Асимптотическое расщепление в динамике упругих тел с тонкими включениями тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

. £ О'

^ РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ -

/ На правах рукописи

УДК 539.3

Лавров Николай Александрович

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАСЩЕПЛЕНИЕ В ДИНАМИКЕ УПРУГИХ ТЕЛ С ТОНКИМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

01.02.04 — Механика деформируемого твёрдого тела

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор Пальмов Владимир Александрович,

— доктор физико-математических наук, Индейцев Дмитрий Анатольевич,

— доктор физико-математических наук, Петров Юрий Викторович

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет) им. Г.В.Плеханова

Защита состоится о ис-олЯ 1997 года в ча-

сов на заседании Диссертационного совета Д 200. 17. 01 Института проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, В.О., Большой пр., 61.

С диссертацией можно ознакомится в ОНТИ ИПМаш РАН.

Автореферат разослан б июня 1997 года.

Учёный секретарь Совета, к.х.н. ^л^^м^В. П. Глинин

1 Общая характеристика работы

Актуальность. Многочисленные проблемы геофизики, сейсмологии, акустики, строительной механики, горного дела, механики материалов, задачи контакта деталей машин требуют изучения процессов распространения упругих волн как в средах с тонкими (стержнеобразными и тонкостенными) включениями (когда два характерных размера включения значительно меньше третьего или когда поперечный размер тонкостенного включения значительно меньше двух других), так и в телах, контактирующих по узкой области. При этом нередко встречаются ситуации, когда характерный временной масштаб протекающих процессов сравним со временем пробега упругой волны вдоль большего геометрического размера включения (зоны контакта) и значительно превышает время пробега поперечного размера включения (зоны контакта). Как трехмерные задачи динамики неоднородных упругих тел, так и контактные задачи успешно решаются численно методами конечных элементов, граничных элементов, конечных разностей и другими. Однако реализация численных решений сопряжена с принципиальными трудностями в тех случаях, когда включения или область контакта тонкие, т.е. имеет место вырождение области взаимодействия в поверхность или линию. Следует. отметить, что необходимость учета многочисленных отражений - преломлений упругих волн в тонкой области приводит к весьма значительному объему вычислений. (В частности, при решении данных задач методом интегральных уравнений для расчета их ядер требуется вычисление несобственных интегралов от осциллирующих функций; частота осцилляций тем выше, чем тоньше область.) Перспективным в таких случаях представляется обращение к асимптотическим методам. Последние, с одной стороны, дают адекватное описание динамического процесса, а с другой стороны приводят к существенно более простым уравнениям, чем уравнения исходной трехмерной динамической задачи теории упругости (в соответствующем диапазоне из-

менения параметров). Асимптотический подход основывается на использовании малого геометрического параметра, равного отношению малого геометрического (поперечного) размера области взаимодействия к большему характерному размеру. (В силу предположения о сравнимости характерного временного масштаба рассматриваемого процесса и времени пробега упругой волны вдоль большего характерного размера в данной задаче указанный малый параметр будет единственным.)

Необходимо отметить, что в рассматриваемых задачах для описания динамики тонких включений даже в самом грубом приближении не может быть использована классическая теория стержней-пластин-оболочек. Каждая из взаимодействующих сред должна быть описана уравнениями динамической теории упругости (с последующим асимптотическим упрощением полученной системы уравнений).

Существенно, что рассматриваемые динамические процессы не могут быть описаны и при помощи динамических задач (теории упругости) меньшей размерности (двумерной или одномерной), которые не учитывают трехмерных динамических эффектов, характерных для рассматриваемого процесса и дают искаженную его картину.

Наиболее близкие к задачам, рассматриваемым в работе, результаты в области взаимодействия сред по тонкой области получены в динамике жидкости (обтекание тонкого тела, динамика каверны [1,2], рассеяние акустической волны на тонком теле [3-7]) и в статической задаче теории упругости (деформирование среды с тонкими включениями [8-11], контакт двух тел по узкой области [12-17]). Пространственные же задачи эластодинамики обладают рядом специфических черт, делающих их существенно более сложными, чем задачи эластостатики или акустики. Для рассматриваемого диапазона изменения параметров число асимптотических решений таких задач крайне ограничено. Сказанное определяет актуальность диссертационной работы.

Цель работы состоит в разработке метода асимптотического расщепления в динамике упругих тел с тонкими

включениями и в динамике контактного взаимодействия упругих тел в случае узкой области контакта, а также в решении ряда конкретных динамических задач, имеющих как иллюстративное, так и самостоятельное значение.

Научная новизна. В работе предложен новый подход к решению трехмерной задачи динамики упругого тела с тонким включением - асимптотическое расщепление на две задачи (вообще говоря, связанные между собой) меньшей размерности. Первая из этих задач - динамическая - описывает трехмерные динамические эффекты исследуемого процесса. Вторая - квазистатическая - описывает процесс деформирования в поперечном направлении (т.е. в поперечном сечении стержнеобразного включения и в пределах толщины тонкостенного включения).

На основе асимптотического расщепления построена теория динамического взаимодействия двух тех, контактирующих по узкой (вообще говоря, трехмерной) области.

Решен ряд новых задач: рассеяние плоской волны на стержнеобразном и тонкостенном включении в упругой среде, вибрация узкого прямоугольного штампа в контакте с полупространством и с дном удлиненной выемки в полупространстве.

Все результаты, составляющие основу диссертации, получены впервые, что и определяет их научную новизну.

Научная и практическая значимость работы. Научная значимость результатов диссертации обусловлена разработкой новых подходов к решению задач динамики неоднородной упругой среды и задач динамики контакта. Результаты асимптотического анализа могут быть положены в основу численных решений динамических задач для тел конечных размеров с тонкими включениями. Построенные асимптотические решения задач динамики упругой среды с изолированным включением открывают возможность построения моделей упругих сред с системами тонких неодно-родностей, причем без использования дополнительных упрощающих физических гипотез.

Практическая значимость результатов связана с возмож-

ностью использования построенных асимптотических решений для тестирования численных решений, полученных в задачах строительной механики, горного дела, акустики, механики материалов, сейсмологии, а также в задачах контакта деталей машин. Разработаны основы асимптотической теории динамического взаимодействия ленточных фундаментов с упругим грунтом.

Методика исследования состоит в систематическом использовании аппарата функции Грина для построения интегральных уравнений рассматриваемых динамических задач теории упругости, а также в использовании асимптотических методов для упрощения построенных систем уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Конференции "Распространение упругих и пластических волн" (Фрунзе, 1983), на Шестом всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986), на Всесоюзной конференции "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении" (Горький, 1989), на коллоквиуме EUROMECH-295 "Wave processes in machinery and structures" (Нижний Новгород, 1992), на Всероссийском научном семинаре "Проблемы динамики и прочности электро-и энергомашин" (С-Петербург, 1993), на Международной конференции по борьбе с шумом и вибрацией "NOISE-93" (С-Петербург, 1993), на коллоквиуме EUROMECH-314 "Effectiveness of shell theory formulations for numerical solutions" (Мюнхен, 1993), на XXIII школе-семинаре "Анализ и синтез механических и колебательных систем" (С-Петербург, 1995), на Третьем международном конгрессе по прикладной математике и механике "ICIAM-95" (Регенсбург, 1995), на XV Международной конференции "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" (С-Петербург, 1996), на II Международной конференции "Современные проблемы механики

сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996), на 12 Междуна-_

-родномсимпозиумеРАЗЕ J! Шум~и~вибрацйя на транспорте" (С-Петербург, 1996), на XXII Генеральной Ассамблее Евро-

пейского геофизического общества (Вена, 1997), на семинаре по акустике под рук. проф. Д.П. Коузова (Морской технический университет, 1995), на семинаре по механике прочности и разрушения под рук. проф. Р.В. Гольдштейна (ИП-Мех РАН, 1997), на семинаре по математической физике под рук. проф. Э.А.Троппа (ФТИ им. А.Ф.Йоффе РАН, 1997), на семинарах по механике ИПМаш РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 24 печатных работах.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка цитируемой литературы из наименований. Общий объём диссертации

страниц, включая рисунков.

2 Краткое содержание диссертации

Во введении дана общая характеристика работы. Сформулирована цель и основные направления исследований, составляющих содержание диссертации. Приведено краткое описание работы по главам.

В первой главе диссертации дан литературный обзор различных подходов и методов решения задач динамического и квазистатического взаимодействия упругих тел по тонкой области.

Отмечено, что трехмерная задача взаимодействия среды и тонкого стержнеобразного включения (как статическая, так и динамическая) при конечной длине включения не может быть сведена к двумерной задаче (когда длина считается бесконечной). Перемещение вообще не может быть определено ни из задачи о плоской деформации ни из задачи о продольном сдвиге. Известно, что если главный вектор

3 нагрузки, приложенной к однородной упругой плоскости (полуплоскости) не равен нулю, то перемещение не ограничено. Оно асимптотически пропорционально 81тг г, г оо

(г обозначает расстояние до области приложения нагрузки) в статической задаче и S 1пи>, и 0 в стационарной динамической задаче (и> - частота) и, наконец, S Int, t —» оо в нестационарной задаче с нулевыми начальными условиями и внезапно приложенной, а затем фиксированной во времени нагрузкой. В то же время перемещение в соответствующей трехмерной динамической задаче (когда длина области конечна) не является неограниченным. Оно стремится к конечному пределу, т.е. к решению трехмерной статической задачи. По той же причине редукция трехмерной контактной задачи при узкой области контакта к двумерной задаче возможна лишь в специальных случаях.

Если область, занятая включением, тонкостенная, по той же причине невозможна редукция к одномерной задаче (когда область включения полагается бесконечной). Если в одномерной задаче для однородной среды интеграл Р от нагрузки по координате х не равен нулю, то перемещение не ограничено и асимптотически пропорционально Р|х| (|х| оо), Р/ш2 (и 0) и Pt (£ оо) в статической, в стационарной динамической и в нестационарной задаче о внезапно приложенной нагрузке, соответственно. Учет конечности области включения приводит к ограниченному решению (т.е. решению статической трехмерной задачи).

В работе указано на невозможность непосредственного использования уравнений теории стержней-пластин-оболочек для описания динамики тонкого включения. Действительно, рассмотрим статическое растяжение однородной упругой среды однородным одноосным полем напряжений на бесконечности. Ему соответствует однородное поле напряжений повсюду. Если же мысленно выделить в среде тонкостенную криволинейную область и описать ее деформирование на основе классической теории оболочек, то придем к неоднородному полю напряжений, поскольку теория юболочекпфедполагаеГбтсутствие нормальных напряжений на площадках, ориентированных касательно к срединной

поверхности. Рассмотрим другой пример - распространение плоской упругой волны (сжатия или сдвига) в неограниченной однородной среде. Если мысленно выделить в среде бесконечный прямолинейный стержень, пластинку или цилиндрическую оболочку и рассмотреть распространение возмущений вдоль них (в рамках теории стержней-пластин-оболочек) , то получим скорости распространения, отличающиеся от скоростей волн растяжения и сдвига в среде. Эти примеры подтверждают сделанное выше заключение.

Задачу динамического взаимодействия, таким образом, можно решить либо численно (что сопряжено с принципиальными трудностями в случае тонких областей, см. например, [18]), либо на основе последовательного асимптотического подхода, когда уравнения Навье записываются для обеих взаимодействующих сред, а затем полученная система асимптотически упрощается за счет малого параметра задачи. (Сказанное не исключает, разумеется, использование различных упрощающих гипотез, но при этом остается открытым вопрос о вносимой погрешности; эти решения в работе не обсуждаются.) На основе такого последовательного асимптотического подхода были решены многие статические задачи. Число асимптотических решений динамических задач существенно меньше. Задача о динамике упругой среды с тонкой стержнеобразной полостью рассмотрена в [19,20] (подход авторов отличается от используемого в диссертации) .

В работе отмечено, что имеется ряд задач динамики трещин, родственных задачам о тонких включениях, например, работы [21,22], посвященные рассеянию упругой волны на дискообразных трещине и жестком включении.

Во второй главе рассматривается задача динамики однородной линейно-упругой среды с тонким стержнеобраз-ным включением. Включение занимает удлиненную область (П), ориентированную вдоль пространственного контура (Г) - осевой линии. Включение тонкое: максимальный размер

(2/г) поперечного сечения (Б) области П плоскостью, нормальной к осевой линии, много меньше продольного размера (21) области П (е = /г/2 = о(1)). Контур Г представляет собой достаточно гладкую кривую, замкнутую или разомкнутую, и не имеющую точек самопересечения (ветвления). Форма поперечного сечения Б медленно меняется вдоль осевой линии за исключением, может быть, кондов области. Предполагается, что характерный временной масштаб (Т) рассматриваемого динамического процесса сравним со временем распространения волны сдвига вдоль отрезка длиной 21 (с%Г/1 = 0(1), сг - скорость распространения волн сдвига в среде). Разыскивается перемещение и напряжение в области П и ее окрестности. В случае незамкнутого контура Г асимптотическое решение разыскивается в виде суммы гладкой (плавно меняющейся вдоль контура Г) части и двух функций типа пограничного слоя, локализованного вблизи торца включения.

Вначале строится асимптотическое соотношение между плавно меняющейся вдоль контура Г и во времени объемной силой

{=<£(СЛ { 1 £\ (1)

\г Г к' к)' 1'

приложенной в области О, однородной упругой среды, и отвечающим ей перемещением. В равенстве (1) £ - координата, отсчитываемая вдоль осевой линии, а!/и( - локальные координаты в сечении Р = £>(£), связанные с натуральным триэдром осей. Перемещение представляется в виде четырехмерной свертки (по координатам и времени) функции Грина трехмерной динамической задачи и нагрузки. По причинам, указанным в главе 1, плавное изменение формы области и нагрузки и вдоль осевой линии не позволяет рассматривать задачу как двумерную.

Нагрузка í представляется в виде суммы

¥ = и {<Ю, х е А, у € г

двух нагрузок, первая из которых приложена на контуре Г и имеет в каждом сечении Б тот же главный вектор, что и нагрузка £ а вторая является самоуравновешенной в сечении Ю, причем каждая из нагрузок характеризуется масштабами 1/с2 и I изменения по переменным £ и Линейность задачи позволяет воспользоваться принципом суперпозиции и оценить вклад в перемещение от каждой из двух нагрузок по-отдельности. При этом свертка функции Грина с первой нагрузкой приводится к двукратному интегралу (по времени и осевой координате). Предположение об удлиненности области и о плавном изменении внешнего воздействия { позволяет понизить размерность свертки функции Грина с самоуравновешенной нагрузкой на единицу за счет перехода к квазистатической задаче (исключается свертка по времени £) и еще на единицу за счет перехода к плоской задаче (исключается свертка по осевой координате £). (Переход к плоской задаче правомерен в точках, удаленных от концов области П.) Время и осевая координата будут параметрами полученного двойного интеграла. Выведенное асимптотическое соотношение дает возможность решать конкретные динамические задачи.

В качестве примера рассматривается задача рассеяния плоской волны на цилиндрическом массовом (плотность р\ включения отличается от плотности р среды) включении П {|:г| < у2 + г2 < Л2}. Продольная упругая волна

е-ш(ц0 _ е-.ы<(0) 0> „Д ш0 _ (3)

воздействует на включение и создает поле перемещений

е~ым = е-ш(и, v, w) (4)

(ниже для краткости всюду опущен множитель

Уравнение Навье для неоднородной среды с переменной плотностью может быть переписано в форме

//Д(и - u") + (А + fi)grad div(и - и0) + +ш2р(и - и0) + u?{pi - р)мНй = 0, (5)

где A, ¡i - параметры Ляме, множитель Нц = 1 в точках области П и Яд = 0 вне области П. Из уравнения (5) видно, что рассеянное поле u—и0 может рассматриваться как перемещение в однородной среде, вызванное объемной нагрузкой f = ш2(рх — р)иНц. На этой основе строится интегральное уравнение задачи. Его асимптотический анализ с использованием выведенных ранее асимптотик позволяет для амплитуды прогиба W{x) = Л w dDJ(irh2) стержня получить уравнение

2 ( i

W(x) + IfK(X-x')W(x')dx'+

"j

3-4v 4(1 - и)

¡W(x')-W(x)dxl+

X1 — £

/2 _ 2 \ + \ln—+ 2ln2 + l\ W(x)

= Щ, (6)

*(*) = TTi

M*\¡C2 _ f|JL (

3 -Av

-»П'НЛч I _

I 4(1-и

V- коэффициент Пуассона. Выведенное интегральное уравнение не содержит несобственных интегралов от осциллирующих функций и удобно для численного решения. Ядро К(х) ограничено при х = 0.

Для определения перемещения в произвольной точке поперечного сечения необходимо рассмотреть задачу о действии в области П нагрузки с компонентами ^2{р\ — р)и, и2(р1—р)ь, 1М2{р1—р)(ю—Ш). Перемещение, отвечающее этой самоуравновешенной (в сечении) нагрузке, плавно изменяющейся вдоль оси, можно оценить при помощи зависимостей статической плоской задачи. Так выводятся уравнения для определения компонент V, ю перемещения

, . (рг - р)ш2 (

= ИМ!-»о!

4-

ю

+

Уг + г*

00 V +

2 уг

У2+ 2

- (3 - 4и) 1п {у2 + г2)+ 2оо[«;-Щх)]), (7)

2 уг

-(3 - Аи)1п {у2 + г2) +

оо

оо [ш — ^К(х)]} ,

Кружками обозначены свертки по переменным у, г по области В.

Для вычисления поправки в прогиб IV (х), обусловленной краевым эффектом, в работе выводится уравнение Винера-Хопфа. После ее нахождения перемещение и напряжение в произвольной точке области могут быть найдены путем решения трехмерной статической задачи теории упругости.

В третьей главе диссертации рассматриваются задачи рассеяния упругих волн на тонкостенном включении в однородной среде. Поперечный размер (толщина 2К) области П, занятой включением, много меньше двух других характерных размеров. Срединная поверхность (5) предполагается достаточно гладкой, минимальный радиус кривизны

значительно превышает толщину, которая плавно меняется вдоль меридиана. Плоская продольная волна (3) действует на тонкостенное включение, в результате чего создается поле перемещений (4). Длина падающей волны предполагается сравнимой с большим характерным размером 2а: wa/сг = 0(1), uh/c2 = о(1), е — h/a. Разыскивается гладкая (плавно меняющаяся вдоль меридиана срединной поверхности) часть решения (погранслой вблизи кромки не рассматривается).

Прежде всего строится асимптотическое соотношение между плавно меняющимися перемещением v и объемной нагрузкой f, приложенной в области Í2 в однородной упругой среде. Перемещение v выражается сверткой функции Грина стационарной задачи и нагрузки f. Нагрузка представляется в виде суммы двух слагаемых

f(x) = F(y)S(x — у) + [f(x) — F(y)£(x - у)], h

F(y) = /f(x)dC, x = y + nC, xefi, ye 5, -ft

где n - нормаль к поверхности S в точке у, С - координата, отсчитываемая вдоль нормали, (£( < Л(у). Первое слагаемое в правой части выражает нагрузку, приложенную к поверхности S и равную суммарному усилию на поперечном отрезке. Второе слагаемое выражает нагрузку, самоуравновешенную на каждом поперечном отрезке. Свертка функции Грина с первым слагаемым приводится к двукратному интегралу по поверхности S. Свертка ее со вторым слагаемым асимптотически упрощается за счет перехода к квазистатической одномерной задаче и выражается однократным интегралом - сверткой по поперечному отрезку. (Такое упрощение правомерно в точках, удаленных от кромки.)

Осреднение полученного равенства по поперечному отрезку приводит к асимптотическому представлению для среднего

по толщине перемещения У(у) = / ус/£/(2Л)

—Л

^(у)

**Г(у), е -> О, (8)

Сив - функции Грина стационарной динамической и статической задач для неограниченной упругой среды, двумя звездочками обозначена свертка по срединной поверхности.

На основе выведенных асимптотических равенств решаются конкретные динамические задачи для массовых (р1 Ф р) включений. Используется уравнение Навье в форме (5), затем рассеянное поле и — и0 рассматривается как перемещение однородной среды под действием объемной силы £ = ш2(р1 — р)\1Нп] строится интегральное уравнение задачи и выполняется его асимптотический анализ.

Прогиб круглой пластинки Г2 {0<г<а, 0 < у < 2тг, \г\ < Л} (г, (р, г - цилиндрические координаты) описывается интегральным уравнением

^ + Ь (*" 7") От/ / м(г,г'=

Щ,

(9)

М(г, г') = / ^ _ 1) - 2Л Ф(Д.)+

<1<р,

+ 1п

о

Д* - Л.

Я2 = г2 _ 2гг'соз<р + г'2, Я1 = в1 + Л2,

Ф(Л) = IА (_ 1^/«»

у ЯЭД Я

Уравнение (9) решается численно, после чего перемещение в произвольной (удаленной от кромки) точке области опре-

деляется из решения одномерной статической задачи

л

«;(»■,*)-ИЧг) = / 1*-*'Nr,*')<**'-

- 2h\z\W(r)

(10)

Прогиб сферической оболочки Я {|Д — а| < h, 0< 9 < 9q, 0 < <р < 27г} (R, в,(р - сферические координаты) описывается интегральным уравнением (W = / wd^/2h)

—h

W(9) + -^(^jL{9,9')W{el)sin9'd9' =

= w0eiacos9/c\ (11)

, cos ff. f. , , . Ri + h + R+\

+ ~ cösT^ ~ ^ дГ-^+дГ/

R\ = a2A, Rl = h2 + aA(a±h), Ф± = Ф(Д±), А = A(9,6',ip) = 2(1 - sin9sin9'cos(p - cos9cos9')

Рассматривается также случай нормального падения продольной волны на круглую пластинку с другим модулем Юнга [Ei/E = 0(1), Е - модуль Юнга среды). Рассеянное поле u — и0 рассматривается как перемещение однородной среды, в которой в области Ü действует объемная сила f

f = - (l - J^) {ft"aiiff0 + [5{z -h)- 5(z + h)]k • T+ + S(r — a)H(h — |z|) er • T} , (12)

где Т - тензор напряжений, ег, к - орты цилиндрической системы координат. Строится интегральное уравнение для перемещения и. Асимптотический анализ позволяет редуцировать задачу к двум связанным между собой системам уравнений, каждая из систем состоит из двух одномерных интегральных уравнений. Первая система, выражающаяся интегральными уравнениями по промежутку 0 < г < а, учитывает трехмерные динамические эффекты растяжения и изгиба пластинки. Вторая система, выражающаяся интегральными уравнениями на поперечном отрезке |£| < к, описывает распределение перемещений по толщине.

В четвёртой главе диссертации рассматривается динамический контакт тела (с произвольным профилем поперечного сечения) и упругого полупространства г < 0 по узкой области. Осевая линия (Г) области контакта ( П ) предполагается достаточно гладкой. Сама поверхность П неплоская, причем поперечный ее размер 2к мал по сравнению с большим характерным размером 21 (е = И/1), отсчитываемым вдоль оси Г. Временной масштаб рассматриваемого процесса сравним с временем пробега упругой волны вдоль большего линейного размера. Предлагается асимптотический подход, позволяющий обобщить классические решения [12-14] статических контактных задач на динамику.

Плавное изменение формы контактирующих тел вдоль оси зоны контакта, а следовательно, и плавное изменение. контактных напряжений не дают, вообще говоря, возможности (как это указано в главе 1) при определении перемещений уменьшить размерность задачи на единицу и рассматривать плоскую задачу о контакте поперечных сечений взаимодействующих тел.

Вначале рассматривается стационарная динамическая задача о контакте по нормали гладкого тела и полупространства (трение отсутствует). Выводится асимптотическое соотношение между вертикальным (нормальным) перемещением ги(х) и контактным нормальным напряжением сг(х) в

точках области П. Контактная нагрузка представляется в форме

<т(х) = г(у)5(х - у) + Их) - г(у)6(х - у)], (13) 2(у) = Сна(*) > х = у + пС, х £ П , у 6 Г ,

где 2 - суммарное усилие на данном поперечном отрезке I С ^(у), п(у) - нормаль к контуру Г. В удаленных от концов у = у± области П точках имеет место асимптотика

«/(х) ~ [С1(у)-Св(у)]*ад + Св(х)*ад+ (14) + с^(ОоИх)-ад^х-у)], Л « |х-у±|,

где через и Св обозначены гг компоненты фундаментального решения стационарной задачи Лэмба (здесь под ним понимается перемещение в точке плоской границы, вызванное сосредоточенной силой, также приложенной в точке границы) и решение Буссинеска, аС^(С) = —(1—и)/(7гр) 1п |£| представляет собой решение Фламана, звездочка - свертка на оси, кружок - свертка по

Несмотря на то, что двумерная постановка задачи не позволяет определить перемещение в зоне контакта, плавное изменение формы контактирующих тел и, соответственно, контактных напряжений вдоль оси области дает возможность из решения плоской задачи определить контактные напряжения сто (у, С) в данном сечении у с точностью до зависящего от у множителя, поскольку результирующее контактное усилие в данном сечении связано с перемещением и может быть рассчитано только из трехмерной задачи.

Решив двумерную статическую контактную задачу (вооб-тце говоря, численно) и рассчитав оо(у,С)> приходим к уравнению контакта, которое содержит только однократные ин-

тегралы на оси

Цх) ~ [GL(y) — Gs(y)] * Z (у) + GB(x) * Z(у) + (15)

+ Z(y)Z0-l(y)GF(O о <г0(у,С) - GF(Ç)Z(y), h

Ш = / ^o(y,CK--h

В качестве примера рассматриваются вынужденные вертикальные колебания (задано вертикальное перемещение Де~'ш<) узкого жесткого гладкого штампа с плоской подошвой П{|х| < /, |у| < Л, г = 0}. Из двумерной задачи для плоского штампа шириной 2h имеем

сто (С) = 1/ (т/^С2) , А = 2 f МО MCI W = ЦЛ2/4)

-Л

и уравнение контакта (15) переписывается в форме Д = [С"{х)-в3{х))*г{х)+ (16)

Рассчитано контактное усилие и динамическая податливость упругого основания.

Второй пример посвящен колебаниям узкого прямоугольного штампа в контакте с дном z = —d выемки в форме прямоугольного параллелепипеда Р{| х j< | г/ |< h, —d < z < 0} в полупространстве г < 0. Контактное напряжение со рассчитывается численно. Движение штампа по-прежнему описывается уравнением (16), причем параметр А дается равенством (У = у2 + icP)

Л = ±.£ш{ыг + щ±т

} dy.

12d? 32 d4' Y ~УГ

Указан путь обобщения полученных результатов на случай взаимодействия штампа и волны, на нестационарные задачи, на движение, включающее три компоненты перемещения.

К рассмотренным выше динамическим контактным задачам тесно примыкает задача о рассеянии волны на тонком цилиндрическом включении, расположенном вблизи свободной плоской границы 2=0 полупространства. Нормально падающая плоская продольная волна и волна, отраженная от свободной границы z = 0, воздействуют на массовое (р ф рО включение ü {|а:| < I, y2 + (z + d)2 < /г2}, 21 - длина цилиндра, h - его радиус, d - глубина залегания (е = /г//, h/d = 0(1)). Длина падающей волны сравнима с длиной включения {yjc-ijl = 0( 1)). Рассеянное поле и — и0 (под и0 понимается сумма падающей и отраженной от границы 2 = 0 волн) рассматривается как результат действия в однородной (р = const) полубесконечной среде объемной силы f = w2(pi — р)иНа. Строится интегральное уравнение для определения неизвестного перемещения и выполняется его асимптотический анализ. Исходная динамическая трехмерная задача расщепляется на две задачи меньшей размерности. Прогиб W(x) определяется из решения интегрального уравнения на оси стержня

I

W{x) - (pi - р)и? irh2 f N(x - х') W{x') dx1 - 2wq = 0,

-i _

N(x) = GVAO) - Gs(x,0,0) +GB(x,h,0) + BS(x),"

в = //С°гг(у, * + Л) <Ш - 0), (17)

где и>о - амплитуда падающей волны, через С°гг обозначена гг компонента фундаментального решения статической двумерной задачи для полуплоскости. После нахождения прогиба в результате численного решения уравнения (17) распределение перемещения в сечении Б (в удаленных от концов точках) определяется из решения двумерной статической задачи

v(x, у, г) = {рх - р)ш2 [С°уу 00 V + с°уг 00 («, - Ш)] , (18) ю(х, у, г) -УУ(х) = (Р1 - рУ оо у + С?°г оо {ю - V?)]

В данной конкретной задаче, когда волновой вектор падающей волны перпендикулярен к оси включения, компонента и(х, у, г) перемещения и асимптотически мала и в рамках асимптотического подхода не определяется.

В заключении подведен краткий итог работы. Изученные в диссертации асимптотические разложения решений динамических задач формируют общее представление о характере динамических процессов в телах с тонкими включениями и в телах, контактирующих по узкой области. Предложенный асимптотический подход дает возможность определения концентрации напряжений. Асимптотическое расщепление задач динамики упругих тел позволяет строить эффективные численные алгоритмы решения задач в случае достаточно общей геометрии. Сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

3 Основные результаты работы, выносимые на защиту

1. Предложен метод асимптотического расщепления в динамике упругих тел с тонкими стержнеобразными включениями, позволяющий редуцировать исходную трехмерную задачу эластодинамики к двум задачам меньшей размерности, чем исходная. Первая из них - динамическая - описывает трехмерные эффекты взаимодействия включения и среды и выражается интегральным уравнением вдоль осевой линии. Вторая -двумерная квазистатическая - описывает деформирование поперечного сечения включения. В результате решения указанных задач определены плавно изменяющиеся вдоль осевой линии поля перемещений и напряжений (построен главный член асимптотики).

2. Предложен метод построения главного члена асимптотического разложения перемещения вблизи торца стерж-необразного включения. Сформулирована квазистатическая трехмерная задача теории упругости для определения перемещения и напряженного состояния во всей области, в том числе и в окрестности торца.

3. На основе разработанного асимптотического подхода задача динамики среды с тонкостенным включением сведена к двум связанным между собой задачам меньшей размерности. Первая из них выражается интегральным уравнением по срединной поверхности и описывает трехмерные динамические эффекты. Вторая - квазистатическая - выражается одномерным интегральным уравнением по поперечному отрезку и описывает распределение перемещения по толщине. Из решения указанных задач определены плавно изменяющиеся вдоль

-меридиана срединной поверхности перемещение и па—

пряжение (построен главный член асимтотики).

4. На основе предложенного единого подхода разработана асимптотическая теория динамического контакта упругого тела произвольного профиля и упругого полупространства, взаимодействующих по узкой области. При этом исходная трехмерная динамическая задача расщепляется на динамическую, выражающуюся интегральным уравнением по осевой линии (ядром является фундаментальное решение задачи Лэмба), и на двумерную квазистатическую задачу, описывающую контакт поперечных сечений взаимодействующих тел. Рассчитан главный член асимптотики контактного давления, плавно изменяющегося вдоль осевой линии. Решены модельные динамические задачи о контакте узкого прямоугольного штампа с плоской границей упругого полупространства, а также с дном выемки (в форме прямоугольного параллелепипеда) в полупространстве.

5. Проанализировано рассеяние упругой волны на стерж-необразном включении, расположенном вблизи свободной границы упругого полупространства. Построен главный член асимптотики плавно изменяющийся вдоль оси части решения. Как и в случае контактной задачи, задача расщепляется на динамическую, выражающуюся интегральным уравнением вдоль осевой линии, и двумерную квазистатическую задачу для поперечного .. сечения среды плоскостью, нормальной к осевой линии. Ядро интегрального уравнения динамической задачи построено в форме комбинации фундаментальных решений задачи Лэмба для полупространства и решений Буссинеска.

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. Лавров Н.А, Слепян Л.И. Модифицированная плоская задача для упругого полупространства.// "Распространение упругих и упругопластических волн". (Тез. докл. конф., Фрунзе, сентябрь 1983), Фрунзе: Фрунз. политех. инст. - с. 5-7.

2. Лавров Н.А, Слепян Л.И. Модифицированная плоская задача для упругого полупространства.// Доклады АН СССР.- 1984,- V.276 - N1. - с. 83-87.

3. Лавров H.A., Слепян Л.И. Нестационарная контактная задача для твердого тела на упругом полупространстве. // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 1984. - N б. - с. 9-14.

4. Лавров H.A. Колебания протяженного сооружения на упругом грунте. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. Горький: ГГУ. - 1985 - с. 55-59.

5. Лавров H.A. Динамические задачи теории упругости в случае удлиненной области внешнего воздействия. // Анн. докл. VI Всес. съезда по теор. и прикл. мех. Ташкент: Фан. - 1986. - с. 406.

6. Лавров H.A., Слепян Л.И. Динамическое взаимодействие элементов конструкций с упругой средой по удлиненной области // "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении", Тез. докл. Всесоюзн. конф., ч.1, Горький: ГГУ. - 1989. - с. 110-111.

7. Лавров H.A., Слепян Л.И. Динамическая задача для упругого пространства с удлиненной полостью. // Проблема диня.мик-м вчяимплгейгтиня лрфорхшрурмыу г род

вып. 3. Ереван: Изд. АН Арм. ССР. - 1990. - с. 177.

8. Лавров H.A., Слепян Л.И. О хрупком разрушении упругих тел при сжатии. // Доклады АН СССР. - 1991. - т. 317. - N5. - с. 1098-1102.

9. Лавров H.A., Слепян Л.И. К теории разрушения твердых тел при сжатии. // Разрушение горных пород. Записки ЛГИ. - т. 125. - 1991. - с. 48-54.

10. Lavrov N.A., Slepyan L.I. Dynamic problem for an elastic medium containing an elongated inhomogeneity. // EUROMECH-295 "Wave processes in machinery and structures" (N.Novgorod, September 1992), N.Novgorod: Mech. Engg Research Inst. ofRuss. Acad. Sei. - p. 22-23.

11. Лавров H.A. Динамическое взаимодействие фундаментов энергетических сооружений с грунтовым основанием. // Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин (Тез. докл. Всеросс. научн. семин., Санкт-Петербург, Май 1993) СПб: ИПМаш РАН. - 1993 -с. 11-12.

12. Лавров H.A. Асимптотический подход в задачах динамического взимодействия тонкостенных деформируемых тел с внешней упругой средой. // Проблемы динамики и прочности электро- и энергомашин (Тез. докл. Всеросс. научн. семин., Санкт-Петербург, Май 1993г.) СПб: ИПМаш РАН. - 1993 - с. 12.

13. Lavrov N.A. Vibration of a long body in elastic medium.// Proc. of International Noise and Vibration Control Conference. Eds. M.J. Crocker and N.I. Ivanov (St.Peters-burg, May 31 - June 3, 1993), vol.7. St.Petersburg: Interpublish. Ltd. - 1993. - p.61-64.

14. Лавров H.A. Уравнения динамики тонкого включения в упругой среде. // Препринт N 91, Институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург. - 1993. - 44с.

15. Lavrov N.A. Motion of a long streep foundation induced by a seismic impulse of displacement.// The Third Internat. Congr. on Industrial and Applied Mathematics ICIAM-95 (Regensburg, July 1995). Book of Abstr. Hamburg: GAMM. - 1995. - p.345.

16. Lavrov N.A. Motion of a shell embedded in an elastic soil.// Труды XXIII школы-семинара "Анализ и синтез нелинейных механических и колебательных систем" (Санкт-Петербург, июль 1996). СПб: ИПМаш РАН - 1996. -стр. 314-321.

17. Lavrov N.A., Pavlovskaya Е.Е. Vibration of an underground transportation tunnel generated by seismic waves. //Proc. 12 Intern. Symp. FASE "Transport Noise and Vibration" (St.Petersburg, sept. 1996), St.Petersburg: East-European Acoustical Association. - 1996. - p. 289-292.

18. Лавров H.A., Павловская Е.Е. Динамика сооружения, взаимодействующего с упругим грунтом посредством нескольких точечных опор./ /Труды XV Междунар. конф. "Математические модели, методы потенциала и конечных элементов в механике деформируемых тел" (Санкт-Петербург, июнь 1996), СПб: СПбГТУ. - 1996. - с. 118120.

19. Лавров Н.А. Динамическая задача для узкого штампа на упругом полупространстве.// Труды II Междунар. конф. "Современные проблемы механики сплошной

среды" (Ростов-на-Дону, сент. 1996), т. 1, Ростов-на-Дону: МП "Книга". - 1996. - с. 84-90.

20. Lavrov N.A. Elastic wave scattering on a thin-walled inclusion. // Z. angew. Math. Mech. - 1997. - b.77. - h.8. - s. 634-637.

21. Lavrov N.A., Pavlovskaya E.E. Computer modelling of a mountain ridge motion.//Annales Geophysicae. - 1997. -suppl. v. 15. - p. 130.

22. Lavrov N.A., Pavlovskaya E.E. Elastic wave propagation in rock with thin inclusions.// Annales Geophysicae. 1997. -suppl. v. 15.- p. 139.

23. Lavrov N.A., Pavlovskaya E.E. An asymptotic approach to soil-structure dynamic interaction.// Proc. 14th Intern. Conf. "Structural mechanics in reactor technology" (Lyon, August 1997) Lyon: IASMIRT- 1997 (в печати)

24. Lavrov N.A. Dynamic interaction between elastic solid bodies having a slender area of contact.// Abstr. 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference (Stockholm, August 1997) Stockholm: KTH - 1997. (в печати)

Цитируемая литература

[1] Слепян Л.И. Об уравнениях динамики осесимметрич-ной полости в идеальной сжимаемой жидкости. // Доклады АН СССР. - 1985. - т. - 284. - N 4. - с. 809-813.

[2] Слепян Л.И. Квазистатический подход к динамическим задачам. // Научно - технический сб. Вопросы судостроения, вып. 42 / ЦНИИ "Румб". - 1985. - с. 140-146.

[3] Федорюк М.В. Рассеяние звуковых волн тонким акустически жестким телом вращения. // Акуст. ж. - 1981. -т. 27. - N4. - с. 605-609.

[4] Geer J. The scattering of a scalar wave by a slender body of revolution. // SIAM, J. Appl.Math. - 1978. - v.34. - N 2. - p. 348-370.

[5] Федорюк M.B. Асимптотика решения задачи Дирихле для упавнений Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра.// Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1981. -т. 45. - N 1. - с. 167-186.

[6] Бойко А.И., Дышко А.Л., Максимова Н.О. Дифракция плоской звуковой волны на тонком упругом теле вращения. М.: ВЦ АН СССР, 1986. - 38 с.

[7] Приходько В.Ю. Излучение и рассеяние звука замкнутыми вытянутыми оболочками вращения. Обзор. Л.: ЦНИИ "Румб". - 1990. - 61с.

[8] Канаун С.К. Упругая и термоупругая деформация матричных композитов при стационарных внешних воздействиях. // Дисс. ... д-ра физ- мат наук. Л.: ЛФИМалг им. A.A. Благонравова АН СССР. - 1990

[9] Канаун С.К., Левин В.М. Метод эффективного поля в механике композитных материалов. Петрозаводск: Изд-во Петрозаводского университета. - 1993 - 600 с.

[10] Зорин И.С. Назаров С.А. О напряженно-деформированном состоянии упругого пространства с тонким тороидальным включением. // Изв. АН СССР МТТ. - 1985. - N 3. - с. 79-86.

[11] Зорин И.С. Тонкая тороидальная полость в полубесконечном упругом теле. // Проблемы теории трещин и механика разрушения (Исследования по упругости и пластичности) Л.: Изд-во ЛГУ. - 1986. - вып. 15. - с. 32-39.

[12] Kalker J.J. On elastic line contact. // J. Appl. Mech. Trans. ASME. - 1972. - v. 39. - p. 1125-1132.

[13] Sivashinsky G.I. The problem of the slender die. // J. Elasticity. - 1975. - v.5. - p. 161-166.

[14] Nayak L., Johnson K.L. Pressure between elastic bodies having a slender area of contact and arbitrary profiles. // Int. J. Mech. Sei. 1979. - v. 21. - p. 237-247.

[15] Бурмистров A.H. О давлении вытянутого штампа на упругое полупространство. // Трение и износ. - 1988. - Т.9. - с. 454-462.

[16] Бурмистров А.Н. Контактная задача теории упругости для узких областей. // Журнал прикладной механики и технической физики. - 1988. - N 5. - с. 149-157.

[17] Аргатов И.И. Контактные задачи теории упругости с малыми зонами контакта. Дисс. ... канд. физ. - мат. наук. СПб: СПбГУ. - 1995.

[18] Хуторянский Н.М. Метод гранично-временных элементов в пространственных задачах пространственной динамики упругих и вязкоупругих тел. // Дисс. ...

д-ра техн. наук, Горький: ГГУ им. Н.И. Лобачевского. - 1987.

[19] Мясников В.П., Федорюк М.В. Излучение и рассеяние упругих волн на тонкой осесимметричной полости. // Исследования Земли новыми геофизическими методами. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР- 1980. - с. 5-28.

[20] Мясников В.П., Федорюк М.В. Рэлеевское приближение в теории упругости. // ДАН СССР. - 1980. - т. 254. -N 3. - с. 589 - 592.

[21] Mai А.К. Interaction of elastic waves with a penny-shaped crack. // Int. J. Eng. Sci. - 1970. - v.8. - p. 381-388.

[22] Mai A.K. Motion of a rigid disc in an elastic solid. // Bull. Seism. Soc. Amer. - 1971. - v. 61. - N 6. - p. 1717-1729.