Оценка ряда Дирихле в полуполосе, показатели которого - нули произведения Вейерштрасса с нерегулярным поведением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Сергеева Дина Ильдаровна

ОЦЕНКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ,

ПОКАЗАТЕЛИ КОТОРОГО — НУЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕЙЕРШТРАССА С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ПОВЕДЕНИЕМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

"Шшт

На п/нпчп />\ м»ш< и

Сергеева Дина Ильдаровна

ОЦЕНКА РЯДА ДИРИХЛЕ В ПОЛУПОЛОСЕ, ПОКАЗАТЕЛИ КОТОРОГО -НУЛИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕЙЕРШТРАССА С НЕРЕГУЛЯРНЫМ ПОВЕДЕНИЕМ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

РиГнип пинишона и Мш-пш гс мпк-мншкм < ВЦ МЩ 1411

Научны!! (»'копили«'ль

докгор <|>|1111ко-ма1ч-ыа11(Ч«н-Ы1х ш>\ к щюфолор Гай< ни \х1яр Мнпшлшч

Официальные шшонгмгы:

ВеДУНЦЩ <1|>ГНШ| ищи».

докгор фи «июкмагрматнч« ких на\ к Морюшко» С«р|*й Георгиевич, кандидат фюнко-математч чсс ки х иачк Баммаюш Риттм ЛГ>ЛрА\фоП11Ч

Сыктывкарский |ЧКуда|КТ1ИЧ(НЫЙ > МН|И'[Х'1|-

Защнтн состоится "21" марте 2008 г в 15м на шдадании ювета по «шипе доктор-екнх и каадидатгкнх лдкчхчпаций Д-002 057.01 при Институте математики г ВЦ У<]жмского научного центра РАН по адресу 450077, г. Уфа, }Л Чериишепеко! о, 112.

С диссер1ацией можно ознакомнчьем и библиотеке Инсгигуча ча^емяч нкм с ВЦ УНЦ РАН.

Апгго(>еферат разослан " февраля 2008 г

Ученый секретарь специализированного симлн к.ф-м-«. У / СВ. Поиеиоп

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы. Изучение асимн гоI ических сиойот I» целых или анали I ичес-ких » единичном круге функций н твисимости от поведении их гейлорош ких к<н<1>-фициенгоп является классическим направлением н геории функций и нос ходи I к известным работам Ж Адамара Оцхшный вклад н развитие -ггого направления внесли такие известные магемашки, как Э Борель, А Виман, Ж Валирон, Д Пойа и дру| ие

Одной ил важнейших проблем теории целых функций являем я проблема сняли между ростом целой функции (например, в терминах порядка и типа) и рас нредеде-нием ее корней, к ко юрой сводя «я мно> ие задачи н различных областях, смежных с теорией функции комплексного переменного Эта проблема и<следонапа в работак Э Борсля, Ж Адамара, Линделефа и дру| их математиков в конце XIX и начале XX

Введение индикатора целой функции дало номожность установим» завис имости между ее ростом но различным направлениям и распределением ее корней но ар|у-ментам Особенно точные зависимсхт и установлены для класс а целых функций вполне ре! улярного ¡юста Теорию этих функций развили в 1937- 1950 и одновременно В Я Левин и А Пфлюгер Теория целых функций вполне регулярно! о роста и ее применения подробно изложены н моно! рафии Б Я Левина |1|

В приложениях теории целых функций сущест ценную рель играют целые функции экспоненциального 1ина, у которых все корни пещел нснин Поэтому представляется важным вопрос определи п. условия, которым должны удовлетворять корни гак их целых функций дли того, чтобы они были ограничены н том или ином смысле на вещественной оси

В теории аппроксимации системами из экспонент {еА"г} на различных множсонах

комплексной плоскости, в теории рядов Дирихле £ л„сЛп1 особую роль играет бес

определяющее целую функцию экспоненциального тина

В этой связи актуальной .задачей является изучение поведения данной функции на вещественной оси в зависимости от распределения ее нулей В общем случае функция С} на вещественной оси ведет себя очень нерегулярно Однако, может оказаться, что существует некоторая целая функция д, такая, что произведение (¿д на вещественной оси обладает достаточно хорошими с войствами Вопрос о сущес питании такой функции д является принципиальным в различных вопросах анализа, например, в теории приближения непрерывных функций на вещественной оси линейными комбинациями функций е,х"х (А„ > 0), где важно уметь строить целые функ-

п

конечное нрои шедение Вейерштрасса

(0 < А„ Т оо),

(1)

ции <к< ноненциалмют I и па, макс ималмш бис I ро убмнающие ми К при |г| —> оо Впернме га кот поп роение было сделано В Л Марченко [2|

Пусть Iр К —► И удоклР! иоряет условиям ц>{л ) > О, <р(х + у) < ) + ¡р{у) и

с» -оо

В |2] для любого е > О дач способ построения целой функции экспоненциального типа ст/ < е, удовле сверяющей неравенству

|/(г)| < Сае

где а > О, С„ > 0 Отмел им, что условие ./[<р\ < оо является необходимым, ибо для любой целой функции / , отличной от гождестпснного нуля и ограниченной на К, перно .7(1и |/|) > —оо При других ограничениях на функцию ур (условие >р(х + у) < 1/>(х) + <р(у) заменяется четностью и ее монотонное'! ью на К+ = [0, оо)), аналогичное построение проведено Л И Ронкиным и С Мандельбройтом Наиболее сильный ре!ультат был установлен Вёрличгом и Маллявеном (3[ Очи доказали, что каждая целая функция класса 1<ар|райг, то есть целая функция лкспопепциалыгого типа, удовлетворяющая условию ,/рп'1 |/|] < оо (а+ = тах(0, а)) имеет £ - мультипликатор для любого е > О Это означает, что существует такая целая функция экспоненциального типа <7ф < е , что \фе(х)/(х)\ < сопзЬ < оо, ж € К Различные обобщения этого сильного результата в дальнейшем были получены П Кусисом. То, что теорема Берлин га и Маллявена сильнее ранее доказанных теорем такого характера, следу е-! из работы В Э Кацнельсона [4|, котор!>1й построил пример функции класса Картрайг, не имеющей мажоранты, удовлетворяющей какому — нибудь из указанных выше условий и требованию ./[¥>] < оо

В диссертации ставится и решается следующая задача при каких условиях на последовательность Л = {А„} (0 < А„ Т оо) существует целая функция вида Р(г) =

00 / а \

П £ 1 — йз-} Функция (1), 0 < ц„ Т оо) <- простыми нулями н точках

Хп(п > 1), имеющая экспоненциальный тип и обладающая правильной мажорантой на вещественной оси' При этом вовсе не обяительно, чтобы данная мажоранта удовлетворяла тем же условиям, чго и в работе [2] Некоторые результаты такого тина приведены в обзоре [5] Данная задача, представляющая самостоятельный интерес, является весьма актуальной в приложениях, в част нос. I и, в теории рядов

оо

Дирихле (0 < А„ t оо) К рядам Дирихле мы приходим, например, если

П=1

оо оо

в степенном ряде X) вделаем замену г — е" Ряд £ а„е"' называется рядом

п™ 1 п=1

Тейлора — Дирихле В случае, когда Ап (0 < А„ Т — "<' целые, получаем ряд Дирихле общего вида

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями Я — порядка и Я — типа Эти понятия в свое время были

нвсдспы Ж РиП'ом 11м Жебы'Ш у< гяпошнч1ы формулы для вычислспия 11 их нсли-чин через козффициенi ы ряда Дирихле |С|

Poci функций, преде ганленных рядами Дирихле, абеолюию сходящимися п полуплен к(к 1и, i) герминлх обычною порядка и обычного 1ипа исследовали R Д,ичмк' [7], В Пойму к [8|, К Han дан [9|, (10J, Ю ГНиаЮн |11|

В конце 60-х годоп для изучения роста целых или аналитических в единичном круп: функций М II Шеремета ввел понят ия im пазываеммх обобщенных норядкоп Заднчд, спя шкния ( применением обобщенных порядков к изучению рек та рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рас< мот репа и |12| Позже н терминах П - порядка и R - типа рост гак их рядов и зависимости от ксиффициен ion был исследован А М Гай< иным в работах [13] - [17)

В связи с исследованиями Л Ф Леонты'па, подытоженными it его moiioi рафиях [18] , (10], с 80-х годов п ротного века гилыю псмрск иитере< к рядам зкепомет, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Большой ин 1(4x4 у специалисток вызвали вопросы разложения авали i ических функций, имеющих «»данный р<х i вблизи границы облает и ретулярности, в ряды экспонент (см , например, (20] - [22]) В *той <ня зи и в настоящее время надставляются актуальными з<|дачи о росте суммы ряда экснонет вблизи границы облас ги регулярности я зависимости от ее роста и i-px или иных подмножествах области, примыкающих к границе Появились новые методы исследования Так, А М Гайс иным была разработана методика, которая нашла широкое применение в подобных ис следованиях В его работах с истемагичес ки жпользуется интерполирующая функция и (формулы для коэффициен von А Ф Леон-т!>ева, различные модификации теоремы Бореля - Неванлиннм Ута методика нашла снос применение и дальнейшее развитие в работе [23], где изучались ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскос ih и имеющие произвольный рост вблизи прямой сходимости

В настоящей диссертации исследуются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие; конечный порядок в смысле определения, данного л статье (13| Суть задачи следующая при некоторых предположениях пранипыюети поведения функции (1) на вещественной схи в [13[ для порядка р в полуплоскости и порядка рв в некоторой гкмупшосе была получена оценка р < р„ I д ( Ц величина, зависящая от последовательное"! и Л) Ilo попрог о гочност и данной оценки до сих нор оставался откры i им Более roí о, не было ясно, при каких условиях на Л функция Q обладает требуемым поведением на вещественной оси В настоящей диссертации найдены условия (они сформулированы в терминах распределения последовательности Л), при выполнении которых справедливы точные оценки для величин р и р. При этом ширина соответствующей полуполосы зависит от некоторой специальной плотности распределения точек последовательности Л и поэтому конкретно может быть указана Как следствие, получен критерий равенства соответствующих характеристик для суммы степенного ряда, сходящегося лишь в единичном круге

Цель работы. Изучи и. ш имниничс« кие < иой< I па «рои тедепия Гкйрнпржса < заданной носледовтельностью иещес) пенных нулей, имеющих н определенном смысле правильное распределение, примени и. полученный резульга! дли получения точных оценок для порядком |>оста суммы ряда Дирихле к полунлоскости (ходим« 1И и нолу полосе, ширина которой зависит от специальной плотности распределения показателей

Научная новизна. Все оснопные результаты диссертации являются новыми

Получены следующие результаты

— получены оценки на вещественной оси (как (перху, так и снизу) а также равномерная оценка на лучах для прои «>едения Вейерштрасса, последовательность нулей которого имеет в некотором смысле правильное распределение,

—построена целая функция экспоненциального типа с заданной асимптотикой на вещественной оси и с заданной шх-ледопа гельностью простых нулей, имеющей специальную плотность распределения,

— получены точные оценки для порядком суммы ряда Дирихле в папуилоскосп и сходимости и полуполосе определенной ширины и случае, когда последовательность показателей имеет конечную Я—плотность

Методика исследования. Использованы методы теории рядов экспонент, разработанные А Ф Леонтьевым (применяет« я интерполирующая функция, формулы для коэффициентов) и развитые в работах А.М Гайсина, а также метЬды комплексною анализа, теории целых функций

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер Полученные в джч ертации результат и разработанная н ней методика могут быть полезны как в теории целых функций, рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких, как теория аппроксимации и комплексной области, теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка, спек грлльная теория Они могут быть использованы (пециалиетами, работающими в Игк гитуте математики РАН имени В А Стеклова, Московском, Ростовском, Саратовским, Львовском, Казанском, Башкирском, Сыктывкарском госуниперситетах а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Института математики с ВЦ УНЦ РАН, на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа Башкирского госуниверситега, на IV Региональной школе — конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физи-

кс, тк нищенкой 05 лет то Пни I ГУ (Уфа, 20(М I ), на Уфимский международной магома! ичоской конференции , посвященная нами I и Л Ф Леотьева (2(Ю7 I )

Публикации. Результаты диссертации опубликованы п пяти работах Список публикаций приподится н конце ангорефера1,1

Структура диссертации. Диссертации состой I из введении, |рех 1лак, разбитых на пара!рафм и списка литературы, содержащего 46 наименований Внедение и первая глава содержат по три параграфа Вторая глава — два параграфа, третья четыре параграфа Общий объем диссертации — 95 страниц

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор извест ных результа гаи, пос гановка задач и приводя юя основные результаты диссертации

В главе I исследуется поведение произведения Всйерш грасса с исщсственными нулями, имеющими в некотором смысле правильное распределение

Пусть Л = {А,,} (0 < А„ Т оо)- последовательность, имеющая конечную верхнюю плотней ть Тогда

Q(A) = f|(l-|J) (Л-i + w)

—целая функция экспоненциал!,hoiо тина Если существует предел

„ , п

Т) = lim —, А„

то говорят, что последовательность Л измерима и имеет плотность D

В §1 приводя гея необходимые определения и предварительные факты В §2 напучены оценки для функции Q на вещественной ос и сверху и сии зу От нравным моментом явились следующие теоремы (см , и—р, в |5[) Теорема (Пали-Винер, 1934) Пусть 0 < An t оо, и

|A„-n|<d<oo (2)

Тогда для функции Q справедливы оценки

1 |ж<2(х)| < constM4*,

2 для |ж - А„| > е > 0 (n > 1)

|zQ(a:)| > const\x\~*d (|ж| > 1)

Теорема (В Я Левин, 1940) Если выполняет я условие (2), то |<?(г)| < сопН (1 + И"**) е*1"1

При условии шГ |Ап — А,| > О

пфЗ

|<3'(<У| > сопь1.\;4Н (.? > 1)

Отметим, что функция удовлетворяющая условиям данных теорем, принадлежит классу Картрайт Функции из класса Картрайт ие могут вести себя слишком нерегулярно Однако во многих случаях ириходи гея предполагать, что сужения функций данного класса на вещественную ось удовлечворяют некоторым дополнительным условиям "правильности роста" Эти условия обычно имеют вид гуще< твует неотрицательная и , например, возрастающая функция кр, такая, что 1п |/(ж)| < </>{х),

—оо

В диссертации данное условие заменяется на более слабое требование (инте! рал может и расходиться)

Пусть ¿—класс положительных, непрерывных и нео! раниченно возрастающих на К+ = (0, оо) функций Обозначим через Л"—подкласс функций II е Л, таких, что я(о) = о, я(е) = о{г) при г оо, ^ | при г |

Имеет место следующая

Теорема 1.1. Пусть последовательность Л имеет плотность О (О < О < оо), Л(() = 1 Если для некоторой функции Н е К

А„<4

\К(и)-Ои}<Н(и) {и > 0),

то для любо?о х £ К

1п |<Э(г)| < 6Н{х) 1п+ + А (О < А < оо)

Пусть

г^ ^ггч Г- Н(х)1пН(х) 1 € К 4{Н) = 11Ш —^—< оо > , (3)

~оо ]

Справедлива

Теорема 1.2. Пусть Л = {Л„} (0 < А„ | оо)—последовательность, имеющая плотность £> (0 < О < оо), для которой выполняется условие

А(х + р) -Л(») <ар + Ь+ 1 (р > 0), (4)

о

где 1р любим неотрицательная, нгубыаиющия функция, .шдаппая на лук К,, I < <р(.ь) < гх 1пн А + д

Если для некоторой функции Я € 5

|Л(«)-Ш| < I! {и) (и > 0), (5)

то существует последовательность {г„}, 0 < г„ Т | — г„ — 0(4(г„)) при

п —> оо, такая, что при х = г„ —> оо

х

In |Q(a;)| > -(9 + 2D + 2ad(H))H(x) In

+

//(*)

—2ip(x) + O(l)

Здесь d(Ff), a, D- числа, фигурирующие в формулах (3)-(5)

В §3 для произведения Вейерштрасса получена равномерная оценка на лучах Пусть М ■= {/in} (0 < (i\ < fa < < Ип< < Дп —» оо)— последовательность, имеющая конечную верхнюю плотность

т = lira —

it—too /¿,t

Положим

оо \2

' П=1

Наряду с индикатрисой роста

. г- In \W(re,v)\ h{<p) = Inn —^-1

I—»оо T

для функции W в [24], [25| вводится и изучается другая характеристика -коинди катриса

h*(<p) = hm In

1

, lp / О, 7Г

IV (ге"?)

Если последовательность М имеет плотност!>, то 1С (у?) =• —Н(<р) В общем случае функция Л*(<р) не ограничена при <р —► О

Теорема 1.3. Пусть последовательность М = {/!„} имеет плотность а, причем

МО -<т 1\< Я(0 (I > 0), Я € А" Тогда существует р > О такое, что при г >р для всех 0 < \<р\ < 0 < |тг - ц>\ < |

г 8-я- Я2 (г)

11п |{У(ге^)| - тгст| мпИН < 6Я(г) 1п -щ^ + щ—^ + 3що

Глава II носнящсна построению целой функции же нонснциалыюго шма < m данной последопа!елытстыо нулей, имеющей peí улирноо поведение на вещеп ценной оси

Пусть Л - {А„} (0 < А„ Î оо) -последовательней ть, имеющая конечную верхнюю luio'i nocí i>, L, и А'—классы функций, пвсденн1>1е выше

К—плотностью последовательности Л называется величина

4 ' 1,ек t-cc h(t)

где w(t) = (¿, t H h(t))—полуинтервал, /¿a(o)(í))—число точек из Л, попавших в полу интервал tj(t)

Пусть ü — {w}—семейство полуинтервалов вида и> — [a, b) Всякая последопателт,-ность Л = {А,,} (0 < А„ t оо) порождает целочисленную считающую меру ц\

A«a(W) = Y1 ш 6 П

An€w

Пусть Ц\—считающая мера, порожденная последовательностью Г = {/¿„} (0 < fi,, t оо) Тогда включение Л С 1' означает, что Ц\(и>) < Hr(oj) дня любого иб!1 В этом случае говорят, что мера цг мажорирует меру Ц\ |2б|

Через D(K) обозначим точную нижнюю грань тех чисел b (0 < 6 < оо), для каждого из которых существует мера ftr, мажорирующая Дл, такая, что для некоторой функции h G К

\M(t) - bt\ < h(t) (t > 0) Здесь Л = {A„}, Г - {//„}, M(t) = £ 1

Mn <¡

В §1 главы II доказана

Лемма 2 1 Величины D(K) и G (К) совпадают D(K) - С,{К)

В §2 доказана теорема о существовании целой функции с заданной подпоследовательностью простых нулей, имеющей требуемую асимптотику на вещественной ос и

Имеет место

Теорема 2.1 Пусть А = {А„} (0 < А„ Î оо) — последовательность, имеющая конечную S— плотность fí(S) Тогда для любого b > G(S) существует, последовательность Г = {д„} (0 < цп t оо), содержащая Л и имеющая плотность Ь, такая, что целая функция экспоненциального типа ттЬ

= (* = * + «0

П=1 ^

обладает свойствами

V <Э(А„) = 0, Q\А„) Ф 0 для любого А„ е Л,

Il

Hi) < yutft mtiycm II С -S', такая, что

in\Q(x)\< AHUW + В, 3) если Л(.г) = ]£ 1, и

\„<х

Л(ан р)-А{х) <ар I Ь 4 , , (Р > 0) (Ь)

In1 /Н I

(ip— любая неотрицательная, неубывающая функция, определенная па луче [0, оо), 1 < ¡р(г) < ат 1»+ % 4 р), то существует гюследователъность {г„}, 0 < r„ Т оо, r„, 1 — г„ = 0(И (г,,)) при п —»оо, такая, что для х = г„ (п > 1)

In > -СН{х)ln+ - 2ф) - D,

4) если

Д- Ш ' /"(Л"^й<оо, п—ОО А„ J t

то при условии (6) In

Q'(A„) I t о

1

n(A„, t)

dt

< EH(Xn) In1 Л"

Я(Л„)

где ?t(An, i) —число точек / А„ ю отрезка {а; |а: — А„| < t] Здесь все постоянные положительны, конечны

Замечание Условно Д < оо не является следствием оценки (б), если даже функция ч> ограничена Действительно, пусть stip <fi(x) < оо, 0 < р < 1 Тогда и i (б)

х>0

следует, что Л(.т 1-р)—Л(г) < С < оо (х > О) Следовательно, если h„ — пин |А* — А„|,

fc/rl

14)

1 < [*Ь&л<2с\п< i-

ftn 7 t "и

о

Так что п *том случае Д < оо тогда и только тогда, когда

Ьш 1п+ < оо

п-»оо А„ ¡1,,

В случае, когда функция <р не ограничена, условие (б) допускает ситуацию sup[A(a: + 1) - Л (ж)] = оо

а>0

Важно oí мет и 11., ч m п условиях теоремы 2 I функции (I), для котрой Л < omiii-дает с ее нулевым множосшом, вообще но обязана имен, ю жо оценки, чю и построенная п георсмс функции

В главе III джсертации получены точные оценки дли порядков <уммы ряда Дирихле в полуплоскости сходимости и полуполосе определенной ширины в случае, когда последовательность показателей имеет конечную R— плотность

Пусть Л — {А,,} (0 < А„ t оо)—поспедовагельжхть, удовлетворяющая условию

-,— 1» п ,

Iim —— — h < оо (7)

п->оо А„

При и íy чеки и целых функций

оо

F(s) = (s-ffl tt), (8)

определенных всюду сходящимися рядами Дирихле, Риттом было введено понжио К—порядка

р = К lnlnA/^, л{{*)- sup |/-> I ,,t)\

С |(|«ю

Ясно, что Я-порядок не совпадаег с понятием обычного порядка целой функции Так, для функции F(s) = е" обычный порядок равен единице, а порядок по Рипу ранен нулю

Пуст ь область сходимости ряда (8)- полуплоскость Г1ц = {s = а + lt а < 0} При h = 0, если ряд (8) сходится в полуплоскости По, то он сходится в Г10 и абсолют но Тогда сумма ряда F аналитична в данной полуплоскости Класс всех аналит ических функций, представимых рядами Дирихле (8), сходящимися лишь в полунлоскост и И0, обозначим через Do (Л)

Пусть S(a, to) = {s = а + it |í — to| < a, <r < 0} --иолуполоеа Положим М,(аг) - шах \F{<T (- it)\ (а > 0), M (а) = sup \F(o tt)\ (a > 0) Величины

|¿-!o|<u ¡í| <oo

t— ln+ln M (а) г— lnf lnM»

pn - Лп- м-1 ' A = «и-1

пл'Шйакися порядками по Ритту в полуплоскости По и полуполосе 6'(а, i¡¡) функции F € Д>{Л) [13] В дальнейшем рц и р, будем называть порядками функции F в полуплоскост и и полуполосе Если это необходимо, вместо рв. и р, будем писан, pn{F) и рЛП

В §1 даны предварительные сведения, а в §2 доказана основная оценка для порядков (теорема 3 1)

Перед тем, как сформулировать основные результаты данной главы, введем следующие классы функций: Lo ~{h € L h(x) ln-r = о(.г') при x —> +oo}, R = {h € К h{x) ln = o(jf¿), x —» +00} Ясно, что R<Z S Имеет место

1:1

Теорема 3.1. Пусти А {А,,} (0 < А„ | оо) пт м допанимыим ть, удечлпшт-ряющая г/слопиям

V

А(,\р) А{,)<ср I <1 | (/>>0).

где Л(х) = 1, <р—некоторая функция из Ьо,

Л„<а.

2)

1

д* = 1ш1 -г-1 / - " Л < оо,

•»-•те А„ J I 0

где п{ А„, I) —число точек А к i А„ из отрезш {х — А„| < 4}

Если Я— плотность последовательности Л ршта С(Я), то порядок р, любой функции Р € £>о(Л) в полуполосе Я (а, ¿о) при а > пС(Н) и порядок ря этой функции я полуплоскости По удовлетворяют оценкам

Р, < Ра < Р. 1 Ч" (<>)

Главная идея доказательства данной георемы — использование интерполирующей функции w(/i, A, F), соответствующей построенной в теореме 2 1 целой функции Q

ЗАМЕЧАНИЕ В доказанной геореме вместо S(a, i о) можно брат ь криволинейную нолуполосу , описываемую вертикальным отрезком длины 2а при движении ei-o центра вдоль кривой, которая лежит в полуплоскости По и имеет общую точку с мнимой осью И в этом случае оценки (9) имеют место

В |3| показало, что левая оценка в (9) точна В §3 представлена основная теорема о точности правой оценки для порядка в полуплос ко« ти, а имепно, доказана

Теорема 3.2. Пусть А -любая последовательность, удовлетворяющая условиям теоремы Я 1 Тогда существует функция F 6 А)(Л), для которой pn{F) P,(F) 1 (]', где p¡i(F) - порядок в полуплоскости По, a pa(F)- порядок в полуполосе S(a, ia) (а > irG(fi))

СЛЕДСТВИЕ Пусть последовательность А удовлетворяет, услотиш. теоремы S I Для того, чтобы для любой функции F € Do (Л) порядок pn{F) был равен порядку p,(F) о любой полуполосе S(a, (о)(а > 7гС(Я)), необходимо и достаточно, чтобы <j* - 0

Пусть Л ~ {А„} (0 < А„ Т оо)—последовательность, имеющая конечную верхнюю плотнехл ь,

n=J 4 n/

В |13] показано, что если

\L{x)\ < é(x) (х>0), ge Lo,

(10)

то />«(*') < p,(l'') i </, 1д<'

Ûïiï^lnl '

A» //(A„)

a Ps(F)—порядок в полунолосе S (a, i0) (a > т -т ип функции //(A)) Вопрос о точност и данной оценки до сих нор оставался откры i им Недоста1ком данною результата из |13| является и го, что условие (10) трудно проверяемо (оно не сформулировано в терминах распределения последовательности L(А)) Теоремы 3 1 и 32 позволяют восполнить данный пробел

В §4 приведены примеры последовательное i-ей Л, для которых реализуется условие (10) Наконец, в §4 приведено следствие для лакунариых пененных рядов, вытекающее из теоремы 3 1 Сформулируем его Пусть область сходимости с тепенного ряда

/(z) = £<WA" (A„€N)

>i=i

-единичный круг D{0,1) = {z |z| < 1} Положим

i— ln ln M/(r) i— ln In M„(r)

PU) - Д'?_ (1_Г)-' >рМ) ' A?- (i - г)'1 '

где МЛг) =- max |/(г)|, Ma(r) = max |f(re,v) (0 < г < 1) |z|=r |¥>-¥>oI<Œ

Следствие Пусть последовательность {А„} (А„ е N) имеет R— плотность C(R) < 1 Тогда, для любого а > -ïïC(R) верно равенство р{/) — pa(f)

Выражаю благодарность научному руководителю Гайсину Ахтяру Магазовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

|lj Пенни 1> Я i'<u И1>ед< лсиие корней целых функций М ГИТТЛ, lOiifi -<>!.>(' |2| Марченко И А О некоторых нонршах дпн|»ж( имации нощк'риипих фупкпиЛ на вещественной <х и 111 //Чан мат <лд фш-мат фак и Харьков« кот мат оГнц-на 1 950 Т22 С И 5 125

|Ч| Henrling А , Malliaviii Р On Рочгкч (lansrorins оГшеамш-ь with < ompac I supports //A(ta math 1962 V 107 X» 3,4 P 291 .10.1

|'f| Кацнелмон П Э Целые функции класса Картрайт с ш']ич-ул ирным поведением //Функц анали» и его приложения 1971 Т5, К»1 С.47 47

|Г>| Redlieffer R М Completeness of Sets of Complex Exponential// Advances hi Mathematics 1977 V 24 PI -62

(6| Ritt I F On certain points hi the theory of Dirt« hlrt series // Atiier Malli 1 1928 V 50 P 73 - 86

|7| Дагенс E Я О центральном показа icy«- ряда Дирихле // ЛигашкиП Mai с б 19(58 Т8,Х«3 С 504 - 521

[8| Бойчук В С О (хкчх1 абсолютно сходящихся в иолушнккости рядов Дирихле // Маг сб К. Наукова думка, 1976 С 238 240

(9j Natulan К On the maximum terms a maximum modulus analytic functions rejb resented by Dirichlet series // Ann Polon Math 1973 V 28 P213 - 222

¡10) Nandau К On the lower order of analytic func lions n-prcsented by Dirichlct series // Rev rouui math pure», ct appl 1976 V 21, №10 P 1361 1368

(11] Yu-Cliia-Yung Sur la croissance et la repartition de Dirichlet qui ne convergent que dans un demi-plan // Comptus rendus Acad Sc l 1979 AB288, №19 A891 A893

(12] Галь Ю M , Шеремета MHO росте аналит ических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле // ДАН УССР Сер А, 1978 №12 С 1065 - 1067

(13| Гайеин А М. Оценка роста функции, цредетавлечпюй рядом Дирихле, в ikuiv полосе // Магем сб 1982 Т 117(139), №3 С 412 424

|14( Гайсин А М О 1ине функции, нреде ганленной рядом Дирихле, в нолунолос < // Во"|х>сы aiuijxiKiимации функций комплексного переменного Уфа БФАН СССР 1982 СЗ 14

(15] Гайсин А М Разложение функций, анали i и чес ких в полунлоскос i и и имеющих конечный R- 1ин, к ряды экспонеш // Вопреки аппроксимации функций itemcci-венного и комплексной) переменных Уфа БФАН СССР 1983 С 30 - 42

(16| Гайсии А М Рост функции, подставленной рядом Дирихле, на луче // Ис следования но теории аппроксимации функций Уфа БФАН СССР 1984 С 20-29

[17] Гайсин А М Поведение суммы ряда Дирихле« иолуиолосах // Матсм тметки 1987 Т42, №5. С 660 - 669

(18] Леонтьев А Ф Ряды экспонент М Наука, 1976 - 536 С

[19| Леонтьев А Ф Последовательность полиномов и i экспонент М Наука, 1980384 С

|2(l| ,П<опп.еп Л Ф I'иды «м нош ni л" и функций i определенным р<к шм нЛлшм .р.шнцы // Hm Ml ('('CI' Op мл i см 1080 T44, №<i С 130« 1.128

[2l| Напалков R П IIjkk ipaiu. um анали i ичоских функций вдшжио ¡xx'ia вблизи (рлпицы // И ш ЛИ СССР 1<)87 ТГ>1, Л'2 0 287 ЮГ.

[22| Леошьен ЛФ Представление целых функций рядами экснонеш// Труды матем ин-та им ПЛ Стсклопа 1901 Т157 С 68-89

|23] Tk-лоу« ТИ А< имптотич<ч кие < ной<п на ридои Дирихле, <ходищих<и п полу ■инккости//Диссертации кандидата фи j - мат наук Уфа 2004

|24| Леонтии А Ф О сходимсхчн полиномом Дирихле// ДА Ii COOP 1056 Т108 С 23-26

|25¡ Красичкои И Ф Оценки шизу для целых функций конечного порядка.// Сиб матем жури. 1065. TVI №4 С 840 - 861

|26) Красичкои- Терноиский И.Ф Интерпретация тгоромм Вердикт Мальяпенао радиусе полноты// Матем. сб 1989 Т 180 №3 С 397-422

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Сергеева Д И Оценка произведения Вейерштрасса на вещественной оси снизу //IV Pet иоиальная шкала-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященная 95-летию БашГУ Тезисы докладов Ч. 1. У<})а РИО ВашГУ, 2004 С 8

2 Сергеева Д И Оценка произведения Вейерштрасса с регулярным распределю ином нулей на вещественной оси // Региональная школа-конференция для студенток, аспиранток и молодых учёных но математике и физике Сборник статей Том I-математика Уфа БашГУ, 2004 С 193-206

3 Гайсии А М., Сергеева Д.И Целые функции экспоненциального типа с регуляр ным повелением на вещественной оси. // Вл мат журн 2005 Т 7 В 3 С 31 — 37

4 Сергеева Д И Точные оценки порядка ряда Дирихле п пату полосе //Уфимская международная масема! ическаи конференции , носнященная нами i и А Ф Леон1ьена Сборник материалов Том 2 Уфа Институт математики с вычислительным центром УПЦ РАН, 2007 С 82

5 Гайсин А М , Сергеева Д.И Целые функции с заданной последонагельноетью нулей, имеющие правильное поведение на вещественной оси I // Сиб мат журн 2007. Т48 №5 С 996 — 1008

Введение.

1. Исторические сведения.

2. Обзор результатов и постановка задач.

3. Основные результаты диссертации.

Глава I. Целые функции экспоненциального типа, имеющие правильное поведение на ве -щественной оси

§1. Предварительные сведения.

§2. Оценка произведения Вейерштрасса с правильным рас пределением нулей.

§3. Эффективная оценка произведения Вейерштрасса на лучах.

Глава II. Построение целых функций с правильным поведением на вещественной оси

§1. Специальные плотности распределения положительных последовательностей.

§2. Существование целых функций экспоненциального типа с правильным поведением.

Глава III. Оценка суммы ряда Дирихле в полуполосе, последовательность показателей которого имеет нерегулярное распределение

§1. Предварительные факты.

§2. Оценки порядка в полуплоскости через порядок в по луполосе

§3. Основная теорема о точности оценок для порядка в по луплоскости.

§4. Примеры. Следствие для аналитических в единичном круге функций, представленных лакун арными степенными рядами.

1. Исторические сведения

Изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов является классическим направлением в теории функций и восходит к известным работам Ж. Адамара, опубликованным в конце XIX века. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж. Валирон, Д. Пойа и другие.

Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М. Фуд-зивара [2], М.Н. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]).

Одной из важнейших проблем теории целых функций является проблема связи между ростом целой функции и распределением её корней, к которой сводятся многие задачи в различных областях, смежных с теорией функций комплексного переменного. Эта проблема исследована в работах Э. Бореля, Ж. Адамара, Линделефа и других математиков в конце XIX и начале XX в.

Известно, что показатель сходимости корней целой функции не превосходит её порядка. Этот результат обобщён и в некотором смысле усилен в 1934г. А.О. Гельфондом.

Введение индикатора целой функции дало возможность установить зависимости между её ростом по различным направлениям и распределением её корней по аргументам. Особенно точные зависимости установлены для класса целых функций вполне регулярного роста. Теорию этих функций развили в 1937—1950 гг. одновременно Б.Я. Левин и А. Пфлю-гер. Теория целых функций вполне регулярного роста и её применения подробно изложены в монографии Б.Я. Левина [5].

В 1965г. Н.В. Говоров получил необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция конечного порядка и нормального типа в полуплоскости была функцией вполне регулярного роста. В теоремах Говорова учитывается не только распределение корней функции, но и её поведение на границе. Для функций целого порядка и нормального типа в полуплоскости Говоровым также получены необходимые и достаточные условия вполне регулярного роста в открытой и замкнутой полуплоскостях.

В приложениях теории целых функций существенную роль играют целые функции, у которых все корни вещественны. Они называются целыми функциями класса А.

В 1960г. В.И. Мацаев рассматривал другой класс функций с вещественными корнями и установил, что из некоторых оценок снизу модуля целой функции следует оценка её роста.

Представляется важным вопрос определить условия, которым должны удовлетворять корни целой функции экспоненциального типа для того, чтобы она была ограничена в том или ином смысле на вещественной оси.

В теории аппроксимации системами из экспонент {eXnZ} на различных множествах комплексной плоскости, в теории оо рядов Дирихле ^Г, CLneXnZ особую роль играет бесконечное проп= 1 изведение Вейерштрасса

ОО / 2 гм = П n-Jr

71=1 V П определяющее целую функцию экспоненциального типа.

В этой связи актуальной задачей является изучение поведения данной функции на вещественной оси в зависимости от распределения её нулей. В общем случае функция Q на вещественной оси ведёт себя очень нерегулярно. Однако, может оказаться, что существует некоторая целая функция д, такая, что произведение Qg на вещественной оси обладает достаточно хорошими свойствами. Вопрос о существовании такой функции д является принципиальным в различных вопросах анализа, например, в теории приближения непрерывных функций на вещественной оси линейными комбинациями функций егХпХ (Ап > 0), где важно уметь строить целые функции экспоненциального типа, максимально быстро убывающие на R при \х\ оо. Впервые такое построение было сделано В.А. Марченко [б].

Пусть (р : Ш —> К удовлетворяет условиям: ip(х) > 0,

0 < Хп Т оо р(х + у) < if{x) + ip{y) и оо

ТГ 1 f 7 1-т:ах<со.

J 1 + xz оо

В [6] для любого е > 0 дан способ построения целой функции экспоненциального типа сг/ < б, удовлетворяющей неравенству < Сае^ах\ где а > О, Са > 0. Отметим, что условие J[cp] < оо является необходимым, ибо для любой целой функции / , отличной от тождественного нуля и ограниченной на R, верно J(ln\f\) > —оо. При других ограничениях на функцию <р (условие <р(х+у) < (р(х) + (р(у) заменяется чётностью и её монотонностью на М+ = [0, оо)), аналогичное построение проведено Л.И. Ронкиным и С. Мандельбройтом. Наиболее сильный результат был установлен Бёрлингом и Маллявеном [7]. Они доказали, что каждая целая функция класса Картрайт, то есть целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию J[ln+\f\] < оо (а+ = max(0, а)) имеет е — мультипликатор для любого е > 0 . Это означает, что существует такая целая функция экспоненциального типа ijj€) аф < е , что \ip€(x)f(x)\ < const < оо, х Е К . Различные обобщения этого сильного результата в дальнейшем были получены П. Кусисом. То, что теорема Бёрлинга и Маллявена сильнее ранее доказанных теорем такого характера, следует из работы В.Э. Кацнельсона [8], который построил пример функции класса Картрайт, не имеющей мажоранты, удовлетворяющей какому — нибудь из указанных выше условий и требованию J[cp] < оо.

В диссертации ставится и решается следующая задача: при каких условиях на последовательность Л = {Ап} (0 < Хп f

00 / 2 \ оо) существует целая функция вида P(z) = П (1 — ^ ) n=i v

О < fjin | 00) с простыми нулями в точках Хп(п > 1), имеющая экспоненциальный тип и обладающая заданной асимптотикой на вещественной оси? Некоторые результаты такого типа приведены в обзоре [9]. Данная задача, представляющая самостоятельный интерес, является весьма актуальной в приоо ложениях, в частности, в теории рядов Дирихле cineXnZ

71=1

О < An Т оо).

Ряды Дирихле естественно возникают в различных задачах анализа, теории чисел, в дифференциальных уравнениях. К рядам Дирихле мы приходим, например, если в степенном оо оо ряде JJ anzn сделаем замену z = es. Ряд ^ anens называется n=l n= 1 рядом Тейлора — Дирихле. В случае, когда Хп (0 < Хп Т оо) — не целые, получаем ряд Дирихле общего вида.

Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями R — порядка и R — типа. Эти понятия в своё время были введены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [10].

Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [11], В. Бойчук

12], К. Нандан [13], [14], Ю. Шиа-Юн [15].

В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была рассмотрена в [16]. Позже в терминах R - порядка и R - типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [17] - [21], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [22], [23].

В начале 20 века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения, а также поведения функции и ее производных в окрестности точки максимума модуля А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана - Валирона. При помощи метода Вимана - Валирона решались также следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д.

В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [24], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, привлекли внимание многих математиков. Однако классический метод Вимана - Валирона и разработайные рядом авторов его модификации (см., например, в [25]) не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [24]. Но и в теории лакунарных рядов, а также рядов Дирихле со временем стали возникать всё новые и новые задачи. Это объясняется тем, что в связи с исследованиями А. Ф. Леонтьева, подытоженными в его монографиях [26] -[28] с 80-х годов прошлого века сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходящимся в произвольных выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, [27] - [29]). В этой связи и в настоящее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех или иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана - Валирона (или его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. A.M. Гайси-ным была разработана методика, которая нашла широкое применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используется интерполирующая функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля - Неванлинны из [30], а также уточненный им вариант оценок Н.В. Говорова ограниченной аналитической в единичном круге функции снизу из [31], [32]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие в работе [33], где изучались ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие произвольный рост вблизи

10 прямой сходимости.

В настоящей диссертации исследуются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие конечный порядок в смысле определения, данного в статье [17]. Суть задачи следующая: при некоторых предположениях правиль

00 / 2\ ности поведения функции Q(z) = (1 — jj ) на вещественп= 1 V ной оси в [17] для порядка р в полуплоскости и порядка ps в некоторой полуполосе была получена оценка: р < ps + q ( q — величина, зависящая от последовательности А). Вопрос о точности данной оценки до сих пор оставался открытым. Более того, не было ясно, при каких условиях на А функция Q обладает требуемым поведением на вещественной оси. В настоящей диссертации найдены условия (они сформулированы в терминах распределения последовательности А), при выполнении которых справедливы точные оценки для величин р и ps. При этом ширина соответствующей полуполосы зависит от некоторой специальной плотности распределения точек последовательности А. Как следствие, получен критерий равенства соответствующих характеристик для суммы степенного ряда, сходящегося лишь в единичном круге.

1. Hadamard J. Essai sur l'etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor //J. Math, pures et appl. 1892. T.8. P. 154 - 186.

2. Fujiwara M. On the relation between M(r) and coefficients of a power series // Proc. Imp. Acad. Japan. 1932. V.8, N56. P. 220 223.

3. Говоров H. В. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения // Труды Новочеркасск, политехи, ин-та. 1959. Т.100. С. 101115.

4. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.:Мир, 1966. 104 С.

5. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956. 632 С.

6. Марченко В. А. О некоторых вопросах аппроксимации непрерывных функций на вещественной оси III //Зап. мат. отд. физ.-мат. фак. и Харьковского мат. общ-ва. 1950. Т.22. С.115-125.

7. Beurling A., Malliavin P. On Fourier transforms of measures with compact supports // Acta. math. 1962. V.107. N2 3,4. P. 291 303.

8. Кацнельсон В. Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением // Функц. анализ и его приложения. 1971. Т.5, т. С.37 47.

9. Redheffer R. M. Completeness of Sets of Complex Exponentials.// Advances in Mathematics. 1977. V.24. P.l 62.

10. Ritt J. F. On certain points in the theory of Dirichlet series // Amer. Math. J. 1928. V.50. P.73 86.

11. Дагене E. Я. О центральном показателе ряда Дирихле // Литовский мат. сб. 1968. Т.8, №3. С.504 521.

12. Бойчук В. С. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле // Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. С.238 240.

13. Nandan К. On the maximum terms a maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series // Ann. Polon. Math. 1973. V.28. P.213 222.

14. Nandan K. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series // Rev. roum. math, pures et appl. 1976.V.21, №10. P.1361 1368.

15. Yu-Chia-Yung. Sur la croissance et la repartition de Dirichlet qui ne convergent que dans un demi-plan // Comptus ren-dus Acad. Sci. 1979. AB288, №19. A891 A893.

16. Галь Ю.М., Шеремета M.H. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле // ДАН УССР. Сер. А, 1978. №12. С.1065 1067.

17. Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Матем. сб. 1982. Т. 117(159), №3. С.412 424.

18. Гайсин A.M. О типе функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа.: БФАН СССР. 1982. С.З

19. Гайсин A.M. Разложение функций, аналитических в полуплоскости и имеющих конечный R тип, в ряды экспонент // Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменных. Уфа.: БФАН СССР. 1983. С.30 - 42.

20. Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче // Исследования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20 29.

21. Гайсин A.M. Поведение суммы ряда Дирихле в полуполосах // Матем. заметки. 1987. Т.42, №5. С. 660 669.

22. Скаскив О.Б., Сорокивский В.М. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций, представленных рядами Дирихле // Укр. мат. ж. 1990. Т.42, №3. С. 363 371.

23. Сорокивский В.М. О росте аналитических функций, представленных рядами Дирихле // Укр. мат. ж. 1984. Т.36, №4. С. 524 528.

24. Polya G. Untersuchungen liber Liicken und Singularitaten von Potenzreihen // Math. Z. 1929.V.29. P.549 640.

25. Шеремета M.H. Метод Вимана Валирона для рядов Дирихле // Укр. мат. ж. 1978. Т.ЗО, №4. С. 488 - 497.

26. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536С.

27. Леонтьев А.Ф. Представление целых функций рядами экспонент// Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1991. Т. 157. С. 68 89.

28. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент для функций с определенным ростом вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1980. Т.44, №6. С. 1308 1328.

29. Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. 1987. Т.51, №2. С.287 305.

30. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 С.

31. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, 1986. 240 С.

32. Говоров Н.В. Об оценке снизу функциисубгармонической в круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып.6. Харьков:Изд-во ХГУ, 1968, С. 130 -150.

33. Белоус Т.И. Асимптотические свойства рядов Дирихле,сходящихся в полуплоскости // Диссертация.кандидатафиз мат. наук. Уфа: 2004.

34. Кацнельсон В.Э. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением.// Функциональный анализ и его приложения. 1976. Т. 10. Вып.4. С.35 44.

35. Мацаев В.И. История отечественной математики. Киев: Наукова думка, 1970. Т.4. Книга 1.

36. Koosis P. The logarithmic integral. I. Cambridge University Press: 1988.

37. Мандельбройт С. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИЛ, 1955.-267 С.

38. Леонтьев А.Ф. Последовательность полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.-384 С.

39. Леонтьев А.Ф. О сходимости полиномов Дирихле//ДАН СССР. 1956. Т.108. С. 23-26.

40. Красичков И.Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка.// Сиб. матем. журн. 1965. Т.VI. JVe4. С. 840 861.

41. Baillette A. Approximation de fonktions par des sommes d'exponentielles. // C. r. Acad. sci. 1959. T. 249. № 23. P. 24702471.

42. Гайсин A.M., Сергеева Д.И. Целые функции экспоненциального типа с регулярным поведением на вещественной оси. // Вл. мат. журн. 2005. Т.7. В.З. С. 31 37.

43. Сергеева Д.И. Точные оценки порядка ряда Дирихле в полуполосе. // Уфимская международная математическая конференция , посвящённая памяти А.Ф. Леонтьева. Сборник материалов. Том 2. Уфа: Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, 2007. С.82.

44. Гайсин A.M., Сергеева Д.И. Целые функции с заданной последовательностью нулей, имеющие правильное поведение