Арифметические задачи с числами, все простые делители которых принадлежат специальным множествам тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Российская Академия Наук Математический институт имени В.А.Стеклова

На правах рукописи УДК 511

Чанга Марис Евгеньевич

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ С ЧИСЛАМИ, ВСЕ ПРОСТЫЕ ДЕЛИТЕЛИ КОТОРЫХ ПРИНАДЛЕЖАТ СПЕЦИАЛЬНЫМ МНОЖЕСТВАМ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2004

Работа выполнена в Математическом институте имени В.А.Стеклова РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор А.А.Карацуба.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук С.А.Гриценко, кандидат физико-математических наук А.В.Устинов.

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет.

Защита диссертации состоится "2Л"И МЛ.-Я 2004 г. в ^ час. на

заседании диссертационного совета Д002.022.03 при Математическом институте имени В.А.Стеклова РАН по адресу: 117966, Москва, ул. Губкина, 8 Математический институт РАН

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института имени В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан 2004 г.

Учёный секретарь диссертационного совет,

Д002.022.03 при МИ РАН, д.ф.-м.н.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Некоторые теоретико-числовые задачи сводятся к изучению натуральных чисел с определёнными ограничениями на простые делители. Например, представимость натурального числа суммой двух квадратов целых чисел эквивалентна тому, что любой нечётный простой делитель этого числа, входящий в его каноническое разложение в нечётной степени, имеет вид Ап + 1. Основываясь на этом факте, Э.Ландау [1] получил асимптотическую формулу для количества натуральных чисел, не превосходящих х и представимых суммой двух квадратов. Достаточно общим ограничением, налагаемым на простые делители, является требование их принадлежности некоторому специальному множеству. В качестве такого множества можно взять, например, арифметическую прогрессию по некоторому модулю или множество натуральных чисел, не превосходящих некоторой границы у. В любом случае, прежде чем переходить к изучению натуральных чисел, все простые делители которых принадлежат специальному множеству, необходимо исследовать распределение простых чисел в этом множестве.

Один из первых вариантов выбора специального множества был предложен в работах И.М.Виноградова. В 1940 году Виноградов [2] получил своим методом нетривиальную оценку со степенным понижением тригонометрической суммы но простым числам Это позволило ему найти асимптотическую формулу для количества простых чисел р, не превосходящих х, с условием {/ра} < а. Виноградов дал также другое истолкование этой величины — как количества простых, не превосходящих х и попадающих в промежутки вида [(тг//)1^0, ("// + 0'//)1''а) с натуральным п. В том случае, когда параметры а, а и / равны 1/2, эта задача отвечает простым в промежутках [(2п)2, (2п + I)2), и разобрана отдельно в [3, с.84]. В 1945 году Ю.В.Лишшк [4] предложил другой подход к подобным задачам, основанный на явной формуле для функции Чебышёва и илотностных теоремах теории дзета-функции Римана, который также давал степенное понижение.

Дальнейшие исследования в этой области велись в двух основных направлениях. Первое из них состоит в рассмотрении задачи Виноградова с параметром сг, стремящимся к нулю. Интерес к этому случаю обусловлен тем, что справедливость известной гипотезы о бесконечности множества простых чисел вида п2 + 1 эквивалентна бесконечности ьии: щи ш й дгеравен-

библиот£ИАЯ' 1 I С'-ЛетДОург.

ства < р-1/2. Из результатов самого Виноградова [3, с.86] следует бесконечность множества решений неравенства {у^} < р~а+е са — 1/10. Используя подход Линника, Р.М.Кауфман [5] увеличила значение параметра а до >/15/(16 -4- 2\/15) = 0.1631... Кроме того, Кауфман показала, что в предположении гипотезы Римана можно взять а = 1/4. Бесконечность множества решений неравенства {у/р} < р_1/4+£ была доказана безусловно А.Балогом [6], который также опирался на теорию дзета-функции Римана.

Другое направление разрабатывалось в работах С.А.Гриценко. Пользуясь подходом Линника, Гриценко в 1986 году [7] получил асимптотическую формулу для количества простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках при , с лучшей оценкой оста-

точного члена, чем у Виноградова. Кроме того, Гриценко удалось выделить главный член асимптотики и в том случае, когда а определённым образом стремилось к единице с возрастанием Позднее Гриценко [8] рассмотрел также аддитивные задачи типа тернарной проблемы Гольдбаха с простыми числами из указанных промежутков.

Задача Виноградова может рассматриваться и при значениях параметра а, больших единицы. Этому случаю отвечают очень короткие промежутки, в которые должны попадать простые числа. В каждый из этих промежутков по отдельности может не попадать даже ни одного целого числа, но в совокупности они, по-видимому, распределены достаточно равномерно и можно исследовать распределение простых чисел в этих промежутках. Подход Лин-ника здесь заведомо неприменим, так как длины промежутков оказываются меньше остаточного члена в явной формуле для функции Чебышёва. Заметим, что значение параметра а должно быть нецелым, иначе будет целым числом, а изучение его дробных долей — бессмысленным.

Дробные доли ра при нецелых а, больших единицы, изучались самим Виноградовым в 1959 году [9]. При условии, что ||а|| ^ 3_а, он получил для тригонометрической суммы по простым числам е2жир° оценку х1-7^2 с константой 7 = 5/17 • Ю-7. Равномерное распределение дробных долей р" при любом нецелом а, большем единицы, было доказано Д.Лейтманом [10]. В 1985 году Р.Бейкер и Г.Колесник [11] рассмотрели точную верхнюю грань по всем а € [0,1] модуля разности между количеством простых чисел р, не превосходящих х, с условием {р0} <<т,и его асимптотическим значением сг7г(х),

которую они обозначили через D{x). Бейкер и Колесник получили для величины D{x) оценку < х1^'"* сконстантой 7 = 2/3 • Ю-4, улучшив тем самым результат Виноградова. Для небольших значений параметра о оценки D(x) неоднократно улучшались. Одна из последних работ на эту тему [12] посвящена оценке величины D(x) ири а £ [5/3,2) U (2,3). Однако, получаемые в упомянутых работах оценки не были равномерными по параметру т.е. его значение не могло приближаться к целому числу.

Задачи с натуральными числами, все простые делители которых принадлежат некоторому специальному множеству, также давно привлекают внимание специалистов. Одна из первых таких задач связана с натуральными числами, все простые делители которых принадлежат заданным арифметическим прогрессиям. Асимптотическая формула для количества таких чисел, не превосходящих х, была получена в начале прошлого века Э.Ландау [13] с помощью метода комплексного интегрирования. Соответствующий производящий ряд Дирихле имеет при точку ветвления, что позволяет получить для исследуемой величины представление в виде асимптотического ряда по степеням

Впоследствии было доказано много общих теорем, которые позволяют но поведению простых делителей делать заключения о свойствах состоящих из них натуральных чисел. Обзор такого рода результатов имеется в монографии А.Г.Постникова [14]. Остановимся подробнее на нескольких подобных теоремах. Теорема Б.М.Бредихина [15] даёт возможность, зная главный член асимптотического выражения для количества простых чисел, не превосходящих х и принадлежащих некоторому множеству Р, получить главный член асимптотического выражения для количества натуральных чисел, не превосходящих х, все простые делители которых принадлежат множеству Р. В аналогичных задачах с мультипликативными функциями полезна теорема Э.Вирзинга [16], позволяющая получать асимптотические выражения для сумм ^п<х/(п) по известным асимптотикам для сумм Hp<jx/(p)- Наиболее общий результат в этом направлении был получен в 1967 году Б.В.Левиным и А.С.Файнлейбом [17]. По заданной мультипликативной функции /(п) они определяют аналог функции Чебышёва ф(х). Если известно поведение /(п) на степенях простых чисел, а точнее если для аналога функции Чебышёва справедлив аналог асимптотического закона с остатком то для

суммы ^п^хД") имеет место представление в виде асимптотического ряда по степеням \j\ogx. Более того, последняя сумма приближается суммой первых членов асимптотического ряда с точностью до

хе-'1о8^°/<а+1> Все упомянутые теоремы доказываются "элементарно", т.е. без помощи методов комплексного анализа. Такое доказательство, будучи искусственным, приводит к потере точности в оценках.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является:

1. Исследование свойств натуральных чисел, все простые делители которых лежат в промежутках вида с целым неотрицательным а точнее, изучение сумм классических мультипликативных функций по таким числам;

2. Изучение свойств простых чисел, принадлежащих упомянутому множеству (в дальнейшем — специальные простые числа), включающее выяснение их распределения в арифметических прогрессиях и рассмотрение аддитивных и других арифметических задач с такими простыми числами.

Методы исследования. В диссертации используются классические методы аналитической теории чисел, такие как метод Виноградова и метод комплексного интегрирования.

Научная новизна. В диссертации впервые получены следующие результаты:

1. Доказана асимптотическая формула для тригонометрической суммы достаточно общего вида по специальным простым числам с равномерной по всем параметрам оценкой остатка.

2. На основе предыдущего результата получен ряд следствий, касающихся распределения специальных простых чисел в натуральном ряде и арифметических прогрессиях, и решён ряд аддитивных задач с такими простыми числами.

3. Доказана асимптотическая формула для количества простых чисел, не превосходящих и дающих бесквадратные суммы с заданными числами ¿1,...,^. Получена аналогичная формула в случае специальных простых чисел.

4. Доказаны асимптотические формулы для сумм мультипликативных функций но числам, имеющим только специальные простые делители. Обнаружен эффект упрощения главного члена этих асимптотик при определённых

соотношениях между параметрами задачи.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть полезны специалистам в области аналитической теории чисел.

Апробация работы. Полученные результаты неоднократно докладывались на семинаре механико-математического факультета МГУ "Аналитическая теория чисел и приложения" под руководством профессора А.А.Карацубы.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырёх статьях, список которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Работа содержит 5 теорем, 8 следствий и 31 лемму. Список литературы содержит 34 наименования. Объём диссертации 73 страницы.

Содержание диссертации

Во введении приводится краткий обзор известных результатов и результатов автора но теме диссертации. Введению предшествует список обозначений, используемых в тексте работы.

В первой главе формулируются, а в некоторых случаях и доказываются, леммы, известные в литературе или незначительно отличающиеся от таковых (леммы 1-27).

Пусть параметр а — нецелое число, большее единицы, D — натуральное число, I — натуральное число, не превосходящее D. Числа a, D и l определяют множество , состоящее из промежутков вида с неотрицательным целым . Во второй главе доказана следующая

Теорема 1.

£ X(p)e2"f(p) = ^ g Х(р)е2*™ + R(x),

где для R(x) имеет место оценка

R(x) « Hall-^V-^log3*.

Здесь через /(п) мы обозначаем многочлен степени не выше четвёртой с вещественными коэффициентами. Константы имеют следующие значения: 7 = 6- Ю-11 и Ь = 25. Постоянные в знаках Виноградова абсолютные.

Доказательство этой теоремы основано на методе Виноградова. Условие принадлежности простого числа множеству Е\ эквивалентно попаданию {рР/Б} в промежуток [1/Б — 1 /Б,1/0), а характеристическая функция (индикатор) множества действительных чисел с дробной долей, лежащей на этом промежутке, приближается "стаканчиками" Виноградова. Постоянный член разложения этих "стаканчиков" в ряд Фурье дает главный член асимптотики, а оценка остатка сводится к оценке тригонометрических сумм по простым числам с функцией £ра в показателе мнимой экспоненты. Методом сглаживания Виноградова в форме тождества типа малого решета оценка таких тригонометрических сумм но простым числам сводится к оценке аналогичных сумм, но уже по подряд идущим натуральным числам (лемма 29). Последняя оценка проводится аналогично оценке дзетовой суммы, сводясь в конечном итоге к теореме Виноградова о среднем (лемма 28).

Третья глава настоящей диссертации посвящена различным арифметическим задачам со специальными простыми числами. Вначале как простые следствия теоремы 1 получаются асимптотический закон распределения специальных простых чисел (следствие 1) и аналог теоремы Зигеля-Вальфиша для специальных простых чисел (следствие 2). Затем рассматриваются аддитивные задачи со специальными простыми числами: тернарная проблема Гольдбаха (следствие 3), частный случай проблемы Гольдбаха-Варинга (следствие 4), задача Эстермана о сумме двух простых и квадрата (следствие 5).

Далее рассмотрена ещё одна арифметическая задача, которая представляет интерес независимо от специальных простых чисел. Пусть даны различных целых неотрицательных чисел ^и Т(х) обозначает количество простых чисел не превосходящих и таких, что все числа свободны от т-х степеней. В третьей главе доказана следующая

Теорема 2. Пусть (5(п) обозначает количество чисел1у, различных по модулю п и взаимно простых с ним. Тогда при любом А > 1 имеет место

асимптотическая формула

Для неограниченности Т(х) при х, стремящемся к бесконечности, необходимо, чтобы числа к.....к не покрывали приведённой системы вычетов

но модулю рт для любого простого р. Из теоремы 2 следует, что это условие является и достаточным (следствие б).

Можно рассмотреть аналогичную задачу в специальных простых числах. Обозначим через 1/(х) количество простых чисел р, принадлежащих множеству и не превосходящих х, таких, что все числа свободны от m-х степеней. В третьей главе диссертации доказывается также

Теорема 3. Пусть (3(п) обозначает количество чисел различных по модулю п и взаимно простых с ним. Пусть О ^ X10 , X —» 00. Тогда при любом А >1 имеет место формула

В формулировке этой теоремы предполагается, что для R(x) справедлива оценка теоремы 1.

Доказательство теорем 2 и 3 основано на представлении характеристической функции (индикатора) множества натуральных чисел, свободных от т-х степеней, в виде суммы значений функции Мёбиуса на числах, m-я степень которых делит п. Кроме того, доказательства этих теорем используют теорему Зигеля-Вальфиша и её аналог для специальных простых чисел (следствие 2).

Четвёртая глава настоящей диссертации посвящена изучению натуральных чисел, имеющих только специальные простые делители. Здесь мы считаем параметры а и D фиксированными, причём а — нецелое положительное число. Если через <5/(х) обозначить характеристическую функцию (индикатор) множества и положить

то для rj(x) имеет место оценка

П(х) < х1-д

с некоторым положительным Д., зависящим от а. Для случая 0 < а < 1 такая оценка была получена Виноградовым [2], а для нецелых а, больших единицы, она следует из теоремы 1. Это позволяет получить аналитическое продолжение соответствующего производящего ряда Дирихле левее единичной прямой и оценить его модуль при a 1 — c/log[t| (лемма 30). Последующее применение метода комплексного интегрирования дает искомые формулы для сумм мультипликативных функций по числам, имеющим только специальные простые делители.

Пусть Mi — множество натуральных чисел, в каноническое разложение которых входят только простые из Ei. Для любого натурального п однозначно определены D натуральных чисел щ,..., по таких, что п = п\... По, Пусть заданы D целых неотрицательных чисел не все

равные нулю, и а — ai + ... + ац. Рассмотрим функцию

со{п) = rQl(ni).. . TaD(nD)

и обозначим её сумматорную функцию через П(х). В четвёртой главе доказывается следующая

Теорема 4. Пусть

причём H(s) положительна при s > 1, А„ обозначает п-й коэффициент её разложения Тейлора с центром в точке 5=1. Тогда имеет место асимптотическая формула

Кроме того, при любом фиксированном целом неотрицательном N

H(s) = s-^s - 1 )£(в))*ев1С»М+"4вв0вМ

fi(x) = 5>(n) = х£ Ап{]°ёх)% + 0(хе~с^).

0<n<vlogx

Г2(х) = х У" А,

17>

(1°g*)§~""4o(x(logx)S-M.

0<п <ЛГ

В формулировке этой теоремы использовано обозначение

сл.)-. Г лЩ

Далее получены следствия теоремы 4 для случая и(п) = 1 (следствие 7) и ш(п) = т(п) (следствие 8).

Пусть заданы к различных натуральных чисел 11,...,^ таких, что выполнены условия 1 < ^ < Ю. Пусть £=£|,и...иВ(киМ— множество натуральных чисел, все простые делители которых принадлежат множеству Е. В четвёртой главе настоящей диссертации доказана также

Теорема 5. Пусть

причём H(s) положительна при s >1, Ап обозначает п-й коэффициент её разложения Тейлора с центром в точке 8 = 1. Тогда имеет место асимптотическая формула

Крометого, прилюбом фиксированном целом неотрицательном N

Если в асимптотической формуле теоремы 4 а кратно D, то сумма с растущим числом слагаемых в главном члене обращается в конечную сумму. Аналитическая природа этого эффекта, очевидно, заключается в однозначном характере особой точки соответствующей производящей функции. Но с чисто арифметической точки зрения такая взаимосвязь казалось бы независимых параметров D и а выглядит совершенно неожиданной. Подобный эффект возникает и в теореме 5 — при k < D в соответствующей асимптотической формуле имеется главный член в виде суммы с растущим числом слагаемых, а при к = D известна оценка суммы х ц(п) величиной хе~с^°ех.

Список цитированной литературы

1. Landau Е Uber die Einteilung der positiven Zahlen nach vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer addition Zusammensetzung erforderlichen Quadrate // Arch. Math, und Phys. (Ш). 1908. V. 13. N. 4. P. 305-312.

2. Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел // Матем. сб. 1940. Т. 7(49). Вып. 2. С. 365-372.

3. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976.

4. Линник Ю.В. Об одной теореме теории простых чисел // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47. Вып. 1. С. 7-8.

5. Кауфман P.M. О распределении {,/р} // Матем. заметки. 1979. Т. 26. Вып. 4. С. 497-504.

6. Balog A. On the fractional part of p" //Arch. Math. 1983. Y. 40. P. 434-440.

7. Гриценко С.А Об одной задаче И.М.Виноградова // Матем. заметки. 1986. Т. 39. Вып. 5. С. 625-640.

8. Гриценко С.А Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида // УМН. 1988. Т. 43. Выи. 4. С. 203-204.

9. Виноградов И.М. Оценка одной тригонометрической суммы по простым числам // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. С. 157-164.

10. Leitmann D. On the uniform distribution of some sequences // J. London Math. Soc. (2). 1976. Y. 14. N. 3. P. 430-432.

11. Baker R.C., Kolesnik G. On the distribution of pa modulo one // J. Reine Angew. Math. 1985. V. 356. P. 174-193.

12. Cao X., Zhai W. On the distribution of pa modulo one //J. Theor. Nombres Bordeaux. 1999. V. 11. N. 2. P. 407-423.

13. Landau E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. V. 2. Leipzig: Teubner, 1909.

14. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.

15. Бредихин Б.М. Остаточный член в асимптотической формуле для функции vc(x) // Изв. ВУЗов. Математика. 1960. Т. 6(19). С. 40-49.

16. Wirsing E. Das asymptotische Verhalten von Summen uber multiplicative Funktionen, I // Math. Ann. 1961. V. 143. N. 1. P. 75-102.

17. Левин Б.В., Файнлейб А.С. Применение некоторых интегральных уравнений к вопросам теории чисел // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 3(135). С. 119198.

Работы автора по теме диссертации

Чанга М.Е. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами // Матем. заметки. 2003. Т. 73. Вып. 3. С. 423-436.

Чанга М.Е. О количестве простых, дающих бесквадратные суммы с заданными числами // УМН. 2003. Т. 58. Вып. 3. С. 197-198.

Чанга М.Е. Суммирование мультипликативных функций по числам, все простые делители которых лежат в специальных промежутках // ДАН. 2003. Т. 391. Вып. 4. С. 460-461.

Чанга М.Е. О числах, все простые делители которых лежат в специальных промежутках // Изв. РАН. Сер. матсм. 2003. Т. 67. Вып. 4. С. 213-224.

6 4 0 9

Оглавление

Обозначения

Введение

ГЛАВА 1. Вспомогательные утверждения

ГЛАВА 2. Оценки тригонометрических сумм по специальным простым числам

ГЛАВА 3. Арифметические задачи со специальными простыми числами

ГЛАВА 4. Суммирование мультипликативных функций по числам, имеющим только специальные простые делители

Некоторые теоретико-числовые задачи сводятся к изучению натуральных чисел с определёнными ограничениями на простые делители. Например, представимость натурального числа суммой двух квадратов целых чисел эквивалентна тому, что любой нечётный простой делитель этого числа, входящий в его каноническое разложение в нечётной степени, имеет вид 4n + 1. Основываясь на этом факте, Э.Ландау [1] получил асимптотическую формулу для количества натуральных чисел, не превосходящих х и представимых суммой двух квадратов. Достаточно общим ограничением, налагаемым на простые делители, является требование их принадлежности некоторому специальному множеству. В качестве такого множества можно взять, например, арифметическую прогрессию по некоторому модулю или множество натуральных чисел, не превосходящих некоторой границы у. В любом случае, прежде чем переходить к изучению натуральных чисел, все простые делители которых принадлежат специальному множеству, необходимо исследовать распределение простых чисел в этом множестве.

Один из первых вариантов выбора специального множества был предложен в работах И.М.Виноградова. В 1940 году Виноградов [2] получил своим методом нетривиальную оценку со степенным понижением тригонометрической суммы по простым числам е2ш1ра, где 0 < а < 1. Это позволило ему найти асимптотическую формулу для количества простых чисел р, не превосходящих х, с условием {fpa} < о. Виноградов дал также другое истолкование этой величины — как количества простых, не превосходящих х и попадающих в промежутки вида [(гс//)1/", (п//+ сг//)1/®) с натуральным п. В том случае, когда параметры а, а и / равны 1/2, эта задача отвечает простым в промежутках [(2п)2, (2n + I)2), и разобрана отдельно в [3, с.84]. В 1945 году Ю.В.Линник [4] предложил другой подход к подобным задачам, основанный на явной формуле для функции Чебышёва и плотностных теоремах теории дзета-функции Римана, который также давал степенное понижение.

Дальнейшие исследования в этой области велись в двух основных направлениях. Первое из них состоит в рассмотрении задачи Виноградова с параметром сг, стремящимся к нулю. Интерес к этому случаю обусловлен тем, что справедливость известной гипотезы о бесконечности множества простых чисел вида п2 + 1 эквивалентна бесконечности множества решений неравенства {л/р} < р1/2. Из результатов самого Виноградова [3, с.86] следует бесконечность множества решений неравенства {у/р} < р~а+£ с а = 1/10. Используя подход Линника, Р.М.Кауфман [5] увеличила значение параметра а до \/15/(16 4- 2\/Т5) — 0.1631. Кроме того, Кауфман показала, что в предположении гипотезы Римана можно взять а = 1/4! Бесконечность множества решений неравенства {у/р} < р-1/4+е была доказана безусловно А.Балогом [6], который также опирался на теорию дзета-функции Римана.

Другое направление разрабатывалось в работах С.А.Гриценко. Пользуясь подходом Линника, Гриценко в 1986 году [7] получил асимптотическую формулу для количества простых чисел, не превосходящих х и лежащих в промежутках [{2п)11а, (2п + 1)1/,а) при 1/2 ^ а < 1, с лучшей оценкой остаточного члена, чем у Виноградова. Кроме того, Гриценко удалось выделить главный член асимптотики и в том случае, когда а определённым образом стремилось к единице с возрастанием х. Позднее Гриценко [8] рассмотрел также аддитивные задачи типа тернарной проблемы Гольдбаха с простыми числами из указанных промежутков.

Задача Виноградова может рассматриваться и при значениях параметра а, больших единицы. Этому случаю отвечают очень короткие промежутки, в которые должны попадать простые числа. В каждый из этих промежутков по отдельности может не попадать даже ни одного целого числа, но в совокупности они, по-видимому, распределены достаточно равномерно и можно исследовать распределение простых чисел в этих промежутках. Подход Линника здесь заведомо неприменим, так как длины промежутков оказываются меньше остаточного члена в явной формуле для функции Чебышёва. Заметим, что значение параметра а должно быть нецелым, иначе ра будет целым числом, а изучение его дробных долей — бессмысленным.

Дробные доли ра при нецелых а, больших единицы, изучались самим Виноградовым в 1959 году [9]. При условии, что ||а|| ^ 3-°, он получил для тригонометрической суммы по простым числам e2mtpa оценку ж1-7/"2 с константой 7 = 5/17- Ю-7. Равномерное распределение дробных долей ра при любом нецелом а, большем единицы, было доказано Д.Лейтманом [10]. В 1985 году Р.Бейкер и Г.Колесник [11] рассмотрели точную верхнюю грань по всем сг £ [0,1] модуля разности между количеством простых чисел р, не превосходящих х, с условием < сг, и его асимптотическим значением а7г(х), которую они обозначили через D(x). Бейкер и Колесник получили для величины D(x) оценку «С ж1-7/"2 с константой 7 = 2/3- 10"4, улучшив тем самым результат Виноградова. Для небольших значений параметра а оценки D(x) неоднократно улучшались. Одна из последних работ на эту тему [12] посвящена оценке величины D(x) при a G [5/3,2) U (2,3).

Получаемые в упомянутых работах оценки не были равномерными по параметру а, т.е. его значение не могло приближаться к целому числу. Равномерные по параметру а оценки были получены автором в [13], их доказательство составляет содержание второй главы настоящей диссертации. В первой же главе формулируются, а в некоторых случаях и доказываются, вспомогательные утверждения, известные в литературе или незначительно отличающиеся от таковых.

Мы рассматриваем задачу Виноградова в следующей форме: параметр а — нецелое число, большее единицы, D — натуральное число, I — натуральное число, не превосходящее D. Числа а, D и I определяют множество Ei, состоящее из промежутков вида [(Dn + I — l)1/", (Dn + l)l/a) с неотрицательным целым п. Простые числа, принадлежащие специальному множеству Ei, будем в дальнейшем для краткости называть специальными простыми числами. Основным результатом второй главы является теорема 1, представляющая собой асимптотическую формулу для тригонометрической суммы достаточно общего вида по специальным простым числам с равномерной по всем параметрам оценкой остатка. Последняя нетривиальна при ||а|| ^ х~а/25+е.

Доказательство этой теоремы основано на методе Виноградова. Условие принадлежности простого числа множеству Е\ эквивалентно попаданию {pa/D} в промежуток [l/D — 1 /D,l/D), а характеристическая функция (индикатор) множества действительных чисел с дробной долей, лежащей на этом промежутке, приближается "стаканчиками" Виноградова. Постоянный член разложения этих "стаканчиков" в ряд Фурье дает главный член асимптотики, а оценка остатка сводится к оценке тригонометрических сумм по простым числам с функцией tpa в показателе мнимой экспоненты. Методом сглаживания Виноградова в форме тождества типа малого решета оценка таких тригонометрических сумм по простым числам сводится к оценке аналогичных сумм, но уже по подряд идущим натуральным числам. Последняя оценка проводится аналогично оценке дзетовой суммы, сводясь в конечном итоге к теореме Виноградова о среднем.

Третья глава настоящей диссертации посвящена различным арифметическим задачам со специальными простыми числами. Вначале как простые следствия теоремы предыдущей главы получаются асимптотический закон распределения специальных простых чисел и аналог теоремы Зигеля-Вальфиша для специальных простых чисел. Затем рассматриваются аддитивные задачи со специальными простыми числами: тернарная проблема Гольдбаха, частный случай проблемы Гольдбаха-Варинга, задача Эстермана о сумме двух простых и квадрата. Все эти результаты также получены автором в работе [13].

Далее рассмотрена ещё одна арифметическая задача, которая представляет интерес независимо от специальных простых чисел. Пусть даны к различных целых неотрицательных чисел h,., Ik, и S(x) обозначает количество натуральных чисел п, не превосходящих х и таких, что все числа п + Zi,., п + 1к свободны от га-х степеней. Очевидно, что для неограниченности S(x) при х, стремящемся к бесконечности, необходимо, чтобы числа 1\,., Ik не покрывали полной системы вычетов по модулю рт для любого простого р. В конце сороковых годов Л.Мирский [14],[15] показал, что это условие является и достаточным, получив асимптотическую формулу для величины S(x). Главный член этой асимптотики имеет порядок яг, а остаток был оценен Мирским как <С ж2/(ш+1)+£> Доказательство основано на представлении характеристической функции (индикатора) множества натуральных чисел, свободных от га-х степеней, в виде суммы значений функции Мёбиуса на числах, га-я степень которых делит п. Исследование подобных задач продолжалось и в последующие годы. Так, Д.Р.Хиз-Браун [16] получил в задаче о "бесквадратных близнецах", т.е. о количестве бесквадратных чисел п, не превосходящих х и таких, что п + 1 также бесквадратно, остаток <С ж7/11+е. Равномерные по параметрам к и ., Ik оценки остаточного члена были получены К.М.Тсангом [17]. Обе упомянутых работы были основаны на методах решета.

Естественным развитием задачи Мирского является исследование величины Т(х), обозначающей количество простых чисел р, не превосходящих х и таких, что все числа р + . ,р + Ik свободны от га-х степеней. Для неограниченности Т(х) при х, стремящемся к бесконечности, необходимо, чтобы числа 1\,., Ik не покрывали приведённой системы вычетов по модулю рт для любого простого р. Автор [18] получил асимптотическую формулу для величины Т(х), из которой, в частности, следует, что упомянутое условие является и достаточным для неограниченности Т{х). Аналогичная задача в специальных простых числах также рассмотрена в [18].

Таким образом, основными результатами третьей главы являются теоремы 2 и 3, представляющие собой асимптотические формулы для величины Т(х) и аналогичной ей величины U(x), которая возникает в задаче со специальными простыми числами. Доказательства этих теорем используют теорему Зигеля-Вальфиша и её аналог для специальных простых чисел и, в основном, следуют методу Мирского. Однако способ, применённый им при оценке остатка, здесь недостаточен; в этом случае остаток удается оценить с помощью итерационной процедуры.

Четвёртая глава настоящей диссертации посвящена изучению натуральных чисел, имеющих только специальные простые делители. Следует отметить, что подобные задачи давно привлекают внимание специалистов. Одна из первых таких задач связана с натуральными числами, все простые делители которых принадлежат заданным арифметическим прогрессиям. Асимптотическая формула для количества таких чисел, не превосходящих х, была получена в начале прошлого века Э.Ландау [19] с помощью метода комплексного интегрирования. Соответствующий производящий ряд Дирихле имеет при s = 1 точку ветвления, что позволяет получить для исследуемой величины представление в виде асимптотического ряда по степеням 1/loga;.

Впоследствии было доказано много общих теорем, которые позволяют по поведению простых делителей делать заключения о свойствах состоящих из них натуральных чисел. Обзор такого рода результатов имеется в монографии А.Г.Постникова [20]. Остановимся подробнее на нескольких подобных теоремах. Теорема Б.М.Бредихина [21] даёт возможность, зная главный член асимптотического выражения для количества простых чисел, не превосходящих х и принадлежащих некоторому множеству Р, получить главный член асимптотического выражения для количества натуральных чисел, не превосходящих ж, все простые делители которых принадлежат множеству Р. В аналогичных задачах с мультипликативными функциями полезна теорема Э.Вирзинга [22], позволяющая получать асимптотические выражения для сумм f(n) по известным асимптотикам для сумм Ylp^x f(p)- Наиболее общий результат в этом направлении был получен в 1967 году Б.В.Левиным и А.С.Файнлейбом [23]. По заданной мультипликативной функции /(п) они определяют аналог функции Чебышёва ф(х). Если известно поведение /(п) на степенях простых чисел, а точнее если для аналога функции Чебышёва справедлив аналог асимптотического закона с остатком <С a:e~losQx, то для суммы ^2n^xf(n) имеет место представление в виде асимптотического ряда по степеням 1/logx. Более того, последняя сумма приближается суммой первых (log x)aKa+v> £ членов асимптотического ряда с точностью до < xe-(log*)a/(a+1)-\

Все упомянутые теоремы доказываются "элементарно", т.е. без помощи методов комплексного анализа. Такое доказательство, будучи искусственным, приводит к потере точности в оценках. Так, даже использование в теореме Левина и Файнлейба наиболее точной из известных на настоящий момент оценки Виноградова с а = Ъ/Ъ — £ приводит к худшей оценке остаточного члена, чем применение метода комплексного интегрирования с простейшей границей нулей Валле-Пуссена.

При изучении чисел, имеющих только специальные простые делители, мы считаем параметры а и D фиксированными, причём а — нецелое положительное число. Количество простых чисел, не превосходящих х и принадлежащих множеству Ei, равно 7r(x)/D с ошибкой «С х1А, что следует из результата Виноградова [2] при О < а < 1 и из результатов третьей главы при а > 1. Это позволяет получить аналитическое продолжение соответствующего производящего ряда Дирихле левее единичной прямой и оценить его модуль при а ^ 1 — с/ log . Последующее применение метода комплексного интегрирования дает искомые формулы для сумм мультипликативных функций по числам, имеющим только специальные простые делители.

Основными результатами четвёртой главы являются теоремы 4 и 5, касающиеся сумм т&(п) и //(п) по интересующим нас числам [24]. Для этих сумматорных функций получены представления как в виде асимптотических рядов, так и в виде суммы первых \/loga; членов этих рядов с остатком хе~Су/^°ёх. При рассмотрении суммы Тк(п) по числам, все простые делители которых принадлежат множеству Ei, возникает особый эффект, если к кратно D. В этом случае асимптотический ряд обрывается и упомянутая сумма с точностью до <С xe~Cyflogx приближается суммой конечного и не зависящего от х числа первых членов этого ряда. Аналитическая природа этого эффекта заключается в однозначном характере особой точки соответствующей производящей функции при D, делящем к. Но с чисто арифметической точки зрения такая взаимосвязь казалось бы независимых параметров D и к выглядит совершенно неожиданной. Подобный эффект возникает и в том случае, если рассматривать сумму ц(п) по числам, все простые делители которых принадлежат множеству Eit U . U Eik. При к < D в соответствующей асимптотической формуле имеется главный член в виде суммы с растущим числом слагаемых, а при к = D мы приходим к известной оценке суммы ^2п<х ц(п) величиной <С xe~Cy/^ogx.

1. Landau Е. Uber die Einteilung der positiven Zahlen nach vier Klassen nach der Mindestzahl der zu ihrer addition Zusammensetzung erforderlichen Quadrate // Arch. Math, und Phys. (1.I). 1908. V. 13. N. 4. P. 305-312.

2. Виноградов И.М. Некоторое общее свойство распределения простых чисел-// Матем. сб. 1940. Т. 7(49). Вып. 2. С. 365-372.

3. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. М.: Наука, 1976.

4. Линник Ю.В. Об одной теореме теории простых чисел // Докл. АН СССР. 1945. Т. 47. Вып. 1. С. 7-8.

5. Кауфман P.M. О распределении {д/р} // Матем. заметки. 1979. Т. 26. Вып. 4. С. 497-504.

6. Balog A. On the fractional part of рв // Arch. Math. 1983. V. 40. P. 434-440.

7. Гриценко С.А. Об одной задаче И.М.Виноградова // Матем. заметки. 1986. Т. 39. Вып. 5. С. 625-640.

8. Гриценко С.А. Тернарная проблема Гольдбаха и проблема Гольдбаха-Варинга с простыми числами, лежащими в промежутках специального вида // УМН. 1988. Т. 43. Вып. 4. С. 203-204.

9. Виноградов И.М. Оценка одной тригонометрической суммы по простым числам // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1959. Т. 23. С. 157164.

10. Leitmann D. On the uniform distribution of some sequences // J. London Math. Soc. (2). 1976. V. 14. N. 3. P. 430-432.

11. Baker R.C., Kolesnik G. On the distribution of pa modulo one // J. Reine Angew. Math. 1985. V. 356. P. 174-193.

12. Cao X., Zhai W. On the distribution of pa modulo one //J. Theor. Nombres Bordeaux. 1999. V. 11. N. 2. P. 407-423.

13. Чанга M.E. Простые числа в специальных промежутках и аддитивные задачи с такими числами // Матем. заметки. 2003. Т. 73. Вып. 3. С. 423-436.

14. Mirsky L. Arithmetical pattern problems relating to divisibility by r-th powers // Proc. London Math. Soc. (2). 1949. V. 50. P. 497-508.

15. Mirsky L. Note on an asymptotic formula connected with r-free integers // Quart. J. Math. (Oxford). 1947. V. 18. N. 71. P. 178-182.

16. Heath-Brown D.R. The square sieve and consecutive square-free numbers // Math. Ann. 1984. V. 266. N. 3. P. 251-259.

17. Tsang K.-M. The distribution of r-tuples of square-free numbers // Mathematika. 1985. V. 32. N. 2. P. 265-275.

18. Чанга M.E. О количестве простых, дающих бесквадратные суммы с заданными числами // УМН. 2003. Т. 58. Вып. 3. С. 197198.

19. Landau Е. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Prim-zahlen. V. 2. Leipzig: Teubner, 1909.

20. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.

21. Бредихин Б.М. Остаточный член в асимптотической формуле для функции vG(x) j j Изв. ВУЗов. Математика. 1960. Т. 6(19). С. 4049.

22. Wirsing Е. Das asymptotische Verhalten von Summen uber multiplicative Funktionen, I // Math. Ann. 1961. V. 143. N. 1. P. 75-102.

23. Левин В.В., Файнлейб А.С. Применение некоторых интегральных уравнений к вопросам теории чисел // УМН. 1967. Т. 22. Вып. 3(135). С. 119-198.

24. Чанга М.Е. О числах, все простые делители которых лежат в специальных промежутках // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. Т. 67. Вып. 4. С. 213-224.

25. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. М.: Наука, 1983.

26. Воронин С.М., Карацуба А.А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994.

27. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.: Наука, 1980.

28. Хуа Л.-К. Аддитивная теория простых чисел. Тр. МИАН. Т. 22. М., 1947.

29. Estermann Т. Proof that every large integer is the sum of two primes and a square // Proc. London Math. Soc. (2). 1937. V. 42. P. 501

30. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.

31. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967.

32. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

33. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Т. 2. М.: Физматгиз, 1963.

34. Марджанишвили К.К. Оценка одной арифметической суммы // Докл. АН СССР. 1939. Т. 22. Вып. 7. С. 391-393.