Асимптотика рядов Дирихле заданного роста

Юсупова, Наркес Нурмухаметовна

Асимптотика рядов Дирихле заданного роста тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Юсупова, Наркес Нурмухаметовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Уфа МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Асимптотика рядов Дирихле заданного роста»

Автореферат диссертации на тему "Асимптотика рядов Дирихле заданного роста"

На правах рукописи Юсупова Наркес Нурмухаметовна

АСИМПТОТИКА РЯДОВ ДИРИХЛЕ ЗАДАННОГО РОСТА

01,01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

1 2 ('0П

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук

Уфа — 2009

003482902

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа ГОУ ВГ10 «Башкирский государственный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Гайсин A.M.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Мусин И.Х.,

кандидат физико-математических наук Тимофеев А.Ю.

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Нижегородский государственный университет»

Зашита состоится "26" ноября 2009 г. и 15 часов на заседании совета Д 002.057.01 но защите докторских и кандидатских диссертаций в Учреждении Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН по адресу: 450008, г. Уфа, ул. Чернышевского, 112.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Учреждения Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН.

Автореферат разослан октября 2009 г.

Ученый секретарь совета Д 002.057.01 по защите докторских и кандидатских диссертаций, кандидат физико - математических наук C.B. Попенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валнрон, Д. Полна и другие.

В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающей; порядок и тин целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М.Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).

Пусть {р„} - возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию

00 .

£-<00. (!)

«=1 р"

В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция

/(*) = £>*" (2)

Г4—О

имеет лакуны Фейера, если последовательность 5(/) = {п : сТ1 0 (н > 1)} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (2) есть лакуиарный степенной ряд вида

/(2) = со + £ а„г" (а,, = с?,„ ф 0). (3)

п--=1

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [5]. Этот интересный факт и другие соображения наводят на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см., н-р, (6|). Отметим, что условие (1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (3). в самом общем случае, то есть без никакого ограничения на рост. Если рассматриваются целые функции (3) с ограничением на рост, например, целые функции конечного порядка, условие (1) заменяется на более слабое, зависящее от поведения величины (см., н-р, |7|)

ь(г) - Е

Р»<гРп

В случае, когда областью сходимости ряда (3) является единичный круг, асимптотические свойства суммы ряда зависят от функции [8]

В данной ситуации, в отличие от предыдущего случая, никаких ограничений на рост функции (3) сверху вблизи единичной окружности не требуется (достаточно, чтобы максимум модуля вблизи границы имел достаточно быстрый рост).

Обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями.

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятием Д-порядка, введенного Ж.Риттом. Он же выразил эту величину через коэффициенты ряда Дирихле [9j.

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е.Дагене [10], В.Бойчук [11], К. Нандан [12], [13], Ю. Шиа-Юн [14].

В 1966 году М.Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [15]. Позже в терминах Я-иорядка рост рядов Дирихле в полуполосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [16]-[18], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [19],

В работах М.Н. Шереметы исследовалось поведение целых функций, представленных лакунарными степенными рядами (рядами Дирихле) в угле (соответственно, в полосе), рост которых ограничивался сверху некоторой положительной возрастающей выпуклой функцией [21], [22].

Естественно возникает задача об изучении асимптотики степенных рядов или рядов Дирихле в зависимости от роста на менее массивных континуумах, например, на лучах или на кривых, „примыкающих" к границе области сходимости. Впервые такая задача для рядов (3), а также двойственная задача для рядов с вещественными коэффициентами, представляющих целые функции, была поставлена Полиа в [23].

Для целых функций произвольного роста обе задачи полностью решены в [6], [24]. В классе целых функций вида (3) конечного порядка (нижнего порядка) роста указанные задачи рассматривались и были решены в работах

Отметим, что соответствующие задачи для аналитических функций, представленных рядами (3), сходящимися лишь в единичном круге, изучались в

[20].

[25], 126].

В настоящей диссертации изучаются целые функции, представленные рядами Дирихле, абсолютно сходящимися во всей плоскости, рост которых в том или ином смысле ограничен некоторой выпуклой функцией. Для каждого такого класса целых функций указаны оптимальные условия, при которых верны точные асимптотические оценки для суммы ряда Дирихле на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность. Здесь получены соответствующие результаты и для рядов Дирихле с вещественными коэффициентами.

Доказанные в диссертации теоремы обобщают и усиливают соответствующие результаты Полна [23], Шереметы М.Н. [28], Гайсина A.M. ¡26], (29], Ла-тыпова И.Д. [25], а также Макинтайра [30] и Евграфова М.А. [31].

Цель работы. Доказать аналог теоремы Макинтайра из {30]. Для двойственной пары классов абсолютно сходящихся во всей плоскости рядов Дирихле, определяемых некоторой выпуклой мажорантой роста, найти условия на последовательность показателей, при выполнении которых будут справедливы точные оценки их роста и убывания на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность. Получить асимптотические оценки для рядов Дирихле с вещественными коэффициентами из тех же классов.

Научная новизна. Все основные результаты настоящей работы новые.

Получены следующие результаты:

— доказан аналог теоремы Макинтайра для рядов Дирихле и тем самым получено уточнение теоремы единственности М.А. Евграфова;

— получен критерий устойчивости логарифма максимального члена рядов Дирихле, абсолютно сходящихся во всей плоскости и имеющих выпуклую мажоранту роста;

— для рядов Дирихле заданного роста установлены точные оценки их роста и убывания на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность;

— получены точные асимптотические оценки для рядов Дирихле с выпуклой мажорантой роста на луче, имеющих только вещественные коэффициенты.

Методика исследования. Использованы методы теории рядов экспонент, разработанные А.Ф. Леонтьевым (применяется интерполирующая функция, формулы для коэффициентов) и развитые в работах A.M. Гайсина, а также методы комплексного анализа, теории целых функций. Наряду с ними в работе систематически используются доказанные в диссертации различные модификации теоремы Вореля-Неванлинны из [32].

Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации

носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и разработанная в ней методика могут быть полезны как в теории целых функций, рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких, как теория аппроксимации в комплексной области, теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка, спектральная теория. Они могут быть использованы специалистами, работающими в Математическом институте имени В.А. Стек-лова РАН, Учреждении Российской академии наук Институт математики с Вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, Санкт - Петербургском отделении Математического института имени В.А. Стеклова РАН, Московском, Южнороссийском Федеральном, Саратовском, Львовском, Башкирском, Сыктывкарском, Нижегородском госуниверситетах а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах Учреждения Российской академии наук Институт математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН; на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Башкирского госуниверситета; на Региональных школах-конференциях для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (Уфа, 2005-2007 гг.); на Международной уфимской зимней школе-конференции по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, 2005 г.); на XLIV Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2006 г.); на Международной конференции по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Якты-Куль, 2006 г.); на Уфимской международной конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (Уфа, 2007 г.); па Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ посвященной 75-летию академика A.M. Ильина. (Якты-Куль, 2007 г.); на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, Краснодарский край, 2008 г.); на Международной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(Якты-Куль, 2008 г.); на Международной научной конференции, посвященной 100-летию известного математика и педагога H.A. Фролова (г. Сыктывкар, 2009 г.); на Международной конференции "Sixth Advanced Course in Operator Theory and Complex Analysis" (Испания, г. Севилья, 2009 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов, списка литературы. Объем диссертации составляет 103 страницы. Библиография - 48 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор известных результатов, формулируются задачи диссертации и приводятся основные результаты.

Глава I состоит из двух параграфов. В §1.1 главы I доказан аналог известной теоремы Макинтайра, уточняющий и дополняющий теорему единственности М.А. Евграфова для рядов Дирихле. Далее в работе исследуются асимптотические свойства абсолютно сходящихся во всей плоскости рядов Дирихле, имеющих выпуклую мажоранту всюду или хотя бы на некоторой неограниченной последовательности точек. В §1.2 главы I получен критерий эквивалентности логарифмов максимальных членов двух рядов Дирихле с одинаковыми показателями из каждого класса .

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел,

= (4)

n=l

— целая трансцендентная функция. Через p(¿) обозначим считающую функцию последовательности {pn}: p(t) = £ 1. Полна в [23] показал, что если

pn<t

плотность А = lim ^ последовательности {р„} равна нулю, то в каждом угле {г : | arg z\ < е} (е > 0) целая функция (4) имеет тот же порядок, что и во всей плоскости. Этот результат дал толчок многочисленным исследованиям, что привело к новым задачам. В частности, возникла интересная задача о возможности перехода от угла {z : | arg z\ < г} (е > 0) к лучу {z : arg z — 0}. Макинтайр показал, что при условии

оо .

£_<оо (5)

n=1 Fn

любая целая функция /, заданная рядом (4), не ограничена на положительном луче R+ [30]. В той же работе показано, что для любой последовательности {р„}, для которой

оо

> — = 00.

существует целая функция / вида (4), ограниченная на R+. Тем самым, было доказано, что условие (5) является необходимым и достаточным для того, чтобы любая целая функция /, представленная рядом (4), не была ограничена на положительном луче.

Дальнейшее развитие данная задача получила в работе М.А. Евграфова [31], где рассматриваются аналогичные задачи для рядов Дирихле

оо

Я5) = ^о„еЛ»3, 0 < Ля Т оо (« = & + »*), (6)

абсолютно сходящихся во всей плоскости.

М.А. Евграфовым доказаны следующие утверждения.

Теорема А [31]. Если

^ 1

Ьг<00' ^

п=1 А"

и сумма /•' ряда (6) ограничена на И, то Р(г) = 0.

Пусть к(г) — непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям

,. гН'М

^ -Г-+». Ьт-^-1. (8)

Г-

ТеоремаВ {31]. Если последовательность {А„} помимо условия

где п(г) — число точек А„ < г, то есть п(г) = 1, удовлетворяет усло-

Л«<г

вию

1 <00, Ц^ПО-СЬ (Ю)

п=1 \ п'

lim iln n—cc n

h\\n)

то существует ряд Дирихле (6), сумма F которого ограничена на R, но FjäO.

Таким образом, мы видим, что условие (7) является достаточным, но теорема В еще не гарантирует, чтобы данное условие было и необходимым для неограниченности любой функции F вида (б) на вещественной оси. Условия (8)—(10) являются весьма сильными требованиями, значительно сужающими область применения теоремы В.

В §1.1 главы I доказано, что если D - lim < оо, 6 ~ lim 4- In ттггч <

П—>00 П-<00 " I и Ип) |

оо, то утверждение теоремы В верно при выполнении единственного условия

(7).

Справедлива

Теорема 1.1. Для любой последовательности Л = {А,,}, имеющей конечную верхнюю плотность D и конечный индекс конденсации ö и такой, что

А 1

Ьг"00'

ц-1 Лп

существует ряд Дирихле (6), сумма которого Р ограничена на вещественной оси, ноР^О.

Введем необходимые обозначения и определим классы рядов Дирихле, изучению асимптотических свойств которых посвящена диссертационная работа.

Пусть Л = {Ап} (0 < А„ Т оо) — последовательность, удовлетворяющая условию

7:— Inn ,

lim -—— = а < оо. (11)

n->oo in Ап

Обозначим D(A) класс всех функций F, представимых во всей плоскости рядами Дирихле

F(s) = ^2anex"a (s = cr + it). (12)

n=l

Из условия (11) следует, что

lim — = 0.

п->оо Л„

Так что ряд (12) сходится во всей плоскости абсолютно, а его сумма F — целая функция (33]. Через L обозначим класс всех непрерывных и неограниченно возрастающих на R+ = [0, оо) положительных функций. Пусть Ф — выпуклая функция из L,

Dm{ Ф) = {Fe D(A): In М(ст) < Ф(т<т)} (т > 1),

£т(Ф) = {F е £»(А): Цап}: 0 < Ы Т со, 1пМ(сгп) < Ф(гаап)}, (т> 1), где М(а) = sup |F(<r + г£)|. Положим

|t|<oo

00 00

0(Ф) = и ад), Д(Ф) = и £т(Ф).

т=1 ш=1

Наряду с рядом (12) рассмотрим измененный ряд Дирихле

F6»=£oAe4 (13)

4=1

где Ь = {6П} — последовательность комплексных чисел Ьп (Ьп Ф 01фи n > N), удовлетворяющая условию

1ш№11<оо. (14)

n->00 An

Тогда ряд (13) также абсолютно сходится во всей плоскости, а F6* — целая функция.

Пусть Е С [0, со) — измеримое по Лебегу множество. Верхней ОЕ и нижней ¿Е плотностями множества Е называются величины

»-><» а <f_.cc а

В дальнейшем считаем, что все исключительные множества Е С [0, оо), вне которых будут получены асимптотические оценки, представляют собой объединения отрезков вида [ап,а'„], где

О < 01 < а'^ < аг < а^ < ... < а„ < а'п < ... .

Пусть Ф — функция, введенная выше, а <р — функция, обратная к функции

Ф.

Рассмотрим класс функций

Щр) = {ш € Ь : < ы(х), Шп = О,

х-оах(р(х)

Х-.00 <р(х) J t2

Заметим, что для любого <р € L функция iu(z) = принадлежит классу ^ = L : ^ < »(.), lim J:*fdt.О j ..

Если

lim ^Vf < оо, (15)

г-оо

то проверяется, что W(^j) с Щ<р).

Всюду далее предполагается, что функция Ф € L такова, что для ее обратной функции <р выполняется (15).

Будем говорить, что последовательность {Ьп} (Ъп ф 0 при п > N) W(ip)~ пормальна, если найдется функция в € L, такая, что

Через ц(а) и ßl{cf) обозначим максимальные члены рядов (12) и (13) соответственно, то есть

ц{а) = max {|а„| ех"а) , /х» = max {|ап| \Ьп\ еА""} . В работе [6] доказана следующая

Теорема D. Для того, чтобы для любой функции F 6 D{Л) при а —> оо вне некоторого множества Е С [0, оо) конечной лебеговой меры имело место асимптотическое равенство

1М<7) = (1+0(1)) lntf(<T),

необходимо и достаточно, чтобы существовала функция w € W, такая, что

ММ| <-ш(Ап) (n>N).

Здесь W = jw е L : / ^ da; < оо

В [34] аналогичная теорема доказана для рядов Дирихле конечного.R-порядка. В §1.2 главы I соответствующие результаты получены для более широких классов функций — D(Ф) и 0(Ф) (теоремы 1.2 и 1.3).

Теорема 1.2. Пусть {Ь„} — последовательность комплексных чисел (Ьп т^ 0,n > N), удовлетворяющая условию (14).

Для того, чтобы для любой функции F € £>(Ф) при а —» оо е^е некоторого множества Е С [0, оо) нулевой нижней плотности было справедливо асимптотическое равенство

ln/i(ff) = (l-fo(l)) In/4(ст), (16)

достаточно, а для W(ip)~ нормальной последовательности {Ьп} и необходимо, чтобы существовала функция w 6 Wfa), такая, что

|ln|i„|| < ui[Xn) (n>N). (17)

Теорема 1.3. Пусть {Ьп} — последовательность комплексных чисел (Ьп т^ 0, п> N), удовлетворяющая условию (14).

Для того, чтобы для любой функции F € ¿2(Ф) при а —> оо вне некоторого множества Е С [О, оо) нулевой нижней плотности было справедливо асимптотическое равенство (16), необходимо и достаточно, чтобы при некоторой w € W(y>) для последовательности {6„} выполнялось условие (17).

В качестве функции Ф можно рассматривать, например, функцию Ф(сг) = expexp.. . exp(g) (k > 1). Тогда при А; = 1 имеем -О(Ф) = D(Л,R), где

D(A, R) — подкласс D(A), состоящий из функций F, имеющих конечный порядок Pn(F) по Ритту:

pR(F) = Ito М(а) - sup \F(a + it)\.

Таким образом, видим, что теоремы 1.2 и 1,3 обобщают соответствующие результаты Латьшова И.Д. из [25].

В главе II изучается поведение рядов Дирихле заданного роста на кривых, определенным образом уходящих в бесконечность.

Пусть ряд Дирихле

£о ПеЛп' (0<А„Т°о) (18)

абсолютно сходится во всей плоскости. М.Н. Шереметой в [28] показано, что если для последовательности Л = {А„} выполняются условия Д = О (Д — плотность)

и An+i — An > h > 0 (п > 1), то R-порядок функции F на положительном луче М+ = [0, оо) равен Я-порядку рц функции F во всей плоскости. Более общий результат доказан А.М. Гайсиным в [35], где, в частности, показано, что если Д = 0 и индекс конденсации <5 последовательности Л равен нулю, то рд = р7, где

ру = lim-—— (а = Re $)

«Е7 (Г

s-> оо

— порядок по Ритту на кривой 7, уходящей в бесконечность так, что если s & 7 и s —» оо, то Re s —♦ +оо.

Наиболее общий, но результат несколько иного характера установлен в статье [36]. Для того, чтобы сформулировать его, введем соответствующие обозначения и определения.

Пусть Г = {7} — семейство всех кривых, уходящих в бесконечность так, что если s € 7 и s —+ <», то fíes —► +00.

Для F £ D(A), 7 е Г положим

Последовательность {&„} (Ьп ф 0 при п> N) называется W — нормальной, если найдется функция в £ L, такая, что [36]

lim Г- Í G-lTdt = - Ь W * 0(Л») (" *

1-00 Ina: J t¿

В [36J доказана

Теорема Е. Пусть последовательность Л умеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {<5'(А„)} W-нормальна. Для того, чтобы, для любой функции F & D(A, R) имело место равенство d(F) = 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Еаa¿Ef = a (20)

Здесь

= (0 < An Too).

n=f \ Лч/

n=l

Пусть целая функция / имеет конечный порядок и представима в виде

ОС

/(*) = £>** (fc6N).

П=1

Если последовательность {рп} имеет плотность Л = 0, го d(f) — 1 (d(f)

— аналог величины d(F), который определяется по всевозможным кривым, произвольным образом уходящим в бесконечность). Этот факт впервые был установлен Полна в [23]. Заметим, что равенство d(f) = 1 вытекает из более общей теоремы Е. Действительно, если / — целая функция конечного порядка, то полагая z = es, замечаем, что

П=1

— целая функция конечного Д-иорядка. Следовательно, согласно теореме Е d(f) = d(F).

Однако, из того, что d(F) = 1, вообще говоря, не следует выполнение равенства pn{F) = р^ для порядков по Ритту функции F во всей плоскости и на кривой 7 € Г. Оказывается, если в теореме F условие (20) заменить на более сильное требование

lim -i- У -1 = 0, (21)

»-00 Ins А„

Лп<х

то ßn{F) = р7 для любой функции F € D(A, Я).

В главе II приведено обоснование этого факта. Также доказаны аналоги теоремы Е для более общих классов рядов Дирихле (D(<5>) и О(Ф)). В §2.1 доказаны теоремы 2.1 и 2.2 (они соответствуют классу D(Ф)), а в §2.2 — теоремы 2.3, 2.4 (они соответствуют классу ¿2(Ф)). Сформулируем основные результаты главы II.

Теорема 2.1. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Если выполняется условие

1®4т£г = 0' (22>

I-.CO <р(х) An

то для любой функции

F е £>(Ф) и любого ß (0 < ß < существует множество Ер, dEß = 0, такое, что справедлива оценка

lim < 2ß + (1 - 2ß)d{F-, 7), (23)

дм ln/i((r)

где eg = [0, оо) \ Eg, 7 — любая кривая из семейства Г, a — вели-

чина, определенная формулой (19).

Следствие. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Если выполняется условие (22), то для любой целой функции F 6 £>(Ф) справедливы оценки 0 < d{F) < 1, где d(F) ~ inf d(F¡7).

Теорема 2.2. Пусть последовательность А имеет конечную верхнюю •плотность. Предположим, что последовательность {Q'(An)} W(ip)- нормальна.

Для того, чтобы для любой функции F € D(Ф) в«полмялосг> равенство d(F) — 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (22). Приведем аналогичные результаты относительно класса О(Ф). Теорема 2.3. Пусть последовательность A luteem конечную верхнюю плотность. Если выполняется условие

lim -TT £ Т- = <24)

I-.00 ф) ^ \п

то для любой функции F € Г>(Ф) и любого ß (0 < ß < |) существует множество Ер нулевой нижней плотности, такое, что справедлива оценка

Щ'Ш-^^1-20^' (25)

(Г-.00 v '

где ер = [0,оо) \ Ер, 7 — любая кривая из семейства Г, a d(F; 7) — величина, определенная формулой (19).

Теорема 2.4. Пусть последовательность Л имеет конечную верхнюю плотность. Предположим, что последовательность {Q'(An)} W(<p)- нормальна,

Для того, чтобы для любой функции F 6 0(Ф) выполнялось равенство d(F) — 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (24).

Замечание. Условиям теорем 2.1-2.4, например, удовлетворяет функция Ф(а) = ехрехр...exp(а) (k > 1) . Следовательно, теоремы 2.1-2.4, в част--к

ности, содержат результаты из [25], доказанные для случая fc = 1.

Следствие. Пусть для последовательности А выполняется условие (24), а последовательность {Q'(^n)} W(<¿>) - нормальна. Если F € £(Ф), то для любого е > 0 при всех а > сто(е) верна оценка:

\ар{о) < (1 + е)ln|F(s*)| (ff = Res), (26)

где s* — некоторая точка кривой 7, обладающая свойством: \Res*—a\ < еа.

Пусть F € £>(Ф). Тогда F е D(A,R) для Ф(ст) = ест. Если выполняется условие (24) (в этом случае <р(х) = Ina;), а последовательность {<3'(А„)} W(ip)- нормальна, то из (26) получаем, что Pr(F) = р1 (7 6 Г).

Таким образом, в теоремах 2.1-2.4 и вытекающих из них следствиях получены обобщения результатов из [25], [35].

В главе III изучаются ряды Дирихле с вещественными коэффициентами, имеющие выпуклую мажоранту роста. Пусть

ой

/(*) = £>** (z = x + iy) (27)

*=о

—целая трансцендентная функция с вещественными коэффициентами, а {рп} (n > 1) — последовательность перемен знаков коэффициентов (по определению рп = min {к : а^сц < 0}, где р0 = min {/с : а^ ф 0}). Через p{t)

обозначим считающую функцию последовательности {pn}: p(i) = £ 1.

В [37] показано, что если функция (27) имеет' конечный порядок р и плотность Д последовательности {рп} равна нулю, то

П5 M^fUl, M/(r) = max|/(z)| (г > 0). (28)

Отметим, что эта задача восходит к известной работе Полиа [23]. В [38] доказано, что при Д = 0 равенство (28) верно и для функций конечного нижнего порядка.

В [26] получены более общие результаты. Сформулируем их. Пусть Ф (Ф 6 L) — выпуклая функция, удовлетворяющая условию (15). Через А{<р) и А{<-р) будем обозначать классы положительных, неубывающих на R+ функций а = a(t), a{t) = o(tip(t)) при t —» оо, таких, что соответственно

r-«xp(r)J t2 r-c*><p(r)J t2

X 1

Подклассы A(ip) и A(ip), состоящие из функций а е L, таких, что a(t) > \ft, очевидно, совпадают с W{<p) и W(tp) соответственно. Подклассы множеств А(<р) и А(<р), соответствующие функции ip(t) = In i, будем обозначать А+ и

А~.

Пусть Л = {А„} (0 < А„ | оо) — последовательность, удовлетворяющая следующим условиям:

1) sup(A(t + 1) — A(t)) < оо (условие несгущаемости); (29)

2) In(A„+i - А„) > -a(An) (n > 1), где а - некоторая функция из W(tp), a(t) = 0(t) при i —» оо, A(i) = £ 1 (условие несближаемости).

An<t

Через R(A) обозначим класс всех целых функций F, прсдставимых абсолютно сходящимися во всей плоскости рядами Дирихле

оа

F(s) = (s = v + ü), (30)

n= 1

все коэффициенты которых й„ вещественны.

Пусть fin — где {р„} — последовательность перемен знаков коэффициентов ряда (30), l{t) = 2 1.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема F [26]. Дач того, чтобы для любой функции F € Я(Л) конечного R-порядка при а —* оо eue некоторого множества Е с [0, оо) нулевой нижней плотности выполнялось асимптотическое равенство

1пМ(ст)=(1 + о(1))1п|^(<7)1, (31)

необходимо и достаточно, чтобы I € А~.

Из теоремы вытекает следствие для функций, заданных степенными рядами (27) (в этом случае \Pk = pit).

Следствие. Для того, чтобы для любой целой функции /(г) конечного порядка, заданной рядом (27), при г —* оо вне некоторого множества Е с [0, со) нулевой логарифмической платности выполнялось асимптотическое равенство

\nMfir) = (1 + о(1)) 1п|/(г)|, (32)

необходимо и достаточно, чтобы р £ А~.

Аналогичные результаты справедливы и для функций F € Й(А) конечного нижнего Д-порядка.

Таким образом, в [26] получены неулучшаемые результаты для функций F € Д(А) конечного R-порядка (конечного нижнего Д-порядка).

В главе III аналогичные результаты доказаны для рядов Дирихле с вещественными коэффициентами из классов £>(Ф) и Д(Ф). Их удобнее сформулировать в терминах А(<р) и Л(<р) (вместо W(y) и Wjip)). Положим Л(Ф) = Й(А) П 0(Ф), Д(Ф) = Д(А) П £(Ф). Предполагается выполнение следующего условия на последовательность {рп}: существует в € A{ip), что

JlMpàdt<e(xn) (n>i), (33)

где l{t\ An) — число точек ßj из отрезка {h : |/i - An| < i}. Отметим, что в случае ip(x) — lnx, условие (33) выполняется автоматически (это показано в [26]).

Справедливы

Теорема 3.1. Пусть выполняется условие (83).

Для того, чтобы для любой функции F € Д(Ф) при а —юо вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой нижней плотности выполняюсь асимптотическое равенство (31), необходимо и достаточно, чтобы I € А(<р). Теорема 3.2. Пусть выполняется условие (33). Для того, чтобы для любой функции F € Д(Ф) при а —► оо вне некоторого множества Е С [0, оо) нулевой нижней плотности выполнялось асимптотическое равенство (31), необходимо и достаточно, чтобы I £ А(<р). Если взять Ф(ст) = ехрехр...exp(cr) (k > 1), то при к — 1 классы Я(Ф)

4 " ■ v *

и Я(Ф) состоят из рядов Дирихле конечного и, соответственно, конечного нижнего порядка по Ритту. Поэтому все приведенные выше результаты из [23]. [26], [37], [38] являются следствиями из теорем 3.1 и 3.2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hadamard J. Essai sur l'etude des fonctions donnees par leur développement de Taylor// J. Math, pures et appl. 1892. V. 8. P. 154 - 186.

2. Fufiwara M. On the relation between M(r) and coefficients of a power series// Proc. Imp. Acad. Japan. 1932. V. 8, К» 6. P. 220 - 223.

3. Говоров H.B. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения// Труды Новочеркасск, политеха, ин-та. 1959. Т. 100. С. 101 - 115.

4. Мак-Jleün Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.'.Мир, 1966. - 104С.

5. Fejér L. Über die Wurzel vorm Kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung//Math. Annalen. 1908. P. 413-423

6. Гайсин A. M. Оценка роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых. // Матем. сб. 2003. Т. 194. № 8. С. 55 - 82.

7. Skaskiv O.B. On the Pôlya conjecture conserning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series//Anal. Math. 1990. V. 16. №2. P. 143-157

8. Гайсин A. M. Поведение логарифма модуля суммы ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 53. № 4. С. 173- 185.

9. Ritt J.F. On certain points in the theory of Dirichlet series// Amer. Math. J. 1928. V. 50, P. 73 - 83.

10. Дагене Е.Я. О центральном показателе ряда Дирихле// Литовский мат. сб. 1968. Т. 8, № 3. С. 504 - 521.

11. Бойчук B.C. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле// Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. С. 238 - 240.

12. Nandan К. On the maximum terms a maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series// Ann. Polon. Math. 1973. V. 28. P. 213 -222.

13. Nandan K. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series// Rev. roum. math, pures et appl. 1976. V. 21, № 10. P. 1361 - 1368.

14. Yu-Chia-Yung. Sur la croissance et la repartition se Dirichlet qyi ne convergent que dans un demi-plan// Comptus rendus Acad. Sei. 1979. AB288, № 19. A891 - A893. .

15. Галь Ю.М., Шеремета М.Н. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле// ДАН УССР. Сер. А, 1978. № 12, С. 1065 - 1067.

16. Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе// Матем. сб. 1982. Т. 117 (159), № 3. С. 412 - 424.

17. Гайсин A.M. О росте суммы ряда Дирихле на луче// Линейные операторы в комплексном анализе. Ростов-на-Дону.: Изд-во Ростовского университета. 1994. С. 27 - 34.

18. Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче// Исследования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20- 29.

19. Скаскив О.Б., Сорокивский В.М. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций, представленных рядами Дирихле// Укр. мат. ж: 1990. Т. 42, № 3. С. 363 - 371.

20. Сорокивский В.М. О росте аналитических функций, представленных рядами Дирихле// Укр. мат. ж. 1984. Т. 36, № 4. С. 524 - 528.

21. Шеремета М.Н. Рост в углу целых функций, заданных лакунарными степенными рядами// Доклады АН СССР. 1977. Т. 236, № 3. С. 556 -560.

22. Шеремета М.Н. Рост в полосе целых функций, представленных рядами Дирихле// Изв. АН СССР. Серия математическая. 1981. Т. 45,' № 3. С. 674 - 687.

23. Pölya. G. Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzreihen// Math. z. 1929. V. 29. P. 549 - 640.

24. Гайсин A.M. Решение проблемы Пойа// Матем. сб. 2002. Т. 193,.№ 6. С. 39 - 60.

25. Латытюв И.Д. Асимптотическое поведение целых функций, представленных рядами Дирихле// Дисс.... канд. физ.-мат. наук. Уфа: Башкирский госуниверситет, 2004 - 106 с.

26. Гайсин А. М. К одной теореме Пойа о целых функциях с вещественными коэффициентами Тейлора// Сиб. мат. журн. Т. 38, №1. 1997. С. 46-55.

27. Белоус Т. И. Асимптотические свойства рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости/'/ Дисс.... канд. физ.-мат. наук. Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет, 2004 - 103 с.

28. Шеремета M. H. О росте на действительной оси целой функции, представленной рядом Дирихле// Матем. заметки. 1983. Т. 33, выи. 2. С. 235-245.

29. Гайсин А. М. Об одной гипотезе Полиа // Изв. РАН Сер.матем. 1994. Т. 58. № 2. С. 73 - 92.

30. Macintyre A. J. Asymptotic paths of integral functions with gap power series // Proc. London Math. Soc. - 1952. - V. 2. - № 3. - P. 286-296.

31. ЕвграфовМ. А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле// Успехи мат. наук. - 1962. - T. XVII. - вып. 3. - С. 169-175.

32. Голъдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморф-ных функций. М.: Наука, 1970. - 592 С.

33. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.:Наука, 1976. - 536 С.

34. Гайсин А. М., Латыпов И. Д. Асимптотика логарифма максимального члена изменненого ряда Дирихле// Известия вузов. Математика. 2002. Jf« 9 (484). С. 15-24.

35. Гайсин А. М. Поведение суммы ряда Дирихле заданного роста // Матем. заметки. 1991. Т. 50. вып. 8. С. 47 - 56.

36. Гайсин А. М., Латыпов И. Д. Асимптотическое поведение суммы ряда Дирихле заданного роста на кривых// Мат. заметки.-2005.-Т. 78,- №1.-С. 37-51.

37. Шеремета М.Н. Об одной теореме Полиа// Укр. мат. журн. Т. 35, №1. 1983.Ç. 119-124.

38. Шеремета М.Н. О целых функциях с вещественными тейлоровскими коэффициентами// Укр. мат. журн. Т. 37, №6. 1985. С. 786-787.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Юсупова H.H. Теорема типа Вореля-Неванлинны // V Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Тезисы докладов. - Уфа: РИО БашГУ, 2005. С. 22.

2. Юсупова H.H. Оценка роста монотонной функции сверху// Международная уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов: Математика. Том III. - Уфа: РИО БашГУ, 2005. С. 309-315.

3. Юсупова H.H. Теорема типа Бореля-Неванлинны для функции заданного роста //Материалы XLIV Международной йаучной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс": Математика/ Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2006. С. 32.

4. Юсупова H.H. Устойчивость логарифма максимального члена ряда Дирихле// Современные информационные и компьютерные технологии в инженерно-научных исследованиях. Научно-исследовательская стажировка молодых ученых. Сборник материалов. Том I. Математика. 4.2. Научные статьи. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006.С. 196-207.

5. Юсупова H.H. Устойчивость логарифма максимального члена ряда Дирихле заданного роста //VI Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике: Сборник трудов. Том II. Математика- Уфа: РИО БашГУ, 2006. С. 190-202.

6. Юсупова H.H. Поведение рядов Дирихле заданного роста на кривых// Вестник УГАТУ. 2007. Т.9, №3 (23). С. 40-45.

7. Юсупова H.H. Оценка ряда экспонент на кривых //Уфимская международная математическая конференция: материалы Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева. Т. 3. Уфа: ИМВЦ, 2007. С. 43.

8. Гайсин A.M., Юсупова H.H. Обобщение теоремы Полиа о целых функциях с вещественными коэффициентами// Международная школа-семинар но геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Труды участников. Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2008. С.102-104.

9. Юсупова H.H. Теоремы единственности для рядов Дирихле с лакунами Фейера //Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Вып.1. Уфа, 2008. С. 216-223

10. Гайсин A.M., Юсупова H.H. О теоремах единственности для рядов Дирихле//Материалы международной конференции, посвященной 100-летию H.A. Фролова. Сыктывкар: Изд-во СыктГУ. 2009. С. 96-100

11. Юсупова H.H. Оценка рядов Дирихле с выпуклой мажорантой роста на кривых//' Изв. вузов. Математика. 2009. №5. С. 45-55.

12. Гайсин A.M., Юсупова H.H. Поведение суммы ряда Дирихле с заданной мажорантой роста// Уфимский матем. журн. Т. 1. №2. 2009. С.17-28.

Юсупова Наркес Нурмухаметовна

АСИМПТОТИКА РЯДОВ ДИРИХЛЕ ЗАДАННОГО РОСТА

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 20.10.2009 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,39. Уч.-изд. л. 1,58. Тираж 100 экз. Заказ 697.

Редащионно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. ЗакиВалиди, 32.

Отпечатано на множительном участке Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. ЗакиВалиди, 32.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Юсупова, Наркес Нурмухаметовна

Введение

§0.1 Предварительные сведения.

§0.2 Обзор результатов и постановка задач.

§0.3 Основные результаты диссертации.

§ 0.4 Вспомогательные факты.

Глава I. Подготовительные теоремы о рядах Дирихле специального вида

§1.1 Дополнение к теореме единственности М.А. Евграфова

§1.2 Устойчивость логарифма максимального члена ряда

Дирихле.

Глава II. Поведение рядов Дирихле заданного роста на кривых

§2.1 Оценка рядов Дирихле с выпуклой мажорантой роста на кривых.

§ 2.2 Асимптотика на кривых ряда Дирихле с выпуклой мажорантой на последовательности точек

Глава III. Ряды Дирихле с вещественными коэффициентами, имеющие выпуклую мажоранту роста

§3.1 Обобщение теоремы Полиа о целых функциях с вещественными коэффициентами.

Введение диссертация по математике, на тему "Асимптотика рядов Дирихле заданного роста"

§0.1. Предварительные сведения

Важное значение в теории функций, дифференциальных уравнениях, теории чисел и других разделах анализа имеет изучение асимптотических свойств целых или аналитических в некоторых областях функций. Огромный вклад в развитие данного направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Полиа и другие.

В 1882 году Ж. Адамар вывел формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций была решена М.Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см. [4]).

Пусть {рп} — возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющих условию

В этом случае говорят, что последовательность {рп} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция п=о имеет лакуны Фейера, если последовательность S(f) = {п : сп Ф 0 (п > 1)} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (2)

1) оо

2) есть лакунарный степенной ряд вида оо оо = со+anzU = срп ^ (з) п=1

Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [5]. Этот интересный факт и другие соображения наводят на мысль о наличии у целых функций /, заданных рядами (3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см., н-р, [6]). Отметим, что условие (1) естественно появляется в случае, когда изучаются целые функции вида (3) в самом общем случае, то есть без никакого ограничения па рост. Если рассматриваются целые функции (3) с ограничением на рост, например, целые функции конечного порядка, условие (1) заменяется на более слабое, зависящее от поведения величины

В данной ситуации, в отличие от предыдущего случая, никаких ограничений на рост функции (3) сверху вблизи единичсм., и-р, [7]) иой окружности не требуется (достаточно, чтобы максимум модуля вблизи границы имел достаточно быстрый рост).

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятием /^-порядка, введенного Ж.Риттом. Он же выразил эти величины через коэффициенты ряда Дирихле [9].

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е.Дагене [10], В.Бойчук [И], К. Нандан [12], [13], Ю. Шиа-Юн [14].

В 1966 году М.Н. Шереметой было введено понятие обобщенного порядка для изучения роста целых или аналитических в круге функций. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [15]. Позже в терминах Л-порядка рост рядов Дирихле в полуполосах и на луче вблизи прямой сходимости в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [16]-[18], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [19], [20].

В работах М.Н. Шереметы исследовалось поведение целых функций, представленных лакунарными степенными рядами рядами Дирихле) в угле (соответственно, в полосе), рост которых ограничивался сверху некоторой положительной возрастающей выпуклой функцией [21], [22].

Отметим, что соответствующие задачи для аналитических функций, представленных рядами (3), сходящимися лишь в единичном круге, изучались в [27].

Доказанные в диссертации теоремы обобщают и усиливают соответствующие результаты Полиа [23], Шереметы М.Н. [28], Гайсина A.M. [26], [29], Лагыпова И.Д. [25], а также Ма-кинтайра [30] и Евграфова М.А. [31].

Все результаты диссертации получены под непосредственным руководством A.M. Гайсина, которому выражаю глубокую признательность.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Юсупова, Наркес Нурмухаметовна, Уфа

1. Hadamard J. Essai sur l'etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor// J. Math, pures et appl. 1892. V. 8. P. 154 - 186.

2. Fujiwara M. On the relation between M(r) and coefficients of a power series// Proc. Imp. Acad. Japan. 1932. V. 8, № 6. P. 220 223.

3. Говоров H.B. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения// Труды Новочеркасск, политехи, ин-та. 1959. Т. 100. С. 101 115.

4. Мак-Лейи Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.:Мир, 1966. 104С.

5. Fejer L. Uber die Wurzel vorm Kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung//Math. Annalen. 1908. P. 413-423

6. Гайсин A. M. Оценка роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых. // Матем. сб. 2003. Т. 194. № 8. С. 55 82.

7. Skaskiv О.В. On the Polya conjecture conserning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series//Anal. Math. 1990. V. 16. №2. P. 143-157

8. Гайсин А. М. Поведение логарифма модуля суммы ряда • Дирихле, сходящегося в полуплоскости // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 53. № 4. С. 173 185.

9. Ritt J.F. On certain points in the theory of Dirichlet series// Amer. Math. J. 1928. V. 50. P. 73 83.

10. Дагене Е.Я. О центральном показателе ряда Дирихле// Литовский мат. сб. 1968. Т. 8, № 3. С. 504 521.

11. Бойчук B.C. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле// Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. С. 238 240.

12. Nandan К. On the maximum terms a maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series// Ann. Polon. Math. 1973. V. 28. P. 213 222.

13. Nandan K. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series// Rev. roum. math, pures et appl. 1976. V. 21, № 10. P. 1361 1368.

14. Yu-Chia- Yung. Sur la croissance et la repartition se Dirichlet qyi ne convergent que dans un demi-plan// Comptus rendus Acad. Sci. 1979. AB288, № 19. A891 A893.

15. Галь Ю.М., Шеремета M.H. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле// ДАН УССР. Сер. А, 1978. № 12. С. 1065 1067.

16. Гайсип A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуиолосе// Матем. сб. 1982. Т. 117 (159), №3. С. 412 -424.

17. Гайсин A.M. О росте суммы ряда Дирихле на луче// Линейные операторы в комплексном анализе. Ростов-на-Дону.: Изд-во Ростовского университета. 1994. С. 27 34.

18. Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче// Исследования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20 29.

19. Скаскив О.В., Сорокивский В.М. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций, представленных рядами Дирихле//Укр. мат. ж. 1990. Т. 42, № 3. С. 363 -371.

20. Сорокивский В.М. О росте аналитических функций, представленных рядами Дирихле// Укр. мат. ж. 1984. Т. 36, № 4. С. 524 528.

21. Шеремета М.Н. Рост в углу целых функций, заданных лакунарными степенными рядами// Доклады АН СССР. 1977. Т. 236, № 3. С. 556 560.

22. Шеремета М.Н. Рост в полосе целых функций, представленных рядами Дирихле// Изв. АН СССР. Серия математическая. 1981. Т. 45, № 3. С. 674 687.

23. Polya. G. Untersuchungen iiber Liicken und Singularitaten von Potenzreihen// Math. z. 1929. V. 29. P. 549 640.

24. Гайсин A.M. Решение проблемы Пойа// Матем. сб. 2002. Т. 193, № 6. С. 39 60.

25. Латыпов И.Д. Асимптотическое поведение целых функций, представленных рядами Дирихле// Диссканд.физ.-мат. наук. Уфа: Башкирский госуниверситет, 2004 106 с.

27. Белоус Т. И. Асимптотические свойства рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости// Диссканд. физ.мат. наук. Уфа: Уфимский государственный авиационный технический университет, 2004 103 с.

28. Шеремета М. Н. О росте на действительной оси целой функции, представленной рядом Дирихле// Матем. заметки. 1983. Т. 33, вып. 2. С. 235-245.

29. Гайсин А. М. Об одной гипотезе Полна// Изв. РАН Сер.матем. 1994. Т. 58. № 2. С. 73 92.

30. MacintyreA. J. Asymptotic paths of integral functions with gap power series// Proc. London Math. Soc. 1952. - V. 2. - № 3. - P. 286-296.

31. Евграфов М. А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле// Успехи мат. наук. 1962. - Т. XVII. -вып. 3. - С. 169-175.

32. СенетаЕ. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

33. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиздат, 1956.

34. Манделъбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955.

35. ГайсинА.М. Теорема единственности для рядов Дирихле// Матем. заметки. 1991. - Т. 50. - вып. 2. - С. 54-60.

36. ФрынтовА.Е. Операторы, сохраняющие субгармоничность, и некоторые задачи классического комплексного анализа// Дисс. . докт. физ.-мат. наук. ФТИНТ НАН Украины, Харьков, 1995.

37. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.:Наука, 1976. 536 С.

38. Гайсин А. М., Латыпов И. Д. Асимптотика логарифма максимального члена изменненого ряда Дирихле// Известия вузов. Математика. 2002. № 9 (484). С. 15-24.

39. Гайсин А. М. Поведение суммы ряда Дирихле заданного роста // Матем. заметки. 1991. Т. 50. вып. 8. С. 47 56.

40. Гайсин А. М., Латыпов И. Д. Асимптотическое поведение суммы ряда Дирихле заданного роста на кривых// Мат. заметки.- 2005,- Т. 78.- №1.- С. 37-51.

41. Шеремета М.Н. Об одной теореме Полиа// Укр. мат. журн. Т. 35, т. 1983.С. 119-124.

42. Шеремета М.Н. О целых функциях с вещественными тейлоровскими коэффициентами// Укр. мат. журн. Т. 37, т. 1985. С. 786-787.

43. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 С.

44. Латыпов И.Д. Лемма типа Бореля-Неванлинны//Региональная школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых. Сборник трудов. Математика.Том I.- Уфа: РИО БашГУ, 2001, С.143

45. Говоров Н.В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге// Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып. 6. 1968. С. 130-150.

46. Хеймап У. Мероморфные функции М.:Мир, 1966.-288 с.

47. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980. 384 С.

48. Красников И. Ф. Оценка снизу для целых функций конечного порядка// Сиб. мат. журн. Т. 6, №4. 1965. С. 840-861.146.