Частотные методы при исследовании вопросов робастности одномерных непрерывных систем автоматического управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.11 ВАК РФ

Ле Хунг Лан АВТОР
кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ
1999 ГОД ЗАЩИТЫ
   
01.01.11 КОД ВАК РФ
Автореферат по математике на тему «Частотные методы при исследовании вопросов робастности одномерных непрерывных систем автоматического управления»
 
Автореферат диссертации на тему "Частотные методы при исследовании вопросов робастности одномерных непрерывных систем автоматического управления"

РГ6 с«

2 6 ДПР |£83

институт проблем управления

российской академии наук

На правах рукопкса

Ле Хунт Лан

ЧАСТОТНЫЕ МЕТОДЫ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ВОПРОСОВ РОБАСТНОСТИ ОДНОМЕРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Специальность 01.01.II Системный анализ п.автоиатическое управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 1993 г.

Работа выполнена в Институте проблем управления Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты:

доктор технических наук Б.Т.ПОЛЯК (ИПУ), кандидат технических наук О.С.СОБОЛЕВ (ЦНИИКА).

Еедущая организация:

Московский Энергетический Институт (МЭИ).

Зашита состоится " " _1993 года в " "

часов на заседании Специализированного Совета N.1 (Д.002.68.02) Института проблем управления по адресу: 117806, Москва, ул. Профсоюзнаяр 65.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем управления.

Автореферат разослан " О У " 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета доктор технических наук

/В.К.АКИНФИЕВ/

Актуальность теш.

Одной из главных причин не всегда удачного внедрения разработанных САУ в практику является наличие неопределенности в модели объекта. Исследование роли неопределенности в САУ и поиск пути ее преодоления становится наиболее актуальной темой исследования. Это привело к созданию нового раздела теории автоматического управления: теории робастного управления. Однако, несмотря на актуальность, практическое применение результатов в

этой области связано с большими трудностями. С одной стороны, ряд

с -

задач в этой теории еще не решен до конца и среди них задачи разработки эффективных методов оценки робастной устойчивости, робастного качества замкнутых САУ, синтеза робастного регулятора и т.д. С другой стороны, у разработчиков САУ отсутствует удобный инструмент в виде достаточно стандартного пакета программ для исследования робасткости. Этому кругу вопросов посвящена настоящая диссертационная работа.

Цель диссертации. В работе поставлены следующие цели: Для одномерных стационарных непрерывных САУ разработать новые, удобные методы исследования робасткости (анализ робастной устойчивости и некоторых показателей качества, анализ робастной' абсолютной устойчивости, расчет робастного регулятора и т.д.) при условак, что параметры регулятора известны точно, а в модели объекта существуют рвзличного рода,неопределенности;

-оформить .решение этих' задач в виде пакета прикладных программ, ориентированного на разработчика АСУТП.

Метода исследования. Теоретические исследования в диссертационной работе опираются на результаты и методы теории автоматического управления, теории робастной устойчивости, теории функций комплексной переменной. Полученные в диссертации теоретические результаты иллюстрируются и разбираются на ряде примеров, численное решение которых проводится на ЭВМ.

Научная новизна.

-Разработан новый модифицированный частотный критерий робастной устойчивости.

-Разработан способ построения области значений интервальной передаточной функции.

-Разработаны способы оценки робастной устойчивости, робастного качества, робастной абсолютной устойчивости и метод расчета робастного регулятора на основе построения области значений интервальной передаточной функции.

Практическая ценность и реализация результатов работы.

Выполненный на основе результатов теоретической части диссертационной работы пакет программ "СОТЕСБШ", являющийся инструментом разработчика АСУ для сложных технологических объектов, найдет применение в КБ, на предприятиях и в учебных институтах. Первое его внедрение проводится на Павлодарском алюминиевом заводе /г. Павлодар/.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались на ряде семинаров в Институте проблем управления, в МЭИ, в Институте информатики в Ханое /СРВ/.

Объем работы. Диссертационная работа изложена на

-г-

страницах машинописного текста, содержит рисунков, состоит из введения, пяти глаз, заключения, списка литературы и двух приложений.

содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, рассматриваются основные направления исследования робастноети САУ, определена цель диссертационной работы

В первой главе вводятся основные понятия, приводится обзор основных работ по исследованию робастности замкнутых САУ, причем наибсльшое внимание уделено методам, основанным на частотном подходе, и • сформулированы цели исследования диссертационной работы.

В реальных задачах параметры объекта регулирования, как правило, точно неизвестны. Поэтому при проектировании САУ очень ваша задача анализа возможности обеспечения работоспособности (устойчивости и достижения заданного качества) системы при наличии неопределенности в модели объекта. Некоторые аспекты проблемы анализа робастной устойчивости затрагивались, по существу, еще в рамках теории Д-разбиения Ю.И. Неймарка, возникшей в конце 40-х годов. Другой подход к проблеме робастной устойчивости возник в связи с исследованием нелинейных систем (теория абсолютной

устойчивости). Первые основные работы в этой области тесно связаны

«

с имэнами A.M. Лурье, М.А. Айзермана, Ф.Р. Гандмаг^ра ... Современный этап исследования робастной устойчивости начался с появления работы В.Л. Харитонова /1978/, и в настоящее время

теория робастной устойчивости является одним из наиболее активно развиваемых разделов теории автоматического управления. Определяющий вклад в ее развитие внесли зарубежные ученые, презде всего Бармиш, Дойлл, Бхаттачария, Сафонов. В последнее время ряд важных научных результатов получен отечественными учеными Я.З. Цыпкином, Б.Т. Поляком, В.Ю. Рутковским, C.B. Емельяновым, Ю.И. Неймарком, С.К. Коровиным.

В параграфе I.I приводится классификация неопределенностей, которые имеют место при моделировании системы. Для непрерывной линейной системы, представленной в виде передаточной функции, можно разделить неопределенности на два класса: параметрическая неопределенность и непаралетрическая неопределенность. Кроме того, на практике бывают случаи, когда для описания реальной неопределенности требуется сочетать оба вышеназванных вида представления неопределенности, тогда имеет место третий класс -совместная неопределенность.

Пусть задана структурная схема замкнутой системы САУ (Рис.1). Предполагается, что параметры регулятора

R(s) = D(s)/C(s) (1)

заданы точно, а передаточная функция объекта регулирования мокет принадлежать одному из следующих классов: 1) объект с параметрической неопределенностью

В диссертационой работе рассматривается интервальный объект:

В(з,Ь) + Ъ,в + ... + b sm

P(s,q) = -— = -2-!-Ü4- (2)

A(s,s) aQ + a^B + ... + a^s

где для вектора коэффициентов q = [b,a]T заданы интервальные ограничения общего типа:

о : { - Ь1| 7Р±, 1 = 0,1.....т. (3)

|а1*- а1| ^ Таг ± = 0,1,...,п, }

Здесь ъ*, а* - номинальные значения параметров; (3±>о, аА>0 -масштабы возможных погрешностей по разным параметрам; ую -размах погрешностей.

2) объект с непараметрической неопределенностью

- аддитивное возмущение:

Р(я,Аа> = Р0(в) + Аа(в) , |Аа(Ли)| ^ г(1»), (4)

- мультипликативное зозмущеяие:

Р(в.Ат) =Р0(6)(1 -!• Ат(з)), |Ат(о»| <г(*>. (5)

* # т

Ь_ + Ь.в + ... + Ъ в где рп(в) = 1 га

* * »л

aQ + а1 в + ... + aj^s

Aa(s) (Д^(з)) - рациональная функция, r(w) - заданная непрерывная функция.

3) объект с совместной неопределенностью

P(s,q,Aa) = P(s,q) + Да(в), (6)

дли PÍB.q.Ajjj) = P(B,q)(1 + ^(в)), (б')

где q, Аа, то se, что и выше в (2)-(5).

Кроме того, необходимо рассмотреть случай объекта с точным значением запаздывания т или с'интервальным запаздыванием

^WW- <7>

В параграфе 1.2 приводятся. основные понятия н формулировки

частотного подхода теории робастной устойчивости.

В параграфе 1.3 рассматриваются основные задачи исследования робастности САУ и методы их решения в современной литературе.

К основным задачам робастного управления относятся следующие вопросы: анализ робастной устойчивости, анализ робастного качества, анализ робастной положительной вещественности и робастной абсолютной устойчивости, синтез робастного регулятора. В результате анализа опубликованных работ по решению этих проблем для заданного класса систем можно сделать следующие выводы:

1.Большая часть имеющихся результатов посвящена робастной устойчивости, и гораздо меньшая часть работ посвящена вопросу анализа робастного качества САУ и синтезу робастного регулятора.

2.Большинство предлагаемых в литературе методов исследования робастности охватывает, как правило, довольно узкий класс объектов, т.е. объектов без запаздывания, с отдельной либо параметрической, либо непараметрической неопределенностью. Причем во многих случаях наличие параметрической неопределенности намного усложняет задачу исследования.

3.Применение на практике предлагаемых теоретических результатов заметно затруднено из-за большой трудоемкости и значительного объема вычислительных работ реализации разработанных методов.

Эти недостатки обуславливают необходимость разработки новых решений поставленных задач.

Во второй главе диссертации изложен модифицированный частотный критерий для класса объектов с параметрической неопределенностью (2). Затем этот результат обобщается для других

классов объектов: с запаздыванием и. с совместной неопределенностью.

В главных формулировках (теоремах, формулах) диссертационной работы используются следующие обобщенные ■ функции от заданных парг этров систем:

Ув = lm{B0(jw)} = w(b* - bgW2 + b*w4 -...),

SB = p0 + P2w2 + p4w4 + TB = w(P| + P3W2 + p5w4 + ...),

UR = Re{-D(jw)/C(jw)}, VR = Im{-D(jw)/CUw)}, p = |D(jw)/C(jw)|.

Главным результатом главы является формула вычисления функции

L(w):

b(w) = max {^(w), L2(w), L3(w), bA(w)}, (9)

11д = Re{AQ(jw)} = a* - a^w2 + a*w4 - ..„,

% ♦ ? # A

VA = Im{A0(3w)} = w(a1 - a3<rr + a5w - ...),

SA = aQ + otgW2 + a^w4 + ..., тд = w(a1 + c^w2 + a5w4 + ...)

UB = Re{B0(jw)} = b* - b*w2+ b*w4 - ...,

в

(8)

где

lUAUR + VAVR + P4t

b, (w) =

saIurI + tAIvRI + P%

I VR - yAuR - Р2ув1

в .

=

sAIvRI + tAIuRI + P2*]

IUBUR - VR + UAI

в

1.3 («) 3

sb|ur| + tb|vr| + sa '

1ивув - увин + V ь <„) = -:-.

+ тв1ик1 +

и следущее утверадение:

Теорема 2.1: (объект без запаздывания, интервальные ограничения).

Для робастной устойчивости, замкнутой системы с семейством объектов (1)-(3) необходило и достаточно, чтобы:

1) Номинальная система была устойчива,.

2) Ъ(ю) >7 , 0 $ ш < оо (Ю)

Замечание: Максимальный размах 7 = т1п Ь(я) характеризует количественно меру, с которой можно расширить неопределенность в параметрах объекта, не нарушая устойчивости замкнутой системы, поэтому можно рассматривать его как запас устойчивости в задаче сравнения регуляторов с-точки зрения робастной устойчивости.

Можно обобщить теорему 2.1 для различных классов объектов.

Для объекта с запаздыванием при вычисления функции Ь(н) вводится следующая модификация:

ин(ет,г) = иЕооз(тл») + УЕз1п(та) (11)

Ун(ч7,т:) = УН008(Т>?) - икз1п('№)

Тогда подставив эти новые значения вместо старых в формулы (8) и (9), получаем новую функцию Ь(то,г).

Следствие I; (интервальное запаздывание, интервальные ограничения).

Для робастной устойчивости замкнутой системы с семейством объектов (л),(2),(7) необходимо и достаточно, чтобы:

1) Номинальная система была устойчива,

2) min min L(m,z) > 7 (12)

w t

Для случая совместной неопределенности обозначим: Ux = Rel(», Vx = Iml(jw), рх =. |I(jw)|, R(Jw) = D(Jw)/0(Jw)

и для аддитивного возмущения:

K3w) = -KtjwjR^tJwje^, n = <ЭЖ>,<2)

КК) = /(|UB- Ujl - SB)2 + (|VB- Yx| - T-3)2 (13)

1(K)

L(w,T,A ) = min

K€ü r(w)px(K)|R(jw)| для мультипликативного возмущения:

I(JW) = K(jv7)R(Jw)e~3wT, П = SB(jw,Q)

kk) = /(¡u^-'uji - s|)+' + (|vr- vx| - ?га)+ (14)

1(K)

b(w,T,Ara) = min

К€П riwJPjiK)

Здесь.функция (.)+ = max {О,.}, д - граница области и

¿(Jw.QMKJw.q), qeO), B(jw.O)={B(Jw,q), qeQ}.

Следствие 2: (интервальное запаздывание, интервальные ограничения, немоделируемая динамика).

а) Для робастной устойчивости залннутой систежи с селейстВол объектов (6),(7) необходtuo и достаточно, чтобы:

min min L(w,'с,А_; > т\ (15)

V) % u

б) Для робастной устойчивости зашнутой система с селействол объектов (б1), (7) необходимо и достаточно, чтобы:

min min > 7', (16)

V) 1 "

Рассмотренная задача анализа робастной устойчивости замкнутых систем является одной из основных задач в разработке систем автоматического управления. Решение этой задачи на основе частотного подхода, как показано в данной главе, позволяет получить удобные графические критерии робастной устойчивости. По сравнению с другими методами разработанные критерии имеют следующие достоинства: требуют меньший объем вычислений, покрывают достаточно широкий класс объектов управления; объекты без запаздывания или с запаздыванием, а также с различными видами неопределенности: параметрической, непараметрической или совместной.

С помощью предлагаемого метода разработчики систем автоматического управления могут решить и некоторые другие задачи, например, выбор робастного регулятора, построение области робастной устойчивости и т.д.

В третьей главе рассматривается вопрос построения области значений интервальной передаточной функции на комплексной плоскости. На основе анализа этой области излагаются решения некоторых задач исследования робастности непрерывных линейных одномерных систем автоматического управления, таких как анализ робастной устойчивости при совместной неопределенности, анализ робастного качества, синтез робастного регулятора, анализ робастной абсолютной устойчивости.

В параграфе 3.1 формулируется задача построения области значений интервальной передаточной функции, приводится описание и алгоритм построения этой области.

Пусть задана интервальная передаточная функция

В(в,Ъ) Ьп + Ь в + ... + Ъ в® Р(з>д) ---- _0-1-!П

А(в,а) а0 + а^ + ... + апв где вектор параметров q = [Ъ,а]т принадлежит множеству О О, :{Ъ1<Ь1^Б;1, О^-Зя,

Рассмотрена задача определения области значений = { 5 € <3 }

. для заданной гс.

Предположение: (ограниченность области

А(3гс,а) Ф о, Уч е <2, V*

Главным результатом параграфа является следующее утверждение: гранит области значений интервальной передаточной функции состоит из определенных 16 линейных отрезков и 16 криволинейных дуг:

дРШ,<2) с дРЛМ и дРгЬО. (21)

РЛп) ~ и АГ1В(*), (22)

1 к=1 к

Р2( я) = и В.Ды, (23)

где з1,..,вд, а1.....Ад - вершины прямоугольников Зи,Ь),

ЬеСЗ), Л(и)={А( Д(л)-криволинейный четырехгранник,

полученный, инверсией прямоугольника А(ъ).

Алгоритм вычисления области Я(Зет,О таков Алгоритм. 3.1.

Шаг 1.Проверить условие (20).

(18)

(19)

(20)

Шаг г.Вынислтъ четыре прялоуголъниха по формуле (22).

Шаг Э.Въсчислтъ чегшре "криволинейных четырехгранника" С16 дуг) по форлуле (23). ..

Шаг 4.Определишь внешние границы вычисленных четырехгранников. Эти границы являются границей облаагш. P(jw,Q).

Типичный вид области р(jw.q) представлен на Рис.2.

В следующих параграфах приводятся примеры решения основных задач робастного управления с помощью построения интервальной, передаточной функции.

В параграфе 3.2 рассматривается задача оценки робастной устойчивости при совместной неопределенности класса (6) и (6')

Приводятся алгоритмы.вычисления функций:

ЬЛ») = min |S(jw,q)|, (24)

Q

L„(w) = max |T(3'w,q)|, (25)

. Q

где

S(s,q) = 1 + R(s)P(s,q), (26)

H(e)P(B,q)

T(s,q) = -. (27)

1 + H(B)P(B,q)

Эти два алгоритма позволяют сформулировать следующий простой способ проверки робастной устойчивости ОАУ при наличии совместной неопределенности.

Теорема 3.1.

Пусть задан интервальный объект, P(b,Q) и регулятор R(e), обеспечивахщсй его устойчивость. Тогда устойчивость залкнуюой системы сохраняется для всех объектов селейства

-(C) если и только если

I1 (Ю \R(Jw)\r(w) 7

~(б') если и только если

Lz(w)r(w) < j't1

Кроме простоты, достоинство теоремы 3.1 заключается в том, что она непосредственно дает максимальное значение размаха непараметрической неопределенности для семейстрч (б)

Ь1 (w)

7таз: = min ---(28)

тах w |R(jw)|r(w) .

и для семейства (6')

Тдах = min (I2(w)r(w))"1. (29)

В параграфе 3.3 для заданной параметрической неопределенности приводятся алгоритмы вычислений вариации некоторых частотных показателей качества САУ, таких как

-Запас по фазе и по амплитуде,

-Модуль инверсии функции чувствительности |S(o'w)|,

-Вещественно-частотная характеристика замкнутой системы RS(d"W),

-Амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы

В параграфе 3.4 рассматривается применение построения области значений P(Jw,Q) в задаче синтеза робастного регулятора.

Вычисление P(jw,<2) позволяет обобщить некоторые известные методы расчета регулятора на случай наличия неопределенности з модели объекта. В качестве примеров такого подхода в параграфе

приводятся два способа расчета ПИД (ПИ) регулятора с учетом неопределенности на основе метода управления с помощью внутренней модели (1МС) и метода расчета регулятора по заданному значению частотного показателя колебательности.

В четвертой главе рассматривается задача анализа робастной положительной вещественности и робастной абсолютной устойчивости.

В параграфе 4.1 рассматривается задача оценки робастной положительной вещественности семейства "регулятор-объект" (1),(2).. Введены обозначения:

= р4в 1 = 1.....4; (30)

Ш*) = РнеЗЧЧ

ГД9 А±(в), В1(в), 1=1,...,4 - Харитоновскиэ полиномы для соответствующих семейств, и приводится следующий критерий:

Теорела 4.1.

Для того, чтобы селейство (I), (2) била робастю вещественно-положительньи, необходило и достаточно, чтобы

1)селейство полинолов Л(в,а), УаеС било робастю устойчивый,

2)1(11>)>ч,

где

|У„соз<р. + УэСпф |

Ъ(ш) ^т1п—--?—> 7, 1=1,...,4, (31)

I- Я^созср^ +Гв|а(пф±|

Ф± = Ф± " Фк

для Уш € [О.со).

(ив,7в,зв,тв вычисляются формулой (а)).

В трех следующих параграфах проводится исследование робастной

абсолютной устойчивости при различных видах неопределенности п круговому критерию, критерию Попова и критерию Чо-Нзрендры.

Задача анализа робастной абсолютной устойчивости поставлена при предположении, что неопределенности существуют I , только в нелинейной части, з также в линейной части системы (Рис.3).

В. этом случае модель линейной части имеет вид семейства передаточных функций (2).

Основное внимание в диссертационной работе уделено вопросу анализз робастной абсолютной устойчивости при наличии параметрической и совместной неопределенности, поскольку ранее в этих случаях не были получены такие простые критерии и формулы, как в случае непараметрической неопределенности.

Построение области значений ■ функций РЦ\ч,0), изложенное в предыдущей главе, позволяет разработать различные геометрические способы проверки робастной абсолютной устойчивости:

аШосщюение Р{№,0) для каждого значения ъ. Робастная абсолютная устойчивость илэет место, если выполнена одновременно два условия:

-Номинальная система устойчива, -Ни одна РЦте,О) не пересекается с мнохеством С*. Здесь, множеством С* является либо окружность либо прямая, что зависит от используемого критерия и от заданного класса нелинейности.

б построение годографа Ш^) - наихудшего :лучая, т.е. кривой, которая состоит из самых близких точек областей Р(уя,<2) к множеству С*, или вычисление функции минимальных расстояний с1(те) областей Р{Зи,<Э) к данному множеству С*. Тогда критерий робастной аьсолютной устойчивости имеет форму:

- Налтальтя система устойчива,

- ТоЭограф Z(jw) не пересекавшая с лнокестЬол С* или d.(w)>0, Vw.

Решение задачи вычисления-этих графиков, как и решения других задач, изложенных в предыдущих частях работы, не представляет особого труда. Кроме того, алгоритмы решения этих задач при совместной неопределенности не отличаются существенно от случая параметрической неопределенности.

В пятой паве приводится методика исследования робастности САУ с помощью пакета cotecsim-ar.

Пакет cotecsim-ar (описание которого изложено в Приложении 1) разработан с участием автора и предназначен для проектировщиков САУ. Этот пакет содержит с одной стороны, типовые аналитические модули, которые проектировщики могут использовать при проектировании САУ в "классическом смысле", аналогично использованию других подобных пакетов, с другой стороны, пакет содержит модули исследования робастности, разработанные на основе теоретических результатов диссертационой работы:

1.Модифицированный частотный критерий робастной устойчивости.

2.Робастный годограф Найквиста.

3.Вариация вещественной части и модуля частотной характеристики замкнутой системы.

4.Робастная положительная вещественность.

б.Робасный круговой критерий абсолютной устойчивости.

6.Робастный критерий абсолютной устойчивости Попова.

7.Робастный критерий абсолютной устойчивости Чо-Нарендрц.

8.Синтез робастного 1ВД регулятора по методу шс для модели

первого порядка с запаздыванием.

Проектировщики могут использовать пакет сотесзш-ай в двух вариантах:

-для решения отдельных задач анализа САУ (еозмонности пакета в этом плане показаны на многих примерах в диссертационной работе;..

-для человеко-машиной замкнутой процедуры проектирования САУ по следующей схеме:

1.Расчет оптимальных параметров настройки регулятора по заданным требованиям для ноКшнальной модели объекта.

2.Анализ робастности разработанной системы.

3.В случае необходимости, на основе полученной при анализе информации корректирование требований, и затем повторение расчета по этой не схеме.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе.

В прилокении i описан пакет сотесзш-ай.

В приложении 2 приводятся математические утверждения, необходимые для обоснования результатов исследования в диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В работе решены следующие задачи, позволяадие эффективно исследовать робастность САУ при существовании неопределенности различного рода в ¡:одели объекта:

1.Разработан модифицированный частотный критерий робастной

устойчивости, обладающий по сравнению с известными критерями меньшим объемом вычисления и возможностью обобщения для различного класса объектов.

2.Разработан удобный для'практики способ вычисления облзсти значений интервальной передаточной функции.

3.На основе вычисления этой облзсти разработаны • алгоритмы вычислений'вариаций различных частотных характеристик при наличии параметрической неопределенности, которые,позволяют:

-сформулировать эффективны критерий робастной устойчивости при совместной неопределенности;

-проводить анализ робастного качества САУ;

-обобщить алгоритмы расчета робастного регулятора с учетом неопределенности.

4.Разработан частотный критерий робастной положительной вещественности.

5.Проведен анализ робастной абсолютной устойчивости при наличии неопределенности разного рода. Предложены геометрические способы оценки робастной абсолютной устойчивости по круговому критерию, критерию Попова, критерию Чо-Нарендры.

6.На основе алгоритмов, разработанных в диссертационной работе, создан пакет программ исследования робастности САУ, предзначенный для разработчиков АСУТП.

По теме диссертационной работы опубликованы следующие работы:

1.Ле Хунт Лан. Модифицированный частотный критерий робастной устойчивости. Автоматика и Телемеханика. 1993. N.8.

2.Ле Хунт Лан.. Построение области значений интервальной

передаточной функции и ее применения в задачах- робастною управления. Автоматика и Телемеханика, /в печати/.

Кроме того, автором опубликованы по теме диссертации 3 работы на вьетнамском языке и 3 доклада на международных с^шозиумах и рабочих совещаниях на английском языке'.

г т ^ х е Н(в) и

ХУ

Рис.1

\ <р(г)

)

Нелинейная часть

Линейная часть

, Рис.3