Обеспечение устойчивости линейной системы с помощью ограниченного управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

На правах рукописи

РГб од

п 2 гш

Шапаренко Наталия Николаевна

Г 1(11

/ . I

ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ОГРАНИЧЕННОГО УПРАВЛЕНИЯ

01.01.09 - математическая кибернетика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток 2000

Работа выполнена в Институте прикладной математики ДВО РАН

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук.

профессор Ашепков Л.Т.

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук

Нурминский Е.А.. кандидат физ.-мат. наук Чеботарев А.Ю.

Ведущая организация: Дальневосточный государственный технический университет (г. Владивосток)

'Зашита состоится 2000 года в часов на

заседании диссертационного совета К 064.58.08 в Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская. 27

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеках Института прикладной математики ДВО РАН и Дальневосточного государственного университета.

Автореферат разослан "

000 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических нау

Е.И. Антонова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Проблема синтеза оптимальных систем управления или. в другой терминологии, проблема построения оптимальных управлений типа обратной связи, известна с момента постановки первых задач оптимального управления на рубеже 1940-1950 гг. Эти задачи были поставлены инженерами, которые всегда отдавали предпочтение управлениям типа обратной связи. Однако, развитие теории оптимального управления с середины 1950-х годов шло в основном по линии изучения свойств оптимальных программных управлений. которые действует по времени и жестко привязаны к начальному состоянию. В отличие от них управления типа обратной связи (синтезирующее управление) вырабатывают воздействие по состоянию и не зависят от начального состояния. Причины интереса к синтезирующим управлениям объясняются тем, что системы автоматического регулирования действуют в условиях помех или возмущений. Эти помехи (или возмущения) "сбивают" управляемый объект с расчетной траектории. Расчетное программное управление, зависящее от начального состояния, в такой ситуации бесполезно, так как не обеспечивает даже допустимость траектории. Синтезированное же управление, зависящее от текущего состояния системы, позволяет конкретизировать управляющее воздействие и для измененных состояний. Как только действие помех прекращается, оптимальная синтезированная замкнутая система продолжает функционировать наилучшим образом для измененных начальных состояний и далее до следующих возмущений.

Основные теоретические подходы к исследованию проблемы синтеза базируются на использовании принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования Беллмана, достаточных условиях оптимальности Крогова, функций Ляпунова, а также теории поля экстремалей Величенко.

Каждый из перечисленных подходов использует посылки и конструкции, которые определяют, а иногда и ограничивают область его применения. Это априорное предположение гладкости функции Беллмана, неопределенность с выбором вспомогательных функций в методе Кротова и необходимость решать семейство задач программного оптимального управления с произвольными начальными значениями траектории в теории ноля экстремалей.

Проблеме построения обратных связей для обеспечения оптимальных переходных процессов посвящено большое число исследований. Тем не менее обшей теории синтеза до сих пор не создано. Проблема оказывается чрезвычайно сложной и полно изучена лишь в некоторых простых случаях. Поэтому не случайно наиболее крупные успехи современной математической теории оптимальных процессов относятся к исследованию программных управлений. Именно для них доказан знаменитый принцип максимума Понтрягина. Принцип максимума позволил лучше понять и разработать методы решения сложных современных вариационных задач, определенных в замкнутых прстранствах, благодаря чему он нашел широкое применение в прикладных инженерно-технических областях ( автоматическое регулирование, робототехника, ракетодинамика и др.). Однако практическое применение принципа максимума наталкивается на ряд трудностей. Эти трудности связаны с необходимостью выражать вспомогательные сопряженные множители через фазовые координаты. Поскольку эти множители не связаны органически с содержанием вариационной задачи п не участвуют каким-либо образом в ее постановке, надежды на эффективное решение проблемы синтеза оптимальных систем с помощью принципа максимума и второго фундаментального метода теории оптимального управления - динамического программирования Беллма-на - в общем случае не оправдались.

Единственным исключением является позиционное решение Р. Кал-маном и A.M. Летовым линейно-квадратичной задачи оптимального управления. Этот успех объясняется тем, что в задаче Калмана-Летова не было прямых (геометрических) ограничений на управление, в силу чего упомянутая задача была по существу задачей классического вариационного исчисления. Исследованию этой задачи посвящены работы A.M. Летова (1960), Р. Калмана (1961), H.H. Красовского (1973).

Прямые ограничения на управление представляют наиболее рас-прастраненную в приложениях нелинейность и поэтому их игнорирование резко снижает ценность результата. Задача синтеза оптимальных систем с ограниченными управлениями рассматривается в сравнительно немногих работах. Эта задача решена для линейной автономной

системы

.г = .4 г + В и

с матрицей .4. вещественные части собственных значений которой неположительны и неуправляемая часть системы имеет собственные значения со строго отрицательными вещественными частями. Для системы

i = f(r)+G(x)u. xeRn. «егс/?™

найдена явная формула для стабилизирующей обратной связи с помощью управляющих функций Ляпунова - собственных положительно определенных функций V : Ra —> R+ таких, что

inf{a(x) + В(х)и} < 0, г^О,

где

а(х) = VV(.r)/(i)l В(х) = Y V'(.r)G(x).

Кроме того, делаются попытки решения задач такого класса с использованием численных методов: метода нелинейного прогампрова-ния Пауэлла: метода штрафных функций.

Определенный прогресс в решении проблемы в последние годы связан с применением методов упреждающего управления. Они исходят из проверенного практикой предположения,что робастность стабилизирующего управления в момент времени t возрастает, если учитывается будущее поведение системы на интервале (t,t + h(t)) с выбранным горизонтом планирования h(t) > 0.

Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование задачи стабилизации линейной нестационарной системы с помощью ограниченных управлений, а именно:

1) построение в аналитической форме оптимального синтезированного управления на заданном интервале времени;

2) построение процедур стабилизации, учитывающих в ,каждый момент времени будущее поведение системы;

3) обобщение на случай векторного управления;

4) исследование вопросов устойчивости положения равновесия замкнутой системы и робастности синтезированного управления:

5) проверка теоретических результатов с помощью численных экс-пернмен гон.

Методы исследования. При анализе задач в диссертации использовались общая теория дифференциальных уравнений, теория оптимального управления, математический анализ.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- предложены и теоретически исследованы новые робастные процедуры стабилизации линейных стационарных и нестационарных систем, учитывающих амплитудное ограничение на управление;

- в аналитической форме построено оптимальное ограниченное скалярное управление для линейной нестационарной системы;

- сделано обобщение на случай векторного управления.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты диссертации представляют теоретический интерес как эффективное средство построения ограниченных стабилизирующих законов управления для линейных (и в дальнейшем, нелинейных) систем и практический интерес - с точки зрения непосредственного использования в задачах синтеза систем автоматического регулирования.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на

- I Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997);

- II Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1998);

- Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Золотова Е.В. (Владивосток, 1998);

- Дальневосточной математической школе-семинаре им. академика Золотова Е.В. (Владивосток, 1999);

- 3-й Азиатской конференции по управлению (Шанхай, 2000).

Результаты работы обсуждались на семинарах Института прикладной математики ДВО РАН и Дальневосточного госунивеситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 94 страницах машинописного текста, подготовленных в системе Ш^Х , состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 64 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Благодарность. Автор выражает глубокую благодарность науч-

ному руководителю Леониду Тимофеевичу Ашепкову за постановку задачи. полезные замечания и внимание к работе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен краткий обзор литературы, указана актуальность темы исследования, цель и новизна полученных рузультатов. а также сфомулированы основные результаты, полученные в днссерт тационной работе.

В первой главе рассматривается задача минимизации среднеква-дратического уклонения траектории линейной нестационарной системы от положения равновесия на заданном интервале времени с помощью ограниченного по амплитуде управления.

В §1.1 дается постановка вспомогательной задачи. В качестве объекта исследования выбрана линейно-квадратичная задача оптимального упавления

J = 112х{и)'Сх(1л) + 1/2 I'1 х(t)'D(t)x{i)dt min, (1)

■Но

х = A(t)x +b{t)u, x{t0)=x0. (2)

M < 1 (3)

в классе кусочно-непрерывных программных управлений на произвольном ограниченном отрезке времени to < i < t\.

■ Здесь .г— фазовый вектор из Rn.и— скалярное управляющее воздействие, t\— заданное положительное число. .ro,fo— произвольные фиксированные начальные значения из множеств Rn и Т = [(Mi) соответственно, С— постоянная, D(t). A(t).b(t)— непрерывные при t > О матричные и векторная функции соответствующих размерностей, удовлетворяющих условиям симметричности: С — C',D(t) = D(t)1. неотрицательной и положительной определенности: С > О, D(t) > 0. С + D(t) > 0 и нетривиальности: b(t) ф 0. Требуется:

1) построить непрерывное на Rn х Т управление u(x,t) типа обратной связи, порождающее оптимальное в смысле минимума функционала (1) движение замкнутой системы

i = A(t)x + b{t)u(j.t). x{tn) = x0 (-1)

для каждой пары начальных значений г0 G R", to G T:

2} продолжить управление и\хА) на Ft' х [0. х): ■3) последовать устойчивость положения равновесия системы (4) и рооаотнооть синтезированного управления.

По постановке эта задача является частным не исследованным случаем задачи A.M. Летова об аналитическом конструировании регулятора. в которой целевой функционал не содержит квадрата управления, но имеется амплитудное ограничение на управление. Два последних обстоятельства не позволяют применить для решения задачи вариационный метод, который был использован в основополагающих работах A.M. Летова. В диссертационной работе дается точное аналитическое решение задачи на базе принципа максимума Л.С. Понтрягина.

В $1.2 обсуждается сложность вспомогательной задачи. В частном случае. С = 2E,D{t) = 0 вспомогательная задача геометрически состоит в нахождении ближайшей к началу координат точки множества Q(ti:i\i.to) достижимости системы (2), (3). По определению оно образовано в фазовом пространстве R" правыми концами x(ti) всех траекторий системы (2), (3). исходящими из точки х = го при t = to. Сложность задачи состоит в неявном задании множества Q{t\\ Хо- to) и его зависимости от п + 1 параметров - начальных значений xqAq.

В §1.3 для полноты изложения доказывается достаточность принципа максимума для данной задачи.

Для решения вспомогательной задачи (1)-(3) в §1.4 используется принцип максимума Л .С. Понтрягина. Составим функцию Гамильтона

Н(р, х, u.t) = v'[A{t)x +b{t)u] - \/2х'D(t)x. (о)

В соответствии с принципом максимума, если оптимальный процесс x{t:r0,t0). u(t:xo-to) задачи (1)-(3) существует, то управление удовлетворяет условию

ХН= i!>{Ux0,t0y[b(t)v-b(t)u{t;x0,t0)] <0, г £ t' *e[i0-ii]- (6) где i-(t:x().tn) - непрерывное решение сопряженной системы О = -A(i)'v + D(t)x(t:xо, г0).

х0, h) = ~Cx(ti; xqJQ). (7)

Поскольку функция H[v. х. u.t) линейна по и, то максимум функции Гамильтона достигается при

u(t:rn.t0) £ yig" [b(t)'v(t;xoJo)l to<1<t\- (8)

В формуле 15) считаем = \:\/: при : ^Он < 1. Тем самым

обеспечивается свобода выбора управления при 6(^)'(_ (#: ,г0. ¿о) = 0.

Отметим, что в силу исходных и сопряженных дифференциальных уравнений функция и хо 'о) неявно зависит от управления и{1\ Хо- /п). Поэтому включение (8) можно рассматривать как некоторое условие на неизвестное управление и((:.го-¿о)-

Запишем решенне краевой задачи принципа максимума по формуле Коши, используя решение Р(£.т) матричного дифференциального уравнения

рт({.т) = -р(ит)А(т), = (У)

(Е- единичная матрица). Имеем

(

+ / РЦ, г)Ь(т)и(г: х^Л^т- (10)

(о

Н

Х0, ¿о) = -р{ил0)'Сх{и-. х0, ¿о) - / F(s, О^х^; х0,10)4з. (11)

<0

Для сокращения записи обозначим

(1

ф(/,г) = + / (12)

г

'1

А'(<) = /''(¿г, ¿) + / F(s,í),Z)(s)^,(s,0rfs = Ф(М)- (13)

I

Тогда в обозначениях (12). (13) формула (11) примет вид

(о

После подстановки (14) в (8) приходим к нелинейному интегральному включению

<1

Ь(/о)'А'('о)ю+ / Ь(<о)'Ф(*о,г)6(г)и(г;х0. г0)йг

и(/0: го,¿о) € ~5'оп

где

h

/х(г) = J |6(<)'ф(г> т)Ь{т)| dr, 0 < t < h. (16)

t

Анализ интегрального включения (15) позволяет выписать в явном виде одно из решений

u(x,t) = -sat (x,t) е Rn х Г. (17)

Здесь функция sat определена следующим образом

sat г = sign 2, |z| > 1; sat z — z, \z\ < 1.

Следующие два параграфа - §1.5, §1.6 посвящены обсуждению полученных результатов. Очевидно, функция (17) непрерывна по x,t и кусочно-аффинна по ж в области определения, поэтому решение x(t) системы (4) существует при to < t < t\. По построению управление (17) отвечает необходимому условию оптимальности в форме принципа максимума в каждой точке (x,t) £ Rn х Т и, в частности, в точках (x(i), f) вдоль траектории x(t). Поскольку принцип максимума для задачи (1)-(3) есть достаточное условие оптимальности, то управление u(x(t),t) для начальных значений xo,to оптимально. Таким образом, синтезированное управление (17) оптимально на Rn х Т.

В последнем параграфе главы - §1.7 рассматривается вопрос о ро-бастности (малой чувствительности) управления к исходным данным задачи.

Решение задачи (1)-(3) получено для фиксированного отрезка Т = [О, ¿i] числовой оси. Чтобы использовать это решение для стабилизации системы, необходимо продолжить его для t > ii. Для этого во второй главе предлагается два способа продолжения управления на полуось времени.

В §2.1 рассматривается поэтапный способ - по полуотрезкам [О,/г), [Л, 2/г),... фиксированной длины h > 0. Перейдем к описанию процедуры поэтапной стабилизации. Обозначим

Ti = {(i-l)h,ih), г = 1,2,....

На каждом интервале Т{ по формуле (17) при = ih определим управленце гii(t,x). Соответствующие ему функции //¿(i), А',(i) также

будем помечать символом г. Выбрав матрицу Со > 0 произвольно, положим

Ci = F((j - 1)Л, ih)'Ci-iF((i - 1 )h, ih) - J* F{s, ih)' A(s)F(s, i/i)rfs,

г =1,2,.... (18)

Пользуясь формулами (12), (13), (16) при 11 = ih, определим функции

Vi(t,T) = F(ih,tyCiF(ih,T) + fTk F{s,t)'Dl(s)F{s,r)ds, (19) Ki{t) = Vi(t,t), (20)

Hi{t) = J\Ht)%(t,T)b(T)\dT. (21)

t

Для упрощения расчетных формул матрицу Di(t) удобно выбирать не зависящей от г, т.е. Di(t) — D(t) при t > 0. Тогда из (18), (19) с использованием полу группового свойства фундаментальной матрицы:

F(t,T) = F{t,s)F{s,r)

для любых t, г, s 6 R, имеем

Ki(t) = F(0,t)'CoF(Q,t) - I* F(s,t)D(s)F{s,t)ds = K(t), (22)

(г - l)h < t < th, г = 1,2,... .

Таким образом, каждая матрица Ki(t) есть сужение на отрезок (г — 1 )h <t<ih симметричной, положительно определенной и непрерывно дифференцируемой при t > 0 матрицы K(t). С учетом (19)-(22) определим на Rn х [0, оо) аналог управления (17)

u(x,t) = -sat [(¿^{fy^Ki^x}, (x,t) G Rn xTi, г =1,2,....

(23)

Функцию K(t) можно находить непосредственно по формуле (22) или как решение соответствующей задачи Коши

К = -A{t)'K - KA(t) - D(t), K{h) = С. (24)

Введем

Определение 2.1. Матрица A{t ) удовлетворяет условию нормальности, если существуют постоянные > 0. а >0 такие, что <>ля произвольны,i х из Rn и t > 0 выполняется неравенств о

x'K{t)x > ")e-Q'||r||2. (25)

где матричная функция K(t) удовлетворяет уравнению (24).

Условие нормальности есть неявное ограничение на матриц}" .4(i). Вопрос устойчивости положения равновесия х = 0 замкнутой системы (4) решает следующая

Теорема 2.1. Пусть „матрица A(t) удовлетворяет условию нормальности при а = 0. Тогда для замкнутой системы (4) положение равновесия х = 0 устойчиво по Ляпунову.

В §2.2 предлагается "скользящая" процедура стабилизации -- по интервалам (t,t + h),t > 0. В отличие от предыдушей процедуры будем считать горизонт планирования h > 0 постоянным для каждого текущего момента времени t > 0. Кроме того, предположим, что коэффициенты A{i) = А, b{t) = b, D{t) = D задачи (l)-(3) не зависят от t и пара ,4. b при А ф 0 управляема, т.е. векторы b, Ab. ...,А"~1Ь линейно независимы.

Используя экспоненциальное представление

F(t, т) = е'<~т)А

фундаментальной матрицы F(i.r) в фомулах (12). (13), получим

ii

Ф(*. г) = е(<>-^'Се<(1-г>л + J e^A'De^Ads.

г

Выбрав произвольно число h > 0, положим t\ = t + h.

t+h

ф(4,г) = ehA'Ce^-T^A+ J e^t)A' De^A ds.

T

h

К = ehA'CehA +feTA'DeTAdr. (26)

о

Отсюда непосредственно следует, что матрица К = К' > 0 постоянна и удовлетворяет алгебраическому уравнению

А'К + К А + D = ehA\A'C'+CA + D)ehA. (27)

Кроме того.

Ф (<.-) = A Y

Dt

-•ds.

(28)

По формуле ( 16) при ti = t + h имеем

. i+Л Л

H(t) = I \b'^{t,T)b\dT = j \b'ty(t.e +t)b\d9> 0, t > 0. (29) t о

Подстановка (28) в (29) показывает, что функция /j(t) постоянна:

/i(<) = /|b' Ке~вА+ j el'-WDel'-'-^ds

e+t

b\de

= J b' Ке~вА-JeTA'Dt<T-*Adr

dd :

(30)

Следовательно, по формуле (17) получим стабилизирующее управление

и{х) =.—sat [р-1Ь'Кх]. х € Rп, (31)

где fi - положительная постоянная, зависящая от К. D и h.

Дальнейшая детализация процедуры зависит от свойств матрицы .4 и выбора матриц С, D. В работе рассматривания случаи, когда матрица А устойчива и кососимметрическая. Анализ этих случаев показывает, что процедура скользящей стабилизации приводит к управлениям вида и(х) = <р(сг), <т = с'х, которые широко используются в теории и практике автоматического регулирования для обеспечения устойчивости систем. Приведенный здесь подход позволяет не только выбрать функцию <р(т) и указать способ вычисления вектора с но и дать определенную экстремальную характеристику найденным управлениям. Отметим также, что для стационарной системы (2) с произвольной матрицей А рассуждения, использованные в §2.2 не применимы. В этом случае можно рекомендовать процедуру поэтапной стабилизации с соответствующими изменениями для стационарной системы.

Отдельно рассматривается случай, когда в управлении (31) /J > 0 и К > 0 являются произвольными числовым и матричным параметрами. Для устойчивости положения равновесия г = 0 замкнутой системы при

тП1х условиях достаточно, чтооы .матрица

А"-1 .4' + .4 Л'-

-6 6'

была отрицательно определена. Этот вопрос разрешает

Теорема 2.2. Пусть числа а^.а?.....а„ положительны и попарно

различны. а среди чисел 61.62.....Ьп нет нулевых. Положим

( <21 О О о2

\ О О

О \ О

1 Ьх \

Ь2

1п

Ьп

Тогда для положительно определенной матрицы

I

К'1 =

Ь2,-с 2а1

<12 + 01

¿1-е 202

V а

М

ь„ь2

„+a¡ а„+а2

(: > 0 - мало) матрица

М = А'"1 А' + Л А"

М„

01+а2 ь2ьп

аг+а»

Ь1-е 2 а„ /

6 6'

(-32

отрицательно определена.

В §2.3 приведены примеры, иллюстрирующие полученные результаты. Рассмотрим линеаризованную модель математического маятника

¿1 = —их2. ¿2 — + и (33)

с параметром у > 0. По формуле (31) находим стабилизирующее управление в виде

и{х1,х2) =Х2, Ц > 0. (34)

Фазовые портреты системы (33) при и = 0 и и = и(х1,12),0 < р < 0.5г^-1 приведены на рисунке.

Свойство робастности синтезированного управления обсуждается в §2.4. Последний параграф - §2.5 посвящен численным экспериментам, которые подтверждают теоретические результаты.

В тетьей главе показано, что найденная в главе 1 конструкция скалярного управления в некотором смысле универсальна. Если в системе

6

Рис : Фазовые портреты системы (33) при управлении и = О (вверху) и управлении (34) (внизу)

с векторным управлением определить каждую координату управления сходным с (17) образом, то при достаточно общих предположениях на коэффициенты системы ее положение равновесия оказывается асимптотически устойчивым по Ляпунову. При этом стабилизирующее векторное управление кусочно-афинно по фазовым координатам, ограничено по амплитуде и каждая его координата обладает экстремальным свойством. Суть экстремального свойства в том. что при замене всех координат векторного управления, кроме одной, нулями, оставшаяся ненулевая координата есть оптимальное управление по среднеквадратичному отклонению траектории на определенном отрезке времени среди всех ограниченных управлений такого частного класса.

В §3.1 формулируется постановка задачи. Пусть дана система обыкновенных дифференциальных уравнений в векторно-матричной форме

х = A{t)x + B(t)u. (35)

i(0) =xQ, IIE U, (36)

где A(~t). B(t) - непререрывные при t > 0 матричные функции размерности п х п, п х г, хо - произвольный вектор из Я", U = [—1, 1]г -стандартный г-мерный куб в пространстве RT с ребрами, параллельными соответствующим координатным осям.

Требуется построить кусочно аффинное управление u(x,t) : Rn х [О, оо) —U, которое обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия х = 0 замкнутой системы

x=A(t)x+B(t)v{x,t), х{0) = хо (37)

для любых начальных векторов Xq G Rn ■

В §3.2 строится стабилизирующего управление. Координаты Uj{x,t) векторной функции u(x,t) определяются по правилу

Ui(x, t) = —sat [i/i(i)6''(<)'L(i)x], (38)

( = 1,2, ...,r, (i,i)£ii"x[0,x),

где v,(t) - непрерывные положительные при t > О функции, b'(t) - i-й столбец матрицы B(t),

L(t) = e~3^-l(t)^-l{t), (39)

3 - положительный параметр. Ф(/) - решение матричного дифференциального уравнения

Ф = АЦ)Ф. Ф(0) = Е. . (40)

(Е - единичная матрица).

Непосредственно из определения (39) следует, что матрица L(t) при t > 0 непрерывна, симметрична, положительно определена и находится как единственное решение задачи Коши

L = -A(t)'L - LA(t) - 3L, L(0) = Е. (41)

Отсюда и из (17) видно, что каждая координатная функция (38) получается заменой в формуле (17) функции (16) на j/,-(f) и конкретизацией матриц С и D(t) : С = L{h), D(1) = 3L(t).

Основным результатом параграфа служит следующая

Теорема 3.1. Пусть матрица A(t) удовлетворяет условию нормальности в виде

x'L(t)x > ~)е~а,\ |.г| |2 (7 > 0, о > 0), (42)

где матрица L(t) определена формулой (39). Тогда, если существует такое число 3, что 3 > а, то при любом выборе непрерывных положительных функций i/i(t).....управление u(r.t) с координатами

(38) обеспечивает асимптотическую устойчивость в целом положения равновесия х = 0 системы (37).

Отметить, что условие нормальности (42) есть некоторый аналог показателей Ляпунова, которые позволяют исследовать асимптотическую устойчивость неавтономной линейной системы дифференциальных уравнений.

В §3.3 рассмогривается частный случай задачи (35). (36), когда матрица А равна нулю. §3.4 посвящен численным экспериментам -анализу поведения решения в стационарных системах управления с различными корнями характеристического уравнения.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

В приложении 1 выделяются некоторые частные классы постоянных матриц А. удовлетворяющих условию нормальности. Матрица •4(0 удон.тгч-лоряп у-торию нормальности, если выполнено одно из следующих требований"

1) решение матричного уравнения

Ф=Д(*)Ф. Ф(0 ) = Е.

(4-3)

(Е- единичная матрица) ограничено по норме при t > 0;

2) матрица А постоянна и ее спектр расположен в левой комплексной полуплоскости, т.е. каждое собственное значение матрицы А имеет отрицательную вещественную часть;

3) матрица А постоянна и имеет п действительных попарно различных собственных значений (не обязательно отрицательных).

Приводится доказательство этих требований.

Приложение 2 содержит доказательство теоремы 2.2.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Предложены новые процедуры стабилизации линейной системы с переменными коэффициентами с помощью скалярного ограниченного по модулю управления и(хЛ) типа обратной связи. Это управление для каждой точки (х, 1) £ й" х Г обеспечивает минимальное средне-квадратпческое уклонение движения линейной системы от положения равновесия на интервале планирования (М1) и в этом смысле учитывает будущее поведение системы.

2. Рассмотрены вопосы устойчивости положения равновесия замкнутой системы и робастности синтезированного управления.

3. Сделано обобщение на случай векторного управления. Показано, что асимптотическая устойчивость в целом положения равновесия системы может быть обеспечена выбором управлений в виде ограниченных по амплитуде кусочно аффинных функций фазовых координат.

4. Выполнены численные эксперименты по проверки эффективности синтезированных законов управления.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Шапаренко H.H. Оптимальный синтез и упреждающая стабилизация линейной системы / Тез. докл. Гон Дальневосточной конференции студентов н аспирантов по математичесому моделированию. Владивосток: Дальнаука. 1997. С. 70.

2. Шапаренко H.H. Стабилизация линейной нестационарной системы в классе ограниченных управлений / Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. академика Золотова Е.В. Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 101.

3. Шапаренко H.H. Стабилизация линейной нестационарной системы в классе ограниченных управлений / Тез. докл. П-ой Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математичесому моделированию. Владивосток: Дальнаука, 1998. С. 59.

4. Шапаренко H.H. Стабилизация линейной нестационарной системы с помощью ограниченных управлений // Тез. докл. Дальневосточной математической школы-семинара им. академика Золотова Е.В. Владивосток: Дальнаука, 1999. С. 88-89.

5. Шапаренко H.H. Стабилизация линейной нестационарной системы с помощью ограниченных управлений // Дальневосточный математический сборник. Выпуск 8. 1999. С. 174-177.

6. Ащепков Л. Т., Шапаренко H.H. Оптимальный синтез и упреждающая стабилизация линейной системы // Изв. АН. Теория и системы управления. 1999. N 1. С. 24-30.

7. Ashepkov L.T., Shaparenko Ar.N. Optimal Synthesis and Predictive Stabilization of Linear System / Abstract Index of Proceedings of (he 3rd Asian Control Conference. Shanghai, China, 2000. P. 478.

Личный вклад автора. Все результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно.

Введение

1 Синтез оптимального управления для вспомогательной линейно-квадратичной задачи с модульными ограничениями на управление

§ 1.1 Постановка задачи.

§ 1.2 О степени сложности задачи.

§ 1.3 Достаточность принципа максимума.

§ 1.4 Синтез управления.

§ 1.5 Оптимальность синтезированного управления

§1.6 Вырожденность управления

§ 1.7 Робастность синтезированного управления.

2 Стабилизация линейной системы

§ 2.1 Поэтапная стабилизация.

§ 2.2 Скользящая стабилизация.

§ 2.3 Примеры.

§ 2.4 О робастности синтезированного управления.

§2.5 Численные эксперименты.

3 Векторное управление

§ 3.1 Постановка задачи.

§ 3.2 Конструкция стабилизирующего управления.

§ 3.3 Пример.

3 3.4 Численные эксперименты.

Проблема синтеза оптимальных систем управления или, в другой терминологии, проблема построения оптимальных управлений типа обратной связи, известна с момента постановки первых задач оптимального управления на рубеже 1940-1950 гг. [11], [25]. Эти задачи были поставлены инженерами, которые всегда отдавали предпочтение управлениям типа обратной связи. Однако, развитие теории оптимального управления с середины 1950-х годов шло в основном по линии изучения свойств оптимальных программных управлений, которые действует по времени и жестко привязаны к начальному состоянию. В отличие от них управления типа обратной связи (синтезирующее управление) вырабатывают воздействие по состоянию и не зависят от начального состояния. Причины интереса к синтезирующим управлениям объясняются тем, что системы автоматического регулирования действуют в условиях помех или возмущений. Эти помехи (или возмущения) "сбивают" управляемый объект с расчетной траектории. Расчетное программное управление, зависящее от начального состояния, в такой ситуации бесполезно, так как не обеспечивает даже допустимость траектории. Синтезированное же управление, зависящее от текущего состояния системы, позволяет конкретизировать управляющее воздействие и для измененных состояний. Как только действие помех прекращается, оптимальная синтезированная замкнутая система продолжает функционировать наилучшим образом для измененных начальных состояний и далее до следующих возмущений.

Основные теоретические подходы к исследованию проблемы синтеза базируются на использовании принципа максимума Понтрягина [5], [39], метода динамического программирования Беллмана [4],[27], достаточных условиях оптимальности Кротова [28], функций Ляпунова [29], [36] а также теории поля экстремалей Величенко [7], [8].

Каждый из перечисленных подходов использует посылки и конструкции, которые определяют, а иногда и ограничивают область его применения. Это априорное предположение гладкости функции Беллмана, неопределенность с выбором вспомогательных функций в методе Кротова и необходимость решать семейство задач программного оптимального управления с произвольными начальными значениями траектории в теории поля экстремалей.

Проблеме построения обратных связей для обеспечения оптимальных переходных процессов посвящено большое число исследований [12], [14], [25]. Тем не менее общей теории синтеза до сих пор не создано. Проблема оказывается чрезвычайно сложной и полно изучена лишь в некоторых простых случаях. Поэтому не случайно наиболее крупные успехи современной математической теории оптимальных процессов относятся к исследованию программных управлений. Именно для них доказан знаменитый принцип максимума Понтрягина. Принцип максимума позволил лучше понять и разработать методы решения сложных современных вариационных задач, определенных в замкнутых прстранствах, благодаря чему он нашел широкое применение в прикладных инженерно-технических областях ( автоматическое регулирование, робототехника, ракетодинамика и др.). Однако практическое применение принципа максимума наталкивается на ряд трудностей. Эти трудности связаны с необходимостью выражать вспомогательные сопряженные множители через фазовые координаты. Поскольку эти множители не связаны органически с содержанием вариационной задачи и не участвуют каким-либо образом в ее постановке, надежды на эффективное решение проблемы синтеза оптимальных систем с помощью принципа максимума и второго фундаментального метода теории оптимального управления - динамического программирования Беллмана - в общем случае не оправдались.

Единственным исключением является позиционное решение Р. Калманом и A.M. Летовым линейно-квадратичной задачи оптимального управления [25], [33]. Этот успех объясняется тем, что в задаче Калмана-Летова не было прямых (геометрических) ограничений на управление, в силу чего упомянутая задача была по существу задачей классического вариационного исчисления. Исследованию этой задачи посвящены работы A.M. Летова [30], Р. Калмана [25], H.H. Красовского [27].

Прямые ограничения на управление представляют наиболее распространенную в приложениях нелинейность и поэтому их игнорирование резко снижает ценность результата. Задача синтеза оптимальных систем с ограниченными управлениями рассматривается в сравнительно немногих работах [23], [24]. Эта задача решена для линейной автономной системы х = Ах + Ви с матрицей А, вещественные части собственных значений которой неположительны и неуправляемая часть системы имеет собственные значения со строго отрицательными вещественными частями [44], [64]. Для системы х = ¡(х) + в(х)щ хек1, и е и с ят найдена явная формула для стабилизирующей обратной связи с помощью управляющих функций Ляпунова - собственных положительно определенных функций V : Яп —¥ Я+ таких, что т£{а(х) + В{х)и] < 0, х ф О, где а{х) = УУ(х)/(ж), В{х) = V У{х)С(х),

42], [60]. Кроме того, делаются попытки решения задач такого класса с использованием численных методов: метода нелинейного программирования Пауэлла [23]; метода штрафных функций [61].

В конце 1980-х годов Р. Габасов и Ф.М. Кириллова проанализировали классическую постановку проблемы оптимального синтеза [12],

13] и пришли к выводу, что в такой постановке проблема не может быть решена. Они предложили [15] новое понятие решения проблемы оптимального синтеза. Оно отличается от традиционных понятий тем, что в нем явным образом используется понятие решения в режиме реального времени с помощью вычислительных устройств. Другими словами, в своем определении Р. Габасов и Ф.М. Кириллова учли не только силу современных математических методов, но и достижения вычислительной техники [53], [54].

Следующую группу методов составляют методы исследования свойств систем по информации об элементах матриц, участвующих в записи уравнений их состояния. На этом пути существуют наглядные и простые по форме достаточные условия, которые группируются по нижеперечисленным направлениям: применение теоремы Гершгорина [28], составление и решение матричного уравнения Ляпунова [55], [60], использование метода характеристических годографов [56].

Еще одна группа методов - синтез робастных регуляторов. Применительно к текущему состоянию проблемы выделим направления, привлекшие наибольшее внимание исследователей:

1) методы и алгоритмы синтеза линейных интервальных систем, основанные на применении аппарата функций чувствительности, построение структур, допускающих неограниченное увеличение коэффициентов усиления, а так же на других классических подходах [35];

2) частотные методы синтеза систем, исходя из требования устойчивости замкнутой системы [40];

3) методы и алгоритмы синтеза, предполагающие формирование модального управления (в интервальной постановке) [18], [19], [22];

4) методы синтеза оптимальных робастных регуляторов [21], [63];

5) методы синтеза регуляторов на основе функций Ляпунова [52], [55].

Определенный прогресс в решении проблемы в последние годы связан с применением методов упреждающего управления [20], [58]. Они исходят из проверенного практикой предположения,что робаст-ность стабилизирующего управления в момент времени I возрастает, если учитывается будущее поведение системы на интервале + Н({)) с выбранным горизонтом планирования /г(£) > 0.

В диссертации рассмотрены вопросы упреждающей стабилизации линейной системы с помощью ограниченных управлений. Основная часть работы состоит из трех глав. В первой главе решается задача минимизации среднеквадратического уклонения траектории линейной нестационарной системы от положения равновесия на заданном интервале времени В аналитической форме построено оптимальное синтезированное управление в виде непрерывной кусочно-линейной функции фазовых координат с переменными коэффициентами. При решении используется необходимое (и достаточное в рассматриваемом случае) условие в форме принципа максимума. Решение данной задачи получено для фиксированного отрезка числовой оси. Чтобы использовать его для стабилизации системы, необходимо продолжить его для t > t\. Для этого во второй главе предлагаются два способа продолжения управления на полуось времени: поэтапный по полуотрезкам [0, /г), [h, 2/г),. фиксированной длины h > 0 и "скользящий" - по интервалам (t,t + h),t > 0. Показано, что при различных предположениях о коэффициентах системы продолженные управления обеспечивают устойчивость или асимптотическую устойчивость положения равновесия замкнутой системы.

Независимо от способа продолжения действие стабилизирующих управлений происходит по одному общему принципу. С каждым управлением в момент времени t связана полоса P(t) С Rn, ограниченная двумя параллельными симметричными относительно начала координат плоскостями. Если х £ P(t), то управление принимает значение +1 или —1. Если х G P{t), то управление есть линейная функция фазовых координат с зависящими от t коэффициентами. Для стационарной системы при скользящей стабилизации ширина полосы и ее положение в пространстве Л", вообще говоря, постоянны.

В третьей главе сделано некоторое обобщение предыдущего результата на многомерный случай. На основе конструкции скалярного управления предложен векторный закон управления, учитывающий геометрические ограничения и при определенных условиях обеспечивающий асимптотическую устойчивость в целом положения равновесия системы.

Эффективность законов управления проверена численными экспериментами, подтверждающими правильность теоретических результатов.

Несколько слов о применяемых обозначениях. Малые латинские буквы х,у (с верхним индексом, если нужно) означают векторы-столбцы. Символ ' (штрих) используется как знак транспонирования. С его помощью кратко записывается вектор-строка х' и скалярное произведение х'у двух векторов х,у п—мерного пространства К1.

В каждой главе формулы имееют двойную нумерацию: первое число соответствует номеру данной главы, второе - порядковому номеру формулы внутри главы.

Цитируемая литература указана в скобках. Список литературы в алфавитном порядке вынесен в конец работы.

Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в [2], [49] и доложены на I и II Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997, 1998гг) и на Дальневосточной математической школе-семинаре им. Академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998, 1999г).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Леониду Тимофеевичу Ащепкову за постановку задачи, полезные замечания и чуткое внимание к работе.

Заключение

В работе предложены процедуры стабилизации линейной системы с переменными коэффициентами с помощью скалярного ограниченного по модулю управления типа обратной связи. Это управление для каждой точки расширенного фазового пространства обеспечивает минимальное среднеквадратическое уклонение движения линейной системы от положения равновесия на интервале планирования и в этом смысле учитывает будущее поведение системы. Рассмотрены вопросы устойчивости положений равновесия замкнутой системы и робастности синтезированных управлений. Показано, что широко используемые для стабилизации обратные связи вида и(х^) = ср(с(Ь)'х) при определенном выборе функций (рис могут иметь указанную выше экстремальную трактовку.

Сделано обобщение на случай векторного управления. Показано, что при достаточно общих предположениях на коэффициенты системы построенное управление обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия замкнутой системы. При этом стабилизирующее векторное управление кусочно-аффинно по фазовым коэффициентам, ограничено по амплитуде и каждая его кордината обладает экстремальным свойством. Суть экстремального свойства в том, что при замене всех координат векторного управления, кроме одной, нулями, оставшаяся ненулевая координата есть оптимальное управление по среднеквадратическому отклонению траектории на определенном отрезке времени среди всех ограниченных управлений такого частного класса.

Возможное обобщение полученных результатов - добавление в целевой функционал задачи (1.1)-(1.3) среднеквадратического уклонения по управляющим воздействиям достаточно нетривиально, поскольку требует аналитического решения задачи минимизации положительно определенной квадратичной формы на многомерном кубе и точного решения многомерного аналога интегрального включения.

Проделаны численные эксперименты, подтверждающие правильность теоретических выводов.

1. Айсагалиева С. С. Управляемость n оптимальное управление линейными системами при наличии ограничений на управление // Изв. АН Респ. Казахстан. Сер. физ.-мат. 1992. N 3. С. 10-14.

2. Ащепков JI.T., Шапаренко H.H. Оптимальный синтез и упреждающая стабилизация линейной системы // Изв. АН. Теория и системы управления. 1999. N 1. С. 24-30.

3. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Иностр. лит., 1960. 400 с.

5. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 408 с.

6. Буков Е.А. Оптимальные алгоритмы в задачах с ограничениями управляемых координат // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1982. N 2. С. 210-217.

7. Величенко В. В. О вариационном методе в проблеме инвариантности управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 1972. N 4. С. 22-35.

8. Величенко В. В. О методе поля экстремалей в достаточных условиях оптимальности // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. N 1. С. 45-67.

9. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.

10. Габасов РКириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. 507 с.

11. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: Изд-во Белорус, гос. ун-та, 1973. 248 с.

12. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Синтез оптимальных управлений в форме обратной связи. Тез. докл. X Всесоюзного совещания по проблемам управления. Кн. 1. 1986. Алма-Ата. С. 137-138.

13. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Программные и позиционные решения задач управления и наблюдения в динамических системах. Тез. докл. Межд. Семинара ИФАК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации". Владивосток, 1991. С. 33-34.

14. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Построение оптимальных управлений типа обратной связи в линейной задаче // Докл. АН СССР. 1991. Т. 320. N 6. С. 1294-1299.

15. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Оптимизация линейной системы в режиме реального времени // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1992. N 4. С. 3-19.

16. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

17. Гришин С.А. Синтез многомерных систем управлений с заданной динамикой // Изв. РАН. Техническая кибернетика. 1989. N 6. С. 26-33.

18. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Асимптотическое слежение за постоянным сигналом в системе с неопределенными параметрами. Управление многосвязными системами: VI Всесоюз. совещ. Тез. докл. М.: ИПУ, 1990. С. 18-20.

19. Дугарова И.В., Смагина Е.М. Обеспечение устойчивости систем с неопределенными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1990. N И. С. 176-181.

20. Емельянов С. В., Живоглядов П.В., Коровин С.К. Способ стабилизации дискретных объектов с компактной неопределенностью // ДАН СССР. 1991. Т. 319. N 1. С. 91-97.

21. Ефанов В.Н., Крымский В.Г., Тляшов Р.З. Синтез многоуровневых систем управления динамическими объектами с неопределенными параметами. Управление многосвязными системами: VI Всесоюз. совещ. Тез. докл. М.: ИПУ, 1990. С. 31-34.

22. Захаров A.B., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986.

23. Зотов Н.С., Юнфей У. Численная оптимизация квадратичного функционала с учетом ограничения на управление // Изв. С.-Пб. электротехнического ун-та. 1993. N 467. С. 59-66.

24. Калинин А.И., Кириллова Ф.М. Асимптотическая оптимизация линейных динамических систем в классе гладких ограниченных управлений // Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. N 2. С. 175-183.

25. Калман Р. Об общей теории систем управления. Тр. I Конгресса ИФАК. Т.1. М: АН СССР. 1961.

26. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

27. Красовский Н.Н. Системы автоматического регулирования полетом и их аналитическое конструиование. М.: Наука, 1973. 558 с.

28. Кротов В.Ф., Букреев В.В., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. М.: Машиностроение, 1969. 288 с.

29. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977. 400 с.

30. JJemoe A.M. Аналитическое конструирование регуляторов I-III // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 21. NN 4-6.

31. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов IV // Автоматика и телемеханика. 1961. Т. 22. N 4.

32. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов V. Дальнейшее развитие проблемы // Автоматика и телемеханика. 1962. Т. 23. N 11.

33. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. 359 с.

34. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

35. Лозинский Л.Д., Мееров М.В. Синтез одного класса САУ с жесткой структурой, обладающей адаптивными свойствами // Автоматика ителемеханика. 1986. NN 9-11.

36. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Го-стехиздат, 1950. 472 с.

37. Магницкий H.A. Об устойчивости замкнутых нестационарных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. 1989. N 10. С. 187-188.

38. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

39. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М: Физматгиз, 1961.

40. Пылаев П.К., Ядыкин И.Б. Интервальные алгоритмы адаптивного управления с неявной эталонной моделью // Автоматика и телемеханика. 1989. N 6.

41. Розоноэр Л.И. Принцип максимума J1.C. Понтрягина в теории оптимальных систем I-III // Автоматика и телемеханика. 1959, Т. 20. N 10. С. 1320-1334. N 11. С. 1441-1458. N 12. С. 1561-1578.

42. Смагулов Ш., Бияров Т., Байгелов К. Синтез оптимальных систем управления с ограниченным ресурсом // Вестн. АН Каз. СССР 1991. N 2. С. 63-69.

43. Соколов Б.Н. Ограниченное позиционное управление динамической системой большой размерности // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. N 6. С. 1042-1044.

44. Степанъянц Г.А. Стабилизация неустойчивого объекта при ограничениях типа "упор" на управляющие воздействия. Динамика нелинейных систем и систем с перестраеваемой структурой. М.: Наука, 1989. С. 18-24.

45. Фелъдбаум A.A. О синтезе оптимальных систем с помощью фазового пространства // Автоматика и телемеханика. 1955. Т. 16. N. 2. С. 120-149.

46. Шапаренко H.H. Стабилизация линейной нестационарной системы с помощью ограниченных управлений. Дальневосточный математический сборник. Выпуск 8. 1999. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 1999. С. 174-177.

47. Шапаренко H.H. Стабилизация линейной нестационарной системы с помощью ограниченных управлений. Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Золотова Е.В.

48. Владивосток, 26 августа-2 сентября 1999 г.). Тез. докл. Владивосток: Дальнаука ДВО РАН, 1999. С. 88-89.

49. Aschepkov L. Т., Shaparenko N.N. Optimal Synthesis and Predictive Stabilization of Linear System // Abstract index of Proceedings of the 3rd Asian Control Conference. Shanghai, 2000. P. 478.

50. Evans R.J., Xianya X. Robust regulator design // Int. J. Contr. 1985. V. 41. N 2.

51. Gabasov R., Kirillova F.M., Prishepova S.V. Feedback Optimal Control. Lecture Notes in Control and Information Sciences (M. Thoma ed.) V. 207. Springer-Verlag. 1995. 202 p.

52. Gabasov R., Kirillova F.M. Real-time construction of optimal closable feedbacks. In. Preprints of the 13th Word IFAC Congress (San-Francisko, USA, 1996). V. D. P. 231-236.

53. Galimidi A.R., Barmish B.R. The constrained Lyapunov problem and its application to robust output feedback stabilization // IEEE Trans, on Autom. Control. 1986. V. AC-31. N 5.

54. Juang Y.-T., Kuo T.-S., Hsu C.-F., Wang S.-D. Root-locus approach to the stability analysis of interval matrices // Int. J.Contr. 1987. V. 46. N 3.

55. Kapoor N., Daoutidis P. Stabilization of systems with input constraints // Int. J. Contr.-1997. V. 66. N 5. P. 653-675.

56. Kwon W.H. Advances in predictive control: theory and applications. Seoul: Seoul National University, 1995.

57. Lin Yuandar, Sontag Eduardo. A universal formula for stabilization with bounded controls // Syst. and Contr. Lett. 1991. V. 16. N 6. P. 393-397.

58. Lin Yuandar, Sontag Eduardo. On control Lyapunov functions under input constraints. Proc. 33rd IEEE Conf. Decis and contr. Lake Buena Vista. Fla. Dec. 14-16 1994. V. 1. P. 640-645.

59. Ma Baoming, Lvine William S. An algorithm for solving optimal control problems with control and terminal-state contraints // Proc. 33rd IEEE Conf. Decis and contr. Lake Buena Vista. Fla. Dec. 14-16 1994. V. 2. P. 1374-1380.

60. Mayne D.A., Schroeder W.R. Nonlinear control of constrained linear systems // Int.J. Contr. 1994. N 5. P. 1035-1043.

61. Mori T., Kokame H. Stabilization of perturbed systems via linear optimal regulator // Int. J. Contr. 1988. V. 47. N 1.

62. Yang Yudi, Sussman H.J., Sontag E.D. Stabilization of linear systems with bounded controls. NOLCOS'92: Nonlenear Contr. Syst. Des. Symp. Bordeux. 24-26 June. 1992. Proc. IFAC—SL, 1992. P. 15-20.