Гауссовская аппроксимация и принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. С. Л. Соболева

На правах рукописи УДК 519.21

АРКАШОВ Николай Сергеевич

ГАУССОВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ И ПРИНЦИП БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ЧАСТНЫХ СУММ СКОЛЬЗЯЩИХ

СРЕДНИХ

Специальность 01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2005

Работа выполнена в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор Игорь Семенович Борисов Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор Александр Иванович Саханенко, к.ф.-м.н., доцент Артем Павлович Ковалевский

Ведущая организация:

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова

Защита состоится июня 2005 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 003.015.01 в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН по адресу: 630090, Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 4, к.417.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Автореферат разослан «А ^ .» 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 003.015.01 при Институте математики СО РАН

д. ф.-м. н. /I/1Л Ю- В. Шамардин

ите!

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Работа посвящена исследованию точности гауссовской аппроксимации, а также изучению логарифмической асимптотики вероятностей больших уклонений нормированного процесса частных сумм стационарно связанных наблюдений, имеющих структуру так называемых скользящих средних последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, в случае притяжения этого процесса к фрактальному броуновскому движению с произвольным параметром Хёрста. Отметим, что форма зависимости упомянутых скользящих средних, вообще говоря, не укладывается в общепринятые схемы. В частности, классическое сильное (или равномерно сильное) перемешивание здесь уже может не иметь места. Стало быть, в данном случае далеко не всегда могут быть использованы классические результаты по асимптотическому анализу сумм стационарно связанных случайных величин.

Интерес к подобным предельным теоремам наблюдается уже давно (см., например, [1], [2]) и объясняется ярко выраженной прикладной направленностью рассматриваемой в диссертации модели. Например, подобные случайные процессы частных сумм возникают в финансовой математике и теории страхования.

Касательно больших уклонений отметим, что наибольший прогресс в этой области достигнут для процессов с независимыми приращениями (см. [3], [7], [8]), гауссовских процессов (см. [4]-[6]) и марковских процессов (см. [7], [9]). Однако процесс частных сумм скользящих средних в общем случае не принадлежит ни одному из указанных классов.

Цель работы. Основной целью работы является доказательство принципа больших уклонений и получение оценок скорости сходимости в принципах инвариантности в форме

Штрассеиа и Донскера для нормированных процессов частных сумм скользящих средних.

Научная новизна. В диссертации впервые доказан принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних. Кроме того, ослаблены известные моментные ограничения (см. [2]) для слабой сходимости введенного процесса частных сумм к фрактальному броуновскому движению (принцип инвариантности в форме Донскера), а также получены оценки скорости сходимости в принципах инвариантности в форме Штрассена и Донскера для более широкого, чем в [10] и [11], класса скользящих средних.

Апробация работы. Все результаты докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика А. А. Боровкова. Результаты работы также докладывались на двух международных конференциях: "XXIV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models" (г. Юрмала, 2004 г.) и "Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике" (г. Санкт-Петербург, 2005 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [16] - [18].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации - 73 страницы.

Содержание работы

Первая глава диссертации посвящена вопросам гауссов-ской аппроксимации упомянутых выше процессов частных сумм.

Пусть к € Z} — независимые одинаково распределен-

ные случайные величины с нулевыми средними и единичными дисперсиями. Пусть {ак\ к е Z} - последовательность вещественных чисел, удовлетворяющих условию

Введем в рассмотрение последовательность случайных величин {Х^; j Е Z}, определенных по формуле

Они называются скользящими средними исходной последовательности {£/с} Легко видеть, что {Xj^, ] £ Ъ} — стационарная в узком смысле последовательность случайных величин. Отметим, что условие (1) гарантирует сходимость с вероятностью 1 ряда в правой части (2).

Определим процесс частных сумм скользящих средних:

(1)

оо

(2)

п

5о := О, 5П := п = 1, 2,...,

Обозначим

Ап := «о Н-----Ь От, т > О, А-Х := О,

Ат ■= ~(ат+1 +----1- а-г), ш < -1,

и заметим, что

где А(п, г) := А.

п—г

А

Напомним, что фрактальным (или дробным) броуновским движением с параметром Хёрста Н € (0,1) называется центрированный гауссовский случайный процесс Вц = Вйп{1) Е С[0,1] с ковариационной функцией

Например, представляет собой стандартный винеров-

ский процесс, поскольку при Н — 1/2 имеет место равенство з) = я).

Одним из основных результатов первой главы диссертации являются достаточные условия сходимости нормированного процесса частных сумм скользящих средних к фрактальному броуновскому движению с более слабыми, чем в [2], мо-ментными ограничениями на исходную последовательность случайных величин (см. [16]). Обозначим

медленно меняется при п —> оо. Пусть, кроме того, выполнено одно из двух условий:

(i) Е\£0\а < оо, где а > 2 и аН > 1. (и) Я < 1/2, Е\£о\1/н < оо, liminfn^oo Л,(п) > 0 и выполняются следующие два условия:

R(t,s) := i (i2* + ^ - |i - Я|2*) .

Sn(t) := S[nt]/^DS^, t € [0, 1], n = 1, 2, ..

Теорема 1. Пусть функция

(3)

а)

(4)

г| <п

при п —У оо;

Ь)

(5)

при г —» оо.

Тогда при п —> оо имеет место С-сходимость в 1)[0,1] распределений случайных процессов 5„ к распределению гаус-совского процесса В°н.

Замечание 1. В случае Н = 1/2 условие аг = о(|г|-1) при |г| оо в п. (¿1) теоремы 1 с необходимостью выполняется, если коэффициенты {аг} абсолютно суммируемы и представляют собой правильно меняющуюся функцию целочисленного аргумента г на бесконечностях обоих знаков.

Замечание 2. Нетрудно показать, что при условии абсолютной суммируемости последовательности {а^} имеет место предельное соотношение

Отсюда, в частности, следует, что условие (3) и указанное условие абсолютной суммируемости влекут за собой неравенство Н < 1/2. При этом если <7q > 0, то условие (3) выполнено при Н = 1/2. Следовательно, в условиях пункта (i) теоремы 1 для абсолютно суммируемых коэффициентов {аг} имеет место указанная С-сходимость к винеровскому процессу, если только о: > 2 и Од > 0. Но в силу пункта (ii) теоремы 1, абсолютная суммируемость и оценка аг = 0(|г|-1) при |г| —> оо, а также условие <7q > 0 приводят к указанной С-сходимости при существовании лишь второго момента случайной величины Например, последнее применимо к простейшему частному случаю, когда аг = 0 при всех г < 0 и i > т, где тп — фиксированное натуральное число (в этом случае {X,} являются т—зависимыми случайными величинами), и ¿™0аг ф- 0.

Замечание 3. При существовании второго момента £0 в [12] (стр. 255 и 264) и [13] (стр. 146) приведены некоторые достаточные условия, обеспечивающие С-сходимость 5П к ви-неровскому процессу. В частности, в [12] содержится следующее дополнительное ограничение на последовательность коэффициентов {о*} :

Очевидно, отсюда следует абсолютная суммируемость {ог}, упомянутая в замечании 2. Далее, в [13] приведено следующее ослабление (6):

В частности, здесь уже допускается условная сходимость ряда ^ аг. Отметим, что и в этом случае выполняется соотношение

которое как раз и требуется в теореме 1. Но если хвост ряда аг стремится к нулю достаточно медленно, то вышеприведенные два условия из [12] и [13] могут не выполняться, в то время как условие (11) теоремы 1 может иметь место.

Оценки скорости сходимости в принципе инвариантности Донскера получены в предположении, что А(п, г) удовлетворяют более сильному, чем (3), условию

(Iя)- Существует конечный ненулевой предел

(6)

Нш п 1и8п = ¿Гц,

В дальнейшем мы также будем предполагать (если специально не оговорено противное), что для исходной последовательности случайных величин выполнено условие Крамера: существует такая положительная постоянная /г, что

Еехр(Л|&|) < оо. (8)

Обозначим через Zn(t) непрерывную случайную ломаную построенную по точкам к = 0,1,..., п, где Н €

(0,1). Введем в рассмотрение еще одно условие, связывающие между собой последовательность {аг} и вышеприведенный параметр Н £ (О, 1) - показатель степени нормирующей последовательности в (7):

(Ня). Пусть для некоторых постоянных с^0и0<5< Н при п —> оо выполняются соотношения

\Ап - спн-1'2\ + И_п| = 0{пн-^~&), (9)

|ап - с(Н - 1/2)пй-3/2| + |а_п| = 0(пн^2-5). (10)

Кроме того, нам понадобится следующее ограничение на коэффициенты {аг} и Н.

(Шя). Существует такая положительная постоянная й > 0, чт,о для всех п>\и1>2 имеют место соотношения

^2\А(п,г)\1 <^+1п^И'п2Н, (11)

гег

где Н* = шах{Я — 1/2, 0}. Заметим, что условие (II//) является более жестким, чем (1#) и (Шя),

В следующей теореме приводятся оценки сильной аппроксимации рассматриваемых процессов (т. е. оценки скорости сходимости в принципе инвариантности в форме Донскера). Этот результат также используется для доказательства принципа больших уклонений в соответствующей зоне.

Теорема 2. Пусть выполнено условие (Ия), причем коэффициенты аг монотонны в каждой из двух зон i > N и i < -N. Тогда

(i) при выполнении условия Крамера (см. (8)) существует вероятностное пространство, на котором при всех достаточно больших п и любых х > 0, у > О

Р( sup \Zn{t)-B°H(t)\ > x+Ln~l/2+y) < Кп(е~ХхпН' +e-Xy2n2S)-t€[0,1]

(ii) если E|£o|Q < oo для некоторого a > 2, то существует вероятностное пространство, на котором при всех достаточно больших п, любых х > 0 и у > О

Р( sup |Zn{t)-B°H(t)\> х + у) < К{п-{аН'-г)х~а + пе-Ху2п2'), te[o, i]

где X, К, L - некоторые положительные постоянные, Н' = min {Я, 1/2}.

Положив в первом пункте этой теоремы х = ^-^-^нт, а

1 _о.Я'-1

во втором пункте а > -j^ и х = п «+1 , и в обоих пунктах у — мы получим оценки сильной аппроксимации

ломаной Zn гауссовским процессом Bjj, т. е. оценки скорости сходимости в принципе инвариантности Донскера для Zn в пространстве С[0,1].

В следующем предложении устанавливается связь между условиями (1я)> (Пя) и условием (Шя).

Предложение 1. Пусть \ап | = 0(|п|я-3/2) и, кроме того, \Ап\ — 0(|п|я_1/2) при \п\ —> оо. Тогда выполнено условие (Шя)- При этом из условия (Пя) следуют условия (1я) и (Шя); причем константа а2 из условия (1я) имеет вид c2LH, где LH = ^ + /0°°((1 + *)Я~1/2-5Я~1/2)2 ds, а константа с определена в условии (Ня)-

Далее, для / 6 С[О,1] определим функцию Л(/):= sup {(g,f)~ logEe^>}

fl£L2[ 0,1]

= sup {(»,/>-В® >2},

9еь2[од] ^

где (<7,/) = fo g(t)f(t)dt. При этом имеет место представление (в случае Н = 1/2 см. [3])

1

A(f) = j 2 £Г=1^2<е*,/>2, если /€1ш(Т), ' ' оо иначе,

где вк ~ собственные функции, отвечающие положительным собственным числам А2 ковариационного оператора Т2 процесса 1т (Т) - образ квадратного корня из Т2. Во второй главе диссертации доказано, что функция 2Л(/) совпадает с квадратом нормы элемента / в пространстве Камерона-Мартина (см., например, [4]) для распределения процесса Ван на борелевской сг-алгебре С[0,1), что, в свою очередь, совпадает с известным представлением этой функции в терминах ковариационного оператора процесса

Основной результат второй главы диссертации состоит в описании достаточных условий для принципа больших уклонений (см. [8], [9], [15]) процессов Zn, т. е. для утверждения вида

1о6Р(-^яп еА)~ 1о6р(-Ця° 6 А)

г(п) г(п) " (12)

~-г2(п)Ы А(/)

при га —> оо для любых борелевских подмножеств А некоторого функционального банахова пространства, удовлетворяющих условию

0 < шГ А(/) = Ы А(/) < оо, /6А' 4 ' /6Л° и'

где А" и Ас - соответственно внутренность и замыкание множества А.

Теорема 3. Пусть г(п) —>■ оо и г(п) = при

п —» оо. Тогда при выполнении (Пя) и монотонности коэффициентов аг в каждой из двух зон i > N и i < —N имеет место (12) в пространствах Lp[0,1], р > 1 и С[0,1].

В зоне уклонений г(п) = о(?гтш^1/2'я^) и r2(n)/logп оо утверждение теоремы сохранится, если вместо условия (Ня) одновременно выполнены условия (1#) и (Шд).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю И. С. Борисову за постановку задачи и внимание к работе. Автор благодарит также А. А. Могуль-ского за совместное творчество при получении результатов второй главы диссертации.

Список литературы

1. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. — М.: Наука, 1965.

2. Давыдов Ю. А. Принцип инвариантности для стационарных процессов // Теория вероятностей и ее применения. - 1970. - Т.24. - №3 - С. 487-498.

3. Боровков А. А. Граничные задачи для случайных блужданий и большие уклонения в функциональных пространствах // Теория вероятн. и ее примен. — 1967. — Т. 12. - Ш - С. 635-654.

4. Богачев В. И. Гауссовские меры. — М.: Наука, 1997.

5. Ben Arous G., Ledoux M. Schilder's large deviation principle without topology // Pitman Research Notes in Math. — 1993. -V. 284. - P. 107-121.

6. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. — Киев: TBiMC, 1995.

7. Varadhan S. R. S. Asymptotic probabilities and differential equations// Comm. pure appl. math. - 1966. - V. 19. - №3.

- P. 261-286.

8. Могулъский А. А. Большие уклонения для траекторий многомерных случайных блужданий // Теория веро-ятн. и ее примен. - 1976. - Т.21. - №2 - С. 309-323.

9. Боровков А. А., Могулъский А. А., Саханенко А. И. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 82.

- ВИНИТИ, 1995.

10. Konstantopoulos Т., Sakhanenko A. Convergence and convergence rate to fractional Brownian motion for weighted random sums. // Сиб. электронные матем. известия. — 2004. - T.l - С. 47-63.

11. Wang Q., Lin Y., Gulati С. M. Strong Approximation for Long memory Process with Applications. //J. Theoret. Probab. - 2003. - V. 16. - №2 - P. 377-389.

12. Виллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977.

13. Hall P., Heyde С.С. Martingale limit theory and its application. — New York: Academic Press, 1980.

14. Dembo A., Zeitouni 0. Large Deviations Techniques and Applications. — Boston - London: Jones and Bartlett Publishers, 1993.

15. Пухальский А. А. К теории больших уклонений // Теория вероятн. и ее примен. — 1993. — Т.38. — №3 — С. 553-562.

Публикации по теме диссертации

16. Аркашов II. С., Борисов И. С. Гауссовская аппроксимация процессов частных сумм скользящих средних // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т.45. - №6. - С. 12211255.

17. Arkashov N. S., Borisov I. S. Gaussian Approximation of Partial Sum Processes of Moving Averages // Международная конференция "XXIV International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models". Тезисы докладов,— Riga-Jurmala: Transport and Telecommunication Institute, 2004, P. 40-41.

18. Arkashov N. S., Borisov I. S., Mogulsky A. A. Large Deviation Principle for Partial Sum Process of Moving Averages //Международная конференция "Аналитические методы в теории чисел, теории вероятностей и математической статистике". Тезисы докладов. — Санкт-Петербург: СПбГУ, 2005, с. 41-42.

Аркашов Николай Сергеевич

ГАУССОВСКАЯ АППРОКСИМАЦИЯ И ПРИНЦИП БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ ДЛЯ ПРОЦЕССОВ ЧАСТНЫХ СУММ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 12.05 2005 Офсетная печать. Формат 60x84/16. Уч.-изд. л. 1 Тираж 100 экз. Заказ № 2 59

Лицензия ЛР № 021285 от 6 мая 1998. Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

Р1 О 1 О 9

РНБ Русский фонд

2006-4 6997

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Гауссовская аппроксимация процессов частных сумм скользящих средних

§ 1. Введение и формулировка основных результатов .:

1.1. Принцип инвариантности в форме Штрассена. 1.2. Принцип инвариантности в форме Донскера. Теорема сходимости . 10 1.3. Принцип инвариантности в форме Донскера. Оценки скорости сходимости

§ 2. Доказательство основных результатов

2.1. Доказательство предложения 1.

2.2. Доказательство теоремы 1.

2.3. Доказательство предложения 2 и следствия 1.

2.4. Доказательство теоремы 2.

2.5. Доказательство предложения 3.

2.6. Доказательство теоремы 3.

ГЛАВА 2. Принцип больших уклонений для процессов частных сумм

4Ц скользящих средних

§ 1. Введение и формулировка основных результатов.

1.1. Принцип больших уклонений.

1.2. ПБУ для гауссовских процессов в С[0,1].

1.3. ПБУ для процессов частных сумм скользящих средних.

§ 2. Доказательство основных результатов.

2.1. Схема доказательства ПБУ в С[0,1].

2.2. Доказательство предложения 5.

2.3. Доказательство теоремы 4 в пространстве С[0, 1] для верхней зоны уклонений.

2.4. Доказательство теоремы 4 в пространстве С[0, 1] в нижней зоне уклонений

2.5. Доказательство теоремы 4 в пространстве Lp[0, 1], р > 1. ф 2.6. Доказательство предложения 7.

Работа посвящена исследованию точности гауссовской аппроксимации, а также изучению логарифмической асимптотики вероятностей больших уклонений нормированного процесса частных сумм стационарно связанных наблюдений, имеющих структуру так называемых скользящих средних последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин, в случае притяжения этого процесса к фрактальному броуновскому движению с произвольным параметром Хёрста. Отметим, что форма зависимости упомянутых скользящих средних, вообще говоря, не укладывается в общепринятые схемы. В частности, классическое сильное (или равномерно сильное) перемешивание здесь уже может не иметь места. Стало быть, в данном случае далеко не всегда могут быть использованы классические результаты по асимптотическому анализу сумм стационарно связанных случайных величин.

Интерес к подобным предельным теоремам наблюдается уже давно (см., например, [8], [9]) и объясняется ярко выраженной прикладной направленностью рассматриваемой в диссертации модели. Например, подобные случайные процессы частных сумм возникают в финансовой математике и теории страхования.

В классической монографии И. А. Ибрагимова и Ю. В. Линника [9] впервые приводится одномерная центральной предельной теоремы для нормированного процесса частных сумм скользящих средних. В работе Ю. А. Давыдова [8] доказывается функциональный вариант центральной предельной теоремы - так называемый принцип инвариантности в форме Донскера (теорема сходимости). В п. 1.2 первой главы диссертации теорема 2 усиливает последний результат, снижая моментные ограничения на исходную последовательность случайных величин, по которым строятся скользящие средние. Кроме того, мы усиливаем соответствующий результат П. Биллингсли [2] в случае притяжения упомянутого процесса частных сумм к винеровскому процессу, значительно ослабляя условия на коэффициенты, с помощью которых строятся скользящие средние, при тех же оптимальных моментных ограничениях на упомянутую исходную последовательность случайных величин. Мы также частично усиливаем один результат П. Холла и К. Хейди [26], приводя достаточно широкий класс упомянутых выше коэффициентов, который не удовлетворяет условиям в [26], но для которого справедлив отмеченный выше принцип инвариантности Донскера (см. вторую часть теоремы 2 и замечание 7).

Заметим, что метод доказательства в [2] сводит исходные процессы частных сумм к аналогичным процессам, но построенным по "срезанным" скользящим средним с конечным набором порождающих коэффициентов. Для видоизмененного процесса применялись известные предельные теоремы для процессов частных сумм стационарно связанных m-зависимых случайных величин, что дало в итоге существенное огрубление достаточных условий сходимости. Авторы в [26] использовали приближение процессов частных сумм скользящих средних с помощью мартингалов и применили соответствующие предельные теоремы. Этот более тонкий подход несколько ослабил ограничения в [2] на коэффициенты, порождающие скользящие средние. В настоящей диссертации при доказательстве соответствующей теоремы сходимости (см. далее вторую часть теоремы 2) используется принципиально иной подход, а именно, представление исходного процесса частных сумм как линейного преобразования процесса с независимыми приращениями (классического случайного блуждания с независимыми одинаково распределенными скачками) с последующим использованием соответствующего метода одного вероятностного пространства.

Далее, в первой главе в п. 1.1 и п. 1.3 мы с помощью метода одного вероятностного пространства получаем также оценки скорости сходимости в принципах инвариантности в форме Штрассена (см. теорему 1) и Донскера (см. теорему 3 и замечание к ней), где существенно используются результаты Я. Комлоша, П. Майора и Г. Туш-нади. Ранее этот подход применялся в работах К. Вонга, И. Лина и К. Галэти [32], а также Т. Константопулоса и А. И. Саханенко [28].

Мы строим процесс частных сумм скользящих средних и фрактальное броуновское движение на одном вероятностном пространстве так, что их разность оказывается малой по сравнению с самими процессами. В принципе инвариантности Штрассена мы несколько расширяем класс предельных гауссовских процессов по сравнению с [28] и [32]. В п. 1.3 первой главы мы доказываются также неравенства (см. теорему 3), которые существенно используются при получении принципа больших уклонений в так называемой зоне нормальных уклонений (см. доказательство теоремы 4 для нижней зоны уклонений).

Основным результатом второй главы является принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних. Наибольший прогресс в этой области достигнут для процессов с независимыми приращениями (см. [4], [13], [31]), гауссовских процессов (см. [3], [12], [23]) и марковских процессов (см. [6], [31]). Однако процесс частных сумм скользящих средних в общем случае не принадлежит ни одному из указанных классов. В связи с этим отметим, что в диссертации впервые доказан принцип больших уклонений для процессов частных сумм скользящих средних. Инструментом для получения этого результата стал соответствующий результат А. А. Пухальского для пространства С[0, 1] (см. [16], [30]). Кроме того, мы использовали вышеупомянутый результат из первой главы, касающийся гауссовской аппроксимации, а также экспоненциальные неравенства для сумм скользящих средних - аналоги классического неравенства С. Н. Бернштейна. Во второй главе (см. предложение 5 в п. 1.2) мы также устанавливаем связь между функцией уклонений для фрактального броуновского движения и нормой в так называемом пространстве Камерона-Мартина для распределения процесса фрактального броуновского движения в С[0,1].

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Нумерация теорем, лемм, предложений и формул сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и латинскому. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [21], [22].

1. Аркагиов Н. С., Борисов И. С. Гауссовская аппроксимация процессов частных сумм скользящих средних // Сиб. мат. журнал. — 2004. — Т.45. — №6. — С. 1221-1255.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. — М.: Наука, 1977. •

3. Богачев В. И. Гауссовские меры. — М.: Наука, 1997.

4. Боровков А. А. Граничные задачи для случайных блужданий и большие уклонения в функциональных пространствах // Теория вероятн. и ее примен. — 1967. Т.12. - №4 - С. 635-654.

5. Боровков А. А. Асимптотические методы в теории массового обслуживания. — М.: Наука, 1980.

6. Боровков А. А., Могулъский А. А., Саханенко А. И. Предельные теоремы для случайных процессов. Т. 82. — ВИНИТИ, 1995.

7. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965.

8. Давыдов Ю. А. Принцип инвариантности для стационарных процессов // Теория вероятностей и ее применения. — 1970. — Т.24. — №3 — С. 487-498.

9. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. — М.: Наука, 1965.

10. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989.

11. Лидбеттер М., Ротсен X., Линдгрен Г. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. — М.: Мир, 1989.

12. Лифшиц М. А. Гауссовские случайные функции. — Киев: TBiMC, 1995.

13. Могулъский А. А. Большие уклонения для траекторий многомерных случайных блужданий // Теория вероятн. и ее примен. — 1976. — Т.21. — №2 — С. 309-323.

14. Могулъский А. А. Большие уклонения в пространстве траекторий для последовательностей и процессов со стационарными приращениями // Сиб. матем. жур. 1975. - Т.16. - № - С. 314-327.

15. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. — М.: Наука, 1987.

16. Пухалъский А. А. К теории больших уклонений // Теория вероятн. и ее примен. 1993. - Т.38. - № - С. 553-562.

17. Стоянов Й. Контрпримеры в теории вероятностей. — М.: Факториал, 1999.

18. Скороход А. В. Предельные теоремы для случайных процессов // Теория вероятн. и ее примен. — 1956. — Т.1. — № — С. 289-319.

19. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. — М.: Мир, 1984.

20. Ширяев А. Н. Вероятность. — М.: Наука, 1980.

21. Ben Arous G., Ledoux M. Schilder's large deviation principle without topology // Pitman Research Notes in Math. — 1993. — V. 284. — P. 107-121.

22. Bronski J. C. Small Ball Constant and Tight Eigenvalue Asymptotics for Fractional Brownian Motions. // J. Theoret. Probab. — 2003. — V. 16. — №1 — P. 87-100.

23. Dembo A., Zeitouni O. Large Deviations Techniques and Applications. — Boston -London: Jones and Bartlett Publishers, 1993.

24. Hall P., Heyde C.C. Martingale limit theory and its application. — New York: Academic Press, 1980.

25. Hsing T. On the asymptotic distributions of partial sums of functionals of infinite-variance moving averages // Ann. Probab. — 1999. — V. 27, №3. — P. 1579-1599.

26. Konstantopoulos Т., Sakhanenko A. Convergence and convergence rate to fractional Brownian motion for weighted random sums. // Сиб. электронные матем. известия. — 2004. T.l - С. 47-63.

27. Mandelbrot В., Van Ness J. Fractional Brownian motions, fractional noise and applications // SIAM Review. — 1968 — V. 10 — P. 422-437.

28. Pukhalski A. A. On functional principle of large deviations // New Trends in Probability and Statistics. — Vilnius, 1991. — C. 199-219.

29. Varadhan S. R. S. Asymptotic probabilities and differential equations// Comm. pure appl. math. 1966. - V. 19. - JV»3. - P. 261-286.

30. Wang Q., Lin Y., Gulati С. M. Strong Approximation for Long memory Process with Applications. // J. Theoret. Probab. — 2003. — V. 16. — №2 — P. 377-389.