Нелинейные взрывные процессы в оптике и гидродинамике жидкости со свободной поверхностью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

«г

-т

/ ^ Российская Академия Наук

' ^Институт теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН

На правах рукописи

Павел Михайлович Лушников

нелинейные взрывные процессы в оптике и гидродинамике жидкости со свободной

поверхностью

01.04.02 - теоретическая и математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена в Институте теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН.

Научный руководитель: член-корреспондент РАН Кузнецов Е.А.

Официальные оппоненты: доктор физ-мат. наук Ииогамов H.A.

доктор физ.-мат. наук Стурман Б.И.

Ведущая организация: Институт ядерного синтеза РНЦ

"Курчатовский институт"

Защита состоится "С " ^е _ 1997г. в it.JP

на заседании специализированного совета Д.002.41.01 Института теоретической физики им. Л.Д.Ландау РАН по адресу: 142432, Московская обл., Ногинский р-н.,пос. Черноголовка, Институтский просп., 12, ИТФ РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИТФ РАН.

Автореферат разослан: ^о^Х^_ 1997г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физ.-мат. наук

Л.А.Фальковский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Нелинейный взрывной процесс или, другими словами, процесс, в котором происходит образование сингулярностей за конечное время

- это одно из основных явлений в нелинейной физике. Принципиально, что взрывные процессы возможны исключительно в силу наличия нелинейностей в физических системах, поскольку линейные неустойчивости могут обеспечивать не более чем экспоненциальный рост возмущений, что соответствует возникновению сингуляриостей за бесконечный период времени.

Нелинейные взрывные процессы играют исключительно важную роль во многих областях физики. Одним из частных случаев таких процессов является волновой коллапс или образование особенностей при нелинейных взаимодействиях волн в диспергирующих средах. Термин волновой коллапс был предложен В.Е.Захаровым в 1972 г [1]. С математической точки зрения наличие волнового коллапса-означает, что решение задачи Коши для нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных существует только до определенного момента времени ¿о и не может быть продолжено при £ > ¿о- Коллапс часто сопровождается катастрофическим сжатием волновых пакетов и, таким образом, представляет собой эффективный механизм концентрации и последующей диссипации энергии. Поэтому весьма актуальной представляется задача исследования характера особенностей, возникающих при развитии коллапса и получения достаточных условий возникновения коллапса. В частности, волновой коллапс в нелинейном уравнении Шре-дингера [1,2]

{фг + Аф+\ф\^ф = 0, сг > 0 (1)

описывает одно из фундаментальных явлений в нелинейной оптике

- самофокусировку световых пучков. Другим примером коллапса является взрывная неустойчивость, возникающая при распространении трех волновых пакетов в активных средах, допускающих волны с отрицательной энергией [3,4]. Взрывная неустойчивость имеет

место при выполнении условий резонанса трех волн

«(к1)+ы(к2)+ы(к3) = 01 к1 + к2+к3 = 0, (2)

где «(к) - закон дисперсии волны с волновым вектором к.

В гидродинамике жидкости со свободной поверхностью нелинейные взрывные процессы характеризуют интенсивное взаимодействие воли с ветром, что приводит в конечном счете к обрушению волн и вспениванию водной поверхности. Таким образом, взрывные процессы являются одним из важнейших механизмов лерекачки энергии в малые масштабы, где энергия диссипирует за счет вязкости (см. например [5]). Исследование этих процессов представляет большой интерес и как фундаментальная теоретическая проблема, и как важная практическая проблема изучения взаимодействия атмосферы и океана.

. Нелинейные взрывные процессы также играют существенную роль в системах с жестким самовозбуждением, представляющим собой аналог фазового перехода первого рода. На начальной стадии эволюции таких систем наблюдается взрывной рост возмущений, который связан с трехврлновыми процессами. Устойчивые пространственные структуры образуются за счет конкуренции между взрывными трехволновыми неустойчивостями и старшими волновыми процессами, обеспечивающими стабилизацию этих неустой-чивостей. Типичный пример - это формирование гексагональных пространственных структур в оптике и гидродинамике. Важно, что взрывные неустойчивости приводят к нарушению исходной пространственной изотропии системы и возникновению упорядоченных структур. Исследование подобных явлений привлекает в последнее время повышенное внимание [6-8].

Цель диссертации

1. Построение нелинейной теории возбуждения волн ветром за счет неустойчивости Кельвина-Гельмгольца.

2. Исследование области применимости теории Кельвина-Гельмгольца путем сопоставления инкрементов неустойчивости Кельвина-

Гельмгольца границы раздела двух идеальных жидкостей и неустойчивости Майлса [9], возникающей из-за конечной вязкости жидкостей.

3. Нахождение динамического критерия коллапса в нелинейном уравнении Шредингера (1) и обобщение достаточных условий коллапса в других нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных.

4. Выявление нелинейных механизмов формирования гексагональных световых структур в фоторефрактивных кристаллах в схеме с зеркалом обратной связи.

Научная новизна

В диссертации построена нелинейная теория возбуждения волн ветром, обобщающая классические результаты Кельвина и Гельмгольца о линейной неустойчивости тангенциального разрыва поверхности раздела двух идеальных жидкостей. Показано, что нелинейность не насыщает неустойчивость, а приводит к взрывному росту амплитуд возмущений. Вблизи порога неустойчивости получено уравнение для огибающих, совпадающее с (2 +Д) - мерным уравнением Клейна-Гордона. Для этого уравнения впервые найдены достаточные условия коллапса интегрального вида.

Проведено количественное сопоставление инкремента неустойчивости Кельвина-Гельмгольца границы раздела двух идеальных жидкостей с инкрементом неустойчивости Майлса, обусловленным конечной вязкостью этих двух жидкостей. Рассмотрено применение этих результатов к случаю ветра, дующего над водной поверхностью.

Получен динамический критерий коллапса нелинейного уравнения Шредингера (1), обобщающий ранее найденные достаточные условия коллапса в этом уравнении. Получены обобщения критериев коллапса в других нелинейных уравнений в частных производных.

В диссертации впервые развита нелинейная теория образования гексагональных световых структур в схеме с зеркалом обратной

связи. Встречные пучки в фоторефрактивных кристаллах оказываются неустойчивыми относительно возбуждения боковых волн. Показано, что на нелинейной стадии развития этой неустойчивости трехволновое взаимодействие между слабыми боковыми пучками не стабилизирует неустойчивость, а приводит к взрывному росту амплитуд пучков, поперечные волновые векторы которых образуют углы, кратные 7г/3. Исследовано насыщение взрывной неустойчивости за счет старших волновых процессов. Найдена зависимость интенсивности гексагонов от расстояния между кристаллом и зеркалом обратной связи.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, 4-х глав, Заключения, и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обоснована актуальность темы, сформулированы основные задачи, обсуждены методы их решения, а также новизна полученных результатов.

В Главе 1 диссертации представлена нелинейная теория неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Теория основана на гамиль-тоновском описании потенциальных течений двух идеальных жидкостей с границей раздела z = rj(x,y,t). Канонически сопряженными величинами являются т] и Ф = Р1Ф1 — гДе Pi,2 - плотности нижней и верхней жидкостей, Ф1,2~ значения потенциалов скоростей первой и второй жидкостей, взятые на границе раздела:

dt ~ ~5т] ~dt~~5Ф' - ( '

Здесь гамильтониан совпадает с полной энергией системы; Линейная неустойчивость Кельвина-Гельмгольца имеет пороговый характер, она возникает в том случае, когда скорость ветра превышает критическое значение Ucr, которое определяется минимальной

фазовой скоростью С/тгп = тш^ поверхностных гравитационно-капиллярных волн в отсутствии ветра:

исг ' -диты. (4)

Здесь

= + (5)

закон дисперсии поверхностных волн, д - ускорение поля тяжести, а - коэффициент поверхностного натяжения, е = ^ - отношение плотностей верхней и нижней жидкостей, которое предполагается малым. Существенно, что неустойчивость имеет апериодический характер, так как при II > Vсг с точностью до 0(() действительная часть фазовой скорости поверхностных волн обращается в нуль.

Гамильтоновскал формулировка (3) позволяет выйти за рамки линейного приближения и построить последовательную теорию возмущений по малому параметру |^77|— характерному углу наклона поверхности, вплоть до членов четвертого порядка в гамильтониане Я. Анализ показывает, что основной вклад во взаимодействие неустойчивых возмущений вносит взаимодействие поверхностных волн с ветром. Принципиально, что это взаимодействие не сводится к обычному взаимодействию поверхностных волн, оно исчезает по мере уменьшения скорости ветра до нуля. Вблизи порога неустойчивости при малой надкритичности

и2 - и2

V сг

анализ рядов теории возмущений упрощается. В этом случае возбуждается узкий в к - пространстве пакет волн с "несущим" волновым вектором |к0| = \[з1а\ что позволяет перейти в уравнениях движения к огибающим 1]= ек°г771. Показано, что огибающая щ подчиняется нелинейному (2 4-1)— мерному релятивистски-инвариантному уравнению Клейна-Гордона :

Ы« = ¿т + + Ы2»71 • (7)

В этом уравнении нелинейное взаимодействие соответствует притяжению. Последнее означает, что нелинейность в первом неисче-зающем порядке не может стабилизировать неустойчивость, а, наоборот, является причиной взрывного роста колебаний. Для этого уравнения построены пространственно однородное решение и автомодельные асимптотики, описывающие появление особенности за конечное время, а также найден достаточный критерий коллапса. Этот критерии следует из дифференциального неравенства второго порядка для квадрата нормы огибающей.

В Главе 2 проводится исследование области применимости теории Кельвина-Гельмгольца для жидкостей с конечными вязкостями, для которых имеется также второй механизм генерации волн ветром - это неустойчивость Майлса. Вязкость приводит к формированию пограничного слоя в верхней легкой жидкости вблизи границы раздела. Неустойчивость Майлса обусловлена существованием сдвигового течения U = U(y) в пограничном слое, где у - вертикальная координата, отсчитываемая от границы раздела. Предполагается, что среднее течение в тяжелой нижней жидкости пренебрежимо мало, при этом U(0) = 0, а вне пограничного слоя Скорость верхней жидкости U = Uq — Const. Неустойчивость Майлса* наступает при скоростях ветра, значительно меньших чем Uст. Однако эта неустойчивость носит принципиально иной характер, чем неустойчивость Кельвина-Гельмгольца, так как в этом случае фазовая скорость поверхностных волн с не обращается в нуль выше порога неустойчивости. Таким образом, критерием доминирования неустойчивости Кельвина-Гельмгольца служит условие Re(c) -С 1ш(с). Комплексная фазовая скорость с определяется из решения краевой задачи для неоднородного уравнения Орра-Зоммерфел^да:

(U — c)(F" - k2F) - U"F =

~[FIV -2k2F"+ k4F+{UIV-2kU'")e-kr}] , (8)

получающегося в результате перехода к криволинейным координа-

там

Ç= х- iaeiktt+ir>\ т1 = у- aeik{i+ir,\ (9)

представления функции тока ф в виде:

v

Ф(Ь = J Мч) - с] Ац + [F(ri) + [U(V) - с]е~Ь] ae'h« (10)

о

и линеаризации уравнений Навье-Стокса. Здесь Д-число Рей-нольдса, равное R = h - толщина пограничного слоя, -

кинематическая вязкость верхней жидкости, к - волновой вектор возмущения. Краевые условия для уравнения Орра-Зоммерфельда находятся из кинематических и динамических условий на границе раздела двух жидкостей.

В частности показано, что в случае kh ~ 1 неустойчивость Майлса заведомо играет основную роль. Неустойчивость Кельвина-Гельмгольца доминирует при одновременном выполнении шш условий R'1 < kh < 1, kh(khR)1!3 < S, или условий khR < 1, kh < 1, 2/R «С 5, где 8 - надкритичность (6). В применении к случаю воздуха, дующего над водной поверхноствю, эти условия оказываются весьма жесткими и требуют очень малых толщин пограничного слоя (доли миллиметра) и достаточно больших надкритично-стей S > 0.1. В реальных физических ситуациях морского волнения доминирование неустойчивости Кельвина-Гельмгольца наиболее ве-. роятно при резких порывах ветра, а также вблизи гребней крутых морских волн, при обдуве которых скорость ветра локально увеличивается и может существенно превысить пороговое значение Urr.

В Главе 3 получено достаточное условие коллапса в нелинейном уравнении Шредингера (НУШ) (1), описывающем самодействие волновых пакетов в средах с нелинейностью степени 2а + 1. Наиболее часто встречается случай а =' 1, тогда НУШ служит моделью распространения мощного лазерного импульса в среде с центром инверсии, эволюции ленгмюровских волн в плазме и т.д. НУШ может

быть записано в гамильтоновой форме:

Он = Н = 1 - (11)

где гамильтониан Н и число частиц Дг = [\ф\2<Рг являются интегралами движения, а Б— размерность пространства.

Наличие коллапса, в НУШ можно установить из рассмотрения эволюции во времени величины А = /г^ф^сРг, имеющей смысл некоторой средней ширины начального распределения \ф\. Для этой величины справедлива, в силу уравнения (1), теорема вириала

Ац^АаВН-Ь{(тВ-2)1\Чф\2<10г. - (12)

Уравнение (1) может быть интерпретировано как уравнение Шре-дингера для волновой функции конденсата слабо неидеального бозе газа с потенциалом притяжения V — — \ф\2сг. С точки зрения такой кваитовомеханической интерпретации последний член в (12) имеет смысл кинетической энергии К = / |Уф\2ё°г/М. Оценка этого члена приводит к .достаточному условию коллапса, что позволяет/ с некоторой степенью условности назвать критерий коллапса "динамическим", в отличие от полученных ранее "статических" критериев коллапса, где оценивалась потенциальная энергия й = -Цф\2°+2 вРг^.

Полагая ф = Не1'*' (Д = находим из неравенства Коши-Буняковского и уравнения (1) :

Щ = -41/Ха^-^г| < у (У^Д^г)' , (13)

где по повторяющемуся индексу а ведется суммирование. В тоже время, кинетическую энергию К можно переписать следующим образом:

КЫ = I \Чф\2<Рг = У(УЛ)2^г + у (Vф)2Я2дРг, (14)

а число частиц N связать с величиной А :

N = 1 =-;§/(*, ^т < (УЛ)2 А) 1. (15)

Соотношения (13) — (15) дают оценку, кинетической энергии, поэтому из (12) следует дифференциальное неравенство второго порядка для А. Решение этого неравенства простой заменой сводится к анализу движения ньютоновской частицы под действием двух сил. Первая сила консервативна и определяется заданным потенциалом, вторая сила явно зависит от времени и является знакопостоянной. Анализ движения ньютоновской частицы позволяет найти достаточные условия коллапса, зависящие от Я, ТУ, Л|£=о, А<|(=о.

Заметим, что с квантовомеханической точки зрения выражения (13) — (15) представляют собой обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Динамический критерий коллапса естественным образом дополняет другие критерии коллапса нелинейного уравнения Шредин-гера. В частности, указаны частные примеры начальных условий, при которых только динамический критерий предсказывает коллапс. ^

В этой же главе показано, что согласно динамическому критерию вблизи точки коллапса, при А —» 0, имеет место неравенство

А < (16)

соответствующее так называемому сильному коллапсу уравнения (1) - квазиклассическому сжатию волнового пакета, что также сильно отличает динамический критерий от других критериев коллапса.

Использовавшаяся при выводе критерия коллапса аналогия с движением ньютоновской частицы в потенциале Позволяет обобщить достаточные условия коллапса в ряде других нелинейных уравнений в частных производных.

В Главе 4 представлена нелинейная теория формирования гексагональных световых структур в фоторефрактивных кристаллах

с зеркалом обратной связи. Световые пучки в фоторефрактивных кристаллах взаимодействуют через модуляцию показателя преломления с последующей дифракцией света на этих модуляциях. Показано, что встречные световые пучки в фоторефрактивных кристаллах неустойчивы относительно возбуждения боковых воли под малыми углами к накачке. В диссертации выведена общая система уравнений, описывающая эволюцию амплитуд боковых волн и поля пространственного заряда при произвольном уровне нелинейности. Линеаризация этой системы позволяет найти порог поперечной неустойчивости и собственные векторы прямой и эрмитово сопряженной линейных краевых задач. При малых надкритичностях, когда боковые пучки неустойчивы только в узком кольце вблизи максимума инкремента.: линейной неустойчивости, общее решение нелинейной краевой задачи сведено (с помощью разложения по собственным функциям линейной задачи) к системе амплитудных уравнений:

= + е. л^лк2-к1+к2=к

^ Т-кк,к2к3Ак1Ак2Лк^ (17)

где Ак - амплитуды собственных мод линейной задачи при данном значении волнового вектора. Здесь волновые вектора лежат в плоскости, перпендикулярной пучкам накачки. Система (17) представляет собой разложение Ландау по амплитудам растущих линейных мод. Матричные элементы и, к1 к2 к3 трех- и четырехволновых взаимодействий, соответственно, вычислены на пороге неустойчивости как функции расстояния до зеркала обратной связи. Эти матричные элементы оказываются чисто действительными величинами.

Принципиально, что матричный элемент С/ трехволнового взаимодействия отличен от нуля, что приводит к возникновению взрывной трехволновой неустойчивости и корреляции боковых пучков под углами, кратными 7г/3. Все такие скоррелированные возмущения

образуют гексагон в плоскости поперечных волновых векторов к. При этом корреляция между различными гексагонами отсутствует, а взаимодействие между ними мало. Стабилизация неустойчивости, а также подавление других гексагонон с меньшей амплитудой (т.е. тех гексагонов, которые начали расти позже основного) обеспечивается четырехволновыми и более старшими волновыми процессами. Таким образом, возбуждение гексагонов происходит жестким образом до амплитуды, при которой происходит их стабилизация за счет четырехволновых и старших нелинейностей. Жесткое возбуждение гексагонов является аналогом фазового перехода первого рода. Исходная система (до возникновения поперечной неустойчивости) однородна и изотропна в плоскости, перпендикулярной направлению распространения пучков накачки. Жесткий переход к гексагонным структурам приводит к нарушению трансляционной инвариантности системы в этой плоскости.

В диссертации, исследована возможность стабилизации взрывного роста гексагонов за счет четырехволновых взаимодействий, определена амплитуда стационарных гексагонных решений и указано условие устойчивости этих решений. В итоге найдено, что при поЬ/1 ~ 0.1 четырехволновые взаимодействия могут обеспечивать насыщение взрывной неустойчивости, где Ь - расстояние между зеркалом обратной связи и задней гранью кристалла, Ь -длина кристалла вдоль направления распространения света, по - по^ — казатель преломления света. Вне этой области заведомо необходимо учитывать старшие волновые процессы. Проведено сопоставление результатов аналитической четырехволновой теории с численным экспериментом, учитывающим более старшие волновые процессы. В результате показано, что аналитическая теория качественно правильно описывает процесс формирования гексагонов, однако их стационарные амплитуды отличаются примерно в два раза от численного эксперимента. Таким образом, старшие волновые процессы приводят к существенной перенормировке амплитуд гексагонов. Из численных расчетов также следует, что в той области параметров поЬ/1 ~ 0.1, где четырехволновая теория заведомо не может обес-

печить насыщение взрывной неустойчивости, стабилизация гекса-гонов достигается при больших амплитудах, т.е. при более сильной нелинейности. Проведено сопоставление теоретических результатов с экспериментами для фоторефрактивных кристаллов КЫЬОз

и ВаТЮъ■

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построена нелинейная теория возбуждения волн ветром за счет неустойчивости Кельвина-Гельмгольца. Показано, что нелинейность не насыщает линейную неустойчивость, а, наоборот, приводит к взрывному росту амплитуд. Вблизи порога неустойчивости получено уравнение для огибающих, совпадающее с (2 + 1)-мерным нелинейным уравнением Клейн-Гордона. Для этого уравнения найдены достаточные условия коллапса интегрального вида.

. 2. Представлено количественное сопоставление инкрементов неустойчивости Кельвина-Гельмгольца и Майлса при генерации волн ветром в зависимости от толщины; пограничного слоя в воздухе. При скорости ветра, превышающей порог неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, в. пределе тонкого, по сравнению с длиной волны возмущения, пограничного слоя, найдены области доминирования неустойчивости Кельвина-Гельмгольца над неустойчивостью Майлса.

3. Получено достаточное условие волнового коллапса в нелинейном уравнении Шредингера на основе оценки кинетической энергии, что позволяет назвать критерий коллапса динамическим. Выявлена связь динамического критерия с сильным режимом коллапса НУШ.

4. Представлена нелинейная теория формирования гексагональных световых структур в-фоторефрактивных средах в схеме с зеркалом обратной связи. Показано, что гексагоны формируются в результате конкуренции между взрывной трехволновой неустойчивостью и старшими волновыми процессами, стабилизирующими эту неустойчивость. Найдены амплитуды гексагонов как функции расстояния до зеркала обратной связи.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Материалы диссертации докладывались на заседаниях ученого совета Института теоретической физики им.Л.Д.Ландау (1994, 1995, 1996, 1997 гг.), International School in Nonlinear Science, Нижний Новгород (1995).

ПУБЛИКАЦИИ

1. Е.А.Кузнецов, П.МЛушников "Нелинейная теория возбуждения волн ветром за счет неустойчивости Келъвина-Гелъмголъца". ЖЭТФ 108, 614-630 (1995).

2. П.М.Лушников "Динамический критерий коллапса". Письма в ЖЭТФ 62, 447-452 (1995).

3. П.М.Лушников. "Динамический критерий коллапса в нелинейном уравнении Шредингера". // Нелинейные волны / Ред. М.И.Рабинович, М.М.Сущик, В.Д.Шалфеев. Нижний Новгород: Изд. Нижегородского университета, 1996. С.119-124.

4. П.М.Лушников "Гексагональные световые структуры в фото-рефрактивных кристаллах с зеркалом обратной связи". ЖЭТФ 113 (1998) (принято к печати); препринт ИТФ им. Л.Д.Ландау, LANDAU 97-ТМР-11 (1997).

ЛИТЕРАТУРА

[1]. В.Е.Захаров. ЖЭТФ, 62, 1745 (1972).

[2]. E.A.Kuznetsov, J.J.Rasmussen, K.Rypdal and S.K.Turitsyn, Phys-ica D, 87, 273 (1995).

[3]. M.Rosenbluth, B.Coppi, FLSudan, Proc. 3-rd Intern. Conf. Plasma Phys. and Controlled Nuclear Fusion Research, Novosibirsk (1968).

[4]. В.Е.Захаров, С.В.Манаков, ЖЭТФ, 69, 1654, (1975).

[5]. JI.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. Гидродродинамика, М. Наука (1988).

[6]. J.Pender and L.Hesselink. J.Opt.Soc.Am. В 7, 1361 (1990).

[7]. G.D'Alessandro and W.J.Firth, Phys.Rev.Lett. 66, 2597 (1991).

[8]. T.Honda and P.Banerjee, Opt.Lett. 21, 779 (1996).

[9]. J.W.Miles, J.Fluid Mech. 13, 433 (1962).