Применения преобразования радона к аппроксимационным задачам многомерного комплексного анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

российская академия нот

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТШАТИКИ

На правах рукописи УДК 517.55

СЕКЕРИН Алексей Борисович

ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА К АГШРОШШЩШШ ЗАДАЧАМ МНОГОМЕРНОГО КОМПЛЕКСНОГО АНАЛИЗА

01.01.01. - Математический анализ .

автореферат диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1993

Работа вдполнена в отделе теории функций Института иа-. *

теаатша с ВЦ Уральского отделения РАН

Официальные оппоненты : доктор физнко-математичэских наук,

профессор, Л;А.Айзенберг, доктор физико-математических наук, профессор, Л.И.Ронкин. доктор физико-математических наук, профессор, Ю.Н.Сролов.

ведущая организация : С.-Петербургский государственный

университет. ■

Защита диссертации состоится _"__1993 г.

в_час. на заседании специализированного совета

Д 002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Институте математики СО РАН (630030, Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан _" _1993 г.

, Учений со1фэтсрь специализированного совета при . ' .

Институте математики 00 РАН

В.А.Шарафутдшюв

доктор физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одним из важнейших разделов современного комплексного анализа является теория субгармонических и плюрисубгармонических функций. Значение этой теорий'обусловлено тесной связью этих функций С аналитическими. Поэтому внутри' этой теории так и в ее.приложётййх важную роль играет'результаты, свидетельствующие о глубине этой'связи. Этому вопросу уделяется большое внимание'в монографиях по комплексному анализу В.0.Владимирова; П.Лелонэ ;:Л'^Хермандера; Л.И.Ронкина; Е.М.Чирки; А. Саду Алаева; П.Лелона'-Я'Л.Грумана. Этот вопрос составляет основное содержание ряда-'рйШтгЙ.Леязна, Бремермана, Кизельма-нй^.-ШрИйо, В.С.Азарина';-Л.Гр'умана, Л.И.Роюзша, Р.С.Ппмуха-, Р". Си^урдосонй' 'и'' др.

Благодаря ¡слассиЧёЬкой теореме Рисса теория субгармонических функций тесно связана" с теорией потенциала. Представление £исса (теорема Рисса) играет центральную роль в теорий"субгармонических функций одного комплексного переменного. Это ' обусловлено тем, что во-первых ядром его служит функция 1п'|2-*г"| 'и'" это представление само по себе свидетельствует о связи субгар^ монических функций с аналитическими, а во-вторых мера в подставлении Рисса заданной субгармонической функции вычисляется1' посредством применения к этой функции линейного оператора'' Лей-ласа. В многомерном представлений' Рисса плгрисубгармоничйских,1 ' функций теряется связь этого класса с аналитическими функциями;' • что сужает область применения этогб"представления.

В исследованиях Бедфорда, Тёйло'ра и А.Сэдуллаева 119,; 12] разработаны основы многомерной комплексной теории потен-., циала и в частности показано, что в многомерном случае роль

Нра

оператора Лапласа принимает на себя комплексный оператор Монжа -Ампера (cldc)n.' Этот оператор нел1шеен и поэтому комплексная теория потенциала нелинейна. Несмотря на обширность приложений комплексной теории потенциала остается актуальной задача изучения многомерных аналогов представления Рисса, .свидетельствующих и связи плврисубгармонических и аналитических функций.

Б 'диссертации рассматривается вопрос о представлении шпсрксуогармошгшских функций интегралом по положительной мере

(1)

где Ра - семейство голоморфных многочленов., степень которых не превосходит фиксированного числа.Данная постановка задачи возникла благодаря исследованиям Б.Я.Левина, А.Ф.Леонтьева, В.В. Напалкова, Ю.Ф.Коробейника Л.И.Рснкина и их учеников. Эти исследования (и в особенности исследования А.Ф.Леонтьева) показывают, что большой круг' анпроксимациошшх задач комплексного анализа связан с приближением заданной (шшри)субгармоничбской функции логарифмом модуля аналитической, причем важно иметь информацию о нулевом множестве этой аналитической функции. В одномерном случае представление Рисса играет в данном вопросе реиаидух» роль I1,17J.

Некоторые свойства потенциала вида (1) рассматривались в работах С.Ю.Фаворова 1131, Д.Садуллаева'и П.Дегтяря 111], в ра-бот'е [23) (Molson R.E.,ShlíImán J3., Slbony N ), в также в монографии Е.М.Чирки С151. В частности, изучались свойства потенциала, связанные с понятием емкости, а такие свойства потенциала использовались для изучения дефектов мероморфных отображений и для.оценки роста гшерплоских сечений аналитических множеств.

Задача представления плюрисубгармонических функций потенциалом вида (1) ранее не рассматривалась. ■ .

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1) Исследовать класс плюрисубгармонических и субгармонических функций, допускающих представление потенциалом (1). Рассмотреть обобщения этого представления.

2) Рассмотреть вопрос представления функций ¡разностью потенциалов (1). Исследовать свойства потенциала (1)),

3) Использовать эти результаты для построения целых' и мероморфных функций с заданным ростом и для представления аналитических. функций многих переменных рядами экспонент, а также указать применения свойств потенциала (1) к вопросу яриводимос-ти нулевых множеств аналитических функций.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. В "диссертации установлено, что вопрос представления функций потенциалом (1) самым тесным образом связан со свойствами преобразования Радона в комплексном пространстве. Это преобразование является основным аппаратом исследований, чем об§ясняется название диссертации. Основы современной теории, обобщений и приложений преобразования Радона изложены в монографиях Ф.Иона; И.М.Гельфчнда, М.И.Граева, Н.Я.Ви-ленкина [21; И.М.Гельфанда, С.Г.Гиндщшна, М.И.Граева ; С. Хел-гасона [141; М.М.Лаврентьева, В.Г.Романова и С.П.Шишатского ; С.Г.Гиндикина и Г.М.Хенкинз ; Ф.Наттерера. Наиболее часто в работе цитируются монографии [2,14].

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

В терминах преобразования Радона дано необходимое и достаточное условие представимости функций потенциалом (1). Приведены результаты,обобщающие это представление. Установлены ре-

- б -

зультаты о'локальной представимости гладких строго (плюрисубгармонических функций "потенциалом (1).

Исследован ряд свойств потенциала (1) и рассмотрен вопрос представимости субгармонических, плюрисубгармоническиж, в-субгармонических функций интегралом

|1п)Ра(г)|йт(а), (2)

где Ра(2) - линейные функции,V - знакопеременная мера. Показано, что любая достаточно гладкая функция допускает представление штегралом (2) (разностью.потенциалов (1)) и даны необходимые и достаточные условия (на заряд V), при выполнении которых интеграл (2) является (шшри)субгармонической функцией.'

применением результатов о представлении функций потенци-циалом (1) получен ряд новых результатов о существовании целых и мероморфных функций с заданным ростом, о представлении аналитических функций многих переменных рядами экспонент. Приведены применения свойств потенциала (1) к вопросу приводимости нулевых множеств аналитических функций многих переменных.

Результаты диссертации носят теоретический характер. Эти результаты и разработанная в диссертации техника могут быть использованы в комплексной теории потенциала, при изучении асимптотических свойств целых, мероморфных и шшрисубгармоничесшр функций, для представления аналитических функций рядами экспонент и рядами более общего вида, в задачах интерполяции; в С0; Результаты диссертации могут использоваться также для исследования свойств положительных замкнутых потоков.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных конференциях и школах-семинарах (Уфа 1987 г.. Те-

берда 1988 г., Черноголовка 1989 г., Ташкент 1989 г., Харьков 1990 г.),на семинарах'в Институте математики УрО РАН, в Башкирском, Львовском, Московском, Ростовском, Харьковском госуниверситетах, в Отделении математического института им. Стеклова (г.с-петербург).

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [26-38] и в книге [391. В совместной работе [261 есть указание оо авторстве.

СТРУКТУРА И 0Ш2М РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырех глав.'Список литературы содержат 129 наименований. Об§ем диссертации - 228 с. . .

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Используются стандартные обозначения. Для области О с (С" через РЗН(П),5Н(П) и Н(П) обозначаются пространства шшрисуб-оармонических, субгармошгческих и голоморфных функций в П. (М°= 2103. Для ср е г (С") через ф(з,£) обозначается комплексное преобразование Радона <р.

Первая: глава диссертации посвящена описанию класса п.ш-рисубгармоняческих функций, представимых в юще (1).

В § 1,2 глава 1'приводится--сводка формул для преобразования Радона [2]. В § 3 приводятся теореш С.Холгассна о носителе для.вещественного преобразования Радона, а текез устанавливается теорема о носителе для комплексного 'преобразования Радона. Приводится также контрпример к теореме Вигеринка, [25], относящейся, к данному вопросу. Да-лзо рассматривается некоторые свойства дуального'преобразования Радона, в Ёзщеетшн-пом случае исследованного А.Хертлё . Эти свойства используется

в ДЭЛЬЕОЙЕОМ.

- в' -

Основные теоремы о представлении функций потенциалом '(V') доказываются в §'4, 5 главы 1.

Всюду в дальнейшем, считаются фиксированными натуральные тип <п>2). Через Р(г) будем обозначать вектор-Функцию Р(г)

(Р1 (&Х.......^(г)), где Р^ - однородае мономы вида г^.-.г^п,

образующие вместе с единицей базис е пространстве голоморфных полиномов степеш не выше ш. С точностью до постоянного множителя любой непостоянный полином из этого пространства имеет вид 0(а)=С(г- <Р(г),1т>) где Ш.гссЗ2^1. Считается, что первые'-п-координат вектор-функции ¡Р<2) равны соответственно г1Р...,2 . Пусть X = [0,со)*Бг11-1 с «апологией произведения.

Для А с с11 через А будем обозначать множество (1;,ту)€Х, таких, что функция Х-<Р{ъ)обращается в нуль в некоторой точке множества А. Если 0 и К соответственно область и компакт

Л л

в Иг1, то (1 открыто в X, I - компскт. Всюду подразумевается зависимость данных конструкций от гп.

Определение. Пусть П - область в (С", и^кБЩП), ш е N. Назовем функцию и т-логарифмическим потенциалом (т-лог. потенциалом) с гармонической добавкой, если на О существует положительная мера ц, такая, что для любой ограниченной области С^с с П верно

и(г) = | + Н(П1,г) , иО,, (3)

А

где Н(П1,2) гармонична в П1. Если существует заданная на О мэра ц > О, такая, что для любой области П с с п для и(г) верно (3) и функция Н(П из правой части (3) плюригармонична в , то и(а) будем называть т-.гаг.потенциалом ; в этом случае функция

u(z) по необходимости будет плюрисубгармонична в D ). Мера из правой части (3) называется соответствующей и. Меру соответствующую ш-лог.потенциалу и, такую, что функция в правой части (3) плюригармонична, будем называть т-лог.мерой и.

ЛоГ. Мера не единственна даже в случав ш=1. Отметим также, что разделение переменных t и w в ядре интеграла (3) вызвано Тем, что нельзя отождествить пространства непрерывных функций на С11 и на m,c°)«s2N~1.

Если Ц20 - мера в С11 компактным носителем, то потенциал

v(z) = Jln|z-w|d|i(w), z € С",

есть частный случай m-лог.потенциала при ш=1, что оправдывает Используемую терминологию.

Следствием формулы Пуанкаре-Лелона является равенство

. J ln|s-<z,w>|A<p(z)dM2n(&') = 2щ{з,ю, (3,W) € C*S2n"1,

С11 •

где <p(s,w) - преобразование Радона <р. В сбязи с этим принимается следующее определение, которое не претендует на йовйзйу И носит вспомогательный характер.

определение. Пусть ср е ¿>(€"«3. При фиксированном m в введенных выше обозначениях m-преобрззованием Радона функции ф будем называть заданную на 10,т) • s2N~1 функцию.

<р(t,w) = | ln|t-<P(z),w>|Д<р(з)йш2п(г). (С11

Пусть j>(n_1 ,п~1' (П) пространство форм бистепени (п-1 ,п-1) с коэффициентами Из я(П). m -преобразованием Радона формы ср ? jjfn-i.n-D^j будем называть заданную на i0,ro)*S2N"~1 функции <р(t,w) = <ln|t-<P(z),w>l. ddc<p>.

Теорема 1.4;4. Пусть П - область в С11, ш - фиксированное натуральное число, и(г) € БН(П). Для того, чтобы и(г) была в 'збласти П ш-лог. потенциалом с гармонической добавкой необходимо и достаточно, чтобы для любой функции <р ' е »(П) с неотрицательным ш-преобразованием Радона выполнялось

| и(2)Дф(2№2п(2) 0.

Теорема 1.4.7. Пусть и(г) - плюрисубгармоническая функ- . ция в области П с С11 . Для того, чтобы и (и) была в области П т-лог.потенциалом необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

<и, сИ°<р> » О

для любой форш <р с-1>(п~1-,п"1 '(П) с неотрицательным т-прообрг-*

зованием Радона

Конусы функ"ий и форм с неотрицательным ш-праобразова-нием Радона существенно нагре конусов соответственно положительных функций и форм. Таким образом представимость функции и(2) ш-лог.потенциалом (с гармонической добавкой) обусловлена широтой конуса положительности потока ййси (меры Аи).

т-лог.потенциал с гармонической добавкой, будучи шшри-гармоническим в окрестности некоторой точки области определения, является ш-лог.потенциалом (предложгуше 1.4.5). Каадой мере на П линейно соответствует ш-лог.потенциал с гармонической добавкой, заданный в П. Это сводится к разрешимости неоднородного уравнения для оператора Лапласа в классе обобщенных функций.Соответствие мевду мэрами на С) а т-лог.потенциалами в П обусловлено разрешимостью с1й0-уравнения в потоках. Это соответствие доказывается для соответствующего класса псевдовыпуклых областей (теорема 1.4.8). Основа доказательства - теорема о

разрешимости йй°-уравнения в потоках, доказанная Е.М.Чиркой.

ш-лог.потенциалы при ш-1 называются лог.потенциалами.

Произвольная гшсрисубгармоническая функция не является во всей области определения ш-лог.потенциалом, но справедливы следующие две теоремы: (функции класса Ск в их формулировках считаются дейстЕительно-значныш).

Теорема 1.5.1. Пусть и(2) « С2п(Вй(0,Р)) и Ди(0)=ао>0. Тогда существует такое б>0 , что в Вп(0,0) функция и(г) является лог. потенциалом с гармонической добавкой.

Теорема 1.5.2. Пусть и(з) е С2п(Вп(0,Н)) и для любого а е Згп~1 верно Ь(а,и)(0)?со>0. Тогда существует такое 0>0 , что в ^(0,8) функция и (г) является лог. потенциалом.

При этом показывается, что условия, "эорем 1.5.1 и 1.5.Е нельзя соответственно заменить условиями Аи(г)^0 и Ь(а,и)(г)г£) в окростностт^нуля. Теоремы '1.5.1 и 1.5.2 показывают,что представимость ш-лог.потенциалом в отличие от субгармоничности и плюрисубгармоничности не является локальным свойством.' Теореш 1.5.1 и 1.5.2 доказываются непосредственным применением теорем 1.4.4 и 1.4.7,что показывает,что условия последних проверяемы.

Для области П с с11 через з>(П)' обозначим шожество классов эквивалентности фушший из РБН(П), считая дее. такие фунн-ции'эквивалентными,если их разность плюрягармошгша в П. Пусть . псевдовыпуклая область П удовлетворяет условию разрешимости <М° -уравнения в потоках в случае, когда правая часть - й-замкнутый поток бистепени (1,1). Тогда между з>П) и множеством положи-, тельных ¿-замкнутых потоков бистепени (1,1) существует линейный изоморфизм..Теорема 1.4.8 для этого класса псевдоЕыпуклых областей устанавливает линейный изомоМрза ко^щ.классшли эквива-

лентности т-лог.потенциалов и классами эквивалентности положительных мер, заданных на О (две меры называются эквивалентными если они являются т-лог.мерами одного потенциала). При такой трактовке теоремы 1.4.8 ее обобщением является теорема 1.6.5, -основной результат последнего параграфа главы 1. Эта теорема устанавливает для определенного класса ограниченных псевдоЕЫ-пуклых областей (содержащего в частности ограниченные выпуклые и полные логарифмически выпуклые области) линейный изоморфизм между *>(П) и классам эквивалентности всех положительных функционалов на определенном подпространстве пространства действи-тельно-значных непрерывных функций на Н, где Н локально компактное пространство, являющееся счетным об§единением компак-пактс ,, и состоящее из функций I, голоморфных в П, удовлетворяющих условиям : Г^О, аир|Г|, С;£={г€П|Г(г)=0) ? 0. При этом также используются свойства преобразования Радона.

Вторая глава посвящена изучению свойств гп-лог.потенциала. Приведем основной результат § 1.

Определение.(6]. Выпуклый, симметричный относительно начала координат компакт К с (С0 называется итейнеровским, если для его опорной функции Нк(г)^пш:{Не<2,|>,£еК> верно

Нк(г) = ||Пе<2,й> ¡сйи),

32п-1

где V - положительная мера, заданная на сфере, у(5£п~1)«».

Опорная функция штейнеровского компакта К лог.потенциал. В обратную сторону справедлива

Теорема 2.1.1.Пусть Н(й) - четная плюрисубгармоническая в с? функция, однородная порядка 1 (т.е. для 1:^0 верно • Н(1г)=Ш(г)). Если Н(й) - лог.потенциал в (С1, то Н(г) - опорная

функция штейнеровского компакта .

Данный класс компактов, называемых иначе зоноидами, был впервые введен В.Бляшке и км же была поставлена задача его описания (термин "штейнеровский" употребляется Матероном [63). В настоящее время эти компакты полностью описаны и в частности показано, что непрерывная четная однородная функция Híz)- опорная функция штейнеровского компакта тогда и только тогда, когда функция exp-H(z) положительно определена. Выпуклый замкнутый многогранник является штейнеровским компактом тогда и только тогда, когда каждая его двумерная грань имеет центр симметрии. В качестве обзора работ по этому вопросу по-видимому можно указать работу [20] (Bolker) , где однако отсутствует ссылка на статью В.А.Залгаллера и Ю.Г.Решетника [3], дающую одно из эквивалентны" описаний данного класса компактов. Таким образом теорема 2.1.1 дает дополнительную информацию по этому вопросу.

* В § 1 главы 2 показано также> что несмотря на нелокальный характер свойстве представимости лог. потегциалом для функций вида u(z)=a(|z¡2), zeC*1 эта представимость эквивалентна условию

dx" dx

В § 2 главы 2 изучаются элементарные, но необходимые в ,

дальнейшем свойства ло: .потенциала.

В § 3 главы 2 полностью исследован вопрос представимости т-лог. потенциалом функций вида 1п|Ь(г)|, где Ь(я) •голоморфная функция. Результатом является

Теорема 2.3.1. Пусть П - область в С*1.Пусть Функция Ь(з-)

о

¿0 аналитична в области (1 . Для того, чтобы функция 1п|1(я)|.

Сила в области П ш-лог.потенциалом необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность (Рк(г)непривоЬпиых многочленов'степени не выше ш, таких, что для любой ограниченной области О, с с О функция Ь представлялась в виде

Ь(г)=[ П ( Рк(г))тк)8(П1.г),

кеКП,)

где € N. I(П1) - конечное множество индексов, функция 2(0( ,г) голоморфа в 0, и не обращается там в нуль.

Следствие. Пусть Р(2) - голоморфный в С" полином степени равной и>1. Р(г) приводим тогда и только тогда, когда функция 1п|Р(й)| является (ш-1) - лог. потенциалом .

В силу предложения 1.4.5 представимость 1п|Ь(г)| ш-лог. потенциалом в П (Ь - голоморфная в О функция) эквивалентна условию <Д1п|Ь(г) | ,<р>гО для всех функций <р е »(П) с неотрицатель-'ным т-преобразованием Радона.

В частности при ш=) получаем необходимое и достаточное условие представимости нулевого множества голоморфной функции в виде пересечения последовательности плоскостей с ее областью определения. Свойства целых функций с "плоскими" нулями изучались Ваиш£аПпег'ом, Л.Груманом, Л.И.Ронкшшм, автором и Д.Е. Папушем. А.Б.Александровым и Н.А.Широковым в контексте вопроса о корнях голоморфных ограниченных функций рассматривались свойства функций с "плоскими" нулями класса Н°°(ВП). БаЬтеп'ом, М1есЬе1И и Д.Е.Папушем изучались условия на целую функцию, при выполнении которых ее нулевое множество представляет собой об§еданение плоскостей {<ак,г>=ск)"_1, «где а^еОй", с^С. Следует отметить, что некоторые свойства целых функций с полиноми • алышми нулями рассматривались Е.Н.Бутом .

В §4 главы 2 рассматривается задача представления фун"- ; ций разностью лог.потенциалов. 1

Теорема 2.4.1. Пусть и(2)€Ссо(Сп) - действительно-знач-ная функция. Тогда существуют такие лог.потенциалы и, (г), и^г) е С00«!?1), что и(г)=и1(г)-и2(г).

Без требования гладкости лог.потенциалов и^(2) теорема 2.4.1 верна и в случав и(г) с Сгк*г{^), где к = I (Зп-1 )/21-ч. Использованием теоремы 2.4.1 доказывается Предложение 2.4.2. Пусть Й-субгврмоническая функция и(г) определена в области (5 с с" и в (1 обобщенная функция ¿"и имеет нулевой порядок сингулярности, т.е. представляется разностью двух положительных мер. Тогда для любой ограниченной области П, с с п функция и - разность лог. потенциалов.

Дал^е рассматривается задача представления 0-субгармонических функций в С" разностью лог.потенциалов с оценками роста лог.м'!р этих потенциалов (теоремы 2.4.5, 2.4.6). Эти результаты используются в главе 3 для построения мероморфтл функций с заданным ростом. Здесь же доказано, что однородная порядка р, 0<р<2, локально ограниченная С-субгармоническая в (С11 функция Н, ■ удовлетворяющая обобщенному неравенству (-1)п~1ДпН^О

лог.потенциал. Завершает главу 2

Теорема 2.4.9. Пусть субгармоническая функция и(г)

определена в области П - •Сп и обобщенная функция ¿"и имеет в П нулевой порядок сингулярности. Тогда для любой области П1

А Л

с с п на П. существует заряд V, (г'КП.)«», такой, что

П

где функция Н(01 ,z) шпоригармонична в П1. При атом дда лхбых. z

__tr

е О, и i*>Q, таких, что Bn(z,r) с п1 верно'

да v(z,s) = vC(t,K)| |t-<z,w>|<3). Если функция u(z)

Доказывается, что эти условия на заряд v эквивалентны, (ллюри)субгармоничности в Г), интеграла из правой части (4).

Третья глава посвящена применениям результатов первой и_, второй глав для постройки« целых и мвроморфных функций» с заданным ростом . Главным образом речь идет о приближение лог.потенциала логарифмом модуля целой Функции.

Для заданной субгармонической-функции u(z),z€<c,, риссо.Б-, екая мэра которой удовлетворяет оценке n(fz||z|$t>) iC (tP+1), где p>0, существует целая функция L(z), такая, что ln|L(z)| асимптотически приближает функцию u<z). Принципиальная возможность этого приближения установлена В.С.Азариным '111, где доказано существование целой функции L(z),такой, что вне малого исключительного множества верно ln|L(z)|=u(z)+o(|z|P). Следует тагаке указать работу Ю.И.Мельника [7]. Задача наилучшего приближения била поставлена В.В.Напалковым и окончательное 'решение этой задачи дано Р.С.Ипмухамет^пым £17]. Им доказано сувдстювание цело? функции.осуществляющей приближение ln|L(z)' =u(z; 0(ln|z|), а показано,что эта оценка иеулучшаома.

г

(5)

О

-.IT-

Задача приблищнщнпрщауОгармонических функций логарифмом модуля целой фщда.расоматривалась Р.Сигурдссоном [24] и Р.С.Юлмухамеровр!-.,Ц;8к Для произвольной шюрисубгармо-нической функции u(z) конечного типа при порядке р>0 была доказана теорема существования такой целой функции Ь(2),что вне исключительного С0-мнокоства верна оценка ln|L(z)|=u(z)+ o(|z|P) (Сигурдссон), In|LСz) |=u(z)+0( |s|'1'), где 7=max(р-1,4р/5) (Юлму-хаметов). Отличие приводимых ниже результатов от результатов [24,181 кроме того, что искомая функция выписываотся в виде бесконечного произведения, состоит в том, что в ряде случаев (в том числе в наиболее важных для приложений, напр. §3 главь'., 3) удается дать более точную информацию о структуре исключительного множества. Задача о построении целых функций "с плоским» нулями", имеющих заданное асимптотическое поведение рассматривалась ранее автором [26,30] и Д.Е.Папушем [10].

Основным результатом первых двух параграфов главы 3 является

Теорема 3.2.1. Пусть u(z> - лог.потенциал в С", такой, что его риссовская мерэ v удовлетворяет оценке

v(E¡n(Q,r) > í 01гр+2п-2+0г. Тогда существует целая функция "с плоскими нулями" L(z), такая что вне С0-мьож9ства верна оценка

|1п|L(s)| — u(z)| í C(ln3|zl)|z;oi1-1/2n).

Так жэ, как и в работах . [1,171 доказательство теорема 3.2.1 сводится к замене лог. меры потенциала и(?-) целочисленной мерой, сосрэдоточенной на послздоьателыюсти точек. О.'.юдуе? тем не менее отметить, что на случай многомерного лог.потенциала метод [171 автоматически не шреносчтся: в с'кяки с г ^у.ч'/ем

у лог'.потевдиала не "точечной" особенности, в общей ситуации оказалась неприменимой теорема о разбиении мер, лежащая в основе построений в [17]. Вместо нее используется теорема Чакалова о - существововзнии кубатурной формулы с положительными коэффициентами.

Следует отметить, что для некоторых р и п теорема 3.2.1 дает лучшую оценку приближения, чем в [18].

Следствие 1. Пусть Н(г) - однородная порядка р>0 шгори-субгармоническая функция. Для того, чтобы Н(г) была индикатором целой функции "с плоскими рулями", имеющей вполне регулярный рост, необходимо и достаточно, чтобы Н(г) была лог.потенциалом.

"'В работе [10] был введен класс однородных шшрисубгармо-нических функций (подкласс лог.потенциалов) и было показано,что функция принадлежит этому классу тогда и только тогда, когда является индикатором целой функции с правильно распределенными "плоскими нулями". Понятие правильной распределенности нулевых плоскостей целой функции было также введено в [10] и там ке показано, что такая функция имеет вполне регулярный рост. Теорема 3.2.1 и ее следствие 1 отличаются от результатов [10] тем, что приближение осуществляется в более широком классе и с более высокой степенью точности, но не утвервдается, что нулевые плоскости построенных целых функций правильно распределены.

Теорема 3.2.1 применяется для построения мероморфных функций с заданным асимптотическим поведением. При .этом используются результаты § 4 главы 2 о представлении функций . разностью лог. потенциалов с оценками роста лог.мер. Одним из следствий является

Теорема 3.2.2. Пусть 0<р<2. Пусть ц(г) - б-субгармони-

ческая функция в С", такая, что вне счетного об§единегаш шаров Вп(2к,с11[) с конечной суммой радиусов для любого е>0 верно |и(г)| ^ 0(8)|г|Р+е. Пусть обобщенная функция Л°и представляется разностью положительных мер удовлетворяющих оценкам у^В^^алР+Ь.Тогда существуют Ь1 (г),Ь2(г) - такие целые функции "с плоскими нулями", что вне О0~множеитва верно

|1п|Ь1(г)/Ь2(г)| -и(г)| « С(1п3|г|)|2|Р(1-1/2п).

О результатах третьего параграфа главы 3 речь пойдет ниже в связи их применениями .к рядам экспонент.

Одним из фундаментальных результатов теории рядов экспонент, разработанной А.Ф.Леонтьевым [51 является доказанная 4 им теорема о том, что функции, аналитической в окрестности з.,тыкания выпуклой ограниченной области Б с С можно конструктивно (с указанием формул для коэффициентов) сопоставить ряд экспонент, абсолютно сходящийся к этой функции внутри Б. (В связи с выпуклостью области абсолютной сходимости ряда экспонент речь идет только о выпуклых областях). При этом система показателей ряда зависят только от области и является последовательностью нулей целой функции. А.Ф.Леонтьевым доказано также, что любую функщ аналитическую только лишь внутри области Б можно представить рядом экспонент, показатели которого являются нулями целой функции.

В многомерном случае В.П.Громов получил представления рядами экспонент функций, аналитических в полидиске и целых функций конечного порядка, затем А.Ф.Леонтьев аналогичные 'представления получил для произвольных целых Санкций и функций, аналитических в внпук.шх ограниченных полиобластях.

, Для изложения дальнейших-результатов необходимо привести определение.слабо достаточного'множества (определения см. в работах Эренпрайса [211, Шнайдера ;С22], 'Ю.Ф. Коробейника С4], ■ В.В.Напалкова [&]). Пусть' В - выпуклая область в (С11 (ОеЙ). ■ Пусть -.последовательйость выпуклых ограниченных облас-

тей, такая, что В^ с Бт+1 и Ш}й=Й. Пусть Н (а) = тах{11е<г,£>, £ е Бт>. Будем говорить, что делай функция принадлежит Р^,

если она для некоторых С и ш удовлетворяет оценке |£(и)| « Сехр(Нт(г))'.Множество БсС11 называется слабо достаточным для Р^, если для любого ш существуют р(4й)£(М и С(т)>0,такие,что для лю- • бой функции ГеР^,удовлетворяющей на Б оценке |1(г)|^ехр(Ню(2)), всюду в (С11 верно 11 (г)|^С(т)ехр(Нр(т)(г)).Ю.Ф.Коробейник в рамках проводимых им более общих исследований показал, что для выпуклой области В с (Е произвольную функцию, аналитическую в Б можно представить абсолютно сходящимся в- Б рядом ^^ехрА^г тогда и только тогда, когда - слабо достаточное для Рс

множество. Ю.Ф.Коробейник построил также систему показателей, (Л1с>™_1 с с, являющуюся слабо достаточной для Рс, где Б - любая выпуклая область в плоскости €. При этой' в терминологии Ю.Ф.Ко-робейника система (ехрА^г) называется абсолютно представляющей в Ю.' В.В.Моржаков доказал существование'абсолютно представляющих систем экспонент для любой1 выпуклой области Б с (С", используя при этом общие результаты Ю.Ф.Коробейника. При этом не ставился вопрос о формулам для' коэффициентов ряда.

Наряду с понятием слабо достаточного множества 'существует понятие достаточного множества , при этом было показано,что если Б - достато'гоо для Рр, то любая функция ГеН(З) приставляется интегралом (сушдруемзсть абсолютная)

f(z) = Jexp(<A.,z>)<3n(A.).

S ' • .

В случае дискретности Б данный интеграл представляет собой абсолютно сходящийся ряд экспонент. Условие достаточности трудно проверяемо и для представления рядами экспонент оно практически не использовалось до выхода работ В.В.Напалкова [8,93, где доказано, что понятия слабой достаточности и достаточности для Рд тождественны.

Следует отметить, что представления рядами экспонент,построенные впервые А,Ф.Леонтьевым для выпуклых ограниченных областей, обладают свойством минимальности, что существенно при некоторых применениях рядов экспонент. При этом решающим является то обстоятельство,'что этих представлениях система показателей - нулевое множество целой функции, жестко связанной с данной областью. Задача представления аналитических функций рядами экспонент, показатели которых - нули целых фушсциий изучалась в дальнейшем В.К.Дзядыком, Ю.И.Мельником, Б.Я.Левиным, Ю.И. Любарским, Ю.Ф.Коробейником, В.В.Напалковым, и др.. В частности Ю.Ф.Коробейником установлено необходимое и достаточное условие на целую функцию, связанную с данной выпуклой ограниченной областью DdC, при выполнении которого нули этой функции образуют систему показателей абсолютно представляющей в D системы экспонент, а В.В.Напалков для произвольной выпуклой

области D с с получил представления аналитических в D функций

•

рядами экспонент, показатели которых обладают свойством минимальности. Эти показатели также связаны с нулями целых функций. Минимальными в отличие от результатов В.В.Моржакова являются также системы экспонент, построенные А.Ф.Леонтьевым в многсмер-

ном случае для выпуклых ограниченных полиобластей.

Естественным образом возникает вопрос о распространении результатов А.Ф.Леонтьева на выпуклые ограниченные области в в?1, т. в.'вопрос о представлении (в том числе конструктивном) аналитических функций рядом, экспонент показатели которого - нулевые точки целой функции. Эту задачу можно ставить в более общей постановке, как задачу представления аналитических функций интегралом

= |ехр<Х,2>ф.(Х) Б ■

по нулевому множеству Б некоторой.целой функции. В случае обыч-<

ных рядов экспонент главная возникающая при этом трудность состоит в поиске метода ьыбор? искомого дискретного подмножества нулевого множества целой функции шопа переменных. Шея в виду' результат А.Ф.Леонтьева для полищшщрической области и некоторые факты из теории многомэрных вычетов,В.В.Напалков высказал предположение, что' таким подагажзством ''должно быть множество особых точек нулевого множества, а в\ случае, когда нулевое множество - набор плоскостей, роль такого подмножества может играть совокупность точек пересечения-этих плоскостей.

В главэ ^ приводится описание класса выпуклых областей, для которых возможно твкоо решение задачи о представлении функ-« ций рядами экспонент. Основные результаты этой главы состоят в том, что данный вопрос сводится к представлению плюрисубгармо-нических функций лог. потенциалом.

Приведем основные результаты главы 4. Для области . ПсС" через Н(П) и Н(Б) обозначаются пространства функций, "".п^чо-сешх.в В VI в окрестности В.

Пусть Dcf - выпуклая ограниченная область, OeD, Н(\)= maz{Re<X,z>, zeD). Пусть целая функция экспоненциального типа L(\), Е(0)^0 имеет индикатор H (А.) и нулевое "множество L -последовательность попарно различных плоскостей {Рк>"_1 = { . <акД>=ск>"=1, 1^1=1, ск^0. Если для ^<^<...<1^ пересечение Рк П Pj^fl ...П Рк не пусто, то состоит из единственной точки

1 d ri

a(k)} ( здесь и далее через (к) обозначается мультшщцекс вида" (к, .Ic,,...,^)) ., при этом b(kj(A.(k))?!0, где

п

L(kï<x') = L(M[nr<akjA> - с^у

Многество мультшшдексов (k), таких, что Р, ПР, Л.ЛПР, не

12 п

пусто, обозначил через И,- Известно, что при этих условиях для функций L(k)(\) п любого 0>0 существуют непрерывные в С?1 функции ф^^Ш, аиррф(к) ô(t) с Б(1+й), такие, что

■ bikj^Hcj^ikj» = |ф(1О.0(^(ехр<А.Д>](Зшгп(1). (6)

Пусть f € H(15), тогда f е H(D(1+7)), где 7=7(f) > 0. .Положим в (6) 0=7/2 и сопоставим функции I ряд

Z '°UO(r> ехP<\k)'Z>> <7>

(k)€ M

где , • •

W« = J

с"

Теорема 4.1.5. Для того, чтобы для любой функции fe H(D) ряд (7) абсолютно сходился ней внутри D, необходимо и достаточно выполнения одного из еле думца эквивалентных условий. '

1) Ln|L(\)| - субгармоническая функция вполне регулярного роста и

2) В Е^Б функция ехр<Л.,й> представляется абсолютно

сходящимся' рядом

ехра,а> = £ (ь1Ю(Меар<\(к).2>] /Ь(1с)(\(к)). (к)€ М

3) любая целая функция из Рв представляется абсолютно сходящимся рядом

Г<Х> = I (ЬСк><^<\к)>] /Ь(к)<^>>-(к)е м

Эквивалентные условия 1)-3) теоремы 4.1.5 вполне аналогичны условиям, для п=1 установленным А.Ф.Леонтьевым. Таким образом при выполнении для функции Ь условия 1) в классе Рв верно представление (8). Ряд (8) является аналогом интерполяци-ционного ряда Лагранжа. (В тексте диссертации аналог формулы Лагранжа доказывается в болое общей ситуации - теорема 4.1.1). Представление (8) отличаемся от имевшихся ранее многомерных аналогов ряда Лагранжа (напр. [101) тем, что ряд (8) восстанавливает функцию по ее значениям на последовательности точек.

Теорема 4.1.6. Пусть Б - выпуклая ограниченная область в в?1, О с Б. НШ = тах(Не<Х,2>, й с Б >. Для того, чтобы существовала целая функция, с индикатором Н(Л), удовлетворяющая условиям теоремы 4.1.5, необходимо й достаточно, чтобы Н(\) была лог. потенциалом.

Условие теоремы 4.1.6 эквивалентно тому, что опорная функция компакта Б, равная по определению шах(Ее<А.,г>, геБ } -лог. потенциал.

Необходимость в услоеии теоремы 4.1.6 является следствием результата 52 главы 3, г доказательству достаточности цели-'•"зм пссвжж ' 5 3. г.з--.'-: тс.'г?. ->70 лгаггжя иелая функии

должна иметь заданное асимптотическое поведение, требуется, чтобы точки пересечения ее нулевых плоскостей были в определенном смысле отделены друг от друга. Поэтому здесь главным является условие разделенное™ этих точек. Задача построения целой функции с такими свойствами аналогична задаче построения целой функции одного переменного с заданным ростом и простыми нулями, но является существенно более трудной, так как при "шевелении" только одной нулевой плоскости меняется последовательность этих точек пересечения. Для преодоления этих трудностей доказывается ряд утверждений геометрического характера.

Таким образом, результаты главы 4 сводят задачу представления функций рядами экспонент к вопросу представимости плюрисубгармонических функций лог.потенциалом.В связи с результатами главы 2 класс областей,'указанный в теореме 4.1.6 не содержит все выпуклые области," тем не менее является достаточно широким; Требование теоремы 4.1.6 состоит в том, что опорная функция компакта В - лог. потенциал. Кроме того, что в этот класс входят декартовы произведения плоских выпуклых компактов и штейнеровские компакты, данный класс инвариантен относительно линейных голоморфных операций, комплексного сопряжения, а также относительно сложения. Выше было отмечено, что достаточным условием представимости лог.потенциалом опорной функции Н выпуклого компакта К является неравенство (-1)п_1ДпН?0.

Далее в главе 4 показывается, что данный метод может быть, использован для представления функций рядами экспонент в другой постановке и приводится результат относящийся к свойствам недискретных слабо достаточных множеств. Завершает главу §2, где показано, что методы.разработанные в § 1,могут быть ис-

пользованы для проставления рядами экспонент вещественно-ана- . литических функций, р топологии класса Жевре. О пространствах функций с такой топологией см., например, в 116], в монографии К.-П. Кахана. В.В^палковым и И.А.Рудаковым рассматривлись свойства оператора увертки в таких пространствах. Характеристики функций классов Жевре (в частности) через свойства коэффициентов Фурье .¡^осматривались в работах П.Л.Ульянова .

Пусть Ecf - выпуклый компакт, 0 е К, Пусть для К е С" H(?t) = шах{йе<Х,х>, х е К>. Будем говорить, что функция Их) принадлежит пространству СЩ(К), если она вещест-венно-аналитична в некоторой окрестности К. На СШ(К) зададим

топологию t , определяемую системой полунорм:

ЧЛ(х)|.- 0>1

IH- = sup вах -ш— ■■■ • . .

"Р. |аро х е К а^.-.а^п

Пусть целая в €" функция .экспоненциального типа Ь(М имеет индикатор ЩА.), Цр^ть. нулевое множество 1 -последовательность попарно 'раф^пных плоскостей = М

<окД>«с1£}^_1, ¡3^.1=1» «уЮ.-Пусть-для любых'к1<Иг<...<Ц1 пересечение Р. ПР. (1. ..ПР. либц: хц'рто, либо состоит из точки 1C1 i£E п

и при атом b(k}(V(k))'''£ °> как и выше

Для е>0 через К£ будем : обозначать выпуклую область К+Вп(0,е) с с", йз условий, налокеиных.'не-функцию L следует, чт< для любого Э>0 существуют непрерывные в С" функции i|>(k) (t,6), ■ supp(<J>(k)(t.S)) с Ке, такие, что

W^^W - . (9)

С11

Ь(1с)(Л) = MX)

Пусть i € СШ(К). Тогда функция i продолжается как С-анали-

тическая функция в некоторую выпуклую область Ке>. где

e=e(f)>0. Положим в (9) 6=8/2 и сопоставим функции f ряд

£ C(k)tf> exp<A.(k),z>, (10)

(к)ем

где М - множество всех мульгиивдексов (к) = (Ц ... ,кп), тагаи, что пересечение Рк ПР. П...ПРк непусто,

. 1 2 XI

0(k,(f) = J (|){k)(t,e/2)i(t)du2n(t). (11)

(С1

В этих обозначениях верна

Теорема 4.2.1 • Если Н(М - лог. потенциал, то существует целая функция с индикатором Н(М, удовлетворящая приведенным выше условиям и такая, что для любой функции 1 g СШ(К) ряд (10), построенный по функции Ъ и формулам (11), сходится к г абсолютно в топологии т.

Из этой теоремы в частности вытекает представимость рядом экспонент, абсолютно сходящимся в топологии г, функций из ..р^.(К), ..где К - любой центрально-симметричный выпуклый компакт в К2, а для п>2 - любой штейнеровский компакт в О?1. , л , СПИСОК ВДТИРОВАННО- ЛИТЕРАТУРЫ

1. Азарин B.C. // Мат.сб.- 1969:- Т. 79, Hi. - G. 463-476.

2. Гельфанд И.М., Граев М.И „, Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия в связанные с ней вопросы теории представлений. - М.: Наука, 1962. - 656 с.

3. Залгаллер В.А., Решетняк Ю.Г. // Вестник ЛГУ. - 1954. й 2. - С. 45-67.

4. Коробейник Ю.Ф.//Изв.АН сер.мат.-1978.- Т.42.Л2- 0.325-355.

5. Леонтьев А.Ф. Ряда экспонент. - М.: Наука, 1976. - 536 с.

6. Матерон. И. Случайные множества и интегральная геометрия.-М.: Мир, 1978. - 318 г..

7. Мельник Ю.И.//Мат. со. - 1975. - V.97.M. - С.493 - 502,

8. Напалков В.В.//Тез.докл. межд- конф. по компл. анализу и прил. - 1981. - Варна - С.55.

9. Напалков В.В.//Докл. АН. - 1982. - Т. 264, М.- С.827-830.

10. Папуш Д.Е. // Дисс____канд. ф.-м.н, Харьков. - 1986.

11.. Садуллаев А., Дегтярь II.В. // Укр.мат.иурн. - 1981.- Т.33, * 5. - С. 620-625.

12. Садуллаев.А. .Плюрисубгармонические функции // Современные пробл. матем. Фунд.напр. - М.:ВИНИТИ,1S85. - Т.8.- С. 65-113.

13. Фаворов С.Ю.//Деп. в ВИНИТИ 26.06.74. J6 1763.

14. Хе .гасон С. Преобразование Радона. - М.: Мир, 1983. - 152 с.

15. Чирка Е.М. Комплексные аналитические множества. - М.: Наука, 1985. - 272 с.

16. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специ£иг?лшй курс.-М: Изд-во МГУ 1984. - 208 с.

17. Шмухаметов P.C.//Anal.mathem.-1985.-T.11, 'к З.-С. S57-&32.

18. Шмухаметов P.C. Асимптотика плюрисубгармоническйх функций (препринт). - Уфа, 198§. - 22 с.

19.' Bediord Е..Taylor В.A.//Invent, math. - 1976. - V.3T. Ъй 1 .•• Р.1-44.

20. Bolker E.D.//Tran3.Am.Math.Soc.- 1969.- V.145.-'р'.&З-^б.

21. Ehrenpreis L. //Trans.Am.Math.Soc.- 1961.- V.1Ö1 .-|"р/'52-74._,

22. Schneider D.M.//Trans.Am.Math.Soc.- 1974.- V.197.-(PH61-180.

23. Shlffman B., Molson R.E., Slbony N. // Math. 1981. - V.257. - Р. 43-59.

24. Slgurdsson R. // Math. Scand.- 1986. - V.59, Jt ,2.-P:235-305.

25. Wiegerlnck J. .ЬО.0.//Proceed. Nederland.Akad.Wetensch. Ser. A. - 1905.'. - \V.88, m . - P. 87-93.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ #6.. [Напалков В.В., Секерин А.Б. Слабо достаточные множества и (Представление аналитических функций многих комплексных переменных рядами Дирихле//Докл. АН СССР.- 1981.-- Т.260,№3.-С.535-539. 27. Секерин А.Б. Об интегральном представлении субгармонических функций//Матем.заметки. - 1984. - Т.36, J6 б. - С. 865-871. .28. Секерин A.B. Об интегральном представлении плюрисубгар-.моцических функций.// Иссл. по теории аппроксимации $удадай / Башк.филиал АН СССР. - Уфа, 1986. - С. 97-106. .29. (Серерин А.Б. Представление бесконечно дифференцируемой функции разностью плюрисубгармонических // Матем. заметки. -11986. - Т.40, Х6. - С.598-607.

30. Секерин A.B. О построении целых функций с заданным ■ростом // Сиб. мат. журн. - 1986. - Т. 27. № 3. - С. 179-192.

31. Секерин А.Б. О достаточных множествах в пространствах целых -функций многих переменных // Матем. сб. - 1988. -Т.136, ж. - С. 260-273.

32. Секерин A.B. О представлении функций кратными рядами экспонент.(Препринт).- Уфа: Башк. научн. центр УрО АН СССР, 1988. - 22 с.

33. Секерин A.B. Об интегральном представ."зш1и плюрисубгармонических функций.(Препринт).- УМ: Башк. научн. центр УрО

АН СССР, 1989. - 13 с.

34. Секерин A.B. Асимптотическая аппроксимация- логарифмичес-. кого потенциала // Сиб. мат. журн. - 1991. - Т. 32, »5. -

С.142-154.

■ - зо -

35.' Секерин A.B. О представлении аналитических' фунйдай' многих переменных'рядами экспонент // Известия РАН,, сер. - Мйтём. -1992. - Т. 56, № 3. - С.538-565. -36. Секерш А.Б. 0<5 интегральном представлении субгармонических и плюрисубгармонических функций // Всесоюзн. семинар "Актуальные вопросы комплексного анализа".Тезисы докладов. -Ташкент: Ташкентский гос. ун-т, 1985. - с.97-98.

37. Секерин A.B. Представление бесконечно дифференцируемой функции разностью плюрисубгармонических // XI Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах.-' Тезисы докладов. Челябинск, ,26-30 мая 1986 г.. Часть 2.-Челябинск: Челяб. политехи, ин-т, 1988. - 0.114. ■

38. Секерин *.Б. Об асимптотическом приближений11 плюрисубгармонических функций // Всесюзн. симпозиум по теорий" приближения функций. Тезисы докладов. - Уфа: Башкирский'^фйлйая" АН СССР. - 1987. - С. 145.

39. Секерин А.Б. Применения преобразования' Радона'1 в" теории аппроксимации. - Уфа: Башкирск. научн. центре УрО АН СССР, 1991. - 192 с.

Подписано к речати , згу^-мзчя г. Формат бумаги . 66x84 . 1/16 Одъеа 2 п.л.; , 1,5 уч. изд. л,..-... йзВДЗ 40 . Тираа '100 экз.';'

Отпечатано в Институте математики СО РАН ' 630090, Новооибирон, Университетский просп., 4