О средних значениях арифметических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи удк 511.335

Колпакова Ольга Викторовна

О средних значениях арифметических

функций

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета мнм» М. В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор В. Н. Чубариков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н. М, Добровольский

Защита состоится 17 ноября 2006 г- в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001,84 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 17 октября 2006 г.

кандидат физико-математических наук, доцент О. В. Тырина

Ведущая организация: Математический институт

им. В. А. Стекпова РАН

Учёный секретарь диссертационного совета

Д.501.001.84 в МГУ,

доктор физико-математических

наук, профессор

В. Н. Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая диссертация является исследованием в области аналитической теории чисел. Основным предметом исследований, составляющих ее содержание, является многомерная проблема делителей Дирихле. Проблемой делителей называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей Дирихле, распространенных на множества натуральных чисел, имеющих различную природу. Поясним, что функцией делителей 7> (п) называется количество представлений натурального п в виде п — Xi...я*, где Xit...,Xk — натуральные числа. Данная задача допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная самим Дирихле асимптотика для среднего значения числа делителей натурального аргумента одновременно является и асимптотикой для количества целых точек под гиперболой.

Проблема делителей Дирихле берет свое начало с классической работы Л. Дирихле 1 1849 г., посвященной выведу асимптотической формулы для количества целых точек под гиперболой.

Современная постановка проблемы делителей включает в себя много различных аспектов, наиболее важным из которых является задача получения новых оценок остаточного члена Дк(х) в асимптотической формуле для сумматорной функции делителей вида

= 2 T*(n) - xP)t-i(ln х) + Д4(®).

n^as

Здесь предполагается, что х -f оо, и функция Pk-i (у) представляет собой некоторый многочлен с вещественными коэффициентами степени к — 1 от аргумента у = In х.

Верхней оценкой остатка At(x) при различных значениях величины к занимались многие известные математики. Кроме упомянутой выше работы Л. Дирихле 1849 г., в которой получена оценка вида

. Д*(аг)

можно указать на работы Г. Ф. Вороного 2, Е, Ландау 3,Х.-Е. Рихерта 4>

1 Dirichlet L. Über die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie// Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49-66). (1849), 69-83.

2 Вороной Г. Ф. Sur un problème du calcul des fonctions asymptotiques, Für die reine und angewandte math. 126 (1903), 241-282.

3Landau E. Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen// Göttingen Nachrichten (1912), 687-771.

4 Richert H. - E. Einfuhrung in die Theorie der starken Rieszchen Summierbarkeit von

Dirichletreihen// Nachr. Akad. Wiss. Göttingen (Math. Physik) (1960), 17-75.

Ж. ван дер Корпута 5, Г. Харди и Ж. Литтвуда б, А. А. Карацубы 7 ■ 8 , также на работы А, Ивича 9 и А. Ивича и М. Квелета 10. Отдельно отметим результаты, полученные Е. Е. Баядиловым в работе 11, некоторые из которых улучшаются в данной диссертации.

Подчеркнем, однако, что интенсивные исследования, проводимые на протяжении многих лет и отраженные в указанных выше работах, в настоящий момент еще далеки от окончательного решения проблемы, которое предполагает получение наилучшей верхней оценки остаточного члена в асимптотической формуле, то есть получение оценки типа

для любого £ > 0 соответствующей П — теореме Г. Харди 12 для величины Ajfc(x), утверждающей, что верхняя оценка типа

уже не имеет место.

Также к проблеме делителей относят еще целый класс задач, состоящий в нахождении асимптотических формул с оценкой остатка для среднего значения функции т*(п), когда п пробегает некоторое подмножество множества натуральных чисел, не совпадающее с натуральным рядом. Количество таких задач очень велико, как и число работ, им посвященных. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции т*([пс]), рассмотренную в работах 13,14,15.

^Corpiit J. G. van der Verschärfung der Abschatzungen beim Teilerproblem// Math. Ann. 87 Г1922), 39-65.

® Hardy G. Я., LittUwood J. E. The approximate functional equation in the theory of the zeta-function, with applications to the divisor problems of Dirichiet and Piltz// Proc. London Mftth. Soc. (2) (1922), 39-74.

7Карацуба А. А, Оценки тригонометрических сумм H. M. Виноградова и их применения// Труды МИАН СССР 112 (1971), 245-255.

* Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле// Изв. АН СССР. Сер. матем. 36 №3 (1972), 475-483.

9ivie A, Some recent results on the Riemann zeta-function// Proc. of the Intern. Number Theory Conf. (1989).

10IviC A., Quellet M. Some new estimates in the Dirichiet divisor problem// Acta Arithmetica 52№{1989), 241-253.

11 Балдилоэ E. E. О среднем значении функции делителей от тернарной кубической формы// Дисс. на соиск. уч. степ. к. ф.-м. наук, (2002).

18 Hardy G. Я. On Dirichlet's divisor problem// Proc. Lond. Math. Soc. (2), 15, (1915),1-25.

,3Зокзак А. Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях// Дисс. на соиск. уч. степ. к. ф.-м. наук, (1993), 1-80.

' * Солиба X. М. О среднем значении тернарной функции делителей на последователь* ности нецелых степеней натуральных чисел// Материалы Междун. Конф. по анал. теории чисел, Москва, МГУ, (1997), 30.

iS Архипов Г. И., Чубариков В. Н. О распределении простых в последовательности вида [пс]// Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матем. Мех. №6 (1999), 25-35-

Цель работы.

Целью данной работы является нахождение асимптотических формул и оценки остатков» а также улучшение оценок для абсциссы Карлсона и экспоненты Карлсона в теории дзета - функции Римана. ..

Научная новизна.

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. доказан аналог формулы Перрона для средних Рисса при всех положительных вещественных значениях порядка осреднения;

2. получено обобщение известной в теории дзета - функции Римана теоремы Карлсона о связи абсциссы Карлсона и оценками моментов дзета - функции Римана на случай нецелых значений показателя степени осреднения;

3. получены новые оценки абсциссы Карлсона и экспоненты Карлсона в теории дзета - функции Римана;

4. получены новые оценки остатка в проблеме делителей Дирихле и оценка остатка в асимптотической формуле для средних Рисса от многомерной функции делителей.

Методы исследования.

В работе использованы методы теории дзета - функции Римана, соединяющие в себе методы теории чисел и комплексного анализа.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы специалистами в области аналитической теории чисел.

Апробация диссертации.

Результаты автора неоднократно докладывались на научных семинарах по аналитической теории чисел под руководством Г. И. Архипова и В. Н. Чу-барикова на механико - математическом факультете МГУ им. М, В. Ломоносова, на IV Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения" в Туле в 2001 г. (10.09.2001 - 15.09.2001), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" в Туле в 2003 г. (19.05.2003 - 20.05.2003), а также на VI Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" в Саратове в 2004 г. (13-09.2004 - 17-09.2004).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора. Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве нет.

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы и списка литературы. Текст диссертации изложен на 68 страницах. Список литературы содержит 43 наименования,

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение.

Во введении излагается история вопроса и приводится краткий обзор результатов, связанных с темой диссертации. Также во введении формулируются основные результаты диссертации и кратко описывается ее содержание.

Глава 1.

Первая глава состоит из двух параграфов, в первом из которых приведены вспомогательные утверждения, а во втором параграфе доказывается аналог формулы Перрона для средних Рисса порядка а, то есть для J2 °л (l — , где а — положительное вещественное число.

п^х

При целых значениях а подобные асимптотики получаются с помощью классической формулы Перрона 16.

Основной теоремой первой главы является выпод аналога формулы Перрона

Теорема 1.2. Пусть функция h(s) комплексного переменного s — a + it представляется рядом Дирихле вида

оо

ад=ц

который сходится абсолютно при Ке з ~ а > 1. Далее, пусть А(п) — монотонно возрастающая функция от п и |ап1 ^ при всех п. Пусть, также, 0 > 0, д > 0 и при а —> 1+ выполняется асимптотическая оценка

оо п=1

Тогда при всех Ь ^ 1 + 6, любом х вида х = N + §, где N — натуральное число, иТ^2 справедливо равенство

Ь+хТ

Ф(аг,а) = ~ ~ 2тг? / Ь(3)х*В($>а +

6 ~*т

16Карацуба А. А, Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1963, 75-78.

Глава 2.

Вторая глава состоит из трех параграфов. Первый параграф посвящен получению обобщения известной теоремы Ф. Карлсона 17 об оценке абсциссы Карлсона18 с* с целых значений к на случай произвольных вещественных значений к. Более точно, доказывается следующая теорема

Теорема 2.3. Пусть к — любое вещественное число, к > 0 и а* — нижняя грань чисел а, таких, что для любого е > 0 выполняется оценка

т

^ I К^ + а^м^т*. 1

Пусть также при некотором а, где 1 ^ о ^ 20 и всех { ^ 1 и<г 6 1) выполняется оценка

Тогда для любого а € 1) справедливо неравенство

, Л 1 - 1 — а >\ а к ^ шах I 1----г-, 1 — --7-т- )

в предположении, что Ь = а величина /х*(а) удовлетворяет неравенству

т

1

Во втором параграфе второй главы с помощью данной теоремы для абсциссы Карлсона о к получена новая оценка вида

^ 1--—я- при к ^ 45.

(За/г)'

Данная оценка абсциссы Карлсона при больших значениях величины А, а именно, при к ^ 700000, улучшает результат работы Г. И, Архипова, Е. Е, Баядилова, В. Н, Чубарикова 18.

17Титчл«арш Е, К. Теория дзета - функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

18 Архипов Г. #., Балдилов Е. Е., Чубариков В. И. Об абсциссе и экспоненте Карлсона в проблеме моментов дзета - функции// Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. ЛН (20О4) 42-45.

Далее показывается, что доказанная выше теорема 2.3 допускает некоторое усиление. Воспользовавшись результатом указанной выше работы А. Ивичем и М. Квелетом 10 в 1989 г., получаем следующий результат

Теорема 2.2.2. Пусть при некотором а, где 1 ^ а ^ 20, í ^ 1 и всех а € (511) выполняется оценка

Далее, пусть к ^ 40 и = Тогда для величины а* имеет место оценка

1

Ok ^ 1 -

(3a(Jfe-Jfc0)r

В следующем параграфе второй главы, используя доказанные выше теоремы об оценках величины о*, получаем новый результат для экспоненты Карлсона т(сг).

Теорема 2.3. При с > Ci = 1 — справедлива следующая оценка для экспоненты Карлсона

т{а) ^ ---т + A:i, где ki — 79.95.

Зо(1 — сг) 5

Эта теорема улучшает результат А. Ивича и М. Квелета 10

mW * з1«(1-<г)|-

Кроме того, при k ^ 93 она является уточнением результата Г. И. Архипова, Е. Е. Баядилова и В. Н. Чубарикова 18.

Глава 3.

Эта глава посвящена проблеме делителей Дирихле, Она состоит из трех параграфов, в первом из которых находятся новые оценки величины а*, где at* понимается как наименьшее вещественное число, обладающее свойством, что при х оо справедлива оценка вида

ДА(х)

Современные оценки величины at*, приведенные в работе А. Ивича и М. Квелета 10, имеют следующий вид

^ ^ , ^ й . 35 41 7

сг* < — при 4 ^ к ^ 8, a9 ^ а10 < an ^ —,

к — 2 к — I

eck < Y+2 "рИ 12 ^ * ^ 25' ^ Г+4 ПРИ 26 ^ * ^ 50,

31А; — 98 ^ 7к - 34

«л ^ —— при & ^ ^ ' а* ^ —7Ä— ПрИ ^ С другой стороны, в предположении справедливости оценки

в этой работе доказано, что

Здесь а > 0 — некоторая постоянная, значение которой последовательно улучшается. Последние оценки для параметра а дают значения о ^ 15.21, полученное Е. Е, Баядиловым ио = 4.45, полученное К. Фордом 19.

При растущих к последняя оценка принципиально точнее, чем оценка типа

где со — любая фиксированная постоянная.

В 1960 г. Х.-Е. Рихерт доказал, что имеет место оценка вида

а* ^ 1 — ск~ Î,

причем числовое значение константы с не было указано.

В 1971 г. А. А. Карацуба установил справедливость этой оценки при

с = соаз, где со = « 0.31498.

А. Фуджи в работе 20 анонсировал оценку того же типа со значением

co = a"i(\/8-l)-i «0.57826,

но полного доказательства в этой работе приведено не было.

Упомянутый выше результат А. Ивича и М. Квелета 10 соответствует значению

со = -2$ « 0.52913«

о

Наконец, в 2001 г, Е. Е. Баядилов в указанной выше работе получил оценку вида

85 1 - (' + ау/к - 2 J • *•-"-[?]'

19 Ford К. Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zcta-function// Proc. London Math. Soc. (3) 85 (2002), 565-633.

70Fujii A. On the problem of divisors// Acta aritnm. 31 №4 (1976), 355-360.

которая означает, что

при любом 6 > 0 для всех к ^ /г(5), где Л(5) > 0 — некоторая функция, зависящая от 6.

Основной теоремой данного параграфа является

Теорема 3.1. Пусть п, к — натуральные числа, к ^ 93, т*(п) — количество представлений п в виде произведения к натуральных сомножителей. Пусть, далее,

Ик(х) = £ 1.

Предположим таксисе, что для дзета - функции Римана в области Не (5) = а > 0.9, 1т (в) — 4 > 1 выполняется неравенство

С(з) <к 1п*, а е [1,20].

Тогда при х -> оо и любом е > 0 справедлива асимптотическая формула £>а(ж) =хР*_!(1 п®) + Д*(ж), Ак(х) Я!0,*+*,

где аь ~ 1 — » ^ ~ 79.95, а многочлен определен

ранее.

Из этой теоремы следует справедливость оценки со значением

С = 0^ « 0.763143.

Данное значение со является улучшением не только результата А. Ивича и М. Квелета 10, где

со = ^2$ « 0.52913 но и анонсированных результатов А. Фуджи 20 при

со = 1)-$ «0.57826,

и Е. И. Пантелеевой 21

Со = 25 ^ 0.62996,

20 Пантелеева Е. И, К вопросу о проблеме делителей Дирихле в числовых полях//

Матем. заметки 44 №4 (1988), 494-505.

а также улучшением результата Е. Е, Баядилова п, где

со =

при любом 5 > 0 для всех к ^ Л(<5), где Л(<5) > 0 — некоторая функция, зависящая от &.

Второй параграф третьей главы посвящен еще одному направлению исследований в проблеме делителей Дирихле, состоящему в оценке порядка среднеквадратичного отклонения Як(х) для величины от главного

члена ее асимптотической формулы, то есть среднеквадратичное отклонение остатка Д*(а:).

В этой тематике в качестве стандартного обозначения определяется величина которая обозначает точную нижнюю грань чисел /3 > 0 таких, что при х оо справедливо неравенство

В уже упоминавшейся работе А. Ивича и М. К вел ста получены следующие оценки величины

/?5 ^ 0.45625, 07 < 0.55469, 08 < 0.60167,

& < 0.63809, 01О < 0.66717,

Последняя оценка величины при к ^ 93 нами улучшена. Доказана следующая теорема

Теорема 3.2. При к ^ 93 и к\ — 79.95 выполняется следующая оценка

где ¿з = к — а = 4.45 иЬ — 2,5,

Сравнение результата этой теоремы с последней приведенной оценкой А. Ивича и М. Квелета показывает, что константа | = 0.666... улучшена нами до значения

X

1

а если

то

В третьем параграфе третьей главы рассматривается еще один аспект в многомерной проблеме делителей, связанный с нахождением средних значений специального типа для. функции делителей т*(п). Имеются в виду средние Рисса для арифметических функций* При каждом фиксированном значении а ^ 0 средние Рисса порядка а для последовательности /(п) при х —» оо определяются по формуле

Асимптотические формулы для средних Рисса от арифметических функций при натуральных значениях а являются одновременно инструментом и объектом изучения при решении различных проблем теории чисел. В случае а — 0 среднее Рисса представляет собой обычную сумматорную функцию для данной арифметической последовательности.

Нами получена асимптотическая формула для средних Рисса от многомерной функции делителей т*(п) при произвольном значении а. Доказана следующая теорема

Теорема 3.3. Пусть ск > 0 — произвольное вещественное число. Тогда имеет место асимптотическая формула

= £ Лк(п) (1 - |у = А(х,а) + Д(*,а),

где А(х, а) — хРь-\(1п х) — многочлен с веществе иными коэффициентами, Д^д:,«) где е > 0 — сколь угодно мало и величина хг(А:,а)

удовлетворяет условию

л\»

приа^Щ*.

Эта теорема при а = 1 улучшает результат, полученный Е. Е. Баядило-вым 11.

В заключение автор приносит глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору В. Н. Чубарикову за постановку задан и постоянное внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Колпаков а О. В. Об одном аналоге формулы Перрона// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. №1,23-25.

2. Колпакова О. В. Об одном обобщении формулы Перрона// Тезисы докладов IV Международной конференции "Современные проблемы теории чисел и ее приложения". 2001. 69-70.

3. Колпакова О, В. О теореме Карлсона для нецелых степеней дзета - функции Римана// Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения". 2003. 138.

4. Колпакова О. В. О средних Рисса для обобщения функции делителей// Тезисы докладов VI Международной конференции "Алгебра и теория чисел : современные проблемы и приложения". 2004. 72.

5. Колпакова О. В. Об оценках абсциссы Карлсона для нецелых показателей степени осреднения// Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2006. 45-48.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать /3, /Оь 06

Формат 60 х 90 I / 16 , Усл. печ. л. О

Тираж 100 экз. Заказ

Введение

Глава I. Формула обращения для средних Рисса от коэффициентов ряда Дирихле

§1. Вспомогательные утверждения

§2. Основная теорема

Глава II. Абсцисса и экспонента Карлсона для нецелых моментов дзета-функции Римана

§1. Обобщение теоремы Карлсона на случай произвольных вещественных показателей степени осреднения

§2. Абсцисса Карлсона.

§3. Экспонента Карлсона

Глава III. Средние значения многомерной функции делителей

§1. Проблема делителей Дирихле для больших значений размерности функции делителей

§2. Среднеквадратичное отклонение сумматорной функции в проблеме делителей Дирихле

§3. Средние Рисса в многомерной проблеме делителей

Основным предметом исследований, составляющих содержание настоящей диссертации, является многомерная проблема делителей Дирихле.

Проблемой делителей называют задачу об исследовании асимптотического поведения среднего значения функции делителей Дирихле, распространенных на множества натуральных чисел, имеющих различную природу. Поясним, что функцией делителей Тк(п) называется количество представлений натурального п в виде п = х\. х^ где — натуральные числа. Следует сказать, что данная задача допускает многочисленные арифметические и геометрические интерпретации. В частности, полученная самим Дирихле асимптотика для среднего значения числа делителей натурального аргумента одновременно является и асимптотикой для количества целых точек под гиперболой.

Следует сказать, что начиная с классической работы Л. Дирихле 1849 г. [21], посвященной выводу асимптотической формулы для количества целых точек под гиперболой, проблема делителей Дирихле остается одной из центральных задач аналитической теории чисел.

Современная постановка проблемы делителей включает в себя много различных аспектов, наиболее важным из которых является задача получения новых оценок остаточного члена в асимптотической формуле для сумматорной функции делителей вида

Здесь предполагается, что х сю, и функция Рк~\{у) представляет собой некоторый многочлен с вещественными коэффициентами степени к — 1 от аргумента у — lux.

Верхней оценкой остатка при различных значениях величины к занимались многие известные математики. Кроме упомянутой выше работы JI. Дирихле 1849 г., в которой получена оценка вида можно указать на работы Г. Ф. Вороного [6], Е. Ландау [22], Г. Харди и Ж. Литтвуда [23], Ж. ван дер Корпута [24], К. Тонга [25], А. Вальфиша

А2(Ж)

26], Ф. Аткинсона [27], Т. Чи Джан Тао [25], Х.-Е. Рихерта [29], Чен Джин Рана [13], А. А. Карацубы [14], Г. А. Колесника [15], а также на работы А. Ивича [16] и А. Ивича и М. Квелета [5]. Отдельно отметим результаты, полученные Е. Е. Баядиловым в работах [8], [12], [19], [35] и [36], некоторые из которых улучшаются в данной диссертации.

Подчеркнем, однако, что интенсивные исследования, проводимые на протяжении многих лет и отраженные в указанных выше работах, в настоящий момент еще далеки от окончательного решения проблемы, которая предполагает получение оценки типа

Ак(х) <£ х

2 2 для любого е > 0 соответствующей £1 — теореме Г. Харди [38] для величины Д/с(ж), утверждающей, что верхняя оценка типа

Ак(х) <£ х

2 2 к с уже не имеет место.

Заметим также, что к проблеме делителей относят еще целый класс задач, состоящий в нахождении асимптотических формул с оценкой остатка для среднего значения функции тк(п), когда п пробегает некоторое подмножество множества натуральных чисел, не совпадающее с натуральным рядом. Количество таких задач очень велико, как и число работ, им посвященных. Можно указать, например, на проблему нахождения асимптотики для среднего значения функции тк([пс]), рассмотренную А. Закзаком [33], X. М. Солибой [18], Г. И. Архиповым и В. Н. Чубариковым [32].

В исследованиях по верхним оценкам остатка Ак(х) используется стандартное обозначение показателя апонимаемое как наименьшее вещественное число, обладающее свойством, что при х ->■ сю справедлива оценка вида

Ак{х) «е хак+£.

Приведенная выше нижняя оценка Г. Харди для остатка Ак(х) показывает,

1 1

В этих обозначениях проблема верхней оценки остатка в проблеме делителей Дирихле сводится к нахождению более точных верхних границ для величины ак.

Современные оценки величины ак, приведенные в работе [5], имеют следующий вид

- 4 „ , п 35 41 7 при 4 < А; < 8, а9 < —, «ю < —, аи ^ —, к — 2 к — 1 «к < т—т: при 12 О < 25, < —— при 26 < к < 50, к + I к + 4

31Л; - 98 Г1 ^ 7 / г„ 7к — 34

А < —при 51 < к ^ 57, ак ^ ——— при /г ^ 58.

С другой стороны, в предположении справедливости оценки а + И) С 1п* * в этой работе доказано, что ак Цак)~*.

Здесь а > 0 — некоторая постоянная, значение которой последовательно улучшается. Последние оценки для параметра а дают значения а ^ 15.21, полученное Е. Е. Баядиловым [12] и а — 4.45, полученное К. Фордом [17].

Что же касается числа к, которое характеризует размерность функции делителей Тк(п), то хотя формально можно считать, что к принимает все натуральные значения, но фактически применение этой оценки целесообразно только при достаточно больших значениях к, например к > 50, ввиду того, что существующие оценки параметра а еще не достаточно хороши.

Остановимся на истории получения последней оценки для с^. Ясно, что при растущих к она принципиально точнее, чем оценка типа , с0 Р где со — любая фиксированная постоянная.

В 1960 г. Х.-Е. Рихерт доказал [9], что имеет место оценка вида ак ^ 1 - ск~*, причем числовое значение константы с не было указано.

В 1971 г. А. А. Карацуба [34] установил справедливость этой оценки при с — с0а^, где со = 2"^ « 0.31498.

А. Фуджи в работе [31] анонсировал оценку того же типа со значением с0 = 2-5(^8 - 1)-*« 0.57826, но полного доказательства в этой работе приведено не было.

Упомянутый выше результат А. Ивича и М. Квелета соответствует значению

1 2 с0 = -23 « 0.52913. о

Наконец, в 2001 г. Е. Е. Баядилов в работе [12] получил оценку вида

22

2 - X -1 которая означает, что при любом 5 > 0 для всех к ^ к(6), где Н(5) > 0 — некоторая функция, зависящая от

В первом параграфе третьей главы нами доказана теорема

Теорема 3.1. Пусть п, к — натуральные числа, к ^ 186, Тк(п) — количество представлений п в виде произведения к натуральных сомножителей. Пусть, далее,

П^Х XI.X к^Х

Предположим также, что для дзета - функции Римана в области Не (в) = а > 0.9, /т (й) = £ > 1 выполняется неравенство а 6 [1,20].

Тогда при х —>■ сю и любом г > 0 справедлива асимптотическая формула

Ок{х) = хРк^{1пх) + Ак{х), Ак(х) <е хак+£, 2 где ак = 1 — , к\ = 79.95; а многочлен Рк~ 1(1пж) определен ранее.

Из этой теоремы следует справедливость оценки 2 ак ^ 1 - с0(ак)~з 2 со значением со = (|)3 ~ 0.763143. Данное значение сд является улучшением не только результата А. Ивича и М. Квелета, но и анонсированных результатов А. Фуджи и Е. И. Пантелеевой [30] вида

Доказательство данной теоремы опирается на новые оценки моментов дзета - функции Римана, составляющие содержание второй главы. Основным методом исследования являются теоремы о новых оценках абсциссы и экспоненты Карлсона. Нам потребовалось получить обобщение известной теоремы Карлсона об оценке абсциссы Карлсона с целых значений к на случай произвольных вещественных значений к. Более точно, в первом параграфе второй главы доказана следующая теорема

Теорема 2.1.3. Пусть к — любое вещественное число, к > 0 и оь — нижняя грань чисел а, таких, что для любого е > 0 выполняется с0 = к 0.62996. оценка Т 1

Пусть также при некотором а, где 1 ^ а ^ 20 и всех £ ^ 1 и а £ 1) выполняется оценка

Тогда для любого а £ 1) справедливо неравенство

Во втором параграфе второй главы с помощью данной теоремы для абсциссы Карлсона ак получена новая оценка вида

Эта оценка улучшает результат работы Г. И. Архипова, Е. Е. Баядилова и В. Н. Чубарикова [1].

В следующем параграфе второй главы получено новое значение для экспоненты Карлсона т(ст). Данная оценка содержится в следующей теореме

Оценка данной теоремы улучшает результат работы Г. И. Архипова, Е. Е. Баядилова и В. Н. Чубарикова [1] при к ^ 93, а также является улучшением оценки А. Ивича и М. Квелета [5].

Второй параграф третьей главы посвящен еще одному направлению исследований в проблеме делителей Дирихле, состоящему в оценке порядка среднеквадратичного отклонения Як(х) для величины Ас (ж) от главного члена ее асимптотической формулы, то есть среднеквадратичное отклонение остатка Ак(х).

В этой тематике в качестве стандартного обозначения определяется величина /Зк, которая обозначает точную нижнюю грань чисел /5 > 0 таких, что при х ч- оо справедливо неравенство 1

История оценок величины (Зк начинается с работы Е. Титчмарша [11], который установил связь между значением (Зк и сходимостью интеграла при к ^ 45.

Теорема 2.3. При и > с\ — 1 — ^ справедлива следующая оценка для экспоненты Карлсона ш(сг) ^-з + где = 79.95.

За(1 — а) 2 X

00 в некоторой полуокрестности точки а = 1.

В уже упоминавшейся работе А. Ивича и М. Квелета [5] получены следующие оценки величины

35 ^ 0.45625, /37 < 0.55469, /38 < 0.60167, < 0.63809, Ао < 0.66717, а если а + И) С^-^Ы)2

Рк < 1 - 1(ак)~1

Последняя оценка величины ¡Зк при к ^ 93 улучшена нами во втором параграфе третьей главы. Нами доказана следующая теорема

Теорема 3.2. При к ^ 93 и к\ = 79.95 выполняется следующая оценка где кз — к - к\, а = 4.45 иЬ = 2.5.

Сравнение результата этой теоремы с последней приведенной оценкой А. Ивича и М. Квелета показывает, что константа | = 0.666. улучшена нами до значения 3 « 0.885549.

В третьем параграфе третьей главы рассматривается еще один аспект в многомерной проблеме делителей, связанный с нахождением средних значений специального типа для функции делителей Тк(п). Имеются в виду средние Рисса для арифметических функций. При каждом фиксированном значении а ^ 0 средние Рисса порядка а для последовательности /(п) при х оо определяются по формуле

Ф(*) = Ф(а,/,а) = ]Г/(гО (1--Г Ж / п^х

Асимптотические формулы для средних Рисса от арифметических функций при натуральных значениях а являются одновременно инструментом з

ТО и объектом изучения при решении различных проблем теории чисел. В случае а = 0 среднее Рисса представляет собой обычную сумматорную функцию для данной арифметической последовательности.

Нами получена асимптотическая формула для средних Рисса от многомерной функции делителей г^(п) при произвольном значении а.

Доказана следующая теорема

Теорема 3.3. Пусть а > 0 — произвольное вещественное число. Тогда имеет место асимптотическая формула г / 71\а

Dk(x, а) — ч(п) (1 - -J = а) + °0> где А(х, а) = хНк-1(Inж, а), причем Hk~i(y, а) — многочлен с вещественными коэффициентами степени k — 1 от аргумента у — In х, такой, что Hk~\(y, 0) = Pk-\(y), Afe(aJ, а) <е xx<"k^+£, где е > 0 — сколь угодно малое и величина х(к,а) удовлетворяет условию где d = к2 = к- 2кь к ^ 186, h = 79.95.

Эта теорема улучшает аналогичный результат Е. Е. Баядилова [12], отвечающий значению а = 1.

Доказательство последней теоремы проводится с помощью методов, использованных в предыдущих двух параграфах. Кроме того, оно опирается на результаты первой главы, в которой нами получена новая формула обращения, позволяющая при каждом а > 0 выразить среднее Рисса Ф(ж, /, а) через контурный интеграл с остаточным членом, который при а = 0 совпадает в точности с известной формулой Перрона для сумматорной функции от арифметической последовательности.

Основная теорема первой главы имеет вид

Теорема 1.2. Пусть функция h(s) комплексного переменного s = a+it представляется рядом Дирихле вида

00 п=1 который сходится абсолютно при Яе (в) = а > 1. Далее, пусть А{п) — монотонно возрастающая функция отп и \ап\ ^ А(п) при всех п. Пусть, также, (3 > 0, <5 > 0 и при а -> 1+ выполняется асимптотическая оценка оо п= 1

Тогда при всех + любом х вида х = N + где — натуральное число, и Т ^ 2 справедливо равенство

Ь+гТ л / ТТЛа 1 С

0 Г ^ + о

Далее остановимся кратко на структуре диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы и списка литературы. Текст диссертации изложен на 68 страницах. Список литературы содержит 43 наименования.

1. Архипов Г. И., Ваядилов Е. Е., Чубариков В. Н. Об абсциссе и экспоненте Карлсона в проблеме моментов дзета - функции, Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. №1 (2004) 42-45.

2. Титчмарш Е. К. Теория дзета функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

3. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

4. Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета функция Римана. М.: Физ-матлит, 1994.

5. Ivic А., Quellet М. Some new estimates in the Dirichlet divisor problem., Acta Arithmetica 52№(1989), 241-253.

6. Вороной Г. Ф. Sur un probleme du calcul des fonctions asymptotiques, Für die reine und angewandte math. 126 (1903), 241-282.

7. Ivic A. Riemann Zeta function, Wiley, New - York, M, 1985.

8. Ваядилов E. E. О проблеме далителей для значений тернарной кубической формы, Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. №5 (2001) 29-32.

9. Richert Н. Е. Einfuhrung in die Theorie der starken Rieszchen Summierbarkeit von Dirichletreihen, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen (Math. Physik) (1960), 17-75.

10. Arkhipov G. I, Buriev K. Refinement of an estimate for the Riemann zeta function a neighbourhood of the line Re s = 1, Integral Transforms and Spesial Functions. 1 (1993), 1-7.

11. Titchmarsh E. C. On the remainder in the formula for N(T), the number of zeros of ((s) in the strip 0 < t < T, Proc. Lond. Math. Soc. (2), 27 (1928), 449-458.

12. Ваядилов E. E. О среднем значении функции делителей от тернарной кубической формы, Дисс. на соиск. уч. степ. к. ф.-м. наук, (2002).

13. Chen Jing-run On the divisor problem for ¿з(п), Sei. Sinica 14 (1965), 19-29.

14. Карацуба А. А. Равномерная оценка остаточного члена в проблеме делителей Дирихле, Изв. АН СССР. Сер. матем. 36 №3 (1972), 475-483.

15. Колесник Г. А. Улучшение остаточного члена в проблеме делителей, Матем. заметки 2 (1969), 117-128.

16. Ivic A. Some recent results on the Riemann zeta function, Proc. of the Intern. Number Theory Conf. (1989).

17. Ford K. Vinogradov's integral and bounds for the Riemann zeta function, Proc. London Math. Soc. (3) 85 (2002), 565-633.

18. Солиба X. M. О среднем значении тернарной функции делителей на последовательности нецелых степеней натуральных чисел, Материалы Междун. Конф. по анал. теории чисел, Москва, МГУ, (1997). 30.

19. Балдилов Е. Е. Об оценках дзета функции Римана на критической прямой, тезисы Межд. конф. "Совр. состояние и перспективы развития матем. в рамках программы "Казахстан в третьем тысячелетии (Алматы, 26-28 окт. 2000), (2000), 30.

20. Уиттекер Е. Т., Ватсон Г. Н. Курс современного анализа. Ч. 2. М.; Л.: ГТТИ, 1934.

21. Dirichlet L. Uber die Bestimmung der mittleren Werte in der Zahlentheorie, Abh. Akad. Berlin (Werke, 2, 49-66). (1849), 69-83.

22. Landau E. Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen, Göttingen Nachrichten (1912), 687-771.

23. Hardy G. H., Littlewood J. E. The approximate functional equation in the theory of the zeta function, with applications to the divisor problems of Dirichlet and Piltz, Proc. London Math. Soc. (2) (1922), 39-74.

24. Corput J. G. van der Verschärfung der Abschatzungen beim Teilerproblem, Math. Ann. 87 (1922), 39-65.

25. Tony К. C. On diviser problems, Acta Math. Sinica 2 (1952), 258-266.

26. Walfisz A. Uber zwei Gitterpunktprobleme, math, annalen 95 (1926), 6983.

27. Atkinson F. A. A divisor problem, Quarterly Joun. Math. (Oxford) 12 (1941), 193-200.

28. Chih T. T. The Dirichlet divisor problems, Science report of Tsing Hua Univ. (1950), 402-427.

29. Richert H. KVershärfung der Abschärzung beim Diriehietschen Teilerproblem, Math. Z. 58 (1953), 204-218.

30. Пантелеева E. И. К вопросу о проблеме делителей Дирихле в числовых полях, Матем. заметки 44 №4 (1988), 494-505.

31. Fujii A. On the problem of divisors, Acta aritnm. 31 M (1976), 355-360.

32. Архипов Г. ИЧубариков В. Н. О распределении простых в последовательности вида п% Вестн. Моск. ун-та. Сер. Матем. Мех. №6 (1999), 25-35.

33. Закзак А. Проблема делителей Дирихле в редких последовательностях, Дисс. на соиск. уч. степ. к. ф.-м. наук, (1993), 1-80.

34. Карацуба А. А. Оценки тригонометрических сумм И. М. Виноградова и их применения, Труды МИАН СССР 112 (1971), 245-255.

35. Баядилов Е. Е. Об оценках дзета функции Римана в окрестности прямой Re (s) = 1, Интегральные преобразования и специальные функции. Информ. бюллетень 2 (2001), 42-49.

36. Баядилов Е. Е. О среднем значении функции делителей Дирихле на значениях тернарной кубической формы, IV Межд. конф. "Совр. пробл. теории чисел и ее прилож.", тезисы докладов, Тула (2001), 20.

37. Титчмарш Е. К. Теория функций. М.: Наука, 1980.

38. Hardy G. H. On Dirichlet's divisor problem, Proc. Lond. Math. Soc. (2), 15, (1915),1-25.

39. Колпакова 0. В. О теореме Карлсона для нецелых степеней дзета функции Римана, Тезисы докладов V Междун. Конф. "Алг. и теор. чис.: совр, пробл. и прилож." (Тула, 19-20 мая 2003) (2003), 138.

40. Колпакова 0. В. О средних Рисса для обобщения функции делителей, Тезисы докладов VI Междун. Конф. "Алг. и теор. чис.: совр. пробл. и прилож." (Саратов, 13-17 сент. 2004) (2004), 72.

41. Колпакова 0. В. Об одном аналоге формулы Перрона, Вести. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Мех. (2003) №1, 23-25.

42. Колпакова О. В. Об оценках абсциссы Карлсона для нецелых показателей степени осреднения, Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Матем. Мех. (2006). №6, 45-48.

43. Колпакова 0. В. Об одном обобщении формулы Перрона, Тезисы докладов IV Междун. Конф. "Совр. пробл. теор. чис. и ее прилож." (Тула, 10-15 сент. 2001) (2001), 69-70.