-f.)f

•> 5 у

где-[г^ ^ - последовательность Радемахера, С^. - некоторые

константы,при больших имеет место неравенство [1,с.9б] :

с вероятностью,близкой к единице,для некоторой константы С,С > 0.

Обозначим через математическое ожидание случайной величины ^ .

Классическая теорема Р.Салема и А.Зигмунда [2] утверждает,

[1] 1.-П. Нахан. Случайные функциональные ряды. М.:Мир,1973.

[2] й. АЛу^пило/. вош ргорегкев ЬП^ом-те^гСс зегСег игбле г<хко1оь^ ыщю. Ы&. ММ. 911М5- 3 01

К г 4

Е12 Г. ехрС¿]х) 4 с ц) (2)

при некоторой константе С , С > # , ц ^ > 2 ,причем в (23 доказывается и обратное неравенство:

Е ? г- е*р С ^к) ^ > С/(г % к) (з)

для всех > 2 и некоторой константы С,

Неравенство (1) может быть обобщено на более широкий класс случайных величин.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ I. Действительная случайная величина 5 »удовлетворяющая условию

называется субнормальной [1,с,971 .

В частности,известно,что для случайных тригонометрических

полиномов типа ^..(4) »где - конечная сумма, ^ -

действительные или комплексные тригонометрические полиноны порядка не больше И, ,а - последовательность независимых субнормальных величин,справедливо неравенство [1,с„99] :

для некоторой абсолютной константы

С ,С>0.

Большой интерес представляет такке обобщение оценки (5),полученное Б.Каииным и Л.цафряри [3] ,где они доказали,что для пю-

ГЯ В- Ыгчк'^ cw.il и.Тхфт* с1шг1г гъктлЫ ^ос Ш уаргг-тиш с} гсъис1#м- ргоскчеч. ЕалЬ о$ ар-

рго*ьпъ&ЬйаЯ- {/¿¿.-¡, Ы- <, 4005", 425"-Ш-

1 j=1 j m

бых нормированных функций ^^ из Lz(ßi) с ограниченными нормами

в ЬъС}л) равномерно по J ,для которых норда в L^iji) функции

к к-

2Ü а-ср. равномерно ограничены по л) £ ©,||ДЛМ,и для

j-i ■> "J *

любых независимых случайных величин с нулевыми средними,единичными вторыми абсолютными моментами и ограниченными третьими абсолютными моментами равномерно по j справедливо неравенсгво:

1

L (ju.) > С ^

для некоторой константы С .зависящей от -{Ч';'!/ •

Экстремальные задачи для случайных полиномов рассматриваются также в различных технических областях,например,для оценки максимума модуля так называемых передаточных функций погрешности, дающих характеристику поперечных фильтров [4 3 « Функции погрешности в линейно-фазовом случае имеют вид:

Ссон- JL

Q CwJr е 2 £. OÖS Пса),

¿ь. J

где 00 - нормированная частотная переменная,которая с учетом периодичности функции рассматривается только на отрезке £0,2-^11, а <Lj - j -й коэффициент погрешности,который,ввиду того,что изначально неизвестен,рассматривается как случайная величина с распределением,зависящим от частных случаев. Например,А.Гершо,

[4] А.Стics&o,b. GcoptucdA A.W. O&tigtAo- Cctj-ftciud

irosMirersai ¿cttirihf- Ш bzLi TtvbUtal 7,'ткаЛ. Vol. 51, Ы. 40, Огс- WW,

Б.Гопинат и А.И.Одлыжко (.А.Стелой?,Ь.&ор¡льо£к Ш(1 А■М-О&Суг&О) в [4] рассматривали подобные функции,взяв в качестве В- последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми средними,с конечными шестыми и положительными вторыми моментами и доказали,что с вероятностью,близкой к единице, пои некоторых положительных константах Сл и ,зависящих от

тал

Ц.-4

2! е

¿-о J

и,

и такне показали,что если 11 - некоторый подинтервал

длиной не меньше (¿Ой к) ,то с вероятностью,близкой к единице,

и

Известно также [5,с.4б1 ,что существует абсолютная константа С > 4 такая,что для любого Н- при некотором выборе знаков £ — 9

Н--1

ух

Б задачах радиотехники загное значение имеют полиномы к-«

1 в ,модули которых на большом подмножестве [-^¿Д]

[5] Ж.-П. Кахан. Абсолютно сходящиеся ряды Фурье. М.:Мир, 1976.

близки к своему среднеквадратичному значению л/рй [4Т , [61 . Для этого достаточно, чтобы »илЛЬсх)) был бы близок к -/и . Од-

ЗСбТГ

нако о возможных значениях Ж-СМЫх)! известно очень мало. Так,

тсеЖ

не известен ответ на восходящий к Дж.Литтлвуду вопрос о сущест-

и.~< ЦХ _

вовании полинома Ы0с)=2±е такого,что ¡Цех)} ^ Сл/И, при

всех хеТ. Естественно возникает задача о поведении (п1п|Ь(х)1

ке<г

для случайного полинома Ь ,но и она оказалась довольно сложной. Долгое время оставался открытым вопрос Дн.Литтлвуда [7] о том,

верно ли,что Р[1л(Н.}-+ 0 при любом ¿У 0 и ,где

Г. - независимые случайные величины,принимающие значения + \ или с вероятностью у . Эту гипотезу доказал Б.С.Кашин [8], причем он рассмотрел минимум значений полинома не на всем торе Т ,а на некотором подмножестве точек из отрезка Г0,Т11 .точнее, он установил,что при

U1 A.NMitfibo-CotbstruxtCM oj йипгЬСШ stfL&n&s J-or

mdUpM гчЫмлЫоп,- tetnhuuucatioivs a+ui Cryptography: 1vosidu; oj Out TapCstry, kiuurcr, f ?1 I.E. L'MusoQd. Oh, pofywnU a^s s ± 2 1 ^ e.\

London, NdtA.Soc. [83 Б.С.Кашин. О свойствах случайных тригонометрических полиномов с коэффициентами t \ . Вестник МГУ,серия матем.,мех. 5,1987. СЛО-^б.

. J.

PrfiW h) * ¡-+0,

где 2'U-% при 3 = 4 ,2 ,а Q Гх)= 2 Г. exp(ij-fc)-

Затеи A.M.Одлыжко (AM.Ool£y'X.'ko ,не опубликовано) показал,что P(h* ) ^ ПРИ любом L> О и И оО и предполокил,что

K-f

для большинства полиномов Acxj-^iexpCi-jx) при больших it

01^0

и всяком t > 0 выполняется оценка:

bwt- 1 СХ)| ¿.К кеТ

Эту гипотезу доказал С.В.Яонягин в [9] .установив,что

при любом 6. > О иЦ->о°и тем самым значительно улучшив оценку минимума модуля в первоначальной гипотезе Дит-тлвуда. В 1997 г. С.В.Конягиныи и В.Шлагом (S. V. Konyaqin, and WScЫоф в flO] было получено, что для любого £>0 и любого

фе HJl0,m |0>j ' ^ с ^ ^» ^ J 'для не зависимых случайных ве личин Q , , ,имеющих раде махе ровское или стандартное нормальное распределение,справедливо неравенство:

[9] С.В.Конягин. О минимуме модуля случайных тригонометрических полиномов с коэффициентами £ 4 . Матем. заметки, т.56,вып.3. Сент.,1994. С.80-101.

tiol S.V. Koh^o^îKtW.SdUaq. Lour^t &cimd$ jorUn üSsohdc valut of г(хиоСсни poiuHœynicïÎs ûiv ûl hU^k&tOf^aod. о£ i<fa-u-tiii circle- To cfptar ùvTnms. Amer. ^сфк. See.

(т. supPrli min 12V Ф(i-)tJ

J

где С - константа,зависящая от Ф ,а И - это гельдеровский

класс действительных функций порядка Ъ на 10, /Л .

Работа С.В.Конягина и В.Шлага [10] связана с вопросами распределения и количества нулей случайных полиномов. Подобными задачами занимались М.Кац (М.Каа ) [II] ,П.Эрдеи и П-Туран (Rfcr-г>1& and P.IuTOm. ) tl2] ,a такяе Л.А.Шепп и Р.Дж.Вандербей (Li\.$laf}p cind RJ.Vanderiey ) [13] »которые,в частности, обобщили результат Каца о количестве нулей случайного полинома J сЮ =

Н-4 J

= 2 9. 2 со случая измеримого подмнонества Л действительно J

ной прямой R на случай подмноаества комплексной плоскости С »где - независимые стандартно нормальные случайные величины. Они показали,что для больших К нули полинома с большой вероятностью находятся в 0(]п ) окрестности единичной окруаности.

Результат С.В.Конягина и В.Шлага [10] показывает,что вышеуказанный порядок О (ft. в данной задаче Г131 неулучшаеы.

t Ш М. кос. Он Wi йлзггш htrnBtr of гел£ mU of & r&rt-doitu at-девшь icpicdloti- ifa b№ Ашг.НахА. See.

Il2] P. Erdo'i iXh.d P.Ttum. Otv kkt didrc&ujtcofb о J moh of polynomials. bnti. of Math. &)Я, M50, J0F-M9.

1133 L A j. Vatider&tLj. JAi cotnple-x zzrps of ганМтро-

^nonuais. Trans. Atner. MaU.. Soc. ЬкЪШ5~, Di.H, hb&b-hUh.

Многие исследования в теории вероятностей и других областях связаны с предельными теоремами,указывающими условия,при которых суммы или другие функции от большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин имеют распределения вероятностей, близкие к нормальному распределению.

Б классическом излоЕенш в наиболее известной центральной предельной теореме речь идет об аппроксимации функции распределения нормированной суммы И независимых случайных величин, имеющих конечные математические ожидания и конечные дисперсии,к

■ „ос

нормальной функции распределения ,соответ-

■Ш

Оо

ствующей нормальному распределению g нулевыми средними и единичной дисперсией.

Наиболее известной в этом направлении является теорема Берри-Эссена [14,с.116j .

Важные результаты,относящиеся к оценке скорости сходимости распределения суммы к нормальному распределению,получены В.М.Золотаревым [15] , [16 3 .

Центральная предельная теорема распространена на последовательности независимых случайных векторов из иг -мерного евкли-

[141 Р.Н.Бхаттачария.Ранга Рао Р. Аппроксимация нормальным

распределением и асимптотические разложения.М.:Наука,1982.

[15]. В.М.Золотарев. Абсолютная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме. Теор. вер. и ее придан. ТЛ1,вып.1,1966. С. 108-119.

[16] В.М.Золотарев. О точности приближения в центральной пре-. *„ дельной теореме. ДАН СССР. Т.203,Н, 1972. С.22-24.

дова пространства в I и на случай независимых случайных векторов со значениями в бесконечномерных пространствах. Особый интерес представляет случай,когда случайные векторы принимают значения из сепарабельного гильбертового пространства И . В этом отношении интересна работа В.В.Юринского [I?] ,в которой он для

центрированного гауссовского случайного вектора У из сепарабельного гильбертового пространства И с ковариационным оператором 6 /Зр В (£р В - след оператора В ) и для распределения

случайного вектора (X*.,.* Х^^кВ'р 6) ,где ,

независите случайные векторы со значениями в И ,с нулевыми средними и конечными третьими абсолютными моментами,удовлетвори-

ющие условию: Ё (Х^) б Н ,вывел следующую оценку

погрешности при й- £ Н и для константы /л »зависящей от|Х-|:

1 -где С зависит от распределения собственных чисел оператораВ/ВрВ.

Следует отметить,что,например,в двумерном случае в соотношении (4) оценка вероятности попадания 5 в круг радиуса Г

асимптотически правильная,если И, ),т.е.—гг** 00 . При

о X

этом очевидно,что,обозначив к-сГК ,мы имеем,что аналогичная

Ii?] В.В.Юринский. О точности нормального приближения вероятности попадания в aap. Теор. зер. и ее примен. Т.27, выл.2,1982. С.270-278.

оценка вероятности попадания случайного вектора Х^+..,-<• X

Центральные предельные теоремы доказываются разными методами,например,так называемым методом композиции или методом с условным названием "метода метрических расстояний". Однако наиболее распространенным при исследовании центральных предельных теорем является метод характеристических функций.

Диссертация продолжает исследование задач об оценках минимума модуля случайных тригонометрических полиномов.

В главах 1,2,3 диссертации рассматривается задача: обобщить результат,полученный С.В.Конягиным в £.9] ,на более широкий класс случайных величин, и доказывается

ТЕОРЕМА I. Пусть ^ , ,]~0 , - действительные

независимые одинаково распределенные случайные величины с конечными третьими абсолютными моментами,с нулевыми средними,удовле-

__л.-*

творящие условию: ~>0, и пусть Тсх)=2 V £хр (у*). Тогда

в круг радиуса $ ,как видно из (4),асимптотически правильная,

юн 0 *

для любого ££(0,4) при Iг>(С($)) £*

где СЙ) [чемДДА^В,^ -

положительные числа,удовлетворяющие соотношению:

(Случай 0 является тривиальным,и при этом оценка ве-

роятности в геореме I, очевидно,справедлива для любого )

СЛЕДСТВИЕ I. Для П >((?($))

3 главе I доказываются вспомогательные утверждения. В главе 2 в 2.1 рассматриваются векторы

1т Тсх)Диа(Т^эа)/Ы,"-, 1^СТ(г"°сос)/ (¿п)г"1)),

где для заданного £е(0,4) г К г , « е 1 , к, -

наибольшее простое,не превосходящее рг ,а Г выбирается как натуральное число,удовлетворяющее условию: ~~ Г ¿. и на

С- £

¿г +1 ±

областях 1={сое(Й *}и 1Ь П * */1|(С0|1 ^ И/}

устанавливаются оценки для характеристической функции ^ вектора X . Причем если в области I для оценки используются теоретико-вероятностные методы,то в области II эти методы не помогают. Однако,воспользовавшись структурой векторов X ,удается получить следующую оценку при Ы 6 И :

Затем в 2.2 устанавливаются оценки характеристической функции 0 вектороз У - попарных объединений векторов X .

С помощью оценок характеристических функций в главе 3 для 2Г -мерных кубов П , П с ребрами,параллельными координатным

осям и равными п= находящихся в кубе

[-Н.НЗ ,И = К1 ,

выводятся оценки вероятностей е Л) и РгС УеП*П') и с помощью метода нормального порядка [9] в 3.3 завершается доказательство теоремы I.

Далее в диссертации рассматривается задача: обобщить результат,полученный С.В.Конягиным и В.Шлагом в [103 ,на более широкий класс случайных величин.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Действительная случайная величина ^ называется субгауссовской [1,сД08] ,если она удовлетворяет условию:

»V

Е СеА%> ¿е2, , A¿ío)

при некотором Т > 0 .

Любая действительная ограниченная случайная величина с нулевым средним является субгауссовской [18,с.393 . С другой стороны, любая субгауссовская величина имеет нулевое среднее и конечные моменты любого порядка [I,с.108 3. В главе 4 доказана

ТЕОРЕМА 2. Пусть ^ , § , ] = 0 , ,П -^ , - действительные независимые одинаково распределенные субгауссовские случайные величины, удовлетворяющие условию:

Е%А>0, ипустьФс-Н £ ^»4] . Тогда для любого £ > О

[18 3 Б.С.Кашин,А.А.Саакян. Ортогональные ряды. М.:Наука,1984.

tm s«p Pr/j to I |f L an'4) & С• £,

' VUefcltii-ikEnT1 Jsi J I )}

где С - константа,зависящая от Ф и т?,(£>0). СЛЕДСТВИЕ 2. Для любого £>0

({ж swp Рг[{ ^ зЧ.^хрСч/яОКЕ-'1' *

h.»« Г UaeiT cJ=° J 1 J'

Таким образом,на основании следствия 2 получено,что с большой вероятностью 2 ^.0хр(1]зе) по порядку не меньше Н .

Теорема 2 и следствие 2 доказываются с применением схемы доказательства теоремы 110] и с помощью разработанного нами приема перехода к более общим случайным величинам.

г% £ к ^ ?

Далее,пусть 2=6 и 1м - % ,Где х - рациональное

I ¿'О J

число с не слишком большим и не слишком малым знаменателем,а

л

удовлетворяют условию теоремы I. В главе 5 рассматривается следующая задача. Пусть 3 - выпуклое подмножество С »расположенное не слишком далеко от начала координат (например, Ь". 12:1 ¿-\Аг ]■}. Монно пи утверждать, что вероятность попадания Щ в 5 будет асимптотически такая же,как и для нормального распределения? Ясно,что для малого 5 этого онидать нельзя,поскольку Н] , например,может иметь дискретное распределение. В главе 5 доказывается, что достаточно,чтобы ширина множества Б была не меньше

И- . Точнее,доказана

ТЕОРЕМ 3. Пусть $> , ,,••• , - действительные

независимые одинаково распределенные случайные величины с конечными третьими абсолютными моментами и нулевыми средними,удовле-

а, 4

творящие условию: >0,и пусть Тсх)=2 г-хрС^'эс). Тогда

¿'О 1

/л 4 1 2%Р » ь для любого £ ] >ДдяЗС= ^.....>(р)£р-'' ¿^У1 ,и для

любого выпуклого мноаества Б »удовлетворяющего условиям: при(г-^«з , ?сю= оОнкОМсм- при к

Рг(Т№,е М--щ-У1'

причем остаточный член 0(4) равномерен по р , , 5 .

..Примечательно,что в отличие от оценки (4) в упомянутой работе [17] асимптотическая оценка в теореме 3 справедлива для выпуклых множеств 5 с минимальным ограничением на объем

V •> $ (■ ИЛ°°» ^ °° » = <>£>И И,) ), что стало возноиным

благодаря тому,что нам удалось оценить характеристическую функцию

случайного вектора (Ре Т(Х\1игТсх)) на достаточно большом множестве.

В главе 5 при доказательстве теоремы 3,как и при доказательстве теорем I и 2,ключевую роль играют оценки характеристических функций случайных векторов.

Автор благодарит научного руководителя С.В.Нонягина за постановку задач,полезные обсуждения и внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации

1. А.Г.Карапетян. О минимуме модуля тригонометрических полиномов со случайными коэффициентами. Деп. в ВИНИТИ РАН,&3330-В96, 139 с.

2. А.Г.Карапетян. О минимуме модуля тригонометрических полиномов со случайными коэффициентами. Матем, заметки. Т.61,вып.3, 1997. С.451-455.

3. А.Г.Карапетян. Оценка минимума модуля тригонометрических полиномов со случайными коэффициентами. Фунд. и прикладн. матем. Т.4,вып.1,1998.

4. А.Г.Карапетян. Нижняя граница абсолютного значения случайного полинома в окрестности единичной окружности. Деп. в ВИНИТИ РАН,К°3073-В97,20 с.

5. А.Г.Карапетян. О значениях случайных полиномов в окрестности единичной окружности. Магем. заметки. Т.63,вып.1,1998.

С.142-145.