Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных выпуклых множествах в Rn тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



На правах рукописи

Федотова Полина Владимировна

Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных выпуклых множествах в К"

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 (-;оя 2СС9

Уфа 2009

003482903

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Кривошеев Александр Сергеевич

Ведущая организация: Южный федеральный университет

Защита состоится 26 ноября 2009 года в 15 часов на заседании совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций в Учреждении Российской академии наук Институте математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Мусин Ильдар Хамитович

кандидат физико-математических наук Исаев Константин Петрович

Автореферат разослан

и

октября 2009 г.

Учёный секретарь совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций, кандидат физико-математических наук

Попёнов С.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к комплексному анализу, теории функций, теории распределений и теории дифференциальных уравнений. Изучаются весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных выпуклых множествах в Еп. Среди них — подклассы класса Шварца быстро убывающих функций на неограниченных замкнутых выпуклых множествах в К" и пространства бесконечно дифференцируемых функций в открытых выпуклых конусах в Е" с определённой мажорантой роста на бесконечности и вблизи границы конуса. Для этих пространств изучается проблема описания сильного сопряженного пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов. В работе также изучаются:

1). проблема полиномиальной аппроксимации в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в открытых выпуклых конусах в Жп с определённой мажорантой роста на бесконечности и вблизи границы конуса;

2). разрешимость линейных дифференциальных уравнений с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.

Большая часть работы посвящена описанию сопряжённых пространств для введённых пространств бесконечно дифференцируемых функций в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.

Как известно, описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и функционального анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков - Г. Полна, Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А. Мартино, В.В. Напалкова, В.В. Жаринова, Б.А. Тейлора, P.C. Юлмухаметова, Г.И. Эскина, A.M. Седлецкого, М.А. Соловьёва, A.B. Абанина, В.А. Ткаченко, X. Коматсу (H. Komatsu), Роевера (J.W. de Roever), Б.А. Державца, C.B. Попенова, Ф. Хаслингера, Р. Майзе, М.М. Маннанова, В.И. Луценко, И.Х. Мусина и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс аналитических функций с определенными мажорантами роста. Тем самым, многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, теории обобщённых функций и др. могут быть сведены к задачам из теории аналитических функций. Такой подход систематически использовался в работах Л. Шварца, Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л.Хёрмандера,

А.Ф. Леонтьева, B.C. Владимирова, С. Лоясевича, Ю.Ф. Коробейника, А. Мартино, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, В.П. Па-ламодова, Б.А.Тейлора, A.M. Седледкого, Ю.Н. Дрожжинова, Б.И. Завьялова, Роевера, P.C. Юлмухаметова, A.C. Кривошеева, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, A.B. Абанина, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Хабибуллина, С.Н. Мелихова и др.

Цели работы.

1. Изучить весовые пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на замкнутых выпуклых неограниченных множествах в!"и описать сопряжённые к ним пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.

2. Описать сопряжённое пространство в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов к пространству бесконечно дифференцируемых функций в Мп, заданных на открытом выпуклом конусе в1"и удовлетворяющих определённым оценкам роста на бесконечности и вблизи границы конуса.

3. Изучить вопросы сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.

Методы исследований. В работе используются методы теории аналитических функций и функционального анализа. Среди них метод L2-оценок Л.Хёрмандера в ö-задаче, теория двойственности.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретических характер. Полученные в диссертации результаты могут быть полезны в комплексном анализе, теории обобщённых функций, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном федеральном Университете, Математическом институте им. В.А. Стек-лова, Московском, Башкирском, Новосибирском госуниверситетах, а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI региональной школе-конференции по математике и физике с участием

студентов, аспирантов и молодых ученых в г. Уфе (2006), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова в Абрау-Дюрсо (2006, 2008), V молодёжной школе-конференции "Лобачевские чтения-2006" в г. Казань (2006), Международной конференции "Нелинейные уравнения и Комплексный анализ" в Якты-Куле (2006, 2007, 2008), Уфимской международной конференции, посвященной памяти

А.Ф.Леонтьева (2007), Международной конференции, посвященной 300-летию со дня рождения Л. Эйлера в г. Санкт-Петербурге (2007), Международной конференции "(Fifth) Sixth Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis" в г. Севилья, Испания (2008, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, список которых приведён в конце автореферата.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, дополнения и списка литературы. Объём диссертации составляет 118 страниц. Библиография - 35 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведён краткий обзор литературы по теме диссертации. Излагается краткое содержание работы, сформулированы основные результаты. Глава 1.

Пусть С - открытый выпуклый острый конус в Rn с вершиной в начале, b — выпуклая непрерывная функция на С, удовлетворяющая условию b(ty) = tb(y), Vy £ С, Vi > 0. Введём множество

U(b,C) = {£ € R" : b(y), Vy G С).

Множество U(b, С) - замкнутое, выпуклое, неограниченное, не содержит целую прямую, его внутренность непуста и совпадает с множеством

V(b,C) = {£ € Ж" : -<U>< Ъ(у), Vy G С}.

В качестве примера множества U{b,C) можно предложить следующий.

Пусть К — компакт в Жп, b(y) = sup(— < y,t >) для у & С. Тогда

t£K

U(b,C) = С" + К, где С" = {£ :< £,х 0,Vx € С) - сопряжённый конус к конусу С.

Пусть М = {Mk)f=0 — неубывающая последовательность положительных чисел Мк с М0 = 1 такая, что

lim —-— = +00.

к-*оо К

С последовательностью М ассоциируем функцию ш(г) = sup In для

itez+ Mjt

г > 0, w(0) = 0.

Обозначая для краткости U(b, С) через U, а V(Ь, С) - через V, определим пространство Gm{U) функций класса С°° на U следующим образом. Пусть (ет)~=1— любая убывающая к нулю последовательность положительных чисел ет. Для каждого т £ N введём пространство Gm(U), состоящее из функций / класса С°° на U, для которых конечны нормы

PmU) = SUp

oo

Положим Gm{U) = П Gm{U). ^ обычными операциями сложения и

m—1

умножения на комплексные числа Од/(У) становится линейным пространством. Наделим вмф) топологией проективного предела пространств Ст{и). В работе показано, что пространство См {и) — пространство (М*) (лемма 1.4.1). Заметим, что каковы бы ни были функция / £ С00(У), для которой Рт{1) < оо \/тп £ М, и мультииндекс а ^Ъ^, частная производная Юа/ продолжается (единственным образом) до непрерывной в I/ функции.

В первой главе на последовательность М налагаются условия: ¿0. М\ < Мк^Мк+ь Чк £ М;

г2). существуют числа Нг > 1, #2 > 1, что Мк+\ ^ НхЩМк, У/г £ г'з). существуют числа > 0,£¡>2 > 0, что Мк ^ С^^А;!, ^ £ Ранее пространство, подобное См (и), изучалось Роевером [23] при следующих условиях на логарифмически выпуклую последовательность М: при некоторых к > 0 и К > О (М.2) Мр+9 ^ Ь?+трМч, р>9 £

(М.З) £

у ' ^ мя мр+1

Ч=Р+1

Заметим, что в этом случае последовательность М - неквазианали-тическая. Кроме того, условие (М.2) влечёт ¿2), а условие (М.З) вкупе с логарифмической выпуклостью последовательности М - условие ц).

Через H(i2) обозначаем совокупность функций, голоморфных на открытом множестве Q в С"1. Пусть Tç = R™ + iC.

Пусть ||u|| = yW +----|ип|2, Ас{у) ~ расстояние от точки у б С

до границы конуса С. Для каждого m б N определим нормированные пространства

VWÏW - и 6 жад : ад - sup + < ОС),

в,„(Тс) = {F € ЖТс) : |И|„ = »»Р ^-.ni^'l < ~> ■

где z = х + iy, х 6 Ж", у S С, m 6 N и для краткости uj(f-)

оо

обозначено через wm(r), г ^ 0. Далее, пусть Нь,м(^с) — (J Щ,т(Тс),

7П=1

ОО

Vb(Tc) = [J Vi)m(Tc). С обычными операциями сложения и умножения

771=1

на комплексные числа Нъ,м(Тс) и Уь(Тс) становятся линейными пространствами. Наделим Нь,м(Тс) (И(Тс)) топологией индуктивного предела пространств Нъ%т(Тс) (Vt,,m(Tc)). В случае, когда 6(у) = а||у||(а ^ 0), пространство Ц,(Тс) есть в точности известное по работам B.C. Владимирова пространство На(С).

Пусть S(U) - пространство функций / 6 С°°(и) таких, что для любого р G Z+

||/||^ = sup |(Z3V)(z)|(l + INI)p<cx).

Пусть SP(U) - пополнение S(U) по норме || • ||p[/. В S(U) введём топологию проективного предела пространств SP(U). Известно, что S*(U) топологически изоморфно пространству Sy обобщенных функций медленного роста с носителем в U (см. [2, с. 21]).

Преобразование Фурье-Лапласа функционала Ф G S*(U) (Ф G G*M{U)) определим по формуле

Ф(г) = (Ф,е^х>), z&Tc.

Основными результатами первой главы являются теоремы 1.3.1 и 1.4.2. Теорема 1.3.1. Преобразование Фурье-Лапласа Т : S*(U) ->■ Vb(Tc), задаваемое по правилу Т{Т) = Т, - топологический изоморфизм.

Пусть для е > О Се - конус, компактный в конусе С [1, глава 2, §12, п. 4], причём для £i < е2 рг С€2 С prC£l и UE>oC£ = С.

Для случая, когда b(y) = а||у||(а ^ 0), теорема 1.3.1 — это результат B.C. Владимирова [1, с. 170], позволивший, в частности, установить (топологическое) равенство пространств На(С) и проективного предела пространств %е(ТСс), где для е > 0 Ъ£(у) - (а + £)||г/||.

Отметим, что теми же самыми методами, что и у B.C. Владимирова [1, глава 2, §§10-12] (напрямую) доказывается

Теорема V. Пусть <р - выпуклая непрерывная позитивно однородная степени 1 функция на С. Тогда преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространствами S* ([/,,,) и пространством Hv(Tc) - проективным пределом пространств V,Pe(ТСс), где Uv = {£ е К" : - < tp(y), Vy е С} и для е > 0 <ре(у) =

Таким образом, по существу в теореме 1.3.1 надо было показать лишь, что Т - отображение "в".

Из теоремы 1.3.1 и теоремы V получаем следующее

Следствие. Справедливо топологическое равенство: Уь(Тс) = Нь(Тс).

Это же следствие может быть получено также только из теоремы 1.3.1, проводя те же самые рассуждения, что и в [1, глава 2, §12, п. 4].

Теорема 1.4.2. Преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространствами G*M(U) и Нь,м{Тс)•

В ситуации, рассмотренной Роевером, из его результатов [23, теоремы 2.21.ii, 2.24.ii] следует, что G*M(U) топологически изоморфно проективному пределу пространств Rcc,e (е > 0), где Rce,e есть индуктивный предел пространств

Лй = {F Е ЩТс.) : IIFHS = ^«Ф ^ JgL < «,} , то € N.

Теорема 1.4.2 даёт решение задачи в общей ситуации. При этом использовался подход из работы Б.А. Тейлора [25], применение которого и побудило к дополнительному изучению преобразования Фурье-Лапласа распределений медленного роста с носителем в U(b,C). В ходе доказательства теоремы 1.4.2 важную роль сыграла

Теорема 1.4.1. Пусть функция S € Н(Cn х Тс) при некотором m е N на множестве С" х Тс удовлетворяет неравенству

|5(z, С)| < expMNI) + b(Im() + mln(l + ||СЦ) + mln(l + ^y)),

и5(С,С) = о, Се тс.

Тогда существуют функции 51,..., 5„ 6 Н(Сп х Тс), число р 6 N такие, что:

п

a) 5(г, 0 = 2 - С) € С" х Тс;

¿=1

b) для любого е > 0 найдётся число аг > 0 такое, что при любом .7 = 1,..,,п для (2,С)еСпхТс

|5Дг,С)Каеехр(ыД||г||) + 6(/шС)+е||/тС||+р1п(1 + ^у)+р1п(1 + ||С||)).

Здесь расстояние от точки £ € Тс до границы 7с-

В специальном случае функции Ь можно получить более сильное утверждение.

Теорема 1.4.1'. Пусть функция Ь удовлетворяет дополнительному условию: существует число гъ > 0 такое, что для любых у\, у2 £ С таких, что Цу2 -2Л|К 1

Пусть функция 5 £ Н(Сп х Тс) при некотором т € N на множестве С™ х Тс удовлетворяет неравенству

|5(я,0| < ехрМИ|) + Ь{1тО + т1п(1 + ||£||) + т1п(1 + и5(£,£) = о, ^е Тс.

Тогда существуют функции 5ь..., 5„ 6 Я(СП х Тс), числа К > 0 и р € N такие, что для (г, £) € С" х Тс

п

Ь) при любом 7 = 1,..., п

^ Кехр(шр(||2||) + Ь(1т£) +р1п(1 + + р1п(1 + ||Ш)-

Глава 2.

В данной главе последовательность М с Мо = 1 удовлетворяет условиям:

¿1). М| ^ Л4_1М*+Ь УА; 6 К;

г2). ЗЩ > 1 ЗЯ2 > 1 УАг, т £ Z+ М*+т ^ Н.Н^МкМт-,

г3). Уе > 0 За£ > 0 Мк £ 2+ М* ^

и). 37 € (0,1) 31»! > 0 3&2 > о Vfc € Z+ Мк > hb^; ¿5). существует логарифмически выпуклая неубывающая последовательность {Кт)т=о С ir0 = 1 такая, что при некоторых t\ > 1, t2 > 1

j TTll

t2 mKm si -—г- ^ tit™Km, m 6 Z+.

Простым примером такой последовательности является последовательность (т!а)~=0, где a G (0,1).

Заметим, что в силу условия ¿3) на последовательность М каждая функция из Gm{U) допускает голоморфное продолжение в Сп. А учитывая ещё условия гц) и ц), в параграфе 2.3 показано (теорема 2.3.1), что пространство Gm{U) топологически изоморфно пространству E(U) целых функций f в Сп таких, что для любых е > 0, m е N существует постоянная Ст<£ > 0 такая, что

(1-ннг 'ze€n'

с топологией, определяемой системой норм

l/"fz)lfl + 1ЫПт ЯтЛЛ = sup , у) » ' ,, ,п , е > 0,m е N.

Для каждого т, € N определим нормированные пространства

Нт(Тс) = {F е Н(ТС) : ||F||m = sup < 00} ,

СО

где г = х + гу,х € К", у G С. Пусть НМ{ТС) = (J Нп(Тс). С обычны-

m=1

ми операциями сложения и умножения на комплексные числа Нм{Тс) становится линейным пространством. Наделим Нм(Тс) топологией индуктивного предела пространств Нт{Тс).

Преобразование Лапласа функционала Ф € E*(U), где E*(U) - сильное сопряжённое пространство к E(U), определяем по формуле

Ф(г) = (Ф,е^>), z € Тс-

Основными результатами второй главы являются следующие теоремы.

Теорема 2.3.1. Пространства Gm(U) и E{U) топологически изоморфны.

Теорема 2.4.1. Пусть выпуклая непрерывная позитивно однородная степени 1 на С функция b при некотором гь > 0 удовлетворяет условию: — 6(yi)| ^ Н для любыху1,уг £ С таких, что Цуг-2/i|| ^ 1- Тогда преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространствами G*M(U) и Нм(Тс)-

Из теорем 2.3.1. и 2.4.1 получаем следующий результат.

Теорема 2.5.1. Пусть выпуклая непрерывная позитивно однородная степени 1 на С функция b при некотором гь > 0 удовлетворяет условию: |b(y2) - ¿(2/i)| ^ Гь для любых 2/1,2/2 £ С таких, что \\у2 - 2/i|| ^ 1-Тогда преобразование Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространствами E*(U) и Нм{Тс)-

Глава 3.

Пусть Г - неограниченная выпуклая область в 1". В работе [8] было определено пространство Е^Г) бесконечно дифференцируемых функций на Г следующим образом. Пусть {hk)^Lx ~ невозрастающая последовательность положительных выпуклых возрастающих на Е функций, удовлетворяющих условиям:

а) Vfc £ N 3i0 £ Е : hk(t) -hk+\{t) > t, t ^ iQ;

б) Vfc £ N Va > 0 3s = s(fc, a) 6 R: hk(t) - hk+i{t + а) ^ s(k, a), t e E;

в) lim ^^ = +cx3, Vfc £ N.

(-►+CO t

Пусть последовательность (фк)™=1 выпуклых возрастающих неотрицательных на [0, оо) функций удовлетворяет следующим условиям:

г) За* > 0 36* ^ 0 Зс* > 0 Vfc £ N : Mt) - фк+1{Ь) > akt -bk, t ^ 0;

д) Vfc £ N Vq £ [0,1] фк{1) - фк+i(i + а) ^ -ck, t > 0;

е) lim ^^ = +00, Vfc € N.

t-n-00 t

Через обозначаем расстояние от а: £ Г" до границы дГ множе-

ства Г.

Для каждого m £ N пусть

hm(x) = fem(In 1 ), фт{х) = фт{\\х\\) хеГ.

Аг{х)

Пусть (р - семейство функций <pm(x) = hm(x) + фт(х).

С помощью нормированных пространств

= {f £ Ст(Г) : pm(f) = sup I™ <оо}, те N,

lerjoj^m ef^w

введём пространство £и,(Г) = lim рг£<пт{Г).

го-юо

Через обозначим сильное сопряженное пространство линейных

непрерывных функционалов на £,Р(Г).

Для каждого то € N введём функцию

<р*т{х) = sup(< х,у> -tpm(y)), X е !Rn. yer

Пусть <р* - семейство функций <р*т.

Определим пространство как индуктивный предел нормированных пространств

РА = {F е ЖС) : ||F||Ä = sup evUJ^lM)m < оо}, т е N.

Основным результатом главы является

Теорема 3.2.2. Пусть Г - открытый выпуклый конус в ЕП(Г ф ]Rn). Тогда преобразование Фурье-Лапласа устанавливает топологический изоморфизм между пространствами £^{Г) и Pv..

Справедливость теоремы следует из результата М.М.Маннанова [8] и из теоремы 3.2.1.

Теорема 3.2.1. Пусть Г - открытый выпуклый конус в Шп(Г ф Мп). Тогда полиномы плотны в £у(Г).

Глава 4.

В данной главе на примере задачи о сюръективности линейного дифференциального оператора конечного порядка с постоянными коэффициентами в пространстве Gm{U), рассматривавшемся в первой главе, показано, как могут „работать" полученные результаты об описании сопряжённого пространства. Для этого привлекаются также методы функционального анализа: известно (см. [22], [20], а также [12], [7] и библиографию там), что сюръективность линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, операторов свёртки в различных функциональных пространствах часто благодаря использованию преобразования Фурье-Лапласа (Лапласа) эквивалентна проблеме деления в подходящих пространствах аналитических функций.

Пусть P(z) = ^ o-aZa, P(D) = ^ aa(-iDx)a - дифференциальный оператор конечного порядка, соответствующий полиному P(z). Тогда для пространства Gm{U), изучавшегося в первой главе, имеет место Теорема 4.1.1. Пусть функция b удовлетворяет условию: существует число гь > 0 такое, что для любых уг,уг € С таких, что Цуг — Vi\\ ^ 1 1Ь(2/2) — b{yi)\ ^ гь. Тогда оператор P{D) сюръективен в пространстве GM{U).

Диссертант выражает благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук Мусину Ильдару Хамитовичу за постановку задачи, внимание и ценные советы при выполнении работы.

Список литературы

[1] Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

[2] Владимиров B.C., Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенные функций. М.: Наука, 1986.

[3] Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964.

[4] Владимиров B.C. Функции, голоморфные в трубчатых конусах // Известия АН СССР. 1963. Т. 27, №1. С. 75-100.

[5] Дьедонне Ж., Шварц J1. Двойственность в пространствах (F) и (LF) '// Сб. Математика. 1958. Т.2, №2. С. 77-107.

[6] Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34 №4. С. 97-131.

[7] Кривошеев A.C., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свёртки // УМН. 1992. Т.47, выпуск 6(288). С. 3-58.

[8] Маннанов М.М. Описание одного класса аналитических функционалов // Сибирский математический журнал 1990. Т. 31. № 3. С. 62-74.

[9] Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. М.: ИЛ, 1955.

[10] Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в Ш71 // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 10. С. 83-108.

[11] Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб. 2000. Т. 191, №10. С. 57-86.

[12] Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

[13] Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.:Мир. 1971.

[14] Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967.

[15] Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т.1, №1. С. 60-77.

[16] Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1966.

[17] Хёрмандер Л. Оценки в L2 и теоремы существования для операторов д // Сборник переводов иностранных статей. Математика. 1966. Т. 10, №2. С. 59-116.

[18] Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.

[19] Юлмухаметов P.C. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60, №4. С. 205-224.

[20] Ehrenpreis L. Solution of some problems of division. // IV, Amer. J. Math. 1960. V. 82, P. 522-588.

[21] Hansen S. On the "Fundamental Prinsiple" of L. Ehrenpries. В кн.: Partial differential equations. Banach center publicationbs. Warsaw. PWN - Polish Scientific Publishers, 1983. V. 10, P. 185-203.

[22] Malgrange В. Existence et approximation des solutions des equation aux derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst.Fourier (Grenoble). 1955-56. V. 6, P. 271-355.

[23] Roever J.W. de. Complex Fourier transformation and analytic functionals with unbounded carriers. Amsterdam. Mathematisch Centrum, 1977.

[24] Roever J.W. de. Analytic représentation and Fourier transforms of analytic functional in Z' carried by the real space // SIAM J. Math. Anal. 1978. V.9, №6. P. 996-1019.

[25] Taylor В.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Communications on pure and applied mathematics. 1971. V. 24, Ж. P.39-51.

Публикации автора по теме диссертации

1. Мусин И.Х., Федотова П.В. Теорема типа Пэли-Винера для ультрараспределений // Матем. заметки. 2009. Т.85, № 6. С. 894-914.

2. Мусин И.Х., Федотова П.В. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов с неограниченными носителями // Труды участников Международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростовский-на-Дону университет. 2006. С. 143-144.

3. Мусин И.Х., Федотова П.В. Пространство гладких функций заданного роста вблизи границы конуса // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2006. Т. 34. Казань. С. 165-167.

4. Федотова П.В. Преобразование Лапласа функционалов с неограниченным носителем в С71 // VI региональная школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов. 2006. Том 2. Математика г. Уфа. БашГУ.

5. Мусин И.Х., Федотова П.В. О пространстве бесконечно дифференцируемых функций с оценкой роста вблизи границы конуса // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, №3 (21). С. 31-35.

6. Мусин И.Х., Федотова П.В. О преобразовании Фурье-Лапласа распределений медленного роста // Уфимская международная математическая конференция, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева (27.03.1917 -14.04.1987). Сборник материалов. 2007. Том 2. Институт математики с ВЦ УНЦ РАН. С. 51-52.

7. Мусин И.Х., Федотова П.В. Об одном классе пространств быстро убывающих функций на неограниченном выпуклом множестве // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, г. Ростов-на-Дону. 2008.

8. Мусин И.Х., Федотова П.В. Об одном классе бесконечно дифференцируемых функций, допускающих голоморфное продолжение в С"

// Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН, 2008. выпуск 1. Издательство РИЦ БашГУ. С. 165-172.

9. Fedotova P.V. The Fourier-Laplace transform of functionals with unbounded supports // Тезисы докладов международной конференции "16th St.Petersburg meeting in mathematical analysis'^. Санкт-Петербург. 2007. С. 21.

10. Fedotova P.V. On the Laplace transform of functionals with unbounded carriers // Тезисы докладов международной конференции "Fifth advanced course in operator theory and complex analysis". Sevilla. 2008.

Федотова Полина Владимировна

Весовые пространства бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных выпуклых множествах в И"

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 22.10.2009 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,05. Уч.-изд. л. 1,24. Тираж 100 экз. Заказ 703.

Редакционно-издателъский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Основные обозначения и определения Введение

Глава 1. Пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных замкнутых выпуклых множествах

1.1. Свойства одного класса замкнутых выпуклых множеств в Мп (18). 1.2. Пространства основных функций и сопряжённые к ним (21). 1.3. Описание пространства S*(U) в терминах преобразования Фурье-Лапласа (24). 1.4. Пространство Gm{U) и сопряжённое к нему (27).

Глава 2. Пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на неограниченных замкнутых выпуклых множествах в R", допускающих голоморфное продолжение в Сп.

2.1. Пространства основных функций и сопряжённые к ним (68).

2.2. Вспомогательные результаты (70). 2.3. Эквивалентное описание пространства Gm(U)(73). 2.4. Пространство Gm(U) и сопряжённое к нему (78). 2.5. О сопряженном к пространству E(U) (96)

Глава 3. Пространства бесконечно дифференцируемых функций с оценкой роста на бесконечности и вблизи границы конуса.

3.1. Пространства основных функций и сопряжённые к ним (98).

3.2. Полнота полиномов в 5¥,(Г')(100).

1). проблема полиномиальной аппроксимации в пространствах бесконечно дифференцируемых функций в открытых выпуклых конусах в с определённой мажорантой роста на бесконечности и вблизи границы конуса;

2). разрешимость линейных дифференциальных уравнений с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.

Большая часть работы посвящена описанию сопряженных пространств для введённых пространств бесконечно дифференцируемых функций в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.

Как известно, описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и функционального анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков - Г. Полиа, Н. Винера, Р. Пэли, Л. Шварца, B.C. Владимирова, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А. Мартино, В.В. Напалкова, В.В. Жаринова, Б.А. Тейлора, Р.С. Юлмухаметова, Г.И. Эскина, A.M. Седлецкого, М.А. Соловьёва, А.В. Абанина, В.А. Ткаченко, X. Коматсу (Н. Komatsu), Роевера (J.W. de Roever), В.А. Державца, С.В. Попенова, Ф. Хаслингера, Р. Майзе,

М.М. Маннанова, В.И. Луценко, И.Х. Мусина и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс аналитических функций с определенными мажорантами роста. Тем самым, многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, теории обобщённых функций и др. могут быть сведены к задачам из теории аналитических функций. Такой подход систематически использовался в работах Л. Шварца, Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмаидера, А.Ф. Леонтьева, B.C. Владимирова, С. Лоясевича, Ю.Ф. Коробейника, А. Мартино, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, В.П. Пала-модова, В.А.Тейлора, A.M. Седлецкого, Ю.Н. Дрожжинова, Б.И. Завьялова, Росвера, Р.С. Юлмухаметова, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, А.В. Абанина, А.С. Кривошеева, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Хабибуллина, С.Н. Мелихова и др.

Цели работы.

1. Изучить весовые пространства быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций на замкнутых выпуклых неограниченных множествах в R" и описать сопряжённые к ним пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов.

2. Описать сопряжённое пространство в терминах преобразования Фурье-Лапласа функционалов к пространству бесконечно дифференцируемых функций в М", заданных на открытом выпуклом конусе в М" и удовлетворяющих определённым оценкам роста на бесконечности и вблизи границы конуса.

3. Изучить вопросы сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых пространствах быстро убывающих функций.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми.

Методы исследований. В работе используются методы теории аналитических функций и функционального анализа. Среди них метод L2-оценок Л.Хёрмандера в <9-задаче, теория двойственности.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, дополнения и списка литературы.

1. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

2. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю.Н., Завьялов Б.И. Многомерные тауберовы теоремы для обобщенные функций. М.: Наука, 1986.

3. Владимиров B.C. Методы теории функций многих комплексных переменных. М.: Наука, 1964.

4. Владимиров B.C. Функции, голоморфные в трубчатых конусах // Известия АН СССР. 1963. Т. 27, №1. С. 75-100.

5. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (F) и (LF) // Сб. Математика. 1958. Т.2, №2. С. 77-107.

6. Жаринов В.В. Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS // УМН. 1979. Т. 34, №4. С. 97-131.

7. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы свёртки // УМН. 1992. Т.47, выпуск 6(288). С. 3-58.

8. Маннанов М.М. Описание одного класса аналитических функционалов // Сибирский математический журнал 1990. Т. 31, № 3. С. 62-74.

9. Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей, применения. М.: ИЛ, 1955.

10. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в R" // Мат. сб. 2004. Т. 195, № 10. С. 83-108.

11. Мусин И.Х. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций // Мат. сб. 2000. Т. 191, №10. С. 57-86.

12. Мусин И.Х., Федотова П.В. О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов с неограниченными носителями // Труды участников Международной школы-семипара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростовский-на-Дону университет. 2006. С. 143-144.

13. Мусин И.Х., Федотова П.В. Пространство гладких функций заданного роста вблизи границы конуса // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. 2006. Т. 34. Казань. С. 165-167.

14. Мусин И.Х., Федотова П.В. О пространстве бесконечно дифференцируемых функций с оценкой роста вблизи границы конуса // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, №3 (21). С. 31-35.

15. Мусин И.Х., Федотова П.В. Об одном классе пространств быстро убывающих функций на неограниченном выпуклом множестве // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, г. Ростов-на-Дону. 2008.

16. Мусин И.Х., Федотова П.В. Теорема типа Пэли-Винера для ультрараспределений // Матем. заметки. 2009. Т.85, № 6. С. 894-914.

17. Мусин И.Х., Федотова П.В. Об одном классе бесконечно дифференцируемых функций, допускающих голоморфное продолжение в С"Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН, 2008. выпуск 1. Издательство РИЦ БашГУ. С. 165-172.

18. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

19. Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообразиях. М.:Мир. 1971.

20. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1967.

21. Себаштьян-и-Сильва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т.1, №1. С. 60-77.

22. Федотова П.В. Преобразование Лапласа функционалов с неограниченным носителем в Сп // VI региональная школа-конференция по математике и физике с участием студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов. 2006. Том 2. Математика г. Уфа. БашГУ.

23. Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1966.

24. Хёрмандер Л. Оценки в L2 и теоремы существования для операторов д // Сборник переводов иностранных статей. Математика. 1966. Т. 10, №2. С. 59-116.

25. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.

26. Юлмухаметов Р.С. Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности // Изв. РАН. Сер. матем. 1996. Т. 60, №4. С. 205-224.

27. Ehrenpreis L. Solution of some problems of division. IV, Amer. J. Math. 1960. V. 82, P. 522-588.

28. Fedotova P.V. The Fourier-Laplace transform of functionals with unbounded supports // Тезисы докладов международной конференции "16th St.Petersburg meeting in mathematical analysis'^. Санкт-Петербург. 2007. С. 21.

29. Fedotova P.V. On the Laplace transform of functionals with unbounded carriers // Тезисы докладов международной конференции "Fifth advanced course in operator theory and complex analysis". Sevilla. 2008.

30. Hansen S. On the "Fundamental Prinsiple" of L. Ehrenpries. В кн.: Partial differential equations. Banach center publicationbs. Warsaw. PWN Polish Scientific Publishers, 1983. V. 10, P. 185-203.

31. Malgrange B. Existence et approximation des solutions des equation aux derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst.Fourier (Grenoble). 1955-56. V. 6, P. 271-355.

32. Roever J.W. de. Complex Fourier transformation and analytic functionals with unbounded carriers. Amsterdam. Mathematisch Centrum, 1977.

33. Roever J.W. de. Analytic representation and Fourier transforms of analytic functional in Z' carried by the real space // SIAM J. Math. Anal. 1978. V.9, №6. P. 996-1019.

34. Taylor B.A. Analytically uniform spaces of infinitely differentiable functions // Communications on pure and applied mathematics. 1971. V. 24, N°- 1. P.39-51.