Об оценках плотности нетривиальных нулей дзета-функции Римана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 511 331 1

Авдеев Иван Федорович

ОБ ОЦЕНКАХ ПЛОТНОСТИ НЕТРИВИАЛЬНЫХ НУЛЕЙ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА

01 01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003163033

Москва - 2007

003163033

Работа выполнена на кафедре математического анализа Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Научный руководитель Официальные оппоненты

Ведущая организация

доктор физико-математических наук профессор Геннадий Иванович Архипов доктор физико-математических наук профессор Николай Михайлович Добровольский

кандидат физико-математических наук доцент Ольга Васильевна Тырина Владимирский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится 9 ноября 2007 г в 16 ч 40 м на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 в Московском государственном университете им MB Ломоносова по адресу 119991, Российская Федерация, Москва, ГСП - 1, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 9 октября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 в МГУ доктор физико-математических наук профессор

В H Чубариков

Общая характеристика работы Актуальность исследования

В 1860 году БРиман в своем знаменитом мемуаре «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» связал задачу исследования простых чисел в натуральном ряде с проблемой расположения нулей дзета-функции Римана в критической полосе С тех пор изучение свойств дзета-функции Римана занимает центральное место в исследованиях по аналитической теории чисел Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы этой теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзета-функции в критической полосе Такие оценки обычно называются плотностными теоремами

Плотностные теоремы - общее название теорем, которые дают оценку сверху для числа Ы(а,Т,%) нулей р = 0+1у ¿-функций Дирихле, где $ = х(п,к)~ характер Дирихле по модулю к, в

прямоугольнике < о- < /? < 1, < Т В случае к-1 получается

плотностная теорема для числа нулей М(сг,Т) дзета-функции Римана

я=1

Первые существенные результаты в доказательстве плотностных теорем об оценке нулей дзета-функции Римана получены в начале XX века в работах Г. Бора, Э. Ландау и Ф Карлсона. В дальнейшем оценкой величины М(а,Т) занимались Дж Литлвуд, АЭ Ингам, Е К Титчмарш, А. Сельберг, Ю В Линник, Э. Бомбьери и другие математики.

В 1930 году Г Гогейзель установил связь плотностных теорем с проблемой оценки распределения между соседними простыми числами, что еще больше повысило их значимость В последние десятилетия вопросам, связанным с оценкой N(<7,1), были посвящены работы М Н Хаксли, X Л Монтгомери, М. Ютилы, Д Р Хиз-Брауна, А.А Карацубы, К. Рамачандры, А. Ивича и других известных специалистов

Изложение доказательств теорем об оценках величины Ы{а,Т) содержится во многих известных монографиях и учебниках по аналитической теории чисел, включая книги ЕК Титчмарша,

1B Riemann Ueber die Anzahl der pnmzahlen unter einer gegebenen Größe // Monatsberichte der Berliner Akademie, 1859

А Прохара, Э Дэвенпорта, Г. Монтгомери, А А Карацубы, А А. Ка-рацубы и С.М Воронина, А. Ивича и др

Цель работы

Целью работы является доказательство новых плотностных теорем о распределении нетривиальных нулей дзета-функции Римана правее критической прямой

Научная новизна

В диссертации получены следующие результаты:

• оценка снизу среднего значения модуля частичной суммы ряда Дирихле,

• новый метод доказательства теоремы Ингама,

• формула обращения для полинома Дирихле с неулучшаемой оценкой остаточного члена,

• новая оценка плотности нулей дзета-функции Римана N{(7,1)

Основные методы исследования

В работе используются методы теории дзета-функции Римана, в том числе

• применяется формула Виноградова-Корпута для обращения тригонометрических сумм,

• используется неравенство Халоша-Монтгомери;

• применяется метод сглаживания для полиномов Дирихле в форме неравенства А.Ивича

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. В ходе диссертационного исследования решены следующие задачи

• получена оценка снизу среднего значения модуля частичной суммы ряда Дирихле;

• предложен новый метод доказательства теоремы Ингама;

• доказана формула обращения для полинома Дирихле с неулучшаемой оценкой остаточного члена;

• получена новая оценка плотности нулей дзета-функции Римана

Результаты работы могут быть использованы при решении различных задач аналитической теории чисел

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались автором на следующих научных конференциях и семинарах-

1. Научная конференция «Неделя науки» Орловского государственного университета, посвященная 60-летию Победы в Великой Отечественной войне (Россия, Орел, 28 марта-9 февраля 2005 г.),

2. Международная научная конференция, посвященная 300-летию со дня рождения Л Эйлера (Россия, Санкт-Петербург, 14-17 мая 2007 года),

3. Научно-исследовательский семинар «Избранные главы аналитической теории чисел» кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством Г И Архипова и В Н Чубарикова в 2005,2006,2007 годах

Публикации

Результаты исследования по теме диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приводится в конце автореферата [1—5].

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, библиографии (25 наименований) Общий объем диссертации составляет 82 с

Краткое содержание работы

Во Введении приводится постановка исследуемой работы, излагается краткий исторический обзор исследований по теме диссертации, формулируются ее основные результаты, описываются схемы их доказательств и проводимых рассуждений

Современная постановка проблемы оценки количества плотности нулей дзета-функции Римана правее критической прямой, то есть оценка величины ы{а,т), обычно формулируется как задача нахождения новых значений показателя Л(сг), для которого выполняется оценка

М{С7,Т) «, ^ > 0 (1)

В 1937 году АЭ Ингам получил оценку (1) с значением

3

а (сг) = а1 (<т) =- Несколько позднее эту оценку он уточнил,

2- гх

заменив в ней величину Те на множитель Xе, где Ь = \пТ и с>0 некоторая постоянная Но новых степенных понижений в оценке (1), справедливой при всех <т>0,5, не было получено до настоящего

времени. Наилучшее значение параметра с = 5 указано в монографии А. Ивича2.

Утверждение о том, что оценка (1) справедлива при всех о->0,5 с значением а{а) = 2 называют плотностной гипотезой. Из неё следует, что для количества я-{х+И)-л(х) простых чисел на промежутке (x,x+h) при h»sx0S+* справедлива асимптотическая формула

L

л(х+И)-я(х)--, х-*<а. Если же использовать значение

In*

Л(а) = а> 2, то указанная асимптотика будет выполняться лишь при

7 1-И1+*

В 1972 году М Н. Хаксли получил плотностное неравенство (1) со

з

значением а(ст) = л2(<т) = --о->0,5 Вместе с результатом Ингама

для величины а (а) это дало значение

а (сг) = 2,4 = а, (0,75) = л2 (0,75) Тем самым асимптотическая формула для разности x(x+h)-z(x) была

7

—+в

доказана для значений h хп .

Заметим, что нахождение новых значений а = sup А (а) прежде

<720 5

всего связано с получением новых оценок сверху для величины а (о-) в окрестности а = 0,75. Но до настоящего времени это удалось сделать только в правой полуокрестности этой точки, то есть для значений о->0,75

Последний результат в этом направлении был получен А. Ивичем3 Он может быть сформулирован в следующем виде

^13 3"

ПрИ<те

17'4

При больших значениях <г в настоящее время получены ещё

более точные оценки величины И(а,Т), но нами этот промежуток не

рассматривается В диссертации доказывается, что на промежутке

л (77 13) Д= —,— оценка 1101 17;

N(<т,T)<z:sTAЫ^-<r)+e, \/£>о

2 The Riemaim zeta-fimction The theory of the Riemann zeta-firaction with applications Aleksandar Ivic, University of Belgrade, Yugoslavia, 1985 C 274

5 The Riemann zeta-fimction The theory of the Riemaim zeta-function with applications Aleksandar Ivic, University of Belgrade, Yugoslavia, 1985 C 290

4

выполняется для значений Л(сг) = — Поскольку при егеЛ

51 3

выполняется неравенство —<-—-, то данный результат является

улучшением соответствующей оценки А. Ивича У а е Д.

Следует отметить, что ряд работ известных математиков — X Л Монтгомери, М Н. Хаксли, К Рамачандра, Ф. Форти и с Виолы, М. Ютилы, Д Р. Хиз-Брауна — был посвящен вопросу расширения границ при Д0=(сг„1], сг <0,75, для которых выполняется оценка

а(а) < 2 Наилучший результат а, = получен М. Ютилой4

Что же касается значений а, лежащих в левой окрестности точки <т0 = 0,75, то здесь наилучшей оценкой остается теорема Ингама в том смысле, что к настоящему времени удалось лишь уменьшить значение

показателя степени в логарифмическом множителе Ьс в этой оценке, доведя его, как уже было отмечено, до значения с = 5

Следует сказать, что за время, прошедшее после первого опубликования результата АЭ Ингама, предложено много других схем доказательства, которые очень различаются

В диссертации предложена новая модификация доказательства теоремы А Э Ингама Ее существенным моментом является вывод нижней оценки суммы модуля очень короткого начального отрезка ряда Дирихле, распространенной на все нули р = р+1у дзета-функции Римана ¿Г (-О, лежащих в прямоугольнике р~га, И^Г При этом нами в прямом виде не используется идея Г. Бора в модификации Ф Карлсона, состоящая в рассмотрении произведения («)£($), где

Мх представляет собой «короткую» частичную сумму

ЩХ

формального ряда Дирихле для функции С («)"'

Первая глава диссертации посвящена изложению нового доказательства теоремы Ингама Эта теорема доказывается в следующей формулировке

Теорема 1.1. Пусть N(0,1) обозначает число нулей дзета-

функции Римана, лежащих в области Яе .у 2: о- ^ , |1т^|< Г

3

Тогда при любом е>0 и А(<т) = -— справедлива оценка

Доказательство теоремы опирается на новую оценку снизу среднего значения модуля «короткой» частичной суммы ряда Дирихле

4М Лш1а гегоккпвйу езЬта(ез &>г ЫипсЬош, Айа. АпЛ 32,52-62(1977)

5

функции £(s) Оно начинается со стандартного сведения оценки величины N{cx,T) к оценке величины nt, равной количеству нулей р

функции Ç(s) в прямоугольнике Р вида Res>cr, In»s^i с

условием, что ординаты разных нулей отличаются между собой по крайней мере на единицу.

Затем значение Ç(s) = 0 в точке s-p записывается через приближенное функциональное уравнение Харди-Литлвуда для функции Ç (s) в критической полосе5

C(p)=o=ï±+z(p) I -¿г+ВД

(2)

Здесь |Я(р)| <к у~" + т'^у^" z(p)«T^ Значение

1 1 1

( з

параметра у определим равенством У — тт

у.0 55 j.4(2-ct)

Положим £,(/>) = Е2 = Ц -г7 в

этих обозначениях равенство (2) записывается в виде

Положим а = 0,1 и разобьем суммирование в сумме 2 , на две части. Получим

л Т"<п<.у

Тогда

В результате приходим к неравенству вида

о<Г1+Г2+Е

где * = I Ъ =

р р р р

Следующие леммы первой главы устанавливают оценки

5 Титчмарш Е К Теория дзета-функций Римана M Издательство иностранной литературы 1953 С 82

Лемма 1.4. Оценка величины С Обозначим через А >100 произвольное натуральное число Тогда для величины <7 справедлива оценка сверху вида

-I -а

Лемма 1.5. Оценка величины ^

Существует натуральное число т с условием 2<т<11, для

которого выполняется неравенство «.¡У, 1тТ 1т X где

А((т 1 = —-— и ¿ = 1пТ v ' 2-а

Лемма 1.6. Оценка величины Р1

Имеет место следующее неравенство <к ^Т1'1" I?1

Лемма 1.7. Оценка величины -^з Справедливо неравенство ^ « Л^Г-0,2

Для завершения доказательства далее рассматриваются две возможности. ^ Р2 и ^ < . В первом случае приходим к оценке вида

Отсюда вытекает справедливость утверждения теоремы в первом случае, когда ^ > ^

В случае ^ < имеем

И(а,Т) «£ т2('-а)+£ « т4^1-^.

Это значит, что требуемая оценка справедлива и во втором случае, тем самым доказательство теоремы завершается

Вторая глава посвящена выводу новой оценки функции М(а,Т)

. Г 77 13]

для значении параметра а, лежащего на промежутке Д = 1 ^у.р^ Основной целью является вывод неравенства вида

Где А(а) = = 2,2173913 ст6д и £>0

сколь угодно мало

Как было отмечено выше, наилучшей из известных к настоящему времени оценок подобного рода для данного промежутка является оценка А Ивича, приводимая, в частности, в его монографии

«The Riemann zeta-fiinction»6. Она имеет тот же вид, что и приведенная

выше оценка, но со значением А (о-) < А, (er) = ——— при а е

Сравнивая приведенную выше оценку А. Ивича с нашей оценкой, получаем, что разность

> V 51 3 51 21(13 —17<г)

dicr) = А.(ег)--=---=—Ц-- > О

v ' п J 23 7er-4 23 23(7cr-4)

13 ./131 ft при всех & <— и I =

Это означает, что результат, полученный в диссертации, является улучшением оценки А. Ивича при всех значениях а из интервала

TL

ч101'17,

Основная теорема второй главы сформулирована следующим образом

Теорема 2.1. Обозначим через N(cr,T) количество нулей дзета-функции Римана C(s) в прямоугольнике Р вида Resäcr,

О <|lms|<r

77

Тогда при а ä <т2 = — = 0,76237623762 выполняется оценка вида N(a,T)<ZB TAWl-°)+s, где Л(сг) = —- = 2,2173913 и е> 0 сколь угодно мало

Приведем схему доказательства данной теоремы. Обозначим через О, совокупность нулей р = ß + iy дзета-функции Римана, лежащих в прямоугольнике Р и удовлетворяющие дополнительным условиям, состоящих в том, что мнимые части у точек р превосходят значение 0,5Т и отличаются между собой не менее чем на единицу. В этих обозначениях получим

где L = In Г, a Ni представляет собой максимально возможную мощность множества Ц Кроме того, учитывая, что при всех

The Riemann zeta-fiinction The theoiy of the Riemann zeta-fiinction with applications Aleksandar Ivic, University of Belgrade, Yugoslavia, 1985 С 290

С2СГ, =— оценка теоремы вытекает из приведенного выше результата А. Ивича, то при доказательстве достаточно рассматривать случай о-е[ст2,ст1) В каждой точке е С2, для значения <у(р) - О запишем приближенное функциональное уравнение простейшего вида7

„^ri s-1

Преобразовав это соотношение при sefi„ получим

( 1

+ 0

„р

i(s) = C(p) = о =

г2

ч

Зафиксируем некоторое положительное А >100 и положим х0 = Г00', тогда последнее равенство можно будет записать в виде

Г 1 ^

I

Г2

Переходя к неравенствам, суммируя по всем р е Q, и используя

1

полученную в первой главе оценку снизу вида X £ ^ * '

pen, п<х„ и

1 '

Z -7 п

приходим к N {Г н <£ ^

Дальнейшие рассуждения второй главы посвящены получению надлежащей верхней оценки правой части последнего неравенства

1-ег

Обозначая её через Л, имеем /V, <к /(7"А . Переходя к неравенству, / \ —

получим Т * А (г), где А(г) некоторая сумма

вида

реП,

Si

причем 2 и ^ некоторые целые числа с условием г, <2г и Оценивая сверху величину А(г) в зависимости от значения параметра г, приходим к неравенству

7Карацуба А А. Основы аналитической теории чисел М Наука 1983 -240 С 72

9

A(z)<Al(2)=^

реП,

n=z+l '

где z0-k некоторое фиксированное целое из промежутка (2>zi]

Далее при рассмотрении случая z > Т0'5 получено неравенство

РеП,

с7+1?

ZOtSZq '

Двойная сумма в правой части последнего неравенства представляет

собой среднее квадратичное значение модуля некоторого полинома

1

Дирихле Далее к сумме ¿^ - а+,г применяется доказанная в лемме 2 1 диссертации формула обращения вида

к=х„ '

, i П

-<п<.-

2этг 2!ГХд

Здесь „

|^r(s)|«:r05"<T, s = cr + it, причем Res = ere (0,1), t £10 и

1<х0 <х< — 0 2 л

В результате в случае, когда z Т0 5, выводится оценка

Nt « Т h К L .

При достаточно большом h эта оценка значительно лучше той, которая сформулирована в условии доказываемой теоремы. Поэтому в

дальнейшем рассматривается случай, когда z < T°'s.

После этого промежуток изменения параметра — разбивается

luz

на отдельные участки. С этой целью определяется целое число L , m е [2, й]. Применение неравенства Гёльдера, дает оценку

ln z

A{z)m<NrY

Í —

' ' ЙГ+7

=лг'1

у №

где b(n) удовлетворяет условию 0<b(n)<rm(n) Положим далее

V — z и r0-z0. Дальнейшие рассуждения второй главы приводят

In г „ (2

Л

нас к случаю т = 2, когда отношение логарифмов е ~ Г Затем с помощью стандартных оценок промежуток Е0 уменьшается

до промежутка

, где = ф0 = 0,90095189091...

Далее рассматривается случай, когда отношение ф = лежит в

промежутке Е^. Разобьем множество Л, на не более чем К — Тв подмножеств, в каждое из которых входят те точки р из А,, разность ординат которых не превышает величины порядка Т0 = Т1~в = ТК~* В дальнейшем значение К выбирается равным -рЛ(<т){\-<т) 2а-2

Выделим из этих множеств одно, в котором содержится максимальное количество этих точек Само это множество будем обозначать через С2 0, а количество точек в нем обозначим через Л^ Проведенные преобразования с помощью неравенства Халоша-Монтгомери8 приводят нас к оценке

N20«cN0r2~2™ X

Г>Гх

X*

t=r+1

-Ыг-л)

(3)

Обозначим через ) величину вида

где B{r)=±k^

Иг-Г,)

/еЦ, r>ri

Сумму D(r,) разобьем по нулям е О0 на две части £>, и D2 Для этого все нули pef20 разобьем на 2 множества 0)х и (Ог, относя к G>x те из них, для которых выполняется неравенство

у — у J

0 < ——L s —, а все остальные отнесем к &>2 • Тогда

2 кг

Л,« Е

ре®,

-+ Г

Г ~Гх

8 The Riemann zeta-fimction The theory of the Riemann zeta-fiinction with applications Aleksandar Ivic, University of Belgrade, Yugoslavia, 1985 C 494

Оценка вклада суммы ^ А в общую оценку величины I ЧГх)

лишь на логарифмический множитель отличается от оценки «диагонального» члена, отвечающего значению У= У\ и имеющего

порядок . Далее рассматривается величина £>2. Для ее оценки множество а> 2 разобьем на два подмножества о 21 и ®22, включая в & 21 те Р, для которых выполняется неравенство <г1+г. Тривиальная оценка величины йг для V/? 6 со2 вносит в правую часть неравенства (3) вклад меньшего порядка чем Л^2, поэтому им можно пренебречь.

Далее множество &22 разобьем на подмножества

/г,,. в количестве .Ц <£. Ь, отнесением к Мт тех значений Р, для которых выполняется неравенство

1+г „ „ „ „ „, , „ ~ т ~ _

г' ~ <У~У\ -хт+1 «Т0,где = 2 После этого оцениваемая величина равенством

%т, определяется

Аът =г2

X \НУ)I

К сумме в (у) применим формулу обращения, в результате чего получим

Азт=г2

-2<Т+£

S

Р

1

In/j 2*r *

+K

Остаток /? „ в этом равенстве допускает следующую оценку

К « {г1~2а+е « Ы0г2-2ет~е.

Но так как количество различных значений т, равное Ь, то порядок суммарного вклада всех остатков /? „ в правой части

неравенства (3) не превосходит величины Ы0гг'г"'е и в дальнейшем его можно не учитывать

Обозначим через D3m величину вида D3m = £

реП, />cfim

2тг. 2х, "

Тогда, с учетом сделанных выше замечаний, приходим к оценке вида

где значение т выбрано так, чтобы порядок величины Dim при данном т = от,, достигал своего наибольшего значения Далее, устраняя зависимость промежутка суммирования во внутренней сумме от

значений у-у, приходим к оценке N0 <ке и-2"" £ |S(/)|, где S(y)— л a(/t)

сумма вида

,0,5+Цг-Л)' У'КТ0Г к=у+1 К

Возводя обе части последнего неравенства в степень п>2, применяя процедуру сглаживания в форме А Ивича9, получим

1

к=У *

(4)

г^м.

В правой части неравенства (4) выделим члены, отвечающие значениям У, удовлетворяющих неравенству |/-/,|<20у Для вклада К, этих членов в сумму (4) по индексу к получим оценку Ух « у"г^-Аа)+е

Для значений у с условием 20У к сумме по к

применяется формула обращения (лемма 2.1 диссертации) В результате мы приходим к неравенству вида NQ■^.V^+V1, где

= гп{3-4"УГ0е = гп{3-4а)г-"Т0п+е « >"2~2<т,

У2 « Т^Еу-"гп{3-Аа)Ый =Г0-и+1+£гп^0Гя(3-4<т).

Дальнейшее доказательство сводится к оптимальному выбору

значения степени я в зависимости от величины отношения и

Ь

от значения параметра х„яу-у, При этом случаи п = 7 и и = 8 требуют отдельного рассмотрения, а случаи разбираются

единообразно В конечном итоге мы приходим к оценкам, дающим полное доказательство теоремы 2 1.

В заключении отметим, что изложенный выше метод доказательства теоремы о плотности нулей дзета-функции Римана в

9 The Riemann zeta-function The theory of the Riemann zeta-function with applications Aleksandar

I vie. University of Belgrade, Yugoslavia, 1985 C 282

полосе от -_I.<CT<i¿, развиваемый нами в данной главе, на самом деле позволяет еще немного уточнить оценки величины N(a,T) Для этого лишь требуется рассматривать функцию Л(сг) как переменную величину с условием при Кроме того, таким же

образом можно получить новые степенные понижения нулей N(a,T)

(Ъ 771 и при всех ere —

v U íoij

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физико-математических наук профессору Архипову Геннадию Ивановичу за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Работы автора по теме диссертации

1 Авдеев, И.Ф. Об оценках снизу функции Чебышева в методе Гельфонда-Шнирельмана [Текст]/ И Ф.Авдеев// Чебышевский сборник. — 2006. — Том 7, вып 2. — С. 144-154.

2 Авдеев, И Ф О плотностной теореме Ингама для нулей дзета-функции Римана [Текст]/ И Ф Авдеев// Чебышевский сборник. — 2006. — Том 7, вып. 4(20) — С 3-17.

3. Авдеев, И.Ф О плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе [Текст]/ И Ф.Авдеев// Вестник Московского университета. — Серия 1, Математика Механика. — 2007.—№6 —С. 3-5.

4. Авдеев, И.Ф. Леонард Эйлер — основоположник теории чисел [Текст]/И Ф.Авдеев, Т.К Авдеева// Леонард Эйлер и современная наука Материалы Междунар. науч. конф. 14-17 мая 2007 г Санкт-Петербург. — Санкт-Петербург: 2007. — С. 84-90.

И Ф. Авдееву принадлежит описание развития идей для Л. Эйлера в работах других математиков (70% работы). 5 Авдеев, И.Ф. Об оценках количества нетривиальных нулей дзета-функции Римана [Текст] — Орел- Изд-во Орловского государственного университета — 2007. — 57 с. — ISBN 978-5-9929-0001-9.

Подписано в печать 4 10 07г Формат 60x80 1/16 Печатается на ризографе Бумага офисная Гарнитура Times Объем 0,88 уел п л Тираж 100 экз Заказ N5 250

Отпечатано с готового оригинал-макета на полиграфической базе редакционно-иадательского отдела ГОУ ВПО «орловский государственный университет», 302026 г Орел, ул Комсомольская, 95 Тел /факс (4862) 777 318

Введение.

Глава 1 Новое доказательство теоремы Ингама.

§1 Вспомогательные утверждения.

§2 Нижняя оценка среднего значения короткого отрезка ряда Дирихле.

§3 Основная верхняя оценка среднего значения модуля дзетовой суммы.

§4 Завершение доказательства теоремы Ингама.

Глава 2 Плотностные оценки количества нулей дзета-функции Римана в критической полосе правее прямой о - 0,75.

§1 Сведение доказательства утверждения теоремы к оценке среднего значения полинома Дирихле.

§2 Вспомогательные утверждения.

§3 Оценка среднего значения полинома Дирихле для «больших» значений длины промежутка суммирования.

§4 Выделение основного промежутка изменения длины полинома Дирихле.

§5 Применение неравенства Халаша-Монтгомери.

§6 Применение формулы обращение для дзетовой суммы.

§7 Сглаживание полинома Дирихле.

§8 Завершение доказательства основной теоремы.

Настоящая диссертация посвящена оценкам количества нулей дзета-функции Римана £(s) в критической полосе комплексной плоскости, лежащих 1 правее критическои прямой Re s = о =—.

С тех пор, как в 1859 году Б. Риман в своем знаменитом мемуаре1 «О числе простых чисел, не превышающих данной величины » связал задачу исследования распределения простых чисел в натуральном ряде с проблемой расположения нулей дзета-функции Римана в критической полосе, изучение свойств дзета-функции Римана превратилось в центральное направление аналитической теории чисел.

Исследования по теории дзета-функции Римана ведутся с большой интенсивностью вот уже на протяжении полутора столетий, и отдельные разделы теории стали самостоятельными научными направлениями современной аналитической теории чисел.

Важную роль среди этих направлений играют теоремы о плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе. В течение последних десятилетий этой теме посвящено большое количество научных статей. Она неоднократно затрагивалась в научных монографиях и специальных учебниках, посвященных различным вопросам аналитической теории чисел.

Плотностные теоремы - общее название теорем, которые дают оценку сверху для числа N{a,T,%) нулей p = p+iy Z-функций Дирихле, где s = a+it, х{п,к)~ характер Дирихле по модулю к, в прямоугольнике -j<cr</?< 1, <Т. В случае к=1 получается плотностная теорема для числа нулей N(a,T) дзетафункции Римана ((s) = ^n~s.

И=1

1 В. Riemann Ueber die Anzahl der primzahlen unter einer gegebenen Grope // Monatsberichte der Berliner Akademie, 1859.

Первые существенные результаты в доказательстве плотностных теорем об оценке нулей дзета-функции Римана получены в начале XX века в работах Г. Бора и Э.Ландау [10], Ф.Карлсона [11]. В дальнейшем оценкой величины N(cx,T) занимались Дж. Литтлвуд [12] , А.Э. Ингам [1], [2], Е.К. Титчмарш [3],

А. Сельберг [13], Ю.В. Линник, Э. Бомбьери [14] и другие математики.

В 1930 году Г. Гогейзель [9] установил связь плотностных теорем с проблемой оценки расстояния между соседними простыми числами, что еще больше повысило их значимость. В последние десятилетия вопросам, связанным с оценкой N(a,T), были посвящены работы М.Н. Хаксли [17],

Г. Монтгомери [8], А. Ивича [4], М. Ютилы [19], Д.Р. Хиз-Брауна [20], А.А. Карацубы [6], К. Рамачандры [17] и других известных специалистов.

Изложение доказательств теорем об оценках величины n(cj,t) содержится во многих известных монографиях и учебниках по аналитической теории чисел, включая книги Е.К. Титчмарша [3], К. Прахара [15], Э. Дэвенпорта [7], Г. Монтгомери [8], А.А. Карацубы [6], А.А. Карацубы и С.М. Воронина [5], А. Ивича [4] и др.

Современная постановка проблемы оценки плотности нулей дзета-функции Римана правее критической прямой, то есть оценка величины N(a,T), обычно формулируется как задача нахождения новых значений показателя А (сг), для которого выполняется оценка

N{a,T)«ETA^-a)+E, V*>0. (1)

В 1937 году А.Э. Ингам получил оценку (1) с значением 3

Л(сг)= А1 ((т) = --. Несколько позднее эту оценку он уточнил, заменив в ней величину Т£ на множитель Zf, где L = \nT и с> 0 некоторая постоянная. Но новых степенных понижений в оценке (1), справедливой при всех сг>0,5, не было получено до настоящего времени. Наилучшее значение параметра с = 5 указано в монографии А. Ивича.

Утверждение о том, что оценка (1) справедлива при всех сг >0,5 с значением А(сг) = 2 называют плотностной гипотезой. Из неё следует, что для количества x(x+/i)-x(x) простых чисел на промежутке (x,x+h) при h х°'5+е h справедлива асимптотическая формула я(х+к)-ж{х)--, Если же

In X использовать значение А{р)-а>2, то указанная асимптотика будет выполняться лишь при п X .

В 1972 году М.Н.Хаксли получил плотностное неравенство (1) с 3 значением А(<т) = А2(а) = ---, <т>0,5. Вместе с результатом Ингама для величины А(а) это дало значение А(а)= 2,4 = А, (0,75) = А2 (0,75). Тем самым асимптотическая формула для разности ж(х+/г)-я(х) была доказана для 7 значений h»£xn .

Заметим, что нахождение новых значений # = sup А (сг) прежде всего аг 0,5 связано с получением новых оценок сверху для величины А(а) в окрестности <т = 0,75. Но до настоящего времени это удалось сделать только в правой полуокрестности этой точки, то есть для значений а > 0,75.

Последний результат в этом направлении был получен А. Ивичем. Он может быть сформулирован в следующем виде

AJcr) = —-— при <те 3V J 7(7-4 F

3 13 4' 17

При больших значениях а в настоящее время получены ещё более точные оценки величины N(a,T), но нами этот промежуток не рассматривается. В

77 13' 101*17 диссертации доказывается, что на промежутке Д =

N{a,T)«eTA{a){x-aY£, Vf >0 оценка выполняется для значений A(<j)=~. Поскольку при сгеД выполняется 51 3 неравенство —4' то данный результат является улучшением соответствующей оценки А. Ивича Vae А.

Следует отметить, что ряд работ известных математиков — Г. Монтгомери [8], М.Н. Хаксли [16], К. Рамачандры [17], Ф. Форти и С. Виолы [18], М. Ютилы [19], Д.Р. Хиз-Брауна [20] — был посвящен вопросу расширения границ при А0=((Г,,1], с<0,75, для которых выполняется оценка

А (сг) <2. Наилучший результат ах =j-j-, получен М. Ютилой [19].

Что же касается значений а, лежащих в левой окрестности точки сг0 = 0,75, то здесь наилучшей оценкой остается теорема Ингама в том смысле, что к настоящему времени удалось лишь уменьшить значение показателя степени в логарифмическом множителе L° в этой оценке, доведя его, как уже было отмечено, до значения с = 5.

Следует сказать, что за время, прошедшее после первого опубликования результата А.Э. Ингама, предложено много других схем доказательства, которые очень различаются.

В диссертации предложена новая модификация доказательства теоремы А.Э. Ингама. Её существенным моментом является вывод нижней оценки суммы модуля очень короткого начального отрезка ряда Дирихле, распространенной на все нули p = f3+iy дзета-функции Римана £{s), лежащих в прямоугольнике /3><т, |/j<7\ При этом нами в прямом виде не используется идея Г. Бора в модификации Ф. Карлсона, состоящая в рассмотрении произведения Mx(s)£(s), где Mx{s)^ju(n)n~s представляет собой «короткую» п< X частичную сумму формального ряда Дирихле для функции £(s)~l.

Первая глава диссертации посвящена изложению нового доказательства теоремы Ингама. Эта теорема доказывается в следующей формулировке.

Теорема 1.1. Пусть N{cr,t) обозначает число нулей дзета-функции Римана, лежащих в области Res>a>^, |lmsj<7\ Тогда при любом е>0 и 3

А (а)--справедлива оценка

2-е

N(a,t)«ea тА^-а)*е.

Доказательство теоремы опирается на новую оценку снизу среднего значения модуля «короткой» частичной суммы ряда Дирихле функции £(s).

Оно начинается со стандартного сведения оценки величины N(a,T) к оценке величины TV,, равной количеству нулей р функции £(s) в прямоугольнике Р вида Res ><7, Imse rT ■ с условием, что ординаты разных нулей отличаются между собой по крайней мере на единицу.

Затем значение ((s) = 0 в точке s = p записывается через приближенное функциональное уравнение Харди-Литтлвуда для функции g(s) в критической полосе ap)=0=i±+z(p) I +R[P). (2)

2 лу ia

Здесь \R{p)\«y'cr + T2yl-a«T2yl-\ z(p)«T2^ Значение параметра у з ч\

2^0,55 ^4(2-а) определим равенством У ~ mln ч /

Положим = = X ~Т7- В этих и<и ft ту/ м обозначениях равенство (2) записывается в виде

Q = Il+£2+R(p),

Положим « = 0,1 и разобьём суммирование в сумме £ , на две части. Получим

X,=Z»+X»= 1»-'+ I »-'. n<Ta Ta<n<y

В результате приходим к неравенству вида G<Fl+F1+Fi, где G^XlXn^)' р z |х u о» )Н= ад.^=хм • р р р

Следующие леммы первой главы устанавливают оценки G, Fl,F2,F3,

Лемма 1.4. Оценка величины G. Обозначим через h >100 произвольное натуральное число. Тогда для величины G справедлива оценка снизу вида

-ifg

G?>hNxT h . Лемма 1.5. Оценка величины Fx

Существует натуральное число т с условием 2<т<\\, для которого ьJL 1+1 з выполняется неравенство Fx<£ Nx 2тТ 2m L m, где A(cr) =-и £ = ЬГ.

2-е

Лемма 1.6. Оценка величины F2.

Имеет место следующее неравенство F2 «с NxT2~2<7l}2.

Лемма 1.7. Оценка величины Справедливо неравенство

F3 N{T .

Для завершения доказательства далее рассматриваются две возможности: fx > f2 и fx < f2. В первом случае приходим к оценке вида

N(a,T)«e TAW]~a)+\

Отсюда вытекает справедливость утверждения теоремы в первом случае, когда

В случае fx < f2 имеем

N{a,T)«e Т2{]-а)+£« тА{а){1-°)+£.

Это значит, что требуемая оценка справедлива и во втором случае; тем самым доказательство теоремы завершается.

Вторая глава посвящена выводу новой оценки функции N(a,T) для значений параметра <т, лежащего на промежутке Д =

И11

101'17

Основной целью является вывод неравенства вида N((7,T)<s:eTA^ где = - = 2,2173913., <теД и £ >0 сколь угодно мало.

Как было отмечено выше, наилучшей из известных к настоящему времени оценок подобного рода для данного промежутка является оценка А. Ивича, приводимая, в частности, в его монографии «The Riemann zeta-function» [4]. Она имеет тот же вид, что и приведенная выше оценка, но со

3 13 значением А (а) < А1 (<т) = --- при сге — v/ v У 7<J-4 ^ (4 17.

Сравнивая приведенную выше оценку А. Ивича с нашей оценкой, получаем, что разность л \ л( \ 51 51 21(13-17сг) . d(а) = А, (сг)--=---= —-^->0 к ' к ' 23 7с-4 23 23(7<т-4) при всех

13 ^

1=0.

17

Это означает, что результат, полученный в диссертации, является улучшением оценки А. Ивича при всех значениях а из интервала Д = Основная теорема второй главы сформулирована следующим образом. f 77 13N

101'17

Теорема 2.1. Обозначим через N{p,T) количество нулей дзета-функции

Римана C(s) в прямоугольнике Р вида Res^cr, 0<|1ш5,|<Г.

77

Тогда при а><у2 =— = 0,76237623762. выполняется оценка вида

101

N((7,T)«£T а(ст)(\-о)+е

51 где Л(<г) = —= 2,2173913. и е>0 сколь угодно мало.

Заметим, что при доказательстве теоремы 2.1. в лемме 2.1. получен новый результат, касающийся оценки остатка в формуле обращения для отрезка ряда Дирихле. Приведем формулировку этой леммы.

Лемма 2.1. Пусть s = <7+it, причем Res = <re (0,1). Тогда, при />10 и

1 < х0 < х < справедливо равенство

22 xn<k<x t t п

-<n<

2кх 2кхп

Здесь z(s) = T fl-s^ Г v2y

Г0'5 =

2яТ"-°'5 'И v ' /

1 + 0 И)

0,5-а u\x{s)\«f

С помощью данной леммы отрезок формального ряда Дирихле функции ^(s) в критической полосе выражается с некоторой погрешностью через другой отрезок того же ряда, но с заменой значения аргумента s на значение 1-5 с коэффициентом /(s).

Обычно эта лемма используется при выводе приближенного функционального уравнения для функции £(s) в критической полосе, то есть в полосе вида 0 < Re 5 < 1.

Наше доказательство, наоборот, опирается на приближенное функциональное уравнение. Это позволяет получить остаточный член, который уже не допускает понижения своего порядка.

Диссертация состоит из введения, двух глав, библиографии (25 наименований). Общий объем диссертации составляет 82 с.

1. 1.gham, А.Е. On the difference between consecutive primes Текст./ A.E. Ingham// Quart. J. Math., 8 (1937), P. 255-266.

2. Ingham, A.E. On the estimation of N(cr,T) Текст./ A.E. Ingham// Quart.J. Math., 11 (1940), P. 291-292.

3. Титчмарш, E.K. Теория дзета-функций Римана Текст./ Е.К.Титчмарш — М.: Издательство иностранной литературы. 1953.

4. Ivic, A. The Riemann zeta-fimction. The theory of the Riemann zeta-function with applications Текст./ Aleksandar Ivic. University of Belgrade. — Yugoslavia, 1985.

5. Воронин, C.M. Дзета-функция Римана Текст./ С.М.Воронин, А.А.Карацуба — М.: Физ-мат. лит., 1994. — 376 с.

6. Карацуба, А.А. Основы аналитической теории чисел Текст./ А.А. Карацуба — М.: Наука, 1983. — 240 с.

7. Дэвенпорт, Г. Мультипликативная теория чисел Текст./Г. Дэвенпорт -М.: Наука. 1971.-200 с.

8. Монтгомери, Г. Мультипликативная теория чисел Текст./ Г. Монтгомери — М.: МИР, 1974.-160 с.

9. Hoheisel, G. Primzahl probleme in der Analysis Текст./ G. Hoheisel// Sitzungsber. Preuss. Acad. Wiss. 1930. -P.580-588.

10. Bor, H. Sur les zeros de la function f(s) de Riemann Текст./ H. Bor,E. Landau//C.R. Acad. Sci., 158,106-110,1914.

11. Carlson, F. Uber die Nullstellen der Dirichletschen Reihen und der Riemannschen f -Funktion Текст./ F. Carlson — Arkiv for Mat. Astr. och Fysik, 15 (№20) 1920.

12. Littlewood, J.E. On the zeros of the Riemann zeta-fiinction Текст./ J.E. Littlewood// Proc. Cambr. Phil. Soc., 22,295-318,1924.

13. Selberg, A. Contributions to the theory of the Riemann zeta-function Текст./A. Selberg//Arch, for Math, og Naturv. B, 48 (№5), 1946.

14. Bombieri, E., Density theorems for the zeta function Текст./ E. Bombieri// Proceedings of the Stony Brook Number Theory Conference, 1969, American Mathematical Society, Providence, to appear.

15. Прахар, К. Распределение простых чисел Текст./ К. Прахар — М.: МИР, 1967.

16. Huxley, M.N. Large values of Dirichlet polynomials Текст./ M.N. Huxley// Acta. Arith. 26,435-444,1975

17. Ramachandra, К Some new density estimates for the zeros of the Riemann zeta-function Текст./ К. Ramachandra// Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 1, 177-182,1975.

18. Forti, F.Density estimates for the zeros of L-functions Текст./ F. Forti, C. Viola//Acta Arith. 23, 379-391, 1973.

19. Jutila M. Zero-density estimates for L-functions Текст./ M. Jutila// Acta. Arith. 32, 52-62, 1977.

20. Heath-Brown, D.R. Zero-density estimates for the Riemann zeta-function and Dirichlet L-functions Текст./ D.R. Heath-Brown // J. London Math. Soc. 19(2), 221-232, 1979.

21. Авдеев, И.Ф. Об оценках снизу функции Чебышева в методе Гельфонда-Шнирельмана Текст./ И.Ф.Авдеев// Чебышевский сборник. — 2006. — Том 7, вып. 2. — С. 144-154.

22. Авдеев, И.Ф. О плотностной теореме Ингама для нулей дзета-функции Римана Текст./ И.Ф. Авдеев// Чебышевский сборник. —2006. — Том 7, вып. 4(20). — С.3-17.

23. Авдеев, И.Ф. О плотности распределения нулей дзета-функции Римана в критической полосе Текст./ И.Ф, Авдеев// Вестник Московского университета. — Серия 1, Математика. Механика. —2007. —№6. —С.3-5.

24. Авдеев, И.Ф. Об оценках количества нетривиальных нулей дзета-функции Римана Текст. — Орел: Издательство Орловского государственного университета, 2007. — 57 с.