Предельные теоремы для нелинейных преобразований скользящих средних тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

004608101

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИл наук СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. Соболева

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

Специальность 01.01.05 — теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 519.21

СИДОРОВ Дмитрий Иванович

1 6 СЕН 2010

Новосибирск 2010

004608101

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор Борисов Игорь Семенович Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Тихомиров Александр Николаевич к.ф.-м.н. Аркашов Николай Сергеевич

Ведущая организация:

Омский Государственный Университет

им. Ф. М. Достоевского

Защита состоится 22 сентября 2010 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.01 в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 4, к. 417.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан » августа 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 003.015.01 при Институте математики СО РАН

д.ф.-м.н. /9/9/) Ю. В. Шамардин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена исследованию предельных распределений аддитивных статистик, построенных по выборкам так называемых скользящих средних. В работе изучаются формы зависимости таких наблюдений, доказана центральная предельная теорема для аналитических преобразований скользящих средних и исследуются предельные распределения II- и У-статистик.

Скользящие средние представляют собой весьма популярную модель последовательности стационарно связанных случайных величин. Зависимость между элементами такой последовательности может быть достаточно сильной. В частности, классические условия а- или (/^-перемешивания, используемые при доказательстве предельных теорем для сумм слабо зависимых величин ([1], [5]), здесь уже могут не выполняться. При определенных ограничениях на параметры скользящих средних наличие тех или иных условий перемешивания для них исследовалось в [4], [11], [21]. Для некоторых классов скользящих средних отсутствие перемешивания установлено в работах [4], [5], [8], [21].

Интенсивное изучение предельного поведения последовательностей сумм нелинейных преобразований скользящих средних началось с конца 60-х годов прошлого века. Наиболее простая методика изучения этих объектов сводилась к аппроксимации исходных скользящих средних аналогичными средними, построенными по конечному отрезку порождающих коэффициентов, что позволяло сводить задачу к анализу предельного поведения сумм т-зависимых случайных величин ([1], [5]). Иные подходы, приводящие в некоторых случаях к более тонким результатам, основаны на применении техники теории мартингалов (см, например, [13]). В

1996-2006 годах были существенно ослаблены требования на коэффициенты так называемых односторонних скользящих средних ([14], [16], [19]), при этом, помимо мартингальных, использовалось ещё и их марковское свойство, которое отсутствует в более общей модели скользящих средних, рассматриваемых в диссертации. В работе [9] в 2007 г. были получены центральная и функциональная предельные теоремы для преобразований двусторонних скользящих средних также с ослабленными условиями на коэффициенты; причём в отличие от работ [1], [5] рассматривались только независимые порождающие величины.

Исследование II- и V- статистик начинается с работ Ми-зеса [18] и Хёфдинга [15]. Интерес к таким статистикам обусловлен многочисленными приложениями. В диссертации исследуются так называемые канонические II- и У-статистики.

В работах [6], [7], [12], [15], [17], [18] достаточно полно исследованы II- и У-статистикй, построенные по независимым наблюдениям. Ряд работ ([10] и др.) посвящён исследованию наблюдений, представимых в виде детерминированного преобразования сильно зависимых (без условий перемешивания) гауссовских случайных величин. Слабо зависимые наблюдения рассматривались в работах [2] (условие ^-перемешивания), [3] (условия а-, ^-перемешивания).

Цель работы. Основной целью работы является доказательство предельных теорем для аддитивных статистик, построенных по выборкам скользящих средних, а также исследование форм зависимости таких выборок.

Научная новизна. В диссертации найдены условия для скользящих средних, обеспечивающие (^-перемешивание; для некоторых классов доказано отсутствие перемешивания. Доказана центральная предельная теорема для аналитических (целых) преобразований скользящих средних, порождённых последовательностью стационарно свзанных величин с условием «-перемешивания. Найдено предельное распределение канонических U- и У-статистик произвольной размерности от наблюдений, имеющих структуру скользящих средних.

Апробация работы. Все результаты докладывались на объединённом семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика A.A. Боровкова. Результаты работы также докладывались на 44-ой Международной Научной Студенческой Конференции (г. Новосибирск, 2006 г.), на 4-ой международной конференции «Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения» (г. Новосибирск, 2006 г.), на Всероссийской конференции «Математика в современном мире», (г. Новосибирск, 2007 г.), на 2-м «Северном тройственном семинаре» (г. Стокгольм, Швеция, 2010 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20]—[22].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объём диссертации — 44 страницы.

Краткое содержание работы

Во Введении даётся обзор работ по теме исследований и обсуждается содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена исследованию форм зависимости скользящих средних.

Пусть {£.,■; j 6 2} - последовательность случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве, {ay, j е Z} — некоторые вещественные числа, где Z — множество всех целых чисел.

Определение 1. Скользящие средние {Xkj к 6 Z}, порождённые последовательностью определяются равенством

хк ••= (1)

j€Z

Предполагается, что ряд в (1) сходится с вероятностью 1. В частности, это будет выполнено, если

£|а^|Е|$|<оо, (2)

jex

а в случае, когда {£.,•; j € Z} независимы и центрированы, достаточно потребовать, чтобы

(3)

з

Пусть At^ = a{Xj,j < к) и Af+m = a{Xjtj > к + т} -¿/-алгебры, порождённые соответствующими наборами случайных величин.

Определение 2. Последовательность {-X'fc} удовлетворяет условию а-перемешивания, если при т —► оо

a(m):= sup |Р(£пА) -Р(В)Р(Л)|

кегАеЛ^веЛ^

Определение 3. Последовательность {Хк} удовлетворяет условию <р-перемешивания, если при т —» оо

<р(т) вир

|Р(ВПЛ)-Р(Д)Р(Л)| Р(А)

0.

Следующие четыре теоремы составляют основное содержание первой главы. В теоремах 1-3 описываются классы скользящих средних, для которых не выполнено то или иное условие перемешивания.

Теорема 1. Пусть £ Щ — независимые дискретные случайные величины, из которых хотя бы одна невырожденная. Кроме того, пусть существуют такие константы О < 5 < А < оо, не зависящие от у, что расстояние между любыми двумя атомами распределения ^ не меньше 6 и не превосходит Д. Наконец, пусть для всех к имеет место (2) сходится и выполнено одно из следующих двух условий:

упорядоченные по убыванию абсолютных величин ненулевые коэффициенты а,-.

Тогда последовательность {Xне удовлетворяет условию а-перемешивания.

Если в условиях 1) и 2) неравенства для а и а* , строгие, то утверждение останется верным и в случае произвольно зависимых случайных величин

Теорема 2. Пусть {<^,.7 £ — независимые случайные величины, а^ > 0 при всех ], ряд в (2) сходится при всех к, и выполнены условия:

1) существуют положительные константы х0, с0, с\, С2,

такие что для некоторого целого jo и некоторого ji > О sup ~ Ж + < С1е~С2У для всех у> О,

Х>х0 ^ Х)

> х) < с\е~С2Х для всех х > х0) если \j\ < ji, P(£j > < c0P(€j0 > x) для всех x>x$, если \j\ > ji; 2)

jez a.j+i

а также выполнено одно из следующих условий:

3)

Еа,- In Ы < 00 и mí > О;

3 11 jez а,-

зфо 3

3') для некоторых ó > О, с3 > О

jez

-J

Mil

Тогда соответствующая последовательность {Хк} не удовлетворяет условию <р-перемешивания.

Теорема 3. Пусть {£¿,.7 е 2} — последовательность ограниченных случайных величин, из которых хотя бы одна невырожденная и не зависит от остальных, множество '■— {з < 0 : % ф 0} бесконечно, и для любого к случайная величина Xк ограничена. Тогда последовательность {Хк} не удовлетворяет условию ¡^-перемешивания.

Если в условиях теоремы 3 не требовать бесконечность множества А~, то (/^-перемешивание последовательности {Хк} возможно и в том случае, когда множество всех ненулевых коэффициентов абесконечно.

Введём для некоторого р > 1 (включая случай р = оо) дополнительное ограничение на коэффициенты

12 ( 52 К'1Р) < если Р <

к>о yj>k ' (4)

Yj sup |flj| < оо, если p = оо. k>0 j>k

Очевидно, из (4) следует, что < оо. Обозначим че-

рез L линейный оператор, который отображает пространство суммируемых последовательностей 1\ в себя по следующему правилу: образ Ly := ((Ly)k; к € Z) любого элемента У := (%; 3 € 1) £ h задается формулой

(■Ly)k = Y! ак-зУз> k G

зеъ

Теорема 4. Пусть Е Zj — независимые ограниченные случайные величины, имеющие соответственно плотности распределений Pj(x), множество А~ конечно, и существует такое Сх > 0, что

J \Pj(y + х) — Pj(y)\dy < Ci\x\ при всех j и х.

Пусть также для некоторого р > 1 выполнено (4) и существует ограниченный обратный оператор L~l в пространстве 1\. Кроме того, пусть для некоторого С > О

Pi sup < Cj = 1, еслир= 1, j '

p((EI^I9)1/9<^) еслир> 1,

где 1/р + l/q = 1. Тогда последовательность {Х^} удовлетворяет условию ip-перемешивания.

Во второй главе диссертации исследуются предельные распределения аддитивных статистик, построенных по наблюдениям, имеющим структуру скользящих средних, порождённых стационарной (в узком смысле) последовательностью € Щ.

В первом параграфе доказана центральная предельная теорема для аналитических на носителе распределения Х\ преобразований двусторонних скользящих средних. Рассмотрен случай стационарно связанных порождающих с а-перемешиванием при условии абсолютной суммируемости коэффициентов {а{}; а также случай независимых порождающих {<£,■}, при этом ряд может быть расходящимся. Результаты параграфа содержатся в следующих двух теоремах.

Теорема 5. Пусть а(п) — коэффициент а-перемешивания последовательности {£;/},

д(Хк)

и выполнено одно из условий (а) или (ао):

для некоторого 6 > 0, или

(оо) г>о

||£о||оо := евэзир^о! <

Е Ш -1-с1< оо,

оо

Е &(п) < ОО. к п=О

Тогда определена величина

оо

ст2 -.= В9(Х0) + 2^соу(д(Х0),д(Хк)). к=1

Если а^ф 0, то А- £ (д{Хк) - Ед(Х0)) Лл/^. У к—1

Если а2 = 0, то ± £ (<7(Х*) - Ед(Х0)) ->0.

* к=1 Р

Теорема 6. Пусть {^¿еж — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, <

оо; Д = 0 и Е£о = 0 для всех нечётных I,

<00>

0 ¿62

|/Ш ( а2) 2 (г + ш - 1)!! Е|£|г+гп < оо. (5)

г

Тогда ряд

д(Хк):='£/31Х1к

сходится в средне квадратичном, и для {д(Хк)}к>1 выполнена центральная предельная теорема.

Во втором параграфе главы исследуется предельное поведение ещё одного типа статистик — канонических [/- и У-статистик произвольного порядка, построенных по наблюдениям {Хк}к>1.

Определение 4. V-статистики (или статистики Мизе-са) размерности в, > 2 с ядром /(¿1,... : —» М определяются равенством

^ = Е хо, « = 1,2,... (6)

1<к\,...,кл<п

Определение 5. и-статистики размерности <1 > 2 с рам /(¿1,..., : Е1* —> К определяются равенством

= Е П = 1,2,... (7)

приг^з

Определение 6. Статистика и её ядро /(¿х,..., называются каноническими (или вырожденными), если

Е/^х,... ,tj-l,Xj,tj-lгl■,... = О

Алл любых з = 1,..., с? и £¿1,..., ^ £ 1.

Исследование предельного распределения статистик проводится с помощью разложения ядра / по базисным функциям в ряд вида

и) = ^ /¿х.....^М.-.ъ^и). (8)

Пусть функции (еД^) : г > 0} образуют ортонормирован-ный базис в гильбертовом пространстве

:= : Е/(Хх) < оо},

е0(£) = 1. Тогда Ее,(Х0) = 0 для всех % > 1, Ее?(Хо) = 1 для всех г. Функции (е^х) • ■ • : ц,...,^ > 0} образуют

ортонормированный базис в пространстве

Р1) := {д : Ед*(Х;,..., Х*а) < оо},

где Xf,..., X} — независимые копии Х\. Если ядро / канонической статистики является функцией из X2(Md, i7^), то оно представимо в виде суммы ряда

f(ti,...,td)= fh.....^(Ь) ■ ■ ■ eid(td) (9)

ti,-,»d>i

сходящегося в норме L2(M.d, Fd).

Основной результат параграфа для случая стационарно связанных порождающих {£j}jez с условием «-перемешивания содержится в следующей теореме.

Теорема 7. Пусть

7d = + lJ^^aCO < оо,

¿>0

(10)

г> 1

если ||^о||оо < или

ъ = + 1 )d+,2-la{i)^s < оо, i>0

£ I/Wii&II 4+25 < 00 дЛЯ вСеХ ^ 1) (11)

¿>1

г>1

если ЦСоЦоо = оо, где d+ — целое чётное число, d+ > d, ||£0||„ = №IP)1/P. Пусть

также функция /(ib... ,td) непрерывна, вырождена относительно распределения Х\, и

£ |/ü,..,d(l + B(eh))... (1 + B(eid)) < оо. (12)

Тогда

Un-+V-= fb.....idY[H#{ia-.is=3}{Tj),

il.....<d>l j=1

Vn > TJ У ^ fii,—,idTi\ ■ • • Tidi ¿i.-,»d>i

где {Tj}j>i — гауссовекая последовательность центрированных случайных величин с ковариациями

оо

ai}j = cov(Ti,Tj) = cov(ei(Xo),ej(Xk)),

k=—oo

ф{г3 : is = j} — количество элементов is, равных j, 1 < s < d, Hk{t) — полином Эрмита степени k, определяемый равенством

Hk(x) = (-1

Отметим, что аналогичный результат (для более широкого класса ядер /) в случае независимых наблюдений {Xk; к > 1} был получен в [17] и для наблюдений с а- и ^-перемешиванием — в работе [3].

В заключительной теореме рассмотрены статистики порядка 2, построенные по скользящим средним с независимыми порождающими величинами, при этом требования на коэффициенты разложения ядра существенно ослаблены. Определим модуль непрерывности функции g как

ug(h, М) = sup |g(x + t)~ g(x)\

|t|<ft, \x\<M, \x+t\<M

и введём следующие условия:

uei{h, М) < LihMai для всех г > 1, Е|£0|* < оо Vfc, (13)

М) < ЦНМа для всех г > 1, Е|£0|4(а+1) < оо, (14)

^(Л, НйНоо М) - для всех г - Н&Ноо < (15)

здесь всюду предполагается, что Yliez 1а»1 < 00!

^ Ь^Ка{+а'+3 < оо Ш> О, (16)

¿,¿>1

X |/м|иц < оо. (17)

Теорема 8. Пусть функция / непрерывна, вырождена относительно распределения

и выполнен один из наборов условий: (13) и (16), или (14) и (17), или (15) и (17). Тогда

1г,Ни(тг, т,),

»¿>1

где {тг}{>1 — гауссовская последовательность центрированных случайных величин с ковариациями

оо

(Ту = сои{тит5) = ^ ссЦе^Хо)^-^)), Й—-00

Д^г, Т,-) = 7*7} При 1фз, и Ям(гьТ;) = Г? - 1.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору Игорю Семёновичу Борисову за постановку задачи, денные советы и внимание к работе.

Список литературы

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977.

2. Борисов И. С., Быстрое А. А. Предельные теоремы для канонических статистик Мизеса, построенных по зависимым наблюдениям. — Сиб. матем. жур., 2006, т. 47, № 6, с. 1205-1217.

3. Борисов И. С., Володъко Н. В. Ортогональные ряды и предельные теоремы для канонических U- и V-статистик от стационарно связанных наблюдений. — Матем. труды, 2008, т. 11, № 1, с. 25-48.

4. Городецкий В. В. О свойстве сильного перемешивания для линейно порождённых последовательностей. — Теор. вер. и ее примен., 1977, т. 22, № 2, с. 421-423.

5. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М., 1965.

6. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Теория [/-статистик. Киев: Наукова Думка, 1989.

7. Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и ее статистические применения — Теор. вер. и ее примен., 1962, т. 7, № 1, с. 26-60.

8. Andrews D. W. К. Non-strong mixing autoregressive processes. — J. Appl. Prob., 1984, v! 21, N 4, p. 930-934.

9. Dedecker, J.; Merlevede, F.; Volny, D. On the Weak Invariance Principle for Non-Adapted Sequences under Projective Criteria — J. Theor. Probab., 2007, v. 20, p. 971-1004.

10. Dehling, H.; Taqqu, M. S. The impirical processes of some long-range dependent sequences with an application to U-statistics — Ann. Statist., 1989, v. 17, N 4, p. 1767-1783.

11. Doukhan, P. Mixing: Properties and Examples. Lecture Notes in Statistics, Springer, Berlin, 1994, v. 85.

12. Dynkin E. B., Mandelbaum A. Symmetric statistics, Poisson point processes and multiple Wiener integrals — Ann. Statist., 1983, v. 11, N 3, p. 739-745.

13. Hall P., Heyde C. C. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press, 1980.

14. Ho, H. C., Hsing, T. Limit theorems for functionals of moving averages. —Ann. Statist., 1996, v. 24, p. 992-1024.

15. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution — Ann. Math. Statist. 1948, v. 19, p. 293325.

16. Peligrad, M., Utev S. Recent advances in invariance principles for stationary sequences. — Probability Surveys,-2006, v. 3, p. 1-36.

17. Rubin, H.; Vitale, R. Asymptotic distribution of symmetric statistics. — Ann. Statist., 1980, v. 8, N 1, p. 165-170.

18. Von Mises R. On the asymptotic distribution of differentiate statistical functions — Ann. Math. Statist. 1947, v. 18, p. 309-348.

19. Wu, W. B. Central limit theorems for functionals of linear processes and their applications. — Statist. Sinica, 2002, v. 12, p. 635-649.

Публикации по теме диссертации

20. Борисов И. С., Сидоров Д. И. Предельные теоремы для аддитивных статистик, построенных по выборкам скользящих средних. — Матем. труды, 2010, т. 13, № 2, с. 3-24

21. Сидоров Д. И. Об условиях перемешивания последовательностей скользящих средних. — Теор. вер. и ее при-мен., 2009, т. 54, № 2, с. 374-382.

22. Sidorov D. On mixing conditions for sequences of moving averages. — IV International Conference "Limit Theorems in Probability Theory and Their Applications", 2006, Novosibirsk, Abstracts of Comm., p. 29-30.

Сидоров Дмитрий Иванович

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 12 августа 2010г. Тираж 100 экз. Заказ № 033. Отпечатано "Документ-Сервис", 630090, Новосибирск, Институтская 4/1, тел. 335-66-00

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Условия перемешивания последовательностей скользящих средних

§ 1. Введение и формулировка основных результатов.

1.1. Скользящие средние, не удовлетворяющие условиям перемешивания

1.2. Скользящие средние с ^-перемешиванием

§ 2. Доказательство основных результатов.

2.1. Доказательство теоремы

2.2. Доказательство теоремы

2.3. Доказательство теоремы

2.4. Доказательство теоремы

ГЛАВА 2. Предельные теоремы для нелинейных преобразований скользящих средних

§ 1. Центральная предельная теорема для нелинейных преобразований скользящих средних.

§ 2. Аппроксимация распределений канонических U- и V-статистик.

§ 3. Доказательство основных результатов.

3.1. Моментное неравенство.

3.2. Доказательство теоремы

3.3. Доказательство теоремы

3.4. Доказательство теоремы

3.5. Доказательство теоремы

Диссертация посвящена исследованию предельных распределений аддитивных статистик, построенных по наблюдениям, имеющим структуру скользящих средних. В первой части диссертации изучаются формы зависимости таких наблюдений. Во второй части доказана центральная предельная теорема для нелинейных преобразований скользящих средних и исследуются предельные распределения U- и F-статистик.

Пусть j Е Z} - последовательность случайных величин, заданных на одном вероятностном пространстве, {ay, j G Z} - некоторые вещественные числа, где Z -множество всех целых чисел.

Определение 1. Скользящие средние {Xk е Z}, порождённые последовательностью {£,•}, определяются равенством jei

Предполагается, что ряд в (1) сходится с вероятностью 1. В частности, это будет выполнено, если j

Если же случайные величины j е Z} независимы, имеют конечный второй момент и центрированы, то для сходимости ряда в (1) достаточно потребовать более слабое условие

Отметим, что если порождающие случайные величины {£.,•} образуют стационарную последовательность, в частности, если они независимы и одинаково распределены, то скользящие средние в (1) также представляют собой последовательность стационарно связанных случайных величин. Отметим также, что любая стационарная гауссовская последовательность {Xс абсолютно непрерывной спектральной

1)

2)

3) функцией может быть представлена в виде (1), где {£,,•} - независимые одинаково распределенные гауссовские случайные величины.

Если множество отличных от нуля коэффициентов aj в (1) конечно, то при условии независимости порождающих случайных величин последовательность {Х^} представляет собой совокупность m-зависимых случайных величин. Если множество А0 :— {j е Z : aj ф 0} бесконечно, то зависимость между частями последовательности {Xfc} может быть достаточно сильной, и, в частности, классические условия перемешивания Розенблатта и Ибрагимова для нее могут не выполняться [5,6,8,13].

Пусть Atco = cr{Xj:j < /с} и — a{Xj,j > k + m} - ст-алгебры, порождённые соответствующими наборами случайных величин.

Определение 2. Последовательность {Xудовлетворяет условию перемешивания Розенблатта (сильное или а-перемешивание), если при т —» оо а(т) sup |Р(Я П А) - Р(£)Р(А) | -> 0. кег,АеА1„,веА?+т

Определение 3. Последовательность {Xк} удовлетворяет условию перемешивания Ибрагимова (так называемое равномерно сильное или ip-перемешивание), если при т —> со

V{m) := sup -; V ; ^ Л - 0. kez,AeAiootBeA?+m,P(A)#i

Условие «-перемешивания было предложено М. А. Розенблаттом в 1956 году [22]. Применимость этого условия к последовательностям скользящих средних исследовалась в работах [5,14,16]. Результат в наиболее общей форме был получен в [16], где описан подкласс скользящих средних со свойством «-перемешивания. Основным условием в [16] на распределение случайных величин ^ при этом является наличие плотности pit), удовлетворяющей условию Липшица в среднем: J \p(t + x) —p(t)\dt < С\х\. Кроме этого, коэффициенты aj должны удовлетворять определённым условиям, в частности, требуется сходимость ряда:

1/2 к> 0 |j|>fc |j|>fc 4

С другой стороны, в [13] было доказано, что для последовательности оо

Xk = з=О где - независимые бернуллиевские случайные величины, \р\ < 1, условие сильного перемешивания не выполняется. Основываясь на тех же рассуждениях, что и в [13], данный результат распространён на более общий класс скользящих средних, построенных по дискретным величинам с конечным множеством значений (теорема 1).

Отдельно можно выделить класс последовательностей, построенных по независимым гауссовским случайным величинам В этом случае {Xfc} является стационарной гауссовской последовательностью, а о-перемешивание эквивалентно полной регулярности ([7]). Известны необходимые и достаточные условия в терминах спектральной плотности, при которых стационарная последовательность является вполне регулярной: это так называемая теорема Хелсона - Сарасана (см. [7]). Однако непосредственная проверка этих условий является непростой задачей. С помощью этой теоремы в [5] было доказано отсутствие перемешивания для некоторой последовательности {Xfc}, построенной по недискретным случайным величинам (см. в [5] пример И. А. Ибрагимова). Более простые (достаточные) условия получены в [6] и [8]. Они сводятся к проверке положительности и непрерывности спектральной плотности стационарной гауссовской последовательности. В случае скользящих средних, построенных по независимьш одинаково распределённым случайным величинам спектральная плотность /(А) последовательности {Х^} имеет вид ке z при этом данная функция является непрерывной и положительной, если, например, Efc^feo \ак\ < KI для некоторого ко.

Условие !/>перемешивани Ибрагимова является более ограничительным, и, например, в случае независимых (или стационарно связанных) гауссовских величин оно выполняется только для последовательностей {Х^} с условием т-зависимости [6], т. е. только если множество А0 конечно. Тем не менее, для ограниченных порождающих величин {£,} в настоящей работе получены условия, при которых условие Ибрагимова выполнено и для бесконечного множества А0. Другие результаты первой главы посвящены доказательству отсутствия перемешивания для некоторых классов скользящих средних.

Во второй главе исследуются предельные распределения аддитивных статистик, построенных по наблюдениям, имеющим структуру скользящих средних, порождённых стационарной (в узком смысле) последовательностью {£,j}jzz- Примерами таких статистик являются центрированные нормированные суммы вида где g(t) - нелинейная функция. Хорошо известно, что в случае слабо зависимых наблюдений при достаточной скорости убывания коэффициента перемешивания выполнена центральная предельная теорема (ЦПТ), то есть имеет место сходимость к нормальному закону [1,6]. При определённых условиях ЦПТ может выполняться и для преобразований скользящих средних.

Как было указано, некоторые классы скользящих средних удовлетворяют условиям а- или ^-перемешивания. Стало быть, и любые измеримые преобразования таких скользящих средних также удовлетворяют указанным типам перемешивания. Поэтому ЦПТ для таких наблюдений можно получить с помощью классических результатов для последовательностей слабо зависимых величин [1,6]. Однако, в ряде других случаев условия перемешивания для исходных скользящих средних не выполнены. Например, для независимых гауссовских случайных величин {&}, как уже было отмечено, условие ^-перемешивания для последовательности {Х^} эквивалентно конечности множества ненулевых коэффициентов в последовательности {а3}. Если порождающие случайные величины ограничены, Y2jez\aj\ < оо и множество ненулевых коэффициентов с отрицательными индексами бесконечно, то условие (^-перемешивания также не выполнено (теорема 3). Кроме того, уже упоминались примеры скользящих средних без условия а-перемешивания.

Другой метод доказательства ЦПТ связан с исследованием последовательностей вида h(. ■ ■ •) - функций от сдвигов порождающей последовательности {£j}jez [1>6]. Ясно, что схема скользящих средних представляет собой частный случай приведённой модели. При этом случайные величины h(. • • •) приближаются функциями вида • • • зависящими лишь от конечного набора порождающих величин. Для простоты рассмотрим случай независимых одинаково распределённых величин и липшицевой функции д(х). Тогда возникающие в [1,6] условия для применимости ЦПТ для рассматриваемой последовательности {д(Хк),к > 1} при условии Е£д < оо выражаются в терминах коэффициентов {а.,} следующим образом: оо

Е(£ п\ V2

А) < оо. (4) п—\ |fc|>n

Если же существует момент Е|д(Х1)|2+<5, где 6 > 0, эти условия могут быть ослаблены [6]:

Y, Е| Еакt-*1+6 < (5)

П=1 \ |fc|>n / а если д{Х{) - ограниченная величина, то условие имеет вид: оо е| afce-fc| < ОО. (6) п=1 \к\>п

Условия (5) и (6) всегда влекут сходимость ряда Y2k lafel- Условие (6) является наиболее слабым из (4) — (6), но, например, в случае гауссовских величин условие (6) переходит в (4) и становится более ограничительным, чем сходимость ряда ]T)fc |a&|.

В случае липшицевой функции д{х) можно также воспользоваться результатами теоремы 5.5 в [18]. При этом возникает следующее условие на коэффициенты {aj}: оо оо 2 kl) <оо, (7) n=l |fc|>n которое является более жёстким, чем сходимость ряда Ylk lafc|

В более поздних работах [15,19,21,24] эти условия удалось ослабить - для выполнения ЦПТ в них требуется только сходимость Ylk 1а*=1' или Даже ЦПТ может быть получена без этого условия [15,24]. При этом работы [19,21, 24] посвящены исследованию лишь односторонних скользящих средних, то есть случаю, когда а3 = О при j < 0. В работе [15] ЦПТ получена для двусторонних скользящих средних с абсолютно суммируемыми коэффициентами {aj}jEz, и для односторонних - когда {(ij}jez не являются суммируемыми; при этом в обоих случаях предполагается, что порождающие величины являются независимыми.

В данной работе доказана ЦПТ для двусторонних скользящих средних, построенных по последовательности зависимых случайных величин с сьперемеши-ванием и при условии абсолютной суммируемости коэффициентов ak. В теореме 6 рассмотрены также двусторонние скользящие средние, причём один из рядов о или йк может расходиться, но при этом предполагается, что величины являются независимыми с симметричным распределением и функция д(х) является чётной. Следует, однако, отметить, что, например, в отличие от [15], результаты получены лишь для класса аналитических (целых) функций д(х) и при дополнительных ограничениях на распределение величин что является известной платой за отказ от независимости порождающих {£г}.

Как и в работах [1,6], в данной работе при доказательстве ЦПТ используется приближение последовательности д{Хк) функциями, зависящими от конечного набора порождающих величин fj. Если рассматривается целая функция g(t) = то в представлении для скользящих средних каждое слагаемое также зависит лишь от конечного набора величин Это позволяет получить необходимые оценки иначе, чем в [1,6], и ослабить требования на коэффициенты aj, но при этом как и в [6] можно рассматриваить порождающие величины {£j}jez с условием а-перемешивания.

Во втором параграфе исследуется предельное поведение ещё одного типа статиl> 1 г\,.,ц стик - канонических U- и V-статистик произвольного порядка, также построенных по наблюдениям

Определение 4. V-статистики (или статистики Мизеса) размерности d > 2 с ядром f{ti,. ,td) : —> К определяются равенством

V« = ^T2 £ f(Xkl,.,Xkd\ п = 1,2,. (8) l<fcl ,.,fcd<n fZ-статистики являются близкими к (8) функционалами и отличаются от них тем, что в области суммирования соответствующих кратных сумм в (8) исключаются так называемые диагональные подпространства, то есть суммирование ведётся только по наборам различных индексов.

Определение 5. U-статистики размерности d > 2 с ядром f(t\,., td) : Ed —» Ш определяются равенством п = 1,2,. (9) l<fcj.fcj<Tl

Определение 6. Статистика и её ядро f{ti,. ,td) называются каноническими (или вырожденными), если

Еf(ti,., tj-1, Xj, tj+x,., td) = 0 для любых j — 1,., d и tjiy. ,tjd e M.

Впервые асимптотическое поведение U- и V-статистик исследовалось в работах Р. Мизеса [25] и В. Хёфдинга [20]. Интерес к [/-статистикам обусловлен их универсальностью - обобщая суммы независимых случайных величин, они представляют собой многие вероятностные объекты математической статистики (подробнее см. в [Ю]).

В силу разложения Хёфдинга любую (/-статистику, не являющуюся вырожденной, можно представить в виде суммы главной части, и следующих по порядку членов - уже канонических статистик. При этом главная часть может быть исследована в рамках классической теории суммирования случайных величин, а распределения следующих членов могут представлять собой функционалы от конечно- и бесконечномерных гауссовских векторов, распределения многократных стохастических интегралов и др.

Если распределение Х\ не имеет атомов, то, доопределив ядро нулём на всех диагональных подпространствах, можно свести [/-статистику к статистике Мизеса. Кроме этого, [/-статистику размерности d всегда можно представить в виде некоторого полинома от У-статистик размерности не выше d. Это представление является ключевым при исследовании предельных распределений [/-статистик.

С помощью разложения ядра статистики по базисным функциям в ряд вида td)= J2 fh.^eM.-.e^ta) (10) исследование предельного распределения канонической U-статистики второго порядка можно свести к многомерной ЦПТ. Этот метод использовался, в частности, в работах [3, 23]. При d = 2 в ряде работ также использовалось представление г где Aj - собственные числа интегрального оператора с симметричным ядром /. Ещё в классической работе Р. Мизеса [25] таким образом было доказано, что предельное распределение [/-статистик, построенных по независимым наблюдениям, имеет вид оо к=1 где {т^} - гауссовская последовательность случайных величин. Для статистик произвольной размерности результат был получен в [23], в работе [3] рассматривались слабо зависимые наблюдения с условиями перемешивания.

В ряде работ использовался и другой подход к исследованию У-статистик - через их интегральное представление (см. [2,10,12,17]). В частности, в [2] получено представление предельного распределения канонических статистик Мизеса при минимальных требованиях на ядро / для наблюдений с -^-перемешиванием.

В настоящей работе исследуются статистики произвольной размерности, построенные по скользящим средним, порождённым последовательностью с условием а-перемешивания. Кроме этого, в случае независимых порождающих величин {£.,-} для статистик размерности два применены недавние результаты из работы [15] и существенно ослаблены требования на ядро /(£ь£г) и распределение £о.

Как и в работах [3,23] при исследовании статистик используется сведение к многомерной ЦПТ с помощью разложения вида (10). Как было отмечено, даже в случае независимых порождающих, скользящие средние могут представлять собой сильно зависимые величины для которых, в частности, не выполняются условия перемешивания, рассматриваемые в [3]. В связи с этим, ряд необходимых утверждений был перенесён на скользящие средние - это конечномерная ЦПТ, закон больших чисел и неравенства для моментов сумм.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем, лемм, предложений, замечаний и формул сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и латинскому. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4], [11]. Они докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика А. А. Боровкова, а также на нескольких международных конференциях.

1. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977.

2. Борисов И. С., Быстрое А. А. Предельные теоремы для канонических статистик Мизеса, построенных по зависимым наблюдениям. — Сиб. матем. жур., 2006, т. 47, № 6, с. 1205-1217.

3. Борисов И. С., Володъко Н. В. Ортогональные ряды и предельные теоремы для канонических U- и V^-статистик от стационарно связанных наблюдений. — Матем. Труды, 2008, т. 11, № 1, с. 25-48.

4. Борисов И. С., Сидоров Д. И. Предельные теоремы для аддитивных статистик, построенных по выборкам скользящих средних. — Матем. Труды, 2010, т. 13, № 2, с. 3-24.

5. Городецкий В. В. О свойстве сильного перемешивания для линейно порождённых последовательностей. — Теор. вер. и её примен., 1977, т. 22, № 2, с. 421-423.

6. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М., 1965.

7. Ибрагимов И. А., Розанов Ю. А. Гауссовские случайные процессы. М., Наука, 1970.

8. Колмогоров А. Н., Розанов Ю. А. Об условиях сильного перемешивания гаус-совского стационарного процесса. — Теор. вер. и её примен., 1960, т. 5, № 2, с. 222-227.

9. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1968.

10. Королюк В. С., Боровских Ю. В. Теория {/-статистик. Киев: Наукова Думка, 1989.

11. Сидоров Д. И. Об условиях перемешивания последовательностей скользящих средних. — Теор. вер. и её примен., 2009, т. 54, № 2, с. 374-382.

12. Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и её статистические применения — Теор. вер. и её примен., 1962, т. 7, № 1, с. 26-60.

13. Andrews D. W. К. Non-strong mixing autoregressive processes. — J. Appl. Prob., 1984, v. 21, N 4, p. 930-934.

14. Chanda К. C. Strong mixing properties of linear stochastic processes. — J. Appl. Prob., 1974, v. 11, N 2, p. 401-408.

15. Dedecker, J.; Merlevede, F.; Volny, D. On the Weak Invariance Principle for Non-Adapted Sequences under Projective Criteria — J. Theor. Probab., 2007, v. 20, p. 971-1004.

16. Doukhan, P. Mixing: Properties and Examples. Lecture Notes in Statistics, Springer, Berlin, 1994, v. 85.

17. Dynkin E. В., Mandelbaum A. Symmetric statistics, Poisson point processes and multiple Wiener integrals — Ann. Statist., 1983, v. 11, N 3, p. 739-745.

18. Hall P., Heyde С. C. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press, 1980.

19. Ho, H. C., Hsing, T. Limit theorems for functionals of moving averages. — Ann. Probab., 1997. v. 25. N 4, p. 1636-1669

20. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution — Ann. Math. Statist. 1948, v. 19, p. 293-325.

21. Merlevede F., Peligrad, M., Utev S. Recent advances in invariance principles for stationary sequences. — Probability Surveys, 2006, v. 3, p. 1-36.

22. Rosenblatt, M. A central limit theorem and a strong mixing condition. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1956, v. 42, p. 43-47.

23. Rubin, H.; Vitale, R. Asymptotic distribution of symmetric statistics. Ann. Statist., 1980, v. 8, N 1, p. 165-170.

24. Wu, W. B. Central limit theorems for functionals of linear processes and their applications. — Statist. Sinica, 2002, v. 12, p. 635-649.

25. Von Mises R. On the asymptotic distribution of differentiable statistical functions — Ann. Math. Statist. 1947, v. 18, p. 309-348.