Безусловные базисы из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых областях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.стр.

Глава 1. Преобразования Лапласа функционалов на пространствах

Бергмана.стр.

§1.1. Оценка интегралов по радиусу.стр.

§1.2. Эквивалентность норм для функции у.стр.

Глава 2. Безусловные базисы из экспонент в пространствах

Бергмана.стр.

§2.1. Необходимое условие базисности системы {e^z}.стр.

§2.2. Распределение показателей безусловного базиса {e^z}.стр.

§2.3. Свойства функции Бергмана К(Х).стр.

§2.4. Необходимое условие существования безусловного базиса из экспонент.стр.

Глава 3. Базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках.стр.

§3.1. Свойства целых функций класса .стр.

§3.2. Теорема об интерполяции и базисы Рисса.стр.

§3.3. Конструирование целой функции класса SD.стр.

Диссертация посвящена проблеме существования безусловных базисов Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклой плоской области. Пространством Бергмана B2(D), где D -область на плоскости С, называется пространство функций, аналитических в D и интегрируемых с квадратом модуля по мере Лебега на D. Таким образом, B2(D) — это гильбертово пространство со скалярным произведением

Р)= / f{z)g(z)dm(z)t Jd где через m(z) обозначена плоская мера Лебега. Следуя работе [26], будем придерживаться следующего определения безусловных базисов Рисса.

Семейство {eAfcZ, к = 1,2,.} называется безусловным базисом Рисса в нормированном пространстве X, если

1) семейство {eAfcZ, к = 1,2,.} полно в пространстве Х\

2) существуют положительные постоянные га, М такие, что для любой конечной последовательности 6 С справедлива двусторонняя оценка l«»l * II < М^ЫЧе^Гхk к k

Известно, что если система {eAfcZ, к = 1,2,.} образует безусловный базис Рисса в пространстве X, то любой элемент / этого пространства представляется единственным образом в виде суммы ряда по данной системе экспонент: оо = £ ЛеА"2.

Поэтому задача о существовании базисов Рисса относится к проблематике представления аналитических функций посредством рядов экспонент. Поскольку множество точек абсолютной сходимости ряда из экспонент необходимым образом выпукло ([33]), то естественно рассматриваются классы функций, аналитических в данной выпуклой области. Тема представления произвольных аналитических в заданной выпуклой области функций посредством рядов экспонент стала объектом пристального внимания многих математиков после появления в 1965 году работы А. Ф. Леонтьева [10], в которой было показано, что при некоторых А*, можно указать области D, в которых произвольные аналитические в замкнутой области D функции допускают разложение в ряд по системе экспонент exp(Afc2). За последующие два десятилетия А. Ф. Леонтьевым и его учениками и коллегами была создана стройная теория представления аналитических функций рядами экспонент, в которой были изучены и примыкающие вопросы - теоремы единственности, восстановление функций по коэффициентам и т.д. Результаты в этом направлении подытожены в монографиях [11], [12], [13].

С начала семидесятых годов под влиянием таких работ как L. Ehrenpreis ([32]), В. A. Taylor ([36]), P. Oliver ([34]), D. М. Schneider ([35]), В. В. Напалков ([21], [22]) в данной проблематике систематически стали применяться методы функционального анализа. В классической теории рядов экспонент сходимость рядов рассматривалась как сходимость в естественной топологии равномерной сходимости на компактах. Одним из следствий функционального подхода стало изучение сходимости рядов в различных топологиях счетно нормированного типа. Другими словами, стало возможным представление рядами экспонент функций из заданного локаль4 но выпуклого пространства, с естественным условием, что ряды сходятся в топологии этого пространства. Еще одним следствием функционального подхода явилось распадение проблемы представления рядами экспонент на две составляющие задачи: описание сильно сопряженного пространства в терминах преобразования Лапласа и построение целых функций с заданной асимптотикой. В связи с тем, что каждая из этих составляющих задач имеет применения в других проблемах комплексного анализа, они стали объектом самостоятельного интенсивного исследования. Применительно к пространствам счетно нормированного типа обе задачи получили законченное решение к концу восьмидесятых годов. По описанию сопряженных пространств в терминах преобразования Лапласа следует отметить работы [1], [4], [23]. По существу в этих работах получено описание сопряженного пространства к весовым пространствам, замкнутым относительно дифференцирования. По проблеме целых функций с заданной асимптотикой окончательный в общей постановке результат получен в работе [29]. Таким образом, к началу девяностых годов стала актуальной задача представления рядами экспонент аналитических функций из нормированных пространств. В пространствах нормированного типа более естественным оказалось не просто разложение в ряды экспонент, а изучение базисов Рисса из экспонент.

Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова на выпуклых многоугольниках были сконструированы в работе [9]. Напомним, что пространство Смирнова на области D — это пополнение пространства многочленов относительно нормы

1И«)ИЯ = / И«)1алм, где ds{z) — элемент длины границы области D. Анализ работы [9] показывает, что и задача о безусловных базисах из экспонент распадается на две составляющие части: описание сопряженного пространства и построение целых функций с тонкими асимптотическими оценками. В указанной работе [9] доказано, что сопряженное пространство к пространству Смирнова E2(D), где D выпуклый многоугольник, в терминах преобразования Лапласа совпадает с пространством целых функций F(Л), удовлетворяющих условию

Здесь лучи геъ<Рк, г > 0 перпендикулярны сторонам многоугольника D, a h((p) — опорная функция этого многоугольника. Целая функция £(А) с простыми нулями А к, к = 1,2,., названа функцией типа синуса для области D, если она при некоторых положительных константах с, С, S удовлетворяет условию: круги {Л : |А — Afc| < <5} попарно не пересекаются и вне этих кругов выполняется двусторонняя оценка

Ю. И. Любарский в статьях [18], [19] предпринял попытку обобщения результатов работы [9] на области более общего вида. В работе [18] получено описание сопряженного пространства к пространству Смирнова в области D, при условии, что опорная функция схз

F(rei(pk)\2e-2h^r dr < oo. с< \S{rei{f>)\e~h^r <С. h(tp) = max Re zet<p z£D области D дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет оценке h(ip) + h"(<p) >0, <ре [0;тг].

При этом условии на опорную функцию сопряженное пространство к пространству Смирнова над областью D совпадает с пространством целых функций F с нормой a2ir poo \ 5

У \F(re^\2e-2h^ry/idrdip\ .

А в статье [19] введены функции типа синуса для областей, удовлетворяющих этому условию, и такие функции сконструированы. Как показано в этой же работе система exp(Afcz), где Л^, к = 1,2,., — нули целой функции типа синуса для области D, в отличии от случая многоугольника, не образует безусловный базис Рисса в пространстве Смирнова E2(D).

В работе [16] (более подробно в [17]) задача об описании сопряженного пространства к пространству Смирнова в терминах преобразования Лапласа получила решение в общем случае. Оказалось, что сопряженное пространство топологически изоморфно гильбертовому пространству целых функций F с нормой здесь использованы обозначения

А) = ||еА*||2= [ \ex*\2ds(z),

Jd

A(<p) = h'(<p) + Г h(6)de,

Jo и h((p) — опорная функция области D. Заметим, что если D — выпуклый многоугольник, то А (у?) — кусочно постоянная функция со скачками в направлениях y>fc,fc = l,2,.,n, перпендикулярных сторонам многоугольника D, и при некоторых постоянных га, М > 0 имеет место двусторонняя оценка т < K(rei<pi) < М, j = 1,2,.,п, г > 0.

Тем самым, в случае, когда D — многоугольник, результат из работы [16] совпадает с теоремой Б. Я. Левина и Ю. И. Любарского. Если же опорная функция области D удовлетворяет условию из работы [18], то выполняются соотношения

0 < а < A'((f) < А < оо, <р G [0; 2тг], e2rh(<p) e2rh{(p)

Ь-< K(rei(p) < В-ip е [0; 2тг], г > 0. у/г ✓уг

Таким образом, и в этом случае теорема из статьи [16] повторяет теорему Ю. И. Любарского из [18].

В диссертации В.И. Луценко [17] на основе более детальной разработки методов работы [19] было показано, что если на границе области D имеется дуга, в любой точке которой кривизна границы существует и отлична от нуля, то безусловных базисов Рисса из экспонент в пространстве Смирнова на этой области не существует. Тем самым, было получено далеко идущее обобщение результата из работы [19].

С 1990 года началась разработка темы о безусловных базисах Рисса из экспонент в пространствах Бергмана. В первую очередь необходимо было решить задачу об описании сопряженного пространства к пространству Бергмана на плоской выпуклой области в терминах преобразования Лапласа. Преобразованием Лапласа линейного непрерывного функционала 5 на пространстве B2(D) называется функция

S(\) = Sz(eXz).

Так как система экспонент eXz, А Е С, полна в пространстве Бергмана B2(D), то преобразование Лапласа S(X) однозначно определяет функционал 5.

Для описания класса целых функций, получающихся как преобразования Лапласа линейных непрерывных функционалов на пространствах Смирнова E2{D), в работе [16] использовалось разложение преобразования Лапласа на композицию преобразований Коши

5(C) = и преобразования Бореля

FW = 2hi 5(с)еЛС dc' А 6 С' где 7 — замкнутый контур, охватывающий область D. В последующем задача описания класса функций, получающихся как преобразование Лапласа линейных непрерывных функционалов на E2(D) решалась в два этапа: описание класса

E2(D) = {5(C), 5€ЯЗ(Л)}, состоящего из преобразований Коши линейных непрерывных функционалов на E2(D) и описание класса целых функций, получающихся как преобразования Бореля функций из E2(D).

В случае пространств Смирнова ответ на первую часть задачи вытекает из теоремы А. П. Кальдерона [31]: пространство B2(D) топологически изоморфно пространству функций из класса Смирнова на С \ D, обращающихся в нуль на бесконечности. Вторая часть задачи решалась трудоемкими аналитическими методами на основе результатов работы [15].

В случае пространства Бергмана трудности появляются уже в первой части задачи — при описании пространства ^(-D), состоящего из преобразований Коши линейных непрерывных функционалов на B2(D). Для областей с границей класса С1+ пространство 82(D) удалось описать в работе [24]. Оказалось, что в этом случае пространство B2(D) совпадает с пространством

В работе [20] доказано, что указанное описание пространства B2(D) остается справедливой, когда область D является квазидиском и в работе [25] показано, что если для области D указанное описание верно, то область D является квазидиском. Таким образом, была подготовлена база для описания пространства преобразований Лапласа линейных непрерывных функционалов на пространстве B2{D). Полное решение этой задачи изложено в работе [5], в которой доказано, что преобразование Лапласа устанавливает топологический изоморфизм сопряженного пространства к

7 € #(С \ D), 7(00) = 0, У € В2(С \ D) с нормой пространству Бергмана и пространства целых функций F с нормой

-(сгт^угде

K(\) = \\eXz\\2 = [ |еЛ*|2dm(z),

Jd h'(ip) + J* h(9)dB, a /1(9?) — опорная функция области D.

Основным результатом диссертации является утверждение о том, что если на границе области D имеется точка, в которой существует отличная от нуля кривизна, то в пространстве D не существует базисов Рисса из экспонент. Тем самым, безусловные базисы Рисса из экспонент могут существовать лишь в пространствах Рисса на "обобщенных" выпуклых многоугольниках, то есть на выпуклых областях у которой кривизна в точках границы либо равна бесконечности , либо равна нулю. В качестве положительного результата в диссертации сконструированы безусловные базисы Рисса из экспонент в пространствах Бергмана на выпуклых многоугольниках.

Перейдем к подробному обзору результатов работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм и формул та же, что и в соответствующих разделах.

1. Абузярова Н.Ф., Юлмухаметов Р. С. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций// Сиб. мат. ж. 2001. Т.42, № 1. С.3-17.

2. Гайер Д. Лекции по теории аппроксимации в комплексной плоскости. М.: Мир, 1986.

3. Державец Б.А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях С" и имеющих заданное поведение вблизи границы// Докл. АН СССР. 1984. Т.276. №6, С. 1297-1301.

4. Епифанов О. В. Двойственность одной пары пространств аналитических функций ограниченного роста// Докл. АН СССР. 1991. Т.319, №6. С. 1297-1300.

5. Исаев К.П., Юлмухаметов Р. С. Преобразования Лапласа функционалов на пространстве Бергмана// Изв. РАН, сер. матем. 2004. Т.68, №1. С.5-42.

6. Кацнелъсон В.Э. Обобщение теоремы Винера-Палея о представлении целых функций конечной степени // Теория функций, функц. анализ и их приложения. 1965. В. 1. С. 99-110.

7. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука,1966.

8. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. Гостехиз-дат, М.: Гостехиздат, 1956.

9. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т.39. №3. С. 657-702.

10. Леонтьев А.Ф. О представлении произвольных функций рядами Дирихле// ДАН СССР, 164, N1, (1965), 40-42.

11. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент.- М.: Наука, 1976, 535с.

12. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент-М.: Наука, 1980.

13. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. М.: Наука, 1981, 320с.

14. Лихт М.К. Замечание к теореме Палея и Винера о целых функциях конечной степени // УМН. 1964. Т. XIX, В.1. С. 169-171.

15. Луценко В.И., Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли Винера на весовые пространства // Матем. заметки. 1990. Т.48. №5. С. 139-144.

16. Луценко В. И.j Юлмухаметов Р. С. Теорема Пэли-Винера в пространствах Смирнова // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 1991. Т.200. С.245-254.

17. Луценко В. И. Безусловные базисы из экспонент в пространствах Смирнова. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт математики с ВЦ Уро РАН. 1992г.

18. Любарский Ю.И. Теорема Винера-Пэли для выпуклых множеств // Изв. АН Арм. ССР. 1988. T.XXIII. №2. С.163-172.

19. Любарский Ю.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова и интерполяция целыми функциями специальных классов // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. Т.52. №3. С. 559-580.

20. Меренков С.А. О преобразованиях Коши в пространстве Бергмана.// Математическая физика, анализ и геометрия. Харьков. 1999. N4. С. 23- 31.

21. Напалков В. В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций.// ДАН СССР. 1980. т.250, №4.

22. Напалков В.В. О дискретных слабодостаточных множествах в некоторых пространствах целых функций.// Изв. АН СССР. Сер.Мат. 1981 . т.45, №5, с. 1088-1099.

23. Напалков В. В. Пространства аналитических функций заданного роста вблиз границы// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. Т.51, №2. С. 287-305.

24. Напалков В.В., Юлмухаметов Р.С. О преобразованиях Гильберта в пространствах Бергмана // Математ. заметки. 2001. Т.70,B. 1. с. 23-30.

25. Напалков В.В.(мл.), Юлмухаметов Р.С. О преобразовании Коши функционалов на пространстве Бергмана // Матем. сб. 1994. Т.185. N7. С. 77-86.

26. Никольский Н.К., Павлов B.C., Хрущев С.В. Безусловные базисы из экспонент и воспроизводящих ядер. I. Препринт ЛОМИ,C. 8-80.

27. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных.М.: Наука, 1971.

28. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир, 1973.

29. Юлмухаметов Р. С. Аппроксимация субгармонических функций// Analysis Mathematica, 1985. T.ll, N3. С.257-282.

30. Юлмухаметов Р.С. Пространства аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы // Мат. заметки. 1982. Т.32. № 1. С.41-57.

31. А.P. Calderon. Cauchy integrals on Lipshits Curves and related operators.//Proc.Nat.Acad. Sci USA, 1977, p. 1324-1327.

32. L. Ehrenpreis. Fourier Analysis in Several Complex Variables. Inter science, Wiley, New York, 1970.

33. Hille E. Note on DiHchlet series with complex exponents// Ann. of Math. 25 (1924), 261-278.

34. P. Oliver. Sufficient sets for some spaces of entire functions.// Proc. London. Math. Soc. 1977. V.34, Ml, p. 155-172.

35. D.M. Schneider. Discrete sufficient sets for some spaces of entire functions.//Trans. Am. Math. Soc. 1974. V.197, p. 161-180.

36. B.A. Taylor. Sufficient sets for spaces of entire functions.// Trans. Am. Math. Soc. 1972. V. 163, p.207-209.