Предельные теоремы для сумм независимых случайных элементов со случайными параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И

ЧУПРУНОВ Алексей Николаевич

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

УДК 519.214

01.01.05 — теория вероятностей н математическая статистика

МОСКВА — 1996

Работа выполнена в Казанское государственном университете. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор И.Н. Володин

доктор физико-математических наук,

профессор В.М. Круглое

доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Сазонов

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет путей сообщения

Зашита состоится " г. в

часов на заседании Специализированного Совета Д 053.05.038 по математике в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 119898, ГСП-3, Москва, Воробьевы горы, МГУ, факультет ВМиК, ауд. 685.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Специализированного Совета, профессор

Н.П.Трифонов

Диссертационная работа посвящена систематическому исследованию следующих двух актуальных направлений теории вероятностей.

1. Изучение асимптотического поведения сумм или иных функций от случайных элементов со случайными параметрами - независимых наблюдений случайного процесса в случайные моменты времени.

2. Изучение асимптотического поведения сумм независимых одинаково распределенных случайных элементов с независимыми случайными коэффициентами!'.-^

Заметим, что вторая задача примыкает к первой задаче: как показано в диссертации, в случае одинаково распределенных коэффициентов вторая задача является следствием первой задачи.

Актуальность темы. Рассмотрим, следующую задачу: требуется изучить влияние времени работы в цехе на некоторый параметр здоровья. Пусть мы имеем выборку из ш работников цеха. С к-ым работником из этой выборки связывается пара чисел (жь**), ГДО х* -числовая характеристика рассматриваемого параметра здоровья, а 1к -число лет, проработанных работником в этом цехе. Пусть Х((,), I £ , - случайный процесс, описывающий эволюцию этого параметра здоровья у работников цеха (Х(Ч) - случайная величина, характеризующая параметр здоровья у людей, проработавших ровно < лет в этом цехе). Тогда числа ж* можно рассматривать как наблюдения случайного процесса Х(Ч) в случайные моменты времени 1< к <ш. Теперь наша задача свелась к изучению случайного процесса Х(Ч) по наблюдениям {хк, '-к), 1< к <т. При этом мы будем считать, что - независимые наблюдения одной и той же случайной величины 4'. Для решения этой и ей подобных задач мы предлагаем следующую вероятностную модель.

Пусть (А,01, Р) - вероятностное пространство, (Т, 93) - измеримое пространство, Л"„(<), 2 € Т, п 6 ДГ, - случайные процессы, определенные на (0,21, Р) и измеримые относительно 58. Обозначим через ХПк, 1 < к < к„, п £ N, - независимые копии Хп. Пусть £ и (п, п £ N, -независимые одинаково распределенные случайные величины со значением в (Т,Ъ), определенные ка другом вероятностном пространстве

(Пь211, Л).

Итак, нашей задачей является изучение асимптотическое поведения сумм или иных функций от случайных величин Х,*(£;ь(и>1)) для почти всех Ш] 6 Яь При этом мы предполагаем что, к„ —* оо, гг —► оо. Условия сходимости последовательности сумм случайных величин -Хп*(£(и/1)), при фиксированном о^х € тривиально следуют

из известного критерия сходимости по распределению сумм независимых бесконечно малых случайных величин1. Однако мы доказываем сходимость последовательности сумм случайных величин Xnt(£(u>i)) для почти всех w; 6 Oí. Поэтому, кроме этого критерия, наши доказательства опираются на законы больших чисел, которые являются обобщениями усиленного закона больших чисел Колмогорова.

В диссертации рассмотрено обобщение этой задачи на банаховознач-ные случайные процессы Xn(t). В этом случае наша задача имеет приложения к проблеме мультипликаторов2. Напомним суть проблемы мультипликаторов. Пусть U,U¡ : ß —»-B, i € N, - независимые одинаково распределенные случайные элементы ц', r?J:f2i R,i £ N - независимые одинаково распределенные случайные величины, последовательности

я„Ы = —= — Е^.-И, wen,

«n frí

тг 6 N, GR- Проблема мультипликаторов состоит в изучении сходимости по распределению последовательности H„(wi) для почти всех

€ fii и последовательности Кп{ш) для почти всех Проблеме

мультипликаторов посвящено большое количество работ2. Заметим, что в случае, когда множество T=R, а банаховозначные случайные процессы имеют вид Xn(i)=~-U, t ET, наша задача совпадет с проблемой мультипликаторов и многие из известных результатов, связанных с проблемой мультипликаторов являются следствиями наших результатов. Следствием наших результатов является случай, когда семейства {Ui}, {т}{} определены на одном и том же вероятностном пространстве и независимы. К этим предельным теоремам примыкают полученные б диссертации предельные теоремы с разнораспределенными мультипликаторами: найдены необходимые и достаточные условия сходи-

'См.; Гнеденко В. М., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.: Гсстехиздат. 1949. 264 с.

2См., напр.: Ledoux M., Talagiand M. Probability in Banach Spaces. Berlin Heidelberg New York. 1991. 512 p.; GineE., Marcus M.B., Zinn J. On random multipliers in the theorem with p-stable limit, 0 < p < 2. - Probability in Banach spaces. Proc. of Vl-th. Int. Conf., Birkhansiv, Boston, 1990, p. 120-149; Ledoux M., Talagrand M Conditions d'integrabilite pour les multiplicateus dans les TLC Banachique. Ann. Prob 1989. V. 17. N 11. P. 916-921.

мости по распределению последовательности S„ .= У) Íni^í, n € jV,

1=1

где £„,• - такие независимые бесконечно малые случайные величины, что семейства {£„;}, {С/,} определены ка одном и том же вероятностном пространстве и независимы, а случайные элементы Ui принадлежат области нормального притяжения р-устойчивого закона. Заметим, что известные признаки сходимости сумм независимых разнораспреде-ленных банаховозначных случайных элементов3 основаны па теореме Прохорова4 и формулируются в терминах равностепенной непрерывности их характеристических функционалов в топологии типа топологии Сазонова или компактности некоторого семейства ковариационных операторов. В нашем случае критерий сходимости сумм сформулирован в терминах распределений случайных величин .

Одним из интенсивно развивающихся в настоящее время направлений является изучение сходимости случайных линий определенных суммами или иными функциями от случайных величин. В русле этого направления лежат результаты третьей главы. В ней доказаны теоремы о сходимости случайных ломаных, случайных ступенчатых линий, определенных суммами, максимумами или билинейными формами от случайных величин X„jfc(£*(wi)). Особенность этих предельных теорем состоит в том, что сходимость в них доказывается для почти всех u>i €

В главе IV введено и изучено понятие банахова пространствах типа (F, F\). Частными случаями этого понятия являются понятия пространств устойчивых и радемахеровских типов р, а также пространств типа Ф5. Получена характеризация пространств типа (F, Fi) в терминах предельных теорем для сумм случайных элементов -X"nJfc(f¡fc(uíi)).

Скорость сходимости к нормальному закону в банаховозначных

3См.: Круглов В. М. Дополнительные главы теории вероятностей.М.: Высшая школа. 1984. 264 с.

4См.¡Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теория, вероятн. и ее применен. 1956. Т. 1 .N 1. С. 117-238.

5См. о типах пространств, напр.: Pisiei G. "Type'' des espaces normes. In: Séminaire Maurey - Schvartz. Paris:Ecole Politechnique. 1973 - 1974; Exp 4; Pisier G. Une propriété du type p-stable. In: Séminaire Maurey-Schvartz- Paris:Ecole Politechnique. 1973 - 1974. Exp 8; Fazekas I. On Banach space of of type Ф. Ргос. Int. Conf. on Functional Spaces. Рогпап. 1S86. Ser. Teubner Texte zur Math., ed. J. Musielk, Leipzig. 1986. V. 103. P. 20- 25.

предельных теоремах изучалась в большом количестве работ6. Ряд статей посвящен начатым В.М. Золотаревым исследованиям, уточняющим скорость сходимости к р-устойчивому закону в одномерных предельных теоремах'. Изученью скорости сходимости на классах множеств сумм независимых банаховозначных случайных элементов со случайными коэффициентами к р-устойчивому закону посвящена глава V.

Цель работы. Получить условия сходимости по распределению сумм или иных функций от случайных процессов, наблюдаемых в случайные моменты времени. Получить условия сходимости по распределению сумм одинаково распределенных случайных элементов, со случайными коэффициентами. Найти оценки скорости сходимости в этих предельных теоремах.

Научная новизна. В диссертации доказан ряд новых предельных теорем для сумм и иных функций от независимых случайных величин, зависящих от случайного параметра - случайных процессов, наблюдаемых з случайные моменты времени. Особенность этих предельных теорем состоит в том, что в них доказывается сходимость для почти всех значений случайного параметра к одной и той же случайной величине. Получены обобщения этих результатов на случайные процессы со значениями в банаховом пространстве.

Получены необходимые и достаточные условия сходимости по распределению сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, принадлежащих области нормального притяжения р-устой-чивого закона, взвешенных независимыми бесконечно малыми случайными величинами. Изучены обобщения этого результата на случайные элементы со значениями в банаховом пространстве. В таких предельных теоремах получены оценки скорости сходимости, которые остаются эффективными даже в случае, когда предельное распределение сосредоточено на подпространстве меньшей размерности, чем рассматриваемые суммы, и имеют неулучшаемый характер.

6См. напр.:Г1аулаускас В.И.. Рачкаускас А.Ю. Точность аппроксимации в центральной предельной теореме в банаховых пространствах. Вильнюс.'Мокслас. 1987. 188 с; Сазонов В.В., Ульянов В.В. Асимптотические разложения вероятности сумме независимых случайных величин попасть в шар. Успехи мат. наук. 1995. Т. 50. N 5(305). С. 203 - 222.

7См. напр.: Christoph G., Werner W. Convergence theorems with a stable limit law. Akademie Verlag. 1992. 202 p.

Практическая ценность. Предложен новый взгляд на широкий класс задач, связанных с приложениями теории вероятностей к мате--матической статистике. Полученные предельные теоремы могут быть использованы при статистической обработке данных, связанных с такими задачами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Вильнюсских международных конференциях по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 1985, 1989, 1993). на школах - семинарах "Проблемы устойчивости стохастических моделей" (Пермь, 1992, Эгер (Венгрия), 1994, Казань, 1995), на Всероссийской школе-колоквиуме по стохастическим методам геометрии и анализа (Абрау-Дюрсо, 1994), на XXIII Бакурианской школе-колоквиуме (1990), на Всероссийской школе-колоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 1995), на Международноой конференции, посвященной памяти академика М.Ф.Кравчука (Киев-Луцк, 1992), на Международной научной конференции, посвященной 100-летиюсодня рождения С. Банаха (Львов, 1992), на первой Украинско-Скандинавской конференции "Stochastic Dynamical Systems: Theory and Applications" (Ужгород, 1995), на семинаре МИРАН под руководством академика Ю.В. Прохорова (1994), на семинаре Варшавского университета под руководством профессора С.Квапеня (Польша, 1994), на семинарах Дебрецен-ского университета под руководстзом профессора М. Арато (Венгрия, 1994), на семинарах Вильнюсского университета под руководством профессора В.В. Паулаускаса (Литва, 1985-1990), на семинарах МГУ под руководством профессоров В.М. Круглова, В.М.Золотарева, В.В. Калашникова (1992-1995).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из пяти глав, разделенных на 38 параграфов, и списка литературы, состоящего ид 113 наименований.

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в работах [1 - 21].

Содержание работы. Во введении обосновывается тема исследований, приводится обзор содержания диссертации и излагаются основные результаты.

Перейдем к более подробному изложению результатов диссертации.

Первая глава диссертации посвящена одномерным предельным теоремам и некоторым вероятностным неравенствам.

Напомним, что распределение безгранично делимой случайной ве-

личины е = е(Ь,ст,Ь) определяется тремя параметрами 6, <т, Ь, где 6 -значение составляющей-константы, а2 - дисперсия гауссовсксй составляющей, а функция Ь определяет спектральную меру пуассоновской составляющей. Символом —будем обозначать сходимость по распределению, а символом = будем обозначать равенство по распределению.

Рассмотрим случайные величины, зависящие от параметра:

S„(0 = £*ni(<). t€ Т, ЯМ = £*„<(£,-(wO), wi€Î2i, n € N.

t=i i-i

Пусть t > 0. Обозначим:

A(t) = sup kn | EX„(0/{|x„(t)|<T} I, B(t) = sup

n QN nÇN 1 +

t £T,Ei - математическое ожидание относительно вероятности Pi.

Теорема 1.1. Пусть-5,, (i) —1 e(b(t),<r2(t), L(t)), n—* оо, для всех t G Т, для некоторого С > 0 кп > Сп, n Ç N, EiA(Ç) < оо и EiB(Ç) < оо. Тогда e(6i,of, ¿j), n —+ оо, для почти всех wi 6 Oi, где

= ЗДО, = и h(y) = ВДОМ, 2/ G л.

Следствие 3. Пусть X(t),t G Г, - такой измеримый случайный процесс, что для ьсех t G Т случайные величины X(f) имеют симметричные безгранично делимые распределения без гауссовсксй компоненты, т. е. X(t) = е(0,0, L(t)) для всех t GT. Пусть = n и

А*п(0) = U----)éo + ~v(t) ■ /{|Х|>;(П,()},

t G Т, где - мера Стильтьеса на R определенная функцией L(l),v(t) ■ /{|r|>/(ritt)}(A)=iv(i)(7l П {| x |> l(r.,t)}), A - борелевское подмножество R, числа ¡(n, t) > 0 таковы, что ^WH^"'*)? < 1 и

+oo a

l(n,t) -* 0, n —<• оо для всех i G Т. Пусть Ex f < оо.

—оо

Тогда последовательность 5*(u>i) е(0,0, L\), тг —► оо, для почти

всех wi G fii. Если последовательность ) сходится по распределению для почти всех G Qi к одной и той же случайной величине е,

А 2

то е = е(0, О, L,) и Ei f 0(r) < со.

—oo

Далее через Yk(t), к 6 jV, будем обозначать независимые копии случайного процесса X(t), t G T.

Следствие 4. Пусть EX(t)=0 и <r2(i) = E(X(t))2 < оо для всех

t GT. Положим S£a(wi) = n"1/2 £ Yi(Îi(wi)).wi € Пь n €N.

¿=1

Пусть o\-=Eio2(Q < oo. Тогда последовательность S*2(wi) —► ~f(cri ) для почти всех wi G Œi, где 72 (fi ) - центрированная гауссовсхая случайная величина с дисперсией с2 — Е\ст2(£). Если последовательность S*2(wi) сходится по распределению для почти всех G fii к одной и той же случайной величине е, то е = 72(""i) и ¿?icr2(Ç) < 00.

Заметим, что условия следствия 3 и следствия 4 теоремы 1.1 влекут условия EiA'yg) < 00, EiB(Ç) < 00. Поэтому возникает проблема: являются ли условия EiA(Ç) < 00, EiB(Ç) < 00 в теореме 1.1 не только достаточными, но и-необходимыми для сходимости по распределению последовательности S*(wi), п G N, для почти всех о» 1 G fii? Построенные примеры показывают, что ответ на этот вопрос отрицательный.

В ряде работ8 изучаются массивы случайных величин £nj,l < к < кп,п G N, с о свойством равномерного предположения (UA-свойство). Массив имеет UА-свойство тогда и только тогда, когда P{£ni > у} —*■ 0, n —► 00 для всех у GR. Мы будем рассматривать также массивы имеющие UЛ(а)-свойство, где а G [—00,00). Массив £ni имеет ¡7Л(а)-свойство тогда и только тогда, когда > а, 1 < i < кп, n G N, почти наверное и maxj <,-<* P{£m" > у) —> О, п —> оо, для всех у > а. Легко видеть что {/А-свойство совпадает с UA(—oo)~ свойством. Обозначим через е(К) распределение на R с функцией распределения Fk такой, что Fk(x) = 0, х < а и Fk(x) = ехр(-К(х)), х > а для некоторой положительной убывающей к 0 функции К(х).

Приведем аналог теоремы 1.1 для максимумов случайных величин. Обозначим: D(t,y) = sup„eN knP{Xn{t) > у}, t G T, y G R, Mn(t) = maxi<i<knXni(t), iÇT, M*(u 1) = maxi<j<fell A„i(&(wi)), ы, G iîi,

Теорема 1.4. Пусть a G [—00,00),

М81ССИВ А^ i(t),n G N имеет

8См.: Золотарев В.M. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.:Наука. Главная редакция физ.-мат.лит-ры. 1986. 415 с.

{/Л(а)-свойство для всех t 6 Т, для некоторого С > 0 кп > Сп,п € п —> оо, для всех < € Ти Е1П((, у) < оо для всех у >а. Тогда М*(и> 1) е(К'), п —г оо, для почти всех о/х € Пь где

В § 7 изучаются условия сходимости по распределению сумм не-, зависимых одинаково распределенных случайных величин с одинаково распределенными случайными коэффициентами. Особое внимание уделено случаю, когда пределом является симметричная р-устойчивая случайная величина. Напомним, что случайная величина 7Р(в), 0 < р < 2, 5 > 0, называется симметричной р-устойчивой случайной величиной, если ее характеристическая функция 7Р(«)(<) = ехр(— | |р), I € Я- В § 9 получены некоторые обобщения этих результатов на случай разнораспределенных коэффициентов. Рассмотрим независимые бесконечно малые случайные величины : П —► Л, 1 < г < кп,п £ N, со свойством (Ср):

_ *«

кп

= ¿ипШа,^ Е | \р ,<£} = 5 < сх> (1.24)

£_' « = 1

и

кп

Кт У] Р{| и |> и) =М(и), и е С(М), (1.25)

11 -«■ СО ' '

1=1

оо

для некоторых в > 0 и функции М такой, что $ тщ(жр, 1)<Ш(х) > —оо.

о

Здесь С(М) - множество точек непрерывности функции М. Показано, что условие (Ср) является критерием сходимости по распределению по-

к„

следовательности = £ | £„,• п € N. Пусть г), г}„ : О —► К, п € М,

»=1

- независимые одинаково распределенные случайные величины такие, что {»7;7п, п £ N} и {£,;,-} - независимые семейства, последовательности

= £ £щтц, ^ = п~1'р N.

1=1 1=1 Теорема 1.6. Пусть случайные величины т), т]п симметричны.

(1) Пусть Ет]2 = < сю. Последовательность сходится по распределению тогда и только тогда, когда случайные величины {£п»} обладают свойством (С2). Если последовательность сходится по распределению, то ее пределом является случайная величина е с характеристической функцией

£(е)(<) = ехр | _<£!££) + 2Е J (соаЦхч) - 1)Ш(х) I , I 6 К.

I " х>0 )

(2) Пусть 0 < р < 2, последовательность —ур^), п —* оо. Последовательность сходится по распределению тогда и только тогда, когда случайные величины {£«>} обладают свойством (Ср). Если последовательность Б" сходится по распределению, то се пределом является случайная величина е с характеристической функцией

£(е)(<) = ехр | - | ss1^ |р +2Е J (сов^хг)) - 1)с/М(х) I , I £ Я. \ ®>о J

Показано, что если р > 1 и последовательность сходится к постоянной, то теорема 1.6 остается верной, если в ней вместо симметричных случайных величин т], цп рассматривать центрированные.

В § 11 изучается сходимость сумм независимых случайных величин, зависящих от случайного параметра с нормировками, аналогичными нормировкам в статистике Стьюдента.

В § 12 изучаются обобщения неравенства Гозенааля на нестепенные функции. Пусть , / € Лг, - нззависимые центрированные случайные величины, О - функция Орлича. Если функция выпукла, то

С, + )) <Ес(\^\) <

< С2 £ ЕС(\ + С £ • (1-31)

Если функция С{х1!2) вогнута и случайные величины £ симметричны, то

С[ £ ЕС{I с; |) + с (£Щ1Г)112 < ЕС I I <

¿=1

«=1

< С ^ ЕС(I |) + С (ф ЕМ)2)1'2) ) . (1.35)

где = = О — Здесь константы Сь С2,С{, С'2' зависят

только от функции Орлича С, константа А зависит только от случайных величин Для симметричных безгранично делимых случайных величин без гауссовой компоненты получены аналоги этих неравенств:

/ОС I / со

С1 I I С(х)ЛЬ(®) + <? I | J х2ёЬ(х)

С[

< С2 | У <?(«)<££(*) + в | I х2сИ(х)

-со у Уоо

I ( / \ 1/2^ \

У в{хЩ{г) + (? I хЧЬ{х)

\|е|<Д

(1.34)

<£С(| е(0,0,£) |)<

< С

I С(х)(1Цх) ■+ в У х

|г|>Д

Чь(х)

Цх|<Д

1/2\

(1.37)

где

Д = тГ : / тга((х/«)2<Щ*) < 0 < б < 8-1 т^>0

В главе II получены некоторые обобщения результатов главы I на случайные элементы со значением в банаховом пространстве. При этом

используются понятия и обозначения, введенные в главе I, с единственным отличием: везде в этой главе предполагается, что X(t), Х„(.<), Yn(t)> Xnk(t), t еТ, - измеримые случайные процессы со значением в банаховом пространстве В.

Напомним, что банахово пространство В имеет радемахеровский тип р (соответственно устойчивый тип р), 0 < р < 2, если для всех О < q < р, найдется такое С > 0, зависящее только от В, что для

п |Р п

всех х\,..., хп € В, п £ N, Е Y1 г>х» С 12 II х» 11р (соответственно

«1=1 I «=1

I п I q п

Щ £ 7piXi\ )!/« < С(£ || я,- |Г)1/р). Здесь г, г,- - функции Радемахе-

1¡=1 1 «=1 ра, тpi - независимые копии случайной величины 7р(1)-

В § 1 приводятся известные результаты из теории предельных теорем в банаховых пространствах. В § 2 получено обобщение теоремы 1.1 на случайные элементы со значением в пространствах радемахеровско-го типа р. Обозначим через # класс канонических вложений банахова пространства В в банаховы пространства Bj, где Bi - факторпростран-ства В по конечномерным подпространствам. Будем обозначать через е(6, А, и) безгранично делимые случайные элементы в В, где Ь £В - составляющая-константа, А - ковариационный оператор гауссовской составляющей, и - спектральная мера пуассоновской составляющей.

Обозначим:

я а\ - „ш ь f ИР и <п\а\ - ч„п к f Н W) И*

Bp(t) = sup кпь Bp{Q)(t) = sup кпЕ ,.n , . ,, ,

niJV 1+ II x„(i) 1+ !| QXn(t) [|P

t e т, где Q e 5.

Теорема 2.1. Пусть банахово пространство В имеет радемахеровский тип р, случайные процессы Хп,п 6 N, - симметричны, Sn(t) —► e(0,A(f), f(<)), п —»■ оо, для всех t 6 Т, для некоторого С > 0 кп > Сп,

п е N, ElВр(0 < 00 и MQe$EiBp(Q)(0 = 0. Тогда 5*(ал) e(0,j4i,^i), п —> оо, для почти всех € fii, где yli(ar') = jETi х' Е В', и vi(D) = Eii/(£)(D), D - борелевсхое подмножество В.

Из теоремы 2.1 следует, что для меры г/(<) такой,, что Е\ JB < оо в пространстве радемахеровского типа р спра-

ведливо следствие 3 теоремы 1.1 и в пространстве типа 2 для центрированного случайного процесса X(t) таких, что Е\Е || X(t) ||2< оо справедливо следствие 4 теоремы 1.1.

В § 3 получено обобщение некоторых результатов главы I на случайные элементы со значением в пространствах устойчивого типа р.

Пусть 0 < р < 2. Если Z - такой случайный элемент в В, что характеристический функционал C(yp(Z))(x') — exp(-Е | x'(Z) |р), х' Е В' определяет распределение случайного элемента в В (обозначаемого через тp(Z)), то говорят, что случайный элемент Z р-предустойчивый, a 1P{Z) - р-устойчивый симметричный случайный элемент. Если Z -такой случайный элемент в В, что характеристический функционал C(y2(Z))(x') - exp(-Е | x'(Z) |2 /2), x' £ В', определяет распределение случайного элемента в В (обозначаемого через 72 (Z)), то говорят, что случайный элемент Z предгауссовский, а 7г(2) - гауссовский симметричный случайный элемент. Пусть т), т]п : Q —► Л, п 6 N, - симметричные независимые одинаково рг.сиределенные случайные величины такие, что {т), rln, п £ N], {X, Уп, п £ N) - независимые семейства, Fv - функция распределения случайной величины т], функции

ед^-ед, сч(у)= sup yeR.

0<х< 1 1/М)

Пусть K(i),V<(<) : П —► R, t 6 Т, i £ N, - независимые одинаково распределенные измеримые случайные процессы, U, Ui : П —> В, i £ N, - независимые одинаково распределенные симметричные случайные элементы, причем семейства {U,Ui,i 6 N}, {V, Vi, i € N} не-

n

зависимы. Рассмотрим последовательности —

" »=i

= ъЪШ<"1)), S^M = Ы1 € fib

«=1 i=1

n £ N.

Теорема 2.2. Пусть пространство В имеет устойчивый тип р.

(1) Пусть 0 < р < 2, 7pis), п оо и EiEG'^W Х(£) ||) < оо

при р < 2, EiE || Х(0 ||2< оо при р = 2. Тогда Sg#(wi) 7р{»Z), п -оо для почти всех u>i £ fii, где Z - случайный элемент, определенный на произведении вероятностных пространств (Q х Qi;2l<g> 2li,P х Pi) формулой: Z(uj,uii) = .X(£(wi))(w), (w,wi) giixQi.

(2) Пусть 0 < p < 2, S'f 7P(Z), n oo, 7p(Z) ф 0, и МС^П^О) < со. Тогда M jp(sZ), n — то, где Sp = E\E | 7(0 Г

Теорема 2.2 является новой уже в случае В = Я.

В § 4 изучаются обобщения теоремы 1.6 на случай, когда вместо

случайных величин гц рассматриваются симметричные случайные ?ле-

п

менты Ui. Пусть последовательность = S%(rj) = n~l'p % Пока» = !.

зано, (теорема 2.3) что при р < 2 обобщение п.(2) теоремы 1.6 имеет место в следующих трех случаях:

1р) случайный элемент U - строго р-устойчивый; 2р) случайный элемент U= nZ, где Z - р-предустойчивый случайный элемент, i] - симметричная случайная величина такая, что

Sniv) —7P(s) п —> oo,7p(s) ф 0, и Z, т] - независимы;

Зр) пространство В имеет устойчивый тип р и U - симметричный

случайный элемент такой, что S%(U) —")p(Z)t п — оо , и jP(Z) ф 0.

Рассмотрим понятия, которые используются в банаховозначных предельных теоремах.

Банахово пространство В называют A2 — R0S—пространством6, если существует такая постоянная С, что для любого конечного числа симметричных ограниченных независимых предгауссозских случайных элементов Z\,..., Zn в В выполняется неравенство

supfP^dl £ Zi ||> t} < c(sup<Êp1/3{!| Zi ||> i}+ î>o fr[ Vt>0 ^

n

+ 8UP^1/3{||E72(^)II><}). (2-21)

где случайные элементы 72(^1) независимы.

Полунорма | ■ | в пространстве В' называется Леви-достаточной, если равностепенная непрерывность в (В1, | • |) характеристических функционалов вероятностей ц0 ъ В, влечет плотность семейства вероятностей fia9.

Показано (теорема 2.4), что обобщение п.(1) теоремы 1.6 имеет место в следующих случаях:

1.2) случайный элемент U - гауссовский;

2.2) полунорма j х' \и,2- {Е(х'(и)2)х1г, х' € В', Леви-достаточна;

9См. напр.: Муштари Д. X. Вероятности и топологии в банаховых пространствах. Казань: Изд-во Казанского университета. 1989. 152с.

3.2) банахово пространство В имеет тип 2 и Е || U ||2< оо; 4.2) банахово пространство В - Лг — Ros—пространство, U - пред-гауссовский случайный элемент и 1пп„_юо пР{|| U ||> га1^} = 0.

. Эти результаты используются для изучения условий сходимости сумм случайных элементов £/,• с числовыми коэффициентами. Пусть

п

последовательность S*(U) = J2 amUi, п Е N, где а„,- G R.

t=i

Следствия теоремы 2.3 и теоремы 2.4. Если случайный элемент U удовлетворяет одному из условий (1р), (2р), (Зр) при р < 2 или одному из условий (1.2) - (4.2) при р = 2 и maxi<i<„ | ar,j + 0, п —► оо, то последовательность S^{U) jp(sZ), п —* оо, тогда и только тогда,

п

когда |а„,- |р— s, п —>■ оо. _ t=)

Изучение сумм 5^(t/) продолжено в § 5. В частности, там получена следующая теорема. Рассматривать норму Лоренца последова-

п

тельности (a«)i=i: II (a>)?=i lli,j — 5Za(»jn_1^7i гДе a(0 " невозрастающая

перестановка последовательности I а,- |, 1 < i < п.

Теорема 2.5. Пусть 2 >'р > i, числа а„,- такие, что maxi<,<n | а,,,- | —> 0, га —► оо. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) для любого банахова пространства В, для любого случайного

элемента U в В такого, что 5£(i/) ~jP{Z), п —* оо, S*(U) jp(sZ), п —|► оо;

п

2) последовательность ^ | a„i |р—► s, п —> оои supn6JV || (аш)"=1 ||ii(j<

»=1

< оо, где q' = р/(р- 1).

В § 6 получены обобщения результатов главы I на случайные элементы со значениями в пространствах Орлича. § 7 посвяшен изучению пространств CP(U; В), 0 < р < оо, состоящих из таких последователь-

оо

ностей Qj € Я, что рад £ аД/; сходится в Lp{B). Показано, что если

i=i

одно из условий (1р), (2р), (Зр), (р<2) выполнено, то Cq(U; B)—lp, если одно из условий (1.2) - (4.2) выполнено, то Со(U\B)=li. В терминах пространств CP(U\B) дано описание пространств устойчивых и раде-махеровских типов р.

В главе III изучается сходимость случайных линий, определенных случайными величинами -XV,j(&(wi)).

Пусть V„, V - случайные процессы. Будем писать Vn —' V, п —» оо, если Zn —+ Z, п оо, где Zn, Z - случайные элементы, соответствующие случайным процессам V„, V.

В10 доказана сходимость случайных ступенчатых функций, определенных суммами независимых одинаково распределенных в каждой серии случайных величин к однородному случайному процессу с независимыми приращениями. Рассмотрим обобщение этого результата на

случайные величины Xn,-(£j(wi)).

[*.*]

Положим: S*r(u>i) = 53 X„i(£(wi)), 0 < i < 1, ü! £ Пь n GN. »=i

Тогда S*x(w 1), как функции от х, - случайные процессы, не имеющие разрывов второго рода, параметризованные элементами W; € fii-

Теорема 3.1. В условиях теоремы 1.1 .^„(wi) —> W', п —► оо, в пространстве Скорохода 2?[0,1] для почти всех G fii, где W' = W:{bi,(r\,Li) - такой однородный случайный процесс с независимыми приращениями, что ^'(1) = e(fci,«ri, L\).

Ю.В.Прохоров4 доказал сходимость случайных ломаных, определенных сериями центрированных независимых случайных величин, сумма дисперсий которых ь каждой серии равна единице, к винеров-скому процессу W в пространстве С[0.1]. В.М. Круглое11, используя введенные В.М. Золотаревым8 понятия г-центра и r-разброса случайных величин, получил обобщение теоремы Прохорова на серии независимых случайных величин таких, что их г-центры равны нулю и сумма r-разбросов случайных величин в каждой серии равна единице. Приведем аналоги этих результатов для случайных величин ^„¿(^¡(uii)). Заметим, что точки излома случайных ломаных в теореме Круглова определены r-разбросами сумм, а в теореме Прохорова дисперсиями рассматриваемых случайных величин. Точки излома, рассматриваемых в следующей теореме случайных ломаных, как и з случае теоремы Прохорова-Донскера для одинаково распределенных случайных величин, имеют вид дг-,0 < к < кп, п £ N. Пусть случайные процессы

S'n{x,w{) = S*r(wi) + {fc«z}Xn(f*nr]+l)(£[fc„rl-H(wi)), 0 < х < 1.

10Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.-.Наука. Главная редакция физ.-мат. литературы. 1977. 568 с.

пСм.: Круглое В.М. Слабая сходимость случайных ломаных к винеровскому процессу. Теория, вероятн. и ее применен. 1985. Т. 30. N 2. С. 209 - 218.

Теорема 3.2. Пусть S„(t) —(&2{t)), n —► оо, для каждогс

i 6 Г, £i<r2(f) = 1 и Яц4(0 < оо, £?aB(f) < оо. Тогда S'n(z,u/i) W, п —► оо, в пространстве С[0,1] для почти всех ui\ G iîi.

В ряде работ изучается сходимость случайных ломаных, определенных билинейными формами от случайных величин 12. Приведем аналог этих результатов для случайных величин X„i(s»(wi)).

Определим случайные процессы wi),- 0 < х < 1, п GN. При X о < m < кп, S*(*,ùi) = 2 £ Е

;<«"<m

произвольной точке х G [0,1] случайный процесс

(^Н Wl) + {.fcn} .

Кп \ кп кп /

Теорема 3.6. В условиях теоремы 3.2 S W - I,n —* оо,

в пространстве С[0,1] для почти всех G fîi, где функция 1(х) — г, xG[0,l].

Положим: M;x(wi) = max1<i<[tnJ:](Xrii(Î,(wi))), 0 < х < 1, € Пь п G N. Тогда M*x(uii), как функции от х, - случайные процессы, не имеющие разрывов второго рода, параметризованные элементами wi G Через m(x) = rn(K)fx), 0 < x < 1, будем обозначать такой случайный процесс, что т(К)(х) = е(хК), 0 < х < ,1, и

т(К)(у) = шах(т(К)(х),е((2/ - х)К)), ,х < у, причем случайные величины т(К)(х), с((у — х)К) независимы. Заметим,-что случайный процесс пг(х) является аналогом однородного случайного процесса с независимыми приращениями для случая, когда вместо сумм случайных величин рассматрииаются максимумы.

Теорема 3.9. Пусть выполнены условия теоремы 1.4 и а > — со. Тогда M*r(wi) m(Ki) , п —> оо; в пространстве Х>[0,1] для почти всех u>i G fii-

В § 5 вьодятся аналоги'эмпирических процессов и доказывается их сходимость к гауссовским процессам типа броуновского моста. Пусть

12См. напр.: lanson S., Wichura. M.J. Invariance piinciples for stochastic areaand related stochastjc intégrais. Stochastic processes ar.d their applications.. 3983. V. 16.P. 71-84; Mikcsch T. Functional limit theoremes for random quadratic forms. Stochastic processes and there applictions. 1991. V. 37.P.81-9S.

G(t) - функции распределения случайных величин X(t)l t €Т. Введем центрированные эмпирические случайные процессы, параметризованные элементами u>i £ i2i:

п »=1

Пусть V(R) - пространство Скорохода функций на R, W°(x), х СЕ R, - гауссовский случайный процесс такой, что для всех х, у £ R, х < у, EW°{x) = 0 и EW?(x)W?(y) = Ei{G{i)(x){ 1 - G(0(y)) В следующей теореме будем предполагать, что функции распределения G(t), t G Т, обладают свойством (М): существует тг.кая возрастающая ограниченная функция М : R —<• R, что для всех х,у Е R, х < у, t 6 Т, G(t)(y)-G(t)(x)<M(y)-M(x).

Теорема 3.11. Последовательность u>i) W®, п -+ со-,

в пространстве V(R) для почти всех u>i Е iii.

Если в теореме 3.11 случайные величины X(t) одинаково распределены, то мы получаем известную теорему Н.Н.Ченцова12

В главе IV изучается сходимость сумм независимых случайных элементов в банаховых пространстве« типа (F,Fi). Пусть т)„ - последовательность независимых случайных величин с общей функцией распределения F. В этой глаие рассматриваются только симметричные случайные величины и функции распределения симметричных случайных величин.

Определение 1. Пусть F,F\ - функции распределения, функция

оо

9Fi{x) = /min(jx2/ |2, l)dFi(y), х Е R- Банахово пространство В назо-

оо

оо

вем пространством типа (F,Fi), если сходимость ряда X^ ffj^OI я» [|),

>=1

оо

х,- Е В, влечет почти наверное в В сходимость ряда

i=i

Если функция распределения F совпадает с функцией распределения F\, то банахово пространство В типа (F,Fi) будем называть пространством типа F. Банахово пространство В типа (Fr,F), где Fr -

13Ченцов Н.Н. Слабая сходимость случайных процессов с траекториями без разрыва второго рода и так называемый эвристический подход к критериям согласия типа Колмогорова-Смирнова. Теория вероягн. и ее примея. 1956. Т. 1. N 1. С. 155-161.

функция распределения радемахеровской случайной величины будем называть пространством радемахеровского типа Г. Понятия пространства типа Е п радемахеровского типа Е являются естественными обобщениями понятий пространств устойчивого и радемахеровского типа Р-

В § 1 изучаются соотношения между понятиями типов В §

2 описываются пространства Орлича и их подпространства, имеющие 1ип (.Р, Оказывается, что для пространств Орлича понятие типа (Е, более естественно, чем понятие устойчивого или радемахеровского типа р. В § 3 изучаются такие функции распределения Р0, Р4, что банахово пространство радемахеровского типа Е„ имеет тип (Е, Гг).

Пусть г)'п - последовательность независимых случайных величин.с общей функцией распределения Еа, причем {т]'п}и{т]п} - независимые случайные величины, - функция распределения случайной величины 1}[ ■ Т)1

Теорема 4.7. Пространство В радемахеровского типа Ес имеет тип

(Г.ЪУ

Следующее предложение показывает, что выбор функции распределения ^ в теореме 4.7 в некоторых пространствах оптимален.

Предложение 5. Пусть функции распределения Е,Е0,Е1 удовлетворяют условиям теоремы 4.7, функция Орлича др0 удовлетворяет Д'-условию: дгЛхУ) — ^9г0(х)зга(у), х, у 6 Я, для некоторого С >0. Следующие условия эквивалентны:

1) пространство Орлича 19Ге имеет тип (Г,

2) существует такое С > 0, что С> х £11. Следствие 1 теоремы 4.9. Пусть банахово пространство В имеет

радемахеровский тип р, 0 < р < 2, Г - такая функция распределения, что Ншвир^^ — а —► оо. Тогда пространство В имеет тип

В § 4 получен аналог следствия 3 теоремы 1.1 в пространствах В типа (Г. ^1). Рассмотрим случайные элементы е(Е, и) со значениями в В такие, что характеристические функционалы

и)){х') = ехр < J ^ (сов(уг'(*)) ~ 1) ЛЕ{у)йи{х) \ , х' £ В'.

-со J

Заметим, что если 1/ - симметричная мера, то е(0,О,и) = е{Ег,и).

Теорема 4.10. Пусть пространство В имеет тип (Г, ¡/(I), I € Т, такие меры на В, что для всех < 6 Т, ! > О, К<){|| х ||> 0 < ос, кп - п. 1усть случайные процессы такие, как в следствии 3 теоремы 1.1,

З^Ы = «1€ПЬ пбЛГ,

1 = 1

эде семейства {*?;} и {Хш} - независимы. Если /<7^(11 х <

з

X), то ¿^(и^) е(Р, и{), п —► оо, для почти всех и)1 € Пь Теорема 4.11. Следующие условия эквивалентны:

1) банахово пространство В имеет тип (.Г, ^1);

2) для каждой меры и на В такой, что J ^(Ц х ||)(/г/(ж) < оо, харак-

В

херистический функционал С(е(Р,и))(х'), х1 6 В', определяет плотное распределение в В.

В § 5 и § б изучаются усиленные законы больших чисел в пространствах типа (.Г, Г}). В терминах этих законов дана характеризация пространств типа (Р\

В главе V получены оценки скорости сходимости сумм банахо-возначных случайных элементов со случайными коэффициентами к р-устойчивому случайному элементу. Мы будем оценивать величины

= 81ф{| РШг) € А} - Р{и" € А} |: А € £},

р{8ап(г), ир; УУ, г/>) = вир{70(О I Р{Бап{г) 6 \У{} -Р{1Г 6 |: I € Л},

где 1 < р < оо, £, УУ = t € /?} - классы подмножеств В, функция ф : Л —+ [1,оо), 1/р - строго р-устойчивый случайный элемент в В

п

При этом будем предполагать, что для каждого тг £ N £ |ап,- ¡р= 1.

1=1

В качестве классов £, УУ мы будем использовать класс £о{ир) таких множеств А С В, что для каждого е >0 Р{1/р 6 (дА)с) < Бе, где О > О, (сМ)£ - ^-окрестность границы дА множества А, или поглощающий класс >У = е Я}-

Класс УУ = {1У(, I € Л} подмножеств В называется поглощающим6, если выполняются следующие соотношения:

1) для всех г ё В, ( £ Д С || х ||С Щ+\\х\\1

2) для всех * € Я, 6 > О Щ С №¡+6, IV, Э \Vt-s-

Здесь Wt - замыкание множества Wt, a Wt - внутренность множества Wt ■ Кроме поглощающих классов мы будем рассматривать транзитивные классы. Класс W = {Wt,i £ Д} подмножеств В называется транзитивным, если для него выполнено соотношение 1).

Заметим, что известные оценки величины p(S£(Z), Up\£) даны14, в терминах псевдомоментов fjq(Z,Up), q > р, и их доказательства основаны на дифференциальных свойства характеристических функций или на свойствах отделимости множеств класса гладкими функциями. Класс таких случайных элементов Z, что псевдомомент fiq(Z, Up) < оо, q > р, весьма беден. Например, в нем нет ни одного дискретного случайного элемента. В § 2 приведены оценки величины p(S%(Z),Up;£) в терминах иных метрик на классах множеств без предположения о каких-либо свойствах их разделимости гладкими функциями. Теорема 5.1. Пусть q,r > 1, q > р, q' = р/(р— i), Тогда

p(S*(Z), lP,eD{V*)) < С (|| (aP,)?=i lli',1 sup (£(¡1 Sl{Z - и?) ||Л1/Г)"

\ «елг /

где С = С( Д q).

Следствие. Справедливы оценки

< С (г1?*-1/? sup (Е(\\ S*(Z - Up) ||)г)1/г>) ^ ,

\ П6 N )

где С = C(D, г, q), г > 1,

P(sp(Z),up,sD{up))<

< С (sup - sup (Е(\\ Sl{Z - Up) ||)r)1/r>) n1/,-1/p ln(n), Vr>i г пел/" /

где С = C(D, q), n > exp^sup^ I suPn6N(E \\ S<(Z - Up |Г)1/г)_1)-При более сильных ограничениях оценки из теоремы 5.1 имеют следующее уточнение.

14См.: Паулаускас В. И., Рачкаускас А. Ю. О безгранично делимых и устой чквых законах в сепарабельних банаховых пространствах. И. Литовский мат. сб. 1980. Т. 20. N 4. С. 97- 113

Рассмотрим условие (A): Up, Up — Z - независимые случайные элементы и W = {Wt,t G Я} - такой транзитивный класс, что для всех О < е, t G Я, P{UP G Wt f£\W(} < ф{1)е, где функция ф : Я — [1, со). Теорема 5.4. Пусть выполнено условие (A), q > 0, q\ = min(i, 1). (1) Справедливы оценки:

p{San{Z),U*-,W,±) < CEmiudl S%(Z-UP) ||,1), где С=С(В, з),

p(San(Z), W-, W, 1) < Сх II (ani)?=i ||,М sup (Е(|| S<n{Z - Up) ||),

где Ci = Ci(B,q), a если пространство В имеет радемахеровский тип q, то

Кад,^ <Сг(р I I9 ^(И -да ~ и") II)

Приведенные примеры показывают, что оценки в теореме 5.4 оптимальным образом зависят от чисел ап;.

В § 5 приведены оценки величины р(Зр(Я), Ир\£) для поглощающих классов £. Среди исследований по оценкам скорости сходимости на поглощающих классах одно из ведущих мест занимают работы В.И. Паулаускаса и его учеников6. В основе этих работ лежит метод Линде-берга. В идейном плане результаты параграфа близки к результатам6.

Пусть В,В\ • банаховы пространства, В'- сопряженное В, и : В\ —*■ В - линейный непрерывный оператор, 1 < р < 2, и, ип, п 6 ./V, -независимые одинаково распределенные случайные элементы в В\ такие, что и(и) - р-предустойчивый случайный элемент. Пусть т), т]п -независимые одинаково распределенные симметричные случайные величины такие, что {{/,[/„}, {т),1)п} - независимые семейства, последовательность Бр — Зр(т}и(и)).

В следующей теореме мы будем предполагать, что УУ = {И^,* € Я} - такой поглощающий класс подмножеств В, что для всех е > 0, < € Я найдется функция д.Ъ—► [0,1], со свойствами:

1) = 1, если х € УУид{х) = 0, если х € при Wt ф 0 д(х) = О, если х 6 B\Wt+c, при Щ = 0;

2) функция д дважды и-дифференцируема в каждой точке х € В, и ее производные || д»\х) ||< Ке~\ г = 1,2, для всех х € В.

Положим /¿2 = [в || х ||2 \{<1х), где А - вариация меры £(£«({/)) -

С(щ(и)), причем С = г£ 1, а Сг - такая случайная величина, что случайная величина (С1)-р имеет гамма-распределение с параметрами (р,1) и гХ1>и(и) ~ независимы.

Теорема 5.6. Пусть С/р=-ур(«(?7)) - такой случайный элемент, чтс 8ир<ед Р{81'рир 6 < С(а)е для всех в £ (0,1] и е >0, где

функция С(э), з е (0,1] удовлетворяет условию: г := 8ир{С(«/)/С(«) : я/2 < в' < « < 1} < оо, и Ц2 < оо. Тогда

/К^.С^И0<Сп^2-1/р, пеЫ,

где С = С(т), и, г)..

Итак, в диссертации получены следующие основные результаты:

- при достаточно общих предположениях получены предельные теоремы для сумм и максимумов независимых случайных величин, зависящих от случайного параметра - наблюдений случайного процесса в случайные моменты времени; рассмотрены их обобщения на банахо-возначные случайные элементы;

- получены предельные теоремы для сумм одинаково распределенных, случайных элементов принадлежащих области притяжения или области нормального притяжения р-устойчивого закона со случайными коэффициентами, которые являются независимыми наблюдениями случайного процесса в случайные моменты времени или независимыми бесконечно малыми случайными величинами;

- получены предельные теоремы для случайных ломаных и случайных ступенчатых функций, определенных суммами, или максимумами или билинейными формами, от случайного процесса, наблюдаемого е случайные моменты времени, получены предельные теоремы для некоторых аналогов эмпирических процессов, определенных случайными процессами, наблюдаемыми в случайные момента времени;

- введено и изучено понятие пространства типа (Г, Г}) - модификация понятий пространства устойчивого и радемахеровского типа р, е терминах предельных теорем для случайных процессов, наблюдаемых

в случайные моменты времени, дана характеризация пространств типа

(ад);

- получены оценки скорости сходимости сумм независимых одинаково распределенных случайных элементов со случайными коэффициентами или числами к р-устойчивому закону.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ДИССЕРТАЦИИ

[1] Чупрунов А.Н. Пространства последовательностей в банаховом пространстве, связанные с последовательностью независимых случайных величин // Теория вероятностей к ее применения. 1991. Т. 36. N 1. С. 186 - 191.

[2] Чупрунов А.Н. Limit theorems for stable laws in Banach space // New Trends in Probability and Statistics. Vol. 1. Proceedings of Bakuriani Colloquium in Honour of Yu.V.Prokhorov. VSP Utrecht, Netherlands. 1991. P. 106 - 110.

[3] Чупрунов A. H. Об обобщении пространств устойчивых и раде-махеровских типов р // Теория вероятн. н ее примен. 1991. Т. 36. N

3. С. 521 - 534.

[4] Чупрунов А.Н. О плотных семействах распределений сумм независимых случайных элементов в банаховых пространствах типа (F, F\) // Изв вузов. Математика. 1992. N 2. С. 72 - 82.

[5] Чупрунов А.Н. Сходимость рядов независимых случайных элементов в пространствах Орлича // Изв. вузов. Математика. 1992. N

4. С. 76 - 87.

[6] Чупрунов А.Н. Сходимость случайно взвешенных сумм независимых банаховозначных случайных элементов, нормированные суммы которых слабо сходятся // Теория вероятн. и ее примен. 1992. Т. 37. N 49. С. 814 - 815.

[7] Чупрунов А.Н. Предельные теоремы для устойчивых законов в банаховых пространствах, обладающих геометрическими свойствами // Изв. вузов. Математика. 1992. N 9. С. 73 - 80.

[8] Чупрунов А.Н. Пространства банаховозначных случайных элементов, изоморфные пространствам последовательностей и их приложения. I Ц Изв.вузов. Математика. 1992. N 12. С. 59 - 66.

[9] Чупрунов А.Н.. Пространства банаховозначных случайных элементов, изоморфные пространствам последовательностей и их приложения. И. // Изв.вузов. Математика. 1993. N 1. С. 64- 73.

[10] Чупрунов А.Н. Центральная предельная теорема для случайно

взвешенных слагаемых в банаховых пространствах // Изв вузов. Математика. 1993. N 8. С. 76 - 82.

[И] Чупрунов А.Н. Законы больших чисел в банаховых пространствах типа (F, F-i) // Теория вероятн. и ее примен. 1993. Т. 38. N 4. С. 906 - 909.

[12] Чупрунов А.Н. Об уточнении банаховозначных предельных теорем для устойчивых законов // Теория вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39. N 4. С. 851 - 855.

[13] Чупрунов А.Н. О сходимости по распределению почти всех сумм независимых случайных элементов к устойчивому закону // Мат. заметки. 1994. Т 55. N 4. С. 138 - 140.

[14] Чупрунов А.Н. О пространствах числовых последовательностей связанных с независимыми случайными элементами // Функциональный анализ и его приложения. 1994. Т 28. N 1. С. 87 - 90.

[15] Чупрунов А.Н. О скорости сходимости взвешенных сумм независимых банаховозначных случайных элементов к устойчивым законам. I // Изв. Вузов. Математика. 1994. N 7. С. 74 - 83.

[16] Чупрунов А.Н.. О сходимости по распределению почти всех сумм независимых банаховозначных случайных элементов. // Изв. Вузов. Математика. 1994. N И. С. 83 - 87.

[17] Чупрунов А.Н. Об уточнении банаховозначных предельных теорем для устойчивых законов. Теория вероятностей и ее применения /,/ 1994. Т. 39. N 4. С. 851 - 856.

[18] Чупрунов А.Н. Предельные теоремы для взвешенных и нормированных сумм случайных элементов в банаховых пространствах. I // Известия вузов. Математика. 1995. N 2. С. 72- 78.

[19] Чупрунов А.Н. Предельные теоремы для взвешенных и нормированных сумм случайных элементов в банаховых пространствах. II // Известия вузов. Математика. 1995. N 3. С. 74- 82.

[20] Чупрунов А.Н. О сходимости по распределению сумм и максимумов независимых случайных величин со случайными параметрами // Liet. Matem. Rink. 1995. V. 35. N 1. P. 52 - 64.

[21] Чупрунов А.Н. О сходимости по распределению эмпирических процессов определенных независимыми случайными процессами // Liet. Matem. Rink.. 1995. V. 35. N 2. P. 171 - 180.