Плоские и пространственные задачи изгиба и устойчивости тонкого кольца на вязкоупругом основании под действием сосредоточенных неподвижных и подвижных нагрузок тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДОРОХОВ Роман Федорович

УДК 539.3:534.1

На правах рукописи

ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ИЗГИБА И УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОГО КОЛЬЦА НА ВЯЗКОУПРУГОМ ОСНОВАНИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НЕПОДВИЖНЫХ И ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 1994

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Научный руководитель доктор технических наук, иностранный член Латвийской академии наук, профессор ПАНОВКО Я. Г.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор СПбГМТУ ФИЛИН А. П., кандидат технических наук, доцент СПбГУПС ВАСИЛЬЕВ В. Н.

Ведущая организация — Институт проблем машиноведения Российской академии наук.

Защита состоится « ¡Л-Ю-рПОСХ. 1994 г. в час.

в л £ на заседании специализированного совета

Д 053.23.01 в Санкт-Петербургском государственном морском техническом университете по адресу: 190008, Санкт-Петербург, ул. Лоцманская, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного морского технического университета.

Автореферат разослан « * 1994 г.

Ученый секретарь совета кандидат технических наук

С. Г. КАДЫРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При ревении большинства динамических задач механики упругих систем предполагается, что динамические внемние нагрузки, будучи переменными во времени, приложены к одним и тем ■е заданным точкам системы. Часто это соответствует реальным условиям нагружения. Однако существует иной тип динамических задач, когда движение упругой системы вызывается действием движущихся нагрузок, геометрические точки приложения которых перемещаются со временем относительно материальных точек системы. В этих случаях динамика процесса может оказаться ярко выраженной, даже если величины нагрузок и их ориентация остаются постоянными.

Интерес к задачам о действии подвижных нагрузок возник в середине XIX века в связи с развитием железнодорожного транспорта и строительством больжепролетнвх мостов. С тех пор этой проблеме било посвящено больжое число публикаций, содержащих результаты тес ретических и экспериментальных исследований.

Среди авторов, занимавжихся динамикой упругих систем при действии подвижных нагрузок, следует отметить выдающихся ученых - Стск-са, Крылова А.Н., Болотина В.В.. Ими рассмотрены задачи о равномерном движении сосредоточенных грузов по упругим балкам с прямолинейной осьп. При этом учитывалось, что при движении массивного груза, вследствии кривизны его траектории, давление на упругую конструкцию может существенно отличаться от веса груза.

В последующих публикациях рассматривались случаи движения нагрузки с переменной скоростью (Кохманюк С.С. Филиппов А.П. и др.' или движения нагрузки по неровному пути (Дмитриев А.С. и др.).

Особое внимание уделено равномерному движению сосредоточенного груза вдоль бесконечно длинной балки, лежащей на спложном упругом основании (Нуравский Г.Б., Пановко Я.Г., Перцев А.К., Слепян Л.И.', Дж. Кенни и др.). В такой системе возможен стационарный режим изгиба, когда картина изогнутой оси балки движется, сопровождая нагрузку, оставаясь неизменной для наблюдателя, связанного с подвижной системой отсчета. Режение этой задачи выявляет существование критической скорости движения нагрузки, при которой форма изгиба оси балки стремится к правильной синусоиде, а ее амплитуды - к бесконечности (для системы без демпфирования).

В составе некоторых технических объектов имеются силовые элементы, которые естественным, образон моделируются в виде тонкого

упругого кольца, находящегося в упругой или вязкоупругой среде под действием подвижных сосредоточенных нагрузок. Определение критических состояний такого кольца составляет основное содержание диссертационной работы.

Соответствующая модель изображена на рисунке 1а для случая, когда сосредоточенная радиальная сила обегает контур кольца с постоянной угловой скоростьп. Такая модель может быть использована при динамическом анализе кольцевой обоймы статора системы " ротор-статор " при неуравновешенном роторе. Из-за наличия эксцентриситета равнодействующая сил инерции ротора передается на опоры и обегает их обоймы со скоростью его вращения.

Указанная модель пригодна для динамического анализа некоторых конструкций при их механической обработке. В этом случае кольцевые элементы вращаются вместе с податливым основанием, а нагрузка остается прклоненной в Фиксированной точке пространства (рис. 16). В рамках этой схемы можно рассматривать и пбчг;;;:с упругого кольца с податливым основанием по неподвижному пути ( к о л ес а железнодорожного транстпорта с упругими.бандажами, рис. 1в ).

Таким образом, задачи о действии подвижных нагрузок на упругие кольца возникают во многих областях техники и являю,тся частью общей актуальной проблемы действия подвижных нагрузок на упругие конструкции.

Целью работы является систематическая разработка вопросов статики и устойчивости тонкого упругого кольца в податливой среде при статических сосредоточенных нагрузках, определение стационарных режимов его изгиба при подвижных сосредоточенных нагрузках и анализ устойчивости этих режимов. Основное внимание уделяется'исследованию критических состояний тонкого кольца.

Научная новизна работы состоит в постановке и решении задач о деформировании и устойчивости тонких колец в упругой или вязкоупругой среде при действии неподвижных и подвижных (обегающих его контур) сосредоточенных нагрузок.

В результате проведенных в диссертации исследований :

1. Решены задачи о статическом деформировании упругого кольца в Податливой среде при действии одиночных сосредоточенных сил, направленных по радиусу, касательной и бинормали к круговой оси кольца.

2. Найдены методом Зйлера критичес кие значения с и л _ с неподвижной точкой приложения, вызывающих потерю устойчивости в плоскости кольца и из плоско$ти кольца.

3. Изучены стационарные режимы деформирования упругого тонкого кольца в упругой среде при действии подвижных одиночных сосредоточенных сил. направленных по радиусу, касательной и бинормали к круговой оси кольца в точке приложения силы : выявлены критические скорости движения нагрузки, при которых упругие перемещения оказываптся неограниченными, независимо от значения приложенной силы.

4. Найдены методом Эйлера критические значения сил, при которых, кроме невозмученного стационарного режима,

. существует смежный возмученный, также стационарный режим ; соответствуючие критические состояния обнаруживается при любых скоростях движения нагрузки.

5. Определено влияние демпфирования на параметры стационарных режимов, отмеченных в п. 3, и на критические значения сосредоточенных сил, указанные в п. 4.

6. Получены результаты анализа устойчивости стационарных режимов, указанных вп.З.в динамической постановке с учетом демпфирования.

Часть задач режена на основе анализа линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ; эти задачи реие-ны в замкнутой аналитической форме. Другая часть задач режена методом Бубнова-Галеркина.

Теоретической основой служат теория изгиба и'кручения упругих тонких стержней с криволинейной в недзформированном состоянии осьп и винклерова модель упругого основания, дополненная свойствами линейной вязкости.

Практическая ценность работы состоит в том, что разработанные методики и полученные на их основе расчетные результаты использованы при проектировании конструкций, силовые элементы которых моделируются тонким упругим кольцом в податливой среде.

Реализация. Полученные в диссертации результаты использованы на заводе "Энергомаж" ЙО "Кировский завод" (С-Петербург), в ЦНИИ КМ "Прометей" (С-Петербург) и в НТЦ "Центротех-ЦКБМ" СС-Петербург).

. Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были доложены на семинарах кафедр теоретической механики, сопротивления материалов и строительной механики корабля Санкт-Петербургского Государственного Морского Технического Университета. По теме диссертационной работы опубликовано 7 научных работ.

Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения. 2-х приложений, списка литературы. Общий объем

Рис. I. Тонкое кольцо б вязкоупругой среде под действием подвижной сосредоточенной сил«.

Рис. 2. Расчетная схема.

работы 499 стр. машинописного текста, включающих 43 рис., 18 таблиц. Библиография включает 100 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, дана характеристика состояния проблемы, сформулирована цель исследования.

В первой главе дано описание расчетной модели (рис. 2).

Принимается, что несжимаемая ось кольца радиуса Я проходит через центры тя1ести его поперечных сечений. Размеры сечений кольца малы в сравнении с радиусом его осевой линии. Все сечения одинаковы, одна из главных осей инерции сечения лежит в плоскости, определенной круговой осью кольца. При режении динамических задач не учитывается инерция элементов кольца, связанная с поворотами его сечений (модель Эйлера - Бернулли).

Упругие реакции основания пропорциональны смещениям , &(№)с коэффициентами пропорциональности Я* , ¿у , соответственно (модель Винклера). Вязкие реакции основания пропорциональны скоростям • • ¿¡(У,*) с соответствую-

щими коэффициентами пропорциональности , ¿у , (модель вязкого трения). Коэффициенты упругости и вязкости не зависят от полярного угла ^ и времени Ь . Реакции основания приложены к точкам круговой оси кольца без эксцентриситетов.

Внежней нагрузкой служит сосредоточенная сила, приложенная в центре тяжести поперечного сечения. Анализируется независимое действие радиальной Рж , касательной Рш и бинормальной Ру сил.

Предполагается, что постоянная по величине сосредоточенная сила обегает контур кольца с постоянной угловой скоростью ¿2 . При этом считается, что при изгибе кольца внешние силы и реакции основания сохраняют свои направления в локальной системе отсчета, связанной с его деформированным состоянием, а при потере устойчивости - в локальной системе, связанной с его предкритическии состоянием.

Во второй главе изучен статический изгиб кольца на упругом основании при действии одиночных сосредоточенных сил : радиальной , касательной и бинормальной Ру (рис. 2).

Решения дифференциальных уравнений статического и пространственного изгибов найдены в замкнутой аналитической форме. Исследовано влияние жесткости основание на деформации кольца.

В качестве иллюстраций на рис. 3а,_3б показаны раззертки безразмерных касательных и(<р) и радиальных Ц.(</) перемещений точек оси ко-

в

/ ьгтах1" 2072-Ю'2 ¡йта^4,458-Ю-2

Рис. За. Перемещения точок оси кольца при действии

неподвижной сосредоточенной радиальной силы.

Рис. 36. Перемещения точек оси кольца при действии

неподвижной сосредоточенной касательной силы.

Цг^Н^бОЧО-2 /<Гта*/- 4,458-10'*

1~ — ! ^ ч 1 1 1 1 1 1 1

I -1 .1 1 1 1 > 1 7 N. 1 У " 1 1 г

О +ЭС/2 АГ -#2 О *вс/г «с -ОС/2 О

Рис., Зв. Перемещения точек оси кольца, углы поворота

I

его сечений при действии неподвтеной сосредоточенной бинормальной силы.

льца при действии сосредоточенной радиальной, касательной силн соответственно. На рис. Зв - развертки безразмерных_бинормальннх перемещений точек оси кольца и дглов поворота ф(У) его сечений при действии сосредоточенной бинормальной силы.

В третьей главе в эйлеровой постановке исследована устойчивость тонкого кольца на упругом основании при действии неподвижной сосредоточенной радиальной % или касательной силы.

Дифференциальное уравнение, описывающее возмущенную плоскую форму равновесия при действии радиальной сосредоточенной силы имеет вид :

Здесь : - безразмерная функция, описывающая касательные

перемещения точек оси кольца в предкритическом состоянии ; 13(У) -дополнительные бесконечно малые возмущения в касательном направлении, обусловленные потерей устойчивости кольца ; - интенсивность внеиней нагрузки в радиальном направлении : Ву^ЕУу - изгиб-ная жесткость поперечного сечения относительно главной центральной оси У ; - дельта-функция.

В случае действия касательной сосредоточенной силы в уравнении (1) символ заменяется символом ^ . а последнее слагаемое заменяется суммой :

где ^(У) - интенсивность нагрузки в касательном направлении. Исследование пространственных форм потери ус-

тойчивости (устойчивости плоской формы изгиба) приводит к системе дифференциальных уравнений относительно возмущенных линейных перемещений 1/(Ф точек оси кольца в бинормальном направлении и углов закручивания его сечений относительно локальной касательной.

При действии радиальной сосредоточенной силы система уравнений записывается в виде :

А с А ,„ ¿Ь Гг»)/«^ А

Н)$ 'л-ф-юег^ о.

Здесь : - безразмерная функция, описывающая касательные перемещения точек оси кольца в предкритическом состоянии ;Вк=ЕУк -изгибная жесткость поперечного сечения относительно оси X \ С -жесткость сечения на кручение.

В случае действия касательной сосредоточенной силы в системе (3) символ Рж заменяется символом % , а в первом из уравнений (3) последнее слагаемое заменяется выражением :

- Я3 е11Г

Чт, 77

Режения дифференциальных уравнений С1)-(4) получены методом Буб-нова-Галеркина. Критические значения сосредоточенных сил определены в зависимости от параметров жесткости системы "кольцо-основание".

В четвертой главе изучены стационарные режимы изгиба кольца на упругом основании под действием сосредоточенных сил, обегающих его контур с постоянной угловой скоростью £2 .

Здесь предполагается, что картина деформаций оси кольца движется, сопровождая нагрузку, оставаясь все время неизменной для наблюдателя, связанного с подвижной системой отсчета, равномерно вращаю-

щейся с угловой скоростью ^ относительно неподвижной системы.

В указанной вращающейся системе отсчета все перемещения являются функциями единственного аргумента ф- tf-S2t , а соответствующие уравнения записываются в обыкновенных производных.

Стационарные режимы плоского изгиба кольца сосредоточенной радиальной или касательной силами описываются дифференциальным уравнением :

1 Bv В* ' в<лш

а стационарные режимы пространственного изгиба и кручения кольца под действием сосредоточенной бинормальной силы -системой уравнений :

где ТПх , 771у , ТПц - интенсивности массы кольца с присоединенными массами основания в направлении осей X , у , Z соответственно. Входящие в (3), (6) функции . VC?) , ffy) определяют стационарные режимы изгиба кольца во вращающейся системе отсчета.

На рис. 4 представлена в безразмерном виде типичная зависимость упругого перемещения точки приложения силы от величины угловой скорости. По оси абсцисс отложены отношения S^/Uiz угловой скорости Si к первой собственной частоте ¿Jg изгибных колебаний кольца на упругом основании. По оси ординат - отношение Щ,(я)/Кет(я) упругого безразмерного касательного перемещения i^fir) при подвимной нагрузке к соответствующему перемещению U^-fr) при £¡2 = 0 .

Бесконечный дискретный спектр критических скоростей для плоской задачи определяется формулой :

,,m сэР 4 !\ПЛ. Л-УРЧ • /п%

4,/^с, и„-2,056- гпя/тх-1,0

0,345 0,500

0,665

|| /1 / I У I — и I ! . . -У . .-/■

0,2 Ч|Г 1 1 ! 1 Г 1 1 1 1

й

пл

(.235

Рис. 4. Касательные перемещения точки приложения подвижной сосредоточенной касательной силы ( без учета демпфирования )).

Рис. 5. Касательные перемещения точки приложения подвижной сосредоточенной касательной силы в окрестностях первых двух критических скоростей ( с учетом демпфирования }.

для пространственной задачи - формулой :

Я*- Я'Ч^ *-- ...

/ I \пР

где 1а/л , - собственные частоты плоских и пространственных колебаний кольца на упругом основании.

Получено хорожее совпадение расчетных спектров критических скоростей с экспериментальными данными других авторов.

В пятой главе в эйлеровой постановке исследуется устойчивость стационарных режимов изгиба кольца, найденных в главе 4.

Дифференциальное уравнение, описывающее во вращающейся системе отсчета плоскую форму возмущенного стационарно г о. режима при действии радиальной сосредоточенной силы имеет вид :

Л ,9 ¿тпл'Л и* *та\ А

С».

Здесь : Ж?) - касательные перемещения, описывающие возмущенный стационарный режим безразмерные функции, описывающие ка-

сательные перемещения невозмущенного стационарного режима.

В случае действия касательной сосредоточенной силы в (9) символ Р% заменяется символом ^ , последнее счагаемое -суммой :

/Л/Л ) Ъ/Л .

\7гЬг + *)* ^(тр^Н^' (10)

Устойчивость плоской формы стационарного режима изгиба исследуется на основе анализа решений системы дифференциальных уравнений, описывавших во вращающвйся системе отсчета стационарную пространственную возмущенную равновесную форму.

При действии радиальной сосредоточенной силы система уравнений имеет вид :

В случае действия касательной сосредоточеной силы в (11) символ /* заменяется символом ^ , а в первом из уравнений (11) последнее слагаемое заменяется выражением : .

Режение уравнений (9Ы12) выполнено методом Бубнова-Галеркина.

На рис. 6 представлена характерная зависимость критического значения радиальной сосредоточенной силы от величины угловой скорости. По оси абсцисс отложены значения йЕ/б^ , по оси ординат - отноже-ние полученных значений критических сил ( при £¡2^0 ,

при.¿2 = О ). Области абсолютной устойчивости стационарных режимов изгиба кольца по Эйлеру зажтрихованы. Символами С, 5 отме-

Рд/Рст ; гпг/тг0,1

+ /

4вс

55С

Г ~ ^ Л[| ~

КйГ

►И -I — -1-С: Ч^кД 0/Н? Ыи ароо <?Я9\ N

¿23 Зс && Зс

Рис. б. Зависимость критического значения сосредоточенной радиальной силы от величины угловой скорости ( без учета демпфирования ).

Рис. 7. Зависимость критического значения сосредоточенной радиальной силы от величины угловой . скорости ( с учетом демпфирования ).

л

чвны плоские формы потери устойчивости во вращавщейся системе отсчета, определяемые функциями с^К^ , соответственно. Указано значение числа К , обеспечивающее минимум критической силе.

Примечательно, что. критические значения сосредоточенной силы обращаются в нуль при каждом значении критической скорости.

Стационарность возмущенной формы равновесия (независимость этой формы во вращающейся системе отсчета от времени) соответствует одному варианту проявления неустойчивости стационарного режима. Неустойчивость в виде нарастающих колебаний исследуется в последней главе диссертации с учетом демпфирующих свойств основания.

В вестой главе изучается специфическое влияние демпфирования на параметры стационарных режимов изгиба.

При этом в дифференциальные уравнения относительного движения (5), (6) вводятся дополнительные слагаемые :

-я—тр + ^тт?

(14)

соответственно.

На рис. 5а, 56 в малых окрестностях первых двух критических скоростей соответственно представлена в безразмерном виде зависимость упругого перемещения точки приложения силы от величины угловой скорости. По оси абсцисс отложены отножения и)г . По оси ординат - отножение упругого безразмерного касательного перемещения Ъ5д(зг) при подвижной нагрузке к соответствующему перемещению 7£т(ж) при 55=0 .

В седьмой главе устанавливается, в какой мере справедливы результаты, полученные методом Эйлера в главе 5.

В соответствии с динамическим методом анализа устойчивости равновесной формы, рассматриваются свойства движения, совержаемого точками оси кольца относительно стационарного режима.

При этой невозмущенннй стационарный режим изгиба кольца во вращавщейся системе отсчета описывается функцией одного аргумента . Бесконечно малые возмущения

- функцией двух аргументов : ! ^ .

Соответствующее дифференциальное уравнение при действии сосредоточенной радиальной силы записывается в виде :

& 7„ f. M* im^/ts _

ф+Р+я^Тр+Р'-вГ-^-вГ'ф 3»

mJtfo +

-ву и? зря s, и

где '.fifeJO - касательные перемещения, описывавшие возмущенное движение во вращающейся системе отсчета ; - безразмерные

функции, описывающие касательные перемещения стационарного изгиба.

В случае действия сосредоточенной касательной силы в выражении (15) символ £ заменяется символом Рг , а последнее слагаемое - суммой :

Пространственное движение точек оси кольца во вращающейся системе отсчета описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных относительно линейных возмущений lf(},t) в бинормальном направлении и углов закручивания :

/г с*

"Щ-ь'Ч-в-ЪТГ + Ф'ЪТгП} г - 2

+ Т Щ Ту^К Ъ' ***1V* н №

¥$ * ? о;

(17)

Здесь Ц,(1) - касательные перемещения точек оси кольца в пред-критическом состоянии.

В случае действия касательной силы в системе (17) символ К заменяется символом ^ , а в первом из уравнений (17) последнее слагаемое заменяется выражением :

Неизвестные возмущения были заданы в виде :

где -характеристический показатель вязкоупругой сис-

темы. Его поведение определяет заключение об устойчивости стационарного режима изгиба кольца.

На рис. 7 показана зависимость наименьшего значения критической радиальной силы, вызывающей эйлерову потерю устойчивости в плоскости кольца от величина угловой скорости. По оси абсцисс отложены значения параметра £2/(«)г , по оси ординат - отношение £,/Рет( ^А

- критическое значение радиальной силы при 52- тоже, три 52=0 ). Область абсолютной устойчивости зажтрихована.

В рамках рассматриваемого класса задач даны рекомендации относительно применимости статического, динамического методов исследования устойчивости стационарных режимов изгиба кольца.

В заключении изложены основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Основные теоретические и практические результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему :

1. Получены фундаментальные режения задач плоского, пространственного изгибов кольца на упругом основании неподвижными сосредоточенными силами : радиальной, касательной и бинормальной.

2. Показано, что плоских форм потери устойчивости кольца при действии касательной сосредоточенной силы не существует : при пространственной потере устойчивости критические значения касательной сосредоточенной силы превосходят критические значения радиальной сосредоточенной силы в 2.5 - 5.0 раз.

3. Получены фундаментальные режения задач плоского и пространственного изгибов тонкого кольца на упругом основании сосредоточенными силами (радиальной, касательной и бинормальной), равномерно обегающими его контур ; найдены бесконечные дискретные спектры критических значений угловой скорости.

4. Установлено, что при любом значении угловой скорости существуют критические значения сосредоточенных сил (радиальной и ка- -сательной), при которых стационарные режимы изгиба кольца оказываются неустойчивыми в смысле Зйлера ; с увеличением угловой . скорости критические значения сосредоточенной силы уменьааются.

5. Вследствии демпфирования стационарная форма изгиба кольца теряет свойства симметрии (антисимметрии) относительно диаметра, содержащего точку приложения сосредоточенной силы.

6. Наличие демпфирования приводит к появлению "порогового" критического значения сосредоточенной силы ; если величина сосредоточенной силы, равномерно обегающей контур кольца, ниже "порогового", то не существует плоских и пространственных форм потери устойчивости стационарных режимов изгиба кольца ; увеличение демпфирования приводит к возрастанию указанного "порогового" критического значения сосредоточенной силы.

/У

7. Установлено, что анализа по Эйлеру достаточно для оценки плоской и пространственной устойчивости кольца на упругой основании при действии неподвижной и подвижной сосредоточенной радиальной силы.

8. Для оценки плоской устойчивости кольца на упругом основании при действии неподвижной и подвижной касательной сосредоточенной силы необходимо использовать динамический метод ; при этом устойчивость плоской формы изгиба тонкого кольца неподвижной и подвижной сосредоточенной касательной силой надежно анализируется методом Эйлера. ч

Основные положения диссертации опубликованы в работах :

1. Дорохов Р. Ф., Пространственный изгиб кольцевого обода на упругом основании при действии неподвижной сосредоточенной силы, Деп. ЦНИИ "Румо" от Ci.C7.22, ДР - 3485. 1993, 14 стр..

2. Дорохов Р. Ф., Плоская задача устойчивости кольца на упругом основании при действии неподвижной сосредоточенной силы, Деп. ЦНИИ "Румб" от 01.07.93, ДР - 3484, 1993, 17стр..

3. Дорохов Р. Ф., Устойчивость плоской формы изгиба кольца на упругом основании при действии неподвижной сосредоточенной силы, Деп. ЦНИИ "Румб" от 01.07.93. ДР - 3483, 1993, ?2 стр..

4. Дорохов Р. Ф., Плоский изгиб тонкого упругого кольца на вяз-коупругом основании равномерно обегавщей сосредоточенной касательной силой., Деп. ЦНИИ "Румб" от 29.11.93, ДР - 3506, 1993, 20 стр..

5. Дорохов Р. Ф., Пространственный изгиб тонкого упругого кольца на вязкоупругом основании равномерно обегающей сосредоточенной бинормальной силой., Деп. ЦНИИ "Румб" от 29.11.93,

ДР - 3505, 1993, 20 стр..

6. Дорохов Р. Ф., Устойчивость стационарного режима изгиба тонкого кольца на вязкоупругом основании под действием равномерно обегавщей сосредоточенной касательной силы., Деп. ЦНИИ

• "Румб" от 29.11.93, ДР - 3503, 1993, 14 стр..

7. Дорохов Р. Ф., Устойчивость плоской формы стационарного изгиба кольца на вязкоупругом основании под действием равномерно обегавщих сосредоточенных сил., Деп. ЦНИИ "Румб" от 29.11.93, ДР - 3504, 1993, 18 стр..