О проблеме делителей Дирпхле и её аналогах в числовых полях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ пмени В. П. ЛЕНИНА

Специализированны!"! Совет К 053.01.02

Па правах рз

ПАНТЕЛЕЕВА Елена Ивановна

О ПРОБЛЕМЕ ДЕЛИТЕЛЕЙ ДИРИХЛЕ II ЕЕ АНАЛОГАХ В ЧИСЛОВЫХ ПОЛЯХ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра н теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1993

/

абота выполнена на кафедре теории чисел Московского на Ленина и ордена Трудового 'Красного Знамени иедаго-гского государственного университета имени В. И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, профессор В. И. НЕЧАЕВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор II. М. ТИМОФЕЕВ,

кандидат фнзико-математлческдх наук С. А. ГРИЦЕНКО

Ведущая организация — Московский государственный унп-фсптет имени М. В. Ломоносова.

У

Защита состоится «..........»................1993 г. в часов

а заседании специализированного совета К 053.01.02 по при-/ждепшо ученой степени кандидата физико-математических аук в Московском педагогическом государственном упиверсн-зте им. В. И. Ленина но адресу: 107140, Москва, ул. Красно-рудная, д. 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГ1ГУ м. В. И. Ленина (адрес университета: Москва, 119435, Ма-еш Пироговская, 1, МПГУ им. В. И. Ленина).

0-7 ОУ

Автореферат разослан «...?:.......»........................1993 г.

Ученый секр^/адь специализированного совета

Г. А. КАРАСЕВ

ОЗ ™ „ „ -/б

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении многих задам теории чисел приходится исследовать поведение рядов Дирихле

■Ь О**

алп (а„,зеС! %

в также тесно связанных с ними функций

Ф

ап

называемых сумматорными функциями коэффициентов ряда Дирихле.

Наиболее известным рядом Дирихле является дзета-функция Римана 5" (S) , при fíes у' i определяемая равенством

л .

/7 = У

k -я степень S f¿>l дзета-функции при RgS?í представляет собой ряд Дирихле

¿ -S

Г ($)=£. г.(п)л ,

n—J fí

где - .число представлений п в виде /Ф натураль-

ных сомножителей /при Л =2 Тг(п) = Т(Л) - число натуральных делителей П /. Сумматорная функция коэффициентов этого ряда

«0Л /37=ТА (п) л ос

есть число натуральных решений неравенства •... • эг^ ^ t или, что то же, число целых точек под гиперболической поверхность!) OTj •... • ггд —эс /ПрИ /7=г^ под гиперболой аг^ й^—х j. Задачу об асимптотической оценке суммы (зс) принято на--зывать проблемой делителей /Дирихле/.

Классические георемы ПДирихле*/ и З.Ландау2/ позволяют получить асимптотическую формулу

3)k (a¡ - зср£ (¿oyx) + о (ce ^ J,

где Р^ - многочлен- степени ßf-J , é >0 - произвольно малое фиксированное число,

J/l k ,

' • Дальнейшая история оценок J.^ такова: dßt^{-&(A+i) , &7/2. /Т .Вороной3 / и ЭЛандау2//,

/Г.Харди и Д Литтлвуд^//,

l/'cúalchPet Р. ilbez die Bestimmung de¿ mUifazen bles-te in dps EahPpn-iheosie j/ J¿/>. JAad. ld¿ss. Be dm. W9. Mesßte 2. J/9-66.

2/ ¿anday £. líóez die AmothP dez Giitez/iunkte in gewissen Bezeichen // Лас/is. Afiad hiss. Böttingen. Maih.-P/iys. U¿. J912. Hfi.6. S.6f?-7?J.

3/

'Вороной Г.Ф. Об одной задаче из теории асимптотических функций // Собрание сочинений в трех томах. Т.2 / Киев: Издательство АН УССР, 1952. С. 5-50. ц/ Hazdij &.H.,Llí ißе wood J.B. The a/tpzoxímate functional equation in the theosy of ¿he

zeta-function, applications to the dit/i-

soz рюб£ет$ of MzichSet опо/ P¿£iz // Ptoc.¿onc/on Math. Soc. Ses.2.J9£Z. V.2J. P. 59-74.

Jk « I-5 k "У , k S /Д.Хис-Браун5/7,

,A?/J20 /А.ИВИЧ6//. Все эти результаты имеют вид

Jfis? i-CDk \ А 7/¿o , . /I/

где ¿?¿> , - абсолютные' постоянные.

Г.Рихертом7/ для фиксированного и А.А.Карацубой8/

равномерно по $ для ^ А ^ ¿og эг била получена оценка d^ другого вида:

/2/

где С ~ абсолютная постоянная.

Ясно, что оценка /2/ принципиально лучие оценки /I/, но»

51 Heath -&3own 5). ft. Mean vafyes о/ Me ?eia-function and diñsos p?o6¿ems /J fíe ce ni Progress in AnaPyhc л1ит6ег Theozy, Sum/iosíum Süuzham jff?p. I/. i / ¿onc/on ■: Acac/pmtc P?ess, í9fy. P. jss-jyp.

6// DvLc A. Some new estimates ¿n ihe SDLvichQei divisoг /}?о££ет // Лс1а /pj>p. у. ,

P. 2 ЧУ- 253.

7 /

fíiche?t И.-В. ELnfu?ung ¿n die TMozie dp? siarfien /?ieszsc/ten Surnm¿e?¿a>?Aé>il wo/? £)L?¿chPet?eLhen // */ac/>?. ¿fiad. Mss. ¿?ó-Hlngpr>. Haih.-Phys. №. mo. P. /?-75.

^''Карацуба АД. Равномерная оценка остаточного члена в проблема делителей Дирихле // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т.36, » 3. С. 475-483.

так как известные на сегодняшний день значения константы С ма- . лы, то /2/ становится лучше /I/ лишь при достаточно больших Ь * Так, А.Ивич^/ показал, что

_£

^ ¿ я 3 >

Это лучше оценки

^ <1-165 (2* , ¡17,120

лишь при ,

Отсюда естественным образом вытекает задача улучшения константы С 4 Полученная А.А.Карацубой®'' формула для ее вычисления

имеет вид

С-£ (2а/ ■ /3/

где (Л - константа из оценки дзета-функции Римана в критической полосе:'

при Щ ,

4

з

аКУ-б)*, # , Х[б-+И) {од /т?/. /V

Улучшения константы С можно достичь двумя путями: во-пер-. вых, улучшением вида формулы, связывающей величины С и ОТ ; во-вторых, улучшение^ самой константы а из оценки ¡> (£) , Решением первой задачи занимался, например, А.Фуджи^/, который получил для С формулу

9/ЗпсЛ 7Ие Я1етапп ге1а-/ипсИол. ¿г. М'Ду 4

вом. Жм УогА, 10//¿//¿¿' А. Ол Ш рюбРет о/ Жыьогя // А На /Р?6. ^з/. Р.

■ ЬА0. /V

Решением второй задачи занимались такие авторы, как В.Стае,

II/

Г.Рихерт, П.Туран. Так, В.Стае ' доказал, что £Г=2 для

-/3 тр /

/—2 ^ 1 . Г.Рихерт ' получил уже оценку Д/ с

С(=?100 . Наконец, П.Туран^/ опубликовал результат (У—39 .

Исследование поведения дзета-функции Римана в критической

полосе тесно связано с изучением тригонометрических сумм вида

и и

21 п }-Л л ,

называемых дзетовыми суммами. Подобные суммы встречаются уже в работах К.Гаусса. Исследованием таких сумм занимались Г.Вейль, Г.Харди и Д.Литтлвуд. Существенно новые результаты были получены 1> 1950 году Н.М.КоробоБым^'/ и И.М.Виногре.доэкм"'"*/. Именно,

lV. 2/Ses с/вг Vesh alien des RLmcrnnschen t- FunPiion and ¿ir/iges i^es и/and/es funhicon in о'ё>г /Jcrhe des ¿rezaden 6"=/ //J?c-t& /hit hm. JS/G2. d-7. /? 2/7-22V.

12/1'pichest. И.-В. ?7us //¿schdizung dpg /Piemen.-7-

schen Zeta-ßunhiiori cn dps dahp dp? lfe?tifra/en

б1 // Math. Ann. /967. S. /09. H/t. /■ 97-JOS.

13/— я .

JU?€rr? /? On sorr?p ?PCe/7 / in i/?p a-nor-

i'üii iheoiy of numSpps// PfOC. Sum/?. Po?, MCffh. XX, /999 / Леи/ to?/3: ¿Ж, Of

л>1>т6г? Theory,/97/. P.-359--2?'/.

~^Ксробсв H.H. Оценки тригонометрических сумм и их приложения // Успехи матем. наук. 1958. Т.13, nun. b ( 62 ) . С. I&5-I92 . ^Виноградов U.M. Нозал оценка ~£(.1fit) // Изз. АН СССР. Сер. матем. 1553. Т.22, Г- 2. С. .

било доказано, что

? у

при 2 о

, -2 л-<с10г

2. п «У , /б/

где о/0 - абсолютная положительная постоянная* Опубликованная А.А.Карацубой^/ формула

-У

astear) (J-CJo),

связывающая константы О из /4/ и oto из /*>/» показывает, что всякое продвижение в оценке дзетовой суммы влечет за собой улучшение оценки X (S) в критической полосе.

Подчеркнем, однако, что оценки дзетовых сумм-имеет и другие применения в теории чисел. Например, оценка /6/ позволяет уточнить сведения о поведении 5" (S ) на прямых ffPS^Í и ÑBS=j[ , что ведет к улучшению остаточных членов в aci п-тотическом законе распределения простых чисел.и в задаче о попадании простых чисел в интервалы малой длины.

Обобщением проблемы делителей Дирихле является проблема делителей в числовых полях, в частности, задача о.б асимптотической оценке суммы

¿с сп= ,

л^сг п,'...•/!£)!*: ос которая является сумматорной функцией коэффициентов ряда Дирихле

^КарацуСа AJI. Оценки тригонометрических сумм методой И.М.Виноградова и их применение // Тр. Матем» ин-та ии«Б.А,СтекЛ0-ва АН СССР. 1971. T.II2. С. 241-255. '

• - 7 -

где 1{(3,71) ,...,¿¿{3,7^) - Ь -функции Дирихле с характерами Дирихле Я/ ,..., • .

Классическими в этой области являются результаты ЭЛандау^/, который получил асимптотическую формулу

л: сп = йеь -5- +и(х ) » П/

п^ос $—1

где 2(Аи) , Ь?/2 , ЕУО -произвольно

малое фиксированное число.

АЛ.Карацуба^/ получил для с/,^ оценку

где, как и в /7/, $ - фиксированное натуральное число, Яу ,

• ••» Я$ - характеры Дирихле по фиксированным модулям ,

• ••» I - абсолютная положительная постоянная.

. В связи с изложенным выше становится актуальной задача получения более точной информации о поведении остаточных членов проблемы делителей Дирихле и проблемы делителей в числовых полях, а также связанная с этим задача получения новых оценок дзета-функции Римана, / -функций Дирихле и некоторых тригонометрических сумм специального вида.

Цель работы. Целью диссертационной работы является:

- получение новых оценок дзетовых сумм и тригонометрических сумм с характерами, подобных дзетовым;

- исследование поведения 2 -функции Римана и ¿> -функций Дирихле в критической полосе;

^/карацуба АЛ. Проблема делителей Дирихле в числовых полях // Докл. АН СССР. 1972. Т.20Ч К 3. С. 540-5«.

- уточнение оценки остаточного члена, равномерной по всем 2. ^ А ^оря > в проблеме делителей Дирихле и получение

равномерной по всем ¿о^ос , <¿X

оценки остаточного члена в асимптотической формуле для<£2 Сп—

л

- характеры Дирихле

по модулям £0^ /, из которой'следуют новые оценки

остаточных членов проблемы делителей в квадратичном и /г? -круговом полях.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являится новыми. Получена новая оценка дзетовой суммы и улучшена оценка дзета-функции Римана в критической полосе; улучшен остаточный член в проблеме делителей Дирихле; впервые равномерная по всем оценка остаточного

члена получена в асимптотической формуле для <=£ УЛЛуУ-Я&.'Ла),

причем здесь учтена возможность некоторого роста модулей

, по которым рассматриваются характеры Яу , ..., Яуф ; это позволило улучшить остаточные члены проблемы делителей в квадратичном и гтп-круговом полях; лри этом получены новые оценки ¿. -функций Дирихле и тригонометрических сумм с характерами, подобных дзетовым.

Методы исследования. В работе использована совокупность методов, разработанных в этой тематике: метод Вейля-Харди-Литтлвуда и метод И .М .Виноградова оценки тригонометрических сумм, методы действительного и комплексного анализа, теория рядов Дирихле и др.

Теоретическая и практическая значимость» Работа1 имеет теоретический характер и вносит вклад в решение одной из классических задач теории чисел. Результаты диссертации и соображения, с помощью которых они получены, могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных проблеме делителей к связанным с ней вопросам. ■

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на Всесоюзной школе "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" /Минск,'1969 г./, на республи- ' канской научно-теоретической.конференции "Теория чисел и ее приложения" /Ташкент, 1990 г./, на Ленинских чтениях в МГГШ имени В.И.Ленина, на научно-исследовательском семинаре кафедры теории чисел МГУ имени М .В Ломоносова, на аспирантском семинаре кафедры теории чисел ШГУ имени В.К Ленина.

•/ Объем работы.- -Диссертация состоит из введения, трьх глав и списка литературы. Объем работы 118 страниц машинописного текста, из них 112 страниц основного текста, список литературы включает 56 названий.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах С I] - С » список которых приложен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Во введении обоснована актуальность 'темы, дан краткий обзор литературы по данной проблеме, а также изложены основные результаты, полученные в работе.

Первая глава содержит вспомогательные утверждения, необ-

ходимые для доказательства последующих теорем. После формули- . ровок лемм приводится ссылка на соответствующую литературу, со-„ держащую доказательство.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы, связанные с проблемой делителей Дирихле.

В § I главы II доказана теорема об оценке дзетовой'суммы. Теорема I.

--Ье'л/-

где 2л/1 , ¿07О - абсолютная постоянная.

Доказательство проведено методом И.Н.Виноградова с приме-

нелием новых результатов в теореме о среднем / си.,'например, 18/-20/л

При этом получены явные формулы, связывающие используемые в ходе доказательства величины. Для вывода указанных формул применены леммы ван дер Корпута и И.М.Виноградова об оценках тригонометрических сумм, а также многократное проведение . "частного суммирования" /интегральное преобразование Абеля/. Ряд параметров выбран оптимальным образом, для чего использованы как аналитические, так и вычислительные методы /некоторые значения констант получены при расчетах на ЭВМ/.

^/Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, [960.

19 У

'Архипов Г.И., Кврвцуба A.A. Об интеграле И.М.Виноградова . //Докл. АН СССР. 1976. Т.239, * hl. С. 764-765.

О ** /

'Тырйна О.В. Новая оценка тригонометрического интеграла И.М.Виноградова // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1967. T.5I, *ч2. С. 363-376.

Отметим, что из оценки дзетовой суммы, полученной в теореме I, следует оценка /6/ с с¿о**#56 /лучшее из известных ранее значений а10=2#ОС> получено Н.М.Коробовым^*/ в 1989 г./.

. Оценка дзетовой суммы, полученная в теореме I, позволила улучшить константу из оценки /V* дзета-функции Римана в {срити-ческой полосе /§ 2 главы II/. Верна '- •

Теорема 2.

При Ш>2 , ■ . .

!£(б+ин<6Ш Н/ ;

где В УО - абсолютная постоянная.

В § 3 главы II получена равномерная по всем 2

оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле с

_ г

где абсолютная;константа С вычисляется по формуле .

V ' ■':'■:.

/Это лучше /3/ и /5/ при всех Ь"} 2 /. Приа»21,51 отсюда следует Теорема 3. •

Тд (п) - ¿сРд (¿одос) + ваг ( С ¿ода) ,

где Ц(п)- число представлений. П в виде А натуральных сомножителей, - многочлен степени , /9/ , СуО - абсолютная постоянная.

^^Коробов Н.М. Тригонометрические суммы и их приложения. М.: Наука, К89.

- 12 -

Доказательство проведено методом комплексного интегриро- . вешня с применением'метода асимптотического дифференцирования. • Улучшить вид формулы, связывающей величины С и , удалось благодаря оптимальному выбору ряда параметров, используемых в ходе доказательства. Отметим, что оценка

_ ß.

лучше оценки

_ у

s

уже при k 10 .

В третьей главе диссертации рассмотрены вопросы, связанные с проблемой делителей з числовых полях.

В § I главы III получена оценка тригонометрической суммы с характером Диряхлз

■ <57 9!fr7)nCt г ,

которая является обобщением дзетовой суммы и возникает при исследовании L -функций Дирихле. Теорема I.

Пусть X - характер Дирихле по модулю £д , ¿д, /i/j, ^ £у/ Г . J? > О - абсолютная постоянная. Тогда

- / /о/л/0/ Ü 31VO ¿On~t

- / с£7 /7 / С jA/e ^

л sZz/j

Из оценки указанной тригонометрической суммы следует новая оценка L -функции Дирихле L (S, Я) в критической полосе /§.2 главы III/. Теорема 2.

Пусть % - характер Дирихле по модулю од , ,

ir ё. б ^ J , В ~?0 - абсолютная постоянная^ Тогда

jl(6+Lt,y)l <

j .'■■■'

у ¿'.

/-б 21,5?(i-б) . _ . з'£ , ,.

. HI тая/iogS), ¿og . /-ti) .

Отметим, что в данных утверждениях учтена возможность значительного роста модуля SO , по которому рассматривается характер Дирихле X , что влечет за собой некоторое изменение схемы доказательства.

В § 3 главы III получена равномерная по всем А ^ sS fog С( оценка остаточного члена в асимптотической формуле

ДЛЯ

причем здесь также учтена возможность некоторого роста модулей оС^ ,...» 3)f¡, по которым рассматриваются характеры

ЯГ/ »•••» ОА •

Теорема 3.

Пусть ¿í(S,7í) ,...,¿£{£,7/$J-¿-ряды Дирихле с характерами Яу по модулю .7fr по модула . Пусть

при Res yj •■.•■•'

¿y (s, jß .

T0W ' ,-Ц** 4

cn~=cprrr/fyccj+Q* J5S (Ctogx) ,

n^ar

где /77 - число главных характеров среди

многочлек степенн т -J , — 0 , 2 А -ё- ,

С уО - абсолютная постоянная. Доказательство этой теоремы, как и теоремы 3 главы II, проводится методом комплексного интегрирования. Однако из-за комп-дёхснозкачностк функцииСп , исследование которой ле-

?:<кт з основе доказательства, применение асимптотического дифференцирования требует более общих соображений, в частности, введение "сглаживающей" функции типа "стаканчиков" И.М.Виноградова. Свойства дзета-функций Ледекинда квадратичного поляK^í^l,

где

Я - бесквадратное число, и -кругового поля г£е ¿ —У , /77 - натуральное, позволили использовать вышеуказан»'/» оценку ¿2 С л для улучшения остаточных членов прсб-

/7

лет делителей в этих числовых полях. Теорема 4.

-'--■ j? _

Пусть ¿0 - бесквадратное число,/^/^^?«^ , H=fí(wJ _ квадратичное поле, 2/Í - целые дивизоры поля И • Тогда для любого

А , У A S? ¿OgCT , ; &

сЁ2 ' У — эсР (toocrj-h вл ( C¿og¿r; J

//(Щ-.-Щ)^сг f , p

где P^ - многочлен степени fí-J , /О/ -^У , С У О - абсолютная постоянная. Теорема 5.

Пусть /77 е*/ , У /77 -«г ¿од ¿Г 4

Н—Ж^) - -круговое поле, 2/ - целые дивизоры поля И . Тогда для любого А , У А

J

l-JhV>*) **

У -vPf. (fágjcj-i- /Ctaoa) t

где Pfa - многочлен степени k—1 , J&I^J ,

С У О - абсолютная постоянная.

Следует отметить, что ранее задачи, подобные рассмотренным в главе III, решались лишь для характеров Дирихле по некотором фиксированным модулям. ■ .

'ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пантелеева Е.И. Новая оценка дзетовой суммы // МГПИ им. В.И.Ленина. - М., IS86. - 28 с. - деп. в ВИНИТИ 01.12.86. № 8I28-BS6.

2. Пантелеева Е.И. Применение 03М в решении одной задачи аналитической теории чисел // Научные труди. Вып. 195 / М.: ЬШТИ. IS87. С. 112-т.

3. Пантелеева Е.И. Применение последних результатов з оценке 'интеграла И.МЛиноградова // МГПИ им. В .И.Ленина. -•»!., Ii?87. - 24 с. - деп. в ВИНИТИ 27.11.87. »5 83594387.

Пантелеева Е.И. Равномерная оценка остаточного члена з проблеме делителей Дирихле в числовых полях // МГПИ им. З.И.Ленина. U., 1988. - 38 с. - деп. в 5ИККТИ 21.03.68. Ji 2I33-B8S.

5. Пантелеева Е.И. К вопросу о проблеме делителей Дирихле в чис-, ловых полях // Матем. заметки, IS88. ТЛ4, вып. С. '>55-505.

6. Пантелеева Е.И. О проблеме делителей Дирихле // Всесоюзная школа "Конструктивные методы и алгоритмы теории чисел" / Минск: ЕГУ, 1969. С. 116, .

7. Пантелеева Е.И. Оценки некоторых арифметических сумм // . МПГУ им. В.И.Ленина. - М., 1592. - 18 с. - деп. з ВИНИТИ 18.11.92. 3281-392.