О средних значениях сумм характеров Дирихле от рациональных функций и приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

Глава I. Полные суммы характеров Дирихле от многочленов

1. Полные суммы характеров Дирихле от многочленов одной переменной.

2. Среднее значение полных сумм характеров Дирихле от многочленов одной переменной.

3. Полные суммы характеров Дирихле от многочленов многих переменных.

Глава II. L-функции Дирихле по модулю, равному степени простого числа.

1. Оценка гибридных сумм.

2. Оценка L-функций Дирихле в окрестности прямой Res =1.

3. Границы нулей L-функций Дирихле.

Глава III. Проблема делителей Титчмарша специального вида.

Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. В ней мы даем приложения оценок сумм характеров Дирихле по модулю, равному степени простого числа. Впервые на тесную взаимосвязь таких сумм с суммами Г. Вей ля обратил внимание в 1955 г. А. Г. Постников. Он получил принципиально новые оценки таких сумм.

Данная работа включает в себя три главы. Первая из них посвящена полным суммам характеров Дирихле по модулю, равному степени простого числа, от многочленов одной и нескольких переменных.

Оценки сумм характеров Дирихле по простому модулю от многочленов исследовалась многими авторами. Современная оценка их получена в 1948 г. А. Вейлем [61]. Его результат можно сформулировать следующим образом: если f(x) — многочлен степени п ^ 3 с целыми коэффициентами, взаимно простыми в совокупности с простым числом р ^ 3, а х — примитивный характер по модулю р степени /, f(x) ф д1(х) (mod р), то выполняется оценка х(/м)

Х=1 (п - 1 )у/р.

В 1986 г. Д. И. Исмоилов [23, 57] исследовал подобные суммы по модулю, равному степени простого числа. Он получил следующую оценку ао + + ••'• + апхп)

Х=1 пр к(1-1/п) где х — примитивный характер Дирихле по модулю рк: (о^,., ап:р) — 1. Результат Д. И. Исмоилова основан на применении метода Хуа Ло-Гена [44] для оценки полных рациональных тригонометрических сумм и формулы А. Г. Постникова [38] для примитивного характера Дирихле.

Мы продолжаем исследования Д. И. Исмоилова и устанавливаем оценки сумм примитивных характеров по модулю рк от многочлена вида /(ж) = ао + раЬ(х), где коэффициенты многочлена Н(х) в совокупности взаимно просты с р и /г(0) = 0. Приведем формулировку нашего результата.

Теорема 1. Пусть к, а — целые числа, 0 ^ а ^ к — 1, к ^ 2, р — простое, к(х) — многочлен степени п с целыми коэффициентами, взаимно простыми в совокупности с р, р > п ^ 3, /г(0) = 0, х — примитивный характер по модулю рк. Тогда для

Рк Х=1 справедлива оценка

5| < с{п)рк{1~^п)+а/п, где п4/п, при р < (п- 1)«/(«-2)}

П2/П, При (П - 1)п^п~2) <Р^(п- 1)2п/("-2)? 1, При р>(п- 1)2™/(п-2)

Далее изучаются средние значения а полных сумм характеров от многочленов

Рк Рк~а к — сх е е' ее-е к= 1 х яо = 1 й1 = 1 а„= 1 то(1 рА; р|(а!,.,ап) р р к^х(а0+ра(а1х-\----+ апхп))

Х=1

2т где штрих в знаке суммирования означает, что х пробегает все примитивные характеры по модулю рк. Так же, как и в работах в [2, гл. II], [49], находится точное значение показателя сходимости этого ряда.

Теорема 2. Пусть п ^ 3, а ^ 0 — целые числа, р ^ 3 — простое, р > п. Тогда ряд а сходится при п(п + 1) 2т > у „ 7 + 2п + 1 и расходится при п(п + 1) 2т < К Z ' + 2п + 1.

Затем мы находим показатель сходимости для выщербленных многочленов.

Теорема 3. Пусть п\ < • • • < гц — натуральные числа, (щ = п ^ 3, I < п), а ^ 0 — целое, р ^ 3 — простое. Тогда ряд

Рк Рк~а рк~а = е е' е е ••• е 1 к= 1 х а0=1аП1=1 а„г=1 X тос1 р X Р р~к X («о + ра (аП1 хП1 + • • • + апг хП1))

Х=1 сходится при и расходится при

2т > (пх + • • • + щ) + 2п, 2т ^ (пх + • • • + гсг) + 2п.

2т

Здесь также находятся оценки полных сумм характеров от многочленов с несколькими переменными. Мы следуем подходу к оценкам полных кратных рациональных тригонометрических сумм, предложенному В. Н. Чубариковым [2, 46-48].

Теорема 4. Пусть а Тт1 . . гШг —

7711=0 тг=0 многочлен с целыми коэффициентами, причем ра || (а о,.,ъ • • •, Оп,.,п), X — примитивный характер по модулю рк,к^2,р>п^3,0^а^. к — 1, р — простое. Тогда имеем (Зс(п))г (* + 1 - ау-1рЧг-1/п)+а/п? где c(n) — постоянная из теоремы 1.

Вторая глава посвящена L-функциям Дирихле по модулю, равному степени простого числа. Эти функции для произвольного модуля к ввел в 1837 г. Дирихле; и они задаются в полуплоскости Res > 1 равенством

Х(п)

71s п-1 где % — характер по модулю к. Теория Ь-функций Дирихле развилась в одно из важнейших вспомогательных средств аналитической теории чисел. Большую роль в приложениях играет исследование нулей Ь-функций Дирихле. В 1896 г. Валле-Пуссен доказал, что Ь (я, х) не имеет нулей в области с

Ие з — а > 1 log А (|*|+ 2)'

Позднее, с возникновением метода тригонометрических сумм И. М. Виноградова [13-18] были получены более точные границы нулей. В 1955 г. А. Г. Постников [38] впервые обратил внимание на то, что границы нулей L-функциий Дирихле по модулю, равному степени простого числа, получаются значительно более точными, чем в общем случае: если D = рп,п = [(logD)1/10], х) — L-ряд по модулю рп с характером степени, не меньшей £>n1, С > 0 и А > 0 — некоторые постоянные, не зависящие от D, то L(s, х) не имеет нулей в области а>1-~--. logD) ю log log D

В 1959 г. С. М. Розин [41] доказал, что при фиксированном р, для любого е > 0 функция L(s,x) с примитивным характером % по модулю D = рп не имеет нулей в области i|<Cb <7> 1

С2 log4+5 D log log D

Затем в 1964 А. А. Карацуба [27, 28] получил более точную границу нулей: если х — характер по модулю И = рп степени, не меньшей рп~г, то для любого £ > 0 Ь(я,х) не имеет нулей в области 1

И < с, а>1 log3+£l D где l = qTQ~i \ ' Cin2 ^ l°SP < С2П2+£. 3(3 + e)

В 1966 г. исследования были продолжены Н. Г. Чудаковым [53], который доказал, что если % — любой характер по модулю D = рп, р — фиксированное простое число, то L(s,x) Ф 0 в полуполосе щ ^ gi>i (log log D) }

3 ? log D log log D) 4 где 61,62 — параметры, не зависящие от D.

В 1973 г. В. Н. Чубариков [50] показал, что если х — любой характер по модулю D = рп, р — фиксированное простое число, то L(s, х) ф 0 в полуполосе 4 log3 D log log D где 61, 62 — константы, не зависящие от И.

Используя формулу А. Г. Постникова, методом тригонометрических сумм мы оцениваем гибридные суммы

1 <n<N

Х(п) nit на рассмотрение которых внимание автора обратил В. Н. Чубариков.

Теорема 1. Пусть х — примитивный характер по модулю И = рк, р ^ еАк — нечетное простое число, А > 0; N — ри ^ И2, и — вещественное число. Тогда при ^ 2И существует постоянная с = с(А) > 0 и абсолютная постоянная 7 > 0; что для суммы s = справедлива оценка N У п=1 lotr3 N

Теорема 2. Пусть х — примитивный характер по модулю О = рк, к ^ 2, р — нечетное простое число, р ^ ехр|л]^з А > 0; N ~ ри ^ \Ц2, и — вещественное число. Тогда при ^ И существует постоянная с = с(А) > 0 и абсолютная постоянная 7 > О, что для суммы N

71=1 верна оценка с=сое(400А)Ч

Далее, пользуясь оценками экспоненциальных интегралов [2, 54], получены оценки L-функций в окрестности прямой Res = 1.

Теорема 3. Пусть х — примитивный характер по модулю D = рк, р — нечетное простое число, р ^ еАк , А > 0, 7 — постоянная из теоремы 1. Тогда при 1 — 2 D выполняется оценка:

1 -(7)1/4 log1/6 D + 1 ' где С = С {А) = Ъ =

3^37'

Теорема 4. Пусть х — примитивный характер по модулю И = рк, к ^ 2, р — нечетное простое число, р ^ ехр^Лк^з А > О,

7 — постоянная из теоремы 2. Тогда при I — ^ а 1 и Щ ^ И выполняется оценка:

1 - а log1/6 |i|+ 1' где С = С(А) = С0е^400А^7, Ь —

Далее, мы методом Адамара по схеме, предложенной в работе [37], нашли новые границы нулей L-функций Дирихле.

Теорема 5. Пусть х — примитивный характер по модулю D, D = pk, k ^ 2, р — нечетное простое число, р ^ еАк , А > 0. Тогда при D ^ Do = Dq (A) L(s,x) не имеет нулей в области t\^D, О 1--^-—, log3 D{loglogD) з где с = 500~1b~2^3, b — постоянная из теоремы 3.

Теорема 6. Пусть х — примитивный характер по модулю D, D = рк, к ^ 2, р — нечетное простое число, р ^ exp j^log3 А > 0. Тогда при D ^ Do (A) L(s,x) не имеет нулей в области t\>D, <7^1 log3 |i|(loglog|i|)*' где с — 500 16 2//3; Ъ — постоянная из теоремы 4

Третья глава посвящена проблеме делителей Титчмарша специального вида. В 1933 г. Е. К. Титчмарш [58, 59] показал, что где т(п) — число делителей числа п. В 1965 г. А. И. Виноградов [19] и Э. Бомбьери [55] доказали, что для любого А > 0 существует В > 0 такое, что max i i\ 7г(гv;k,l)

Ф) о х logA х logX

Из этой оценки была найдена асимптотическая формула log log х \ т(р-1) = со» + о(. р^х 4 6 где со = • Вопрос об асимптотической формуле для к > 2 остается открытым.

В последней главе решается задача, аналогичная проблеме делителей Титчмарша. С помощью оценок А. И. Виноградова — Э. Бомбьери и теоремы В. Вруна — Е. К. Титчмарша найдена асимптотическая формула.

Теорема. Пусть T^(a;q) — количество представлений натурального числа а в виде: а = qkmn, где q — простое число и пусть у = у[х) — монотонно-возрастающая функция, у оо при х —» оо, у ^ log х. Тогда при х —>■ оо справедлива асимптотическая формула

S = - l;q) = c0x\oglogy + 0(х), qi^yp^x где С(2)С(3)

В заключение, автор выражает глубокую признательность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В. Н. Чубарикову за поставленные задачи и помощь в написании работы, а также д.ф.-м.н., профессору Г. И. Архипову и д.ф.-м.н., профессору А. А. Карацубе за привлечение интереса к задачам аналитической теории чисел, к которому располагала творческая атмосфера на их научных семинарах и на специальных курсах.

1. Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы // Тр. МИАН. — 1980. — Т. 151.

2. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1987.

3. Архипов Г. И. Кратные тригонометрические суммы и приложения: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — М., 1975.

4. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1976. — Т.40. — С. 209—220.

5. Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О кратных тригонометрических суммах // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 222, №5. — С. 1017—1019.

6. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Верхняя граница модуля кратной тригонометрической суммы // Тр. МИАН. — 1977. — Т. 143. — С. 3—31.

7. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Показатель сходимости особого интеграла проблемы Терри // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 248, №2.С. 268—272.

8. Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В. Н. Равномерные оценки кратных тригонометрических сумм // Докл. АН СССР. — 1980. — Т. 252, №6. — С. 1289— 1291.

9. Архипов Г. И., Карацуба A.A., Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1980. — Т. 44. — С. 723—781.

10. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Особые случаи теории кратных тригонометрических сумм // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1983. — Т. 47, №4 — С. 707—784.

11. Архипов Г. И., Карацуба А. А., Чубариков В. Н. Новые равномерные оценки кратных тригонометрических сумм // Докл. АН СССР. — 1983. — Т. 272, №1. — С. 11—12.

12. Барбан М. В., Линник Ю. В., Чудаков Н. Г. О простых числах в арифметической прогрессии с разностью, равной степени простого числа // Acta arithm. — 1964. — V. 9, №4. — S. 375—390.

13. Виноградов И. М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1980.

14. Виноградов И. М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. — М.: Наука, 1976.

15. Виноградов И. М. Избранные труды. — М.: Изд-во АН СССР, 1952.

16. Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981.

17. Виноградов И. М. Новая оценка С(1 + «£) // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1958.Т. 22, №1 — С. 161—164.

18. Виноградов И. М., Карацуба А. А Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Тр. МИАН. — 1984. — Т. 168. — С. 4—30.

19. Виноградов А. И. О плотностной гипотезе для L-рядов Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1965. — Т. 29, №4 — С. 903—934.

20. Воронин С. М. О распределении ненулевых значений дзета-функции Римана // Тр. МИАН. — 1972. — Т. 128. — С. 153—175.

21. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.

22. Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: Наука, 1971.

23. Исмоилов Д. Оценка сумм характеров от многочленов // Докл. АН Тадж. ССР. — 1986. — Т. 29, №10. — С. 567—571.

24. Карацуба A.A. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983.

25. Карацуба A.A. Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1966. — Т. 30. — С. 183—206.

26. Карацуба A.A. Метод тригонометрических сумм и теоремы о среднем: Дис. . доктора физ.-мат. наук. — М. — 1966.

27. Карацуба А. А. Тригонометрические суммы специального вида и их приложения // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1964. — Т. 28. — С. 237—248.

28. Карацуба А. А. Оценки тригонометрических сумм особого вида и их приложения // Докл. АН СССР. Сер. мат. — 1961. — Т. 137, №3 — С. 513—514.

29. Карацуба А. А. Оценки тригонометрических сумм методом И. М. Виноградова и их применения // Тр. МИАН. — 1971. — Т. 112. — С. 241—255.

30. Карацуба A.A. О нулях дзета-функции Римана // Докл. АН СССР. — 1984.Т. 276, №3. — С. 535—539.

31. Карацуба А. А. О нулях функции C(s) в окрестности критической прямой // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1985. — Т. 49, №2. — С. 326—333.

32. Коробов Н. М. Оценки тригонометрических сумм и их приложения // Усп. мат. наук. — 1958. — Т. XIII, вып. 4(89). — С. 185—192.

33. Линник Ю. В. Оценки сумм Вейля по методу И. М. Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1942. — Т. 6(1). — С. 41—70.

34. Линник Ю. В. Оценки сумм Вейля // Докл. АН СССР. — 1942. — Т. 34, №7.С. 201—203.

35. Линник Ю. В. О суммах Вейля // Мат. сб. — 1942. — Т. 12(57). — С. 28—39.

36. Монтгомери X. Мультипликативная теория чисел. — М.: Мир, 1974.

37. Попов О. В. Арифметические приложения оценок сумм Г. Вейля от многочленов растущей степени: Дис. . канд. физ.-мат. наук. — М., 1995.

38. Постников А. Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого числа // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1955. — Т. 19. — С. 11—16.

39. Прахар К. Распределение простых чисел. — М.: Мир, 1967.

40. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1977.

41. Розин С. М. О нулях L-рядов Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. мат. — 1959.Т. 23. — С. 503—508.

42. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. — М.: ИЛ, 1953.

43. Титчмарш Е. К. Теория функций. — М.: Наука, 1980.

44. Хуа Ло-Ген. Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел. — М.: Мир, 1964.

45. Чубариков В. Н. Об одном кратном тригонометрическом интеграле // Докл. АН СССР. — 1976. — Т. 227, №6. — С. 1308—1310.

46. Чубариков В. H. О кратных рациональных тригонометрических суммах и кратных интегралах // Мат. заметки. — 1976. — Т. 20, №1. — С. 61—68.

47. Чубариков В. Н. Кратные тригонометрические суммы: Дис. . канд. физ,-мат. наук. — М. — 1977.

48. Чубариков В. Н. Асимптотическая формула среднего значения кратной тригонометрической суммы // Мат. заметки. — 1978. — Т. 23, №6. — С. 799—816.

49. Чубариков В. Н. Об асимптотических формулах для интеграла И. М. Виноградова и его обобщений // Тр. МИАН. — 1981. — Т. 157. — С. 214—232.

50. Чубариков В. Н. Уточнение границы L-рядов Дирихле по модулю, равному степени простого числа // Вестн. Моск. ун-та. Сер. мат., мех. — 1973. — №2. — С. 46—52.

51. Чудаков Н. Г. On zeros of Dirichlet's L-functions // Мат. сб. — 1936. — T. 1(43). — С. 591—602.

52. Чудаков H. Г. Введение в теорию L-функци Дирихле. — М.: Гостехиздат, 1947.

53. Чудаков Н. Г. О нулях L-функций Дирихле для модулей, равных степеням нечетного простого //Вестн. ЛГУ. Сер. мат. — 1966. — №1. — С. 93—98.

54. Arkhipov G. I., Buriev К. Refinement of estimates for the Riemann zeta-function in a neighbourhood of the line Res = 1 // Int. transf. and spec. func. — 1993. — V. 1, №1. — R 1—7.

55. Bombieri E. On the large sieve // Mathematica. — 1965. — No-12. — P. 201—225.

56. Hadamard J. Sur la distribution des zeros de la function £(s) et ses consequences arithmétiques 11 Bull. soc. math. France. — 1896. — V. 24. — P. 199—220.

57. Ismoilov D. On a method of Hua Loo-Keng of estimating complete trigonometric sums // Advances of Math., China. — 1994. — V. 23, №1. — P. 31—49.

58. Titchmarsh E. C. A divisor problem // Rendiconti Palermo. — 1930. — V. 54.P. 414—429.

59. Titchmarsh E. C. A divisor problem // Rendiconti Palermo.,-;— 1933. — V. 57.P. 478—479.

60. Valle-Poussin C.J. de la Recherches analytigues sur la theorie des nombres; partie I, И, III // Ann. Soc. Sci. Bruxelles. Ser. A. — 1896-1897. — T. 20—21.

61. Weyl A. On some of exponential sums // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. — 1948. — V. 34. — P. 204—207.

62. Турешбаев Б. А. Оценка полных сумм характеров Дирихле от многочленов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. мат., мех. — 1999. — №1. — С. 18—22.

63. Турешбаев Б. А. О среднем значении полных сумм характеров Дирихле от многочленов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. мат., мех. — 1999. — №4. — С. 64—65.

64. Турешбаев Б. А. О нулях ¿-функций Дирихле по модулю, равному степени простого числа // Современное состояние и перспективы развития математики в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии" : Тезисы докл. межд. конф.Алматы. — 2000 г. — С. 161.