Асимптотические свойства функций, заданных рядами экспонент тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

» о

I ' VI-.

На правах рукописи ГАЙСИН АХТЯР МАГАЗОВИЧ

' АСИШТОТИЧЕСКЙЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЯ, ЗАДАННЫХ РЯДШ ЭКСПОНЕНТ

01.01.01 - Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора фиэихо-математически* на^тс

Екатеринбург - 15/95

ч

Работа выполнена в Институте математики с ЗЦ Уфимского Научного.Центра Российской Академии Наук

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат.наук, профессор

в 4 1 часов на заседании диссертационного совета Д 002.07.02 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора физико-математических наук в Институте математики и механики Уральского отделения Российской Академии наук по адресу: г. Екатеринбург, ул. С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Коробейник Ю.Ф.

доктор физ.-мат.наук, профессор Хабибуллин Б.Н.

доктор физ.-мат.наук, профессор Шеремета М.Н.

Ведущая организация - Саратовский государственный

университет

Защита диссертации состоится

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. С конца прошлого века, а именно после выхода в свет известных работ Ж.Адамара стало развиваться новое направление в теории функций: изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э.Еорель, А.Виман, Ж.Балирон, Д.Пойа и другие.

Ещё в 1892 году Ж.Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М.Фудзивара, М.К.Говоровым и другими.

Непосредственным обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными .возрастающими до бесконечности показателями

Дня изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями К - порядка к К - типа, сти понятия были введены Риттом. Им да были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле. Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимся б полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е.Дагенё, В.Бойчук, К.Нандан, Ю.Шиа-Юн. •

В начале века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом её степенного разложения» а также поведения функции и её производных в окрестности точки максимума модуля А.Виман и Ж.Балирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана-Валирона.

В 1929 году была опубликована статья Д.Пойа [32] , в которой

помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д.Пойа, были подхвачены многими математиками. Однако классический метод Вимана-Валирона и разработанные рядом авторов его модификации не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [32] . И М.Н.Шереме-. той была разработана новая модицикация этого метода. Это позволило получить ряд глубоких результатов, относящихся как к лакунарным степенным рядам, так и к рядам Дирихле. Но как и в любой теории, • в теории лакунарных степенных рядов, а также рядов Дирихле остаются нерешёнными многие важные проблемы, при решении которых возникают все новые и новые задачи. Ъто обусловлено также тем, что в связи с исследованиями А.Ф.Леонтьева, подытоженными в его монографиях [б] - [б] , в последнее время сильно возрос интерес к рядам экспонент., сходящимся в произвольных, выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имею- ; щих заданный рост вблизи границы области регулярности в ряды экспонент. В этой связи представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи г$шицы области регулярности в зависимости от её роста в тех или иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана-Валирона Сили его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. Таким образом, возникла необходимость в разработке новой методики, основанной на достижениях теории функций и рядов"экспонент. В диссертации и разработана такая методика, при помощи которой получен ряд новых результатов. Большинство задач, обсуждаемых в диссертации, нами исследованы впервые. Они ранее в литературе не рассматривались.

РАБОТЫ. I). Исследовать асимптотику суммы ряда Дирихле

«

на кривых, имеющих предельную точку на границе области сходимости^ установить связь »¡езду существованием асимптотических знштаний суммы ряда Дирихле и усиленной неполнотой системы экспоненту получить теоремы единственности;

2) установить теоремы типа минимума логарифма модуля суммы ряда Дирихле;

3) изучить асимптотику суммы ряда Дирихле с вещественными коэффициентами, редко менявшими знак;

4) получить оценку суммы ряда Дирихле через эе максиму« модуля на вертикальном отрезке в ситуации, когда показатели рада - ¡нули целой функции, имеющей„ вообще говоря, нерегулярное поведение на вещественной оси; '

5) изучить асимптотику суммы ряда экспонент,, имеющей эаа&нннй. рост вблизи границы, ограниченной^ выпуклой области; установить аналоги ранее известных оценок з полуполосах ряда Дирихле, схэашх— гося в полуплоскости.

Исследования, намеченные в пунктах I) -4), провести-1 где э^о целесообразно) для рядов Дирихле, сходяпяпсся эр впей плоскости или в' полуплоскости и имеющих как заданный, так и произасльнкй рост вблизи границы.

МЕТОДЫ ИССЛВДОВАШШ. Б диссертации нами яироко используются методы теории рядов экспонент, разработанные А.Ф.Леонтьевым (интерполирующая функция А.Ф.Леонтьева, его формулы для коэффициентов, интегральные представления* через интерполирующую функцию и т.д.), систематически применяются различные модификации теоремы Бореля-Неванлинны из [3] „ а также уточнённый нами же вариант оценки Н.В.Говорова ограниченной аналитической в единичном круге функции снизу из 12] . Нами используется также одна идея из |зх] Всё это в совокупности и составляет основу нашего метода исследования.

- б -

НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Все основные результаты диссертации являются новыми. Нами разработан новый подход, что позволил в диссертации исследовать и решить ряд новых задач, -связанных с ростом суммы ряда экспонент вблизи границы в зависимости от её роста в тех или иных подмножествах, примыкающих к границе области сходимости. Ранее известные метода, при помощи которых исследовалось поведение лакунарных степенных рядов, в нашей ситуации, вообще гороря, не применимы. Все задачи, сформулированные в целях работы, нами решены. В ряде случаев получены неулучшаемые результаты. Нами обобщены и усилены результаты Т.Ковари, А.И.Павлова, М.Н.Шереметы, О.Б.Скаскива, К.Бинмора, H.A.Евграфова, Фукса, Диксона, Коревара, Хеймана и т.д.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и разработанная в ней методика могут быть полезны как для развития самой теории рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких как теория аппроксимаций аналитических функций в комплексной области, теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка и т.д.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзном симпозиуме по теории приближений (Уфа, 1967), на Всесоюзной конференции (Нижний Новгород, 1991), на Международной конференции "Алгебра и Анализ" (Казань, 1994), на семинарах в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, в Башкирском, Львовском, Ростовском - университетах, в Международной школе-симпоэ*уме (Воронеж, 1995).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты ди ¡сертации опубликованы в статьях; [35] - [5.6] .

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и семи глав. Список литературы содержит 106 наименований. Объём диссертации - 234 с. *

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ - .

В дальнейшем будем придерживаться следующих определений и обозначений. Пусть Д - возрастающая последовательность

положительных чисел, имеющая конечную верхнюю плотность,

Величина & называется индексом конденсации последовательности Д . Будем говорить, что последовательность /\ имеет нулевую ск. - конденсацию, если

и у- (.¿Щ-Л =0' , * « . ,

^де тах - -^Ц!^)! • Ясно, ЧТ0

если о = 0 » то последовательность Д имеет нулевую оС. - конденсацию. '

Для функции |- , представленной абсолютно сходящимся в области I ¡а~

С а , - оо < с. 4= оо | рядом Дирихле

Оо

_ \

Л

(Г)

положт М(6)= ьир I г (6<аУ -ПУСТЬ

Ш<00 -

Н (6) - максимальный член ряда (I). /ия фиксированного VI

(О < к < оо) 7 6 < (X положим 1 акже

/(6,Я)=тСл 1Г(6+Ш1 , Ф(б/г) = таос (¿<0) да с/, 0 1 •

Наши асимптотические оценки будут получены вне некоторых исключительных множеств, для характеристика которых будем пользоваться следующими понятиями. Для измеримого множества £ [.О ,со) верхней 13Е и нижней плотноегями^верхней Еп-ОЕ и

нижней логарифмическими плотностями называются вели-

чины

№ | тез(ЕПю,Х]) U-.DE О— < С Ж

=■ ита---- » = -т— \ -г •

Дяя измеримого множества Е ^Сг^О} верхней £5~Е и нижней с| Е плотностями будем называть величины

а-Е=х%о-т"1ебСЕЛи'0)У

Кратко остановимся на истории проблемы, обсуждаемой нами в главе I. Пусть [ Р^ ~ возрастающая последовательность натуральных чисел-,

Л оо [

/

- целая функция. В работе [32] Д.Пойа высказал гипотезу о том, что если последовательность | р^| имеет н? левую плотность и порядок функции (2) конечен, то

где М о(*П = м2^ 1 |СЧ)1 , т рСО = тгп .

Справедливость этой гипотезы установлена Фуксом в [22"\ . При тех '

же допущениях он показал, что для любого £_>0 для Bcext вне некоторого исключительного иизсессь^ G ) кулевой лога-

рифмической плотности

EnM^ct) < cut) Lm^en . с)

Хейманом установлено, что если функция имеет конечный

нижний порядок и = П.—э-оо , то оценка (3) имеет мес-

то вне Е LO„C>o") , In- dt - О [23"] . В работе [I3-] найдены неулучшаемые условия, при которых справедливы результаты Зукза и Хеймана.

В главе I приведенные выше результаты полностью перенесены к;, целые ряды Дирихле. Отметим, что анал0г результата 2укса для ряд'.' Дирлхле впервые, доказан в [43] .,

ТЕОРЕМА I.I. Дусть последовательность Д_ имеет нулевую оч~ конденсацию, О <- <. сю . Для того, чтобы для любой функции ; конечного R, -порядка при ^ оо вне некоторого множества £ О. ЦО, оо") нулевой нижней плотности выполнялось равенсг-'ь.:

8пМ(6) = С1-ГОИ)) Ux,

необходимо и достаточно, чтобы

lim — .Ц- i- — о .

Утверждение теоремы I.I справедлю о и для функций конечного нижнего R -порядка, если в условии (Г>) нижний предел заменить на обычный предел (теорема 1.2).

ТЕОРЕМА 1-3. Дусть последовательность J\_ имеет нулевую плотность и - О (¿Л

¿5 —Оо . Тогда при ¿5—Оо вне некоторого множества нулевой п.; ^

ности справедливо равенство

Если для некоторой последовательности )0<¿>Ktco,

= ' т0 оценка ^ имеет место вне

£ С- LO,oo) нулевой нижней плотности (теорема 1.4). В теоремах 1.3 и 1.4 индекс конденсации S произвольный. Из теорем I.I-I.2 результаты из [l3] непосредственно не следуют. Однако для натуральных "X >v f^ ( =: YYl'A'X- \ p (Ал -U л \

I ti All* v 'i В чтом случае применима лемма Турана. Результаты из {13"! получа -

jotck дословным повторением доказательств теорем I.I-I.2.

Б § I.E. доказаны теоремы I.Ь и 1.6, усиливающие следующий результат М.Н.Шереметы из [15] : если Л = £> , ft оо ,

• 3 целая функция р , заданная

рядом (I), имеет конечный Р, -порядок , то J» = у , где J R - порядок функции р на положительном луче. Нами доказаны следующие теоремы.

ТЕОРЕМА 1.5. При выполнении условий теоремы I.I или 1.2 имеет место равенство

te UR^l

In-1Л (6)

IVI f A \

S—r CKS

где - любая кривая, уходящая в бесконечность так, что если

Г и Ь Оо . то

ТЕОРЕМА 1.6. Пусть последовательностьимеет нулевую ^ -конденсацию, для которой существует предел

б - fcm J_ 21 L

a v)(A ,F) - класс целых функций вида (I), имеющих конечный Я - порядок § £ .

Для -ioro, чтобы для любой функции {- S(.f\,F) ' для кривой Г (кривая обладает тем же свойством, что и в теореме 1.5) выполнялось равенство Р = Р , необходимо и достаточ-

JR J Г

но, чтобы ($ - О

Здесь Р R - порядок функции F на кривой 1

J f-

Приступим к обзору основных результатов главы П. Известно, что если ^ - аналитическая рута, и

1

4" < оо.. <6)

то система | (£ J не полна в С ) [24] , ¿30] . В [33] этот результат доказан для некоторого класса бесконечно дифференцируемых дуг, содержащего и аналитические дуги. В случае же, когда последовательность Д подчинена следующим условиям регулярности

Оо ,

ft L(M , СК L(Mtoo Т--г<оо

неполнота системы

в Си)

установлена в [251 для дуг X 1 все хорды которых имеют угловые'коэффициенты ij= cj_(li)< ^ ■

Введём определение (для системы | ^^ соответствующее зпределение дано в [26].).

■ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система; экспонент f G * } . называется усиление не полной, если для любых Ц , & , G С- со'< d< Ь <_оо

э<с<оо) 7 ^ (о <j5=f г*.,

inf ínflie.^ -Hc^^ll ' - eßxa(6,c)>0.

íCa:E>) У

Здесь |¡ » внутренняя точная нияняя

*

грань берётся по всем квазиполиномам ¿_ С.к(± » а вненняя -по всем кривым ¡ГССЦЬ) из прямоугольника P^í^g, с) = = Й^Хб Bj 1УКС}> соединяющих его вертикальные стороны.

Когда все О-ц. и р натуралыке, в этом определении мокло считать, что О <- С • 4 Оо • Если С-= Оо , то P(a,ßc) " вертикальная полоса, - кривая, соединяющая пряные

Яаг = а и = & .

Ёудем говорить, что кр'ИЕ -.я & имеет ограниченный наклон, если найдётся , такое, что угловые коэффициенты всех- ¿

хорд fí по модулю не превосходят . ■

Через L обозначим класс неограниченных, непрерывных и возрастающих на LO, оо) функций, а через W - подкласс L

такой, что если V/ 6:\л/ » то - оо

. Т ^dUoo. i t .

Через Y обозначим подкласс , состоящий из функций V 7

удовлетворяющих дополнительному условию: Vi-jQ ^ * -tt ОО (символ -j, 'означает мо;:ото1шое убывание).

ОПРЕЩЕЛЕКИЕ. Последовательность натуральных чисел на-

зывается интерполяционной, если найдётся функция у é;-"^" > такая, что для любой последовательности комплексных чисел 15к.] 1В al sH > существует целая функция У ) со свойствами [26] :

.. .

ю' -> - » "г V ' ------ 'Ч/! 1 ^ р ' ' .

V; ... .= п- I с.

- . . ... у

J

Для того, чтобы последовательность \ была интерполя-

ционной, необходимо и достаточно, чтобы существовала функция V 4"У » такая, что |1В"\

а) П.С1) £ , 4 ■

.6}

•Ы 1 ^У(Рп)

_Г1 < р„. < 2 Р

" I У

' ' 1 п.

Интерполяционные последовательности иснил^зо?анк в [26] для рспения некоторых задач апптюкси1"' цки к для иссяедззак'.:я асиишихи-чэскях значений иеянт ¿тушмтий пип» (э^

показ?.?, что для любой последорас^ь^оо'л; \ у \

- • ' п )

удовлетворяющей условию Оо • .

71 — оо , :г

существует цел ар. Дикция вида 12), ограк гченная ка^О.оо) .

И.ч ке тогда была высказана гипотеза, утвгрздаищал, что если для | Ри. ^ выполняется условие-(8), то любая целая функция (2) не ограничена на любой кривой, уходящей в бзсконечность (проблема Ма-кинтайра). Это означает, что функция (2) не имеет конечных аекмпто-тггирсКИХ »

Для функций конечного нижнего порядка справедливо с?ъ гипотезы доказана в [34] . Применяя интерполяционный метод, Павлов доказал, что если

оо

с) ; д) X I < оо. , ПО)

'к 'п

то

(пМл(«о '

2 со т

(II)

2-

где ^ - целая функция произвольного роста, заданная рядом (2), а С. - кривая, уходящая в бесконечность [9] . Отметим, что ранее ■равенство (II) было установлено Т.Ковари для последовательностей •.Р^пС'п [27].

В [26] показано, что последовательности { , удовлетво-

ряющие условиям (10) или условию РЛ С И (£п к) ( 1п и

(^>0) являются интерполяционными. Основной результат работы [26] заключается в том, что если последовательность [ Рк] интерполяционная, то система { 2 ] усиленно не полна. Отсюда непосредственно выводится справедливость гипотезы Макинтайра для таких последовательностей. Отметим, что для интерполяционных последовательностей равенство СП) также имеет место. Оно вытекает из результатов работы [39] (в [26]- асимптотических оценок для не имеется).

В главе П рассматривается более общая ситуация, где интерполяционный метод Павлова-Коревара-Диксона. уже не применим. Основные результаты главы - теоремы 2.1 и 2.2, из которых, в частности, вытекают все приведенные результаты из [9] , [27] , [26] , [39] . Главные наш идеи содержатся в доказательстве теорзмы 2.1 об усиленной неполноте системы ^ . При доказательстве остальных теорем применяются по существу те же рассуждения. Методика,

- 18 - • * функция f , представленная рядом (I), удовлетворяет условию

L \Нь)\ = о (Res) , bkV , 5 — cg .

Если выполняется условие (8), то j-(S) = 0.

В § 2.6 доказана следующая теорзма.

ТВОРЕНА 2.6. Пусть m * oU , (*„=-HiIL'ÜJI . и !

t=>0 «¡ н. < I

£ dt <. оо . CI3)

Если выполняется условие (8), то для целой функции р- , заданной рядом (I), справедливо равенство (7).

Из этой теоремы легко следует равенство (II), установленное Павловым и Ковари для рядез (2); Белее того, условия теоремч 2.6 существенно слабее даже условия интерполяционное«!, поскольку в условиях а) и б) из критерия ¡-,.:тзрпоят^.ог^остя требуется эогну-тость мажоранты S''

Отметим, что при доказательстве теоремы 2.6 мы применяем дру- ' гой метод, отличный от методов работ [9] , [27] . Интерполяционный метод в этой ситуации не работает.

В § 2.7 исследуется асимптотика целых рядов Дирихле с вещественными коэффициентами, редко меняющими знак, на луче L0,Oo) • Ранее исследовались только ряды Тейлора. j

Пусть . ..'

л Оо ^

сг = х+г^) (14)

1 к = О ' '

- целая транцендентная функция с вещественными коэффициентами, а

- последовательность перемен знаков коэффициентов, j т.е. Qp^.Ü О , где fj = тЛОС ( К < Р^ ' Ö ^ф О ^ . | Случай, когда функция (14) имеет конечный порядок, рассмотрен в

а { М ^ ^ ~ некоторая последов!.тельность положительных чисел, удовлетворяющих условиям:

1) -И ^ ^ Мц. , для нексторого ¿> О (к.'М')-

2) I , ^ ? I для некоторого ¿>0 » Для всех \\ ^

'—' п 1—' т ^

(п,т= -1Д,..-) > если М, 1

ш.

А

3) Pim 1Мдкс11с|"-0.

к—> оо По определению [17 j

Yl

ЫИкДО,оо)Ьи б'^КДО.оо)),

^ ' I ^ X-V

где

((с)

о(>0 ,^0 -некоторые постояннее, | ^

= Sup I ф(к)суИ ^ г <гХ ^ I ■ Заметш, что из условия I) следует

XfcLOpo)

замкнутость пространства CL/( М k 10,С>о)^) относительно дкф -ференцирования, а из условия 2) вытекает замкнутость этого прост -ранства относительно операции умножения.

ТЕОРЕМА 2.5. Ц/сть на некоторой кривой

ТЕОРЕМА 2.3. Дусть дуга Jf имеет ограниченный наклон. £слг для некоторой функции ^fc Y выполняется оценка

lut) < VU) , KlCt) \

дл- тпбпго р>

M Н>г - И с„еА"%>0,

. с». 1 г

Из этой теоремы, в частности, втекает неполнота системы

''< } » С иг) .

3 теоремах 2,2, 2.4 при условиях теорем 2.1 и 2.3 соответст-

___

венно установлены равенства типа (?) для tr/нкшй 'Г ') Стои-

рема 2.2) и V(.è ) (теорема 2.4), .-дс

Ycé>- wax i V-"Сt}\ './v'd6=c , . •

Условие (12) означает существование "правильных" уяжорант .чтя функций ¡_j(ÎZ) и | L. (.1 S. j j ^ и называется условием ткг;а Левине она. Отметим, что многие утверждения доказаны лишь при наличии "правильности" роста соответствующей мажоранты (с»,;.,например,, в [!) , [5] ', [19]

В § 2.5 даётся обобщение следуюшэй теоремы М.А.Евграфова из [4] : если выполняется условие (8), и целая функция P(s") вида (I) ограничена на[.0,Оо) , то 1г (.5) О

Для формулировки теоремы из § 2.5 введём пространство

£ЛМк,ю,©о)).

Цусть • .

ОО . Оо

Loo-П fffi f<00

применённая здесь позволяет такие усилить приведенный выше результат из [25] о неполноте системы { в С (.&) > заменив условие *£(}>)на более слабое требование: Положим i(h) ** ßljh) • гДе ОО . оо

, flL(.teiS)i £ At.

Ясно, что 1t о I 0 • Поэтому

L(b)f ОО при МО .

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть Л

< оо (. кс<^)~ • 12)

° f ^ у. ?

Тогда система n j усиленно не полна.

СЛЕДСТВИЕ I. Пусть % - любая кривая. При условии (12) система | ^ не полна в Q. (&) • Пусть ■

SiT.oM^x^ • HjUT<©o} >

а Г - кривая, удовлетворяющая уелоби» из теоремы 1.5.

СЛЕДСТВИЕ 2. При условии (12) пункция F » представленная рядом (I) не ограничена на Г , Т~ ^ S СТ,(У) •

Для натуральных условие f~o. SCT,0) в следствии 2

не существенно. Отсюда следует, что iри условии (12) любая целая функция вида С2) не имеет ксне* нёх асимптотических значений.

Отметим, что из условия (12) воебще не следует разрешимость интерполяционной задачи б классе цель'х функций экспоненциального типа (§ 2.1).

работах [32*] , [1о] . Ситуация, когда функция С14) имеет бесконечный порядок, мало исследован. Отметим лишь следующий результат А.И.Павлова [ю1 : если для последовательности { р^ перемен знаков коэффициентов ряда (14) выполняются условия (10), то найдётся последовательность' {Х^ , Х^—^ оо > такая, что -

Х—оо /15)

г * '

С другой стороны, для любой последовательности [Рк} » Для которой выполняется условие (9) существует целая функция , ограниченная на [ О , Оо) , для коброй { Рп ^ - последовательность перемен знаков коэффициентов [21] .

Пусть последовательность Д показателей ряда (I; имеет конечную гзрхнюю плотность и удовлетворяет следогсощим естеетенкым условиям несгущаемости:

'Ь и К'Х а и) - Ш) з < оо/л 1 а> ё ^^ (и\

где ^ . а ^ - некоторая функция из\л/

л <4- • !

'чг-1 i 'Через | Р^ . обозначим последовательность п^ре-сп знаков коэффициентов ряда (I), т.е. С1р^ . (Яр <() \ р/- тй'Х[К<Ра' | йц+ОДтИ}. Доложим э , |

оо ^— - 1

. ТЕОРША 2.7. Пусть

/Ц 1- <. оо . С16).

ели для е1СЛ) втлюлняется условие (13), то при ¿-^оо вне

некоторого множества ¿H СО,оо) нулевой плотности

. . к\Лш иг £n!R¿)l

Условия (13), (16) для справедоп-вости теореьш 2Í7, существенны (§ 2.7).

СВДСТШЕ. При условиях (13), (16) для функции (14) (в этом случае = Рл )

L М| (*) = ( i + 0(i)) fel||(X)¡, CI7)

когда X —оо вне некоторого мной ества нулевой логарифмической плотности. ,

Ясно, что (17) есть более сильнел оценка, чем (15). Более того, если через { Р«,} обозначить гозрастащую последовательность натуральных чисел из U t\: , где A.^fJ f 2.3 1

„i*- ^ J J I L31 J0

-2 ( LQ] - целая часть a), ю для этой последовательности

при Cln.-A условия (13), (16) вкполнены (§ 2.6), хотя условие с) из (10) вообще не. имеет места (последовательность { рл} даке не интерполяционная [18] ).

Глава Ш посвящена оценке суммы ряда Дирихле (целой или аналитической в По ^ через её максимум модуля на вертикальном отрезке.

Пусть - {сО] - семейство полуинтервалов вида [.й, &"). Считаем, что | оО 1 < оо ( - длина UJ ). Всякая после-

довательность Л- {Д^ С0<Ajt Cxi") порождает целочисленную считающую меру м ; и. (u)) «TI i , Q. • ПУСТЬ

J ^ J A " ^ею

J* p - считающая мера, порождённая лоследоватзльностьв f— { J-íj I ( 0< \ oo] • Тогда включен de Д С. Г означает, что J1 (td) ¿ Ji |-(u)) для любого (О . • В этом случае гово- | рят, что мера мажорирует меру р ^ . .. |

т г

^ - плотностью последовательности /\

насыпается вели-

чина

г>--г4 1а , юш-и-уш,«.

ч^У А-оо 44«

Аналогично определяется плои .ость

Через Д (о. 1 обояняшл» »»»ее гокймозатадьйостея /\ , условием; ,

I) для некоторой функции' ц <1 \л/

о

где Н число точек 01- з интервале

У /у . ^ О '

2} найдётся мера р- ^ , макорщующая ^ , такая, что для некоторой функции \д/

! ц (О = Т1 -I (о_

пусть а^ 1 Л • А Д ы)]

)

В § 3.1 пока-

зано, что (для последовательностей /\ , удовлетворяющих условию!) ) а*« О • , где К= Згч /(М » а У (Л) - радиус полноты системы в пространстве ¿-Г Г ; -ГТу.-т, |. - целая функция, задан 1ая рядом (2). Положим

Ми^)^"1**!!!^:!*!»* • .где

СО - отрезок. В работе ¡20] доказала следующая теорема.

ТЕОРЕМА А. Пусть последовательчость Д имев? плотность < \ • ^сли Л>Х) ' то лю|5ого отрезка и)

| сО | >£ЗГД » ПРИ ^-''Оо вне некоторого множе-

ства £ о [О, оо) .конечной логарифмической меры

^М^.со-о+ос^&ьМ^.иЗ)

CI8)

В работе [14] показано, что еан отрезок СО фиксирован,

и выполняется условие

оо

И. — ■<, оо , С19)

то оценка типа С18) верна для любого Л > О • Этот результат даёт' положительный ответ на гипотезу Ковари, высказанную им в [28] . Но как показывают примеры, условия £) — О и (19) независимы. Это наводит на мысль о- том, что оценка (18) должна иметь место при более общих условиях, выяснению которых и посвящена глава Ш.

Мы рассматриваем ряда Дирихле (") абсолютно-сходящиеся в области П а . Отметим, что при условии (8) аналог оценки (18) для целых рядов Дирихле получен в [14] , ко только для натуральных

, либо при следующих дополнит« льных условиях на коэффициен-

a^iajie?^ *. jeu зг .

Это объясняется тем, что метод Виманг.-Валирона и лемма Турана, использование в [14] , позвбляют полнить требуемую оценку только в. том случае, когда для некоторого & (04 CL < ОО") при ¿>—*г ОО вне некоторого множества конечной керн

+ ^ maoc IF(^U)!.

■ Itua

А в работе [14] это условие выполненс при Q.= JT 'и (X — О .

С другой стороны, если для оценки функции '¡F('s)| использовать формулы А.Ш.Леонтьева

^ Q .

где Vnt"^ . ~ Функция, ассоциированная по Борелю с целой функцией .

LCX) , ;

TPwüüu-' ' I

то в общем случае также нельзя получить указанную оценку, поскольку ; функция L С\) может иметь нерегулярное поведение на веществен- I ной оси. В главе Ш указан способ преодоления этих трудностей. !

I

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть ряд (I) абсолютно сходится во всей плоскости. Если Д (z (\ (СО , <4 у Q »то при —*- оо вне некоторого множества Е LO ОсГ) конечной меры

' = о -ои)) , (20)

где |V\ Д) ^ maoc + , а I - любой

F it fei

вертикальный отрезок , ¡Ц^" 2/JTci

Пусть - подкласс множества [_, , состоящий из функций

С^Р , для которых:

^ vc&t) «Т у а) (о<т<оо).^б) Eni - mt

t öo >

где ^ - функция, обратная к .

Пусть Ф^Ц , а - функция, обратная к . Через ¡\у(.а) обозначим подкласс Д {_<!) , такой, что

Оо

Оо

где VI^ , Ыг - функции из определения класса Д (¿1) . Поло-

у .

- : Д^. ЛчрСа).} .

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть ряд (I) абсолютно сходится лз По • Еус*^ далее, при некоторой функции Ф из выполняется

оценка

tim "У1™* >о- Ш)

Если Д £ Д у (СО и > а* , то при ¿> О - вне некоторого множества £ с L-i,0) > d~E-Q • справедливо равенство (20). Если в

(21) fc тп заменить на liTП . , то (20) имеет • место вне £с L-4,0) , Т> Е =0 .

Отметим, что условия типа (21) вполне естественны в случае, когда область сходимости ряда отлична от всей плоскости (см., например, в [II] , [12] ).

Из теорем 3.1 и 3.2. вытекают следствия для рядов (2), сходящихся во всей плоскости ив единичном круге. В частности, когда показатели О^'п. натуральные, Д Д (а") . d & , кэ теоремы ЗЛ вытекает утверждение теоремы А.

Отметим, что если Д^ Д (й) , то из условия I) (см. определение класса

Аса)) следует, что

4 naAVH^-O , wtW, С22)

где с{к — WlR \ ' Если условие (22) не выполни-.

j+к v • . i

ется, то теорема 3.1, вообще говоря, неверна. ;

«

Теорема 3.1 не только содержит, но и усиливает результаты из [20] , [14] . Действительно, Q < D , и если 15=0 или

** .. ' .;

- 25 -

£

заполняется условие (19), то О. — О -В диссертации построены , следующие примеры последовательностей {"Хц.^ ( .0- ^ -- натуральные) : ..'••!

1) <Х" - о , Г) - О , но ряд (19) расходится; . ,

2) О . ш 'ТОЧ -----с-, ¿» ; • ' ;

- I

3) СС~0 ,.ряд (19) расходится, X) — Л * I

Наконец, отметим, что функции | (Ке."Х) | и |!_,СХ»0| могут | не иметь регулярных (в некотором смысле мажорант, хотя /\ /\ (Д) !

I

(примеры I, 2 из § 3.1).

Глава 1У посвящена исследованию асимптотики целого ряда Дирих-лп произвольного роста в связи его ростом на луче и в колосе в тер-Ч!\-г>; минимума логарифма модуля на вертикальном отрезке. Отметим, 4го •>*«» ¿опросы даче в случае функций вида (2) исследованы недостаточно. Гак, Т.Коваря показал, что если X ) - целая функция вида (2), и Гн ^ П. Ьг\. 11 ( О") > то оценка (3) имеет место шо некоторого множества конечной логарифмической меры [26] ' В работе [23] Хейманом установлено, что если

4231 ]

то оценка СЗ) имеет место вне некоторого множества нулевой логарифмической плотности. Напомним такие,, что при условиях (10) в [9] • ■ | •. доказана более слабая оценка:

; £ О у) - (1 + 0(«) Ц(|.)|, Мг, 6. - ОС |

С Г - ,:>пя зотеяя, уходлщап в бесконечность). Возникает вопрос: |

какг . -.*<•. • .:нх ' • ' ' .

Когда 121-* оо вдоль достаточно массивного множества? Ответ на этот вопрос содержится в § 4.1 (теорема 4.1).

ТЕОРЕМА 4.2. Пусть П^ОСХ^ , а—»-оо , оо

Если выполняется условие (13), то при ¿--г оо вне некоторого множества £• cz. СО,оо) нулевой плотности имеет место равенство (4). -

Для справедливости теорем 4.1 и 4.2 условие (13) существенно.. Отметим, что в отличии от последовательности { с условием

(23) последовательность {'Х^ из теоремы 4.2 не является интерполяционной.

В главе. У все результаты иэ главы 1У и 5 2.6 полиостью перенесены на ряды Дирихле, сходящиеся лишь в полуплоскости П0 Сформулированы следствия для рядов (2), сходящиеся в круге .{1: ШМ) ,

É главе У1 исследуются ряды Дирихле, сходящиеся в полуплоскости П0 и имеющие конечный f\ - порядок. Найдены условия на последовательность /\. , при выполнении которых R -порядки в любых полуполосах S (_ft ,-to-) = \ S = Ü : l-fc~.toUa h> < O j совпадают. Индекс конденсации последовательности /\

может быть произвольным. Приводится пример, когда при тех же условиях R - порядки на горизонтальных лучах различный § 6.1, § 6.2). ■ T?j

В § 6.3 показано (теоремы 6.2 и 6.3), что если

Ьт ¡Ь. х -1 - О ,

X * Оо

то имеют место неулучшаемые оценки ^ <_ § ^ \ ' ^ Я - порядок на луче (-оо,0") . а.

I- и .

-ЛП

к—^ ОО л

С (и

Из теорем 6.2 и 6.3 вытекает следствие.

СЛЕДСТВИЕ. Пусть выполняется условие (24). Для того, чтобы

для любой функции р , заданной в полуплоскости П 0 рядом .

(I) было справедливо равенство Р Р , необходимо и доста- ■

^ Я 3 о

точно, чтобы О

В главе УП исследуется асимптотика суммы ряда экспонент вблизи ?раницы ограниченной выпуклой области.

Пусть Д = (О < Оо) - последовательность

{омплексных чисел, I) - ограниченная выпуклая область плоскости,

•Предположим, что последовательность /\ такова, »то имеется ряд

Ь . ^ АЛ

:оторый абсолютно сходится в Т^ • но вне - расходится.

1пасс таких функций | обозначим через Ц(Х), /О • Пусть

, \z-irU

удем называть - порядком функции в области . В лаве УП, в частности, доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА б.З. Пусть 13 - ограниченная выпуклая область с гладас^й границей, • и

Р. '

ш--— - О .

К —» оо I

Тогда для любой функции ^ ^ (Д^) ^ ДД имеют место оценки

где

(26)

-+• Ч ,

т>

мл ц_ц

= ъ , К (V) - опорная функция области Ц} .

Оценки (26) - неулучшаемы (§ 7.3). При О из (26) получаем формулу К для вычисления Я - порядка $ ^

В главе Л1 также исследуется рост функции (- [4(^3, вблизи границу ^ в связи её ростом в секторе с вершиной ■

в точке О , примыкающем к 31) •

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вольберг A.JI., Ёрикке.Б. Суммируемость логарифма почти аналитической функции и обобщение теоремы Левинсона-Картрайт//Матем. сб. 1986. Т.30, №3. С.335-345. ,

2. Говоров-Н.В. Об оценке функции,, субгармонической в круге. - В кн.: Теория функций, функциональный анализ и юс приложения. .Харьков: иэд-во ХГУ. 1968. Вып'.б, с.130-150.

3. Гольдберг A.A., Островский И.В. Распределение значений мероморф-ных функций. М.: Наука, »1970.

4. Евграфов М.А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле// Успехи мат.наук. 1962. Т.17, 3 3. С.169-175.

5. Кацнельцон В.З. Целые функции класса Картрайт с нерегулярным поведением/функциональный анализ и его приложения. Т. 10, вып.4. С.35-44.

6. Леонтьев АЛ. Ряды экспонент. .М.: Наука, 137р.

7. Леонтьев А.5. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука, 1980.

8. Леонтьев АЛ. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1961.

9. Павлов А.И. 0 росте по кривым целых функций, заданных лакунарны-ми степенными рядами//Сиб. мат ем. журнал. 1972. ТЛЗ, X» 5. 0.1169-1181.

10. Павлов А.И. 0 росте на положительном луче целых функций с вещественными коэффициентами Тейлора//Матем.заметки. 1973. Т.14,

№ 4. С.577-588.

11. Скаскив О.Б. Поведение максимального члена абсолютно сходящегося в полуплоскости ряда Дирихле//ДАН УССР. Серия А..1988, № 8. С.20-22.

12. Скаскив О.Б. К теореме Вимана о минимуме модуля аналитических.

в единичном круге функций//Изв. АН СССР. Сер.матем. 1989. Т.53, № 4. С.833-850. ■

13. Зкяьк^ 0.5. 0 п РоР<р с,ог^'вс.-Ы'£е сок-ьеггип^

{кг тахШит йпс( ипп\.тик* ^с ' то<1и?иь

а к епкпе ^ипсиоа <?| ^¿пхЫ огс!гг ^чигп

а Еасипатч ро^ег. Ала&<&г& А4а41.19 30. У -16

А/1. Р. ЙЗ-М57. . '

14. Шеремета М.Н. Рост в полосе целых функций, представленных рядами Дирихле/Жзв. АН СССР. Сер.матем. 1281. Т.45, № 3. С.676-687. '

ivaât — ¡'toc..

15. Шеремета M.H. О росте на действительной оси целой функции/заданной рядом Дирихле/Датем.заметки. 1983. Т.ЗЗ, » 2. С.235-245.

16. Шеремета М.Н. Об одной теореме Пойа//Укр.матем.журнал. 1963. ' Т.35, У- I. C.II9-I24.

baifíeUe }5idaá^í lf\; A^xox.maUon. р yiom.iàU s иг ил âtc daws pfort e-omp^xe

Il Comptas tZK^b Awd. Ьамт.^ег.Ал.т^л/^о.Рлм .18. betrUbson 6. A ria-u on. Pavlov - Ko^

Díxokv ukxpoteort flJfcW. Alud Wet P,

W. set. A 8< . РЛоо_цц »•ЬеаЧЬпд "A. Anadie WütuaKoa cu toss

a //Дс-ÍA M^.ím vas

NB-Ii. P.1S3-JSZ. 20/Вгакпоге K.G-. A density -lReot-гуп wi¿/L äpp?ie.äW to p<we/L se*xes//Twtvs Д, /lit; • Soc. /V2.. />. 36? - ЗМ.

21 • Д. G-ар and den.sct¡{ tkntems ¡-ог edite

hnciionsIt5cU¡¡>h MaU. igst v.zb P.m-tti. 22. Fucks WH.l PxooJ'of a conjcciuxe of. G-.

с.оЛйггйгп3 jap sex trifft* oís" J Mali. -/363 ' V Кбб-f -6€<t; 23- U^nu^W.K. Ahgukx v^ue disbibutio«. .of powet sex,es pp ¡)&ol. LonAo*. '

NUH. Soc. iäu . У.14. ?.590 -6Zk.

in ¡met

24. Ko^ev^ax 1 Af^oKiwaHo*. on auiveb

line&x cornBCnaKoni. of. II Afpxoxi-

matton. tkeoiv jVtw-^oxk-LOndon. №. F.m-39^.

25. koxeva^a. BUonK. /V/on^anning se^s

of expon^tais on curves//Ach Matk. Acad.

26. Kotevaax ana TM*ori M. InUxfo^UcM. , ¿{xonfy po^etG and.. Matin^ie

e^poaervk/ilaa^.Uoaes M^.ieWV.MO^l.W^Sg.

27. KovaTi T. Oa Ue as^oUc ,|>atk& of entixe

fimcW wiU ^p power ¿eti^s/ll An^^e

X. kovaii T. A g^p -tke-xem. e«Ute JWxOns 0| ignite ordet/fMccL MiU. 1 V.IL

Nz. p.m-m. , .

29. . Macin^te A.3. As^mploUc f>atks mte<p!i

J-uncUcns wdL <)ap power se'ties iiPxoc. London

i*UHi.5ot. -1352.. V.2,A/3. P. 2<S 6- 236.

30. M^iiaviR p. ., Siddi^' T AppxoxVmaUon pofynomftfe

Sul un arc anaMi'<[ue tians ¿e p/W bomphxe. IIComply zendus Acad.Sci. 1971 ,Ai06~-A io^;

31 • Muxax T. Tke- d ejU'exe-nc^ e.nlixe ^anckon^

/i/WaPes de ¿'Lnsk"iul Fou-uet. 4935. v.'35, A/3, p. 3 9-

32- Po'f^a G-. Uttte-tsackunge-irL ü'Bet L иск en.

und : S in. g и i 2z -it а Ни von Po-tealX-ei Ii e^. fflHltt.Z. Ш9.У.19. P-549-56p'

33- Siddt'cji , èaifTe.-Ue Д. А^хокг ж а Коп.

ро?^ пот t'a.fe s иг an ate dans le ^an oompfexe Il С от p4 ws ге.пЛиъ Aczdt. Sei . V^/.MO, А

34- Sens L.R. On ike Afacin^te conjec-íute //Iff{_

ftoi's MM. 4970- V.<fl<. p.GB-610-

ПУБЛИКАЩИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Гайсин A.M. Оценку роста функции, представленной рядом Дирихле,' на луче//Деп. в ВИНИТИ 09.02.64, № 1000-84. - 18 с. Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче// Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа:ВЗДН СССР. 1964. С.20-29.

Гайсин A.M. Поведение суммы ряда Дирихле в полуполосах// Всесоюзный симпозиум по теории приближения функций. Тезисы докладов. Уфа^ БЗДН СССР. 1987. С.44-45.

Гайсин А.И. Поведение суммы ряда Дирихле в полуполосах// Матем.заметки. 1987. Т.42, вып.5. С.660-669. Гайсин A.M. Асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле на кривых//Йсследования по теории приближений. Уфа:ЕНЦ УрО АН СССР. 1969. С.3-15.

Гайсин A.M. Поведение суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности//Матем.замётки. 1990. Т.48,вып.3. С.45-53.

35.

37.

38.

39.

41. Гайсин АД. Усиленная неполнота системы экспонент и проблема Макинтайра//Матем.сб. 1991. T.I82, № 7. С.931-945.

42. Гайсин A.M. Теорема единственности для рядов Дирихле//Матем. заметки. 1991. Т.50, № 2. С.54-60.

43. Гайсин A.M. Поведение суммы $мда Дирихле заданного роста//Ма-тем. заметки. 1991. Т.50, Jí 4. С.47-56.

44. Гайсин A.M. Об одной гипотезе Полиа//Изв. РАН. Сер.матем. 1994. Т.58, № 2. С.73-92.

45. Гайсин A.M. Оценка ряда Дирихле, показатели которого - нули целой функции с нерегулярным поведением//Матем.сб. 1994.

Т.185, № 2. С.33-56.

46. Гайсин A.M. Поведение логарифма модуля суммы ряда Дирихле,сходящегося в полуплоскости//Иэв. РАН. Сер.матем. 1994. Т.58,

» 4. С. 173-185.

47. Гайсин A.M. Об одном обощении теоремы Хеймана//Международная конференция "£лгебра и Анализ". Тезисы докладов. Казань: 1994. С.41-42.

48. Гайсин A.M. О росте суммы ряда Дирихле на луче//Линейные операторы в коотлгксном анализе. Ростов-на-Дону" Изд-во Ростовского университета. 1994. С.27-34,-

49. Гайсин A.M. Ряды Дирихле с вещественными коэффициентами, редко меняющими знак//Воронежская зимняя математическая школа.Тезисы докладов. 1995. С.68.

50. Gaísía А.И. 6>ebvior of lo^rúkn 0f moáuPus of 4ke sum of Du4c!víe-fc series on. ctirv es//T/ie Jc : mi of Ánafybíb . Mearas, India. . ms. Vz3

p. 20S-2W;