Рекурсивный робастный оценщик информативных параметров сигналов в приборах химического экспресс-анализа тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 АНАЛИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР МЕТОДОВ ОЦЕНИВАНИЯ ИНФОРМАТИВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ТРЕНДОВ НУЛЕВОГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ.

1.1 Описание объекта исследования.

1.2 Методы оценивания информативных параметров сигнала постоянного уровня и линейного тренда первого порядка.

1.3 Методы определения сходимости оценки рекуррентного алгоритма.

1.3.1 Статистический подход.

1.3.2 Методы определения устойчивости сис тем автоматического управления.:.

1.3.3 Стохастический подход.

1.4 Обзор методов определения разладки.

ГЛАВА 2 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СХОДИМОСТИ ОЦЕНКИ РЕКУРРЕНТНОГО АЛГОРИТМА.

2.1 Частотные критерии устойчивости САУ.

2.1.1 Структура и особенности САУ.

2.1.2 Формирование передаточных характеристик САУ.

2.1.3 Выводы по анализу устойчивости САУ с помощью частотных критериев.;.

2.2 Стохастический подход М. Аоки.

2.3 Обсуждение результатов и основные выводы.

ГЛАВА 3 ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ОЦЕНЩИКА.

3.1 Постановка численного эксперимента.

3.2 Методика определения разладки.

3.2.1 Выбор объекта исследования.

3.2.2 Выбор критерия.

3.3 Методика определения параметра (3 алгоритма (1.6).

3.4 Доверительный интервал оценки.

3.5 Структура алгоритма в целом.

ГЛАВА 4 ПРИБОРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ.

4.1 Многоканальные спектрофотометры отраженного света серии ФОС.

4.2 Универсальные фотометрические приборы серии SEN.

4.3 Портативные специализированные приборы серии fiSEN.

4.4 Обсуждение результатов.

Актуальность темы.

В промышленно развитых странах 10% стоимости валового национального продукта составляет стоимость его контроля, поэтому всё большее место в деятельности фирм-изготовителей аналитического оборудования и институтов различного профиля занимают исследовательские работы по развитию и совершенствованию методов химического анализа, химической диагностики, аналитического контроля и приборного обеспечения этих методов. В то же время на протяжении трёх последних десятилетий всё острее ощущается, что возможности традиционных методов анализа крайне ограничены и не удовлетворяют непрерывно растущим требованиям по селективности, чувствительности, времени обработки информации, надёжности, экономичности и т.п.

Требования практики в совокупности с реальными достижениями микроэлектроники, широким применением микропроцессоров и ЭВМ, разработкой новьк материалов и успехами в изучении механизмов биорецепции привели к появлению нового класса аналитических приборов и устройств, предназначенных для прямого, селективного и максимально автоматизированного определения различных веществ в промышленных, природных и биологических объектах. Для названия этого нового поколения аналитических приборов по мнению авторов работы [1] наиболее целесообразно введение термина «сенсорный анализатор», так как в данном случае подчёркивается, что в состав прибора входят, наряду с чувствительным элементом (сенсором), устройства для ввода пробы, обработки сигнала и выдачи конечного результата (концентрации определяемого вещества).

В сенсорных приборах экспресс-анализа сигнал с чувствительного элемента стараются привести к одному из стандартных типов: сигналу постоянного уровня, линейному тренду первого порядка, линейному тренду первого порядка с насыщением или сигналу типа «трапеция». В частности, в разработанных сенсорах анализируемый сигнал носит указанный характер: при определении рН информативным параметром является величина сигнала постоянного уровня, а при определении концентрации ионов Си2+ - тангенс угла наклона линейного тренда, построенного в выбранной системе координат [2]. Вследствие этого, для данных сенсоров актуальными являются задачи оценивания сигнала постоянного уровня и определения тангенса угла наклона линейного тренда первого порядка на фоне помехи. Для решения этих задач можно использовать как нерекуррентные методы (например, метод максимального правдоподобия или метод наименьших квадратов), так и рекуррентные (например,' типа стохастической аппроксимации или рекуррентного метода наименьших квадратов) [3]. При использовании нерекуррентных методов для получения оценки сп+1 необходимо произвести пересчёт с использованием всех накопленных данных [у0,.уп+1], что предъявляет определённые требования к объёму оперативной памяти оценщика. В рекуррентных методах оценка сп+х пересчитывается из предыдущей оценки сп на основе новой информации. Поэтому, появившиеся в последние годы микроконтроллеры, обладающие высоким быстродействием и низкой стоимостью, с небольшим объёмом ОЗУ идеально подходят для реализации на их основе рекуррентных оценщиков.

Алгоритм стохастической аппроксимации был предложен [4] для решения задачи поиска единственного корня регрессии при выполнении следующих предположений: у является случайной величиной с функцией распределения Н{у\с), зависящей от некоторого параметра с. Если существует функция регрессии М(с) = \ydHiy\c) и при некотором вещественном а, уравнение М(с) = а имеет единственный корень в, тогда с^=сн+ал^(сй)г (1) где сп есть п-я оценка в, у(сп) - наблюдаемое значение у при с = сп, = а-у{сп). Формула (1) получила название процедуры Роббинса оо оо

Монро. При выполнении условий Xй» =00' XIй" < 00 была доказана

1=1 П=1 несмещённость и состоятельность получаемой оценки.

В дальнейшем процедура Роббинса-Монро получила своё развитие во многих работах, из которых можно выделить лишь основные направления, в которых проходила модификация. Во-первых, предлагались разные подходы к выбору параметра ап (Кохран [5], Кестен [6]). Во-вторых, различным образом представлялась функция ¥ ( Кифер, Вольфовиц [7], Фабиан [8], Дворецкий [9], Цыпкин [10]). В-третьих, была предложена модификация, позволяющая оценивать линейно изменяющийся во времени сигнал ( Дупач [11], Курочкин [12]).

В экспресс-анализаторе для определения рН оценивание величины сигнала постоянного уровня осуществлялось с помощью модификации Цыпкина: сп+х=Сп---мёп{сп-Уп+\)> (2) п где - значение измеряемой величины на (я+/)-ом шаге, ¡3 - масштабный коэффициент, определяющий скорость сходимости. При этом: сп-с+ еп и уп+{ = с + £,я+1, где с* - истинное значение анализируемого сигнала, ¿п - невязка на и- - ом шаге, <^п+1 - ошибка измерения.

В экспресс-анализаторе для определения концентрации ионов Си2+ оценивание линейно изменяющейся величины осуществлялось с помощью модификации Курочкина [12]: сп. - —а 81&г(сп - ), сп = (1 + и'1 )сп, 1 < а < 1.

В работах [3, 13] была доказана несмещённость и состоятельность получаемой оценки сп для алгоритма (2). Между тем эти результаты были получены при определённых ограничениях, накладываемых как на вид плотности распределения вероятностей помехи (р{с), так и на величину параметра Д Плотность распределения вероятностей помехи должна быть симметричной относительно нуля, а параметр /? должен выбираться исходя из условия:

Р > Д.™ = • (3)

4^(0)

В приборах химического экспресс-анализа время работы алгоритма определяется длительностью протекания химических реакций. Так как количество шагов работы алгоритма ограничено, то актуальной является задача определения доверительного интервала, в котором находится оценка сп. Кроме этого, в процессе измерений может измениться форма анализируемого сигнала, на выходе датчика могут возникать выбросы или резкие изменения сигнала. Всё это приводит к появлению разладки в последовательности измерений, что, в частности, может вызвать потерю точности оценивания.

В настоящее время отсутствует алгоритм, позволяющий наряду с рекуррентным оцениванием информативного параметра анализируемого сигнала определять доверительный интервал полученной оценки и выявлять разладку в последовательности измерений. Таким образом, являются актуальными разработка подобного алгоритма и создание устройства, реализующего его.

Цель работы.

Практическая реализация робастного многофункционального оценщика, позволяющего оценивать информативный параметр анализируемого сигнала в условиях априорной неопределённости о законе распределения помехи, определять доверительный интервал оценки и выявлять разладку в последовательности измерений.

Указанная цель достигается решением следующих задач:

1. Разработка методики исследования сходимости оценки информативного параметра анализируемого сигнала. Исследование сходимости оценки при различных законах распределения помехи.

2. Определение свойств оценки, позволяющих однозначно определять разладку в последовательности измерений. Разработка критерия остановки алгоритма.

3. Разработка методики выбора параметра на начальных шагах работы алгоритма (2), обеспечивающей автоматическую настройку оценщика.

4. Создание оценщика, обладающего перечисленными свойствами, и его внедрение.

5. Исследование возможности применения разработанного алгоритма в других областях: иммунный анализ, различные биомедицйнские задачи.

Научная новизна.

1. Впервые проведено преобразование алгоритма (2) к структуре системы автоматического управления (САУ) и её анализ. Показана эквивалентность понятий сходимости оценки сп и асимптотической устойчивости положения равновесия соответствующей САУ.

2. Для анализа сходимости оценки с„ предложена модификация стохастического подхода М. Аоки [14], заключающаяся в использовании рекуррентной формулы вместо формулы Байеса для определения плотности распределения вероятностей оценки на и+1-ом шаге работы алгоритма (2).

3. Впервые предложена методика определения доверительного интервала оценки сп алгоритма (2). Определены свойства оценки, позволяющие однозначно выявлять разладку в последовательности измерений. На их основе разработан практический критерий остановки алгоритма.

4. Предложена модификация алгоритма (2), заключающаяся во введении обучающего участка для выбора параметра Д и обоснован критерий оптимизации длины обучающего участка, аналогичный информационному критерию Акаике (ИКА).

Практическая ценность работы.

1. Получена модификация подхода М. Аоки, позволяющая анализировать сходимость оценки рекуррентного алгоритма без использования численного эксперимента, основываясь исключительно на аналитическом выражении априорной плотности распределения вероятностей помехи.

2. Реализована новая модификация алгоритма (2), позволяющая на основе анализа распределения величины *Р(<?„) = sign{cn - уп+1) в скользящем окне выявлять разладку в последовательности измерений и определять доверительный интервал оценки сп. Кроме того, введён начальный обучающий участок, что позволило избежать субъективного и возможно ошибочного выбора параметра Д.

3. Разработанный алгоритм внедрён в ряд приборов, в числе которых малогабаритный хемосенсорный анализатор //SEN, фотометрический хемосенсорный анализатор SEN, фотометрическое устройство для неинвазивного определения кислородного насыщения крови.

Положения, выносимые на защиту.

1. Модификация стохастического подхода М. Аоки для анализа сходимости оценки, получаемой рекуррентным алгоритмом (2).

2. Способ выявления разладки в последовательности измерений. Комплексный критерий остановки алгоритма (2). Методика определения доверительного интервала полученной оценки.

3. Методика оценки плотности распределения вероятностей помехи на начальных шагах работы алгоритма (2) и автоматического определения параметра Д.

4. Модифицированный алгоритм в целом, позволяющий оценивать информативный; параметр, выявлять разладку в последовательности измерений и определять доверительный интервал оценки.

Публикации.

Основное содержание диссертации опубликовано в 4 статьях, 4 отчётах по НИР, отражено в тезисах шести международных конференций. Получено одно решение о выдаче патента на изобретение [15 - 30].

Структура и объем диссертации.

Диссертация. состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 124 страницы машинописного текста, 12 таблиц и 27 рисунков. Список литературы включает 71 наименование. Общий объем диссертации- 130 страниц.

Основные результаты и выводы.

1. Выполнено преобразование рекуррентного алгоритма стохастической аппроксимации Роббинса-Монро к структуре нелинейной дискретной САУ и её анализ. Доказана эквивалентность понятий сходимости оценки, получаемой в результате работы рекуррентного алгоритма, и асимптотической устойчивости положения равновесия соответствующей САУ. Проведено исследование асимптотической устойчивости САУ с помощью частотных методов при различных способах выделения приведённой линейной части системы. Выявлено, что данная САУ не обладает асимптотической устойчивостью положения равновесия и будет находиться в состоянии устойчивых колебаний. Следовательно, полученная в результате работы рекуррентного алгоритма оценка будет находиться в окрестности истинного значения.

2. Проведена адаптация стохастического подхода М. Аоки для решения задачи определения сходимости оценки сп, получаемой в результате реализации алгоритма (1.6). Выведена рекуррентная формула связи плотностей распределения вероятности невязки на соседних шагах работы алгоритма, которая используется вместо формулы Байеса. Показана возможность использования для оценки величины расстояния между ними М - оценки Хьюбера, квадратичной оценки или информационного расхождения Кульбака. Доказано, что оценка сп сходится к некоторому значению при любом законе распределения помехи и при отсутствии изменений формы или величины анализируемого сигнала.

3. Рассмотрена динамика оценки сп при изменении формы и величины анализируемого сигнала. Показано, что при определённом выборе частоты дискретизации возможно эффективное использование алгоритма (1.6) при наличии синусоидальной систематической помехи.

4. Получена модификация алгоритма (1.6), основанная на анализе суммы знаков поправки за последние N шагов работы алгоритма. Изучено распределение суммы знаков и доказано, что данное распределение соответствует биномиальному закону Бернулли. На основе полученных результатов разработан комплексный критерий остановки алгоритма, позволяющий, во-первых, устанавливать доверительный интервал оценки, а во-вторых, выявлять разладку в последовательности измерений.

5. При предположении о классе помехи, удовлетворяющей аксиоме Маликова, описана процедура выбора параметра Д учитывающая требование (3.8), для чего предложено использовать обучающий участок, и разработан критерий выбора оптимальной длины обучающего участка, аналогичный ИКА. Тем самым практически реализован самообучающийся алгоритм, обеспечивающий состоятельность оценки величины сигнала постоянного уровня.

6. Показана возможность расширения области применения модифицированного алгоритма на более широкий класс сигналов, в частности, для анализа тренда первого порядка.

7. Полученные результаты использованы при создании приборов в рамках проводимых лабораторией Информационно-измерительных био- и хемосенсорных микросистем ИАиП РАН научно-исследовательских работ.

Одной из нерешённых задач можно считать исследование сходимости оценки алгоритма (1.7) с помощью частотных критериев и определение ограничений, накладываемых на параметры а и Д.

К числу задач, требующих дополнительного решения, можно отнести: более точное количественное обоснование выбора весового коэффициента у в функционале качества Щп) (3.11), что позволит оптимизировать длину обучающего участка; уточнение методики выявления разладки, позволяющее локализовать момент разладки t=t0:

В результате будут сформированы полностью автономные алгоритмы, базирующиеся на (1.6) и (1.7), позволяющие отслеживать сигналы типа линейный тренд нулевого или первого порядков, не требующие задания параметров и обеспечивающие одновременное выявление факта и момента разладки, своевременную остановку процесса оценивания и определения доверительного интервала для положения точки на тренде.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.Ф., Давыдов А.В. Химические сенсоры: возможности и перспективы. // Журнал аналитической химии. - 1990. - Т.45, №7. -С. 1259-1278.

2. V.E. Kurochkin, E.D. Makarova. Reflectance Spectrophotometry of Plasticized Membranes for the Design of Fast Optical Chemosensors. // Analytical Communications 1996. - Vol. 33 - P. 115-116.

3. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.3. Адаптивные алгоритмы оценивания (сходимость, оптимальность, стабильность) // Автоматика и телемеханика.-1979.-№3. С.71-84.

4. Robbins Н., Monro S. A stochastic approximation method // Anal. Math. Stat.-1951.-V.22, № 3.-P.400-407.

5. Cochran W., Davis M. Sequential experiments for estimating the median lethal dose // Colloques internationaux du centre National de la Recherche Scientifique. 1963. - № 110. - P. 181-194.

6. Kesten H. Accelerated stochastic approximation. // Ann. Math. Stat.1959.-V.29,№1.-P. 41-59.

7. Kiefer J., Wolfowitz J. Stochastic estimation of the maximum of a regression function. // Ann. Math. Stat. 1952. - V.23, №3. - P. 462-466.

8. Fabian V. Stochastic approximation methods. // Czech. Math. Journ.1960.-№10(85)-P. 123-159.

9. Dvoretzky A. On stochastic approximation. // Proceeding of the third Berkeley symposium on Mathematical Statistics and Probability. Univ. of Calif. Press., Berkeley, California. - 1956. - № 1. - P. 39-55.

10. Цыпкин Я.З., "Поляк Б.Т. Огрублённый метод максимального правдоподобия. // В сб. «Динамика систем» Изд-во Горьковского ун-та. 1977.-№12.-С. 22-46.

11. Dupac V. А Dynamic Stochastic Approximation Method // Anal. Math. Stat.-1965.-V.36. № 6.-P.1695-1702.

12. Курочкин B.E., Фельдман Б.Х. Оценка параметров тренда сигнала фотометрических анализаторов биосубстанций при кинетических исследованиях. // В сб. «Научное приборостроение. Методы и приборы биотехнологии». 1988. - С. 80-86.

13. Бедельбаева A.A. Релейньге алгоритмы оценивания // Автоматика и телемеханика.-1978.-№ 1.-С.87-95.

14. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М.: Наука. - 1971.

15. Курочкин B.E., Макарова Е.Д., Бурылов Д.А. и др. Фотометрические приборы для лабораторных исследований неметаллическихповерхностей. // Международная конференция по применению методов естественных наук в археологии. Тез. докл., СП6.-1994,-0.180.

16. Биосенсоры и хемосенсоры. Руководитель темы: Курочкин В.Е.; Исполн. Макарова Е.Д., Евстрапов A.A., Бурылов Д.А. и др. 0174 НИР-И. -СПб: ИАнП РАН. -1995. foe. per. № 01.930.01034, 371 с.

17. Бурылов ДА., Евстрапов A.A., Макарова Е.Д. и др. Малогабаритный хемосенсорный анализатор. // Журнал аналитической химии, 1997,- Т.52, № 5, С.552-556.

18. Бурылов Д.А., Евстрапов A.A., Курочкин В.Е., Макарова Е.Д., Рудницкая Г.Е. Хемосенсорные анализаторы для экологических исследований. // Конференция «Оптика в экологии». Тезисы докладов., 5-7 июня 1997., СПб, С. 042

19. Буляница A.JL, Бурылов Д.А. Исследование сходимости оценки рекуррентного алгоритма для сигнала постоянного уровня. // Научное приборостроение, 1998, Т. 8., № 1-2, -С.32-36

20. Буляница A.JL, Бурылов Д.А. Частотные критерии устойчивости оценки рекуррентного алгоритма для сигнала постоянного уровня. // Научное приборостроение, 1998, Т. 8., № 1-2, -С.37-41

21. Буляница А.Л., Бурылов Д.А. Знаковый критерий определения разладки в последовательности измерений. // Научное приборостроение. 1999. Т.9. - № 1. - С.60-64.

22. Ивницкий Д.М., Ситдыков Р.А., Курочкин В.Е., Рейфман Л.С.4

23. Высокоскоростной электрохимический анализатор с компьютерной обработкой данных для иммуноферментного анализа. // Журнал аналитической химии. 1991. - Т. 46, №6. - С. 1239-1244.

24. Маликов М.Ф. Основы метрологии. М.: Стандартгиз. 1949. - 480 с.

25. Кендалл М., Стьюарт А. Теория распределений. М.: Наука. 1966. -588с.

26. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Л.: Энергоатомиздат. 1991. - 304 с.

27. Tukey J.W. The future of data analysis. // Ann. Math. Stat. 1967. -V.33. -P. 1-67.

28. Daniel С. Locating outliers in factorial experiments. // Technometrics. -I960.-V.2.-P. 149-156.

29. Freedman H.W. The «little variable factor». A statistical discussion of the reading of seismograms. //Bull. Seismol. Soc. of America. 1966. -V.56. - P. 593-604. ;

30. Hampel F.R. Robust estimation; a condensed partial survey. // Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und verw. Geb. 1973. - V27. - P. 87-104.

31. Huber P J. Robust estimation of a location parameter. // Ann. Math. Stat. 1964.-V.35.-P. 73-102.

32. Устойчивые методы оценки данных. / Под ред. Лонера Р.Л., Уилкинсона Г.Н. М.:Мир - 1984. - 314 с.

33. Цыпкин Я.З. Оптимизация в условиях неопределённости. // Доклады АН СССР, 1976. - т.228 № 6. - С. 1306-1309.

34. Tukey J.W. A survey of sampling from contaminated distributions. // in «Contributions to Prob. and Statist.». StanfordUniv.Press.-1960.-P.448-485.

35. Хьюбер, Робастность в статистике. M: Мир. 1984. - 304с.

36. Поляк Б.Т. Устойчивые методы оценки параметров. // В сб. «Структурная адаптация сложных систем». Воронежский политехнический институт. 1977. - С. 66-71.

37. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.З. Помехоустойчивая идентификация. // Тр. IV Симпоз. ИФАК «Идентификация и оценка параметров систем», Тбилиси. 1976. - 4.1 - С. 190-213.

38. Ершов А.А. Стабильные методы оценки параметров. // Автоматика и телемеханика. 1978. - .№8 - С.66-100.

39. Буляница А.Л. Оценка параметров положения сигнала «линейный тренд» в условиях несимметричной дискретной помехи // Научное приборостроение, 1993. - Т.З, №2 - С. 69-78.

40. Поляк Б.Т. Новый метод типа стохастической аппроксимации // Автоматика и телемеханика 1990, - №7, - С. 98-107.

41. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т., Адаптивные алгоритмы оценивания(сходимость , оптимальность, стабильность) // Автоматика и телемеханика. 1979. - №3. - С. 71-84.

42. Красулина Т.П. О стохастической аппроксимации // Автоматика и телемеханика. 1980. - №12. - С. 72-75.

43. Красулина Т.П. Оценка скорости сходимости процесса Роббинса-Монро. //Автоматика и телемеханика. 1983. - №1. - С. 113-117.

44. Красулина Т.П. Об односторонней сходимости процесса Роббинса-Монро. // Автоматика и телемеханика. 1985. - №11. - С. 90-92.

45. Красулина Т.П. : О сходимости снизу модифицированного процесса Роббинса-Монро. // Автоматика и телемеханика. 1992.- №4. - С.73-76.

46. Попов В.М. Типерустойчивость автоматических систем / М.: «Наука». 1970.

47. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. / М.: Наука. -1975. -768 с.

48. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. / М: Наука. 1974 -576с.

49. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем./М.: Наука.-1973.

50. Гелиг А.Х. Робастная устойчивость нелинейных импульсных устройств // Автоматика и телемеханика, 1996. - №12. - С.78-83.

51. Белорусец В.Е. Определение сходимости ряда Вольтерра. // Автоматика и телемеханика. 1990. - №1. - С. 3-9.

52. Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. М.: Наука. 1983.

53. Page E.S. A test for change in a parameter occuring at an unknown. // Biometrika. 1955. - V.42. №4. - P.523-527.

54. Бывайков M.E., Ромащев A.A. О робастности в задаче обнаружения изменения параметра сдвига случайной последовательности. // Автоматика и телемеханика. 1989. - №7. - С.138-143.

55. Воробейников С.Э. .Об обнаружении изменения среднего в последовательности случайных величин. // Автоматика и телемеханика. 1998. - №3 - С. 50-56.

56. Page E.S. Continuous Inspection Schemes. //Biometrika. 1954. - №1. P. 141-154.

57. Бродский Б.Е. Дарховский Б.С. Алгоритм апостериорного обнаружения многократных разладок в случайной последовательности . // Автоматика и телемеханика. 1993. - № 1. - С.62-67.

58. Дёч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов,1. М.:СовРадио.-1965.4

59. Математическая энциклопедия: Гл. ред. Виноградов И.М. Т.4. М.: Советская энциклопедия. 1984.- Т.4 - 1215с.

60. Горяинов В.Т., Журавлёв А.Г., Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. Примеры и задачи. Под ред. В.И. Тихонова. / М.: Советское радио. 1980. - 544 с.

61. Большев JT.H., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М: Наука. 1983. - 416 с.

62. Голенко Д.Й. Моделирование и статистический анализ псевдослучайных чисел на электронных вычислительных машинах. М.: Наука. 1965.-228с.