Устойчивость линейных и возмущенных линейных систем с сосредоточенными и распределенными параметрами тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

Р рО^ЖЙС^ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

2 3 Ш 1394

На правах рукописи

Дунаева Ольга Валентиновна

УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ И ВОЗМУЩЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ И РАСПРЕШЕНШЩ ПАРАМЕТРА®

01.02.01 - теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре высшей математики Всероссийского заочного института инженеров железнодорожного транспорта.

Научный руководитель - * . . . доктор физико-математических наук, профессор А.А.Шестаков.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Р.Г.%харлямов,

. кандидат физико-математических наук, доцент А.Н.Степанов.

Ведущая организация -Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова

Защита диссертации состоится 93я 994 г.

в/¿^"^час. на заседании специализированного совета К 053.22.03 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Российском Университете дружбы народов по адресу: 117302, Москва, ул. Орджоникидзе, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан ."УЗ* *МХХлЯг 1994 г.

. . . Ученый секретарь специализированного совета -доктор. физико-математических наук., '

профессор . В.М.Савчин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одной из актуальных проблем при исследовании динамических свойств линейных и нелинейных механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами "является проблема устойчивости движения. Теория устойчивости линейных механических систем является базовым направлением в общей теории устойчивости механических систем,.представляющим огромный интерес как с теоретической точки зрения, гак и с точки зрения приложений. Для решения этой проблемы великий русский ученый А.М.1япунов создал приемы, приведшие к двум методам исследования устойчивости движения: первому методу на . базе характеристических чисел и второму (прямому) методу, основанному на изучении взаимосвязи движений механической систе- • мы со специальными однопараметрическими семействами поверхностей, являющимися поверхностям уровня функции Ляпунова. В настоящее время оба метода получили значительное развитие и'оказались эффективными при решении многих теоретических и прикладных задач устойчивости движения как линейных, так и нелинейных механических систем с распределенными и сосредоточенными пара-метрамя. Одной из актуальных задач указанной проблемы является исследование устойчивости состояния равновесия с помощью коэффициентных признаков. Эта задача, в общем виде чрезвычайно сложна и далека от своего завершения. Даже простое и важное для механических приложений линейное нестационарное обыкновенное уравнение второго порядка, по выражению известного ученого ' Р.Беллмана, "представляет собой постоянный вызов искусству аналитика".

Различные вопросы теории устойчивости линейных дифференциальных уравнений и их возмущений в конечномерном и.бесконечномерном банаховом пространстве изучались, начиная с работ

A.Пуанкаре, А.М.Ляпунова и Дж.Биркгофа, в работах русских и иностранных ученых Е.А.Барбашина, Ю.С.Богданова, Б.Ф.Еалова.

B.Г.Вильке,. Р.Э.Винограда, Н.И.Гаврилова, А.С.Галиуллина,-

C.К.Годунова,. А.М.Гробнана, Б.П.Демидовича,-Н.П.Еругина, В.И.Зубова, Н.А.Изобова, Г.В.Каменкова, А.Я.Колмогорова, Н.Н.Красовского, М.Г.КреЗка. А„.Н. Крылова, В.М.&ллиошшива, Й.ГЛ'алкина. В.М.Матросова, В.В.Негыцкого, К.П.Лсрогдского,

И.Г.'Петровского, И.М.Рапопорта, В.В.Румянцева, В.Г.Скатецкогс, В.М.Старканского, В.В.Степанова, Н.Г.Четаева, А.А.Шестакова, В.А.Якубовича, Х.А.Антосевича, Р.Беллмана, С.П.Дилиберто. Т.Иосидзава, Дя.Като, Р.Конти, В.А.Коппела, Н.Левинсона, К.Д.Пальмера, 0.Перрона, Д.Х.Саттингера, А.Уинтнера, Ф.Харт-мана, Л.Чезари, В.Феллера и других ученых.

. . В диссертации уточнены и обобщены известные теоремы Б.Ц.Демидовича, Н.П.Еругина, В.Г.Скатецкого, Д.Х.Саттингера и других ученых, получены новые достаточные коэффициентные признаки устойчивости состояния равновесия для многих классов нестационарных линейных механических систем, описываемых линейным!: операторными уравнениями в банаховом пространстве и решен ряд важных прикладных задач механики.

Степень обоснованности научных результатов. Все утверждения диссертации обоснованы на высоком математическом уровне; приведены полные доказательства с помощью методов качественной теории и теории устойчивости и методов ¿функционального аналхза.

Объект исследования. Пусть X - конечномерное или бесконечномерное банахово пространство. В работе рассмотрена устойчивость состояния равновесия следующих классов уравнений:

1. Однородное линейное эволюционное уравнение в пространстве X:

иеХ, (1)

где АШ'. Ьот(/\Ш)сХ~*Х - линейный оператор, область определения которого йот/АН)) плотна в / .

2. Нелинейное эволюционное уравнение в пространстве X :

■ (2)

где нелинейный оператор //¿,и) (возцудаицая фушатя) обладает тем или иным свойством малости вблизи состояния равновесия.

-3. Счетная система линейных обратных уравнений Колмогорова, описываицая случайные процессы:

■ - (3}

где аиН)&0 . оуфъо (¿¿¿). или

4. Счетная система линейных уравнений размножения и гибели: •

являющаяся частным случаем систетш уравнений Колмогорова (3). .

5. Система линейных гиперболических уравнения, ошснвакь щая колебательные процессы:

(5)

где и.-(и1>...1ип^- искомая вектор-функция пространственных координат и времени I , л & - матрицы размеров тхп с вещественными ноэФ$явдбнтами, зависящими, от

^ и X. Матрицы являются симметрическими, т.е.

если , то ОуУ4сс)=

6. Система линейных уравнений с частными произзодныам, описывающая многие механические и физические процессы:

У(о>сс)~ц>(ос.)% осе?), х&ЪЬ,

гдд ТГ/^х)- искомая вектор-Функция,.

матрица, элементы которой есть линейные дифференциальные операторы на ограниченном открытом подмножестве . Ь- матрица, элементы которой являются дифференциальны?,я операторами. Элемента матрицы А зависят от X , но не от ^ . Начальные условия У(х) решений принадлежат гильбертову пространству функций У с достаточно гладкими элемента-,®, гарантир7эдими существование р.еззний в пространстве V.

7. Система нелинейных уравнений Навье-Стокса

'Щ + Аг+Г/гг.тгЬо, ХГ&Н, (?)

в банаховом пространстве Н соленоидальных зекторнкх полей 1Г.

Цель работа - исследование свойств.устойчивости и асимптотических свойств движения линейных и возмущеяннх линейных, систем как с сосредоточен;пая, так и с распредолешшш параметрам и прияоягте получениях результатов к задачйм устойчивости состоязшя равновесия кехагшчесхих сдстем с сосредоточенными и раоиределегашки параметрам.

?/етоды_исследования. В работе использованы как методы прикладного функционального анализа, так и разнообразные методы теории устойчивости и качественной теории динамических процессов: 1) метод математического моделирования классических задач математической 4изики с граничными и начальными условиями с помощью абстрактных операторных уравнений, 2)метод характеристических чисел Ляпунова, 3) метод функций Ляпунова, 4)каче- . ственный метод исследования движения на базе известных свойств линейного оператора, не связанный с теорией характеристических чисел Ляпунова, 5}метод локализации собственных чисел матрицы.

Научная новизна. В диссертации получены новые эффективные коэффициентные признаки устойчивости состояния равновесия линейных уравнений (1). (3) - (6), моделирующих линейные системы с сосредоточенными или с распределенными параметрами. Установлены новые теоремы об устойчивости состояния равновесия уравнения (2) по линейному бесконечномерному приближению (1), являющиеся распространением на бесконечномерный случай теорем;. об устойчивости по линейному конечномерному приближению; доказана теорема об устойчивости по линейному приближению для уравнений Навье-Стохса (7) при более слабых предположениях, чем у других авторов; установлены новые эффективные признаки устойчивости состояния равновесия ряда математических моделей механических и (физических систем.

ПЕактическая_значимость. Результаты диссертации могут быть использованы в качественной теории и теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частны-г ми производными, при решении задач теоретической и прикладной механики, теории линейных и нелинейных колебаний, автоматики, телемеханики, оптимального управления линейными и нелинейными объектами с сосредоточенными и распределенными параметрами, динамики подвижного состава железнодорожного транспорта.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы систематически докладывались и обсуждались на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Всероссийского института инженеров железнодорожного транспорта (г.Москва, 1993, 1994 г.г.), а также докладывались и обсуждались на научном семинаре по математическому моделированию

в экологии ВЦ РАН РФ (г.Москва, 1990 г.), на научной конференции по математическому моделированию в гидроэкологии (г.Санкт-Петербург, 1991 г.), на научном семинаре по теории дифференциальных уравнений и их приложениям Мордовского государственного университета.(г.Саранск, 1993 г.), на XXX научной конференции факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета дружбы народов (г.Москва, 1994 г.-).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы.в статьях [1 - б], список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы, содержащего 134 наименования. Общий объем работы 111 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по исследуемой теме, приводятся основные понятия и излагаются основные результаты каждой главы диссертации.

В первой главе рассмотрена устойчивость состояния равновесия нестационарных линейной и возмущенной линейной систем с сосредоточенными параметрами.

В § 1 гл.1 установлен достаточный коэффициентный признак условной экспоненциальной устойчивости с индексом 2 состояния равновесия П. -мерного нестационарного уравнения (1) на базе логарифмической меры матрицы А№) и свойств К -ой ассоциированной матрицы АС"]Ю (итп), сопоставляемой с матрицей АН). Здесь рассмотрены случаи: 2ФП и 1-И , из которых первый соответствует условной экспоненциальной устойчивости, индекса 24й, а второй - обычной экспоненциальной устойчивости.

В § 2 гл.1 исследована экспоненциальная устойчивость состояния равновесия нестационарного уравнения (1) с перестановочной матрицей кШ, т.е. матрицей, удовлетворяющей уело-

ВИЯМ'зНШ, п.в.

АЮНШ-НШШ=0 п.в.

Здесь выяснена структура решений уравнения (1) с перестановочной матрицей и доказана теорема об якспоненциальной устойчивое-

та состояния равновесия. Эта теорема является обобщением теорем Б.П.Демидовича и В.Г.Скатецкого об экспоненциальной устойчивости состояния равновесия уравнения ИУ с перестановочной матрицей.

В § 3 гл.1 доказан достаточный коэффициентный признак экспоненциальной устойчивости состояния равновесия нестационарного уравнения ("О со слабо диагонально доминантной матрицей Ааш1}юв ...,и) , для которой выполнены условия:

В § 4 гл.1 получен достаточный коэффициентный признак условной экспоненциальной устойчивости с индексом 2 (0 5 2 £ Д) состояния равновесия /2-мерного нестационарного уравнения (1) со строго диагонально доминантной матрицей &№), для которой выполнены условия: Л

38*0,

ЗДесь рассмотрены два случая: 2^/1 и 1-П. Кроме того, в этом параграфе установлена теорема об экспоненциальной устойчивости состояния равновесия линейного уравнения (1) с почти постоянной матрицей А(£) , т.е. матрицей, имеющей вид: АШ-С+ В(£) , где С -постоянная /гхЛ -матрица, ВаМВуШИ И 3 С4>0, ¡¿1}ашси Пей* 1+4,...,п..

В § 5 гл.1 доказан достаточный коэффициентный признак экспоненциальной устойчивости состояния равновесия нестационарного уравнения (1) с липшиц-непрерывной матрицей.

. В § 6 гл.1 изучена устойчивость состояния равновесия нестационарной систеш обратных уравнений Колмогорова (3) в конечномерном случае.

В § 7 гл.1 установлены теоремы об устойчивости состояния равновесия уравнения (2) по нестационарному линейному приближению 0) в.конечномерном случае. . .

В § 8 гл.1 обобщена теорема Н.П.Еругина о приводимости нестационарных линейных уравнений и рассмотрены некоторые вопросы об их эквивалентности по Ляпунову.

■ Во второй главе рассмотрена устойчивость состояния равновесия линейной и возмущенной линейной систем с распределенными параметрами.

В § 1 гл.2 рассмотрены типы состояний равновесия распределенной системы, описываемой линейным уравнением 11) с неограниченным оператором в стационарном случае, а также даны определения пяти показателей убывания решений при +оо . .

В § 2 гл.2 установлена экспоненциальная устойчивость состояния равновесия нестационарного линейного уравнения (1) с ограниченными отношениями Релея.

В § 3 гл.2 исследована экспоненциальная устойчивость состояния равновесия нестационарного линейного уравнения (1) со строго эллиптическим оператором.

В § 4 и § 5 гл.2 изучена устойчивость состояния равновесия соответственно счетной системы обратных уравнений Колмогорова (3), и счетной системы размножения и гибели (4).

В § 6 гл.2 изучена экспоненциальная устойчивость состояния равновесия по стационарному линейному приближению в случае, когда линейный оператор в уравнении (2) является постоянным неограниченным оператором, порождает сильно непрерывную полугруппу класса С и имеет спектр внутри левой полуплоскости, а вомущащая функция удовлетворяет условию

при а—О. .

В § 7 гл«2 исследована экспоненциальная устойчивость состояния равновесия по нестационарному линейному приближению в случае, когда линейный оператор в уравнении (2) является переменным неограниченным диссипативным оператором, а возму-щагацая функция удовлетворяет тому же условию, что

и в § 6.

В третьей главе рассмотрена устойчивость состояния равновесия систем с распределенными параметрами, описываемых уравнениями с частными производными.

В § 1 и § 2 гл.З даны определения соответственно корректности и устойчивости по одной норме и по двум нормам и доказаны теоремы о зависимости устойчивости и неустойчивости при изменении одной нормы и при изменении двух норм.

В § 3 гл.З установлены достаточные признаки устойчивости и неустойчивости состояния равновесия системы линейных гиперболических уравнений с частными производными (5) .

В § 4 гл.З исследована асимптотическая устойчивость сое-

тояния равновесия системы линейных уравнений с частными производными (6).

В § 5 гл.З рассмотрена устойчивость движения системы нелинейных уравнений Навье-Стокса (7) по линейному приближению.

Четвертая глава посвящена исследованию устойчивости состояния равновесия следующих математических моделей механических и физических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами.

8. Модель линейного осшллятора, описываемая нестационарным линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка:

ич- Шй + ьЮа=о, (8)

где НШ- коэффициент трения, а к {£) - коэффициент упругости.

9. Модель линейного осциллятора, описываемая нестационарным линейным однородным дифференциальным уравнением И -го порядка (П?£) :

и™ ЬлчИ)и<п-<)+. + 60Юи =0, (9)

где В^а) (¿=0,...,й-1)~ заданные дифференцируемые функции.

10. Модель движения тяжелой точки переменной массы в вертикальной плоскости (X, 2) при линейном законе сопротивления среды, описываемая системой дифференциальных уравнений:

11. Модель движения тяжелой точки переменной массы в вертикальной плоскости /а:, 2) при квадратичном законе сопротивления среды, описываемая системой дифференциальных уравнений:

В уравнениях (10} и (11) т~тШ - переменная масса, У- кос-2-* 24 - скорость точки, и = коэф-

фята'.ентн поправки соответствукшего закона сопротивления среды, ^аи Ч-^Ш - отношения проекций скоростей изменяющейся кассы и точки на координатные оси.

12. Модель двюаеггая тяжелой точки переменной массы в вер-

тикальной плоскости (Ху%) при общем законе сопротивления среды, описываемая системой дайреренниальных уравнений: Я-^нпб-иЯакЛ

= -иОк (12)

<И Г V т 1г > 1 '

где Шгг,г) - сила воздействия среда на точку, V и у -величина и направление скорости точки переменной массы, и. и с1 - величина и направление скорости изменявшейся массы. 13. Модель бесконечномерного осциллятора, описываемая системой дифференциальных уравнений с частными производными:

. и 'Ъи. ... - Си у и 'ьи ъи \

= ЩГо,х) = ч>гГх), хе 0, 03)

^^ г»"

где /1^0 ~ коэффициент трения, ЧОсИ - ограниченное открытое множество с гладкой границей

14..Модель турбулентности Бюргерса, описываемая системой дифференциальных уравнений с частными производными:

ъъ ,Г-р'1 -ЫУ, . Ъ1г,г „,г_л

.гЗГ^Ъ (14)

Ш-+ П~11Г2 + ¡Ъгс1.х=0, хе[о)1]1 щ(о)=1Г/1)=о, ¿»/.г,

о

где положительная функция отХ .

В § 1 и § 2 гл.4 доказаны теоремы об экспоненциальной .устойчивости состояния равновесия соответственно линейного осциллятора (8) и линейного осциллятора (9).

В § 3 - § 5 гл.4 исследована устойчивость програумного движения тяжелой точки переменной массы при различных законах сопротивления среды.

В § 6 гл.4 получены признаки экспоненциальной устойчипсс-ти и неустойчивости состояния равновесия бесконечномерного осциллятора (13).

В § 7 гл.4 исследована устойчивость состояния райнсаееая системы двух уравнений с частными ггроязвод.те?« (14), сгтгси-вашей явление турбулентности (модель Баргерса).

В диссертационной работе:

1. Установлены теоремы об устойчивости состояния равновесия по двум нормам для уравнений с распределенными параметрами.

2. Получены достаточные коэффициентные признаки условной экспоненциальной ели экспоненциальной устойчивости состояния равновесия для рада важных классов нестационарных линейных дифференциальных уравнений в конечномерном пространстве:.

а) общего уравнения, б)уравнения с перестановочной матрицей, в)уравнения со слабо диагонально доминантной матрицей, г)урав-нения со строго диагонально доминантной матрицей, д)лигшшц-яе-прерывного уравнения, е) уравнения Колмогорова.

3. Доказаны достаточные коэффициентные признаки устойчивости или экспоненциальной устойчивости состояния равновесия для ряда важных классов нестационарных эволюционных линейных уравнений в бесконечномерном пространстве: а!уравнения с ограниченными отношениями Релея, б)уравнения со строго эллиптическим оператором, в! уравнения Колмогорова, г] уравнения размножения и гибели.

4. Установлены достаточные коэффициентные признаки устойчивости или неустойчивости состояния равновесия некоторых классов линейных уравнений с частными производными: ^системы гиперболических уравнений, б) системы уравнений с матрицей, содержащей дифференциальные операторы.

5. Исследована устойчивость состояния равновесия эволюционных нелинейных уравнений: а)по бесконечномерному стационарному линейному приближению с неограниченным постоянным оператором со спектром внутри левой полуплоскости, б)по бесконечномерному нестационарному линейному.приближению с неограниченным диссипативным оператором, зависящим от времени, в)по линейному приближению уравнений Навье-Стокса.

6. Исследована устойчивость состояния равновесия следующих математических моделей механических и физических систем с .сосредоточенными и распределенная параметра?/.!!: а) модели нестационарного линейного осциллятора с одной .степенью свободы, б) модели нестационарного линейного осциллятора с Л.Ч степенями свободы (п>2) . й модели бесконечномерного осциллятора, г)моделей движения тяжелой точки переменной массы при различных законах

сопротивления среды (линейном, квадратичном и общем), д)модели турбулентности Бюргерса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Дунаева О.В. Асимптотические свойства и устойчивость решений некоторых классов неавтономных дифференциальных уравнений. . Деп. в ВИНИТИ 21.06.1993, «1728-В93, 24 с.

2. Дунаева О.В. Асимптотические свойства и устойчивость решений бесконечномерных систем размножения и гибели. Деп. в ВИНИТИ.21.06.1993, №1727-В93. 15 с.

3. Дунаева О.В. О равномерной асимптотической устойчивости неавтономного линейного уравнения типа Адамара. В сб. Дифференциальные уравнения и методы их решения. Морд, ун-т.-Саранск, 1993. Деп. в ВИНИТИ 12.01.1994, Я08-В94, с.13-14.

4. Дунаева О.В. Коэффициентные признаки асимптотической устойчивости состояния равновесия механических систем, моделируемых нестационарными линейными дифференциальными уравнениями в банаховом пространстве. Деп в ВИНИТИ 28.02.1994, №476-В94, 55 с.

5.. Дунаева О.В. Гсовм. с Шестаковым A.A.) Об устойчивости движения материальной системы с распределенными параметрами. Тез. докл.XXX научной конференции факультета физ,-мат. и.естественных.наук РУДН, М., 1994 .

6. Дунаева О.В. Достаточные признаки устойчивости программного движения тела переменной массы. Тез. докл. XXX научной конференции факультета физ.-мат. и естественных наук РУД».. М., 1994.

Dunaeva Olga Ualentinovna

STABILITY OF LINEAR AND PERTURBED LIHEAR EQUATIONS IH FINITE AND INFINITE DIMENSIONS

The thesis is devoted to research of stability of equilibrium condition for the some classes of non-stationary linear differential equations in Banach space and stability on linear approach.

Obtained results' are applied to investigation of stability of lechanical and physical systems.