Предельные теоремы и большие уклонения для приращений случайных блужданий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Московский Государственный Университет им. М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 519.214.4, 519.214.8

Козлов Андрей Михайлович

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И БОЛЬШИЕ УКЛОНЕНИЯ ДЛЯ ПРИРАЩЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ БЛУЖДАНИЙ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

Москва 2004

Работа выполнена на кафедре математической статистики и случайных процессов механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор В.И. Питербарг. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, вед. науч. сотр. В.И. Афанасьев, кандидат физико-математических наук, вед. науч. сотр. А.И. Елизаров.

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана.

Защита диссертации состоится 16 апреля 2004г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24. С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж). Автореферат разослан 16 марта 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ доктор физико-математических

наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Исследование приращений случайных блужданий началось с работы Эр-деша — Рёньи1 и более ранней работы Шеппа2. С тех пор и до настоящего времени возникающая здесь проблематика привлекает многих исследователей (см. 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12) а публикации в этой области в ведущих отечественных и зарубежных журналах весьма многочисленны. Основное внимание уделяется предельным теоремам типа законов больших чисел и повторного логарифма. При этом было необходимо получать оценки вероятностей больших уклонений, с целью последующего применения леммы Бореля - Кантелли. Задаче получения точных асимптотик вероятностей больших уклонений посвящена работа В.И. Питербарга13, где была применена методология, успешно работающая в теории экстремумов гауссовских процессов и полей (метод двойных сумм)(см.14 15 16

1ЕЫбз P., Rinyi A. On a new law of large numbers.— Anal. Math., 1970, v. 23, p. 103-111.

1Shepp L. A. A limit law concerning moving averages.— Ann. Math. Statist., 1964, v. 35, p. 424-428.

3 GsorgS S. Erdis-Rinyi laws.— Ann. statist., 1979, v.7, p. 772-787.

*Deheuvds P., Deoroyc L. Limit laws of ErdCa- Renyi-Shepp type.— Ann. Probab., 1987, V. 15, N. 4,

^Deheuveh P. On the ErdcSs-Rinyi theorem for random fields and sequences and its relationships with the theory of runs and epacings.— Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 70, 91-115 (1985).

eKomlii J. and Tusnddy G. On sequences of "pure heads".— AnnJProbab., 1975, v.3, N 5, p. 602-617.

7 Deheuveli P. Functional ErdSs-lUnyi laws.- Studia Scientiarum Mathematlcarum Hungarica 26

'Steinebach J. Improved ErdSs-Rgnyi and strong approximation laws for increments of renewal processes.— Ann. Probab. 1986, V. 14, No. 2, 547-5S9.

'FYvloa A., Martikainen A., Steinebach A. Erdoa-Rinyi-Shepp type laws in the non-i.i.d. case.— Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 33 (1997), 127-151.

1аНовак С.Ю. О распределения максимума частичных сумм Эрдеша-Реньи.— Теория вероятностей и ее применения,1997,т. 42, N 2,с. 274-293.

11 Фролов A.M. Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин.— Ifeop. вероятн. и ее примен., 2003, t.48,N 1,с. 104-121.

13 Gantert N. Functional Erdos-Rinyi laws for semiexponential random variables.— Ann.Prob., 1998,

13 Питербарг В.И. О больших скачках случайного блуждания.— Теор. вероятн. к ее при-

14 J. Pickands, III. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes.— Trans. Amer. Soc.

Питербарг В.И. Асимптотические методы в теории гауссовских случайных процессов и полей.

lePiterbarg V.I. Asymptotic methods in the Theory of Gaussian Processes and Fields. Translation of mathematical Monographs, AMS, Providence, Rhode Island, 1996.

17 18 19 20) в этой работе рассматривались умеренные уклонения— порядка o(L), где L ширина окна, перемещающегося вдоль отрезка [1, ЛГ], N > L, случайного блуждания, а изучалась статистика Эрдеша - Рёньи TN.L — максимальное приращение блуждания по всем окнам.

В настоящей диссертации получены асимптотики вероятностей больших уклонений порядка L как для статистики TN L так и для статистики Шеппа WNL - максимума из колебаний по всем окнам. Эти асимптотики служат основой для полученных в диссертации предельных теорем типа, Гнёденко - Фишера для статистик TNL И WNL при согласованном стремлении N и L к бесконечности. Отметим одну особенность этих теорем — отсутствие масштабирующей последовательности.

В исследованиях по законам Эрдеша - Рёньи - Шеппа используется (в случае блуждания крамеровского типа) известная теорема В.В. Петрова21 о больших уклонениях сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Результаты настоящей диссертации можно рассматривать и как развитие этой классической теории. Выводу принципа больших уклонений для разного типа процессов посвящено очень большое число публикаций. Отметим лишь недавние работы А.А. Боровкова и Д.А. Коршунова22 2 3, в которых идет речь о марковских цепях асимптотически близких к случайным блужданиям. Следует подчеркнуть, что в диссертации получены точные, а не логарифмические асимптотики, и что рассматриваемые в диссертации процессы (и поля) представляют собой скользящие средние по последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин и, тем самым, не являются марковскими. При этом, в диссертации речь идет о скользящих средних в схеме серий, в отличие от большинства исследователей, которые рассматрива-

"Hüaler J., Piteriarg V. Extremes of a certain class of Gaussian processes.— Stoch. Processes and

1BPiterbarg Vladimir /. Large deviations of a Storage Process with Fractional Brownian Motion as Input.— Extremes 4:2, 147-164, 2001, Kluwer Academic Publishers. Manuf. in the Netherlands.

19 Питербарг В.И., Стаматович С. Предельная теорема для а-выходов траекторий ^-процесса за высокий уровень.— Теор. вероятн. и ее npKMeH.,2003,T.48,N 4,с. 1-10.

2аДовгамок В.В., Питербарг В.И. Большие уклонения траекторий пуассоновского процесса.— Вероятностные процессы и их приложения., 1989, М.: МИЭМ, с. 112-117.

21 Петров В.В. О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величии,— Теор. вероятн. и ее прямей., 1965,т. Х,с. 310-322.

21 Боровков A.A. Асимптотика вероятности пересечения границы траекторией цепи Маркова. Регулярные хвосты скачков.— Теория вероятностей и ее применения,2002,t.47,N 4,с. 625-653.

23 Боровков A.A., Коршунов Д.А. Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 1. Стационарные распределения.— Теория вероятностей и ее применения,1996, т.41, N 1,с.

ют обычные скользящие средние24 25.

Различие между большими и умеренными уклонениями статистик TNL WNL выражается прежде все в том, что ответ для умеренных уклонений не зависит (в главной части асимптотики) от частных свойств распределения вероятностей шага блуждания — происходит так называемая гауссовизация, т.е. расширение применимости центральной предельной теоремы на области, удаленные от места основного сосредоточения вероятностной массы. Для уклонений статистик TNL J^NL порядка-L, асимптотика вероятностей связана с упоминавшимся классическим результатом:21

P(S¿ > L6) = (>/5г1Л*г(Л»))~1 ехр{-Л(0)1}(1 + о(1)), L —* оо,

где Л(0) — так называемая функция уклонений, ahg, a(h$) определяются • в терминах преобразования Лапласа распределения вероятностей шага блуждания

Отмеченное различие оказывает существенное влияние на адаптацию метода двойных сумм, как он применялся в случае гауссовских процессов и полей (с непрерывным временем) и в процессах с дискретным временем, изучавшихся в работах В.И. Питербарга и В.В. Довгалюка. Метод двойных сумм состоит в разбиении параметрического пространства регулярной решеткой на области Aj (отрезки, квадраты и т.д.) и сведении-вопроса о максимуме процесса/поля по всей области изменения параметра к исследованию максимума по областям разбиения. В диссертации шаг решетки таков, что области Aj содержат фиксированное число п значений параметра процесса, не изменяющееся в предельном переходе по (но затем и по нему производится предельный переход). В

исследованиях, где имеет место гауссовизация, параметр п выбирается растущим вместе с L (что и обеспечивает эту самую гауссовизацию).

В диссертации независимо представлены общий случай крамеровско-го блуждания и частный — гауссовского. Возникновение в этой связи некоторых параллельных мест в доказательствах оправдывается более простым в целом варианте рассуждений для гауссовского блуждания, возможностью увязать соответствующие построения с общей теорией-экстремумов гауссовских процессов и полей и, соответственно, перспек-

7iRoott¿n Н. Extremes of moving averages of atable processes.— Ann. Porbab., 1978, Vol. 6, No. 5, tsChow Y.S., Lai T.L. Limited behavior of weighted sumes of independent random variables.— Ann.

тивой применения разработанной в диссертации методологии на другие гауссовские процессы/поля с дискретным параметром и другие функционалы от траектории.

Наиболее представительным результатом диссертации следует считать исследование статистики Во-первых, потому что она приводит к рассмотрению двумерного поля (в отличии от одномерного — в случае статистики г^.), во-вторых, соответствующее поле нестационарно (по одному переменному), тогда как в одномерном случае процесс стационарен. В результате здесь проявляется известный в теории нестационарных процессов и полей факт, что экстремум достигается в окрестности максимума дисперсии.17 Это имеет место для гауссовского блуждания. Для случая крамеровского блуждания оказывается полезным аналогичное соображение, которое, уже не связано с дисперсией поля, так.как от шага блуждания в диссертации не требуется существования дисперсии, но фактически связано с пиком функции концентрации.

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены предельные.теоремы для статистики.Эрдеша.— Рёньи.и. статистики Шеппа в случае, когда случайное блуждание удовлетворяет правостороннему условию Крамера.

2. Получена асимптотика вероятностей больших уклонений для статистик Эрдеша — Рёньи и Шеппа в случае, когда случайное блуждание удовлетворяет правостороннему условию Крамера.

3. В случае гауссовского блуждания приведены альтернативные доказательства асимптотических формул для вероятностей больших уклонений, которые

(а) имеют форму, удобную для обобщений на другие гауссовские процессы и поля с дискретным параметром,

(б) дают в случае статистики Эрдеша — Рёньи для константы Пи-кандса формулу, более удобную для ее оценки.

Методы исследования. В работе используются:

1. Методы асимптотической теории экстремумов гауссовских процессов и полей;

2. Классические методы теории больших уклонений для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, подчиненных условию Крамера.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в биологии (статистический анализ структуры ДНК), теории страхования и финансовой математике.

Апробация диссертации.

Основные результаты настоящей диссертации докладывались на семинаре университета Гётерборга (2000), на Большом семинаре кафедры теории вероятностей (2001г.), на семинаре в университете г. Бонн. (2002), на научно-исследовательском семинаре кафедры математической статистики и случайных процессов (2003 г.), на семинаре кафедры теории вероятностей "Предельные теоремы для случайных процессов и полей" под рук. проф. Питербарга В.И. и проф. Булинского А. В. (2004).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х работах автора, из которых в соавторстве написаны 2. Их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации составляет 92 страницы. Список литературы включает 36 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение.

Во введении дается обзор основных результатов, полученных в диссертации, и разъясняется их связь с проблематикой теории экстремумов гаус-совских процессов и полей и законами больших чисел Эрдеша — Рёньи — Шеппа.

Глава 1.

В первой главе выводятся асимптотики больших уклонений статистик Эрдеша — Рёньи и Шеппа для гауссовского случайного блуждания. В разделе 1.1 рассматривается статистика:

Доказано следующее утверждение (Теорема 1.1):

Пусть £к> к = 1,2... — независимые одинаково нормально 1) распределенные случайные величины. Тогда равномерно по 0 < е < 0 < А. < оо и любых е,А > 0 имеет место асимптотика

где константа > 0 определенасоотношениями

& = Ищ ^(п) := 0-1Еехр{0 шах {у/2вк - вк)}. (3)

~ — 0<4<т»

п—>оо п

В разделе 1.2 рассматривается статистика

wn,m = № max 1 <k<n\<l<m

(4)

Доказана следующая теорема об асимптотике больших уклонений (Теорема 1.3):

Пусть случайные величины i = 1,2,..., независимы и нормально ЛГ(0,1) распределены. Тогдаравномернопо 0<E<6<A<OO для любых е, А > О

Р(WL,L > 9L) ~ • е-*'4, L-+ оо,

(5)

где константа- 0 определена соотношениями

Доказательство обеих теорем ведется с помощью метода двойных сумм. Для вывода асимптотики применяется следующая схема рассуждений. Выбирается регулярное разбиение параметрического пространства. Оценивается вероятность большого уклонения в пределах каждой клетки разбиения, после чего используются неравенства Бонферрони. Наконец, устраивается своеобразный предельный переход: сначала по величине отклонения при фиксированном разбиении, а затем к бесконечности устремляется шаг решетки. Отметим, что константа в асимптотике вероятностей больших уклонений при таком подходе остается неопределенной. В некоторых случаях она может быть найдена точно.

В случае статистики '/',, разбиваем область изменения дискретного процессаг)к,ь на отрезки = [)'п, 0'+1)п), = 0,1,..., £ — 1 фиксированной длины п. В случае же статистики область изменения поля т)к,1 разбивается на квадраты := ((г — 1)л, гп] х (Ь —¿п, Ь — 1)п], со стороной п. Далее используются неравенства Бонфер-рони для оценки вероятностей больших уклонений статистик, которые в случае статистики ТЬ,Ь имеют вид

X; р (4°) - Е р(4пЧп)) < р(и ¿$°> < Е р(^п)). (?)

где := {тахк€Д(«) т]к,ь > 6Ь}. Показывается, что двойная сумма в этих неравенствах пренебрежимо мала по сравнению с одинарной суммой. Одинарная же сумма дает главную часть асимптотики. В случае статистики от представления

переходим к рассмотрению объединения в (8) по всем г при у = 1, для которого и выписываем соответствующие неравенства Бонферрони. Такое сокращение связано с тем, что вероятностью события

можно в асимптотике пренебречь.

В главе 1 также найдены асимптотики больших уклонений статистик Тдг,£ и У/н^ для —» 0, при Ь —» оо (Теоремы 1.2 и 1.4). Дока-

зательство этих теорем при N < Ь проводится аналогично соответствующим теоремам об асимптотиках больших уклонений статистик Тц и При N > Ь используется тот факт, что случайные величины и Цк+ц независимы при I <Ьи любом положительном к.

Глава 2.

В главе 2 выводится асимптотика больших уклонений статистики типа Эрдеша- Реньи для случайного блуждания с условием Крамера. За основу берется классический результат для больших уклонений для сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, удовлетворяющих правостороннему условию Крамера:21

> Ьв) = (ч/г^ГЛваСЛв))"1 ехр{—Л(0)£}(1+о(1)), Ь оо. (10)

Грубая оценка сверху даех.

0казывается,.что-указанная7верхняя»границаадает-правильный порядок асимптотики- По аналогии с теорией гауссовских процессов простые неравенства Бонферрони применяются к представлению:

где Д,- = ((г—1)п, гп], г = 1,2,... - разбиение отрезка [1, Ь]. Дальнейший анализ связан с получением асимптотики вероятностей:

Р(тадст7*,ь > 9Ь) = Р^тг« (5*+£ - 5к) > вЬ) (13)

и оценкой сверху вероятностей пересечений :

Для оценки вероятностей (14) оказывается достаточным неравенство: Р(£х > вЬ, Бь+к - > вЬ) < > вЬ), 0 < < 1, (15)

содержащееся в завуалированной форме в работе ОеЬеиуек, Оеугсе4. А для вероятностей (13) в диссертации устанавливается при Ь 00 асимптотика:

Р( тах (вм - Бк) > вЬ) ~ Р(5£ > вЬ)П{щ к9)ЩНв)-п+1, (16)

где

Н{п, he)Е ехр{Лв max {Sk+n - Sk)}.

1<Л<П

Применение неравенств Бонферрони, приводит к оценкам £р(тах(5*+п - > ЛЬ)>^Р(тах-&))-

Двойные вероятности в (17) оцениваем суммой:

для оценки членов которой используется неравенство (15). В результате получаем оценку сверху для общего члена двойной суммы в (17) в виде:

Таким образом, для двойной суммы в неравенствах Бонферрони (17) получается оценка сверху

С учетом (16) отсюда выводятся соотношения:

Iimiaf Г в3 < -П(щ he)R(hg)

-n+l

n+l

£-00 LP(Sl > вЬ)

n

n

Принципиальное значение имеет тот факт, что существует конечный положительный предел

Пв= hg)R(he)

n-»oo Tl

-n+l

(20)

благодаря чему и получается основной результат (Теорема 2.1):

Р(Г£,£ > вЬ) ~ > вЬ), Ь^ 00.

Тот факт, что предел (20) существует и положителен, устанавливается в диссертации с помощью простого приема, входящего в состав метода двойных сумм.

В главе 2 также получена асимптотика больших уклонений статистики Тцгь и при N > Ь (Теорема 2.2):

(21)

при Ь —* ОО и для N-+00 таким образом, что правая часть в (21) стремится к нулю, т.е. при

N = Ь — оо.

(22)

Глава 3.

В главе 3 найдена асимптотика вероятностей больших уклонений статистики Шеппа для случайного блуждания с условием Крамера. При доказательстве соответствующих теорем используются те же подходы, которые были использованы в главах 1,2. Разбиваем целочисленный квадрат [1, Ь] X [1, Ь\ на малые квадраты со стороной п (см. гл. 1) и переходим к представлению (8), отбрасывая объединение (9). Здесь можно провести параллель с гауссовским случаем: экстремум достигается в области, где дисперсия поля наибольшая, а клетки Д^ С ] > 2 соответствуют меньшим значениям дисперсии.

Другая особенность вывода асимптотики вероятностей больших уклонений для статистики по сравнению с появляется при оценке двойной суммы в неравенстве Бонферрони. События

{ тах ^ т]к,1 > ОЬ, тах^ > вЬ}

представляются в виде объединения попарных пересечений, а вероят-

ность объединения заменяется суммой вероятностей:

Более сложный анализ по сравнению со случаем статистики связан с тем, что здесь суммирование ведется по целочисленному квадрату (а не по отрезку), для чего требуется получить подходящие оценки. В диссертации они получены в виде (Лемма 3.1):

Окончание вывода асимптотики для вероятностей больших уклонений статистики почти такое же, как и для статистики Вид асим-

птотики дается Теоремой 3.1.

Принципиальных затруднений не возникает при переходе от статистики к статистике и исследование асимптотики больших уклонений последней. При N > Ь в двойной сумме появляются вероятности независимых событий, что связано с тем, что соответствующие окна в пределах которых суммируются шаги блуждания, не пересекаются. Замена вероятностей пересечения этих независимых событий на произведение вероятностей оказывается достаточно для оценки двойной суммы.

Приведем соответствующую константу Пикандса

Н& := Нт ^Еехр{/191тах^}л!1П+г}Д(^)~2п

и асимптотику больших уклонений статистики для случайного блуждания с условием Крамера, выведенную в 3 главе диссертации (Теорема 3.2):

НвК

> вц

Ь^ оо,

(25)

для N —* ОО таким образом, что правая часть в (25) стремится к

Глава 4.

В главе 4 доказываются предельные теоремы для статистикТц^, и WnL-Доказательство проводится по общепринятой в теории экстремумов схеме. Целочисленный промежуток [1, .¿V] разбивается на перемежающиеся длинные и короткие участки. Естественно, что выбор соотношений длин относится к специфике задачи.

При доказательстве предельных теорем играет роль одна особенность метода двойных сумм. Для констант Пикандса Не И Tig неизвестны их конечные выражения, а для вывода предельных теорем требуется использовать асимптотику вероятности больших уклонений при значениях в, изменяющихся в интервале O(j^). Чтобы устранить это затруднение, в главах 2, 3 доказаны более общие варианты теорем о больших уклонениях (Теоремы 2.3 и 3.3):

> 0L + х) ~H$NP(Sl > 9L)e~h'x, L—>oo. ^

Эти асимптотики равномерны по х, изменяющемся в любой ограниченной области.

При доказательствах предельных теорем используется единая схема Пусть X заменяет любую из букв Т и Ж Введем натуральный параметр тп и разобьем отрезок |1,JV] на перемежающиеся отрезки длины mL и L, предполагая для простоты, что JV кратно (m + 1)L. Обозначим через i = l,..., статистику X, вычисленную пооче-

редно по длинным и коротким отрезкам разбиения последовательности случайных величин • • • i

Поскольку случайные величины i = 1,2,..., независимы, то

Применение в (28) соотношений (27), дает (при любом тп):

limsupPpfj^ <вЬ + х)< ехр{-Св е-**}.

Аналогичные соображения приводят к подходящей нижней оценке. Увеличением параметра т можно сблизить нижнюю и верхнюю границы и получить предельную теорему.

В результате для N — с^/Ъ е^^ при любом с > О, Ь —> оо, в случае нерешетчатого распределения шага блуждания получаем соотношения (Теоремы 4.1 и 4.2):

Р(Жлг,х < вЬ + х) ехр{-Ьвехр{-/10а;}}, -оо<ж<оо,. (29) Р (Тн,1. <вЬ + х)-*ехр {-ав ехр {—Л^аг}}, -с» < х < оо, (30)

где

Ьд - сНв ав -

В случае решетчатого распределения надо положить

где d - максимальный шаг распределения.

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Питербар-гу Владимиру Ильичу за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Питербарг В.И., Козлов A.M. О больших скачках случайного блуждания с условием Крамера. //Теория вероятностей и ее применения, 2002, в. 4, с. 803-814.

В статье "О больших скачках случайного блуждания с условием Крамера" В.И. Питербаргу принадлежит общая постановка задачи и схема доказательства Теоремы 2. Козлову A.M. принадлежит доказательство Теоремы 1 и Теоремы 2.

2. A.M. Kozlov, V.I. Piterbarg On large jumps of Cramer random walk. II Chalmers University of Technology, Coteborg University, preprint 2000:43, 2000.

В работе "On large jumps of Cramer random walk." В.И. Питербаргу принадлежит общая постановка задачи и схема доказательства Теоремы 2. Козлову A.M. принадлежит доказательство Теоремы 1 и Теоремы 2.

3. Козлов A.M. О вероятностях больших уклонений статистики Шеп-па. If Дискретная математика, 2004, Т.16, в.1, с. 140-145.

4. Козлов A.M. О больших уклонениях статистики Шеппа для гаус-совского блуждания. Ц Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика., 2004, № 3, с. 48-52.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,

Подписано в печать

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. ¿0 Тираж /00чк \. Заказ

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

* - 5353

Введение.

1 Асимптотика вероятностей в гауссовском блуждании

1.1 Асимптотика больших уклонений статистики типа Эрдеша-Реньи для гауссовского случайного блуждания.

1.1.1 Введение.

1.1.2 Оценка одинарной суммы.

1.1.3 Оценивание Р(Л)).

1.1.4 Оценка двойной суммы.

1.1.5 Завершение доказательства Теоремы 1.1.

1.1.6 Доказательство Теоремы 1.

1.2 Асимптотика больших уклонений статистики типа Шеппа для гауссовского случайного блуждания.

1.2.1 Введение, основные результаты.

1.2.2 Схема доказательства Теоремы 1.3.

1.2.3 Оценивание Р(А^).

1.2.4 Оценивание Р(А(ц}), j >2.

1.2.5 Оценивание P(A^A[")).

1.2.6 Завершение доказательства Теоремы 1.3.

1.2.7 Доказательство Теоремы 1.4.

2 Асимптотика для статистики Эрдеша-Реньи 42 2.1 Введение. Основные результаты.

2.2 Доказательство Теоремы 2.1.

2.3 Доказательство Теоремы 2.2.

2.4 Доказательство Теоремы 2.3.

3 Асимптотика для статистики Шеппа

3.1 Введение.

3.2 Предварительные результаты.

3.3 Основные результаты.

3.4 Доказательство Теоремы 3.1.

3.5 Доказательство Теоремы 3.2.

3.6 Доказательство Теоремы 3.3.

4 Предельные Теоремы

4.1 Основные результаты.

4.2 Доказательство Теоремы 4.

4.3 Доказательство Теоремы 4.

4.4 Доказательство Теорем 4.3, 4.4.

Объектом изучения настоящей диссертации является случайное блуждание п г=1 где независимые одинаково распределенные (н.о.р.) случайные величины (сл.в.), = 0. Относительно функции распределения ( ф.р.) F(x) = < х) делается одно из двух предположений: & — стандартные гаус-совские, £i — удовлетворяют правостороннему условию Крамера: оо

R{h) := j ehx dF(x) <00, 0 < h < b < 00. (2)

00

Выделение частного случая гауссовского распределения обусловлено рядом причин — содержательных и методологических. Во-первых, более простая техника доказательств позволяет лучше освоить методологию общего (кра-меровского) случая. Во-вторых, исследование статистики Шеппа (см. ниже (7)) для крамеровского блуждания было бы достаточно проблематично без предварительного рассмотрения частного случая гауссовского блуждания, так как априори не было уверенности, что метод двойных сумм сработает в этом технически более сложном случае. Положим r]k,i = Sfc+i — Sk, k,l = l, 2,--------(3)

При фиксированном I в гауссовском случае сл. в. 77^,/, к = 1,2,., образуют стационарный гауссовский процесс с дискретным временем. Относительно него в диссертации ставится и решается задача нахождения асимптотики вероятностей больших уклонений

Р( max 7]k,l > 0l), L —> 00, (4) l<k<l

Фактически, это задача о большом скачке гауссовского случайного блуждания в окне ширины L, сдвигающемся вдоль отрезка блуждания [1, L]. Более общая постановка задачи о вероятностях

Р( тах ^ >0L), L,N-+ оо, (5) практически сводится к случаю (4). Вторая задача — нахождение асимптотики вероятностей больших уклонений

Р( max max mi > 0L), L, N —> со, (6) относится к теории больших скачков гауссовского поля (3) и решается также в 2 этапа: при N = L и при N —► оо таким образом, что вероятность (6) (как и в случае (5)) стремится к нулю, т.е. когда речь идет об уклонениях, происходящих с малой вероятностью. Введем статистики Эрдеша-Реньи и Шеппа, полагая:

Tn'l = Vk'L и = iSa<x* ggb (7) где величины определены соотношениями (3), (1).

Далее мы будем писать ап ~ Ьп, тг—> оо, если последовательности ап, Ьп, п = 1,2,., таковы, что limn*oo f^ = 1.

В первой главе доказаны следующие утверждения.

Теорема 1.1. Пусть к = 1,2., — независимые одинаково нормально Л/"(0,1) распределенные случайные величины. Тогда равномерно по 0 < £ < в < А < оо и любых е, А > 0 имеет место асимптотика

Р (TLfL>eL)~Je^±-e-2e2L, L-+ оо, (8) где константа Jo> О определена соотношениями

Je = lim J{n) := ^Eexpll? max (V2Sk - 9k)}. (9) n—юо n 0<k<n

Теорема 1.2. В условиях теоремы 1.1

P(TN,L>6L)~j-P(TLiL>eL), L—>oo, (10) когда N —> оо таким образом, что вероятность слева в (10) стремится к нулю: т.е. при

N = о( l)VZe*e2L. (11)

Как известно, для хвостов гауссовского распределения имеет место асимптотика

Р{Sl>9L)--7L=e-202L, L —> оо, 6>0, (12) так что соотношение (10) можно переписать в виде более раскрывающем суть дела:

Pfo > 9L) ~ JeNV(SL > вL), L, N -> оо. (13)

Порядок асимптотики вероятности в правой части соотношения (13) улавливается с помощью простой оценки:

Р(Tn,L >вЬ) = Р ^Jfobj ^ Щ) ^ N вь) = np(sl ^9Ь)• (14) k=1

С другой стороны, по неравенству Бонферрони N

V{TN,L>9L)>Y/'P('nk,L>eL)- Y, Р Ы,ь>вЬ1гП,ь>вЬ) = к= 1 l<k<l<N

N-1 N ■ Р (SL > 6>L) - ]T(iV - m) • > 0L, SL+гп -Sm> 6L). (15) m—1

Для общего члена двойной суммы в (15) воспользуемся оценкой, по существу содержащейся в [17]:

Р(Sl > 0L, SL+m -SL> OL) < 2q%lP(Sb > 0L), 0 < qe < 1, 1 < m < L.

16)

Отсюда для двойной суммы в (15) получаем границу сверху в виде N-1 „

2 T(N - m)<g4>{SL > 0L) < -^-Р(SL > 9L). (17)

При N > L события под знаком левой вероятности в (16) независимы, и вероятность распадается в произведение. В результате оценка типа (17) имеет место и при N > L. Таким образом, хотя бы в случае < 1 оценки (14), (15) дают правильный порядок асимптотики вероятностей больших уклонений (13). Конечно, получение точной асимптотики требует гораздо более точной техники. Здесь оказывается эффективным разработанный в теории экстремумов гауссовских процессов и полей так называемый метод двойных сумм [8, 26, 23, 27, 10]. Отрезок [1, TV] разбивается на промежутки

Ai = СО" ~ 1 )njn], j = 1,2,., и далее неравенства Бонферрони применяются к представлению события > 0L] в виде объединения

U4", Af = maxfow > BL}. з 3

При этом возникают задачи: а) нахождения асимптотики вероятностей Р(А^), б) оценки общего члена двойной суммы Р(А^А^), j > 2. Решение первой задачи приводит к заключению (см. обозначение в (9))

Р(4П)) - J{n)P(SL > 0L), L -н- оо, где п — любое фиксированное. Принципиальным моментом последующих построений является тот факт, что —> Jo при п —» оо для некоторого 0 < Je < оо, или подробнее

Еexp{0 max {ylSk — ~ в Jen, п оо. (18)

0<к<тг

Метод двойных сумм не дает прямого доказательства соотношений типа (18), и в этом заключены его как сильная, так и слабая стороны. Соотношение (18) относится к числу граничных задач для случайных блужданий, и, по-видимому, может быть доказано методом теории факторизационных тождеств. Для общих гауссовских процессов и полей нахождение постоянных типа Зе, называемых константами Пикандса, представляет собой самостоятельную и трудную задачу. Отметим, что для статистики Тдг^ имеем из (14), что Jo, Не < 1 и в гауссовском, и в крамеровском случаях.

Направление исследований в области теории вероятностей, с которыми имеется логическая связь настоящей диссертации, это так называемые законы Эрдеша — Рёньи — Шеппа. Сохраняя за буквой X любое из значений Т или W, зададимся вопросом о наличии для подходящей нормирующей последовательности предела почти наверное

N,L-+oo Од г^ при подходящем функциональном соотношении между L и N и L —> оо. Имеется несколько десятков публикаций на эту тему, начиная с работ Эрдеша- Рёньи [19] и Шеппа [30] (см. [20, 6, 17, 24, 12, 22, 21, 18, 15, 16, 31]). Также как и в случае предельных теорем для статистик Xn,l, законы больших чисел Эрдеша — Рёньи — Шеппа опираются на асимптотику вероятностей больших уклонений статистики X^l.

Исследование статистики Тм,ь было проведено в 1975 году Komlos и Tusnady в статье [24], в которой реализуется принципиально другой подход. Эта важная работа основана на выводе условной теоремы о вероятностях больших уклонений, обобщение которого на другие процессы и статистики представляет собой особую проблему. Еще один подход к данной проблематике реализован в работе М.В. Козлова [5].

В исследованиях по законам Эрдеша - Рёньи - Шеппа используется (в случае блуждания крамеровского типа) известная теорема В.В. Петрова [7] о больших уклонениях сумм независимых одинаково распределенных случайных величин. Результаты настоящей диссертации можно рассматривать и как развитие этой классической теории. Выводу принципа больших уклонений для разного типа процессов посвящено очень большое число публикаций. Отметим лишь недавние работы А.А. Боровкова и Д.А. Коршунова [1, 2], в которых идет речь о марковских цепях асимптотически близких к случайным блужданиям. Следует подчеркнуть, что в диссертации получены точные, а не логарифмические асимптотики, и что рассматриваемые в диссертации процессы (и поля) представляют собой скользящие средние по последовательности независимых, одинаково распределенных случайных величин и, тем самым, не являются марковскими. При этом, в диссертации речь идет о скользящих средних в схеме серий, в отличие от большинства исследователей, которые рассматривают обычные скользящие средние [29, 14].

Непосредственным предшественником настоящей диссертации можно считать работу В.И. Питербарга [9], развитую затем в [4] и диссертации В.В. Довгалюка [3]. В [9, 4, 3] решается задача об асимптотике умеренных уклонений вероятностей

P(r^>o(l)L), iV, L —> оо, (19) при выполнении двустороннего условия Крамера. Коренное отличие в выводах состоит в том, что главный член асимптотики (19) не зависит от частных свойств распределения шага блуждания и совпадает со случаем гауссовского блуждания. Это приводит к существенным изменением в технике доказательств: если в диссертации длины отрезков разбиения Aj выбираются постоянными (точнее длина Ay есть параметр п, значение которого фиксируется при переходе к пределу при L —> оо), то в [9, 4, 3] длина отрезков Aj есть растущая функция L (что и обеспечивает "гауссовизацию" вероятностей умеренных уклонений).

Для статистики Шеппа в Главе 1 получены результаты, аналогичные Теоремам 1.1 и 1.2. Положим

Jq := lim—, Jn:—0~l Eexp{0 max (щп+г — On)}. (20)

П-+00 П 1 <k,r<n '

Теорема 1.3. Пусть случайные величины = 1,2,., независимы и нормально Л/"(0,1) распределены. Тогда существует конечный положительный предел (20) и равномерно по 0<e<9<A<oo для любых е,А> О

P(WL,L>9L)~J9]l±-.e->e4, L-* оо. (21)

Теорема 1.4. В предположениях Теоремы 1.3

Р(WN>L > 0L) ~ > 0L) (22) для N —> со таким образом, что правая часть в (22) стремится .к нулю, т.е. при

N = o{l)\fbe*e2L, L оо. (23)

Ход доказательства Теорем 1.3, 1.4 в общих чертах сходен с Теоремами 1.1, 1.2. Принципиальное отличие возникает лишь при оценке слагаемых двойной суммы: вместо неравенства (16) здесь выводится его обобщение, которое (в гауссовском случае) имеет вид: р{sa+p > вь,Sa+p+y -Sa> вЬ) < 0 < 49 < 1, (24) где а, /3,7 — натуральные такие, что а + /? < L, /3 + j < L.

Во второй и третьей главах асимптотика вероятностей больших уклонений статистик Wn,l находится в предположении, что распределение вероятностей шага блуждания удовлетворяет условию Крамера (2). Положим:

П{1, h) := Е exp{h max (Sn+l-1 - £„)}. (25)

0 <n<l

Обозначим через hg единственный корень уравнения т=е> 0<в<а> где а := Шп

В основе построений глав 2, 3 лежит классическая формула для больших уклонений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин с условием Крамера [7, 13]:

Р№ > Ьв) = -^=l—exp{-A(^)L}(l + о(1)), L - оо, (26) в предположении, что функция распределения F(-) является нерешетчатой; в решетчатом случае в правую часть (26) добавляется множитель d(l — e~dfl9)~l, где d - максимальный шаг распределения. Здесь

2,гч R"(h)R(h)-R'{h)2 A/m т Л , „„ х а ^ := R(h)2— ' W := 9 ~ (

Соотношение (26) выполняется равномерно по 0 <е<в<а — е при а < оо, и при О<е<0<А<оои любом А > 0, если а = оо.

Теорема 2.1. Пусть выполнено правостороннее условие Крамера (2) и Е£г = 0. Тогда для всех в G (0, а) существует конечный положительный предел

Не = lim rlR(he)~l+lH(l;he);

I—* оо в случае нерешетчатого распределения шага блуждания имеем

27) при L —> оо равномерно по в, е < в < а — £, е > 0 - произвольно (при а = оо для € < 9 < А и любого А); в случае решетчатого распределения правую часть соотношения (27) следует домножить на d( 1 — e~dhe)~l, где d - максимальный шаг распределения.

Теорема 2.2. В нерешетчатом случае в предположениях Теоремы 2.1 равномерно по 9 в указанных там пределах

28) для N —> оо таким образом, что правая часть в (28) стремится к нулю, т.е. при

N = о (1 )VZeA^L, L —> оо. (29)

В решетчатом случае следует ввести в (29) изменения, указанные в Теореме 2.1.

Соотношение (29) можно представить в форме

Р(TN>L > 9L) ~ HeN?(SL > 9L), (30) общей для решетчатого и нерешетчатого случаев.

В Главе 3 приведены аналогичные Теоремам 2.1 и 2.2 результаты для больших уклонений статистики Шеппа для случайного блуждания с условием Крамера. Введем обозначение

Не := lim lR(h9y2n, (31)

7i ►оо П где \

Щ := Еехр{/г^ max щуП+г}- (32)

1 <r,k<n

Теорема 3.1. Пусть г = 1,2,.,- н.о.р. сл.в., для которых выполнено условие Крамера (2) и Е& = 0. Тогда существует конечный положительный предел (31) и

P{WL>L > 6L) ~ H9bP{SL > 9L), L-* оо, (33) равномерно по0<е<9<а — е, е > 0 при а < оо и при 0 < е < 9 < А для любого А при а = оо.

Теорема 3.2. В предположениях Теоремы 3.1 равномерно по 9 в указанных там пределах

P(WNtL > 9L) ~ H0NP{Sl > OL), L оо, (34) для N оо таким образом, что правая часть в (34) стремится к нулю, т.е. при

N = o(l)VZeA(e)L, L -> оо. (35)

Доказательство Теоремы 3.1 опирается на следующее обобщение неравенства (24) (Лемма 3.1):

PC^o+zj > OL, Sa+P+у -Sa> 9L) < cp%-Pp{SL >0L), 0 < рв < 1, (36) где а, Р, 7 — натуральные такие, что а-{- /3 < L, (3 + у < L.

В Главе 4 асимптотики вероятностей больших уклонений статистик Тдг^ и применяются для получения предельных теорем для них. В обоих случаях используется единая схема доказательства. Пусть X заменяет любую из букв Т и W. Введем натуральный параметр га и разобьем отрезок [1, N] на перемежающиеся отрезки длины mL и L, предполагая для простоты, что N кратно {m+l)L. Обозначим через X^L, г = 1,., статистику X, вычисленную последовательно по длинным и коротким отрезкам разбиения последовательности случайных величин £2, • •.,

Учитывая, что случайные величины xf^LL, ъ = 1,2,., независимы, получаем

P{XN,L<u)<P(f]X^L<u) = i < и))*^ = 0- ~ ^ (37)

Если и изменяется так, что N т+1)ЬР(Х%1ь>и) х, N,L—> 00, то правая часть в (37) стремится к е-*, что приводит к верхней оценке для предела вероятности < и). Аналогичные соображения дают нижнюю оценку. Увеличивая параметр т можно сблизить нижнюю и верхнюю границы и получить предельную теорему. Сформулируем полученные в диссертации результаты.

Теорема 4.1 .В условиях Теоремы 3.1 при L —► оо; любом с> 0 и

N-сЛ^, Ь,= , (38)

V 271710(7 (А0; имеет место сходимость

0L + х) —> exp {—be ехр {—hex}}, —оо < х < оо, (39) в случае нерешетчатого распределения шага блуждания. В решетчатом случае в (39) надо положить b$ = —, где d - максимальный шаг распределения. Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

Теорема 4.2. В условиях Теоремы 2.1 при L —> оо, любом с> 0 и

N = сч/Ze^, ав = f* (40) имеет место сходимость

0L + х) —> ехр {—ае ехр {—hex}}, —оо < х < оо, (41) в случае нерешетчатого распределения шага блуждания. В решетчатом случае в (41) надо положить ае = , где d - максимальный шаг распределения. Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

Теорема 4.3. В условиях Теоремы 1.1 при L —► оо, любом с > 0 и

9e = cJe (42) имеет место сходимость:

PpV.z, < 9L + х) —► ехр {-де ехр {-9х}}, -оо <х <оо. (43)

Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

Теорема 4.4. В условиях Теоремы 1.3 при L —» оо, любом с > 0 и

N = cVLe*&4, fe = cJe (44) имеет место сходимость: 9L + х) —► ехр {-/<? ехр {-9х}}, —оо < х < оо. (45)

Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

Для доказательства указанных предельных теорем типа Гнеденко-Фишера для статистик T/v,l и Wn,l используется стандартная процедура: отрезок блуждания [1, N] разбивается на перемежающиеся "длинные" Д- и "короткие" di. Соотношение между длинами |Д|, \cli\ и N должны удовлетворять следующим требованиям: а) вероятность реализации максимума Хм,ь-, где X заменяет любую из букв Т или IV, на коротких промежутках должна быть асимптотически пренебрежимой; б) реализация максимума Xm,l на различных "длинных" участках должны быть асимптотически независимыми; в) должно выполняться соотношение N щР(Х\п\,ь > bN,LX + aNtL) х 1, N, L -> оо, для подходящих центрирующих и нормирующих последовательностей адг ь, бдгь\ хп х. уп обозначает, что отношение отделено от нуля и

Уп бесконечности.

Соотношение (в) связывает асимптотику N и L. В диссертации получена асимптотика вероятностей больших уклонений

Р(%>Щ, L-+ оо, при N х L, так что требование (в) сводится к соотношению (ср. (40), (38)): 0L) х 1, L оо, или N х VZeA{-e)L,

L/ где в гауссовском случае А(0) = \02. Иначе говоря, уровень больших уклонений статистик и Wjv.z,, рассматриваемый в диссертации, диктует соотношение

1=щ1log:N~ \{l+о(1)) log log N] между шириной L движущегося окна и длиной N отрезка блуждания. Заметим, что рассмотрение размера окна L ~ log N представляет определенный интерес для задач в биологии, по определению сходства двух молекул ДНК одинаковой длины N (см. [11, 32, 28]). Для умеренных уклонений работ [9, 4, 3] асимптотика имеет вид: что приводит к следующему соотношению между N и L:

N х L^e^ 1

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Питербаргу Владимиру Ильичу за постановку задач и постоянную поддержку.

4.1 Основные результаты

Теорема 4.1. В условиях Теоремы 3.1 при L —> оо, любом с > 0 и

N-cVZe^, Ъв = f" (4.1) имеет место сходимость

Р{WNtL <вЬ + х) ехр {-Ъв ехр {-hex}}, -оо < х < оо (4.2) в случае нерешетчатого распределения шага блуждания. В решетчатом случае в (4-2) надо положить be = —, где d - максимальный шаг распределения. Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

Теорема 4.2. В условиях Теоремы 2.1 при L —> оо, любом с > 0 и

N = cVLeW\ а$ - f 8 (4.3)

V27T he(T\he) имеет место сходимость

Р{Tn,l < dL + х) —> ехр {—ае ехр {—hex}}, — оо < х < оо (4.4) в случае нерешетчатого распределения шага блуждания. В решетчатом случае в (4-4) надо положить а$ = o{h)—' ^ ~ максимальны& шаг распределения. Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

Теорема 4.3. В условиях Теоремы 1.1 при L оо, любом с > 0 и

N = сЛе» = % (4.5)

V27T имеет место сходимость:

Р(Т#гь < 0L + х) ехр {-де ехр {-Ох}}, -оо < х < оо. (4.6) Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области. Теорема 4.4. В условиях Теоремы 1.3 при L —* оо, любом с> 0 и

N = cVZe*", f,-ZjL (4.7) имеет место сходимость:

Р< 9L + х) ехр {-fe ехр -оо < х < оо. (4.8) Сходимость равномерна по х в любой ограниченной области.

4.2 Доказательство Теоремы 4.3

Разобьем промежуток {1,., N} на "длинные" промежутки длины гпЬ, га —> оо и "короткие" — длины L. Без ограничения общности будем считать, что [т+\.)ь целое число. Положим

Di = [(г - 1 ){т+ 1 )L, imL),

N (4-9) dk = [гтЬ,г(т+ l)L), г = 1,.,7--777.

771 -f- 1 )L

Также введем на каждом из промежутков соответствующие данному разбиению статистики Шеппа: wml,l = max max wfL = max max r)ktl. (4.10) kedi i<1<l ' kedi 1<1<l

Заметим, что благодаря выбранному в (4.9) способу разбиения отрезка {1 ,.,iV}, случайные величины W®LL, определенные в (4.10), оказываются независимыми. Введем события

CLС£ m+l)L (m+l)Z*

Am = U Wmlb >0L + x}, Bm= (J {W®, >9L + x}. (4.11) »=1 i=l

С учетом приведенных обозначений, вероятность в (4.2) представим в виде

Р(WN,L <вь + х) = 1 - Р(WN,L > OL + x) = 1 — Р(Лт U Вт). (4.12)

Из представления (4.12) получаем следующие оценки для вероятности события {Wn,l < 0L + х}:

1 - Р(Дп) - Р(Вт) < Р(WNfL < 9L + х) < 1 - Р(Ат). (4.13)

В последующих рассуждениях х произвольно, но фиксировано. Проведем оценку вероятности Р{Вт). Имеем: лг r{i) р(д») = р( (J {w^L>eb + x})< i=1

- N m+l)L N i=i (m+l)L' E p(1Wl!l >0L + x)< , , nrp{wl,l >0L + x). (4.14)

Воспользуемся Теоремой 3.3 для оценки вероятности в правой части неравенства (4.14). Согласно (3.32) имеем для всех достаточно больших L и для х таких, что 0 4- f < а — е:

Р(% > QL + х) < (1 + е)Щ1ж{Ь\ в) e~h°x, (4.15) где тr(L; 9) := (VMh0a(h0))-le-A(-e)L. (4.16)

Объединяя оценки (4.15) и (4.14), приходим к неравенству Р(Вт) < (1 + е) {т ^i)LHeLe-^(VMhea(he))-le-^L <

4.17) при N = 0(l)VZeA^L (ср. (4.1)).

Для оценки вероятности Р(Ат) используем независимость случайных величин i = 1,., ^щ; и получим: N т+1)Ь

JL.

1 - Р(Ат)= Л Р(W®LL < 9L + x) = (l-P(WmL,L > 9L + x))(m+vL .

4.18)

Далее представим правую часть равенства (4.18) при N,L —> оо в виде:

6ХР {(т + 1 )Ь Ь(1 ~ P(WmL>L + *))} = N exp{--r——P(WmL,L > 9L + х)+ (т -f 1 )L 0( {ш ^ (Р(WmL,L > 9L + х))2 ) }. (4.19)

По Теореме 3.3 имеем следующую асимптотику больших уклонений статистики WmL,L р(WmL,L >9L + x)~ ч ermL e~h$x, L оо. (4.20) y/2-KLhQ(j(he)

Согласно асимптотике (4.20) и условию (4.1) на выбор N, остаточный член в разложении (4.19) пренебрежимо мал, а главная часть представима в виде: ехр{-Ь, e~heX}, где Ь9 = ^f* v (4.21) т+1 V2irhea(he)

Таким образом, совмещая оценки (4.18), (4.19) и (4.21) при любых т приходим к следующему результату: lim (1 - Р(ЛШ)) = ехр{-6, e~heX} (4.22)

N,L-> оо 771+1

Теперь подставим полученные оценки в (4.13). Поскольку Р (Вт) удовлетворяет неравенству (4.17), а для (1 — Р(Д„)) имеется асимптотика (4.22), то, переходя в (4.13) к пределу при L —» оо и N = сл/Ьек^ь —► оо, получаем при любом т их expf—bg е~н°х} - -^Ц- < liminf P(WNl<0L + x)<

L m +1 J m+l ~~ n,l^oo K ' limsupP(H^L < 9L + x) < exp{—б^ —e~h$x} (4.23) n,l~* 00 m+l

Устремляя m к бесконечности находим: lim P(WNiL < 9L + x)= exp{-bee~h°x}, где be = J?*9 . (4.24) N,L-+oo y/2irhe(T{ho)

4.3 Доказательство Теоремы 4.2

Доказательство Теоремы 4.2 проводится в точности по той же схеме, что и примененная выше при доказательстве Теоремы 4.1. Определяются соответствующие разбиению (Д-, d{), i = 1,., (см. (4.9)) отрезка [1, N] статистики Эрдеша — Реньи (ср. (4.10)) tml,l = vk,l, T{l)L = max t)kjl. (4.25)

И также для любого т определяются события Ат и Вт (ср. (4.11))

N N m+\)L {m+\)L

Am = U ttEL Z0L + х}, Вт = U {Т®, >0L + х}. (4.26) i=1 i=l

Основу доказательства составляют простые оценки

1 - P(AJ - Р(Вт) < Р{Тм,ь <вь + х)< 1 - Р(Am), (4.27) а также замечание, что случайные величины T^L L независимы. Подобным образом доказывается, что Р(Вт) пренебрежимо мала при N,L —> 00, где N величина порядка, указанного в условии (4.3). Согласно Теореме 2.3 для всех достаточно больших L и для х таких, что 9 -f J < а — е имеем оценки (ср. (4.14), (4.15)):

Для оценки вероятности Р (Ат), используя независимость случайных величин г = 1,., запишем аналогичное (4.19) представление при N,L—+oo:

1 - Р(Ат) = ехр | ln(l - Р(TmL>L >9L + x))} = exP(-(m^1)LP(W >9L + x)+ 0( {m W > QL + *))2) }. (4.29)

По Теореме 2.3 имеем (ср. (4.20)):

P(Tm£,t > SL + x) ~ e'mL e~h'x. £ - °o. (4.30)

Тогда из (4.29) и (4.30), следуя рассуждениям приведенным в разделе 4.2, получаем (ср. (4.22)) при любом т : lim (1 - Р(Лп)) = ехр{-а, е^*}, где а, = f9 . (4.31) га +1 y/2-Khe(j(he)

Подставляя полученные оценки (4.28) и (4.31) в неравенства (4.27) и переходя к пределу при L —► оо и оо, получаем при любом тих (ср. (4.23)) ехр{—e~h9X\- -^Ц- < liminf Р(TNb<9L + x)< 1 га +1 J га + 1 — лг,ь-оо 4 ' J ~ limsupP(TNl<9L + x)< exp{-a0 —e~heX} (4.32) N,L-+oo ' m + l

Устремляя га к бесконечности находим требуемую асимптотику.

4.4 Доказательство Теорем 4.3, 4.4

Гауссовское распределение удовлетворяет двустороннему условию Крамера, а потому результаты главы 1 представляют собой частный случай соответствующих утверждений глав 2, 3. В гауссовском случае имеем

R(h) = \h2, m{h) = h, cr2(h) — 1, h9 = 9, A (6>) = V, (4.33) ^ z и потому заключения Теорем 1.1, 3.1 можно представить в виде:

Р {WNJ, > 6L) ~ N* (4.35) у2ттЬв

Сравнение с теоремами 1.1, 1.3 приводит к равенствам: л-т> Je = f (4-36)

Следует подчеркнуть, что выражение (1.3) для постоянной Jo имеет более конструктивную форму, связанную с преобразованием Лапласа максимума отрезка гауссовского случайного блуждания с отрицательным сносом, в случае Теоремы 1.1.

Таким образом из Теоремы 4.2 в гауссовском случае получаем: с 7а

Р(TN)L <0L + x)-> ехр {—ехр {-Ох}}-, (4.37) а из Теоремы 4.1:

Р{WN}L < 9L + х) ехр {--ехр {-9х}}. (4.38) у2тг

1. Боровков А.А. Асимптотика вероятности пересечения границы траекторией цепи Маркова. Регулярные хвосты скачков.— Теория вероятностей и ее применения,2002,t.47,N 4,с. 625-653.

2. Боровков А.А., Коршунов Д.А. Вероятности больших уклонений одномерных цепей Маркова. Часть 1. Стационарные распределения.— Теория вероятностей и ее применения, 1996,t.41,N 1,с. 3-30.

3. Довгалюк В.В. Большие уклонения траекторий точечных и связанных с ними случайных процессов. Дисс. канд. физ. мат. наук, М., 1990.

4. Довгалюк В.В., Питербарг В.И. Большие уклонения траекторий пуас-соновского процесса.— Вероятностные процессы и их приложения., 1989, М.: МИЭМ, с. 112-117.

5. Козлов М. В. О частичных суммах Эрдеша-Реньи: большие уклонения, условное поведение.— Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, в. 4, с. 678-696.

6. Новак С.Ю. О распределении максимума частичных сумм Эрдеша-Реньи.— Теория вероятностей и ее применения,1997,т. XLII, N 2,с. 274293.

7. Петров В.В. О вероятностях больших уклонений сумм независимых случайных величин.— Теория вероятностей,1965,т. Х,с. 310-322.

8. Питербарг В. И. Асимптотические методы в теории гауссовскгос случайных процессов и полей. М.: Изд-во МГУД988, с. 175.

9. Питербарг В. И. О больших скачках случайного блуждания,— Теория вероятностей и ее применения,1991,t.XXXVI,N 1,с. 50-62.

10. Питербарг В.И., Стаматович С. Предельная теорема для а-выходов траекторий %-процесса за высокий уровень.— Теор. вероятн. и ее при-MeH.,2003,T.48,N 4,с. 1-10.

11. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1. М.: Мир, 1984.

12. Фролов A.M. Предельные теоремы для приращений сумм независимых случайных величин.— Теор. вероятн. и ее примен., 2003, t.48,N 1,с. 104121.

13. Bahadur R.R., Ranga Rao R. On deviations of the sample mean.— Ann.Math.Statist.,31,4(1960),1015-1027.

14. Chow Y.S., Lai T.L. Limited behavior of weighted sumes of independent random variables Ann. Probab., 1973, Vol. 1, No 5, 810-824.

15. Deheuvels P. On the Erdos Renyi theorem for random fields and sequences and its relationships with the theory of runs and spacings.— Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 70, 91-115 (1985).

16. Deheuvels P. Functional Erdos-Rdnyi laws— Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica 26 (1991), 261-295.

17. Deheuvels P., Devroye L. Limit laws of Erdos Renyi - Shepp type - Ann. Probab., 1987, V. 15, N. 4, p. 1363-1386.

18. Deheuvels P., Devroye L., Lynch J. Exact convergence rate in the limit theorems of Erdos Renyi and Shepp.— Ann. Probab., 1986, Vol. 14, N. 1, p. 209-223.

19. Erdos P., Renyi A. On a new law of large numbers.— Anal. Math., 1970, v. 23, p. 103-111.

20. Frolov A., Martikainen A. and Stainbach J. Erdos-Renyi-Shepp type laws in the non-i.i.d. case — Stud.Sci.Math.Hung., 1997, v. 33, p. 127-151.

21. Gantert N. Functional Erdos R£nyi laws for semiexponential random variables — Ann.Prob., 1998, Vol. 26,No. 3, 1356-1369.

22. Gsdrgo S. Erd6s Rёnyi laws — Ann. statist., 1979, v.7, p. 772-787.

23. Hiisler J., Piterbarg V. Extremes of a certain class of Gaussian processes.— Stoch. Processes and their Appl. 83 (1999) 257-271.

24. Komlds J. and Tusnddy G. On sequences of "pure heads".— Ann.Probab., 1975, v.3, N 5, p. 602-617.

25. J. Pickands, III. Upcrossing probabilities for stationary Gaussian processes.— Trans. Amer. Soc. 145 (1969), 51-73.

26. Piterbarg V.I. Asymptotic methods in the Theory of Gaussian Processes and Fields. Translation of mathematical Monographs, AMS, Providence, Rhode island, 1996.

27. Piterbarg Vladimir I. Large deviations of a Storage Process with Fractional Brownian Motion as Input.— Extremes 4:2, 147-164, 2001, Kluwer Academic Publishers. Manuf. in the Netherlands.

28. Rootzdn H. Extremes of moving averages of stable processes.— Ann. Porbab., 1978, Vol. 6, No. 5, 847-869.

29. Shepp L.A. A limit law concerning moving averages — Ann. Math. Statist., 1964, v. 35, p. 424-128.

30. Steinebach J. Improved Erdos-Renyi and strong approximation laws for increments of renewal processes.— Ann. Probab. 1986, V. 14, No. 2, 547559.

31. Waterman M.S.introduction to Computational Biology. Chapman & Hall, 1995.

32. Козлов A.M., Питербарг В.И. О больших скачках случайного блуждания.— Теор.вер.и примен.,2002,в.47,К 4,с. 803-814.

33. Козлов A.M. О вероятностях больших уклонений статистики Шеппа.— Дискретная математика, 2004, Т.16, в.1, с. 140-145.

34. Козлов A.M. О больших уклонениях статистики Шеппа для гауссов

35. A.M. Kozlov, V.I. Piterbarg On large jumps of Cramer random walk. Chalmers University of Technology, Coteborg University, preprint 2000:43, 2000.