Квазистатические контактные задачи для вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

□03483348

На правах рукописи

Щ

Марк Александр Викторович

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ПОЛУПРОСТРАНСТВА, СЛОЯ, ЦИЛИНДРА И ПРОСТРАНСТВА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ

Специальность 01.02.04. - Механика деформируемого твердого тела

1 9 НОЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

003483948

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор Александров Виктор Михайлович

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Кравчук Александр Степанович

Доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Солдатенков Иван Алексеевич

Ведущая организация:

Московский авиационный институт (государственный технический университет)

Защита состоится 10 декабря 2009 г. в 15 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.240.01 при Учреждении Российской академии наук Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН по адресу: 119526, Москва, пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Автореферат разослан 9 ноября 2009 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Е.Я. Сысоева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена решению новых плоских, периодических и осесимметричных задач механики контактного взаимодействия о движении жестких тел - штампа, бандажа, вкладыша по границам вязкоупругих тел - полупространства, слоя, цилиндра или пространства с цилиндрической полостью.

Актуальность темы. Рассмотренные в диссертации задачи механики контактного взаимодействия являются актуальными при разработке фундаментальных вопросов теории контактного взаимодействия, а также на их основе различных практических приложений. В теоретическом плане представленные задачи интересны тем, что исследуется взаимодействие движущихся жестких тел с неподвижными вязкоупругими, при этом в качестве вязкоупругих тел рассматривается не только полупространство, но и тела более сложной формы - слой, цилиндр, а также пространство с цилиндрической полостью. Кроме того в представленных задачах учитывается волнистость формы подошв жестких тел, а также определяются условия нарушения контакта. С точки зрения практических приложений интерес к данным задачам обусловлен возможностью повышения точности расчетов конструкций из вязкоупругих материалов за счет учета реальных форм взаимодействующих тел.

Цель диссертации: установление влияния формы и скорости движения жестких тел и формы вязкоупругих тел на распределение давления в зоне контакта на примере постановки и решения контактных задач о движении жестких штампа, бандажа, вкладыша с гладкой и волнистой подошвой по границам вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью соответственно.

Научная новизна. В представленной работе получены решения задач о движении жестких тел с волнистой подошвой по границам вязкоупругих, а также о движении бандажа и вкладыша с гладкими и острыми краями с волнистой и неволнистой подошвой по границам вязкоупругих цилиндра и пространства с цилиндрической полостью. Подобные задачи, скорее всего, ранее не рассматривались.

В случае задач о движении штампа, бандажа и вкладыша с острыми краями определено условие нарушения контакта (отслаивание вязкоупругих тел от жестких) в зависимости от скорости движения, а также от геометрических размеров указанных тел.

Кроме того проведена адаптация модифицированного метода Мультоппа-Каландии к рассматриваемым задачам вязкоупругости, что позволило повысить точность расчетов.

Методы исследования. Представленные в диссертации исследования опираются, в первую очередь, на классические подходы механики контактных взаимодействий и теории вязкоупругости. При этом используются результаты и методы уравнений математической физики, теории интегральных уравнений первого рода, математического анализа, а также обыкновенных дифференциальных уравнений. Решения получены в численно-аналитическом виде с применением модифицированного метода Мультоппа-Каландии.

Достоверность полученных результатов исследования обеспечивается применением строгих математических методов при построении решений поставленных задач и анализе результатов. Она основывается на практических оценках погрешностей приближенных вычислений, сопоставлении получаемых в частных случаях результатов с заранее прогнозируемыми.

Практическая значимость. Контактные задачи теории вязкоупругости имеют важное практическое значение. Они возникают в машиностроении, строительстве, сейсмологии и других областях человеческой деятельности. Практическая значимость работы состоит в проведении исследования нового класса плоских, периодических и осесимметричных задач и модификации методов решения интегральных уравнений первого рода, позволяющей более точно учесть реальные особенности контактного взаимодействия вязкоупругих тел.

Представленные в диссертации исследования выполнены в рамках плановой тематики Учреждения Российской академии наук Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН при финансовой поддержке проектов РФФИ (проекты 08-01-00003, 06-01-00022, 06-08-01595, 07-0800730, 05-01-0002, и программа «Университеты России», грант УР.04.02.527).

Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на:

• X Международной конференции «Современные проблемы механики

Сплошных сред» (Ростов-на-Дону, 2006)

• XIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические

проблемы механики конструкций и сплошных сред»

им. А. Г. Горшкова (Ярополец, 2007)

• семинаре по механике сплошной среды им. JI.A. Галина Института проблем механики Российской академии наук (Москва, 2007)

• XIV Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред»

им. А. Г. Горшкова (Ярополец, 2008)

• совместном заседании семинаров по механике фрикционного взаимодействия твердых тел им. И.В. Крагельского под руководством академика РАН И.Г. Горячевой,- по механике сплошной среды им. Л.А. Галина под руководством профессоров В.М. Александрова, В.Н. Кукуджанова, A.B. Манжирова (Москва 2009)

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Полный объем вместе с иллюстрациями составляет 98 страниц. Из них 2 страницы занимает список литературы, содержащий 29 наименований. Количество иллюстраций - 41.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении раскрывается актуальность работы, формулируется ее цель. Приведен обзор работ по контактным задачам теории вязкоупругости. Изложены основные положения диссертационной работы по главам.

В главе 1 рассматривается задача о распределении контактного давления под жестким штампом, движущимся со скоростью V в отрицательном направлении оси X по границе вязкоупругого полупространства (оси X и У лежат на поверхности полупространства, ось 2 направлена вверх). Трением в области контакта пренебрегаем. Материал полупространства описывается моделью стандартного

вязкоупругого тела (моделью Кельвина):

= " У)е*+У(£у+= ^ " у)е>+у{е>.+

2

+ +*,)}, = Г* = = С'гг. (1.1)

( ' ^ СГ ДО = О, ДО - («-' - Я-') \т «фН* - т) / а)Лт

где <УХ, <Уу, <Уг, та, Тху, Ту, - компоненты тензора напряжений, £х, еу, £г, ух-. > Уху, ~ компоненты тензора деформаций, - мгновенный модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона, Я, а - характерные времена ползучести и релаксации.

Соотношения Коши и уравнения движения имеют стандартный вид, причем в последних инерционные члены опущены, так как скорость движения штампа во много раз меньше скорости звука в вязкоупругой среде. Процесс считается установившимся, поэтому перемещения точек полупространства, напряжения, деформации можно записать в виде /(х + VI, у, г). Область контакта описывается уравнением + К/, у) = 0.

Граничные условия имеют вид:

Данная задача является смешанной и поэтому вначале с помощью принципа Вольтерра решена вспомогательная задача о нахождении зависимости перемещения границы полупространства от приложенной нормальной нагрузки с граничным условием

>

д(х + П,у) = д(х + У(,у) х,у еП, с[(х + М,у) = 0 х,уеП, а также с условием (1.2).

В результате перехода в подвижную систему координат по формулам х'=х + У(! у'-У, получены уравнения обычной теории упругости, которые решались с помощью преобразования Фурье по переменным х и у. Расшифровка полученного операторного выражения производилась по известным правилам.

В итоге искомая зависимость в подвижных координатах имеет вид

тХ!(х + П,у,0) = т^(х + П,у, 0) = 0, м/(х + п,у,0) = -5{х + У?,у) х,уеП.

(1.2)

(1.3)

П

<1т С1П,

(1.4)

Принималось, что область контакта и подошва штампа описываются уравнениями (рис 1.1)

ШТ.

Рис. 1.1

где Р - известная частота волны штампа, 8р{х) - заданная функция. При этом можно записать

причем амплитуда контактного давления q|3(x) здесь неизвестна. В этом случае достаточно решить задачи для требуемого количества значений /? ^ О по отдельности, а затем составить суперпозицию с решением при

/7 = 0.

Для полученного соотношения (1.4) осуществляется переход от пространственной задачи к периодической. В итоге получено следующее уравнение относительно ?/*(*):

= (1.5)

-а

УН = К„(Лу)+-' 'П)&1е/=

(1 + *2)^2+(ЛГ/3)2

1-у

Отдельно рассмотрены случаи р ~ 0 и ¡3 * 0.

Случай Р = 0 соответствует задаче о распределении контактного давления под штампом с неволнистой в плоскости подошвой. Тогда выражение для ядра интегрального уравнения (1.5) имеет вид

N(w) = -ln | w | +СИ + КЛ{- ln | w I +ew/(AnEi (-w/(ÁV))

Где Сго - бесконечная постоянная. После дифференцирования уравнения (1.5) по х и введения безразмерных величин

будем иметь (штрихи в опущены) 1

1 к

Я

izíЦхр [üzí)Ei r.íz£ и ) \ и ) \ м

-ln

--ln %-х ц

Í-*

-Z.IÁÜZ*

м К м

, (1.7)

Из (1.7) видно, что ядро обладает двумя особенностями: сильной -степенной и слабой - логарифмической. В диссертации доказано, что если правая часть интегрального уравнения (1.7) бесконечно дифференцируема, то его решение имеет структуру

р(х) = ф(х)(1-*2)-

(1.8)

где Ф(х) бесконечно дифференцируема.

Уравнение решено с помощью модификации метода Мультоппа-Каландии. Осуществлен переход к новым переменным

х = cosi9, £ = cos(f.

(1.9)

Функция Ф(соб^) искалась в виде полинома Лагранжа с неизвестными коэффициентами Ф(0„)

где n = \,2..N.

После подстановки (1.10) в (1.7) с учетом (1.9), (1.8), а также интегралов

о

к \

Ау/--

жсофд) *Г СОБ^-СОБ.?

0' СОЗ^-СОБб1 Г ЗШ(|9) и квадратурной формулы Гаусса получено

Ау/=яЫ?.1л) (1.11) (1.12)

5М)

-г4-+- Н2р)+2£-а- — Щ-2-

^ втй т ) ¡л у ц

=г(соь9).

Принимая $ = вк, имеем N -1 уравнение (к = \,2..М -1) для определения Ф(#„). Л^-е уравнение имеет вид

Р = ~1РЮ,Р = РЩа),

где Р - сила, действующая на штамп.

На рисунке 1.2 показан пример распределения найденных контактных давлений для штампа с неволнистой в плоскости 2У подошвой (ф:) = 0)

?0О)

®,Р

1 I

1

\

" 1' \ и

„ч2 1 1

-1 -0.5 0

Рис. 1.2

0.5 1

х/а

Кривые 1,2,3 соответствуют значениям 10000, 15000 и 20000 безразмерного параметра параметр XIа = 1001, что соответствует одному из видов резин.

При р меньшим, чем 8650 нарушается условие контакта при х = 1, т.е. происходит отслаивание границы полупространства от штампа.

В работе также рассмотрен случай штампа с гладкими краями и параболическим основанием (рис. 1.3).

Для равновесия штампа необходимо приложить силу Р с эксцентриситетом е. В этом случае в уравнении (1.7) правая часть имеет вид

г{х) = у-~, (1.13)

Р

где у - угол наклона штампа, подлежащий определению; р - радиус кривизны штампа, отнесенный к полудлине области контакта, которая также изначально неизвестна. Уравнение решено с помощью модификации метода Мультоппа-Каландии с добавлением условий ограниченности решения $>(±1) = 0, которые служат для определения угла наклона штампа У и параметра р (отношение параметров р и р к р известно). На рисунке 1.4 показано распределение найденных контактных давлений под штампом.

0.1

qw

®f 0.075 0.05 0.025 0

- 1 -0.5 0 0.5 1

x/a

Рис. 1.4

Кривые 2 и 3 соответствуют случаям увеличения скорости движения штампа на 1/3 и 2/3 соответственно по сравнению с случаем кривой 1. В диссертации показано также, что при увеличении скорости штампа величины полудлины области контакта, угла наклона штампа, и эксцентриситета убывают.

В случае р Ф 0 решения уравнения (1.5) имеют физический смысл только в суперпозиции с решением при ¡3 = 0; после обезразмеривания уравнение принимает вид (штрихи опущены):

1 1

- ln|Gf-x)r |d<? = xg(x) - J- x)rW, (1.14)

i -i

_ V, - л/У +1) cos(5wy) + e-'s/s2 +1 + cos(wy) - s/m sin(sw^))^ ! Wi2+1 о (l + (rfjsf)yls2+\

9

где <p(x') = qp(x)/Qf, у = /За, g(x) = 5p(x)/a, остальные обозначения определяются по (1.6).

Структура решения (1.14) имеет вид (1.8), уравнение решено с помощью модифицированного метода Мультоппа-Каландии, разработанного В.М. Александровым.

В работе также определяются условия нарушения контакта при суперпозиции решения при Р = 0 с решениями при /7 = 1/а, 2/а в случае 8р{х) = 5р = const, т.е. найдены максимальные значения величин Sp®fP'', при которых еще не происходит отслаивания.

На рисунке 1.5 приведен пример пространственного распределения контактного давления для случая /и = 15000 , у = Ра = 2, 5рВгР= 0.012. 1-

В главе 2 рассмотрена задача о распределении контактного давления под жестким штампом, движущимся со скоростью V в отрицательном направлении оси X по границе вязкоупругого слоя, как показано на рисунке 2.1 (ось 2 направлена перпендикулярно плоскости рисунка).

> V У У 7 ~7 У У У

Рис. 2.1

X

Для описания материала использовалась модель стандартного вязкоупругого тела (формулы (1.1)). Предполагалось, что трение в области контакта отсутствует, скорость движения штампа существенно меньше скорости звука в среде, что позволило опустить в уравнениях движения инерционные члены. Рассмотрен установившийся процесс, поэтому перемещения, напряжения, деформации записаны в виде /(х + У(,у,г).

Граничные условия имеют вид

и(х + Уф, г) = и(х + г) = м{х + К/,0, г) = О, хху (х + /г, г) = туг (х + Уг, 1г, г) = 0,

ет/х+Уг,/1,г) = 0 х £(-а-П,а-У1),

и(х + К/, И, г) = -8(х + К/, ¿) х б [-а У1]

Штамп в направлении оси 2 имеет волнистую подошву, поэтому достаточно решить задачу для частного случая

ГЦк

(2.1)

а затем составить суперпозицию решений при /Зф О с, решением при Р = 0, Как и в главе 1, решалась вспомогательная задача о движении нагрузки по границе вязкоупругого слоя. Зависимость амплитуды вертикального перемещения от амплитуды приложенной нагрузки в подвижных координатах имеет вид:

1

Я0,

и V

|д„(£) Щ-х)+к |ехр(г/а)К(с;-х-Ут)с1 г

, 1 1

Затем выводилось интегральное уравнение и полагалось, что и„(х,И) известно и равно -<?„(*). После введения безразмерных величин и обозначений

0

,_ г

Г ~ А

интегральное уравнение приняло вид (штрихи опущены):

4-х

+ + + + , ' (2.3)

\е) * и {е] :0Б1+/ии

* ;

1±^Щ*т(.гт/£)<1и, ад = ехрГ^ У -- I- 1п £ +/и и "

Уравнение решалось модифицированным методом Мультоппа-Каландии, в случае задачи о движении параболического штампа с гладкими краями добавлены условия равенства нулю контактного давления на границе области контакта.

В диссертации представлены графики распределения контактных давлений на поверхности слоя, изготовленного из резины с коэффициентом Пуассона равным 0.45, отношением Д/а = 1001, для следующих 3-х случаев:

1) Штамп с плоской подошвой, = g = S0/а, 80 - осадка штампа, а) осадка штампа постоянна (рис. 2.2)

©/¿Г

9.833

8.667

7.5

и V 1

-0.5

0.5 1

х/а

е = 0.5 Рис. 2.2

кривые 1,2,3 соответствуют значениям 10000,15000 и 20000 безразмерного параметра и.

б) сила Р, действующая на штамп, постоянна (рис. 2.3)

<?о(*) ®fp

0.55

0.515

0.480

0.445

0.410

Рис. 2.3

на рисунке обозначено р = P!{®fa), сплошной линией обозначена кривая, соответствующая значению 10000 параметра JU, пунктирной линией -значению 15000, а линией в виде точек ~ значению 20000 параметра М •

При /л меньшим, чем 87 нарушается условие контакта, т.е. происходит отслаивание границы слоя от штампа.

В диссертации приведены графики распределений контактных давлений при относительных толщинах слоя е, равных 2 и 4, а также определены условия нарушения контакта

2) Параболический штамп с гладкими краями (¡3 = 0), g(x) = g + pc-x2 !{2р), gup - осадка и радиус кривизны штампа, отнесенные к полудлине области контакта, которая изначально неизвестна; У - угол наклона штампа.

а) осадка штампа постоянна (рис. 2.4)

0.11

ф)

1 0.053

0.055 0.028

0.5 1

х1а

б) сила, действующая на штамп, постоянна

0.1

Фй 0, 1 0.075

0.05 0.025 0

-1 -0.5 0 1.5 1

х1а '

Рис. 2.5

Кривые 2 и 3 в случаях а) и б) соответствуют случаям увеличения скорости движения штампа на 1/3 и 2/3 соответственно по сравнению со случаем кривой 1.

В работе также приведены графики и при больших толщинах слоя. Показано, что при увеличении скорости штампа величина полудлины областей контакта в случае постоянной осадки увеличивается, а в случае постоянной силы - падают. Угол наклона штампа и эксцентриситет приложения силы (рис. 1.3) при увеличении скорости убывают в обоих случаях. Сила, действующая на штамп, при увеличении скорости и поддержании постоянной его осадки возрастает, а в случае поддержания

-1 -0.5 0

Рис. 2.4

постоянной силы, приложенной к штампу - осадка его уменьшается при увеличении скорости.

3) Частота волны поверхности штампа отлична от нуля, g{x) = g = sй /а,

- амплитуда волны штампа.

Пространственное распределение контактного давления для случая М = 15000, у = /За = 2, 3, !8й = 0.04 е = 0.5 приведено на рис. 2.6.

Рис. 2.6

В диссертации определены условия нарушения контакта при суперпозиции решения при ¡3 = 0 с решениями при /? = 1 ¡а, На, тем самым находятся максимальные значения величин при которых еще не происходит

отслаивания.

Показано, что для штампа с острыми и гладкими краями при увеличении толщины слоя и поддержании постоянной осадки значения контактных давлений уменьшаются. При постоянной силе, действующей на штамп, распределения контактных давлений стремятся при увеличении толщины слоя к соответствующим распределениям на границе полупространства.

В главе 3 рассмотрена задача о распределении контактного давления под жесткими бандажом и вкладышем, движущимися со скоростью V в отрицательном направлении оси 2 по границам вязкоупругих цилиндра и пространства с цилиндрической полостью, как показано на рисунке 3.1.

Предполагается, что трение в области контакта отсутствует. Как и в предыдущих задачах, материал описывается моделью стандартного вязкоупругого тела по формулам (1.1). Скорость движения бандажа и вкладыша существенно меньше скорости звука в среде, поэтому в уравнениях равновесия опущены инерционные члены. Рассмотрен установившийся процесс, в этом случае перемещения, напряжения, деформации записаны в виде /(г, в,г + УГ).

Граничные условия имеют вид:

<т„{Я,в,г + П) = а^(Я,в, 2 +VI) = О,

<тп(11,0,г + П) = О г <£ (-а-УС,а-VI), (3.1)

в(Я, в, г + VI) = +<5(Я, в, г + П) г в [-а - VI, а - И],

где функция + описывает перемещение границ вязкоупругих

цилиндра или пространства с цилиндрической полостью под бандажом или вкладышем. Знак «минус» используется в случае задачи о цилиндре, для задачи о пространстве с цилиндрической полостью берется знак «плюс». Бандаж и вкладыш в направлении угла в имеет волнистое основание (см. рис. 3.1), поэтому 3(Я,в,г + У() записано в следующем виде

в,2 + У() = 3„(К,2 + П)е-М,

где п - целое число, тогда выражение для контактного давления имеет вид

д(Я,в,г + У1) = дп(К,г + .

Решения при п Ф 0 имеют физический смысл только в суперпозиции с решением при п = 0 .

Зависимость амплитуды радиального перемещения от амплитуды контактного давления в координатах, движущихся вместе с бандажом или вкладышем, имеет вид (2.2), но символ Ь(и) имеет другой вид (более громоздкий, и поэтому не приводится), причем выражения Ь(и) разные для задачи о цилиндре и о пространстве с цилиндрической полостью.

После введения безразмерных величин

©

XV я , т — ,* = -, = - (3.2) а а Л

получено следующее интегральное уравнение относительно безразмерной амплитуды контактного давления <р(г):

|_ |[1 -Дц)]С05(м>у/е)~еи

г \ м>

Км)

-¿и. л

я

V/ ]_ 2 ф{и) со^гт/ е)

{ и(е + /Г")

00 I

■«мР

^ —^вт (им> / е)с\и

О £ + уЦ М

где символ Ь{и) зависит от коэффициента Пуассона V и от частоты волны бандажа или вкладыша п как от параметров.

Уравнение решено модифицированным методом Мультоппа-Каландии, в случае задачи о движении бандажа и вкладыша с гладкими краями введены условия равенства нулю контактного давления на границе области контакта.

В диссертации представлены распределения контактных давлений на поверхностях цилиндра и пространства с цилиндрической полостью, изготовленных из резины с коэффициентом Пуассона равным 0.45, отношением Я/ а-1001, для следующих случаев:

1) Бандаж и вкладыш с гладкой подошвой (рис. 3.2), g(z) = g = S0/a, 80 - разность радиусов цилиндра и бандажа (вкладыша и полупространства с цилиндрической полостью)

Кривые 1 (Г), 2 (2*), 3 (3') соответствуют значениям 10000, 15000 и 20000 безразмерного параметра М, параметр е = 8. Сплошной линией показаны графики распределений контактных давлений на поверхности цилиндра, пунктирной - на поверхности пространства с цилиндрической полостью. В случае задачи о цилиндре условие контакта нарушается при ¡Л меньшим, чем 6647, а в случае задачи о пространстве с цилиндрической полостью - при М меньшим, чем 7500.

В диссертации также приведены графики при безразмерном радиусе цилиндра и цилиндрической полости £ = 2. Отмечается, что при уменьшении радиуса, начиная с некоторого значения, нарушается условие контакта.

2) Бандаж и вкладыш параболической формы с гладкими краями (п = 0).

В этом случае правая часть уравнения (3.2) имеет вид в безразмерных величинах

§(г) = Е-^?!§ = $/а,р = 11с/а,<1 = с/а, (3.4) 2р '

где д-разность радиусов цилиндра и бандажа (вкладыша и пространства с цилиндрической полостью), Яс - радиус кривизны бандажа или вкладыша, с- величина, отвечающая за смещение начала координат (рис 3.3). Полудлина области контакта а в этом случае изначально неизвестна.

20

На рисунке 3.4 показано распределение контактных давлений в случае бандажа и вкладыша с гладкими краями.

г

г

-0.5 0 0.5 1

г! а

Рис. 3.4

Кривые 2 (2') и 3 (3") соответствуют случаям увеличения скорости движения штампа на 1/3 и 2/3 соответственно по сравнению с случаем, соответствующему кривой 1 (Г), причем сплошной линией показаны графики распределений контактных давлений на поверхности цилиндра, пунктирной - на поверхности пространства с цилиндрической полостью.

В работе приведены графики распределения контактных давлений под бандажом и вкладышем с гладкой подошвой и при больших радиусах цилиндра и пространства с цилиндрической полостью, причем при увеличении радиуса значения контактных давлений падают. Показано также, что при увеличении скорости штампа величина полудлины области контакта увеличивается, а величина, отвечающая за смещение начала координат, - уменьшается.

3) Бандаж и вкладыш с волнистой подошвой, g{z) = g = 8п / а , 8п -амплитуда волны бандажа или вкладыша.

На рисунке 3.5 приведен пример пространственного распределения контактного давления для случая /и = 15000, п = 2, /60 = 0.25 £■ = 8 .

Рис. 3.5

В диссертации определяются условия нарушения контакта при суперпозиции решения при и = Ос решениями при п = 1,2, т.е. находятся максимальные значения величин 3п/30, при которых еще не происходит отслаивания.

В заключении излагаются основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Поставлены и решены контактные задачи о движении абсолютно твердых штампа, бандажа и вкладыша по границам вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью.

2. Модифицированный метод Мультоппа-Каландии адаптирован к задачам вязкоупругости, т.е. к случаю, когда ядро интегрального уравнения содержит сильную и слабую особенности.

3. Форма и размеры вязкоупругого тела влияют на распределение контактных давлений существенно больше, чем в случае упругих тел.

4. Определены условия нарушения контакта для штампа, бандажа, вкладыша с острыми краями.

5. Распределения контактного давления несимметрично относительно середины области контакта, что объясняется вязкоупругими свойствами тел.

6. Распределение контактного давления в задаче о вязкоупругом слое стремится к соответствующему распределению у вязкоупругого полупространства медленнее, чем в упругих задачах.

7. При уменьшении радиусов цилиндра и пространства с цилиндрической полостью, начиная с определенного значения, происходит нарушение условия контакта на заднем конце бандажа или вкладыша, что в случае упругих тел не происходит.

ПУБЛИКАЦИИ

Основные результаты диссертационной работы содержатся в следующих публикациях:

1. Александров В.М., Марк A.B. Движение с постоянной скоростью жесткого штампа по границе вязкоупругон полуплоскости // Трение и износ 2006 г., том 27, №1.

2. Александров В.М., Марк A.B. Движение плоского штампа с постоянной скоростью по границе вязкоупругой полуплоскости // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2007. №4(54).

3. Александров В.М., Марк A.B. Движение бандажа и вкладыша с острыми и гладкими краями по границам вязкоупругих цилиндра и пространства с цилиндрической полостью // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2007. №4.

4. Марк A.B. Равномерное движение прямоугольного и параболического штампов по вязкоупругому слою // Прикладная математика и механика. Том 72. Вып. 4,2008.

5. Александров В.М., Марк A.B. Движение полосового штампа с постоянной скоростью штампа по границе вязкоупругого основания // Механика твердого тела №1.2009.

6. Александров В.М., Марк A.B. Квазистатическая периодическая контактная задача для вязкоупругих слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью // Прикладная механика и техническая физика 2009 г., том 50, №5.

КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ПОЛУПРОСТРАНСТВА, СЛОЯ, ЦИЛИНДРА И ПРОСТРАНСТВА С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТЬЮ

Марк Александр Викторович

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 12.10.09 Заказ № 21-2009 Тираж 70 экз.

Отпечатано на ризографе Учреждения Российской академии наук Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН 119526, Москва, пр-т Вернадского 101 корп. 1

Введение 1

1 Движение жесткого штампа по вязкоупругому полупространству 8

1.1 Общая постановка задачи.8

1.2 Решение вспомогательной задачи. .10

1.3 Вывод интегрального уравнения.15

1.4 Прямоугольный штамп неволнистой в плоскости ZY подошвой 19

1.5 Штамп с гладкими краями. .26

1.6 Волнистый штамп с нулевой осадкой. .29

2 Движение жесткого штампа по границе вязкоупругого слоя 35

2.1 Общая постановка задачи. .35

2.2 Решение вспомогательной задачи. .36

2.3 Вывод интегрального уравнения.40

2.4 Штамп с прямоугольным основанием. .42

2.5 Штамп с параболическим основанием и гладкими краями . 53

3 Движение жестких бандажа или вкладыша по границам вязкоупругих тел цилиндрической формы 62

3.1 Общая постановка задачи. .62

3.2 Решение вспомогательной задачи. .64

3.3 Вывод интегрального уравнения. .79

3.4 Бандаж и вкладыш с острыми краями.\ . . . . 82

3.5 Бандаж и вкладыш параболической формы с гладкими краями.87

Контакт является основным способом приложения нагрузок к деформируемым телам, вследствие чего контактные задачи занимают центральное место в механике деформируемого твердого тела. Изучение проблем контактного взаимодействия является важной задачей, от решения которой во многом зависят успехи машиностроения,ительства, сейсмологии и других областей человеческой деятельности. Взаимодействиями контактирующих поверхностей определяются процессы разрушения в машиностроении, причем величина контактных давлений является основным фактором, влияющим на прочность и долговечность конструкций. Следовательно, для создания работоспособных конструкций необходимо знать распределение контактных давлений.

Во второй половине XX века были созданы и стали применяться в различных областях новые материалы - полимеры, обладающие свойством вязкоупругости. Вообще говоря, к вязкоупругим ( или наследственно-упругим) относят материалы, состояние которых зависит как от приложенных в данный момент внешних воздействий, так и от воздействий в предшествующие моменты времени. Наиболее характерные представители этих матеI риалов - полиамидные пластики, эластомеры, а также полипропилен.

Полиамидные пластики (или полиамиды) - конструкционные материалы, которые, по сравнению с полимерами общего назначения, характеризуются повышенной прочностью и термостойкостью и применяются при создании изделий, требующих долговечности, износостойкости, пониженной горючести и способных выдерживать циклические нагрузки. В машиностроении полиамиды применяются для изготовления зубчатых колес, втулок-прокладок, корпусных деталей пневматических инструментов; в текстильной промышленности из полиамидов изготовливают синтетические волокна.

Эластомеры широко используются в промышленности. Наиболее характерные представители - полиуретаны, резины и каучуки. Из этих материалов изготавливают шины, уплотнительные детали, различные валики.

Полипропилен широко используется в промышленности для изготовления труб для горячего и холодного водоснабжения, емкостей, тары, а также игрушек.

Изложенные обстоятельства свидетельствуют о важности разработки и использования методов решения задач теории вязкоупругости.

В математическом плане контактные задачи вязкоупругости относятся к классу задач механики сплошных сред со смешанными граничными условиями и сводятся, как правило, к решению интегральных уравнений с сингулярным ядром. При решении контактных задач вязкоупругости часто используется модель стандартного вязкоупругого тела (модель Кельвина), так как она дает достаточно неплохое качественное описание поведения материала, а также позволяет в ряде случаев получить аналитические решения.

Контактные задачи вязкоупругости условно можно разделить на два типа.

К первому типу относятся задачи о вдавливании жесткого тела - штампа в вязкоупругое. К указанному можно отнести работы [13], [18], [20]. В , этом случае искомое контактное давление под штампом зависит как от времени, так и от координат. В данных задачах, когда область контакта не изменяется во времени, решение может быть получено с помощью принципа Вольтерра [21], [22], [11], [12], а при ядрах, зависящих от разности аргументов, - с помощью принципа соответствия [21], [22]. Решение задачи сводится к расшифровке операторов или к отысканию оригиналов по известному отображению. В случае, когда область контакта неизвестна и меняется во времени, принцип Вольтерра и принцип соответствия неприменимы. Способ решения существенно зависит от того, возрастает или уменьшается область контакта [23]. При уменьшающейся области контакта задача сводится к последовательному решению двух интегральных уравнений, а в случае увеличивающейся области - к перестановке пределов интегрирования, а затем к последовательному решению двух интегральных уравнений. Указанные задачи могут найти применение, например, при расчете фундаментов, опор, когда грунт имеет вязкоупругие свойства.

Ко второму типу задач, который рассматривается ниже, а также в главах I, II, III, относятся задачи о стационарном движении штампа по границе вязкоупругого тела. Указанным задачам посвящено достаточно большое количество работ. Зачастую в подобных задачах получить,замкнутых решений не удается, качественный анализ численных решений весьма затруднителен.

Одним из первых советских авторов, который рассмотрел вышеуказанную задачу в конце 30-х, начале 40-х годов прошлого века, был А. Ю. Иш-линский [15],[16]. Задача состояла в определении силы трения при качении цилиндра но вязкоупругому основанию и решалась в предположении существования на линии контакта одного участка сцепления и одного участка скольжения. Деформируемое основание заменялось системой раздельных стержней, которые могли отклоняться в сторону и укорачивающихся пропорционально усилиям, действующим по касательной и соответственно по нормали к торцу. Определены асимптотические представления этой силы для больших и малых скоростей. Из этих зависимостей видно, что при увеличении скорости сила трения стремится к нулю.

В последующих работах рассматривалось качение вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала.

В работе Г.А. Бойченко [5] рассматривалась задача о сопротивлении перекатыванию в предположении медленного равномерного качения цилиндра весьма большого радиуса по границе полупространства. Считалось, что материалы катка и полупространства обладают наследственной упругостью, участок контакта состоит из зоны сцепления и зоны скольжения. На основании принципа Вольтерра задача свелась к соответствующей плоской задаче теории упругости, сингулярные интегральные уравнения регпенььв конечной форме, после чего с помощью реализации операторов наследственной упругости получено решение задачи.

В одной из работ Р.Я. Ивановой [14] была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке; материал считался линейно-вязкоупругим, объемное последействие отсутствовало. Процесс считался стационарным. При решении использовались принцип Вольтерра и метод Мусхешвилли [19]. Полученные при этом два сингулярных уравнения содержали реологический оператор, который выражался через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. Одно из этих интегральных уравнений удалось свести к виду, позволяющему решить его методом Карлемана. Решение было вынисано в квадратурах, вычислялись они приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации.

Подобная задача была рассмотрена И.Г. Горячевой в работе [9]. Предполагалось, что вся площадка контакта состоит из 2-х участков: участка сцепления и участка скольжения соприкасающихся поверхностей. Задача решалась с помощью 2-х функций комплексных переменных; в итоге были найдены уравнения для определения длины площадки контакта и участка сцепления, а также выражения для напряжений на площадке контакта.

Ю.Н. Работнов в книгах [21], [22] привел метод решения задачи о движении нагрузки с постоянной скоростью по границе вязкоупругого тела достаточно большой протяженности. Инерционные члены в уравнениях равновесия были опущены, так как скоросгь движения нагрузки существенно меньше скорости распространения упругих волн в вязкоупругой среде. В качестве примера была рассмотрена задача о движении без трения кругового штампа по границе вязкоупругой полуплоскости. Строилось решение задачи теории упругости, затем упругие постоянные заменялись соответствующими операторами. Результаты показали, что эпюра распределения контактного давления имеет тот же вид, что и в упругом случае, но смещена в сторону движения.

Движением жесткого штампа по вязкоупругому телу занимались и зарубежные специалисты.

В работе Ли [28] были рассмотрены случаи действия сосредоточенной неподвижной и подвижной сил на вязкоупругое полупространство, поведение которого при сдвиге описывается моделью Максвелла, а при всестороннем сжатии - идеально упругим телом. При решении использовался метод преобразования Лапласа.

В работе Хантера [27] решена двумерная контактная задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому полупространству. При исследовании инерционные члены опускались. На первом этапе получено сингулярное интегральное уравнение, отражающее зависимость нормального смещения границы полупространсгва от давления под штампом. Решение осуществлялось с помощью эквивалентного преобразования в уравнение с логарифмическим ядром относительно дифференциального оператора давления (аналог формулы Буссинеска для вязкоупругой задачи). Замкнутое решение получено для материала с одной функцией ползучести и одним временем ретордации. Однако при обобщении результатов этого исследования и распространения на более общий случай вязкоупругого тела, использованный метод приводит к расходящимся интегралам.

В работе Морленда [29] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении с постоянной скоростью жесткого цилиндра по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась малой по сравнению со скоростью звука в материале и инерционные члены не учитывались, силы трения в области контакта отсутствовали. Длина области контакта считалась малой по сравнению с диаметром цилиндра. Математически задача свелась к решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими синус и косинус. Решались полученные уравнения с помощью рядов Бесселя и тригонометрических рядов. Расчеты дают картину несимметричного распределения контактного давления, являющегося следствием влияния фактора времени.

В отношении решения динамических задач о движении штампа по вязкоупругому телу необходимо сказать, что эти задачи возникают при скоростях движения штампа, близких к скорости звука в вязкоупругой среде, которая обычно невелика. Основной целью решения этих задач является установление степени влияния динамических и вязкоупругих эффектов. Подобные исследования приведены в работах [7], [8].

Задачи о движении жесткого тела во вязкоупругому могут найти приме

I 1 нение при расчете на прочность и износ шин, а также аэродромных покрытий.

В большинстве перечисленных работ вязкоупругое тело является полупространством, а форма штампа не зависит от координаты, перпендикулярной движению. Это позволило решить задачу аналитически и учесть силы трения и деформацию штампа, динамические эффекты, а также произвести некоторый качественный анализ полученного решения. Важно' отметить, что зависимость контактного давления под штампом от формы вязкоупругого тела изучена недостаточно, хотя и имеются некоторые исследования, например [26].

В предсталенной работе будет рассмотрено равномерное движение абсолютно твердых тел - штампа, бандажа, вкладша с гладкой, а также волнистой подошвой по границам вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью соответственно. Предполагается, что скорость движения существенно меньше скорости звука в среде, трение в области контакта отсутствует.

Согласно [2] решение контактной задачи начинается с решения вспомогательной задачи, - т.е. с нахождения зависимости перемещения границы вязкоупругого тела от приложенных к ней нагрузок. Эта задача решается аналитически с использованием интеграла Фурье [24],[25] и тригонометрических рядов. На следующем этапе осуществляется преобразование полученной зависимости в интегральное уравнение с помощью стандартного математического аппарата. На последнем этапе интегральное уравнение решается численно-аналитическим методом Мультоппа-Каландии и его модификацией [4], [17]. Модификация метода Мультоппа-Каландии была разработана В.М. Александровым.

Вывод точной зависимости перемещения границы вязкоупругого тела от приложенных к ней нагрузок возможен лишь в системах координат, где возможно разделение переменных, или возможно применить преобразование Фурье. Поэтому и будут рассмотрены тела простейшей формы -полупространство, слой, цилиндр, пространство с цилиндрической полостью. Вывод интегрального уравнения не составляет существенных сложностей, однако решение полученных интегральных уравнений аналитически в замкнутом виде невозможно. Автор применял приближенные численно-аналитические методы [б] с тем, чтобы по возможности соблюсти структуру решения полученных уравнений.

После решения вспомогательной задачи можно легко получить напряженно-деформированное состояние тела - т.е. решить краевую задачу теории вязкоупругости с найденным контактным давлением, а затем произвести расчет на прочность. Некоторая неточность полученного контактного давления несущественна, так как перемещение границы рассматриваемого тела в той части границы, где находится штамп, будет приближенно совпадать с его формой; форма реального штампа всегда имеет какие-то отклонения от заданной'. Однако расчет на прочность не входит в рамки данной работы.

Целью диссертации является установление влияния формы и скорости движения жестких тел и формы вязкоупругих тел на распределение давления в зоне контакта на примере постановки и решения контактных задач о движении жестких штампа, бандажа, вкладыша с гладкой и волнистой подошвой по границам вязкоз'пругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью соответственно.

Общие задачи исследования в целом следующие:

- вывести интегральные уравнения относительно контактного давления;

- решить »их численно-аналитически и построить графики распределения контактного давления;

- провести качественный анализ полученных распределений контактных давлений для рассматриваемых форм штампов, бандажей, вкладышей и вязкоупругих тел.

В первой главе приведено решение задачи о распределении контактного давления под штампом, движущимся по границе вязкоупругого полунрост1 ранства. Вначале решается вспомогательная задача о движении по границе полупространства нагрузки, отличной от нуля в области О,, аналогично [1].

Затем осуществляется переход от пространственной задачи к периодической с учетом бесконечной протяженности штампа в направлении, перепен-дикулярном движению. Далее выводится интегральное уравнение относительно контактного давления. Полученное интегральное уравнение решается численно-аналитическими методами. Приводятся соответствующие графики распределений контактных давлений.

Во второй главе решена задача о распределении контактного давления под движущимся по границе вязкоупругого слоя штампом. Как и в первой задаче вначале определяется зависимость перемещения границы слоя от приложенной к ней нагрузки, причем перемещение ищется в виде ряда и интеграла Фурье. Затем выводится интегральное уравнение, которое решается численно-аналитическими методами. Приводятся соответствующие графики распределений контактных давлений при разных толщинах слоя.

В третьей главе рассмотрена задача о распределении контактного давления под движущимися бандажом и вкладышем по границам вязкоупругих цилиндра и пространства с цилиндрической полостью. Как и в предыдущих задачах сначала выводится интегральное уравнение относительно контактного давления, затем оно решается численно-аналитическими методами. Представляются соответствующие графики распределений контактных давлений.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Виктору Михайловичу Александрову за поддержку и внимание к работе.

Заключение

В представленной работе в рамках общего метода решения контактных задач [2] использованы модификации метода Мул ьтоп па-Кал андии для нахождения распределения давления в зоне контакта.

Задачи решались для вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью, при этом форма штампа, бандажа, вкладыша считалась плоской или волнистой. При нахождении зависимости перемещений границ указанных тел от нормальных поверхностных нагрузок использовалось преобразование Фурье по координате, в направлении которой движутся штамп, бандаж или вкладыш. В результате была получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, которая допускала решение в виде известных функций; в итоге с помощью стандартных математических преобразований была найдена искомая зависимость в замкнутом виде.

Полученные зависимости перемещений границ исследуемых тел от приложенных нагрузок использовались в качестве интегральных уравнений для определения контактных давлений во всех поставленных' задачах. Данные интегральные уравнения не допускают сведения к соответствующим уравнениям теории упругости, как в [13],[17],[19],[22] и поэтому они решались численно-аналитически. Ядра интегральных уравнений относительно контактных давлений на поверхности вязкоупругого тела, в отличае от соответствующих ядер для упругих задач [4], имеют некоторые отличия, но, как показано в приведенной работе, структура решения их практически та же самая. Решались указанные уравнения методами Мультоппа-Калан-дии, причем точность решений не превышает 2-3-х знаков после запятой для задач о полупространстве и слое, и 5% для задач о цилиндре и пространстве с цилиндрической полостью. Для каждой 'задачи приведены графики распределений контактных давлений.

Полученные распределения контактных давлений для рассмотренных задач позволяют сделать следующие выводы:

- форма и размеры вязкоупругого тела влияют на распределение контактных давлений существенно больше, чем в случае- упругих тел;

- при уменьшении скорости движения штампа, бандажа, вкладыша с острыми краями, начиная с определенного значения, нарушается условие контакта;

- распределения контактного давления несимметрично относительно середины участка контакта, что объясняется вязкоупругими свойствами тел;

- распределение контактного давления в задаче о вязкоупругом слое стремится к соответствующему распределению у вязкоупругого полупространства медленнее, чем в упругих задачах;

- при уменьшении радиусов цилиндра и пространства.с цилиндрической полостью, начиная с определенного значения, происходит нарушение условия контакта на заднем конце бандажа или вкладыша, что в случае упругих тел не происходит;

Из вышесказанного следует, что при решении практических задач желателен более точный учет геометрических характеристик реальных тел. Более глубокое изучение влияния формы штампа и формы вязкоупругого тела на распределение контактного давления затруднено и требует совершенствования аналитического аппарата решения пространственных задач математической физики.

1. Александров В. М., Коваленко Е. В. Задачи механики сплошных сред со смешанными граничными условиями.- М.: "Наука", 1986. 336 с.

2. Александров В.М., Пожарский Д.А. Нек-лассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел.- М.: Изд-во "Факториал", 1998. 288 с.

3. Александров В. М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в Машиностроении.- М.: "Машиностроение", 1986. 176 с.

4. Бойченко Г. А. Сопротивление перекатыванию иаследственно-упругих тел,- Изв. АН СССР. ОТН", 1955, №9. .

5. Ворович И.И., Александров В.М., Бабешко В. А. Неклассические смешанные задачи теории упругости.- М.: "Наука", 1974. 456 с.

6. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости.- М.: ГИТЛ, 1953. 264 с.

7. Галин Л.А., Шматкова А. А. О движении жесткого штампа по границе вязкоупругой полуплоскости ПММ, 1968, 32, вып. 3.

8. Горячева И. Г. Контактная задача качения вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала.- ПММ, 1973, 37, вып. 5.

9. Градштейн И. С. Рыэюик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений М.: "Наука", 1971. 1108 с.

10. В. Г. Громов К вопросу о решении граничных задач линейной вязко-упругости Механика полимеров, 1967,6.

11. В. Г. Громов О математическом содержании принципа Вольтерра в граничной задаче вязкоупругости.- ПММ, 1971, 35, вып. 5.

12. Долина Н. Н., Розовский М.И. Некоторые задачи сопряжения упруго-вязких тел.- В сб.: Контактные задачи и их инженерные приложения. М., изд. НИИмаш, 1969.

13. Иванова Р.Я. Качение вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала ПМТФ, 1964, №3.

14. Ишлипский А.Ю. Трение качения ПММ, 1938, 2, вып. 2.

15. Ишлипский А.Ю. Теория сопротивления перекатыванию (трение качения) и смежных явлений.- Всесоюз. Конф. По трению и износу в машинах, 2. М., Изд-во АН СССР, 1940.

16. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости.- М.: "Наука", 1973. 304 с.

17. Миткевич И. Г. Об одной контактной задаче для вязкоупругой полуплоскости ПММ, 1970, 34, вып. 4.

18. Мусхешвилли Н. И. Некоторые основные задачи математической теогрии упругости. М.: "Наука", 1966.

19. Прокопович И. Е. О решении плоской контактной задачи с учетом ползучести ПММ, 1956, 20, вып. 6.

20. Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкции.- М., "Наука", 1966. 752 с.

21. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел-М., "Наука", 1977. 384 с.

22. Развитие теории контактных задач в СССР. Под ред. J1.A. Галина.-М.: "Наука", 1976. 493 с.

23. Снеддон И. Преобразование Фурье.- М.: ИЛ, 1955.

24. Трантер К. Интегральные преобразования в математической физике.-М.: "Гостехиздат", 1956.

25. Шматкова A.A. О движении нормальной нагрз^зки по границе вязкоупругой полосы.- "Изв. АН СССР. Механика твердого тела", 1969, № 2.

26. Hunter S. С. The rolling contact of a rigid cylinder with a viscoelastic half space.- "Trans. ASME", 1961, E28, N 4.

27. Lee E. H. Stress analysis in viscoelastic bodies.- "Quart. Appl. Math.", 1955, 13, N 1.

28. Moríand L. W. A plane problem of rolling contact in linear viscoelastic theory. "Trans. ASME", 1961, E29, N 2.