О проблеме делителей Дирихле и ее аналогах в числовых полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИХ! ОРДЕНА ЛЕПИНА П ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗПАМЕНП ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ плени В. П. ЛЕНИНА

Специализированный Сонет К 053.01.02

Па правах рукописи

ПАНТЕЛЕЕВА Елена Ивановна

О ПРОБЛЕМЕ ДЕЛИТЕЛЕЙ ДИРИХЛЕ И ЕЕ АНАЛОГАХ В ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на сонсканне ученой степени кандидата фнзпко-математнческих наук

Москва 1993

Работа выполнена на кафедре теорпи чисел Московского ордена Ленина н ордена Трудового 'Красного Знамени педагогического государственного университета имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, профессор В. И. НЕЧАЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н. М. ТИМОФЕЕВ,

кандидат физико-математических наук С. А. ГРИЦЕНКО

Ведущая организация — Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова.

Защита состоится «.....'/....ъ......^¡З.........1993 г. в часов

на заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степенн кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В. И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИГУ им. В. И. Ленина (адрес университета: Москва, ИЭ^ЗБ, Малая Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина).

Л О

Щ О/

Автореферат разослан «..гГ....У.».......'к....!.........1993 г.

Ученый секретарь ^егшализироваппого совета ' Г. А. КАРАСЕВ

сР

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тема. При решении многих задач теории чисел приходится исследовать поведение рядов Дирихле

s

f(s}-¿: апп (ап, S&CI,

/7=У

а также тесно связанных с ними функций

Ф

ап

называемых сумматорными функциями коэффициентов ряда Дирихле.

Наиболее известным рядом Дирихле является дзета-функция Римана , при fíes определяемая равенством

-S

/ ОО

л .

к -я степень S" (3) дзета-функции при ft&S? /

представ-

ляет собой ряд Дирихле

-S,

£ (¿¡=2. г.(п)п

/7=/ "

где - .число представлений п в виде /Ф натураль-

ных сомножителей /при /1=12 Т2(п)=*Т(Л) - число натуральных делителей п /. Сумматорная функция коэффициентов этого ряда

«Я* Т^ (п)

л^эг

есть число натуральных решений неравенства Я" ,

или, что то же, число целых точек под гиперболической поверхностью ЗГ] •' = эс /при /7£ под гиперболой Задачу об асимптотической оценке суммы принято на--

зывать проблемой делителей /Дирихле/.

Классические теоремы П.Дирихле*/ и Э.1андау2/ позволяют получить асимптотическую формулу

9)k М = (¿оух) + 0(Х ^ ^ ) ,

где Р^ - многочлен степени k—J , <Е>0 - произвольно малое фиксированное число,

dfa i- k ,

■ Дальнейшая история оценок d^ такова:

Jft^ i-2ffi+J) , Ь7У2. /Г.Вороной3/ и ЭЛандау2//,

t /Г.Харди и ДЛиттлвуд^//,

т/'aiiucMet Р. Vbez dee &estimmung dez mLiiiezen [■Jezie in des EahPpniheosLe // M. Mad. ¡diss. Berlin. /Ж ides ftp2- S. 49-66.

2/ ¿anday £. Vies die Am&hP dps Giitez/iunftte in gewissen BeseicAen // dac/ia. J bad. ¡diss. fcMtLngen. Maih.-Phys. M. J9i2. P/i. 6. S.6t?-?7S.

3/

'Вороной Г.Ф. Об одной задаче из теории асимптотических функций // Собрание сочинений в трех томах. Т.2 / Киев: Издательство АН УССР, 1952. С. 5-50. Hazdy9.H.,LUi2ewoodJ.F. The appioximatre functional equation in the theosy of the zeto- function, rtitfy applications to the dii/i-sosp?o6£ems о/ ¿OLuchPet and Pitt г // Ргос. ¿ondon Math. Soc. ¿ег. 2. J9££. V. <2/. P. 39-74. '

o/ç «S 1-3 A~ , А><? /Д.Хис-Браун5//,

g 1-165 ( 2* A)~J t A * 120 /А .Ивичб//. Все эти результаты имеют вид

-У

где С0 , - абсолютные постоянные.

Г.Рихертом^ для фиксированного А?/$0 и А.А.Карацубой^ равномерно по для 2 $ £ор я была получена оценка <=1^ другого вида:

/2/

где с - абсолютная постоянная. .

Ясно, что оценка /2/ принципиально лучие оценки /I/, но.

5/

' Heath-Bzown £)./?. р/еал m/yes of the zeía-function and diviso? pzo&fems // Pe ce ni P?og?ess ¿n AnaPytlc л/итбез Theory, Sum/iosium Sùuzham V.î/ ¿onc/on Aeaa/p/nic P?ess, /9<Р/. P. J/5-ш.

6// DvlcA. Some new est:¿matos in the £)¿?¿chPei divisoгppoSPem //Jeta /}?¿t/irrj. /gjg. V. 52, At°5. P. 241-253.

7 /

' Richert //.'-/". Ein fu rung ¿n c/ie The one dp? sta?Âen Pieszschen Summ Le? ¿a?fait von SdiùchPeireihen // л/ac/i?. Jkac/. Mss. PoHingen. /iath.-Phys. PP. то. Я у?-75.

^Карацуба АД. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т.Зб, » 3. С. 475-483.

так как известные на сегодняшний день значения константы С ма- . лы, то /2/ становится лучше Д/ лишь при достаточно больших . Так, А.Ивич^/ показал, что

Это лучше оценки

^ & 1-¿65 ( 2* &} ,

лишь при Ь~2 2бшЮе ,

Отсюда естественным образом вытекает задача улучшения константы С . Полученная А.А.Карацубой®/ формула для ее вычисления имеет вид

с-л (2а! , ■ /з/

где (Л - константа из оценки дзета-функции Римана в критической полосе:'

при ш

з

а/у-б/ £

Ъ(6 + И) Ш- /V

Улучшения константы С можно достичь двумя путями: во-пер-. . вых, улучшением вида формулы, связывавшей величина С и СУ ; во-вторых, улучшение^ самой константы О из оценки £ (£) * Решением первой задачи занимался, например, А.Фудки^/, который получил для С формулу

9/01/1 с Л. 7Л? /Нетапп 2Р+а-/ипсИол. д. №/еу Вопз. л/ем УогА, 19*5.

10//"¿//¿7 А. Оп Ш р?обРет о/ Ымзогз // АЫа ; /Р?е. У.ЗУ. Р. 355-эбо.

\ /ЬЛ. /з/

Решением второй задачи занимались такие авторы, как В.Стае,

II/

Г.Рихерт, П.Туран. Так, В.Стае ' доказал, что &=2 для

. _ то /

Л~2 ^ О ^ 1 . Г.Рихерт ' получил уже оценку Д/ с (Х—ЗОО . Наконец, П.Туран^/ опубликовал результат С/—39 .

Исследование поведения дзета-функции Римана в критической полосе тесно связано с изучением тригонометрических сумм вида

называемых дзетовыми суммами. Подобные суммы встречаются уже в работах К.Гаусса. Исследованием таких сумм занимались Г.Вейль, ГДарди и Д.Зиттлвуд. Существенно новые результаты были получены 1> 1958 году Н.М.Коробовым^/ и И .М.Виноградовик"^. Именно,

*ll&tas W. Шег о/гг Veshotien с/еа RLmannschen Funßiion апо' ¿¿nipes ¡/еги/апс/?Р? funßtion ¿п с/ег /Jähe dez ¿?е?ас/еп б■= / //J?c-i& Jiztihrn.

J962. W-7. P 2/7-22v.

111 Pich pH H.-£. ¿us //Ssc/?aJiung c/pz /?tpmc-nn -sehen ZptafanfriLon in c/ps s/ahp с/рз yp?iika/en б— -] // tfaih. /Inn. /£>6?. ß. /69. A/f i. /. S. 9F-JOJ. 13 /

Tu У an /? 0/7 SO/77 P -jpeen / PPSU&S I/7 i/lP С/ПО-Üutik<y<?- iheoiy Ojf nt/mSpfs// P?oc. Sum/?. Po?p Math, xx, /увд /уУри/ : JAfS, JnsciJfjie о/ A/u/nSe? Th&ovi/, J97J. P. -¿SO-öy'/.

т ц/

'Коробсв H.M. Оценки тригонометрических сумм и их приложения //'Успехи иатем. наук. IS5C. Т.13, шп. '¡(82) . С. 185-192 . ^ "^Виноградов И.М. Новая оценка S(J-tii) // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1958. Т .22, }> 2. С. 161 -164.

било доказано, что 1 .

при г>,г0 » ^ г

, -г .¿-¿он

п «У , /6/

где с/0 - абсолютная положительная постоянная* Опубликованная А.А.Карацубой^/ формула

-У

a=2(3j3¿T) (U-CJo), связывающая константы О из /V и о/^ из /б/, показывает, что всякое продвижение в оценке дзетовой суммы влечет за собой улучшение оценки S(S) в критической полосе.

Подчеркнем, однако, что оценки дзетовых суммимеит и другие применения в теории чисел. Например, оценка /6/ позволяет уточнить сведения о поведении ¿Г(S ) на прямых fif 5= / и fíe £■= , что ведет к улучшении остаточных членов в aci п-тотическом законе распределения простых чисел.и в задаче о попадании простых чисел в интервалы малой длины.

Обобщением проблемы делителей Дирихле является проблема делителей в числовых полях, в частности, задача о_б асимптотической оценке суммы

л^зт ^...'Jlff^ac которая является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле

"^Карацуба А.А. Сценки тригонометрических суки методом И.М.Виноградова и их применение // Тр. Матем, ин-та им*В.А.С«екло-ва АН .СССР. IS7I. T.II2. С. 241-255.

ттць11(5,У1) ,...,¿^(3,7^)- Ь -функции Дирихле с характерами Дирихле . Яу ». • •» Я'а ^ .

Классическими в этой области являются результаты ЭЛандау который получил асимптотическую формулу

л: Сп^Яеь -^- +0(эс ) > п/

где с^ф «Р/—, , £УО -произвольно

малое фиксированное число.

АЛ.Карацуба^"'/ получил для ¿.¡^ оценку

где, как и в /7/, $ - фиксированное натуральное число, , ..., - характеры Дирихле по фиксированным модулям ,

•••> аА г Су - абсолютная положительная постоянная.

В связи с изложенным выше становится актуальной задача получения более точной информации о поведении остаточных членов проблемы делителей Дирихле и проблемы делителей в числовых полях, а также связанная с этим задача получения новых оценок дзета-функции Римана, / -функций Дирихле и некоторых тригонометрических сумм специального вида.

Цель работы. Целью диссертационной работы является:

- получение новых оценок дзетовых сумм и тригонометрических сумм с характерами, подобных дзетовым;

- исследование поведения $ -функции Римана и Z -функций Дирихле в критической полосе;

^/Карацуба АЛ. Проблема делителей Дирихле в числовых полях // Докл. АН СССР. 1972. Т.2СН, № 3. С. 540-5«.

- уточнение оценки остаточного члена, равномерной по всем 2 А «г* ¿о^зс , в проблеме делителей Дирихле и получение

равномерной по веек 2^¿орос , /паэг/Щ,,..,,^! <¿Г

оценки остаточного члена в асимптотической формуле дляе=С С^

-«г УъщтА)! я,

- характеры Дирихле

по модулям , •••» З)^ /, из которой следуют новые оценки остаточных членов проблемы делителей в квадратичном и /г? -круговом полях.

Научная новизна. Вое результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Получена новая оценка дзетовой суммы и улучшена оценка дзета-функции Римана в критической полосе; улучшен остаточный член в П]облеме делителей Дирихле; впервые равномерная по всем 2 ^ $^ ¿огрэг оценка остаточного

члена получена в асимптотической формуле для <£.

причем здесь учтена возможность некоторого роста модулей 5(¡J,..•, , по которым рассматриваются характеры Яу ,

Яуф ; это позволило улучшить остаточные члены проблемы делителей в квадратичном и т -круговом полях; лри этом получены новые оценки ¿> -функций Дирихле и тригонометрических сумм с характерами, подобных дзетовым.

Методы исследования. В работе использована совокупность методов, разработанных в этой тематике: метод Вейля-Харди-Литтлвуда и метод К.М.Виноградова оценки тригонометрических сумм, методы действительного и комплексного анализа, теория рядов Дирихле и др.

Теоретическая и практическая значимость. Работа* имеет теоретический характер и вносит вклад в решение одной из классических задач теории чисел. Результаты диссертации и соображения, с помощью которых они получены, могут бить использованы в дальнейших исследованиях, посвященных проблеме делителей и связанным с ней вопросам.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на Всесоюзной школе "Конструктивные методы" и алгоритмы теории чисел" /Минск, '1989 г./, на респубяи-канской научно-теоретической.конференции "Теория чисел и ее приложения" /Ташкент, IS90 г./, на Ленинских чтениях в МГПИ имени В.ИЛенина, на научно-исследовательском семинаре кафедры теории чисел МГУ имени MJB Ломоносова, на аспирантском семинаре кафедры теории чисел МПГУ имени В.ИЛенина.

• Объем работы.- Диссертация состоит из введения, тръх глав и списка литературы. Объем работы 118 страниц машинописного текста, из них 112 страниц основного текста, список литературы включает 56 названий.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах £ l] - L » список которых приложен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Во введении обоснована актуальность'темы, дан краткий обзор литературы по данной проблеме, а также изложены основные результаты, полученные в работе.

■ Первая глава содержит вспомогательные утверждения, кеоб-

ходимые для доказательства последующих теорем. После формули- . ровок лемм приводится ссылка на соответствующую литературу, со-„ держащую доказательство.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с проблемой делителей Дирихле.

В § I главы II доказана теорема об оценке дзетовой' суммы. Теорема I.

- __2_

/¿1 п / * ,

где /// £л/г! , ¿070 - абсолютная постоянная.

Доказательство проведено методом И.М.Виноградова с примечанием новых результатов в теореме о среднем / см.,'например,

18*/—20/д

При этом получены явные формулы, связывающие используемые в ходе доказательства величины. Для вывода указанных формул применены леммы ван дер Корпута и И.М.Виноградова об оценках тригонометрических сумм, а также многократное проведение . "частного суммирования" /интегральное преобразование Абеля/. Ряд параметров выбран оптимальным образом, для чего использованы как аналитические, тьк и вычислительные методы /некоторые значения констант получены при расчетах на ЭВМ/.

■^/Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, i960. " ■• '

19 /

'Архипов Г .И., Карацуба A.A. Об интеграле И.М.Виноградова . // Докл. АН СССР. IS76. Т.239, » 47. С. 764-765. ^^Тырика О .В. Новая оценка тригонометрического интеграла И.М.Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. матем. IS87. Т.51, &ч2. С. 363-378.

Отметим, что из оценки дзетовой суммы, полученной в теореме I, следует оценка /6/ с о(0—<Р££ /лучшее из известных ранее значений сЛ0=:2*00 получено Н.М.Коробовы^*/ в 1989 г./.

Оценка дзетовой суммы, полученная в теореме I, позволила улучшить константу из оценки /4/. дзета-функции Римана в крити-. ческой полосе /§ 2 главы II/. Верна •• ■ •

Теорема 2.

При , . . . ' •

21,5?^-6/л 4 •

15(б+И)1 <¿од Ш , где & 70 - абсолютная постоянная.

В § 3 главы II получена равномерная по всем

оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле с

_ *

где абсолютная1константа С вычисляется по формуле .

-у ~ а ' ■ ' ■'•

/гиглуГ3,

/Это лучше /3/ и /5/ при всех 2 /. При£7Ч?.<5/ отсюда следует Теорема 3. • •

А

£ ТА (л) - аРА (!одсс) + вас ( С !одзс) ,

где - число представлений.. /7 в виде & натуральных сомно-

жителей, Р^ - многочлен степени А-/ , ,

1в1 С У О - абсолвтнея достоянная«

2*/коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. .

М.: Наука, 1£89.

- 12 -

Доказательство проведено методом комплексного интегриро- . вакия с применением -метода асимптотического дифференцирования. ■ Улучшить вид формулы, связывающей величины С и О/ , удалось благодаря оптимальному выбору ряда параметров, используемых б ходе доказательства. Отметим, что оценка

2

лучше оценки

ctßf S? j-SS5/2j>fi} Уз А >,180

5

уже при JO .

' . 3 третьей глазе диссертации рассмотрены вопросы, связанные с проблемой делителей в числовых полях.

В § I главы III получена оценка тригонометрической суммы с характером .Дирихлз

^ ¿t , ,

У< n^/Jj

которая является обобщением дзетовой суммы и возникает при исследовании L -функций Дирихле. Теорема I.

Пусть % - характер Дирихле по модули , <0 ,

yVjr -в? 2 а/ Z > Jl > О ~ абсолютная постоянная. Тогда

„ s

- / /Ь?а/£> ' 1± 3d40 £oüst

■ / г2 п I ^ J^e ^ '

V</7

Из оценки указанной тригонометрической суммы следует новая оценка L -функции Дирихле L (S, У) в критической полосе /§.2 главы III/. Теорема 2.

Пусть X - характер Дирихле по модулю £> , /Ü2-2 ,

4; 6 ^ У , & ~?0 - абсолютная постояннаяi Тогда

J ■ . '

У-б 2J,5?ti-<5) . „ . з'£ ,, ...

Ш max ( fog 3), cog f-i! ) .

Отметим, что в данных утверждениях учтена возможность значительного роста модуля SO , по которому рассматривается характер Дирихле % , что влечет за собой некоторое изменение схемы доказательства.

В § 3 главы III получена равномерная по всем 2^А ^ ^ ¿од СС оценка остаточного члена в асимптотической формуле

ДЛЯ

У* ■ У/г {"А I , .

причем здесь также учтена возможность некоторого роста модулей . • • •, , по которым рассматриваются характеры

ЯГ/ »•••» *Xfi •

Теорема 3.

Пусть ¿j(s,7j) ряды Дирихле с харак-

терами У J по модулю ,..., ПО модуля . Пусть

при Res 71 • • .

У-оо

Zy (s, Ъ/'-; ¿а fS,7A>J=£ jß .

- /7=У

y-j/1 ' ■ * z Cn = O-P^ (¿0£3CJ+ Э* (Clog et) ,

- 14 -

где (7~l - число главных характеров среди ^

многочлен степени m-J , , 2 &- ,

rnoxft/Qfej , С уО - абсолютная постоянная.

доказательство этой теоремы, как и теоремы 3 главы II, проводится методом комплексного интегрирования. Однако из-за комп-ле'лснозкачноста функцииСп , исследование которой ле-

жкт в основе доказательства, применение асимптотического диффе-ррнш:гсвакия требует более общих соображений, в частности, введения "сглажвающей" функции типа "стаканчиков" II.М.Виноградова. Свойства дзета-Фуккцкй Ледекинда квадратичного поля

где

Я - бесквадратное число, и /-т?-кругового поля

Г-™ v

гге £ ■=■/ , /7? - натуральное, позволили использовать выше-указанн'/ю оценку С/} для улучшения остаточных членов прсб-

Л

лень: делителей в этих числовых полях. Теорема 4.

Пусть ¿0 - бесквадратное число, квадратичное поле, 2Jf - целые дивизоры поля Н • Тогда для

любого А , У ^ A s? ¿ogsr , ' &

■ „ "&»'*. *

с2 ■ у ■=• огр (¿ооаг)+ 0а ( CtoQtrj ,

где Р^ - многочлен степени /т-У , /0/ , С ~?0 - абсолютная

постоянная.

Теорема 5.

•Пусть т eW , У -s= т ^ £ор2cr ", «р ^—у , H—fifS) - /77 -круговое поле, 2/ - целые дивизоры поля И . Тогда для любого А , У А «г ¿орЪг ,

__/А A J

JJS5

4d? У (too*)* в* (Сбздос)

(**) 3 ЛА

где h=tf(m}, Pfa - многочлен степени k—J , /&/ ^У , С 7 О - абсолютная постоянная.

Следует отметить, что ранее задачи, подобные рассмотренным в главе III, решались лишь для характеров Дирихле по некоторым фиксированным модулям. • ■ ,

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пантелеева Е.И. Новая оценка дзеговой суммы // МГГШ им. В .И .Ленина. - М., 1586. - 28 с. - деп. в ВИНИТИ 01.12 .'86. № 8I28-B86.

2. Пантелеева Е.И. Применение ЭВМ з решении одно?, задачи аналитической теории чисел // Научные труди. Вып. 195 / М.: ЮТ. 1987. С. 112-114.

3. Пантелеева Е.И. Применение последних результатов в оценке 'интеграла И.М»Виноградова // МГПИ ИМ» и шЛ »«ICH/' на. IS87.' - 24 с. - деп. в ВИНИТИ 27.11.87. К 8359-D87.

Пантелеева Е.И. Равномерная оценка остаточного члена з проблеме делителей Дирихле в числовых полях // МГПИ им. В.И.Ленина. М., 1988. - 38 с. - деп. в ВИНИТИ 21.03.88. 15 2I33-B88.

5. Пантелеева Е.И, К вопросу о проблеме делителей Дирихле в чис- . ловых полях // Матем. заметки, 1988. Т.UU, вып. С. -'(95-505.

6. Пантелеева Е.И. О проблеме делителей Дирихле // Всесоюзная школа "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" / Минск: ЕГУ, 1969. С. 116,

7. Пантелеева Е.И. Оценки некоторых арифметических сумм // . МПГУ им. В.И .Ленина. - М., 1992. - 18 с. - деп. в ЗИНИТИ 18.11.92. Й 3281-5S2.

^ У fri-£\