Частотные критерии робастной устойчивости, неустойчивости и автоколебательности нелинейных систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ УПРАВЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

на правах рукописи

КЕРБЕЛЕВ Андрей Михайлович

ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ, НЕУСТОЙЧИВОСТИ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

01.01.11 - системный анализ и автоматическое управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Институте проблем управлеши Российской Академии Наук

Научный руководитель -академик РАН Я. 3. Цыгааш

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Н. А. Бобылев доктор физико-математических наук, профессор В. Б. Колмановский

Ведущая организация - Институт системного анализа РАН.

Защита состоится " 1 " июня 1995 г. в 7500 часов на заседании диссертационного совета Д002.68.03 Института проблем управления по адресу: 117806, Москва, ул. Профсоюзная, д.65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПУ.

Автореферат разослан" " 1995 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук С. А. Власов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Актуа.тыюсть тем.тп 1ки: К настоящему времени существенное развитие получила теория робастной устойчивости .пшенных систем управления, определяющая необходимые и достаточные условия устойчивости при изменениях параметров и характеристик систем в определенных пределах. Начало этой теории было положено известной теоремой Харитонова дтя параметрического с.тучая и теоремой о малом коэффициенте усиления дтя непараметрнческого случая. Что же касается задачи робастной устойчивости нелинейных систем, то она возникла по-существу еще в 40-е годы в известных работах А. И. Лурье под названием абсолютной устойчивости. В рамках этой задачи рассматривалась нелинейная система, в которой характеристика нелинейного элемента принадлежала некоторому множеству, а линейная часть была фиксирована.

Одним из важных разделов современной теории робастной устойчивости является устойчивость нелинейных систем типа Лурье, в которых параметры и характеристики линейной части не фиксированы, а принадлежат заданным множествам. Задача робастной устойчивости нелинейных систем тесно связана с проблемой положительной вещественности. К этому направлению относится сравнительно небольшое число работ.

В последние 3-4 года в литературе сформировалось убеждение, что устойчивость вершинных систем необходима и достаточна для устойчивости всех систем семейства. К сожалению, большинство доказательств этого утверждения ошибочны, а известные корректные доказательства относятся к случаю, когда разомкнутая линейная часть устойчива, а нелинейность заключена в секторе 5[0,£].

Что касается нелинейных систем, все известные условия устойчивости являются достаточными, поэтому задача неустойчивости также приобретает большую актуальность, поскольку позволяет оценить степень близости достаточных условий устойчивости к необходимым и достаточным.

Исследование автоколебаний в нелинейных системах важно в связи с тем, что они не просто характерны для нелинейных систем, но часто являются их рабочим режимом.

Привлекательность именно частотных методов исследования обусловлена с одной стороны развитием компьютеризации и численных методов исследования, с другой стороны их наглядностью, практической направленностью и общностью.

Все сказанное выше позволяет утверждать, что исследование робастной устойчивости, неустойчивости и автоколебательности весьма актуально.

Цель данной работы состоит в разработке метода исследования робастной устойчивости, неустойчивости и автоколебательности нелинейных систем и установлении частотных круговых критериев робастности.

Методы исследования. Основные результаты диссертации полнены на основе методов теории устойчивости с использованием аппарата функций Ляпунова, матричной алгебры, теорш! функций комплексного переменного, стандартных методов математического анализа.

Научная новизна

1. Приведены более удобные по форме круговые критерии абсолютной устойчивости, неустойчивости и автоколебательности.

2. Введен принцип исключения круга в качестве общего условия робастности.

3. Получены круговые критерии робастной устойчивости, неустойчивости и автоколебательности для систем с непараметрической неопределенностью.

4. Выявлены ошибочные утверждения и доказательства, касающиеся робастной устойчивости нелинейных систем при параметрической неопределенности -линейной части. Для этой задачи предложен новый подход, критерии робастности и алгоритм построения характеристической частотной кривой, по поведению которой можно судить о робастной устойчивости, неустойчивости и автоколебательности.

Практическая ценность Полученные критерии удобны для реализации на ЭВМ и могут быть использованы для анализа робастной устойчивости, неустойчивости и автоколебательности систем управления.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Робастное и адаптивное управление" Институ та проблем управления и на международной конференции IEEE SMC'93, Le Touquet (Франция).

Структура диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 75 названий. Изложена на 102 страницах машинописного текста.

В первой главе приводится omicainie исследу емых систем, их структура и уравнения, вводятся типы неопределенности линейной части: непараметрическая и параметрическая, - и нелинейного элемента, приводится обзор литературы по круговым критериям и робастной тематике.

Рассматривается система типа Лурье, описываемая системой уравнений

i=Ax+bи

u=<p(yj) (1)

у--с'х,

где х - n-мерный вектор состояния, А , b и с - матрицы размерностей

лх л, л х 1, пк 1, соответственно,

■ т// Ч ,, - .4-1. N(s) л0+ /7,5+ ... + nkSk ,

rr (s) = с (5i — А) » = -—— = —;--j—r- передаточная функция

D(s) d0+d}s + ..,+djS'

линейной части. Рассматриваются два типа неопределенности линейной части - непараметрическая:

\ôa W(jco)\<Pa(co), (2)

и параметрическая:

; djt^dj^ (3)

Нелинейный элемент в задаче об устойчивости и неустойчивости предполагается принадлежащим сектору:

к<<р(у)/у<к, (4)

а в задаче об автоколебательное™ - трисектору:

i5f.fr,, 1,1,при У <р(у,1)е\ - * 1 ' Х (5)

[5^,А,],при уе[-с1,е2|

где -с, < -с2 <с2<с1

Каждому сектору 5^,1] ставится в соответствие кр\г £{к,к] с центром -к~х '-i-.frрадиуса - к

Известные к настоящему времени частотные критерии устойчивости1 неустойчивости3 и автоколебательности4 рассматриваемых систем используют частотную характеристику разомкнутой линейной части, и могут быть названы критериями типа Найквиста. Предлагаемые в диссертации критерии используют частотный годограф характеристического полинома замкнутой системы. Их формулировки не зависят от числа неустойчивых полюсов передаточной функции разомкнутой линейной части.

Влияние помех на робастную устойчивость исследовано хтя линейных систем вида

А = (6)

Получены круговые частотные критерш1 устойчивости. Во второй главе рассматривается классическая система типа Лурье с фиксированной линейной частью и секторной нелинейной характеристикой (1,4). Вводится принцип исключения крута. Для задач абсолютной устойчивости, абсолютной неустойчивости и автоколебательности получены частотные критерии, формулировки которых не зависят от числа неустойчивых полюсов линейной части. Введем частотную кривую

1 Sandberg I.W. "A frequency domain condition for the stability of systems containing a single

time-vary ing nonlinear element'' Bell Sys. Tech. J., 1964, vol.43, pp. 1601-1638.

2 Tsypkin Ya.Z., Polyak B.T. "Robust absolute stability of continuous systems", in "Robustness of

Dynamic Systems with Parameter Uncertainties", Monte Verita, Birkhauser Yerlag, Basel. 1992, p.l 13-121.

3 Brockett R.W.. Lee H.B. "Frequency domain instability criteria for time-\ arving and nonlinear

systems" Proc. IEEE. 1967, No.5. p.604-619.

4 Якубович B.A. "Частотные условия автоколебании в нелинейных системах с одной

стационарной нелинейностью", Сибирский математический журнал. 1973. tom.XIY. №5, с.1100-1129

G(jco) =

N (joS)+k~x D(jcö) \D(jco)\

(7)

где -к 1

Новое достаточное условие абсолютной устойчивости формулируется в следующей теореме Теорема 2.1: Пусть

2) Д arg G(jco) = я п , где п - степень полинома D(s). Тогда

система (1) устойчива по Ляпунову. Если неравенство в 1) строгое, то имеет место асимптотическая устойчивость.

Если вместо равенства 2) выполняется неравенство А £?(_/«) < кп, то система неустойчива.

Кривая (7) названа модифицированным годографом Михайлова. Критерий устойчивости к неустойчивости: Если модифицированный годограф Михайлова (7) охватывает крут С(0, г) и обходит в положительном направлении п квадрантов при со е[0,эо), то система

устойчива, а если меньшее число квадрантов, то неустойчива.

Для решения вопроса об автоколебательности вводятся 2

модифицированных годографа Михайлова

Критерий автоколсбателыюсти: Если оба модифицированных годографа не пересекают крут , причем первый (У = 1) при а>е[0,эо)

обходит в положительном направлении п квадрантов, а второй меньшее число квадрантов, то система автоколебательна. В третьей главе рассматривается система, линейная часть которой содержит непараметр ическ^то неопределенность. Относительно передаточной функции IV(5) = предполагается, что

1°. Степень полинома £>($) выше степени полинома . 2°. Пошпюмы £>(«) и /У(5) не имеют общих ну лей.

где -к.'=-У2{кГх+кгх), г, = У2(к,-х-кГх).

, / = 1,2,

3°. Функция W(s) не имеет полюсов на мнимой оси Re[5]=0 и имеет р полюсов в правой полуплоскости Re[s]>0 (неустойчивых полюсов).

4°. Число неустойчивых полюсов одинаково для всех систем семейства. Приводятся различные формулировки частотных критериев робастной устойчивости, робастной неустойчивости и робастной автоколебательности.

Модифицированный годограф Михайлова в данном случае имеет вид

GÜO})-{ТйЩЩЩЩ' (8)

где -k->=-y2(T\k l), r=y2(l1-Tl)

Теорема 3.1: Пусть в условиях 1°-4° модифицированный годограф Михайлова (8) не пересекает круг С(0,1) и охватывает его в

положительном направлен™, причем A Тогда

— 7Г

система робастно устойчива. Если же Д argG(ja>)= —(л-2/) , где / -

ojgO;«) 2

целое, то - робастно неустойчива.

Введем два модифицированных годографа Михайлова

Критерий робастной автоколебательное™: Пусть первый модифицированный годограф МнхаГпова G^jcá) не пересекает и охватывает единичный круг С (0,1), проходя при этом рх - п квадрантов, а второй G2(jco) не пересекает этот круг и проходит Pi<n квадрантов. Тогда система робастно автоколебательна. В качестве обобщения соответствующие критерии приводятся для замкнутых систем с регулятором.

Условия робастной устойчивости линейной стохастической системы (6) определяются следующей теоремой.

Теорема 3.2: Линейная стохастическая система (6, 2) будет робастно устойчива, если ЗХг>0:

n 2 k-k

1) cr ; <-t—=-и

(0) + - p(co)da)

к 0

2) моднфицироватгая частотная характеристика W4jco) + k-x¡2

Им/й>) =-=ti--л /2 не пересекает и не охватывает круг

0(co) + k /2 ~

C{k'll2,\).

В четвертой главе изучена система, линейная часть которой содержит параметрическую неопределенность (3). Критически разобраны приводившиеся в литературе доказательства робастной устойчивости и приведены примеры, опровергающие возможную гипотезу о том, что для неустойчивости интервального семейства необходима и достаточна неустойчивость 16 вершинных систем, образованных различными комб1шациями полиномов Харитонова числителя и знаменателя. Вводится частотная характеристическая кривая и соответствующий принцип исключения круга. Доказываются новые критерии робастной устойчивости, неустойчивости и автоколебательности, позволяющие избежать необходимости проверки реберных передаточных функций. Принцип исключения крута, обычно записывается в виде неравенства

Re {kN(jco) + D(jco))l{kN{ja) + D(jco)) > 0, (9)

которое эквивалентно

где

индексы "е" и "о" обозначают соответственно четную и нечетную части полиномов. Неравенство (9) выполняется для всех систем семейства (1,3), если

ПШ1 (шс (со)+и (o^{kNr (oj)+и (ю)) + {к№ (а>)+ЕР (т))(к№ (со)+ЕР (ю)) > 0

Обозначим Fe(có) = (*Ne(a>) + Dc (co)){kNc(co) + De(a)), F° (со) = (к№(со) + D°(со)){к№(со) + D°(co)), и

(Ñ%De)=argminFc(N4co),D:(co)), (Á^,Z>°)=aigminF°(№(co),D°(aj)), Ñe + iÑ°

Неопределенность параметров определяет для функций /г<; и в плоскости зависимых переменных {N,0) прямоугольные области

значений.

Алгоритм поиска точек (/Vе,/5е) и (N",3°) определяется следующей леммой, которая позволяет заменить поиск условного минимума функций Р' и /г° на упомянутых прямоугольных областях поиском точек пересечения вертикальных (горизонтальных) ¡раниц области с прямой (11)

Лемма 4.1: Геометрическое место точек касания семейства гипербол (кх+у)(кх + у) = -а2 горизонтальными (вертикальными)

касательными является прямой, определяемой уравнением

Теорема 4.1: Частотное неравенство (9) выполняется для всех систем семейства (1),(3) тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

Отметим, что в формулировке теоремы 4.1 не делается никаких предположений относительно количества неустойчивых полюсов линейной части, поэтому частотная кривая (10) может использоваться для анализа как робастной устойчивости семейства (1,3), так и неустойчивости и автоколебательности.

Критерий робастной устойчивости и неустойчивости: Если годограф IV(¿0) при изменении «и от 0 до ос не пересекает крут и одна

из систем семейства устойчива (неустойчива), то все системы семейства устойчивы (неустойчивы).

Критерий робастной автоколебательности: Если годограф \¥(]со) при изменении со от 0 до оо не пересекает крута , и 0\кг, и

одна из систем семейства автоколебательна, то все системы семейства автоколебательны.

В работе также получены критерии робастности систем (1, 3) типа Михайлова, использующие характеристические кривые

(И)

Яе

1+к\Уиа)

>о.

Р° + ]Р° + к(№ + ]№) кЯ\5е + ]Ё>°\

Доказательство этих критериев основано на непрерывной зависимости величшпл \У(/«) от параметров (коэффициентов полиномов). Пятая глава посвящена обобщешпо критериев абсолютной5 и робастной устойчивости и неустойчивости на случай многомерных систем вида

х = .\х + Ви

У = Сх (12)

и = - 1у

Ъ^йкщ^у,)}, О <к1<Пу1)<Т]

Пусть матричная передаточная функция ЛУ($) = С(51-Л) *В содержит непараметрическуто неопределенность вида

уу= (.<>)+6(13)

Введем следутощне обозначения

л.)- £ (и.

для гершгорннского радиуса, характершующего меру доминантности.

= (15)

2 у-1

для 1штегральной меры неопределешюсти. В (3) суммирование ведется по всем у (включая у = У ).

Определим модифицированную частотную характеристику Г,+р° (*) + /?,(*)

Теорема 5.1: Пу сть

1) |^+^(5)|>1,У = ТГя

2) ¿Даг^*,+и^(*)) = 2ят,

где V - число неустойчивых полюсов линейной части системы. Тогда многомерная нелинейная система (12-13) робастно устойчива. Если же вместо равенства в условии 2) имеет место неравенство

л

^ Аагв(Хгу +1?„(5)) <2/ту, то система (12-13) робастно неустойчива.

5 Cook P.A. "Modified Nlultivariable Circle Theorems" in Bell D.J.(ed.) "Recent Mathematical Devclopement and Control". Academic Press.. London, 1973. p.367-372.

Критерий типа Михайлова робаетной устойчивости и неустойчивости формулируется относительно частотной кривой

2) A arggu(s) = яnl, где л, - степень полинома d~'u(s).

Тогда система (12-13) робастно устойчива. Если же для некоторого i имеет месго Aarg^ (5) < лп,, то - робастно неустойчива.

В частности, для фиксированной линейной части (Р^(со) = 0, V/',y)

модифицированные частотные характеристики и годографы Михайлова характеризуют абсолютную устойчивость и абсолютную неустойчивость многомерных нелинейных систем.

В заключении перечислены основные результаты диссертации, которые состоят в следующем:

• получены более простые и удобные для практических исследований формулировки кругового критерия абсолютной устойчивости

• развит единый подход к задачам робаетной устойчивости, неустойчивости и автоколебательности нелинейных систем.

• разработаны эффективные круговые критерии робастности нелинейных систем как с непараметрической, так и с параметрической неопределенностью линейной части

• результаты для непараметрической неопределенности обобщены на многомерный случай

По теме диссертации опу бликовано 5 работ.

1. Цыпкнн Я.З., Кербелев A.M. "Робастные нелинейные дискретные системы управления", ДАН, 1992, том 327, №4-6, с.450-454.

2. Tsypkin Ya.Z., Kerbelev A.M. "Robust stable, unstable and autooscillatory nonlinear systems under nonparametric uncertainty", Proceedings of the IEEE SMC'93 conference, Le Touquet, October, 1993.

(16)

Теорема 5.2: Пусть 1)

3. Кербелев A.M. "Круговой критерий робастной устойчивости и неустойчивости нестационарных нелинейных систем", Автоматика и Телемеханика, 1993, с. 111-115.

4. Кербелев A.M. "Частотный критерий робастной устойчивости линейных стохастических систем", ДАН, 1993, том.331, №4, с.419-420.

5. Кербелев A.M. "Частотные критерии робастности нелинейных систем при параметрической неопределенности", ДАН, 1995, том.341, №6.