Асимптотические свойства рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

0.1 Исторические сведения

0.2 Предварительные результаты и постановка задач б

0.3 Содержание главы

0.4 Содержание главы

0.5 Содержание главы Асимптотика максимального члена адамаровской композиции двух рядов Дирихле

1.1 Лемма типа.Бореля Неванлинны

1.2 Доказательство теоремы

1.3 Доказательство теорем

1.3 Оценка на кривых функций, представленных в полуплоскости рядами Дирихле

2.1 Необходимые сведения. Уточнение теоремы о двух константах

2.2 Доказательство теоремы

2.3 Доказательство теорем

2.3 Оценка суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости, на луче

3.1 Доказательство теоремы

3.2 Доказательство теоремы

3.2 Литература

0.1 Исторические сведения С конца 19 века, а именно после выхода в свет известных работ Ж. Адамара стало развиваться новое направление в теории функций: изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э. Борель, А. Виман, Ж Валирон, Д. Пойа и другие. Еще в 1892 году Ж. Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора [1]. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была решена М. Фудзивара [2], Н.В. Говоровым [3] и другими (см., например, в [4]). Непосредственным обобщением степенных рядов являются ряды Дирихле с положительными возрастающими до бесконечности показателями. Для изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями R порядка и R типа. Эти понятия были введены Ж. Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле [5]. Рост функций, представленных рядами Дирихле, абсолютно сходящимися в полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е. Дагене [6], В. Бойчук [7], К. Нандан [8], [9], Ю. Шиа-Юн [10]. В конце 60-х годов для изучения роста целых или аналитических в единичном круге функций М. Н. Шеремета ввел понятия так называемых обобщенных порядков. Задача, связанная с применением обобщенных порядков к изучению роста рядов Дирихле, сходящихся в полуплоскости, была расмотрена в [11]. Позже в терминах R порядка я R типа рост таких рядов в зависимости от коэффициентов был исследован A.M. Гайсиным в работах [12] [16], а также в работах О.Б. Скаскива и В.М. Сорокивского [17], [18]. В начале 20 века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом ее степенного разложения, а также поведения функции и ее производных в окрестности точки максимума модуля А. Виман и Ж. Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана Валирона. При помощи метода Вимана Валирона решались также следующие задачи теории аналитических функций: исследование асимптотических свойств целых функций, представленных лакунарными степенными рядами, оценка роста решений дифференциальных уравнений и т.д. В 1929 году была опубликована статья Д. Пойа [19], в которой помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д. Пойа, были подхваченны многими математиками.Однако классический метод Вимана Валирона и разработанные рядом авторов его модификации (см., например, в [20]) не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [19]. Но, как и в любой теории, в теории лакунарных рядов, а также рядов Дирихле, остаются нерешенными многие важные проблемы, при решении которых возникают все новые и новые задачи. Это объясняется также тем, что в связи с исследованиями А.Ф. Леонтьева, подытоженными в его монографиях [21] [23] с 80-х годов прошлого века сильно возрос интерес к рядам экспонент, сходяш,имся в произвольных выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имеюш,их заданный рост вблизи границы области регулярности, в ряды экспонент (см., например, [22] [24]). В этой связи и в настояш,ее время представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от ее роста в тех или иных подмножествах области, примыкаюш;их к границе. В этой ситуации метод Вимана Валирона (или его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. A.M. Гайсиным была разработана методика, которая нашла широкое применение в подобных исследованиях. В его работах систематически используется интерполирующая функция и формулы для коэффициентов А.Ф. Леонтьева, различные модификации теоремы Бореля Неванлинны из [25], а также уточненный им вариант оценок Н.В. Говорова ограниченной аналитической в единичном круге функции снизу из [26], [27]. Эта методика нашла свое применение и дальнейшее развитие и в данной диссертации. В диссертации рассматриваются ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости и имеющие произвольный рост вблизи прямой сходимости, в тех или иных терминах, учитывающих глобальное поведение ряда Дирихле, установлены оценки для суммы ряда на всевозможных кривых, оканчивающихся на прямой сходимости. Соответствующие оценки получены и для лакунарных степенных рядов, сходящихся лишь в единичном круге. В случае, когда областью сходимости ряда Дирихле является вся плоскость, аналогичные оценки ранее были установлены A.M. Гайсиным..2 Предварительные результаты и постановка задач Сделаем краткий обзор результатов, приводящих к задачам, обсуждаемым в данной диссертации. Пусть {рп} возрастающая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая условию оо. n—i (0.1) в этом случае говорят, что последовательность {р} имеет лакуны Фейера. Аналогично, целая функция со п=0 имеет лакуны Фейера, если последовательность S{f) {п 1 Сп 0} имеет лакуны Фейера. В этом случае ряд (0.2) есть лакунарный степенной ряд вида оо п=1 Хорошо известно, что целая функция с лакунами Фейера принимает каждое комплексное значение бесконечно много раз [28]. Этот замечательный факт и другие соображ;ения наводят на мысль о наличии у целых функций f{z), заданных рядами (0.3), хороших асимптотических свойств. Это подтверждается многочисленными исследованиями, которые проводились специалистами по теории функций в течение многих лет (см., н-р, [28] [53]). В большинстве этих работ в основном указаны достаточные условия, при выполнении которых справедливо утверждение: для любой кривой 7, уходяш,ей в бесконечность, суш;ествует последовательность {п},п 7) такая, что при оо 1пМ(|е„|;/) (1 о(1))1п|/(Ы|. Впервые эта задача была сформулирована в работе [30] и решена для одного класса целых функций f{z) вида (0.3), имеюш,их конечный порядок. В случае, когда функция f{z) имеет конечный порядок или конечный нижний порядок, в последние годы получены окончательные результаты [44] [46] в [45],[46] соответствуюш;ие результаты установлены для более обш;их рядов рядов Дирихле Когда же целая функция /(z) (даже имеющая лакуны Фейера) имеет произвольный рост, возникают суш;ественные трудности, связанные с нерегулярным распределением точек последовательности {рп}, и поэтому эта ситуация особенно актуальна. Сделаем краткий обзор результатов, имеюш;их непосредственное отношение к обсуждаемым в диссертации задачам. Прежде всего отметим следуюш;ий факт, установленный в работе [29]: для того, чтобы любая целая функция вида (0.3) не была ограниченной на луче М+ [О, оо), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (0.1). Аналогичное утверждение имеет место и для рядов Дирихле [53]. В работе [37] показано, что если со о) У2 оо; tlPТО Ь) i, Р- zey,zoo\nM{\z\;j) где /(z) целая функция, заданная рядом (0.3), а 7 любая кривая, уходящая в бесконечность. Отметим, что в этой теореме равенство (0.4) получено без каких-либо ограничений на рост функции f{z). Ранее равенство (0.4) было установлено Т. Ковари для последовательностей {рп}, таких, что [33] Рп n{lnnY {п по,€ 0). В статье [42] аналог равенства (0.4) доказывается для более общих рядов рядов Дирихле схэ F(s) J2ne n=l {s a it), (0.5) сходящихся во всей плоскости. При выполнении условия оо 5]з<оо. п=1 (0.6) ряды (0.5) будем называть рядами Дирихле с лакунами Фейера. Пусть О Лп t 00, (An) In \Q\\n)V где n=l 71=1 Справедлива следующая теорема [52]. Теорема 0.1. Пусть выполнено условие (0.6), и a{t) maxofArx). Если Xn<t (X) "-dt оо, (0.8) то d(F;)= \t\<oo lim ln|F(5)| 1, (0.9) 2e M{a) sup |F(<J H- г)|, a 7 любая кривая, уходящая в бесконечность так, что если s j us оо то Res +оо. Отметим, что для справедливости теоремы 0.1 условие (0.6) необходимо: для любой последовательности {Л„}, для которой оо п—1 существует целая функция F{s) вида (0.5), для которой d{F]R+) О, где R+ [0,оо) [29], [53]. Актуальным является следующий вопрос: каковы минимальные ограничения на последовательность {An}, при которых для любой целой функции F{s), заданной рядом (0.5) и имеющей произвольный рост, было бы справедливо равенство inf (f(F;7) 1? Здесь Г {7} семейство всех криВ Х 7, удовлетворяющих условиям теоремы 0.1. Еще в работе Ы [50] было высказано предположение о справедливости равенства d{f] R+) 1 для любой целой функции с вещественными коэффициентами Тейлора, последовательность {рп} перемен знаков коэффициентов которой удовлетворяет лишь условию (0.1). В [50] было даже приведено доказательство этого сильного утверждения. Позднее обнаружилось, что в доказательстве есть серьёзный пробел, который М. Н. Шеремета не смог устранить, и гипотезу из [50] он сформулировал как открытую проблему. До сих пор существовала аналогичная гипотеза М. Н. Шереметы о справедливости равенства (i(/;IR+) 1 или более общего равенства mid{f;j) 1 для произвольных целых функций (0.3), имеющих лакуны Фейера. Однако до последнего времени не был известен ответ ни на одну из этих гипотез, формулировки которых в той или иной форме неоднократно приводились в

1. Hadamard J. Essai sur l'etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor //J. Math, pures et appl. 1892. T.8. P. 154 - 186.

2. Fujiwara M. On the relation between M(r) and coefficients of a power series // Proc. Imp. Acad. Japan. 1932. V.8, JVQ6. P. 220 223.

3. Говоров H. В. О связи между ростом функции, аналитической в круге, и коэффициентами ее степенного разложения // Труды Новочеркасск, политехи, ин-та. 1959. Т.100. С. 101115.

4. Мак-Лейн Г. Асимптотические значения голоморфных функций. М.:Мир, 1966. 104 С.

5. Ritt J. F. On certain points in the theory of Dirichlet series // Amer. Math. J. 1928. V.50. P.73 83.

6. Дагене E. Я. О центральном показателе ряда Дирихле // Литовский мат. сб. 1968. Т.8, №3. С.504 521.

7. Бойчук В. С. О росте абсолютно сходящихся в полуплоскости рядов Дирихле // Мат. сб. К.: Наукова думка, 1976. С.238 240.

8. Nandan К. On the maximum terms a maximum modulus analytic functions represented by Dirichlet series // Ann. Polon. Math. 1973. V.28. P.213 222.

9. Nandan K. On the lower order of analytic functions represented by Dirichlet series // Rev. roum. math, pures et appl. 1976. V.21, №10. P.1361 1368.

10. Yu-Chia-Yung. Sur la croissance et la repartition de Dirichlet qui ne convergent que dans un demi-plan // Comptus rendus Acad. Sci. 1979. AB288, №19. A891 A893.

11. Галь Ю.М., Шеремета M.H. О росте аналитических в полуплоскости функций, заданных рядами Дирихле // ДАН УССР. Сер. А, 1978. №12. С.1065 1067.

12. Гайсин A.M. Оценка роста функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Матем. сб. 1982. Т.117(159), т. С.412 424.

13. Гайсин A.M. О типе функции, представленной рядом Дирихле, в полуполосе // Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа.: БФАН СССР. 1982. С.З -14.

14. Гайсин A.M. Разложение функций, аналитических в полуплоскости и имеющих конечный R тип, в ряды экспонент // Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменных. Уфа.: БФАН СССР. 1983. С.30 -42.

15. Гайсин A.M. Рост функции, представленной рядом Дирихле, на луче // Исследования по теории аппроксимации функций Уфа.: БФАН СССР. 1984. С. 20 29.

16. Гайсин A.M. Поведение суммы ряда Дирихле в полуполосах // Матем. заметки. 1987. Т.42, №5. С. 660 669.

17. Скаскив О.В., Сорокивский В.М. О росте на горизонтальных лучах аналитических функций, представленных рядами Дирихле // Укр. мат. ж. 1990. Т.42, №3. С. 363 371.

18. Сорокивский В.М. О росте аналитических функций,представленных рядами Дирихле // Укр. мат. ж. 1984. Т.36, т. С. 524 528.

19. Polya G. Untersuchungen iiber Lticken und Singularitaten von Potenzreihen 11 Math. Z. 1929.V.29. P.549 640.

20. Шеремета M.H. Метод Вимана Валирона для рядов Дирихле // Укр. мат. ж. 1978. Т.ЗО, №4. С. 488 - 497.

21. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536С.

22. Леонтьев А.Ф. Представление целых функций рядами экспонент// Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 1991. Т.157. С. 68 89.

23. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент для функций с определенным ростом вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер.матем. 1980. Т.44, т. С. 1308 1328.

24. Напалков В.В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. 1987. Т.51, т. С.287 305.

25. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций. М.: Наука, 1970. 592 С.

26. Говоров Н.В. Краевая задача Римана с бесконечным индексом. М.: Наука, 1986. 240 С.

27. Говоров Н.В. Об оценке снизу функции, субгармонической в круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Вып.6. Харьков:Изд-во ХГУ, 1968, С. 130 -150.

28. Fejer L. Uber die Wurzel vom kleinsten absoluten Betrage einer algebraischen Gleichung// Math. Annalen. 1908. P. 413

29. Macintyre A.J. Asymptotic paths of integral functions with gap power series // Proc. London Math. Soc. 1952. V.2. m. P. 286 296.

30. Polya G. Untersuchungen liber Liicken und Singularitaten von Potenzeihen // Math.Z. 1929. V.29. P. 549 640.

31. Fuchs W.H.J. Proof of a conjecture of G. Polya conserning gap series // Illinois J. Math. 1963. V.7. P. 661 667.

32. Kovari T. A gap theorem for entire functions of infinite order //Michigan Math. J. 1965. V.12. №2. P. 133 - 140.

33. Kovari T. On the asymptotic paths of entire functions with gap power series// J. Analyse Math. 1965. V.15. P. 281 -286.

34. Sons L.R. On the Macintyre conjecture // Illinois J.Math. 1970. V.14. P.613 629.

35. Sons L.R. An analogue of a theorem of W.H.J. Fuchs on gap series // Proc. of the London Math. Soc. 1970. III. V. 21, m. P. 525 539.

36. Hayman W.K. Angular value distribution of power series with gaps// Proc.London Math.Soc. 1972. V.24. P. 590 624.

37. Павлов A.M. О росте по кривым целых функций, заданных лакунарными степенными рядами // Сиб.мат.журнал. 1972. Т.13,№5. С. 1169 1181.

38. Павлов А.И. О росте на положительном луче целых функций с вещественными коэффициентами Тейлора // Ма-тем. заметки.1973. Т.14, №4. С. 577 588.

39. Korevaar J., Dixon М. Interpolation, strongly nonspanningpowers and Macintyre exponents // Indag. Math. (N.S.) 1978. V.40, m. P. 243 258.

40. Berndtsson B.A note on Pavlov Korevaar - Dixon interpolation // Indag. Math.(N.S.) 1978. V.81. P. 400 - 414.

41. Murai T. The deficiency of entire functions with Fejer gaps // Ann. Inst. Fourier. 1983. V.33, №3. P. 39 58.

42. Гайсин A.M. Асимптотическое поведение суммы целого ряда Дирихле на кривых // Исследования по теории приближений. Уфа: БНЦ УрО АН СССР. 1989. С. 3 15.

43. Гайсин A.M. Усиленная неполнота системы экспонент и проблема Макинтайра // Матем.сб. 1991. Т.182, №7. С. 931- 945.

44. Skaskiv О.В. On the Polya conjecture conserning the maximum and minimum of the modulus of an entire function of finite order given by a lacunary power series// Anal.Math. 1990. V.16, №. P. 143 157.

45. Гайсин A.M. Об одной гипотезе Полиа // Изв. РАН Сер.матем. 1994. Т.58, №2. С. 73 92.

46. Гайсин A.M. Асимптотические свойства функций, заданных рядами экспонент // Диссертация .доктора физ- мат. наук. Уфа: 1994.

47. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. М.: Наука. 1980. 384 С.

48. Гайсин A.M. Об одной теореме Хеймана // Сиб.матем. журн. 1998. Т.39, №3. С. 501 516.

49. Гайсин A.M. Асимптотическая оценка суммы ряда Дирихле на кривых // Матем. заметки. 1997. Т.61, №6. С. 810

50. Шеремета М.Н. Об одном свойстве целых функций с вещественными тейлоровскими коэффициентами // Матем. заметки. 1975. Т.18, №3. С. 315 402.

51. Gaisin A.M. Behavior of logarithm of modulus of the sum of Dirichlet series on curves // The Journal of Analysis. Madras,India. 1995. V.3. P. 205 211.

52. Гайсин A.M. Оценка ряда Дирихле с лакунами Фейера на кривых // Доклады РАН. 2000. Т. 370, №6. С. 735 737.

53. Ефграфов М.А. Об одной теореме единственности для рядов Дирихле // Усп. матем. наук. 1962. Т. 17, №3. С. 169 -175.

54. Sheremeta М.М. Five open problems in the theory of entire functions // Математичш студи. 1996. V.6. P. 157 159.

55. Гайсин A.M. Оценки роста и убывания целой функции бесконечного порядка на кривых // Мат. сб. 2003. Т. 194, №8. С. 55 82.

56. Beurling A. Some theorems on boundedness of analytic functions // Duke Math.J. 1949. V.16. P. 355 359.

57. Hayman W.K. How guickly can an entire function tend to zero along curve? // Euseign math. 1978. V.24, №3 4. P. 215 - 223.

58. Гайсин A.M. Поведение логарифма модуля суммы ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 53, № 4. С. 173 185.

59. Скаскив О.Б. К теореме Вимана о минимуме модуля аналитических в единичном круге функций // Изв. АНСССР. Сер. матем. 1989. Т. 53, № 4. С. 833 850.

60. Шеремета М.Н. О росте на действительной оси целой функции, заданной рядом Дирихле //Матем.заметки. 1983. Т.ЗЗ, № 2. С. 235 245.

61. Шеремета М.Н. Об одной теореме Пойа. //Укр. мат. ж. 1983. Т.35, № 1. С. 119 124.

62. Шеремета М.Н. О целых функциях с вещественными тейлоровскими коэффициентами //Укр. мат. ж. 1985. Т.37, № 6. С. 786 787.

63. Цегелик Г.Г. Свойства мажоранты и диаграммы Ньютона функции, аналитической в круге //Укр. мат. ж. 1997. Т.29, № 4. С. 560 562.

64. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука. 1979.

65. Гайсин A.M. Поведение суммы ряда Дирихле заданного роста // Матем.заметки. 1991. Т.50, №4. С.47 56.

66. Белоус Т.И. Максимальный член адамаровской композиции двух рядов Дирихле // Теория функций , ее приложения и смежные вопросы. Тезисы докладов. Казань, 1999. С. 36 38.

67. Белоус Т.И. Лемма типа Бореля-Неванлинны // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания. Межвуз. науч. сб. УГАТУ. Уфа, 1999. С. 38 42.

68. Белоус Т.И. Асимптотика максимального члена измененного ряда Дирихле // Комплексный анализ, дифференциальные и смежные вопросы: Труды международной конф.Уфа, 2000. С. 14 20.

69. Белоус Т.И. Оценка суммы ряда Дирихле, сходящегося лишь в полуплоскости, на луче // Матем. сб. "Вестник. "Нижний Новгород, 2001. С. 1 10.

70. Белоус Т.И. Об условиях регулярности роста суммы ряда Дирихле на луче // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. 4.1. Математика / Издание Башкирского госуниверситета. Уфа, 2001. С. 28 32.

71. Белоус Т.И. Оценка на луче функций, представленных в полуплоскости рядами Дирихле с вещественными коэффициентами // Труды Матем. центра имени Н.И. Лобачевского. Геометрическая теория функций и краевые задачи. Казань,2002. С. 29 32.

72. Гайсин А. М., Белоус Т.И. Асимптотические свойства рядов Дирихле с лакунами Фейера // Научн. журн. Уфимского гос. авиационного технического унивеситета "Вестник УГАТУ."2002. Т.З, №1. С. 65 72.

73. Гайсин А. М., Белоус Т.И. В устойчивость максимального члена адамаровской композиции двух рядов Дирихле // Сиб. матем. журн. 2002. Т.43, №6. С. 1271 - 1282.

74. Гайсин А. М., Белоус Т.И. Оценка на кривых функций, представленных в полуплоскости рядами Дирихле // Сиб. матем. журн. 2003. Т.44, т. С. 27 43.