Аддитивные задачи с числами, имеющими заданное число простых делителей из прогрессий тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



- / ¿л.

/л/

Владимирский государственный

и

педагогическии университет

На правах рукописи

Жукова Алла Адольфовна

Аддитивные задачи с числами, имеющими заданное число простых делителей из

прогрессий

Специальность 01.01.06. - алгебра, логика,

теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук профессор Н.М.Тимофеев

Владимир 1998

Оглавление

Введение...............................................................3

1. Теоремы типа А.И.Виноградова-Бомбьери 21

1.1. Вспомогательные результаты................................21

1.2. Распределение множеств значений арифметических мультипликативных функций по арифметическим прогрессиям в среднем............................................25

1.3. Распределение множеств чисел, имеющих заданное число простых делителей из арифметических прогрессий прогрессий, по арифметическим прогрессиям в среднем 33

2. Задачи типа проблемы делителей Титчмарша 46

2.1. Вспомогательные результаты................................46

2.2. Определенный аналог..........................................64

2.3. Неопределенный аналог ......................................70

3. Задачи типа проблемы Харди- Литтлвуда 75

3.1. Вспомогательные результаты................................75

3.2. Определенный аналог..........................................75

3.3. Неопределенный аналог........................................84

Литература..........................................................90

Введение

Настоящая диссертация посвящена доказательству того, что множество значений арифметических функций при подходящих условиях на эти функции и множество чисел, имеющих заданное число простых делителей из арифметических прогрессий, равномерно распределены по арифметическим прогрессиям в среднем, а также решению бинарных аддитивных задач.

Одна из них - это задача о нахождении числа решений уравнений вида

N = х2 + у2 + п (0.1)

и

п-х2 - у2 = а, (0.2)

где а ф 0 - фиксированное число, х , у € х2 -{- у2 < N , N —юо, а п может принимать значения из некоторого множества Е С N. Вопрос о числе решений уравнений вида (0.1) и (0.2) получил название задачи типа проблемы Харди-Литтлвуда (определенный и неопределенный аналоги соответственно).

В мемуаре [1] 1923 года Г.Харди и Дж.Литтлвуд высказали гипотезу.

Гипотеза. Всякое большое число N есть сумма простого числа и двух квадратов. При этом имеет место асимптотическая формула: для числа решений уравнения

N = х2 + у2 +р

имеем

«(*>=, ц*) п (х+п+«•■»>

р р|ЛГ

1

Х4(р) " неглавный характер по модулю четыре,

R(N) - остаточный член.

В одной из работ более позднего периода Г.Харди и Дж.Лит-тлвуд, заметили, что доказать существование такого представления для почти всех чисел можно используя расширенную гипотезу Ри-мана. Г.Стенли [2] доказала, что почти все числа представимы в виде суммы простого и двух квадратов, применяя круговой метод. Она же вывела асимптотические формулы для количества представлений натурального числа в виде суммы большего числа квадратов и простых, в предположении справедливости расширенной гипотезы Римана. Однако результаты, полученные Г.Стенли, зависели от недоказанных гипотез. Этот недостаток впоследствии был устранен Т.Эстерманом [3] и другими математиками.

В 1957 году К.Хооли [4] вывел асимптотическую формулу (0.3) используя расширенную гипотезу Римана. В 1959 году Ю.В.Линник [5] доказал справедливость гипотезы Харди-Литтлвуда без условия справедливости расширенной гипотезы Римана. В 1963 году Б.М.Бредихин [6], применяя созданный Ю.В.Линником [7] дисперсионный метод, решил неопределенный аналог проблемы Харди-Литтлвуда, то есть вывел асимптотическую формулу для числа решений уравнения (0.2), когда п принадлежит множеству простых чисел.

В эти годы многие математики, такие как Х.Халберстам [8] и С.Човла [9], занимались решением задач типа проблемы Харди-Литтлвуда. Так Ю.В.Линник [10] нашел число решений уравнения (0.1), когда Е - множество чисел, представимых в виде р\рг , где рj и р2 - простые числа. Он доказал.

Теорема А. Пусть Qi(N) - число решений уравнения

N = х2 + у2 + PlP2, где pi > exp(lnlnn)2 , i — 1,2, тогда

ят ~ п {p-21){p~xff,

p\N P P + X*(P)

д, = n (i + .

А.А.Полянский посвятил несколько работ задачам типа проблемы Харди-Литтлвуда [11], [12], [13]. в которых ранее полученные результаты уточнялись и обобщались (см. [14]), снимались различные ограничения (см. [15]), а остаточный член уменьшался.

Ж.В.Пиядина [16] вывела асимптотическую формулу для числа решений уравнения (0.2), где а ф 0 - любое фиксированное число и п - числа из множества Е, Е — {п : Í2(n) > 6,Vp|n => р > Ишу . Здесь и далее Г2(тг) - количество простых делителей п, считая их кратность.

И.Мотохаши (Y.Motohashi) [17] решил задачу (0.2), когда а = 1, а п пробегает множество чисел равных pi .. .pk , где к > 1 - фиксированное число.

Одной из последних работ, посвященных решению задач типа проблемы Харди-Литтлвуда, является статья Н.М.Тимофеева [18], в которой найдено число решений уравнения (0.1), когда Е есть множе-

к

ство чисел, равных р*1 .. .р^к , где оц — к. Причем к может расти

вместе с N п лежит в следующих пределах: 2 < к < (2 — e)lnlniV и (2-f-e) lnlnN < к < blnlniV, где с > 0, Ь - положительная постоянная.

Вторая аддитивная проблема, изучаемая в диссертации состоит в отыскании асимптотической формулы для числа решеиий уравнений вида

N = md + n (0.4)

и

n — md = а, (0-5)

где а ф 0 - фиксированное число, т, d 6 N, md < N , N —► оо , а п принадлежит некоторому множеству Е С N. Вопрос о числе решений уравнений вида (0.4) и (0.5) получил название задачи типа проблемы Титчмарша (определенный и неопределенный аналоги соответственно).

В 1930 году Е.Титчмарш [19] решил задачу (0.5) в предположении, что расширенная гипотеза Римана верна, когда а > 1 - заданное число, а п пробегает множество простых чисел. Он доказал.

Теорема В. Если верна расширенная гипотеза Римана, то илгеет место асилттотическая формула

£ т(р -а) = сФ(а)М + BN

p<N

где т(п) - число делителей п,

с = П (i + ягЬт,)'

р

Ф(«0 = П(1-*) (1 + ЙЬуГ-

р|а

Безусловное решение проблемы Титчмарша получил Ю.В.Лин-ник [20] в 1961 году. Используя дисперсионный метод Ю.В.Линник доказал, что асимптотическая формула для числа решений уравнения (0.5), когда Е есть множество простых чисел, а а = 1, имеет вид

p<N

где R(N) = 0(N(\nN)-a),

а > 0 - любая константа, меньшая 1, £(s) - дзета-функция Римана.

В 1963 году Б.М.Бредихин [21] решил задачу (0.5), когда п - простое число, а а - любое фиксированное число. Е.Фуври (E.Fouvry) [22] улучшил результат Б.М.Бредихина, уменьшив остаточный член:

Теорема С. Для любого А > 0, и натурального а, 1 < а < 1пл х верна асимптотическая формула

£ Ф ~ а) = Ta(0)N + 2 (7Гв(0) + Тд(0)) И N + О (N Ы~Л N) ,

p<N

где Та(з) = П (1 " Р-3'1) П (1 + Р—Ъ ~ 1)),

р\а рУа

7 - постоянная Эйлера.

С.Б.Хазелгров [23] доказал, что оценка снизу для числа решений уравнения (0.5), когда п пробегает множество простых чисел, а а (Е Z, равна , где С(&) - постоянная, зависящая от а.

Решением проблемы Титчмарша, а также вопросов, близких к ней, занимался П.Эрдёш [24], [25].

В 1976 году А.Фьюджи (A.Fujii) [26] решил задачу (0.5), когда Е есть множество чисел, представимых как Р\Р2 , & а = 1. Он получил

Теорема D. Пусть 6 - любое положительное число, не превосходящее |, и SlnN —» оо , если N —у оо . Тогда имеем

, ч 315 Ф) N / N Д л дг

Pl<N°, P2<NlS

где £(s) - дзета-функция Римана.

Ж.В.Пиядина [27] получила асимптотическую формулу для количества решений уравнения (0.5), когда о - любое фиксированное отличное от нуля число, а п £ Е, где Е = {п : 12(п) > 6,\/р|п р >

]\Г 883 .

А.К.Каршиев [28] решил задачу (0.5), когда а не равно нулю, а п пробегает множество Е, Е = {п : п = р\ .. .рд., р1 < ТУ4*', с^ = 1, 1 = 1,..., /с, 0 <«!<...< < 7} •

И.Мотохаши (Y.MotohasЫ) [17] нашел асимптотическую формулу для числа решений уравнения (0.5), когда п принадлежит множеству чисел, имеющих к простых делителей, к - фиксированное число, а а = 1.

Из последних работ, посвященных решению задач типа проблемы делителей Титчмарша, упомянем работу Х.Гедири [29]. Он доказал

Теорема Е. В предположении справедливости расширенной гипотезы Римапа выполняется асимптотическая формула

к,, \ )'

пеэ

= П (1 + *) О-*)"1,

р—— Цшоа 4 )

5 = {п £ Ъ: п — х2-\-у2, (х, у) £ Z } - множество гауссовых чисел.

Н.М.Тимофеев и М.Б.Хрипунова нашли асимптотические формулы для числа решений уравнений (0.5) (статья [30] 1994 года) и (0.4) (статья [31] 1996 года), где а = 1, а п принадлежит множеству чисел, имеющих к простых делителей, причем к < (2 — с) 1п1п N .

Для решения задач типа проблемы Титчмарша и проблемы Хар-ди-Литтлвуда, как следует из упомянутых выше работ [5]-[18], [20]-[28], [30], [31], принципиальную роль играет тот факт, что множество Е равномерно распределено по арифметическим прогрессиям в среднем. Значимость этого факта была отмечена Ю.В.Линником [32] в 1958 году. Результаты показывающие, что то или иное множество равномерно распределено по арифметическим прогрессиям в среднем, получили название утверждений типа теоремы А. И. Виноградов а- Бомбьери.

В 1965 году А.И.Виноградов [33], улучшив результаты А.Реньи

[34] и М.Б.Варбана [35], [36], доказал, что

< ж х,

где Л(п) - функция Манголъдта, определяемая равенством

, . ч Г 1пр , если п = рт - степень простого числа,

Л(п) = 1 п 4 ' I 0 , в противном случае.

В > 0 — любая постоянная, ф = х?~е , с > 0.

В том же году Е.Бомбьери [37] доказал данное соотношение с ф = у/х 1п~зв~23 х. С тех пор доказательство Бомбьери многократно упрощалось, & - увеличивалось.

Аналог теоремы А.И.Виноградова-Бомбьери для некоторых арифметических функций был получен в 1973 году Д.Вольке [38], который доказал следующую теорему.

Напомним, что функция / : N —> С называется мультипликативной, если /(п ■ га) = }{п) • /(га) для любых (п,т) = 1 и д : N —» С будем называть аддитивной, если д(п-т) = д{п)-\-д{т) при (п,т) = 1.

Теорема Г. Пусть /(п) - мультипликативная функция, удовлетворяющая условиям

для всех простых р и натуральных г ,

р<у

для любого А > 0 и у > 2, где т - колшлексное число,

А, ¿>2 -

положительные постоянные. Тогда для каждого В > О существует зависящее от В и / положительное число С такое, что для х > 2 и <3 = а/е 1п~с ж

Е

¿<<3

шах шах

(а,£^)=1 у<х

Е

2/

п<у, п—а(тос!

<р((1)

7 тах та.х (<м)=1

1

Е Е /(»)

п<у, п Еа(шос1

(п,а) = 1

<С ж1п в ж.

Значительное расширение класса мультипликативных функций, для которых справедливо соотношение, аналогичное утверждению теоремы Вольке, дает теорема, доказанная Б.В.Левиным и Н.М.Тимофеевым [39].

Теорема G. Пусть f(n) G Ma(D) и

> F(d: E) max max

]T /(p)inp--^у D Лр)ыР

P<V, pEa(mod d)

P<V, (P,d)=l

(0.6)

тогда

> F(d; i?) max max

^

£ /w-^E/w

n<V, n~a(mod d)

(n,d)=l

< ж ж (In In x)

2+a

где F{d\E) - характеристическая функция множества E,

E - любое множество натуральных чисел, все делители которых входят в D,

D - подмножество натуральных чисел, В - произвольная положительная постоянная, Q1 = min(Q(a;), \/х ln~Bl х), Вг = SB + 2а + § .

Остановимся подробнее на определении условия: /(п) принадлежит классу Ma(D) .

Мультипликативная функция f(n) входит в указанный класс,

если она удовлетворяет двум условиям:

^х1п4°х> а>° (°-7)

пКх

и для всех примитивных характеров модуля q, где q £ D, q < In52 х,

X*q{p)f(p)lnp

t<p<y

<yhTB*x,

(0.8)

где В? , В3 — произвольные положительные постоянные, у < = ехр (1па;(1п1пж)_1_е), е > 0 .

Такое определение класса Ма{В) можно найти у Б.В.Левина и Н.М.Тимофеева [39].

В настоящей диссертации получены результаты типа теоремы А.И.Виноградова-Бомбьери, а также решены проблема делителей Титчмарша и проблема Харди-Литтлвуда для чисел, имеющих заданное число простых делителей из арифметических прогрессий.

Введем следующие обозначения:

Пусть (¿¿, ¿о) = 1, — простое число, г — 1,..., к . Обозначим Е1и..., 1к, ¿о) = {п ■ п = рга1 .. .ркак, < < < • - • < рь,

р{ = ¿,(тос1 ¿о), а, > 0, г = 1,..., к, П(тг) = к}, I = ¡1 ... 1к(тос1 ¿о), 1п2 х = 1п1па:, 1п3 х = 1п1п1пж.

Перейдем к изложению содержания каждой из глав диссертации.

Первая глава диссертации посвящена доказательству того, что множество значений арифметических функций при подходящих условиях на эти функции и множество ..., в,0) раномерно распределены по арифметическим прогрессиям в среднем.

В первом параграфе первой главы приведены вспомогательные результаты.

Во втором параграфе первой главы сформулирована и доказано утверждение типа теоремы в. Доказательство проводится тем же методом, что и доказательство теоремы 4 работы [39].

Теорема 1.1. Пусть /(п) £ Ма(И) , выполняется условие (0.6), тогда

у Е) тах тах

м=1 у<х

а<41

Е /(»)

п< у,

п = а(тос! Ы), В(п)=к

'рЫ)

Е я»)

п <у, (п,й)=1, Я(п) = к

Б , 4а

2+а

где Е) - характеристическая функция множества Е,

Е - любое лтожество натуральных чисел, все делители которых входят в И,

И ~ подлшожество натуральных чисел,

д(уь) - аддитивная функция, принимающая целые значения, и д(р) = 1 , для всех простых чисел р, В - произвольная положительная постоянная,

1 = 1шп(ф(:г), х) ?

Вг = ЗВ + 2а + | .

Новым в теореме 1.1 по сравнению с теоремой G, является то, что добавляется условие д(п) = к. Это позволяет изучать распределение но арифметическим прогрессиям множеств значений мультипликативных функций f(n), где п таково, что аддитивная функция д{п) принимает заданное значение. Теорема G такой возможности не дает.

Далее привен ряд следствий из теоремы 1.1, являющихся новыми или обобщением ранее полученных резульататов.

Следствие 1.1.1 эквивалентно теореме 2 работы [30], если д(п) равно С1(п) или си(п) , где Q(n), ш(п) - число делителей п с учетом и без учета их кратности.

Следствие 1.1.1. Пусть f(n) = 1 ; тогда

У max max

£

1 -

n<v, n = a(mod d), l,(n)=fc

V{d)

£ i

n<y, (n,d)= 1, g(n) = h

где Q.x - ^/xhx~3B » x ,

В

произвольная положительная постоянная.

Следствия 1.1.2 и 1.1.3 показывают, что множества чисел, имеющие либо только "большие", либо только "маленькие" простые делители, равномерно распределены по арифметическим прогрессиям в среднем.

Следствие 1.1.2. Пусть fin) мультипликативная функция такая, что f(pr) = 1, если р > v, f(pr) = 0, если р < v и /(1) = 1, тогда

У max max

m=I у<х

d<Q 1

Е /(-) - щ Е /(-)

п< у, n=o(mod d),

S(n) = to

-в+%

n< у, (n,d)=l,

в( n) = fe

«С х1п~в+« х(Ь2(10х))2, где у - произвольное положительное число,

дх = х,

В - произвольная положительная постоянная.

Теорема, аналогичная следствию 1.1.2, доказана в статье [39] (см. теорему 5).

Следствие 1.1.3. Пусть f{n) мультипликативная функция такая, что /(рг) = 1, если р < V , /(рг) = 0, если р > V и /(1) = 1, тогда

} m ах шах

m)=i у<*

d<Q 1

Е Е /(»)

п<у, n = a(mod d), i(n)=fc

n<v, (n,d)=l, y(n) = fe

< ж(1п2(10ж)) ,

где v - произвольное положительное число,

jB - произвольная положительная постоянная.

Подобный результат для чисел, имеющих простые делители лишь меньшие или равные V , без условия д(п) = к , получен в теореме 6 работы [40]. И он вытекает из следствия 1.1.3.

Полагая /(тг) = , где г(п) — число представлений гг в виде

суммы двух квадратов, из теремы 1.1 получаем

Следствие 1.1.4. Пусть г(п) - число представлений п в виде суммы двух квадратов, тогда

5 S r(n)

n = a(mod d), (n,d)=l,

n)=fc i(n) = fc

< z(ln2(10x))^,

где Qr = x ,

В - произвольная положительная постоянная.

Утверждение следствия 1.1.4 справедливо и для более общего случая, а именно

Следствие 1.1.5. Пусть f(n) мультипликативная функция такая, что f(pr) = 1, если р = ¿(mod do), (l,d0) = 1, f(pr) = 0, в противноль случае, /(1) = 1, тогда

Е

d<Ql, (d, 2)=1

m ах m ах

(a,d)~ 1 У<х

Е

d<Q i/do. (d,d0)=i

m ах max

(a,d) = l y<x

E /(«)

n<y, n = o(mod d),

E /w

n <y, (n,d)=l, ir(n) = fc

< ®ln~s+£ z(ln2(l(b))2.

В третьем параграфе первой главы доказано равномерно распределение множеств чисел, имеющих заданное число простых делителей из арифметических прогрессий, по арифметическим прогрессиям в среднем.

Теорема 1.2. Пусть 2 < ^ < а/ж, С^с1о < х, к <

Д1п2(1(Ь), (¿о < 1пСо X и

Е1 V—

'-Щ) £ 1

"€£>(«,<1.....'*.<«о). !.....

пЕЕа(шо(3 d) (п,Ы)=1

тогда при £ > ]пззв+162 х

<Э(х, мо) < (¿у/х 1п5+5 х + х 1п~в х,

при

2 <t< 1пззв+162 х

д(х, г, ¿о) < (З^Д ы2В+& Х + Х \хгв+2 х,

где В, Со , Я - произвольные положительные постоянные.

Доказательство проведено по методу работы [39]. Следствия из теоремы 1.2 полезно использовать при решении аддитивных задач типа проблемы Титчмарша и проблемы Харди-Литтлвуда. Приведем одно из них.

Следствие 1.2.2. Пусть г > 1пв+1 х , ¿0 < 1пс° х , <2 = у/х ж ,

к < К 1п2(10ж) , тогда

Q(x,t,d0) = У тахтах

t-—* (a,<i)=l У<х

(d,d0)=l

£

d<Q, (d,d0)= 1

тах тах

(а,^)=1 У<х

Е 1

п<у,

пещу 1.....ifc,d о).

rt ~ а(mod d)

■т

Е

«С х In в х

п<у,

ne-BO.'i.-.'fc^o)

где А{В) = min (ЗБ + 12, В + С0 + f) ,

В, Со, R - произвольные положительные постоянные.

Вторая глава посвящена решению бинарных аддитивных задач типа проблемы делителей Титчмарша.

В первом параграфе второй главы приведены вспомогательные результаты относительно чисел с малыми простыми делителями. Оценены некоторые суммы, которые встречаются одновременно и при исследовании проблем типа проблемы Титчмарша и проблемы Харди-Литтлвуда.

Во втором параграфе второй главы получена асимптотическая формула для

Е т(К-п),

n<N,

пед(«,11.¿о)

то есть для числа решений уравнения N = р^1 .. + тс1, где р{ -простые числа, лежащие в арифметических прогрессиях по модулю

¿о, ]С а* = ^ и ^ = 1 .

Теорема 2.1. Пусть г > 1п5+1 N , ¿0 <ЫСо N , (¿0, N - I) = 1, к < Д1п2(Ю#), В, Со, Я - произвольные положительные постоянные, тогда

Е -

пея(«,)1, ¿о)

+ Е 1

+О +3 N + А:)) ,

^ с = П (1 + ,

р

Ф(т)=П(1-^) (1 +

р\т

¡^<Ф(т)<1, А, >0,

Д(ЛГ, Ь,к) = 0, если г > ехр ((1л,(10]У))3+3') и к > 6 ,

Я(ЛГ,4, 4) = + «"ЧЕЗГН & 1п2(10ЛГ),

в остальных случаях.

Здесь и далее с > 0 - сколь угодно малое число.

Асимптотическими формулы для количества чисел, принадлежащих множеству ..., 1к,(1 о) , в случае ¿0 = 1, приведенны в статье [41]. Воспользовавшись ими можем записать такие следствия:

Следствие 2.1.1. Пусть N > 3, 1 < fc < Шпи, и = , lns+1 N < t < exp ^(lniV)s^ , В , R ~ произвольные положительные постоянные, тогда

\к-1

.(1пц)'

№-1).' V ' ~ V(b2(ioiv)).

Е T(N ~п) = t)N1 + О

p\n-*p>t, и>(п) = к

+0 (n ln-f+3 N + R(N, t, fc)) ,

где с, Ф(т), R{N,t,k) - те же, что и в теореме 2.1,

3(z,t) = ^ ((М'П (1 - О") П (1 - 0* + А) .

~ — fc-1 г = -¡—

1п u

Следствие 2.1.2. Пусть N > 3, 1 < к < Rlnu, и exp ((