Проблема делителей Ингама на множестве чисел без k-ых степеней тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

страницы

Обозначения.

Введение.

§1. Леммы.

§2. Доказательство асимптотики из теоремы 1.

§3. Доказательство неравенства из теоремы 1 (вид константы Ау J).

§4. Доказательство асимптотики из теоремы 2.

§5. Доказательство неравенства из теоремы 2 (вид константы Dv 'J).

В диссертации решаются задачи по исследованию асимптотики суммы ^ F(n), где п<х пеМ

F(ri) - заданная арифметическая функция, М - некоторое заданное подмножество множества натуральных чисел.

Обычно при решении задачи об асимптотике суммы значений мультипликативной функции F(n) поступают так:

F(n) ——. В и=1 п° типичных случаях этот ряд имеет конечную абсциссу сходимости о"0; пытаются, если это возможно, аналитически продолжить функцию <X>(s) в полуплоскость Re s < aq . При этом продолженная функция в области Re.v < ctq будет, вообще говоря, иметь особенности (полюса, существенно особые точки, точки ветвления и т.д.); пользуясь формулой Перрона и характером поведения функции Ф(,у) в окрестности особых точек получают главный член асимптотики, а оставшийся интеграл даёт остаток искомого асимптотического равенства.

Если же нужно найти асимптотику суммы значений функции F(n) такой, что она не является мультипликативной по п, то указанный способ, вообще говоря, не приводит к желаемому результату, поэтому нужно прибегать к другим методам.

В настоящей работе в качестве функции F(n) рассматривается функция т(п) ■ х(п +1), где т(«)= 1, целое п> 1. Пусть S(x) = ^ %{п) ■ т(п +1). d\n nix

В 1927 году А.Е.Ингам [1] сформулировал задачу: найти оптимальный остаток в следующем асимптотическом равенстве

S(x) = ]>Ч(и) • т(и +1) = АххЛп2 х + R(x), где^1=™. п<х ТС

В этой же работе Ингам доказал, что R(x)=0 (xlnx), х^оо.

В 1931 году Т.Эстерман [2] усилил результат Ингама, доказав, что

2 1У

S(x) = Ахх - In х + А2х ■ In х + А3х + 0(х 712 ■ In х), х—»оо, где и ~ некоторые постоянные.

В 1979 году Д.Р.Хиз-Браун [3] и Д.Исмаилов [4], в свою очередь, независимо друг от друга усилили результат Эстермана: в равенстве Эстермана ими был получен остаток

У+Е

0{ х/6 ), где х—»со, a s - произвольное фиксированное положительное число.

В работе А.И.Павлова [5] решена проблема делителей Ингама с весом: Пусть арифметическая функция F удовлетворяет условиям: если F(n) = (d) , то f{d) d\n мультипликативна, и при п->со верна оценка f(n)=0(п~а), а > 0 и не зависит от п. Тогда при х—»со имеет место асимптотическое равенство

Е2 (

F(n) ■ х(п) ■ т(п +1) = А\хЫ х + А2х1пх + Лзх + 0\х/ь + х /ь j, п<х где А\, Аг, Аз - некоторые постоянные, в - произвольное фиксированное положительное число.

В настоящее время близкими вопросами занимается целый ряд математиков ([6], [7],

8])

Помимо того, чтобы находить асимптотику суммы значений немультипликативной функции, интересно заменить гладкое суммирование суммированием по некоторому подмножеству множества натуральных чисел.

В настоящей работе в качестве такого подмножества рассматривается множество чисел без к-ых степеней.

Натуральное число п называется числом без А:-ых степеней (при к >2), если для к любого простого р выполняется условие р \ п.

Приведём несколько утверждений о числах без £-ых степеней. к

Пусть Mjc={meN:\/(peP) р \т). Нетрудно доказать (см. §1), что характеристической функцией множества М^ будет функция %/с(п)= У \i(d). а | п

Пусть Qk (х) = ^ 1. Тогда, как известно, при х —»оо имеет место асимптотическое п<х neMfc равенство

Qk(x)^~-x+0(x/k), где C,(s)~ дзета-функция Римана. Поскольку —— >0, то множество Мк является множеством положительной плотности

Хорошо известна бинарная аддитивная задача с числами без к-ых степеней. При натуральном п> 2 обозначим Р^(п) = ^ 1 . Эстерман [9] доказал, что при п 00 m,r> 1 т+г=п имеет место асимптотическое равенство пк -1 —+s Рк(п) = Ск Y[—k--n + 0(nk+l ), к, р — 2 Р Iпу где С^ =| |(1 - ——), а 8 - произвольное фиксированное положительное число. р р

Более того, известно следующее: пусть целое к > 2. Тогда существует постоянная 1

С=С(к) такая, что если /г = с-х2^+1 -1пх и х->со, то интервал (x,x + h] содержит число 1 без к-ых степеней. Больше того, если h = х^+1 • 1пх • g(x), где любая стремящаяся к бесконечности функция при х—»со, то число чисел без &-ых степеней в интервале h х, х + h] равняется--1- o(h). Это утверждение восходит к хорошо известным работам таких математиков, как Е.Фогельс, К.Ф.Рот, Х.Е.Рихерд, Р.А.Ранкин, П.Г.Шмидт, С.В.Грехем, Г.Колесник и др. Последний результат, насколько известно, получен в работе О.Трифонова [10].

В настоящей работе рассматривается проблема делителей Ингама на множестве чисел без к-ых степеней. Доказываются две теоремы.

Теорема 1. Пусть целое к > 2 фиксировано и ^т(и) • т(п + 1). Тогда п<х пеМ^ существуют постоянные такие, что для любого фиксированного в>0 при х-»оо выполняется асимптотическое равенство

Т(к)(х) = А(к)х • In2 х + В(к)х • Inх + С(к)х + 0(х5/),

0 Будем говорить, что множество М является множеством положительной плотности, если отношение числа чисел множества М, принадлежащих отрезку [0,N], к длине этого отрезка при N -» °о стремится к положительному пределу. где

Ji±l 2k+l

V V Р" + Pk+l~ Рк+2;

Теорема 2. Пусть целые к >2, 1> 2 фиксированы и S^k,l\x) = ^т(и) • т(и +1). Тогда п<х neMfr n+leMi существуют постоянные такие, что для любого фиксированного е>0 при х—^со выполняется асимптотическое равенство

5/4. V

S(kJ) (х) = D(kJ)x • In2 х + EW)x • In X + F{kJ)x + 0(j/6+/6A+E где /г = min(A;,/),

D{k,D=Yl f1 k + l 2k +1 £ / +1 2/ + 1 / Л v ~ Pk + PM ~Pk+2~ Pl V1 ~Pl+1,

0.

Замечание. Заметим, что если целые к >2, /> 2 фиксированы и = , то п<х пеМк i(k,l) существует постоянная АК ' ' такая, что для любого фиксированного е>0 при х—»со выполняется асимптотическое равенство к-1 1-Х где п 1

1 1

I к у Р Р

0.

Доказательство этого факта приведено в приложении.

Автор благодарит своего научного руководителя профессора Павлова А.И. за постановку задач и советы при их решении и профессора Карацубу А.А. за внимание и полезное обсуждение работы на научно-исследовательском семинаре в МГУ имени М.В. Ломоносова.

§ 1 Леммы.

ДеммаЛ, ([И]) = " !•

О, п Ф 1 d\n

Лемма 2. Пусть целое к>2 и М^- множество чисел без к-ых степеней. Если fl, п е М, характеристическая функция множества М^, т. е. х^ ~ | q gM Т° к а \п

Доказательство.

Если и=1, то пе М^, значит (п) = 1. С другой стороны, ^ \i{d) = ц(1) = 1.

JI а и а. а

Если , то п имеет каноническое представление п = 1 •. • р s. Возможны два случая.

1) Пусть а ,<к при любом \<i<s. Тогда п е М ^ , значит у^ (п) = 1. С другой стороны, т.к. р\ \п при любом i, то из dk \п следует, что d= 1, т.е. = ц(1) = 1. d | п

2) Выделим простые, входящие в каноническое представление п в степенях не меньших к. Пусть это р.,.,р. . Тогда niM,, значит %,(п) = 0. С другой

II К К

1 t к стороны, из d | п следует, что d может состоять только из выделенных простых р.,., р. , поэтому ^ \i{d). Воспользовавшись определением

1 t к а. а. d I" d\p 'Х :,Р '' h h функции Мёбиуса, а именно тем, что d t М^ => \^(d) = 0, получим а. а.

Ч 't

Последнее равенство имеет место в силу леммы 1. Таким образом, при любом натуральном п имеем %, (п) = ^ \i(d). d \п

Лемма 3. При Т —> оо имеет место равномерная по а> 1 асимптотика у 1 = ф(^(1пГ + у)уН(^+0(М); ma d \ у / т<Т d\a m,a)=1 где у - константа Эйлера. Доказательство.

Воспользовавшись леммой 1, получим

Z 1 Z № m m m<T m<T d\(m,a) m,a)-1

Поменяв порядок суммирования, будем иметь

I 1 I и(</) = 5>(<оЕ X 1 m m a т m m<T d\(m,a) d\a m<T d\a m<— d\m

Воспользуемся известной асимптотикой

V — = In x + у + 0\—), при x со, п<х где у - константа Эйлера. Получим m<T d\a d\a d\a d\a m,a)—1

Поскольку ^^ - fP^l и у j = ? x0 получаем искомую асимптотику d a d\a d\a ma d \ j / m<T d\a m,a)=l

Лемма 4. При T -» со имеет место равномерная по а> 1 асимптотика а 4 ' т<Т (m,a)-1

Доказательство.

Воспользовавшись леммой 1, получим х 1=Х I т<Т m<T d\(m,a) (m,a)=1

Поменяв порядок суммирования, будем иметь

X X m = х m х i=I m Щ=тх^f-+о(х i). m<T d\(m,a) d\a m<T d\a d\a d\a d\m

Поскольку V ^ = и V1 = т(a) , то получаем искомую асимптотику d а d\a d\a 1=^Г + 0(х(4 a 4 ' m<T (m,a)-l

Лемма 5. При T -» oo имеет место равномерная по а> 1 асимптотика

У In ш = ^^ (ТЫТ -Т) + 0\х(а) 1п(аГ)). а 4 ' т<Т (m,a)=1

Доказательство.

Воспользовавшись леммой 1, получим In w = ^ In т ^ |j,((i). и<Г т<Т d\(m,a) ш,а)=1

Поменяв порядок суммирования, будем иметь

Xlnm = ^ц(^) ^Inm = \{d) Y}Kmd) = Т m<T d\(m,a) d\a m<T d\a d\m Z^) X^^+Z^)111^ XL

T T d\a m<— d\a m<— d d

Воспользовавшись известной асимптотикой при Т -» со. п<Т получим

X lnm = т<Т d\a m,a)=1

T, T Т

In--—+ d d d d\a

In d = d\a d\a d\a

Поскольку V H^l = S>icll и V i = x(a), то получаем искомую асимптотику d а d\a d\a

У \пт = ^-{ТЫТ-Т) + 0\х{а)\п(аТ)). а 4 ' m<T (m,a)=1

Кроме того, при доказательстве теорем 1 и 2 будет существенно использоваться результат Хиз-Бруна [3], который в дальнейшем будем называть теоремой Хиз-Брауна.

Теорема. Пусть D(x,q,a) = ^т(и). Тогда при произвольном фиксированном п<х n=a{mo& q) положительном s и х—>со имеет место асимптотическое равенство

Г \

D(x,q,a) = — f

I Z t\{a,q)s\qt

In— + 2y-l ч ? 2 J]

-l ад, где R(x)=0( х^З ) равномерно по 1<#=0( х^3 ), у - константа Эйлера, (a,q) - наибольший общий делитель чисел а на.

1. 1.gham А.Е. Some asymptotic formulae in the theory of numbers // J. London Math. Soc., 1927, V.2, №3, p. 202-208.

2. Esterman T. Uber die Darstellung einer Zahl as Differenz von zwei Produkten // J. Reine Angew. Math., 1931, Bd.164, S.173-182.

3. Heath-Brown D.R. The fourth power moment of the Rieman zeta function // Proceed. London Math. Soc., 1979, V.38, №3, P.385-422.

4. Исмаилов Д. Об асимптотике представления чисел как разности двух произведений // ДАН Тадж. ССР, 1979, Т.22, №2, С. 75-79.

5. Павлов А.И. О проблеме делителей Ингама // Математические заметки, 2000, Т.68, №3, С. 429-438.

6. Тимофеев Н.М. Аналог теоремы Халоса в случае обобщения аддитивной проблемы делителей // Матем. Заметки.1990. Т.48. №1. С. 116-127.

7. Тимофеев Н.М., Туляганов С.Т. Задачи типа аддитивной проблемы делителей // Матем. Заметки. 1998. Т. 64. №3. С. 443-456.

8. Хрипунова М.Б. Суммы мультипликативных функций со сдвинутыми аргументами // Матем. Заметки. 1992. Т. 51. №4. С. 437-439.

9. Esterman Т. О представлении числа в виде суммы двух чисел, не делящихся на к-ую степень // J. London Math. Society, V.6, № 21, 1931, P. 37-40.

10. Трифонов О. On gaps between k-free numbers. // J.Number Theory, 55 (1995), P. 46-59.

11. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1965.