Исследование влияния зависимых помех на свойства рекуррентных робастных алгоритмов параметрического оценивания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

ТИХОНОВ Сергей Николаевич

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ЗАВИСИМЫХ ПОМЕХ НА СВОЙСТВА РЕКУРРЕНТНЫХ РОБАСТНЫХ АЛГОРИТМОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ОЦЕНИВАНИЯ

Специальность 01.01.11 Системный аналпо и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата фиопко-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Институте проблем управления Российской Академии Наук.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор А. С. ПОЗНЯК

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Н. А. БОБЫЛЕВ, кандидат физико-математических наук, доцент И. П. ДЕВЯТЕРИКОВ

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита состоится " " 1993 г. в час. на заседании

специализированного совета Д002.68.03 Института проблем управления (117806, Москва, ул. Профсоюзная, д. 65).

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке ИПУ. Автореферат разослан " " 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат технических наук

С. А. ВЛАСОВ

Общая характеристика работы

Актуальность тематики

В последнее время в задачах адаптивного управления и обработки сигналов все чаще используются различные методы идентификации. Наиболее привлекательными в этом плане выглядят рекуррентные алгоритмы идентификации, так как они способны при ограниченной памяти обрабатывать неограниченное количество информации, обеспечивая при этом состоятельные, асимптотически оптимальные оценки.

Широкое использование таких алгоритмов делает необходимым тщательное поучение их свойств при различных предположениях о природе объекта подлежащего идентификации. Наиболее важными свойствами алгоритма являются:

• состоятельность алгоритма;

• скорость сходимости оценок к истинным значениям;

• устойчивость алгоритма по отношению к неточности априорной информации.

В диссертации, главным образом, рассматриваются первые два по этих свойств.

Для объекта идентификации традиционным предположением является его линейность. Более того, предполагается, что передаточные функции "вход - выход" и "помеха - выход" есть дробно - рациональные выражения известного порядка. Такое упрощение позволяем переформулировать задачу в эквивалентную постановку, где класс идентифицируемых объектов ограничен объектами вида Рх\РСС (регрессионно - авторегрессионные с помехой типа скользящего среднего).

Алгоритмы идентификации PAP - объектов (независимые помехи) в настоящий момент изучены достаточно хорошо. Для этого случая известны оптимальные алгоритмы (т.е. достигающие информационных границ) в условиях помех, имеющих нормальное распределение, и асимптотически оптимальные алгоритмы, для других типов помех. В случае нормального распределения номех, оптимальные алгоритмы имеют линейный вид, а в случае других распределений нео бходпмым условием

оптимальности является использование в алгоритме нелинейного преобразования невязки.

Известно, что использование таких алгоритмов в условиях зависимых помех (РАРСС) приводит к смещенным оценкам параметров. Для того, чтобы избежать смещения, необходимо оценивать также параметры цветности помехи. Исследование алгоритмов такого типа ранее проводилось только для линейных алгоритмов, т.е. для алгоритмов без нелинейного преобразования невязки.

В случае негауссовских помех, когда линейные алгоритмы не достигают информационных границ, неоднократно предлагались алгоритмы с нелинейным преобразованием невязки, однако точные результаты по этому поводу отсутствовали. Практическое же использование нелинейных алгоритмов показало, что иногда выбор "правильного" нелинейного преобразования, т.е. такого, которое может обеспечить достижение информационных границ, приводит к неустойчивости алгоритма.

При постановке численных экспериментов бывает сложно определить чем вызвана такая неустойчивость: структурой алгоритма или особенностями вычислительной техники. От ответа на этот вопрос зависит способ решения проблемы. Кроме того знание свойств нелинейных алгоритмов идентификации в условиях зависимых помех позволяет выбирать для решения конкретных задач наиболее простые алгоритмы, практически без потери качества оценивания.

Все сказанное выше дает основание считать актуальным исследование свойств нелинейных алгоритмов идентификации в условиях зависимых помех.

Цепь работы

Целью данной работы является:

• установить основные свойства объекта идентификации при некоторых упрощающих предположениях о его структуре и свойствах входных последовательностей;

• найти достаточные условия состоятельности рекуррентных нелинейных алгоритмов идентификации, т. е. в дополнение к условиям состоятельности линейных алгоритмов найти класс допусти-

мых нелинейных преобразований невязки, для которого сохраняется условие состоятельности соответствующего алгоритма;

• выяснить влияние нелинейного преобразования невязки на асимптотические свойства вектора ошибки оцениваемых параметров, т.е. на скорость сходимости алгоритма;

• предложить новую структуру алгоритма идентификации, позволяющую существенно расширить класс допустимых нелинейных преобразований невязки.

Общая методика

При решении поставленных в работе задач использовался аппарат теории мартингалов, элементы теории марковских процессов, метод функций Ляпунова, общие методы теории вероятностей.

Научная новизна

1. Докапана сильная состоятельность нелинейных рекуррентных алгоритмов идентификации в условиях зависимых помех.

2. Предложено расширение понятия пассивности операторов на нелинейный случай и указаны классы нелинейных преобразований, сохраняющие это свойство.

3. Изучено влияние нелинехшого преобразования невязки на асимптотические свойства алгоритмов идентификации, показана асимптотическая нормальность вектора нормированных уклонений.

4. Предложено обобщение понятия "усреднения", позволяющее сохранить многие асимптотические свойства обычного усреднения оценок, и дающее возможность улучшать их на начальном этапе работы алгоритма.

5. Предложен новый алгоритм идентификации (модификация МНК) для случая независимых помех, позволяющий существенно расширить класс допустимых нелинейных преобразований невязки.

Практическая ценность

Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что:

1. Разработан новый аппарат для исследования нелинейных алгоритмов идентификации, дающий возможность одновременно изучать нелинейность и зависимые помехи.

2. Обобщение понятия усреднения позволяет лучше понять природу этого процесса и ускорить сходимость алгоритма на начальном участке его работы.

3. Существенное расширение класса нелинейных преобразований за счет новой формы алгоритма (в случае PAP объекта) позволяет включить в рассмотрение случай распределения помех с "тяжелыми хвостами", при которых обычные алгоритмы становятся несостоятельными.

Реализация результатов

Результаты диссертации использованы в работах по теме № 14-86 / 7 "Разработка оптимальных адаптивных алгоритмов управления в условиях неопределенности", № гос. регистрации: 01.86.0101783 и теме № 12688/7 "Разработка теории и методов адаптивного управления статическими и динамическими объектами", № гос. регистрации: 01.88.0077278.

Аппробация результатов работы

Основные результаты диссертации были доложены на 5-ом Ленинградском симпозиуме по теории адаптивных систем (1991 г.) и на Втором международном симпозиуме по неявным и робастпым системам в Варшаве (1991 г.) Основные положения работы обсуждались также на научных семинарах Института проблем управления.

Публикации

По теме диссертации автором опубликованы восемь научных работ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, и списка литературы, содержащего 49 названий. Общий объем работы 140 страниц.

Содержание работы Введеппе

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определены цель и задачи исследования, приведено краткое содержание работы, изложены основные результаты.

Первая глава

В первой главе изучены свойства РАРСС объектов, описываемых линейным разностным уравнением вида

пд пп nD

Уп = - ]£ аШп-к + bkUn-k + Y1 ¿Un-k + £n, к= i h= i к= i

которое также может быть переписало в векторной форме

t/n=cTZn + £n, (1)

Здесь использованы обозначения:

сТ= [öi, ...,anA;bi,... ,Ьпд\¿i,...,

и

= (—Уп-г, ■ —yn-nA',Un-i,... ,Un-nB]in-i, ■ •. .fw-iioj.

Для простоты изложения входные и выходные последовательности будем считать скалярами.

При последующем изложении будет удобно ссылаться на операторную форму представления объекта (1).

п — B(q)un + D(q)£n,

где ^ ^

А(д) 4 1 + |>И*.

Это

а оператор запаздывания д действует по правилу <^ип = и^к-

Для изучения свойств объекта будем также пользоваться уравнением движения вектора хп

®пц = Яхп + (п

где <2 — блочная матрица, определяемая полиномами А(д), В(д) и £>(д), а последовательность независимых, одинаково распределенных случайных векторов (п строится из последовательностей ип и

Традиционными требованиями, предъявляемыми к объекту и к входным последовательностям являются условия устойчивости, идентифицируемости и достаточного разнообразия входов. В диссертации показано, что для выполнения этих условий достаточно потребовать выполнения следующих предположений:

А1. (предположения о параметрах)

Полиномы А(ц), В (у) иД(д) не имеют общих корней.

Полином А{3) устойчив, т. е. все корни этого полинома лежат вне единичной окружности.

А2. (предположения о входах)

Последовательность {«п} является последовательностью независимых, одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним, конечным четвертым и отличным от нуля вторым моментами.

АЗ. (предположения о помехах)

Последовательность {£п} является последовательностью независимых, одинаково распределенных случайных величин с нулевым средним, конечным четвертым и отличным от нуля вторым моментами.

Условие достаточного разнообразия входов записывается в данном случае в виде

Доказательство этого факта существенно опирается па свойства марковских процессов. А именно, на тот факт, что если последовательность {яп} образует марковскую цепь, у которой существует предельное распределение, то при некоторых ограничениях на функцию <?(■, ■) и ограниченности параметра в справедливо разложение

где Т — переходный оператор процесса {г;™}, а свойства функций А(-) и и(•) зависят от свойств функции д(-, •).

Кроме того, в диссертации показано, что в силу линейности объекта для него выполняется свойство сохранения моментов, т. е. справедлива следующая лемма

Лемма 1 (о сохранении моментов) Пусть последовательности {«п} и {$71} имеют ограниченный момент степени р > I, и выполнено условие А1. Тогда пос.1едователыюстъ векторов {Хп} м последовательность выходов {з/п} также имеют ограниченный момент степени

На эту лемму и предыдущее утверждение опирается доказательство достаточности условий А1 - АЗ для выполнения требований устойчивости, идентифицируемости и достаточного разнообразия входов, предъявляемых к объекту и входным последовательностям.

Кроме этого в данной главе обсуждается вопрос об информационных границах.

Определение 1 Матрица

п

Р - п.н..

д{в,хп)-к{в) = {1-Т)и(хп),

,т

называется информационной матрицей Фпшера.

Определение 2 Наблюдения называются регулярными, если для них

О < Ер< оо

с учетом этого обозначения для регулярных оценок, т.е. оценок постро-еных по регулярным набпюденям

Таким образом справедлива следующая лемма

Лемма 2 (об информационной границе) Для любых несмещенных регулярных оценок справедливо неравенство

Е(с-с)(с-с)Т> E¿}. (2)

Определение 3 Неравенство (2) называется неравенством Крамера -Pao.

Вторая глава

Вторая глава посвящена поиску достаточных условий сильной состоятельности алгоритма.

Сформулируем задачу идентификации. Пусть на вероятностном пространстве (П,^*, Р) определена последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин {£п}л>о с нулевым средним, ограниченным четвертым и отличным от нуля вторым моментами. Пусть также последовательность {«п}л>о определена на том же вероятностном пространстве и удовлетворяет тем же ограничениям. Определим поток <т-алгебр J-n следующим образом:

Fn — f(ttn, • • • i Щ>] • ■ •, ío)-

Рассмотрим РАРСС объект для которого выполняются предположения Al - АЗ.

Па n0 п0

Уп= ~Yj akVr^k + Yj bkTln-k + £ d¡4n^k + £n- (3)

k=i h=i k=i

Требуется найти условия сильной состоятельности рекуррентных алгоритмов идентификации данного объекта.

Все известные к настоящему времени рекуррентные алгоритмы идентификации можно разделить на четыре основные группы по следующим признакам:

в выбор коэффициента усиления (шага) алгоритма (матричный пли скалярный);

в выбор направления движения (градиент или псевдоградиент).

В данной главе рассматриваются алгоритмы использующие псевдоградиент ¿п. (оценку вектора хп), т.е. алгоритмы вида

( сп= + ГтгХпР&п)}

^ £71 = Уп

где

• Т Д г 1

£тг = I-• • •, —Уп^пд!и-п*. 11- • ■ £п-1, • • • >

В линейном случае одним из условий теорем о состоятельности является требование пассивности оператора 0(<7). Для нелинейного случая в диссертации вводится понятие согласованности нелинейного преобразования и оператора и находятся достаточные условия такой согласованности.

Теорема 1 Для того, чтобы нелинейное преобразование ф(-) было согласовано с оператором достаточно, чтобы выполнялось одно из условий

® функция ■ф(-) принадлежит (а,/3)-сектору, пассивный оператор //(<?) представляется в виде полинома и

а Ад - А0 0 > А! + А0

в функция — монотонно неубывающая нечетная функция, принадлежащая (а, (З)-сектору, Д(д) — пассивный оператор и

а А1 — А0 ¡3 > Ад + Ао

в функция — монотонно неубывающая нечетная функция и -

2Я(0) > А!

Перейдем к рассмотрению собственно вопроса о состоятельности.

Пусть рекуррентный алгоритм идентификации РАРСС объекта (3) использует псевдоградиент и скалярный коэффициент усиления, а именно

Сп = та + 7п¿п<р(еп)) ^

£п — Уп~

Ограниченная замкнутая выпуклая область С?, на которую осуществляется проектирование, выбирается таким образом, что вектор истинных параметров содержится в области (7 и для любого вектора с 6 С полипом £>(с, д), построенный из соответствующей части вектора с, устойчив.

Теорема 2 Если идентификация РАРСС объекта осуществляется в соответствии с алгоритмом (4), и выпонены условия

А1) 1к> 7^1 > О,

Л2) Е7М2<оо, Ео

АЗ) 1л£Рп||4 < °°>

к= о

А4) Существует функция А5) Существует функция

Аб) Функция ~ф(-) согласована с оператором тогда с вероятностью единица

pi) £ч*40(4) < fc=1

P2) \\cn-c\\ -+v* < 00,

P3) llcn-cn-ill-^0.

Дополнительные предположения об алгоритме и нелинейном преобразовании позволяют сфор.мулировать более сильное утверждение.

Теорема 3 Пусть выполнены условия теоремы 2, и кроме того выполнены предположения

А7) функция иф(и) четная и выпуклая, é(u) ^ 0 при и ф О,

А8) функция ф(и) дважды дифференцируема и имеет ограниченную вторую производную,

А9) сходится ряд

оо

Хл% <

As= 1

AîO) шаг алгоритма убывает не слишком быстро: Ik-Ihn < K{w){\ + ||£;,Ü2)7№i All) расходится ряд

oo

Y, Ik = CO fc=l

Тогда, алгоритм 4 состоятелен с вероятностью единица.

Условля теорем 2 и 3 проверяются для алгоритмов стохастической аппроксимации н стохастического градиента (Гудвина). Для нелинейного расширенного МНК формулируется аналогичная теорема о состоятельности.

Третья глава

Одним из общих свойств, присущих рекуррентным алгоритмам идентификации является то, что начиная с некоторого, конечного с вероятностью единица, момента времени вектор уклонения оценки от истинного значения параметра удовлетворяет уравнению

ДгЬ-1 + ТпСп) (5)

где матрица V — гурвицева, а для скалярной последовательности {7™} выполнены условия

во

7п>0, ^11^7« = О, ^7П= оо. (6)

Символ £>(•) означает, что || ■ || = о(1), а сама переменная имеет соответствующую размерность (в каждом случае разную). В силу линейности уравнения (5) вектор £п может быть разложен на сумму основного вектора и достаточно быстро убывающего остаточного члена рп- Критерием достаточной быстроты убывания остаточного члена рп является условие, что вектор ёп, порождаемый уравнением

¿п = (I + 7г№ + о(7п)) $л-1 + 7п/>п, таков, что _

Как уже упоминалось, в наиболее общей форме асимптотический вид состоятельного алгоритма идентификации может быть представлен следующим образом

ста = сп-х + Г пг^(еп). (7)

Соответственно для нормированной ошибки оценивания

У^Дп = (7 + ^ + 0 ) + «Гп-^Ы. (8)

Сформулируем теорему об асимптотической нормальности алгоритма

(7).

Теорема 4 Пусть для алгоритма (7) выполнены следующие условия

1) последовательность {еп} — невязка алгоритма, т.е. строится по правилу еп = уп — с^.1хп, = гп— (п, величины {Гп} и {гп} являются Тп измеримыми;

2) у последовательностей {гп} и {гп} существует равномерно ограниченный момент степени выше, чем 2/к для некоторого к £

(о,|);

3)

4) Последовательность {пГп} имеет предел Г, причем

пК\\пГп-Г\\^

1 п

5) -il'Vl^Z-,

П jfcl TUCO

6) последовательность определяется из уравнения D(q)vn = хп,

и

1 п

- Y) Zkvl R;

7) матрица — ф (0)ГЛ — гурвицева;

8) существует нечетная функция ф(х) = Е<р(х +

9) < ß\x\ и Е\ф + 6) - ¥>(6)1* < Кхг.

Тогда вектор нормированных уклонений асимптотически нормален

л/п(сп — с) ~ jV*(0, V), где матрица V является решением уравнения

- ^'(0)Гя) v + v(¿l- ф'(0)ТЯ) Т + E<p*((i)Z = 0.

Проверив условия данной теоремы для алгоритма стохастической аппроксимации можно убедится, что для его асимптотической нормальности достаточно заменить в теореме 2, условие а5 па более сильное

\ф(х)| < /9|г|, Е\р(х + 6) - ^ К**>

и потребовать гурвицевости матрицы — ф'(0)Д, где

4=0 И=1

Особый интерес представляют алгоритмы идентификации с усреднением оценок. Если взять алгоритм стохастической аппроксимации с шагом более медленным, чем а затем усреднить оценки, то усредненные оценки будут лучше, чем у обычного алгоритма стохастической аппроксимации.

В диссертации предложено обобщение понятия усреднения, позволяющее сохранить свойство улучшения оценок. Под обобщенным средним последовательности ип понимается выход уравнения

хп = (1 - ап)®п-1 + а-Фп, п>п0 (9)

при некоторых ограничениях на последовательность ап£ Л1.

Улучшение оценок понимается в смысле неравенства для нормированных ковариационных матриц ошибки оценивания. То, что такое неравенство всегда имеет место утверждает следующая лемма

Лемма 3 Для решения 2 уравнения Ляпунова

+ + в = о (ю)

справедлива оценка

г > сг^сг)-1

если 5 > 0, а — 17^ — гурвицева.

Рассмотрим (без доказательства) выражения для ковариационной матрицы различных алгоритмов. Ковариационная матрица для этих алгоритмов является решением уравнения Ляпунова (10) со следующими коэффициентами

Алгоритм стохастической аппроксимации

и = 1&'(0)Я, 5 = Е<р'(Ь)Х

Алгоритм стохастического градиента (ГУдвина)

и = ф'(0)(Ьт Х)~г Я, 5 = Х)~2Х

Расширенный метод наименьших квадратов

и = ф\0)Х~111, 5 = ЕуЧЫХ-1 Стохастической аппроксимации с полным градиентом и = 5 = Е<р'(Ь)У

Гудвина с полным градиентом

и = V)"1 V, в = Я Vя г У)~гУ

Рекуррентный алгоритм максимального правдоподобия

и = ^'(0)/, 5 = ЕуЧЫУ-1

Следует заметить, что асимптотически оптимальными здесь являются только оценки метода максимального правдоподобия и усредненные алгоритмы с полным градиентом, причем только в том случае, если нелинейное преобразование выбирается по формуле

Четвертая глава

В случае независимых помех подлежащий идентификации объект описывается разно стным уравнением

Уп + Ути + ... + апЛ уп-пА =

1 + ■ • • + Ьцд Щъ-Пц + 6

или в векторной форме

Уп — стгп+

Независимость помех приводит к тому, что оценка вектора наблюдений хп совпадает с его истинным значением хп

Для получения асимптотически оптимальные оценок вектора параметров с традиционно предлагается нелинейный метод наименьших квадратов. Однако, теорема о состоятельности нелинейного МНК, сильно ограничивает класс нелинейных преобразований, а следовательно возможность получения оптимальных оценок при некоторых типах помех.

Практическое использование нелинейного МНК в случае помех с "тяжелыми хвостами" с соответствующей "оптимальной" нелинейностью показывает, что алгоритм состоятелен с вероятностью меньше единицы.

В данной главе предлагается модификация нелинейного МНК лишенная этого недостатка, и доказывается сильная состоятельность для более широкого класса нелинейностей, чем для традиционной формы алгоритма.

7Гп{-} — оператор проектирования на заданное выпуклое ограниченное множество £7 (содержащее вектор истинных параметров с), который действует по правилу

Пусть последовательность шагов Гп алгоритма (12), строится в соответствии со следующим правилом:

Сп = 1гп{сть_1 + Гпгп ,

__Т

£п — Уп ^П-12 71)

(12)

Ис}-с'||*<||с-с'||* Усеа, ||*|М Яп^г-1

п

;-1

£=1

71 ',>0;

(13)

Пусть выполнены предположения о входных воздействиях, помехах и об объекте, сделанные в первой главе.

Теорема 5 (о сильной состоятельности). Пусть для алгоритма (12), (13) выполнены следующие предположения о нелинейных преобразованиях.

1. Акселерирующая функция неотрицательна, т.е. f(z) > О Vz.

2. Существует осредненная функция ф(г) = E{<p(z + £71)}•

3. Существует симметричная осредненная функция

О < Е{f(z + £п)} = ф(г) < (£(0) < оо Vz, монотонно невозраста-ющая на положительной полуоси.

4■ Для любого т > 0 существует невырожденный нижний предел

lim Е\хга£МтЫ)\ > 0.

71—ЮО

5. Для всех z и некоторых ko,ki G (0,00) выполнено неравенство E{<p2(z + in)} < kQ + kizj,{z).

rs(z) = (2 — 8)гф{г) — ггф(г) > 0 или в эквивалентной форме

6. Для всех г ф 0 и некоторого 5 (Е (0,2) выполнено неравенство

I > 0 1

при х ф 0,

ф{х)< ^

2^'(0) при х — 0.

Тогда с вероятностью 1 последовательность {¿п} оценок, порождаемых алгоритмом (12), (13), сходится к истинному значению вектора параметров с, т.е.

П.И.

Сп--► с

п-юо

Теорема 6 (об асимптотической нормальности). Пусть для процесса (12) выполнены предположения теоремы 1. Тогда вектор у/п(сп— с) нормированных уклонений асимптотически нормален, т.е.

уД(сп-с)~Щ0,У), (14)

с матрицей ковариации V, которая определяется формулой

у = ,15ч

ф(0)[2ф-(0)-ф(0)]Л ■ ^

Матрица ковариации (15) нормированного вектора уклонений фактически является характеристикой "скорости" сходимости рассматриваемого алгоритма (12), (13).

Теорема 7 (об оптимальных нелинейностях). В условиях теоремы 2 справедливы матричные неравенства

= . (16) причем оба матричнглх равенства в (16) достигаются при

<р(£п) = <р"(£п) =

(17)

и /(еп) = /*(еп), такой, что

Е{ПЫ)} = Ф{ 0) = (18)

Следствие 1. Наивысшая скорость сходимости рассматриваемых аксе-перантных алгоритмов достигается при оптимальном выборе нелиней-ностей, обеспечивающем выполнение равенства

ЩЛ(п)} = Ф'( 0) = ф(0) = 1г. (19)

Следствие 2. Оптимальная акселерирующая функция /* может быть выбрана в виде симметричного прямоугольника шириной 2а и высотой Ь, которые связаны между собой соотношением

=|/ «и*»!

ХР (20)

при любых а, удовлетворяющих неравенству

а-я

1р / Р^Н ¿V +оо

—а-я

-<

2

— <

а

—со

-а

Гл Уг (21)

Пятая глава

В пятой главе приводятся результаты численного моделирования, иллюстрирующие полученные в диссертации результаты.

Заключение

В диссертации рассматривались только рекуррентные алгоритмы идентификации, так как они способны обрабатывать неограниченное количество информации и экономно использовать вычислительные ресурсы.

Найдены достаточные условия сильной состоятельности алгоритмов со скалярным коэффициентом усиления и расширенного метода наименьших квадратов. Следует отметить, что нелинейность алгоритма и зависимость помех одновременно рассматривается впервые.

Для того, чтобы обеспечить сильную состоятельность нелинейного алгоритма идентификации необходимо согласовывать выбор нелинейного преобразования с оператором цветности помехи. В диссертации получены достаточные условия такой согласованности.

Найдены достаточные условия того, что вектор нормированных уклонений асимптотически стремится по распределению к нормальному процессу (более слабые, чем известные ранее). На примере алгоритма стохастической аппроксимации показано, что эти условия практически совпадают с достаточными условиями его сильной состоятельности.

Особый класс алгоритмов составляют алгоритмы с усреднением. Найдено обобщение понятия усреднения оценок, позволяющее сохранить многие свойства обычного усреднения.

Традиционный выбор нелинейных преобразований невязки и акселе-рирующих функций в рекуррентных алгоритмах идентификации осуществлялся в предположении, что они сходятся с вероятностью 1. Однако, такой выбор структуры алгоритма часто вступает в противоречие с условиями сильной состоятельности соответствующих оценок. В диссертации предложена новая форма нелинейного МНК, позволяющая существенно расширить класс допустимых нелинейных преобразований невязки и устранить это противоречие посредством правильного выбора акселерпрующей нелинейной функции. При этом сохраняются свойства сильной состоятельности и асимптотической оптимальности рассмотренных рекуррентных процедур.

Публикации по теме диссертации

1. Позняк А. С., Тихонов С. Н. Сильная состоятельность рекуррентных нелинейных алгоритмов оценивания параметров линейных разностных уравнении// Автоматика и телемеханика. —1990. —N6.

— с. 90 - 101.

2. Пооняк А. С., Тихонов С. Н. Сильная состоятельность расширенного метода наименьших квадратов с нелинейным преобразованием невязки // Автоматика и телемеханика. — 1990. — N 8. — с. 119

- 128.

3. Пооняк А. С., Тихонов С. Н. О расширении класса нелинейных преобразований невязки в рекуррентных алгоритмах параметрического оценивания // Автоматика и телемеханика. — 1990. — N 10. — с. 135 - 141.

4. Пооняк А. С., Тихонов С. Н. Об асимптотической нормальности и скорости сходимости рекуррентных стохастических процедур с нелинейным преобразованием невязки // Автоматика и телемеханика. — 1992. — N 8. — с. 103 - 111.

5. Тихонов С. Н. Влияние нелинейного преобразования невязки на свойства алгоритмов идентификации. Тезисы // 5-й Ленинградский симпозиум по теории адаптивных систем. Ленинград. — 1991. — ч. 1 — с. 121 - 122.

6. Цыпкин Я. 3. Поэняк А. С., Тихонов С. Н. Оптимальные методы адаптивной идентификации // Итоги науки и техники. Серия Техническая кибернетика. М.:ВИНИТИ. — 1990. — т.29. — с. 3 -44.

7. S. N. Tikhonov, A. S. Poznyak Influence of Nonlinear Residue Transformation on Properties of Identification Algorithms // Proceedings of the Second International Symposium on Implist and Robust Systems. Warsaw. Poland. — 1991, pp. 181 - 186.

8. Платонов А. А. Пооняк А. С. Тихонов С. H. Шабатин Е. Анализ обобщенных акселерантных алгоритмов идентификации // Автоматика и телемеханика. — 1993. — N 2.