Суммы мультипликативных функций со сдвинутыми аргументами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

то г ; м >

«m» О ' ' -'

ВЛАДИМИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ZEHATQní4ECKlíL ИЕСКТ7Т вмени П.йЛ еб едева-Поляпсиого

На правах рукспзск

Парила Бсрзссзпа

СУ?" а !.7ЛЬТЯ1Ш1К,Ш!ЕН31 ®УЕКЩЗ СО СДЕННУЕС! ШТЛЖИП!

OI.OI.C5 - :*ат?• ~ -.1 логзпа ■ алгсйгз л ттсг..:

Авт0тзс*:зр2т диссертации на ссзскадне ученой степени -гяггтггттятя фзашсо-катетатэтесаах наук

Взаязяр- IS»2

Работа выполнена в Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени педагогическом государственной университете имени В.И.Ленина.

Научный руководитель - доктор физико-математических ..

наук .профессор Н.М.Тимофеев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Б.И.Бредихин, кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Юдин.

Ведущая организация - Московский государственный

университет имени М.В.Ломоносова, механико-математический факультет.

Защита диссертации состоится " 1992г.

в /[Ь_ часов на заседании специализированного созета. К. 112.31.01 , ври Владимирском государственном педагогическом институте имени П.И.Лебедева-Полянского по адресу: 600024, Владимир, пр-т Строителей, д.II, аудитория 235..

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Владимирского педагогического института.

Автореферат разослан " ШСий 1992г.

Ученый секретарь Специализированного совета К.ИЗ.31.01 при Владимирском государственном педагогическом институте, доцент С.Е.Степанов Ойл^-ииг^-—

wmicm,? ■н;.:.mm

.Ь, я. .iEEiiES i-где/! юсертаций

-I-

Общая .характеристика работы.

Актуальность темы. Большой раздел исследований в совре-

ой теории чисел посвящен подсчету разбиений целого числа

латаемые заданного вида .Эта задача легко сводится к вы-

енив сумм значений арифметических функций.

Если iv большое натуральное число, с*, и ^ пробе-

последовательности натуральных чисел с учетом повторе-

то нахождение числа решений уравнения d + |3 = п.

вается бинарной аддитивной задачей.

Обозначш ^ 4 , ("О = 4

frv-tL WjS

а вычисление значений суммы Q(pv) = м) ^¿С 71'1^)

. бинарная аддитивная задача.

К классическим задачам такого вида относятся проблема Я-Зиттлвуда: (oi- р, 5' 1 € '") и ^дативная

лена делителей. Cot»^---**, , £>= У'- ^а) *Эта задачи воз-н в 30-х годах 20-го века. Первые результаты-для незсто-частвнх случаев принадлежат Г.Харда и Дг.Литтлвуяу 1223г.. rrasy 1927г.,Т^стерыану 1930г.,С.locum 1957г. Отметим, проблемы эти сложные,'так задача Харда-Ллттлвуда долгое :я оставалась нерезевноЗ, а аддатавная проблема делителей ienssa в обшез виде и по -сей-день. Сукзственно продвинуть работы по. их per сила позволил герсионннй метод, разработанный Ю.ВЛннникш и усовер-:твозанный БЛ.БредаханЕа. В;частности, с полозья этого Cta В.ВЛиннак резшх. аддзтЗвзуэ проблему делителей в / гае Kr = А ■ в любого и получил безусловное рега-; проблемы Харди-Литтлвуда 1961г., [зТ, Б.М^Бредахину [il

удалось получить аналог проблема Хзрди-Литтлвуда при .«¿-р, , а. , & - целое число, а * О , р

. -простое, - целке.Нужно ответить, чт'о анайой» и обобщения рассматриваемых двух задач представляют большой интерес.Наряду с Ю.В.Линником и Е.М.Бредихиным , зша вопросам занимались многие авторк: А.К.Виноградов в 19£5 году [2"\ с псмоаьп плстностных теорем для Ь -функций Дирихле рассмотрел обобщение аддитивной цроблемы делителей при = с!^^),

С.где £ - натуральное . с^О1») -число пред-с1'ззлзкий' т. в виде к сомножителей , сСС^-; .Т.И.^г/.миеза'в 1970 году СП .исг.ельзуя длспеусиснный метод:.

решила аналогичную задзчу с р.г/лътипликатиьио^ '.удов-

\

летворяюкей некоторым условиям. В этих направлениях работали Д.Вадьке 1573г. [II]■.Мотохаки 1980г. [10] ,Н.М.Тимофеев [5] 1985г. С йомодья известной теоремы Халаса [8] и неравенства большого реаета в форме Галлахера ,в работе [6] К.М.Тимофеев нашел аейыйтотику су?-.мы

X "^с^асА-о - С1>>

где ¿[(/О ~ любая мул^щЫикгтиЕяая функция .удовлетворяющая единственному условий , ^ • Эта задача также яв,1яется обобщением аддитивной проблемы, делителей . Возникает естественный вопрос сб ослаблении налагаемых на ^-(гС) условий, капример до ¿с^С^О . Кроме того , в данной сумме с новыми условиями на .вместо можно поставить . где Ъ(.п.) -число представлений

1

п в виде cyr.-v.ii двух квадратов .Тогда получим некоторый аналог проблемы ларди-Ляттлвуга.3 реферируемой работе находятся ассимптотикд ср.-;.: такого вида -

Полученкые в диссертации результаты когно использовать ероятностной теории чисел ,в честности ,для нахождения йхрдкшх и достаточных условий слабой сходимости после- ' ауельностей <?ункпий распределения к предельному закону, задача является основной в вероятнестной теорив чисел гссхатрпЕалесь .например .П.Эрдеием е А.Ввнтнеротл }В*17р., рдерех и М.Еапем 1929,1940, в 1971 году Б.ВЛевкшрл р .Тимофеева.! , П.лшшоттом и Е.Реявлкои .В работе доказы-гся некоторые аналоги теорем Зрде-а-Винтнера и Эрдеша-

Цель работы. Вывод асимптотических формул для суъзл вида X |0г)сЦпи-) , £ ^С^гСп-.) (2)

-мудь г}; пл и ка т и в н ая функция ЛтС*1)1' ^ С^ . юление лолученкнх результатов для доказательства теорем I трорекы' Эдде-Еа^йнунера и теоре:л! Зрдега-Капа . Катоды Аси.я?ртака су.".: (2) пелунена с

дьп кетода большого решета в' форте Галлахера .^исверсяон-

/

| метода и ррзкенвния результатов типа теорема Халаса . Натчнзя^новязна. Рассмотрены новые аналога аддетаьлой лс:.з делителей и задача Харэг^Дгттлвуда .Прз о теп па т^плакатавнуэ бущшпз ^(л) в сулзх (2) налагается толь-КИЕствениое условие

Гсстетг-ес-стЛ_взлад. Результата дасоертадлп полностью от вопрос о пзхсс:2еил геелтотикн сутта (2) .прячем ча осложняется тем .чтодунзея

и) пе ?.-ультзплиглтпЕш:е по »V ,а ^унг.-

иУл -любая ?лультиплккативная с единственным.усло-

вием с£к.00 -В процессе доказательства основных

теорем вносятся некоторые усовершенствования в методы исследования задач такого типа .Доказывается лемма о равномерном распределении ^ 0*0 по прогрессия;.; с модулями ,у которых все'простые делители больше некоторого числа .которая может бать использована при рассмотрении других обобщений бикар-. них аддитивных задач .Доказанные'результаты позволяют получать теорема типа теоремы Эрдеза-Винтнера и теоремы Эрдеша-Каца .

Апгобапия работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседании секции Республиканской научно-теоретической конференции "Теория чисел и ее приложения" 1220г., г.Ташкент, Узбекистан, на семинаре по теории чисел ВГПИ 1991г., на заседании секции международной научно-теоретической конференции по теории чисел 1391г.г.Паланга ,Литва ,а такяе на семинаре кафедры теории чисел МИГУ им.В.К.Денина 1991г. • . г

• Публикации. По теме диссертации опубликованно 4 работы, з которых отражено ее основное содержание

Объетл т>аботн. Диссертация изложена на 126 • страницах машиннописного текста и состоит из введения ,трех глав и библиографии, .содержащей 44 наименования . ;

Краткое содержание. Во введении дан краткий обзор работ, посвященных исследованию бинарных аддитивных задач, излагаются основные результаты диссертацгл и несколько примеров их применения .

Глава I посвящена формулировке и доказательству вспомо-

игьных результатов .используемых при доказательстве )вных теорем и следствий .

Глава 2 состоит из трех параграфов .3 параграфе I дока-:ется следуадее обобщение результата .полученного К.!.'., феевш в работе £6].

Теорема 2.1. Пусть Си»") - мультипликативная к

»01 ¿ ci 1С С«-) .тогда

~ cto _ . к \

£(n.UO-0 ■ С ^ — в • L(^x)2.

W £ X

С = О .если ряд

Ве^р^Ср^рЪ/р .СЗ)

Р Г «* ±

эдатся при любом примитивном характере J^g- и любогл Т. , найдется примитивный характер J- s и "h=4.о с кото-ряд (,3) сходится ,то . ^ -d

fíS) p,s p-fM PV v f-у^'г., J

f-

xpC-i^^p^/p), •

i,i)n'e»Ci 5 £f«í<p>p :/p), ' ■ ' p

» - uvfí^ ДО'да ) • - -

pn доглзатгльствэ теорем 2.1 используется следухцая я легг/а о распределения |{л) по прогрзссга с па-стсри-дулягп '.Доказательство леггя опирается на применение епства большого регета в форле Галлахера л проподзте.? С-З работы [б"} .

Лемма 8. Пусть ^С"-) - мультипликативная и С«-) ,

¿л - А или у оС* все простые делители не больше 2 , (Л^ =. Л или у (Лц все простые делители больше ^ , ' тогда при а* ^х имеем

а. , л VI.,

о ^ „ / ^

где ^о i fi « 2е , 20£ X.

В заключении доказательства теоремы 2.1 применяется теорема сравнения из работы [3] - результат типа теоремы Халаса. Во.втором параграфе находится асимптотика суммы

S, -- 2 ?(«."> гсп-1) 14-WU ct^Cn-).

hi». '

Задача эта значительно сложнее ¡предыдущей .Для ех сравнения приведем основные этапы доказательств теорем 2.Г и 2.2 . На первых шагах ,в рассматриваемых двух случаях действуем по одной схеме : представляем d.Cn~0 я Е-С17-1) в виде сумм по делителям., суммируем- и под гипербо-. лой .Получаем суммы Еида

X fi,) ' , s'-^ J,^ îto

Далее .представляем et как d-rct^ ,где cL\- щщ y d) все простые делители не больше 5 , d, - 'l или v

все простые делители больше 5? , ,А>0.

Згчае полученную сумету представляем в виде

' СО

" Л ?

~ >

;рь рассмотрим отдельно случаи .когда О- ^ чГх Е

О. , ь>о .при а <с£^>Гх

гветствунцая часть суммы 9) легко оценивается с помощью земн Шиу и других, оценок главы I .Для ^ этого не достаю, так как эта часть суммы- ^ дает вглад в главный член а -.Здесь соответствующую часть остатка ^ мы оцениваем ялозыо дисперсионного метода .примененного по'схеме ра-I [.5] . При с^ ^ О. соответствующую часть сугжы Б,' пред-зляеы в виде подобном (4) ,то есть - 5, + Й-1 тениваем соответствующе часта остатков и

зиогьп леммы 8 .

с" С "

Далее .исследование суьзг Ь, , сводится к ледованнв суьм вида

у с1-) все простое делители не больно 2 = 3 У

А .В случае с сук^оЗ это позволяет посла

ценекия теорет сраззеная .получить теореку 2.1 -В случаз >д из опять приаеняеа лиспврсаонннЗ ыетод а перею^ии

от сузеты С 5) к суйме по <¿t у которых все простые делители 1 не больше \|2 . потом к сумме по dt у которых простые делители не больше и так далее .пока не получим сумму вида (.5^) с di у которых все простые делители не 'больше фиксированного числа. 2 о .Причем на каждом шаге избавляемся от суммирования по d¿ .После этого .применив теорему сравнения' .получаем следующий результат .

Теорема 2.2. Пусть -мультипликативная и

z ^го-0- Сф-С(5)U^^ct^C*-.) +

híX

/ Л \ '

g.ср)- (4+ i V ftp)7"

Постоянная С С/И - О . .если ряд (.3) расходится яри любом примитивном характере и любом. "Ь .Если найдется при-

митивный характер J.^ и t - "to с которыми .ряд (3) сходится и 8 - , С -4- .тогда р

VvcfrC«'*?- JUC^) у.

"•л £ ЬЗ ; Cv С б) = О при е* 4,3. .

Сф- П ( < q.Ctf> S MliM? )(^ ? V

«ср(с ^ Р . )-

Подобно тому ,как из теоремы Халаса можно вывести тео-глу Вирзинга ,из теорем 2.1 и 2.2 можно вывести следующие алоги теореш Вирзинга .сформулированные и. доказанные б раграфе 3.

едствие 2.1. Пусть |(п.)-мультинликатинная вещественнс-ачная функция и |£(V)\ ^ .тогда

п. -1- ' .

Ш 2. с1к.СЮс/.Си-0 '

KiCC. ^

шествует и равен нулю ,еслн ряд (3) расходится при любом 4 g а "h-О .Если ряд СЗ) сходится при и "Ь ,

J^ веаествгнныа и Ь-О ,а "предел равен постоянной из ореыы-2.1.

едствие 2.2. Пусть-^бг)-мультипликативная вещественно-

ачная функция и J-^hM 4 с£к.(Д-) .тогда \

О' --— * ^Е. Л

шествует а равен нулю ,еслз ряд (3) расходится при любом Jty и "t = О .Если ряд (3) сходится при jC^ и t ,

вещественный и "fc-ö ,а предел равен постоянной из ореыа 2.2. '

Рассмотрим в качестве примера функцию Мебиуса Для нее по следствию 2.1 и следствии 2.2 .получим

Оп £ /гсп) £*к(*-> «¿(ин) = 0,

X"* Оо »и£х "

¿¿»к С'5. ^»да)"1 х /июНкити-о^о.

н£Х К ¿ОС.

Теоремы 2.1 в 2.2 являются аналогами теореш Халаса и теоремы Н.М.Тимофеева из работы £63 и в том смысле .что подобно последним ,вх маяно использовать в вероятностной теории чисел .Таким применениям теорем 2.1 к 2.2 посвящена третья глава диссертации .Доказываются следующие результаты.

Теот)е;ла ЗЛ. Пусть ^(и.) -аддитивная функция. Если существует число в .такое что ряд

Р Р

сходится .тогда существует функция распределения Р(и.) , такая что при х 00

л X С^ Оь^-о'^и«),

ЬО)

' - А*?** р

-II-

Веряо и обратное утверждение .

Из теоремы 3.1 Легко вывести следующий аналог теоремы рдеша-Винтнера . недствие 3.1. Для того .чтобы

Л. ^ ¿к^гсп-0 => РСм.) БСх)

дсп^а

эобходимо и достаточно .чтобы сходились ряды ^ и $срМ1 »

р" Р ' Р Р

зе ^ Ы ! 1X1 й 4

I \ , \Щ>'1.

Кроме того ,в третьей главе доказывается аналог тэорекн рдеша-Каца .

Теорема 3'.2. Пусть

для всех \г>0 . •

^ - (Ш ) о

п/ ч \ЫпУ/ ^

ри X .Тогда с •

А«-** ^

I» +2.

меем ~ _

!__ ^ ¿^Мгс«-») => (гО*) - \ е Ас1-Ь .

СХ) ^¿Х Ч/Л!Г ^

Г:рк доказательстве результатов третьей главы используются методы, разработанные'при решении аналогичных задач Б.ВЛевиным и Н.Ы.Тимофеевым ,[4] , П.Эллиоттом и , Г.Реявикам [8].

Приведем несколько примеров на использование следствия 3.1 и теоремы 3.2 .Пусть* ^Сп.^ - ООС«-)-число простых делителей п, .тогда по теореме 3.2

4х) , ¿МгСп-р => 6-Со.)

2- Л.

Другими словами .число решений уравнения 3^... 1 -4. ,

где СС,... хк £ ЭС. .удовлетворяют неравенству СО(:м чс&^й^а. £ равно +

где - ,

Пусть теперь С'Сп,) = сС . .тогда прп лпбом "!?>0

<£4 п. а. 2. .

по следствии 3.1 число ресений уравнения .^Ч—"^Чс.~~ 4-

пр— -•(••• £ . с условием гГх,...^

равно ЪО} о.то есть

бТк) £ Я-п.

Таким образом .теоремы и следствия третьей главы^позволяют находить число ре^зниЬ конпретпых уравнений с пскстори-

/

кп условиями на неизвестные, то есть решать задзчз близкие к СилЕрнкт«*. аддитивные .

• -JLO™

B заключении автор выражай? благодарноетъ научному ру-

зводите-л профессору Н.М.Тимофееву за постсл:шсг внимаг^

Работе . ' ^ Q

I

Дубли капки автора по 1еме диссертации.

. Хрипунова М.Б. Аддитивная прйлема делителей с ограничением .//Тез .докл.-Ташкент,ISS0,с.127.

. Хрипунова М.Б. Одно обсбпениё аддитивной проблемы делителей'.//Деп .в 31 ШИП!,.','992-391,Владимир, 199144с.

. Хрипунова-М.Б. Аналог теоремы Халаса в задаче тала ri проблем! Харди-Литтлвуда.//Деп.в ВИНИТИ,Й3863-В91, Владимир,1991-ЗБс.

. Хрипунова М.Б. Суммы мультипликативных функций со сдзинуты?ли аргументами.//1.!ат.заметки-1992,т.51,вып.4-с. 437-439.

Примечания,

. Бредихин Б М. Дисперсионный метод и буарные аддитивные проблемы определенного типа.//УШ 1965,ХХ,вкп.2, 122,с.89-130.- . ' .

. Виноградов А.И. Q плотностной гипотезе для L>-рядов Дирихле.//ПАЯ СССР,сер.мат.,1965,29,М,с.903-934..

. Линник Ю.З. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах ./ДОЛГУ, 1961.

. Левин Б.В. .Тимофеев Н.М. Теорема сравнения для мультипликативных функций .//ACTA ARITHMETIC А , XL!! I9P2.C.22-47.

-14Т . 1Г"ом>ев H Л.". Аддитивная пгсСлем£ делителеС и ее

обойаенке .//'Лег., г 5'.ЖТ7.,£В8СХ>ЕеЬ«Владимир, 1985-44с. ? . "гл-.оссев H.!.'.. Анелог теореш1еласй для аддитивной

проблемы делателей./Д'-ат.заметки-1990,т .48,вдо.1-Л6-127. 7 . Jínraesa Х.И. ОСос^еш'.е аддитсвнрй дроблен деятелей.//

?.'ат. заметки,1970,7,H.с.477-482. в • Elliott P.D.T.А. Etairee G. dCst^i^wtipn t>£

vaíuu oí addiiiui a* 'dkмеЛсcat

OcU Weit, Clcad. Ы. Нии^ал , , V. 4iÇ>, f>. »«î-

е. Hagas?-С-. <*¿e ttuH-eftuwfcE ^akMUxm-

-Usk^ fiuiklLoke^- AcU MaMy Acac!. %c¿.Mu.ucj.

1С. Mo-tokaikx У. <2и, . a¿>i¿mf>lc¡í¿c -îe-ti&j

atr aácfóiire dlvi&w . p^^nj, - .

3eihcL*¿fí; то, M. #ol fMb-6b. . П. Wo£ke «fe. tfier eUÜ&se. V&dciihiiß dv¿

Werte ¿cck^rtiLDïii-iCzkcb. - £tn-|

fceyklÉûiyut -T.- Maiíi. Лил.' -494-3 , V. «SOI , P.